int frac{1-x^7}{x(1+x^7)} dx = a ln |x| + b l | vedclass

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Question

(C) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{1-x^7}{x(1+x^7)} dx$ है। अंश और हर को $x^6$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{x^6(1-x^7)}{x^7(1+x^7)} dx$. माना $u

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$(1, -2/7)$

Vedclass · Answer

(C) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{1-x^7}{x(1+x^7)} dx$ है। अंश और हर को $x^6$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{x^6(1-x^7)}{x^7(1+x^7)} dx$. माना $u = x^7$,तब $du = 7x^6 dx$,जिसका अर्थ है $x^6 dx = \frac{du}{7}$. समाकलन में मान रखने पर: $I = \int \frac{1-u}{u(1+u)} \cdot \frac{du}{7} = \frac{1}{7} \int \frac{1-u}{u(1+u)} du$. आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1-u}{u(1+u)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1+u}$. $1-u = A(1+u) + Bu$. $u=0$ के लिए,$A=1$. $u=-1$ के लिए,$1-(-1) = B(-1) \Rightarrow B = -2$. अतः,$I = \frac{1}{7} \int (\frac{1}{u} - \frac{2}{1+u}) du = \frac{1}{7} (\ln |u| - 2 \ln |1+u|) + C$. $u = x^7$ वापस रखने पर: $I = \frac{1}{7} \ln |x^7| - \frac{2}{7} \ln |x^7+1| + C = \frac{7}{7} \ln |x| - \frac{2}{7} \ln |x^7+1| + C = 1 \ln |x| - \frac{2}{7} \ln |x^7+1| + C$. इसकी तुलना $a \ln |x| + b \ln |x^7+1| + c$ से करने पर,हमें $a = 1$ और $b = -2/7$ प्राप्त होता है।

$\int \frac{1-x^7}{x(1+x^7)} dx = a \ln |x| + b \ln |x^7+1| + c \Rightarrow (a, b) = $

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