યાદ કરોકે $\pi $ ને એક વર્તુળનો પરિઘ $(c)$ અને તેના વ્યાસ $(d)$ ના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. એટલે કે $\pi=\frac{c}{d}$. તે વિરોધાભાસ છે. કારણ કે $\pi$ એ અસંમેય સંખ્યા છે. આ વિરોધાભાસનો ઉકેલ કેવી રીતે લાવશો ?
યાદ કરોકે $\pi $ ને એક વર્તુળનો પરિઘ $(c)$ અને તેના વ્યાસ $(d)$ ના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. એટલે કે $\pi=\frac{c}{d}$. તે વિરોધાભાસ છે. કારણ કે $\pi$ એ અસંમેય સંખ્યા છે. આ વિરોધાભાસનો ઉકેલ કેવી રીતે લાવશો ?
(વર્તુળનો પરિઘ $c$) $/$ (વર્તુળનો વ્યાસ $d$) $=\frac{2 \pi r}{2 r}$
(વર્તુળનો વ્યાસ) $/$ (વર્તુળનો પરિઘ) $=\pi$
પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર અસંમેય છે.
$\therefore \frac{c}{d}$ એ અસંમેય છે તેથી $\pi$ પણ અસંમેય છે.
એમાં કોઈ શંકા નથી કે $\pi$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
અહીં વિરોધાભાસ નથી યાદ રાખો કે જયારે કોઈ પણ માપપટ્ટીથી કે અન્ય સાધનથી લંબાઈ માપો ત્યારે તમને ફક્ત એક સંમેય સંખ્યાનું સમાન મૂલ્ય મળશે. તેથી તમે એવું ન માનશો કે $c$ અથવા $d$ અસંમેય છે.
Similar Questions
$1$ અને $2$ વચ્ચેની પાંચ સંમેય સંખ્યાઓ શોધો.
$1$ અને $2$ વચ્ચેની પાંચ સંમેય સંખ્યાઓ શોધો.
સાદું રૂપ આપો :
$(i)$ $(3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2})$
$(ii)$ $(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})$
$(iii)$ $(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2}$
$(iv)$ $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$
સાદું રૂપ આપો :
$(i)$ $(3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2})$
$(ii)$ $(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})$
$(iii)$ $(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2}$
$(iv)$ $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$
વર્ગ-પ્રવૃત્તિ : વર્ગમૂળ કુંતલની (Spiral) રચના : એક મોટો કાગળ લો અને નીચે બતાવેલી પદ્ધતિથી 'વર્ગમૂળ કુંતલ'ની રચના કરો. સૌથી પહેલાં એક બિંદુ $O$ લો અને એકમ લંબાઈનો રેખાખંડ $OP_1$ દોરો. $OP_1$ ને લંબ હોય તેવો એકમ લંબાઈનો રેખાખંડ $P_1P_2$ દોરો. (આકૃતિ જુઓ.) હવે રેખાખંડ $OP_2$ પર એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ $P_2P_3$ દોરો. ત્યાર પછી રેખાખંડ $OP_3$ ૫૨ એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ $P_3P_4$ દોરો. આ જ રીતે આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખીને રેખાખંડ $OP_{n-1}$ પર એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ $P_{n-1}P_n$ મેળવી શકાય છે. આમ, આપણે $O , \,P _{1},\,P _{2},\,P _{3} $ ....... $P _{n}$. ...... બિંદુઓ મેળવી શકીશું અને તેમને જોડતાં $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},$ ....... ને દર્શાવતું સુંદર વર્ગમૂળ કુંતલ મળશે.
વર્ગ-પ્રવૃત્તિ : વર્ગમૂળ કુંતલની (Spiral) રચના : એક મોટો કાગળ લો અને નીચે બતાવેલી પદ્ધતિથી 'વર્ગમૂળ કુંતલ'ની રચના કરો. સૌથી પહેલાં એક બિંદુ $O$ લો અને એકમ લંબાઈનો રેખાખંડ $OP_1$ દોરો. $OP_1$ ને લંબ હોય તેવો એકમ લંબાઈનો રેખાખંડ $P_1P_2$ દોરો. (આકૃતિ જુઓ.) હવે રેખાખંડ $OP_2$ પર એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ $P_2P_3$ દોરો. ત્યાર પછી રેખાખંડ $OP_3$ ૫૨ એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ $P_3P_4$ દોરો. આ જ રીતે આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખીને રેખાખંડ $OP_{n-1}$ પર એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ $P_{n-1}P_n$ મેળવી શકાય છે. આમ, આપણે $O , \,P _{1},\,P _{2},\,P _{3} $ ....... $P _{n}$. ...... બિંદુઓ મેળવી શકીશું અને તેમને જોડતાં $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4},$ ....... ને દર્શાવતું સુંદર વર્ગમૂળ કુંતલ મળશે.
નીચેના વિધાનો સત્ય છે કે અસત્ય ? કારણ સહિત ઉત્તર આપો.
$(i)$ દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.
$(ii)$ દરેક પૂર્ણાક એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.
$(iii)$ દરેક સંમેય સંખ્યા એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.
નીચેના વિધાનો સત્ય છે કે અસત્ય ? કારણ સહિત ઉત્તર આપો.
$(i)$ દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.
$(ii)$ દરેક પૂર્ણાક એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.
$(iii)$ દરેક સંમેય સંખ્યા એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.
Visualise $4. \overline{26}$ . on the number line, up to $4$ decimal places.
Visualise $4. \overline{26}$ . on the number line, up to $4$ decimal places.