$p$ પૂર્ણાક હોય, $q$ શૂન્યેતર પૂર્ણાક હોય તેવા $\frac {p}{q}$ સ્વરૂપમાં નીચેની સંખ્યાને દર્શાવો.

$(i)$ $0 . \overline{6}$

$(ii)$ $0 . 4\overline{7}$

$(iii)$ $0 . \overline{001}$

$(i)$ ધારો કે $x=0 . \overline{6}$

$\therefore x=0.6666$  ..........  $(1)$

અહીં દશાંશ ચિહ્ન પછી એક અંક $(6)$ નું પુનરાવર્તન થાય છે. આથી સમીકરણ $(1)$ ની બંને બાજુ $10$ વડે ગુણો.

$\therefore 10 x=10 \times 0.6666$....... 

$\therefore 10 x=6.6666$ .......  $(2)$

સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરો. 

$\therefore 10 x-x=6.6666 \ldots-0.6666$..........

$\therefore 9 x=6.0000$..........

$\therefore x=\frac{6}{9} \quad \therefore x=\frac{2}{3}$

$(ii)$ ધારો કે $x=0.4 \overline{7}$

$\therefore 10  \times x=10 \times 0.4 \overline{7}$  (બંને બાજુ $10$ વડે ગુણો)

$\therefore 10 x=4.777 \times 10$   ......... $(1)$

અહીં દશાંશ ચિહ્ન પછી એક અંક $(7)$ નું પુનરાવર્તન થાય છે.

આથી સમીકરણ $(1)$ ની બંને બાજુ $10$ વડે ગુણો.

$\therefore 10 x \times 10=4.777 \times 10$

$\therefore 100 x=47.777$   ......... $(2)$

સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરો. 

$100 x-10 x=47.777 \ldots-4.777 \ldots$

$\therefore 90 x=43.000 \ldots$

$\therefore x=\frac{43}{90}$

$\therefore 0.4 \overline{7}=\frac{43}{90}$

$(iii)$ અહીં દશાંશ ચિહ્ન પછી ત્રણ અંક $0,\, 0 $ અને $1$ નું પુનરાવર્તન થાય છે.

ધારો કે $x=0.001001001$   ......... $(1)$

આથી $x$ ને $1000$ વડે બંને બાજુ ગુણવા પડે.

$\therefore 1000 x=1000 \times 0.001001001$

$\therefore 1000 x=1.001001$    ......... $(2)$

સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરો. 

$\therefore 1000 x-x=1.001001 \ldots-0.001001 \ldots$

$\therefore 999 x=1$

$\therefore x=\frac{1}{999}$