श्रेणी frac{1}{2 cdot 5} + frac{1}{5 cdot 8} | vedclass

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Question

(C) माना योगफल $S_n = \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \ldots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ है। सामान्य पद $T_k = \frac{

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$\frac{n}{2(3n+2)}$

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(C) माना योगफल $S_n = \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \ldots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ है। सामान्य पद $T_k = \frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$ है। हम $T_k = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$ लिख सकते हैं। अतः,$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$. यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right) \right]$. सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे,जिससे प्राप्त होता है: $S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+2-2}{2(3n+2)} \right) = \frac{n}{2(3n+2)}$.

श्रेणी $\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \ldots$ के प्रथम $n$ पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।

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किसी भी $n \in N$ के लिए,$\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \ldots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = $

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$\sum_{n=1}^{10} \left( \frac{528}{n(n+1)(n+2)} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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