નીચેના વિધાનો સત્ય છે કે અસત્ય ? કારણ સહિત ઉત્તર આપો.

$(i)$ દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.

$(ii)$ દરેક પૂર્ણાક એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.

$(iii)$ દરેક સંમેય સંખ્યા એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.

નીચેની સંખ્યાઓનું સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાઓમાં વર્ગીકરણ કરો. 

$(i)$ $\sqrt{23}$

$(ii)$ $\sqrt{225}$

$(iii)$ $0.3796$

$(iv)$ $7.478478 \ldots$

$(v)$ $1.101001000100001 \ldots$

$\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$  ના છેદનું સંમેયીકરણ કરો.

સાબિત કરો કે $0.3333... =$ $0 . \overline{3}$ ને $p$ પૂર્ણાક હોય અને $q$ શૂન્યેતર પૂર્ણાક હોય તેવા $p,\, q$ માટે $\frac {p }{q }$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.

જેમાં $p$ અને $q$ ને $1$ સિવાયનો કોઈ સામાન્ય અવયવ ન હોય તથા જેની દશાંશ અભિવ્યક્તિ સાન્ત હોય તેવા $\frac{p}{q}$ $(q \neq 0)$ સ્વરૂપના સંમેય સંખ્યાનાં કેટલાંક ઉદાહરણ લો. (જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાક છે અને $q \neq 0$ છે.) શું તમે અનુમાન લગાવી શકો છો કે $q$ એ કયા ગુણધર્મનું પાલન કરવું જોઈએ ?

તમે જાણો છો કે $\frac{1}{7}=0 . \overline{142857}$ છે. શું તમે ખરેખર ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર $\frac{2 }{7},\, \frac{3}{7}$, $\frac{4}{7},\, \frac{5}{7}, \,\frac{6}{7}$ ની દશાંશ-અભિવ્યક્તિ શું મળશે તેનું અનુમાન કરી શકશો ? જો હા, તો કેવી રીતે ?