यदि दिए गए आयतन V का एक बेलनाकार बर्तन,जिसके | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि बेलनाकार बर्तन का आयतन $V$ है और इसके ऊपर ढक्कन नहीं है।मान लीजिए $r$ त्रिज्या है और $h$ बेलन की ऊँचाई है।बेलन का आयतन $V = \pi r^2

Vedclass · Accepted Answer

$r=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}, h=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि बेलनाकार बर्तन का आयतन $V$ है और इसके ऊपर ढक्कन नहीं है।मान लीजिए $r$ त्रिज्या है और $h$ बेलन की ऊँचाई है।बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $h = \frac{V}{\pi r^2}$।प्रयुक्त धातु की चादर का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ (आधार सहित लेकिन ढक्कन के बिना) इस प्रकार है:$S = 2\pi rh + \pi r^2$$S$ के समीकरण में $h = \frac{V}{\pi r^2}$ रखने पर:$S(r) = 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2}\right) + \pi r^2 = \frac{2V}{r} + \pi r^2$न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $S(r)$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:$S'(r) = -\frac{2V}{r^2} + 2\pi r = 0$$2\pi r = \frac{2V}{r^2} \Rightarrow r^3 = \frac{V}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$अब,$h$ के समीकरण में $r$ का मान रखने पर:$h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{V}{\pi (V/\pi)^{2/3}} = \frac{V}{\pi} \cdot \left(\frac{\pi}{V}\right)^{2/3} = \left(\frac{V}{\pi}\right)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$अतः,न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए त्रिज्या और ऊँचाई $r = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$ और $h = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$ है।

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