I = int_0^{pi /2} frac{(sin x + cos x)^2}{sqr | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $I = \int_0^{\pi /2} \frac{(\sin x + \cos x)^2}{\sqrt{1 + \sin 2x}} dx$। हम जानते हैं कि $1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x

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(C) दिया गया है $I = \int_0^{\pi /2} \frac{(\sin x + \cos x)^2}{\sqrt{1 + \sin 2x}} dx$। हम जानते हैं कि $1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$। इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_0^{\pi /2} \frac{(\sin x + \cos x)^2}{\sqrt{(\sin x + \cos x)^2}} dx$। चूंकि $x \in [0, \pi/2]$ के लिए $\sin x + \cos x > 0$ है,इसलिए $\sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = \sin x + \cos x$। अतः,$I = \int_0^{\pi /2} (\sin x + \cos x) dx$। समाकलन का मान निकालने पर: $I = [-\cos x + \sin x]_0^{\pi /2}$। $I = (-\cos(\pi/2) + \sin(\pi/2)) - (-\cos(0) + \sin(0))$। $I = (0 + 1) - (-1 + 0) = 1 + 1 = 2$।

$I = \int_0^{\pi /2} \frac{(\sin x + \cos x)^2}{\sqrt{1 + \sin 2x}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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