AP EAMCET 2017 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया तरंग समीकरण $y = y_0 \sin 2 \pi \left( \nu t - \frac{x}{\lambda} \right)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = y_0 \sin (\omega t - kx)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega = 2 \pi \nu$ और $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
तरंग वेग $v_w = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi \nu}{2 \pi / \lambda} = \nu \lambda$ है।
कण वेग $v_p$ समय के सापेक्ष विस्थापन का अवकलन है: $v_p = \frac{\partial y}{\partial t} = y_0 (2 \pi \nu) \cos 2 \pi \left( \nu t - \frac{x}{\lambda} \right)$।
अधिकतम कण वेग $v_{p, \text{max}} = 2 \pi \nu y_0$ है।
प्रश्न के अनुसार,$v_{p, \text{max}} = 4 v_w$ है।
मान रखने पर: $2 \pi \nu y_0 = 4 (\nu \lambda)$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $2 \pi y_0 = 4 \lambda$,जिससे $\lambda = \frac{2 \pi y_0}{4} = \frac{\pi y_0}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $v = 340 \, ms^{-1}$ ध्वनि की गति है, $v_o$ प्रेक्षक की गति है, $f_A = 170 \, Hz$ स्रोत $A$ की आवृत्ति है, और $f_B = 240 \, Hz$ स्रोत $B$ की आवृत्ति है।
चूंकि प्रेक्षक $A$ की ओर बढ़ रहा है, $A$ से सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $f'_A = f_A \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ है।
प्रेक्षक $B$ से दूर जा रहा है (क्योंकि $B$ स्रोत $A$ की ओर बढ़ रहा है और प्रेक्षक उनके बीच $A$ की ओर बढ़ रहा है), इसलिए $B$ से सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $f'_B = f_B \left( \frac{v - v_o}{v - v_B} \right)$ है, जहाँ $v_B = 20 \, ms^{-1}$ है।
विस्पंदों की संख्या शून्य होने के लिए, $f'_A = f'_B$ होना चाहिए।
$170 \left( \frac{340 + v_o}{340} \right) = 240 \left( \frac{340 - v_o}{340 - 20} \right)$.
$170 \left( \frac{340 + v_o}{340} \right) = 240 \left( \frac{340 - v_o}{320} \right)$.
$\frac{17}{34} (340 + v_o) = \frac{24}{32} (340 - v_o)$.
$0.5 (340 + v_o) = 0.75 (340 - v_o)$.
$170 + 0.5 v_o = 255 - 0.75 v_o$.
$1.25 v_o = 85$.
$v_o = \frac{85}{1.25} = 68 \, ms^{-1}$.

(D) हॉर्न से सीधे सुनाई देने वाली ध्वनि की आवृत्ति $f_0 = 165 \, Hz$ है।
दीवार से परावर्तित होकर आने वाली ध्वनि की आवृत्ति डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है (बस दीवार के सापेक्ष स्रोत और प्रेक्षक दोनों है)।
परावर्तन के बाद सुनाई देने वाली आभासी आवृत्ति $f' = f_0 \left( \frac{v + v_b}{v - v_b} \right)$ है, जहाँ $v = 335 \, ms^{-1}$ ध्वनि की गति है और $v_b = 5 \, ms^{-1}$ बस की गति है।
मान रखने पर: $f' = 165 \left( \frac{335 + 5}{335 - 5} \right) = 165 \left( \frac{340}{330} \right) = 165 \times \frac{34}{33} = 5 \times 34 = 170 \, Hz$.
प्रति सेकंड सुनाई देने वाले बीट्स की संख्या परावर्तित आवृत्ति और मूल आवृत्ति के बीच का अंतर है: $f_{beats} = |f' - f_0| = |170 - 165| = 5 \, Hz$.

(B) वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = 100 \,cm = 1 \,m$ है। कोणीय वेग $\omega = 20 \,rad/s$ है। स्रोत का रैखिक वेग $v_s = r\omega = 1 \times 20 = 20 \,m/s$ है।
प्रेक्षक वृत्त के केंद्र से $5 \,m$ की दूरी पर है। डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करते हुए: $f' = f \left( \frac{v}{v \mp v_s} \right)$.
अधिकतम आवृत्ति के लिए (स्रोत प्रेक्षक की ओर बढ़ रहा है): $f_{max} = 288 \times \left( \frac{340}{340 - 20} \right) = 288 \times \left( \frac{340}{320} \right) = 306 \,Hz$.
न्यूनतम आवृत्ति के लिए (स्रोत प्रेक्षक से दूर जा रहा है): $f_{min} = 288 \times \left( \frac{340}{340 + 20} \right) = 288 \times \left( \frac{340}{360} \right) = 272 \,Hz$.
अतः, सुनी जाने वाली आवृत्तियों की सीमा $272 \,Hz$ से $306 \,Hz$ है।

(A) माना $n$ सीटी की वास्तविक आवृत्ति है,$v$ ध्वनि की गति है,और $v_s$ ट्रेन की गति है।
जब ट्रेन स्थिर प्रेक्षक के पास आती है,तो आभासी आवृत्ति $n_1 = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ होती है।
जब ट्रेन स्थिर प्रेक्षक से दूर जाती है,तो आभासी आवृत्ति $n_2 = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ होती है।
दोनों समीकरणों का व्युत्क्रम लेने पर:
$\frac{1}{n_1} = \frac{v - v_s}{nv} = \frac{1}{n} - \frac{v_s}{nv}$
$\frac{1}{n_2} = \frac{v + v_s}{nv} = \frac{1}{n} + \frac{v_s}{nv}$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} = \frac{2}{n} \implies \frac{n_1 + n_2}{n_1 n_2} = \frac{2}{n}$
इसलिए,वास्तविक आवृत्ति $n = \frac{2 n_1 n_2}{n_1 + n_2}$ है।
जब प्रेक्षक ट्रेन के साथ चलता है,तो स्रोत और प्रेक्षक के बीच कोई सापेक्ष गति नहीं होती है,इसलिए प्रेक्षित आवृत्ति वास्तविक आवृत्ति $n$ के बराबर होती है।

(B) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है। एक बंद पाइप के लिए, मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $L$ पाइप की लंबाई है।
चूंकि $f$ स्थिर है, $\frac{v_1}{L_1} = \frac{v_2}{L_2}$, जिसका अर्थ है $\frac{L_2}{L_1} = \frac{v_2}{v_1}$।
ध्वनि की गति $v$ निरपेक्ष तापमान $T$ के वर्गमूल के समानुपाती होती है $(v \propto \sqrt{T})$।
अतः, $\frac{L_2}{L_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
यहाँ $T_1 = 27 + 273 = 300 \,K$ और $T_2 = 7 + 273 = 280 \,K$ दिया गया है।
$L_1 = 20 \,cm = 200 \,mm$।
$L_2 = L_1 \sqrt{\frac{280}{300}} = 200 \times \sqrt{\frac{28}{30}} = 200 \times \sqrt{0.9333} \approx 200 \times 0.966 = 193.2 \,mm$।
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L_1 - L_2 = 200 \,mm - 193.2 \,mm = 6.8 \,mm \approx 7 \,mm$।

(B) बंद ऑर्गन पाइप के लिए,पहला ओवरटोन $3^{rd}$ हार्मोनिक होता है। आवृत्ति $f = \frac{3v_1}{4L} = \frac{3}{4L} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_1}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\beta$ संपीड्यता है।
खुली ऑर्गन पाइप के लिए,पहला ओवरटोन $2^{nd}$ हार्मोनिक होता है। आवृत्ति $f = \frac{2v_2}{2L'} = \frac{v_2}{L'} = \frac{1}{L'} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_2}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों गैसों के लिए संपीड्यता $\beta$ समान है,आवृत्तियों की तुलना करने पर:
$\frac{3}{4L} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_1}} = \frac{1}{L'} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_2}}$
$\frac{3}{4L \sqrt{\rho_1}} = \frac{1}{L' \sqrt{\rho_2}}$
$L' = \frac{4L}{3} \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$.

(A) मान लीजिए कि पहले ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f_1 = f$ है।
ट्यूनिंग फोर्क की कुल संख्या $n = 56$ है।
बीट आवृत्ति $d = 4 \text{ Hz}$ है।
$n$वें फोर्क की आवृत्ति का सूत्र $f_n = f_1 + (n - 1)d$ है।
अतः, $f_{56} = f + (56 - 1) \times 4 = f + 55 \times 4 = f + 220$।
दिया गया है कि अंतिम फोर्क की आवृत्ति पहले फोर्क की आवृत्ति से दोगुनी है, इसलिए $f_{56} = 2f$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $2f = f + 220$, जिससे $f = 220 \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।
$19$वें फोर्क की आवृत्ति $f_{19} = f_1 + (19 - 1)d$ होगी।
$f_{19} = 220 + 18 \times 4 = 220 + 72 = 292 \text{ Hz}$।

(C) $L_1$ लंबाई की खुली पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n_1 = \frac{v}{2 L_1}$ है,जिसका अर्थ है $L_1 = \frac{v}{2 n_1}$।
$L_2$ लंबाई की बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n_2 = \frac{v}{4 L_2}$ है,जिसका अर्थ है $L_2 = \frac{v}{4 n_2}$।
संयुक्त पाइप एक सिरे पर बंद और दूसरे पर खुली है,जिसकी कुल लंबाई $L = L_1 + L_2$ है।
संयुक्त पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{4 L} = \frac{v}{4(L_1 + L_2)}$ है।
$L_1$ और $L_2$ के मान रखने पर: $n = \frac{v}{4(\frac{v}{2 n_1} + \frac{v}{4 n_2})} = \frac{v}{4v(\frac{1}{2 n_1} + \frac{1}{4 n_2})} = \frac{1}{\frac{2}{4 n_1} + \frac{1}{4 n_2}} = \frac{1}{\frac{1}{2 n_1} + \frac{1}{4 n_2}} = \frac{1}{\frac{2 n_2 + n_1}{4 n_1 n_2}} = \frac{n_1 n_2}{n_1 + 2 n_2}$।

(D) स्थिर तरंग के लिए दिया गया समीकरण $y_{(x, t)} = 0.03 \sin \left(\frac{2 \pi x}{3}\right) \cos (60 \pi t)$ है।
इसे मानक स्थिर तरंग समीकरण $y = a \sin(kx) \cos(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 60 \pi \text{ rad s}^{-1}$।
तरंग संख्या $k = \frac{2 \pi}{3} \text{ m}^{-1}$।
तरंग की गति $v = \frac{\omega}{k} = \frac{60 \pi}{2 \pi / 3} = 30 \times 3 = 90 \text{ m s}^{-1}$ है।
डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
यहाँ $\mu = 0.01 \text{ kg m}^{-1}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $90 = \sqrt{\frac{T}{0.01}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $8100 = \frac{T}{0.01}$।
$T = 8100 \times 0.01 = 81 \text{ N}$।

(C) तरल में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{1}{K \rho}}$ है, जहाँ $K$ संपीड्यता है और $\rho$ माध्यम का घनत्व है。
दिया गया है: $K = 4.84 \times 10^{-10} \,m^2 \,N^{-1}$, $\rho = 1024 \,kg \,m^{-3}$.
मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{1}{4.84 \times 10^{-10} \times 1024}} = \sqrt{\frac{1}{4956.16 \times 10^{-10}}} = \sqrt{\frac{10^{10}}{4956.16}} \approx \sqrt{2017700} \approx 1420.46 \,m/s$.
गूँज के लिए कुल समय $t = 3.52 \,s$ है। ध्वनि को तल तक पहुँचने में लगा समय $t' = \frac{t}{2} = \frac{3.52}{2} = 1.76 \,s$ है。
गहराई $d$ का मान $d = v \times t' = 1420.46 \times 1.76 \approx 2500 \,m = 2.5 \,km$ है।

(C) ऊर्ध्वाधर वृत्त के सबसे निचले बिंदु पर,तार में तनाव $T$ आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है और गोले के भार को संतुलित करता है।
गति का समीकरण: $T - mg = m \omega^2 l$,जहाँ $m = 4 \,kg$,$l = 1 \,m$,$\omega = 10 \,rad \,s^{-1}$,और $g = 10 \,ms^{-2}$ है।
$T = m(g + \omega^2 l) = 4(10 + 10^2 \times 1) = 4(10 + 100) = 4(110) = 440 \,N$.
हुक के नियम के अनुसार विस्तार $\Delta l$ है: $\Delta l = \frac{Tl}{AY}$,जहाँ $A = \pi r^2$ और $r = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ है।
$A = \pi (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6} \,m^2$.
$\Delta l = \frac{440 \times 1}{\pi \times 10^{-6} \times 20 \times 10^{10}} = \frac{440}{20 \pi \times 10^4} = \frac{22}{\pi} \times 10^{-4} \,m$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$\Delta l \approx \frac{22}{3.14} \times 10^{-4} \approx 7.006 \times 10^{-4} \,m = 0.7 \,mm$.

(A) माना $L = 1 \,m$ लोलक की लंबाई है और $v_0 = 7 \,ms^{-1}$ निम्नतम बिंदु पर वेग है।
केंद्र से $h$ ऊँचाई पर किसी भी बिंदु पर, ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार वेग $v$ इस प्रकार है: $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mg(L+h)$.
मान रखने पर: $\frac{1}{2}(7)^2 = \frac{1}{2}v^2 + 10(1+h) \implies 24.5 = 0.5v^2 + 10 + 10h \implies v^2 = 29 - 20h$.
जब तनाव $T$ शून्य हो जाता है तो गोलक वृत्तीय पथ छोड़ देता है। $h$ ऊँचाई पर गति का समीकरण $T + mg \sin(\theta) = \frac{mv^2}{L}$ है, जहाँ $\sin(\theta) = \frac{h}{L} = h$.
$T=0$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है $mg(h/L) = \frac{mv^2}{L} \implies v^2 = gh = 10h$.
$v^2$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $29 - 20h = 10h \implies 30h = 29 \implies h = \frac{29}{30} \approx 0.966 \,m$. दिए गए विकल्पों के अनुसार, निकटतम मान $0.95 \,m$ है।

(A) दिया गया है कि गतिज ऊर्जा $K \propto t$ है।
चूंकि $K = \frac{1}{2}mv^2$,हमारे पास $\frac{1}{2}mv^2 \propto t$ है,जिसका अर्थ है $v^2 \propto t$ या $v \propto t^{1/2}$।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ होता है।
चूंकि $v = kt^{1/2}$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है),$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $a = k \cdot \frac{1}{2} t^{-1/2} = \frac{k}{2\sqrt{t}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a \propto \frac{1}{\sqrt{t}}$।

(A) $1$. प्रक्षेप पथ के उच्चतम बिंदु पर,गोली का ऊर्ध्वाधर वेग $0$ होता है। क्षैतिज वेग $v_x = u \cos \theta = 50 \cos \theta$ है।
$2$. टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $m v_x = (m + 3m) V$,जहाँ $V$ टक्कर के तुरंत बाद संयुक्त द्रव्यमान का वेग है। अतः,$V = \frac{50 \cos \theta}{4} = 12.5 \cos \theta$ है।
$3$. टक्कर के बाद लोलक के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $\frac{1}{2} (4m) V^2 = (4m) g h$,जहाँ $h$ प्राप्त की गई ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है। ऊर्ध्वाधर के साथ $120^{\circ}$ के कोण के लिए,$h = L(1 - \cos 120^{\circ}) = L(1 - (-0.5)) = 1.5 L$ है।
$4$. $L = \frac{10}{3} \text{ m}$ रखने पर,$h = 1.5 \times \frac{10}{3} = 5 \text{ m}$ प्राप्त होता है।
$5$. $\frac{1}{2} V^2 = g h$ का उपयोग करने पर,$V^2 = 2 \times 10 \times 5 = 100$,इसलिए $V = 10 \text{ ms}^{-1}$ है।
$6$. $12.5 \cos \theta = 10$ को बराबर करने पर,$\cos \theta = \frac{10}{12.5} = 0.8$ प्राप्त होता है। अतः,$\theta = \cos^{-1}(0.8)$।

(A) चरण $1$: कार का अंतिम वेग $m/s$ में ज्ञात करें। $v = 43.2 \ km/h = 43.2 \times (5/18) \ m/s = 12 \ m/s$.
चरण $2$: कार की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन की गणना करें। $\Delta K = (1/2)mv^2 = 0.5 \times 1000 \ kg \times (12 \ m/s)^2 = 500 \times 144 = 72,000 \ J$.
चरण $3$: $20 \%$ दक्षता को ध्यान में रखते हुए पेट्रोल से आवश्यक कुल ऊर्जा की गणना करें। $\text{आवश्यक ऊर्जा} = \Delta K / \text{दक्षता} = 72,000 \ J / 0.20 = 360,000 \ J$.
चरण $4$: उपयोग किए गए पेट्रोल के आयतन की गणना करें। दिया गया है कि $1 \ litre = 1000 \ cm^3$ (या $cc$),$6 \times 10^7 \ J$ ऊर्जा प्रदान करता है। अतः,$1 \ cc$ ऊर्जा $(6 \times 10^7 \ J) / 1000 = 6 \times 10^4 \ J$ प्रदान करता है।
चरण $5$: पेट्रोल का आयतन = $(\text{आवश्यक ऊर्जा}) / (\text{प्रति } cc \text{ ऊर्जा}) = 360,000 \ J / (6 \times 10^4 \ J/cc) = 6 \ cc$.

(A) $\text{किसी पिंड पर कार्य करने वाले सभी बलों द्वारा वितरित शक्ति उसकी गतिज ऊर्जा के परिवर्तन की दर के बराबर होती है,जो शुद्ध बल और वेग का डॉट गुणनफल } P = \vec{F}_{net} \cdot \vec{v} \text{ है।}
\text{चूंकि तनाव बल हमेशा लोलक के वेग के लंबवत होता है,इसलिए यह कोई कार्य नहीं करता है और शून्य शक्ति प्रदान करता है।}
\text{केवल गुरुत्वाकर्षण बल ही कार्य करता है। वेग की दिशा में गुरुत्वाकर्षण का घटक } mg \sin \theta \text{ है।}
\text{अतः,} P = (mg \sin \theta) v.
\text{ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए,} \theta_0 = 60^{\circ} \text{ से छोड़े जाने पर } \theta \text{ कोण पर वेग } v = \sqrt{2gl(\cos \theta - \cos \theta_0)} \text{ होता है।}
\text{यहाँ } l = 1 \,m, m = 10^{-3} \,kg, g = 10 \,ms^{-2}, \theta = 30^{\circ}, \text{और } \theta_0 = 60^{\circ} \text{ है।}
v = \sqrt{2 \times 10 \times 1 \times (\cos 30^{\circ} - \cos 60^{\circ})} = \sqrt{20 \times (0.866 - 0.5)} = \sqrt{7.32} \approx 2.705 \,ms^{-1}.
\text{अब,} P = mg \sin 30^{\circ} \times v = 10^{-3} \times 10 \times 0.5 \times 2.705 = 0.013525 \,W = 13.525 \,mW.
\text{अतः,सही उत्तर } 13.5 \,mW \text{ है।}$

(C) $\text{शक्ति } P \text{ जो बल } \vec{F} \text{ और वेग } \vec{v} \text{ के अदिश गुणनफल द्वारा दी जाती है, वह } P = \vec{F} \cdot \vec{v} = Fv \cos \theta \text{ है, जहाँ } \theta \text{ बल और वेग के बीच का कोण है।}
\text{यहाँ, गुरुत्वाकर्षण बल } \vec{F} = m\vec{g} \text{ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।}
\text{वेग सदिश } \vec{v} \text{ ऊर्ध्वाधर के साथ } 60^{\circ} \text{ का कोण बनाता है।}
\text{अतः, बल और वेग के बीच का कोण } \theta = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \text{ होगा।}
\text{दिया गया है: } m = 50 \,kg, v = 2 \,ms^{-1}, g = 9.8 \,ms^{-2}.
P = mgv \cos(120^{\circ})
P = 50 \times 9.8 \times 2 \times (-0.5)
P = 980 \times (-0.5) = -490 \,W.
\text{गुरुत्वाकर्षण द्वारा उत्पन्न शक्ति का परिमाण } 490 \,W \text{ है।}$

(A) $\mu_1$ अपवर्तनांक और $R$ वक्रता त्रिज्या वाले समतल-उत्तल लेंस के लिए,लेंस मेकर सूत्र के अनुसार फोकस दूरी $f_1$ है: $1/f_1 = (\mu_1 - 1)(1/R - 1/\infty) = (\mu_1 - 1)/R$.
$\mu_2$ अपवर्तनांक और $R$ वक्रता त्रिज्या वाले समतल-अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_2$ है: $1/f_2 = (\mu_2 - 1)(-1/\infty - 1/R) = -(\mu_2 - 1)/R$.
जब दोनों लेंसों को जोड़ा जाता है,तो प्रभावी फोकस दूरी $F$ का सूत्र $1/F = 1/f_1 + 1/f_2$ है।
मान रखने पर: $1/F = (\mu_1 - 1)/R - (\mu_2 - 1)/R = (\mu_1 - 1 - \mu_2 + 1)/R = (\mu_1 - \mu_2)/R$.
अतः,संयोजन की फोकस दूरी $F = R/(\mu_1 - \mu_2)$ होगी।

(A) ऑब्जेक्टिव लेंस के लिए,वस्तु की दूरी $u_o = -300 \ cm$ और फोकस दूरी $f_o = 100 \ cm$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o} = \frac{1}{f_o}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1}{v_o} - \frac{1}{-300} = \frac{1}{100}$ प्राप्त होता है।
इससे $\frac{1}{v_o} = \frac{1}{100} - \frac{1}{300} = \frac{2}{300}$ प्राप्त होता है,इसलिए $v_o = 150 \ cm$ है।
ऑब्जेक्टिव का आवर्धन $m_o = \frac{v_o}{u_o} = \frac{150}{-300} = -0.5$ है।
आईपीस के लिए,प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी पर बनता है,इसलिए $v_e = -25 \ cm$ है। $f_e = 5 \ cm$ के साथ,आईपीस का आवर्धन $m_e = 1 + \frac{D}{f_e} = 1 + \frac{25}{5} = 6$ है।
कुल आवर्धन $M = m_o \times m_e = -0.5 \times 6 = -3$ है।

(B) लोड प्रतिरोध $R_L$ इस प्रकार है: $R_L = \frac{V_L}{I_L} = \frac{110 \, V}{250 \times 10^{-3} \, A} = 440 \, \Omega$.
यह दिया गया है कि अधिकतम धारा $I$ लोड और ज़ेनर डायोड के बीच समान रूप से साझा की जाती है, इसलिए $I_Z = I_L = 250 \, mA$.
अतः, कुल अधिकतम धारा $I = I_L + I_Z = 250 \, mA + 250 \, mA = 500 \, mA = 0.5 \, A$ है।
श्रेणी प्रतिरोध $R_S$ की गणना अधिकतम इनपुट वोल्टेज $V_{in,max} = 180 \, V$ पर की जाती है: $R_S = \frac{V_{in,max} - V_L}{I} = \frac{180 \, V - 110 \, V}{0.5 \, A} = \frac{70 \, V}{0.5 \, A} = 140 \, \Omega$.
इस प्रकार, $R_L = 440 \, \Omega$ और $R_S = 140 \, \Omega$ है।

(C) दिया गया है: स्रोत वोल्टेज $V_s = 12 \ V$,श्रेणी प्रतिरोध $R_s = 100 \ \Omega$,ज़ेनर वोल्टेज $V_z = 8 \ V$,लोड प्रतिरोध $R_L = 800 \ \Omega$.
श्रेणी प्रतिरोध $R_s$ से प्रवाहित धारा:
$I_s = \frac{V_s - V_z}{R_s} = \frac{12 \ V - 8 \ V}{100 \ \Omega} = \frac{4 \ V}{100 \ \Omega} = 0.04 \ A = 40 \ mA$.
लोड प्रतिरोध $R_L$ से प्रवाहित धारा:
$I_L = \frac{V_z}{R_L} = \frac{8 \ V}{800 \ \Omega} = 0.01 \ A = 10 \ mA$.
ज़ेनर डायोड से प्रवाहित धारा $I_z$:
$I_z = I_s - I_L = 40 \ mA - 10 \ mA = 30 \ mA = 0.03 \ A$.
ज़ेनर डायोड में व्ययित शक्ति:
$P_z = V_z \times I_z = 8 \ V \times 0.03 \ A = 0.24 \ W$.

(A) कॉमन एमिटर $(CE)$ एम्पलीफायर कॉन्फ़िगरेशन में,आउटपुट सिग्नल इनपुट सिग्नल के सापेक्ष उल्टा (inverted) होता है,जिसका अर्थ है कि उनके बीच $\pi$ रेडियन $(180^{\circ})$ का कलांतर होता है।
ऑसिलेटर के लिए दोलनों को बनाए रखने के लिए,बार्कहौसेन मानदंड के अनुसार लूप के चारों ओर कुल कलांतर $0$ या $2n\pi$ होना चाहिए।
चूंकि $CE$ एम्पलीफायर $\pi$ का कलांतर प्रदान करता है,इसलिए दोलन की स्थिति को पूरा करने के लिए फीडबैक नेटवर्क को अतिरिक्त $\pi$ का कलांतर प्रदान करना होगा।
अतः,$CE$-ट्रांजिस्टर चरण के इनपुट और आउटपुट सिग्नल के बीच का कलांतर $\pi$ है।

(C) मान लीजिए कि $OR$ गेट का आउटपुट $P = A + B$ है। दिया गया है कि $A = 1$ और $B = 1$,इसलिए $P = 1 + 1 = 1$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि $NAND$ गेट का आउटपुट $Q = \overline{A \cdot B}$ है। दिया गया है कि $A = 1$ और $B = 1$,इसलिए $Q = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ प्राप्त होता है।
अब,$Y_1$ एक $AND$ गेट का आउटपुट है जिसके इनपुट $P$ और $Q$ हैं। अतः,$Y_1 = P \cdot Q = 1 \cdot 0 = 0$ है।
$Y_2$ एक $OR$ गेट का आउटपुट है जिसके इनपुट $P$ और $Q$ हैं। अतः,$Y_2 = P + Q = 1 + 0 = 1$ है।
इसलिए,$Y_1 = 0$ और $Y_2 = 1$ प्राप्त होता है। सही विकल्प $(C)$ है।

(B) यह सर्किट दो शाखाओं से बना है जो एक $NOR$ गेट में जाती हैं। प्रत्येक शाखा में एक $NAND$ गेट है और उसके बाद एक $NOT$ गेट है (जो मिलकर एक $AND$ गेट बनाते हैं)।
मान लीजिए कि ऊपरी शाखा का आउटपुट $Y_1$ है। ऊपरी शाखा में $A$ और $B$ इनपुट एक $NAND$ गेट में जाते हैं,जिसके बाद एक $NOT$ गेट लगा है। यह एक $AND$ गेट के बराबर है। इसलिए,$Y_1 = A \cdot B = 1 \cdot 0 = 0$।
इसी प्रकार,निचली शाखा में $A$ और $B$ इनपुट एक $NAND$ गेट में जाते हैं,जिसके बाद एक $NOT$ गेट लगा है। यह भी एक $AND$ गेट के बराबर है। इसलिए,निचली शाखा का आउटपुट $A \cdot B = 1 \cdot 0 = 0$ है।
अब,$Y_1$ ऊपरी शाखा का आउटपुट है,इसलिए $Y_1 = 0$।
अंतिम गेट एक $NOR$ गेट है जिसके दोनों इनपुट $0$ हैं।
$NOR$ गेट का आउटपुट $Y_2 = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$Y_1 = 0$ और $Y_2 = 1$।

(C) मान लीजिए कि पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $C = \overline{A \cdot B}$ है।
ऊपरी $NAND$ गेट को $A$ और $C$ इनपुट मिलते हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y_1 = \overline{A \cdot C} = \overline{A \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{A} + (A \cdot B) = \overline{A} + B$ है।
निचले $NAND$ गेट को $B$ और $C$ इनपुट मिलते हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y_2 = \overline{B \cdot C} = \overline{B \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{B} + (A \cdot B) = \overline{B} + A$ है।
अंतिम आउटपुट $Y$,$Y_1$ और $Y_2$ का $AND$ है,इसलिए $Y = Y_1 \cdot Y_2 = (\overline{A} + B) \cdot (\overline{B} + A)$।
प्रत्येक स्थिति के लिए मूल्यांकन करने पर:
- यदि $A=0, B=1$ है: $Y = (1+1) \cdot (0+0) = 1 \cdot 0 = 0$।
- यदि $A=1, B=0$ है: $Y = (0+0) \cdot (1+1) = 0 \cdot 1 = 0$।
- यदि $A=0, B=0$ है: $Y = (1+0) \cdot (1+0) = 1 \cdot 1 = 1$।
- यदि $A=1, B=1$ है: $Y = (0+1) \cdot (0+1) = 1 \cdot 1 = 1$।
अतः,$c$ $(A=0, B=0)$ और $d$ $(A=1, B=1)$ संयोजनों के लिए $Y=1$ प्राप्त होता है।

(B) यह सर्किट एक $NAND$ गेट, एक $NOR$ गेट और आउटपुट स्टेज पर एक $NOR$ गेट से बना है।
$1$. $NAND$ गेट के इनपुट $1$ और $0$ हैं। $NAND$ गेट का आउटपुट $Y_1 = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$ होता है।
$2$. $NOR$ गेट के इनपुट $1$ और $0$ हैं। $NOR$ गेट का आउटपुट $Y_2 = \overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$ होता है।
$3$. अंतिम $NOR$ गेट के इनपुट $Y_1 = 1$ और $Y_2 = 0$ हैं। अतः इसका आउटपुट $Y_3 = \overline{Y_1 + Y_2} = \overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$ होता है।
इस प्रकार, मान $Y_1 = 1, Y_2 = 0, Y_3 = 0$ हैं।

(A) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
माना प्रारंभिक कोणीय चौड़ाई $\theta_1 = \frac{2\lambda}{a}$ है और अंतिम कोणीय चौड़ाई $\theta_2 = \frac{2(7000 Å)}{a}$ है।
प्रश्न के अनुसार,कोणीय चौड़ाई आधी हो जाती है,इसलिए $\theta_2 = \frac{1}{2} \theta_1$.
मान रखने पर,$\frac{2(7000 Å)}{a} = \frac{1}{2} \left( \frac{2\lambda}{a} \right)$.
इसे सरल करने पर,$7000 Å = \frac{\lambda}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = 2 \times 7000 Å = 14000 Å$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,यदि तरंगदैर्ध्य $7000 Å$ से $3500 Å$ की जाती है,तो चौड़ाई आधी हो जाएगी,इसलिए सही विकल्प $3500 Å$ है।

(C) मान लीजिए $I_0 = 32 \ W m^{-2}$ अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता है।
पहले पोलेरॉइड से गुजरने के बाद,तीव्रता $I_1 = I_0 / 2 = 32 / 2 = 16 \ W m^{-2}$ हो जाती है।
मान लीजिए पहले और दूसरे पोलेरॉइड की अक्षों के बीच का कोण $\theta$ है। दूसरे पोलेरॉइड के बाद तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2 \theta = 16 \cos^2 \theta$ है।
दूसरे और तीसरे पोलेरॉइड के बीच का कोण $(90^{\circ} - \theta)$ है क्योंकि पहली और तीसरी शीट एक-दूसरे के लंबवत हैं।
तीसरे पोलेरॉइड के बाद तीव्रता $I_3 = I_2 \cos^2(90^{\circ} - \theta) = I_2 \sin^2 \theta$ है।
$I_2$ का मान रखने पर,हमें $I_3 = 16 \cos^2 \theta \sin^2 \theta = 16 (\sin \theta \cos \theta)^2 = 16 (\sin(2\theta) / 2)^2 = 4 \sin^2(2\theta)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $I_3 = 3 \ W m^{-2}$,इसलिए $4 \sin^2(2\theta) = 3$,जिसका अर्थ है $\sin^2(2\theta) = 3/4$।
अतः,$\sin(2\theta) = \sqrt{3}/2$,जिसका अर्थ है $2\theta = 60^{\circ}$ या $120^{\circ}$।
इसलिए,$\theta = 30^{\circ}$ या $60^{\circ}$।

(D) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है, जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है, $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है, और $n = 1, 2, 3, ...$ है।
छोटे कोणों के लिए, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y_n}{D}$, जहाँ $y_n$ $n^{th}$ निम्निष्ठ की स्थिति है और $D$ पर्दे की दूरी है।
अतः, $y_n = \frac{n \lambda D}{a}$।
पहले $(n=1)$ और तीसरे $(n=3)$ निम्निष्ठ के बीच की दूरी $\Delta y = y_3 - y_1 = \frac{3 \lambda D}{a} - \frac{1 \lambda D}{a} = \frac{2 \lambda D}{a}$ है।
दिया गया है: $\Delta y = 3 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$, $D = 0.5 \,m$, और $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-10} \,m = 6 \times 10^{-7} \,m$।
मान रखने पर: $3 \times 10^{-3} = \frac{2 \times (6 \times 10^{-7}) \times 0.5}{a}$।
$a = \frac{2 \times 6 \times 10^{-7} \times 0.5}{3 \times 10^{-3}} = \frac{6 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-3}} = 2 \times 10^{-4} \,m$।
$mm$ में बदलने पर: $a = 0.2 \,mm$।

(B) व्यतिकरण पैटर्न में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_0 \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
दिया गया है $I = \frac{I_0}{4}$,तो $\frac{I_0}{4} = I_0 \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)$,जिसका अर्थ है $\cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{4}$।
वर्गमूल लेने पर,$\cos\left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{3}$,जिससे $\phi = \frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
पथ अंतर $\Delta x$ कलांतर से $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \phi = \frac{\lambda}{2\pi} \left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\lambda}{3}$ द्वारा संबंधित है।
व्यवस्था की ज्यामिति से,पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta$ है। दिया गया है $d = 2\lambda$,तो $\frac{\lambda}{3} = 2\lambda \sin \theta$।
$\sin \theta$ के लिए हल करने पर,हमें $\sin \theta = \frac{\lambda/3}{2\lambda} = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$।

(A) दिया गया है: स्लिट पृथक्करण $d = 0.5 \,mm = 0.5 \times 10^{-3} \,m$, तरंगदैर्ध्य $\lambda = 500 \,nm = 500 \times 10^{-9} \,m$, पर्दे की दूरी $D = 120 \,cm = 1.2 \,m$, और पर्दे पर स्थिति $y = 3 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$।
पथांतर $\Delta x$ का सूत्र $\Delta x = \frac{yd}{D}$ है।
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{(3 \times 10^{-3} \,m) \times (0.5 \times 10^{-3} \,m)}{1.2 \,m} = \frac{1.5 \times 10^{-6}}{1.2} \,m = 1.25 \times 10^{-6} \,m$।
कलांतर $\Delta \phi$ और पथांतर के बीच संबंध $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ है।
मान रखने पर: $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{500 \times 10^{-9} \,m} \times (1.25 \times 10^{-6} \,m) = \frac{2.5 \pi \times 10^{-6}}{500 \times 10^{-9}} = \frac{2.5 \pi}{0.5} = 5 \pi$ रेडियन।

(D) द्वि-स्लिट प्रयोग में तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\phi$ कलांतर है。
हमें दिया गया है कि $I = 0.5 I_{max}$, इसलिए $0.5 I_{max} = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$.
इसका अर्थ है कि $\cos^2(\frac{\phi}{2}) = 0.5$, या $\cos(\frac{\phi}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः, $\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{4}$, जिससे $\phi = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है。
कलांतर $\phi$ का पथ अंतर $\Delta x$ के साथ संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है。
$\phi = \frac{\pi}{2}$ रखने पर, हमें $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$.
केंद्रीय उच्चिष्ठ से $y$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए पथ अंतर $\Delta x = \frac{yd}{D}$ है。
दोनों की तुलना करने पर, $\frac{yd}{D} = \frac{\lambda}{4}$, इसलिए $y = \frac{\lambda D}{4d}$.
दिया गया है कि $\lambda = 6600 \, Å = 6.6 \times 10^{-7} \, m$, $D = 4 \, m$, और $d = 0.6 \, mm = 6 \times 10^{-4} \, m$.
$y = \frac{(6.6 \times 10^{-7} \, m) \times (4 \, m)}{4 \times (6 \times 10^{-4} \, m)} = \frac{6.6 \times 10^{-7}}{6 \times 10^{-4}} \, m = 1.1 \times 10^{-3} \, m = 1.1 \, mm$.

(C) $I_1$ और $I_2$ धारा प्रवाहित करने वाले दो लंबे समानांतर तारों के बीच $x$ दूरी होने पर प्रति इकाई लंबाई बल का सूत्र है: $\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi x}$.
तारों के बीच की दूरी को $dx$ सूक्ष्म मात्रा से बदलने के लिए प्रति इकाई लंबाई किया गया कार्य $dW$ बल और विस्थापन का गुणनफल है: $dW = \frac{F}{\ell} dx$.
बल का मान रखने पर: $dW = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi x} dx$.
कुल कार्य $W$ ज्ञात करने के लिए समाकलन करने पर: $W = \int \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi x} dx$.
चूंकि $\mu_0$,$I_1$,$I_2$ और $2\pi$ स्थिरांक हैं: $W = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} \int \frac{1}{x} dx$.
$\frac{1}{x}$ का समाकलन $\log_e x$ होता है,इसलिए $W = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} \log_e x$.
अतः,प्रति इकाई लंबाई किया गया कार्य $\log_e x$ के समानुपाती है।