यदि int_0^pi {xf(sin x)dx = A} int_0^{pi /2} | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^\pi {xf(\sin x)dx}$.गुणधर्म $\int_0^a f(x)dx = \int_0^a f(a-x)dx$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:$I = \int_0^\pi {(\pi -

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$\pi $

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(B) माना $I = \int_0^\pi {xf(\sin x)dx}$.गुणधर्म $\int_0^a f(x)dx = \int_0^a f(a-x)dx$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:$I = \int_0^\pi {(\pi - x)f(\sin(\pi - x))dx} = \int_0^\pi {(\pi - x)f(\sin x)dx}$.$I$ के लिए इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:$2I = \int_0^\pi {xf(\sin x)dx} + \int_0^\pi {(\pi - x)f(\sin x)dx} = \int_0^\pi {\pi f(\sin x)dx} = \pi \int_0^\pi {f(\sin x)dx}$.गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx$ (यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो) का उपयोग करते हुए,$\int_0^\pi {f(\sin x)dx} = 2\int_0^{\pi /2} {f(\sin x)dx}$.अतः,$2I = \pi 	imes 2 \int_0^{\pi /2} {f(\sin x)dx} = 2\pi \int_0^{\pi /2} {f(\sin x)dx}$.इसलिए,$I = \pi \int_0^{\pi /2} {f(\sin x)dx}$.इसकी तुलना $A \int_0^{\pi /2} {f(\sin x)dx}$ से करने पर,हमें $A = \pi$ प्राप्त होता है।

यदि $\int_0^\pi {xf(\sin x)dx = A} \int_0^{\pi /2} {f(\sin x)dx} $ है,तो $A$ का मान क्या है?

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