સાબિત કરો કે $0.2353535 \ldots=0.2 \overline{35}$ ને $p$ પૂર્ણાક હોય, $q$ શૂન્યેતર પૂર્ણાક હોય તેવા $p,\,q$ માટે $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.

શું શૂન્ય એ એક સંમેય સંખ્યા છે ? શું તમે તેને $p$ પૂર્ણાક તથા $q$ શૂન્યેતર પૂર્ણાક હોય તેવા $p$, $q$ માટે $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં લખી શકશો ?

સંમેય સંખ્યાઓ $\frac{5}{7}$ અને $\frac{9}{11}$ ની વચ્ચે આવેલી ત્રણ ભિન્ન અસંમેય સંખ્યાઓ શોધો.

સંખ્યારેખા પર $\sqrt 3$ દર્શાવો.

નીચેનાં વિધાનો સત્ય છે કે અસત્ય ? કારણ સહિત ઉત્તર આપો.

$(i)$ દરેક અસંમેય સંખ્યા એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

$(ii)$ સંખ્યારેખા પરનું દરેક બિંદુ કોઈક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $m$ માટે $\sqrt m$ સ્વરૂપનું હોય છે.

$(iii)$ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા એ અસંમેય સંખ્યા છે.

યાદ કરોકે $\pi $ ને એક વર્તુળનો પરિઘ $(c)$ અને તેના વ્યાસ $(d)$ ના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. એટલે કે $\pi=\frac{c}{d}$. તે વિરોધાભાસ છે. કારણ કે $\pi$ એ અસંમેય સંખ્યા છે. આ વિરોધાભાસનો ઉકેલ કેવી રીતે લાવશો ?