Mix Examples - Number Systems Questions in Gujarati

દશાંશ વિસ્તરણ આ મુજબ છે: $\sqrt{2} \approx 1.4142135 \ldots$ અને $\sqrt{3} \approx 1.7320508 \ldots$
$1$. સંમેય સંખ્યા: $1.5$ જેવી શાંત દશાંશ સંખ્યા $1.4142135 \ldots$ અને $1.7320508 \ldots$ ની વચ્ચે આવેલી છે. કારણ કે $1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
$2$. અસંમેય સંખ્યા: $1.575575557 \ldots$ જેવી અનંત અને અનાવૃત દશાંશ સંખ્યા $1.4142135 \ldots$ અને $1.7320508 \ldots$ ની વચ્ચે આવેલી છે. આમ,$1.575575557 \ldots$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) સંમેય સંખ્યા એટલે એવી સંખ્યા જેને $p/q$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે. અહીં $2.357 < 3 < 3.121$ હોવાથી,પૂર્ણાંક $3$ એ $2.357$ અને $3.121$ ની વચ્ચેની એક સંમેય સંખ્યા છે.
અસંમેય સંખ્યા એટલે એવી સંખ્યા કે જેનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને અનાવૃત હોય. $3.101101110\dots$ જેવી સંખ્યા $2.357 < 3.101101110\dots < 3.121$ ની શરતનું પાલન કરે છે,તેથી તે આપેલી સંખ્યાઓ વચ્ચેની એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) સંમેય સંખ્યા એટલે એવી સંખ્યા જેને $p/q$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે. શાંત દશાંશ સંખ્યા એ સંમેય સંખ્યા છે.
$1$. સંમેય સંખ્યા: આપણે $0.0005$ પસંદ કરી શકીએ છીએ. કારણ કે $0.0005 = 5/10000 = 1/2000$,તેથી તે $0.0001$ અને $0.001$ ની વચ્ચે આવેલી એક સંમેય સંખ્યા છે.
$2$. અસંમેય સંખ્યા: અસંમેય સંખ્યા એ અનંત અને અનાવૃત દશાંશ સંખ્યા છે. આપણે એક ચોક્કસ ભાત (pattern) અનુસરીને તેને બનાવી શકીએ છીએ: $0.0001010010001...$ આ સંખ્યા સ્પષ્ટપણે $0.0001$ કરતા મોટી અને $0.001$ કરતા નાની છે,અને તે શાંત કે પુનરાવર્તિત થતી નથી,તેથી તે એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) $0.484848$ અને $3.623623$ ની વચ્ચે એક સંમેય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે આ શ્રેણીમાં કોઈપણ શાંત દશાંશ અથવા પૂર્ણાંક પસંદ કરી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે,$1$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે કારણ કે તેને $\frac{1}{1}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$0.484848$ અને $3.623623$ ની વચ્ચે એક અસંમેય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણને અનંત અને અનાવૃત દશાંશની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે,$1.909009000\dots$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે તેનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત થતું નથી કે પુનરાવર્તિત થતું નથી.

(N/A) $6.3753$ (એક શાંત દશાંશ) એ $6.375289$ અને $6.375738$ ની વચ્ચેની એક સંમેય સંખ્યા છે.
$6.375414114111...$ (એક અનંત અનાવૃત દશાંશ) એ $6.375289$ અને $6.375738$ ની વચ્ચેની એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) આપેલ સંખ્યાઓને સંખ્યા રેખા પર દર્શાવવા માટે:
$1$. $7$: આ એક ધન પૂર્ણાંક છે. સંખ્યા રેખા પર $0$ ની જમણી બાજુએ $7$ ને શોધો.
$2$. $7.2$: આ $7 + 0.2$ છે. $7$ અને $8$ વચ્ચેના ભાગને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો. $7$ પછીનું બીજું નિશાન $7.2$ દર્શાવે છે.
$3$. $\frac{-3}{2} = -1.5$: આ એક ઋણ સંમેય સંખ્યા છે. તે $0$ ની ડાબી બાજુએ $-1$ અને $-2$ ની બરાબર વચ્ચે આવેલી છે.
$4$. $\frac{-12}{5} = -2.4$: આ એક ઋણ સંમેય સંખ્યા છે. $-2$ અને $-3$ વચ્ચેના ભાગને $5$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો. $-2$ ની ડાબી બાજુનું ચોથું નિશાન $-2.4$ દર્શાવે છે.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{5}$ નું નિરૂપણ:
અમે $5$ ને બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળા તરીકે લખીએ છીએ:
$5 = 1 + 4 = 1^{2} + 2^{2}$
સંખ્યા રેખા પર,$OA = 2$ એકમ લો.
$OA$ ને લંબ $BA = 1$ એકમ દોરો. $OB$ ને જોડો.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OB = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$.
પરિકરનો ઉપયોગ કરીને,$O$ ને કેન્દ્ર અને $OB$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $C$ પર છેદે છે. આમ,$C$ એ $\sqrt{5}$ ને અનુરૂપ છે.
સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{10}$ નું નિરૂપણ:
અમે $10$ ને બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળા તરીકે લખીએ છીએ:
$10 = 1 + 9 = 1^{2} + 3^{2}$
સંખ્યા રેખા પર,$OA = 3$ એકમ લો.
$OA$ ને લંબ $BA = 1$ એકમ દોરો. $OB$ ને જોડો.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OB = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}$.
પરિકરનો ઉપયોગ કરીને,$O$ ને કેન્દ્ર અને $OB$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $C$ પર છેદે છે. આમ,$C$ એ $\sqrt{10}$ ને અનુરૂપ છે.
સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{17}$ નું નિરૂપણ:
અમે $17$ ને બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળા તરીકે લખીએ છીએ:
$17 = 1 + 16 = 1^{2} + 4^{2}$
સંખ્યા રેખા પર,$OA = 4$ એકમ લો.
$OA$ ને લંબ $BA = 1$ એકમ દોરો. $OB$ ને જોડો.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OB = \sqrt{4^{2} + 1^{2}} = \sqrt{17}$.
પરિકરનો ઉપયોગ કરીને,$O$ ને કેન્દ્ર અને $OB$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $C$ પર છેદે છે. આમ,$C$ એ $\sqrt{17}$ ને અનુરૂપ છે.

(N/A) $1$. સંખ્યા રેખા પર $AB = 4.5$ એકમનો રેખાખંડ દોરો.
$2$. બિંદુ $B$ થી $1$ એકમનું અંતર માપો અને તે નવા બિંદુને $C$ નામ આપો. હવે,$AC = 4.5 + 1 = 5.5$ એકમ થશે.
$3$. $AC$ નું મધ્યબિંદુ શોધો અને તેને $O$ નામ આપો.
$4$. $O$ ને કેન્દ્ર અને $OC$ (અથવા $OA$) ને ત્રિજ્યા લઈને એક અર્ધવર્તુળ દોરો.
$5$. બિંદુ $B$ આગળ $AC$ ને લંબ રેખા દોરો,જે અર્ધવર્તુળને બિંદુ $D$ માં છેદે છે. $BD$ ની લંબાઈ $\sqrt{4.5}$ છે.
$6$. $B$ ને કેન્દ્ર અને $BD$ ને ત્રિજ્યા લઈને એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $E$ માં છેદે છે. બિંદુ $E$ એ સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{4.5}$ દર્શાવે છે.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{5.6}$ ને દર્શાવવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. સંખ્યા રેખા પર $AB = 5.6 \text{ એકમ}$ લંબાઈનો રેખાખંડ દોરો.
$2$. બિંદુ $B$ થી,એક બિંદુ $C$ એ રીતે અંકિત કરો કે જેથી $BC = 1 \text{ એકમ}$ થાય. હવે,$AC = 5.6 + 1 = 6.6 \text{ એકમ}$ થશે.
$3$. $AC$ નું મધ્યબિંદુ $O$ શોધો. લંબાઈ $AO = OC = 6.6 / 2 = 3.3 \text{ એકમ}$ થશે.
$4$. $O$ ને કેન્દ્ર અને $OA = 3.3 \text{ એકમ}$ ત્રિજ્યા લઈને એક અર્ધવર્તુળ દોરો.
$5$. બિંદુ $B$ આગળ રેખા $AC$ ને લંબ રેખા દોરો,જે અર્ધવર્તુળને બિંદુ $D$ માં છેદે છે.
$6$. $BD$ ની લંબાઈ $\sqrt{5.6}$ જેટલી છે.
$7$. $B$ ને કેન્દ્ર અને $BD$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને,સંખ્યા રેખા પર એક ચાપ દોરો જે તેને બિંદુ $E$ માં છેદે. અંતર $BE$ એ સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{5.6}$ દર્શાવે છે.

(N/A) $1$. સંખ્યા રેખા પર $AB = 8.1$ એકમનો રેખાખંડ દોરો.
$2$. બિંદુ $B$ થી $1$ એકમનું અંતર માપો અને તે નવા બિંદુને $C$ નામ આપો. હવે,$AC = 8.1 + 1 = 9.1$ એકમ થશે.
$3$. $AC$ નું મધ્યબિંદુ શોધો અને તેને $O$ નામ આપો.
$4$. $O$ ને કેન્દ્ર અને $OC$ (અથવા $OA$) ને ત્રિજ્યા લઈને એક અર્ધવર્તુળ દોરો.
$5$. બિંદુ $B$ આગળ $AC$ ને લંબ રેખા દોરો,જે અર્ધવર્તુળને બિંદુ $D$ માં છેદે છે. $BD$ ની લંબાઈ $\sqrt{8.1}$ છે.
$6$. $B$ ને કેન્દ્ર અને $BD$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $E$ માં છેદે છે. આમ,$BE$ નું અંતર સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{8.1}$ દર્શાવે છે.

(N/A) $1$. એક રેખા પર $AB = 2.3$ એકમનો રેખાખંડ દોરો.
$2$. $B$ થી $1$ એકમનું અંતર માપો અને તે બિંદુને $C$ નામ આપો. હવે,$AC = 2.3 + 1 = 3.3$ એકમ થશે.
$3$. $AC$ નું મધ્યબિંદુ શોધો અને તેને $O$ નામ આપો.
$4$. $O$ ને કેન્દ્ર અને $OC$ ને ત્રિજ્યા લઈને એક અર્ધવર્તુળ દોરો.
$5$. $B$ માંથી પસાર થતી અને $AC$ ને લંબ હોય તેવી રેખા દોરો જે અર્ધવર્તુળને બિંદુ $D$ માં છેદે. $BD$ ની લંબાઈ $\sqrt{2.3}$ જેટલી થશે.
$6$. $B$ ને કેન્દ્ર અને $BD$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $E$ પર છેદે છે. આમ,બિંદુ $E$ એ સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{2.3}$ દર્શાવે છે.

(B) દશાંશ સંખ્યા $0.2$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
$1$. દશાંશ ચિહ્ન પછી એક અંક હોવાથી,તેને $10$ ના છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે લખો: $0.2 = \frac{2}{10}$.
$2$. અંશ અને છેદને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.),જે $2$ છે,તેના વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ આપો: $\frac{2 \div 2}{10 \div 2} = \frac{1}{5}$.
$3$. આમ,$0.2 = \frac{1}{5}$,જ્યાં $p = 1$ અને $q = 5$ એ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે.

(C) ધારો કે $x = 0.888 \ldots = 0.\overline{8} \quad \dots(1)$
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$10x = 8.888 \ldots = 8.\overline{8} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$10x - x = 8.\overline{8} - 0.\overline{8}$
$9x = 8$
તેથી,$x = \frac{8}{9}$.

(D) ધારો કે $x = 5. \overline{2} = 5.2222 \ldots \quad \dots(1)$
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે
$10x = 52.2222 \ldots = 52. \overline{2} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$10x - x = 52.2222 \ldots - 5.2222 \ldots$
$9x = 47$
$x = \frac{47}{9}$
આમ,$5. \overline{2} = \frac{47}{9}$ થાય.

(A) ધારો કે $x = 0.\overline{001} = 0.001001...$ $(1)$
અહીં ત્રણ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુ $1000$ વડે ગુણતા:
$1000x = 1.001001...$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$1000x - x = 1.001001... - 0.001001...$
$999x = 1$
$x = \frac{1}{999}$
આમ,સંખ્યા $0.\overline{001}$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં $\frac{1}{999}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) ધારો કે $x = 0.2555 \ldots = 0.2\overline{5} \quad ....(1)$
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 2.555 \ldots = 2.\overline{5} \quad ....(2)$
બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 25.555 \ldots = 25.\overline{5} \quad ....(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$100x - 10x = 25.\overline{5} - 2.\overline{5}$
$90x = 23$
તેથી,$x = \frac{23}{90}$.

(C) ધારો કે $x = 0.1\overline{34} = 0.1343434... \quad ....(1)$
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 1.343434... \quad ....(2)$
હવે સમીકરણ $(2)$ ને $100$ વડે ગુણતા:
$1000x = 134.343434... \quad ....(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$1000x - 10x = 134.343434... - 1.343434...$
$990x = 133$
તેથી,$x = \frac{133}{990}$.

(D) ધારો કે $x = 0.00323232 \ldots = 0.00\overline{32} \quad \dots(1)$
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે સમીકરણ $(1)$ ને $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 0.323232 \ldots = 0.\overline{32} \quad \dots(2)$
પુનરાવર્તિત ભાગ પછી દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે સમીકરણ $(2)$ ને ફરીથી $100$ વડે ગુણતા:
$10000x = 32.323232 \ldots = 32.\overline{32} \quad \dots(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$10000x - 100x = 32.\overline{32} - 0.\overline{32}$
$9900x = 32$
$x = \frac{32}{9900}$
અંશ અને છેદ બંનેને $4$ વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ આપતા:
$x = \frac{32 \div 4}{9900 \div 4} = \frac{8}{2475}$

(A) ધારો કે $x = 0.404040 \ldots = 0.\overline{40} \quad \dots(1)$
અહીં બે અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 40.404040 \ldots = 40.\overline{40} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$100x - x = 40.\overline{40} - 0.\overline{40}$
$99x = 40$
$x = \frac{40}{99}$
આમ,$0.404040 \ldots$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં $\frac{40}{99}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

(N/A) ધારો કે $x = 0.142857142857 \ldots$ $(1)$
અહીં પુનરાવર્તિત થતા અંકોની સંખ્યા $6$ હોવાથી,બંને બાજુ $1,000,000$ વડે ગુણતા:
$1,000,000 x = 142857.142857142857 \ldots$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$1,000,000 x - x = 142857.142857 \ldots - 0.142857 \ldots$
$999,999 x = 142857$
$x$ ની કિંમત શોધતા:
$x = \frac{142857}{999999}$
અંશ અને છેદને $142857$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{1}{7}$
આમ,$0.142857142857 \ldots = \frac{1}{7}$ સાબિત થાય છે.

(C) પદાવલિ $\sqrt{45}-3 \sqrt{20}+4 \sqrt{5}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વર્ગમૂળની અંદરની સંખ્યાઓના અવયવ પાડીશું:
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3 \sqrt{5}$
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2 \sqrt{5}$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$3 \sqrt{5} - 3(2 \sqrt{5}) + 4 \sqrt{5}$
$= 3 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5}$
$= (3 - 6 + 4) \sqrt{5}$
$= 1 \sqrt{5} = \sqrt{5}$

(D) સૌ પ્રથમ,વર્ગમૂળનું સાદું રૂપ આપો:
$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2 \sqrt{6}$
$\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3 \sqrt{6}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{2 \sqrt{6}}{8} + \frac{3 \sqrt{6}}{9} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{3}$
છેદ સમાન કરતા,જે $12$ છે:
$\frac{3 \sqrt{6}}{12} + \frac{4 \sqrt{6}}{12} = \frac{3 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6}}{12} = \frac{7 \sqrt{6}}{12}$

(A) પદાવલિ $4 \sqrt{12} \times 7 \sqrt{6}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વર્ગમૂળની અંદરની સંખ્યાઓના અવયવો પાડીશું:
$4 \sqrt{12} = 4 \sqrt{4 \times 3} = 4 \times 2 \sqrt{3} = 8 \sqrt{3}$
$7 \sqrt{6} = 7 \sqrt{2 \times 3}$
હવે,આ બંને પદાવલિઓનો ગુણાકાર કરીએ:
$8 \sqrt{3} \times 7 \sqrt{2 \times 3} = (8 \times 7) \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) \times \sqrt{2}$
$= 56 \times 3 \times \sqrt{2}$
$= 168 \sqrt{2}$

(B) પદાવલિ $4 \sqrt{28} \div 3 \sqrt{7}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,સૌ પ્રથમ ભાગાકારને અપૂર્ણાંક તરીકે લખીએ:
$\frac{4 \sqrt{28}}{3 \sqrt{7}}$
હવે,$28$ નું વર્ગમૂળ મેળવવા માટે તેના અવયવ પાડીએ,$28 = 4 \times 7$:
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2 \sqrt{7}$
હવે,આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{4 \times (2 \sqrt{7})}{3 \sqrt{7}}$
અંશ અને છેદમાંથી સામાન્ય પદ $\sqrt{7}$ ને દૂર કરતા:
$\frac{4 \times 2}{3} = \frac{8}{3}$

(B) આપેલ પદાવલિ: $3 \sqrt{3}+2 \sqrt{27}+\frac{7}{\sqrt{3}}$
પ્રથમ,$\sqrt{27}$ નું સાદું રૂપ આપો:
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3 \sqrt{3}$
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$=3 \sqrt{3}+2(3 \sqrt{3})+\frac{7}{\sqrt{3}}$
$=3 \sqrt{3}+6 \sqrt{3}+\frac{7}{\sqrt{3}}$
ત્રીજા પદના છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{7 \sqrt{3}}{3}$
હવે પદોનો સરવાળો કરતા:
$=3 \sqrt{3}+6 \sqrt{3}+\frac{7 \sqrt{3}}{3}$
$=9 \sqrt{3}+\frac{7 \sqrt{3}}{3}$
$= \sqrt{3} \left(9+\frac{7}{3}\right)$
$= \sqrt{3} \left(\frac{27+7}{3}\right)$
$= \frac{34}{3} \sqrt{3}$

(D) પદાવલિ $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a-b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = \sqrt{3}$ અને $b = \sqrt{2}$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2} = (\sqrt{3})^{2} + (\sqrt{2})^{2} - 2(\sqrt{3})(\sqrt{2})$
કારણ કે $(\sqrt{x})^{2} = x$ અને $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ થાય છે:
$= 3 + 2 - 2\sqrt{3 \times 2}$
$= 5 - 2\sqrt{6}$

(A) પદાવલિ $\sqrt[4]{81}-8 \sqrt[3]{216}+15 \sqrt[5]{32}+\sqrt{225}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે દરેક પદની કિંમત શોધીશું:
$1$. $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^{4}} = 3$
$2$. $\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{6^{3}} = 6$,તેથી $8 \sqrt[3]{216} = 8 \times 6 = 48$
$3$. $\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^{5}} = 2$,તેથી $15 \sqrt[5]{32} = 15 \times 2 = 30$
$4$. $\sqrt{225} = \sqrt{15^{2}} = 15$
આ કિંમતોને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$3 - 48 + 30 + 15$
$= (3 + 30 + 15) - 48$
$= 48 - 48 = 0$

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{3}{\sqrt{8}} + \frac{1}{\sqrt{2}}$
પ્રથમ,$\sqrt{8}$ ને $\sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$ તરીકે સાદું રૂપ આપો.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $\frac{3}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આ અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરવા માટે,સામાન્ય છેદ $2\sqrt{2}$ મેળવો.
$\frac{3}{2\sqrt{2}} + \frac{1 \times 2}{\sqrt{2} \times 2} = \frac{3}{2\sqrt{2}} + \frac{2}{2\sqrt{2}}$.
$= \frac{3 + 2}{2\sqrt{2}} = \frac{5}{2\sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણો:
$= \frac{5 \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2 \times 2} = \frac{5\sqrt{2}}{4}$.

(C) પદાવલિ $\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ અપૂર્ણાંકો માટે સામાન્ય છેદ શોધીશું,જે $6$ છે.
$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{2 \sqrt{3} \times 2}{3 \times 2} - \frac{\sqrt{3}}{6}$
$= \frac{4 \sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{6}$
$= \frac{4 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{6}$
$= \frac{3 \sqrt{3}}{6}$
$= \frac{\sqrt{3}}{2}$

(D) $\frac{2}{3 \sqrt{3}}$ નો છેદ સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદ બંનેને $\sqrt{3}$ વડે ગુણીશું:
$\frac{2}{3 \sqrt{3}} = \frac{2}{3 \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$= \frac{2 \sqrt{3}}{3 \times 3}$
$= \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

(A) $\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{3}}$ નો છેદ સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદ બંનેને $\sqrt{3}$ વડે ગુણીશું.
$\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{40} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}$
કારણ કે $\sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}$,તેથી:
$= \frac{2\sqrt{10} \times \sqrt{3}}{3}$
$= \frac{2\sqrt{30}}{3}$

(B) $\frac{3+\sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદ બંનેને $\sqrt{2}$ વડે ગુણીશું:
$\frac{3+\sqrt{2}}{4 \sqrt{2}} = \frac{3+\sqrt{2}}{4 \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{2}(3+\sqrt{2})}{4 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2})}$
$= \frac{3 \sqrt{2} + 2}{4 \times 2}$
$= \frac{3 \sqrt{2} + 2}{8}$

(C) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(\sqrt{41}+5)$ વડે ગુણો.
$\frac{16}{\sqrt{41}-5} = \frac{16}{\sqrt{41}-5} \times \frac{\sqrt{41}+5}{\sqrt{41}+5}$
છેદમાં નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{16(\sqrt{41}+5)}{(\sqrt{41})^2 - (5)^2}$
$= \frac{16(\sqrt{41}+5)}{41 - 25}$
$= \frac{16(\sqrt{41}+5)}{16}$
$= \sqrt{41}+5$

(D) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(2+\sqrt{3})$ વડે ગુણો.
$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$
છેદમાં $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ અને અંશમાં $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(2+\sqrt{3})^2}{2^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{2^2 + (\sqrt{3})^2 + 2(2)(\sqrt{3})}{4 - 3}$
$= \frac{4 + 3 + 4\sqrt{3}}{1}$
$= 7 + 4\sqrt{3}$

(A) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(\sqrt{2}-\sqrt{3})$ વડે ગુણો:
$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$
છેદમાં $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\sqrt{6}(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{\sqrt{12} - \sqrt{18}}{2 - 3}$
$= \frac{\sqrt{12} - \sqrt{18}}{-1}$
$= \sqrt{18} - \sqrt{12}$
$= \sqrt{9 \times 2} - \sqrt{4 \times 3}$
$= 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$

(B) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(\sqrt{3}+\sqrt{2})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
છેદમાં $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ અને અંશમાં $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{3 + 2 + 2\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{3 - 2}$
$= \frac{5 + 2\sqrt{6}}{1}$
$= 5 + 2\sqrt{6}$

(C) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(\sqrt{5}+\sqrt{3})$ વડે ગુણો.
$\frac{3 \sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
$= \frac{3(\sqrt{5})^2 + 3\sqrt{15} + \sqrt{15} + (\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{3(5) + 4\sqrt{15} + 3}{5 - 3}$
$= \frac{15 + 4\sqrt{15} + 3}{2}$
$= \frac{18 + 4\sqrt{15}}{2}$
$= \frac{2(9 + 2\sqrt{15})}{2}$
$= 9 + 2\sqrt{15}$

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2}}{\sqrt{48}+\sqrt{18}}$
છેદનું સાદું રૂપ આપતા: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4 \sqrt{3}$ અને $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3 \sqrt{2}$.
તેથી,પદાવલિ આ મુજબ થશે: $\frac{4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2}}{4 \sqrt{3}+3 \sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને $(4 \sqrt{3}-3 \sqrt{2})$ વડે ગુણો:
$= \frac{(4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}-3 \sqrt{2})}{(4 \sqrt{3}+3 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}-3 \sqrt{2})}$
$= \frac{(4 \sqrt{3})^2 - (4 \sqrt{3})(3 \sqrt{2}) + (5 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}) - (5 \sqrt{2})(3 \sqrt{2})}{(4 \sqrt{3})^2 - (3 \sqrt{2})^2}$
$= \frac{48 - 12 \sqrt{6} + 20 \sqrt{6} - 30}{48 - 18}$
$= \frac{18 + 8 \sqrt{6}}{30}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગતા:
$= \frac{9 + 4 \sqrt{6}}{15}$

(A) આ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે છેદનું સંમેયીકરણ કરીશું. આ માટે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(7-4 \sqrt{3})$ વડે ગુણીશું.
$L.H.S. = \frac{5+2 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}} \times \frac{7-4 \sqrt{3}}{7-4 \sqrt{3}}$
$= \frac{(5+2 \sqrt{3})(7-4 \sqrt{3})}{(7)^2 - (4 \sqrt{3})^2}$
$= \frac{35 - 20 \sqrt{3} + 14 \sqrt{3} - 24}{49 - 48}$
$= \frac{11 - 6 \sqrt{3}}{1} = 11 - 6 \sqrt{3}$
આપેલ છે કે $11 - 6 \sqrt{3} = a - 6 \sqrt{3}$,બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $a = 11$ મળે છે.

(NONE) આ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે છેદનું સંમેયીકરણ કરીશું:
$L.H.S. = \frac{3-\sqrt{5}}{3+2 \sqrt{5}} \times \frac{3-2 \sqrt{5}}{3-2 \sqrt{5}}$
$= \frac{9 - 6\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 2(5)}{3^2 - (2\sqrt{5})^2}$
$= \frac{9 - 9\sqrt{5} + 10}{9 - 20} = \frac{19 - 9\sqrt{5}}{-11}$
$= -\frac{19}{11} + \frac{9}{11}\sqrt{5}$
આને $a\sqrt{5} - \frac{19}{11}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a\sqrt{5} - \frac{19}{11} = \frac{9}{11}\sqrt{5} - \frac{19}{11}$
તેથી,$a = \frac{9}{11}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}} = 2 - b\sqrt{6}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે અંશ અને છેદને $(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$ વડે ગુણતા:
$= \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}$
$= \frac{3(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{6} + 3\sqrt{6} + 2(\sqrt{3})^2}{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2}$
$= \frac{3(2) + 5\sqrt{6} + 2(3)}{18 - 12}$
$= \frac{6 + 5\sqrt{6} + 6}{6} = \frac{12 + 5\sqrt{6}}{6} = 2 + \frac{5}{6}\sqrt{6}$
$2 + \frac{5}{6}\sqrt{6}$ ની સરખામણી $2 - b\sqrt{6}$ સાથે કરતા:
$-b = \frac{5}{6} \Rightarrow b = -\frac{5}{6}$

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{7+\sqrt{5}}{7-\sqrt{5}}-\frac{7-\sqrt{5}}{7+\sqrt{5}}=a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{(7+\sqrt{5})^2}{(7-\sqrt{5})(7+\sqrt{5})} - \frac{(7-\sqrt{5})^2}{(7+\sqrt{5})(7-\sqrt{5})} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
$(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$ અને $(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{49+5+14\sqrt{5}}{49-5} - \frac{49+5-14\sqrt{5}}{49-5} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
$\frac{54+14\sqrt{5}}{44} - \frac{54-14\sqrt{5}}{44} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
$\frac{54+14\sqrt{5}-54+14\sqrt{5}}{44} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
$\frac{28\sqrt{5}}{44} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
અપૂર્ણાંક $\frac{28}{44}$ ને $4$ વડે ભાગીને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{7\sqrt{5}}{11} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $a=0$ અને $b=1$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $a = 2 + \sqrt{3}$.
પ્રથમ,છેદનું સંમેયીકરણ કરીને $\frac{1}{a}$ ની કિંમત શોધીએ:
$\frac{1}{a} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ કરણી $(2 - \sqrt{3})$ વડે ગુણતા:
$\frac{1}{a} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$
છેદમાં નિત્યસમ $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{a} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2}$
$\frac{1}{a} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = \frac{2 - \sqrt{3}}{1} = 2 - \sqrt{3}$
હવે,$a - \frac{1}{a}$ ની ગણતરી કરીએ:
$a - \frac{1}{a} = (2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3})$
$a - \frac{1}{a} = 2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3}$
$a - \frac{1}{a} = 2\sqrt{3}$

(B) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને $\sqrt{3}$ વડે ગુણો:
$\frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$= \frac{4\sqrt{3}}{3}$
$\sqrt{3} = 1.732$ ની કિંમત મૂકતા:
$= \frac{4 \times 1.732}{3}$
$= \frac{6.928}{3}$
$= 2.309$

(C) $\frac{6}{\sqrt{6}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $\sqrt{6}$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{6}{\sqrt{6}} = \frac{6 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{6}}{6} = \sqrt{6}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{6} = \sqrt{2 \times 3} = \sqrt{2} \times \sqrt{3}$.
આપેલ છે કે $\sqrt{2} = 1.414$ અને $\sqrt{3} = 1.732$,તેથી:
$\sqrt{6} = 1.414 \times 1.732 = 2.449048$
દશાંશના ત્રણ સ્થાન સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $2.449$ મળે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{2}$
પગલું $1$: અંશમાંથી $\sqrt{5}$ સામાન્ય કાઢીને સાદું રૂપ આપો:
$\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{2} - \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{2}-1)}{2}$
પગલું $2$: આપેલ કિંમતો $\sqrt{5} = 2.236$ અને $\sqrt{2} = 1.414$ મૂકો:
$= \frac{2.236(1.414 - 1)}{2}$
પગલું $3$: કૌંસમાં બાદબાકી કરો:
$= \frac{2.236(0.414)}{2}$
પગલું $4$: $2.236$ ને $2$ વડે ભાગો:
$= 1.118 \times 0.414$
પગલું $5$: ગુણાકાર કરો:
$= 0.462852$
દશાંશના ત્રણ સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.463$ મળે છે.

(A) $\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(2-\sqrt{2})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \times \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$
છેદમાં $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{(2)^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{2\sqrt{2} - 2}{4 - 2}$
$= \frac{2\sqrt{2} - 2}{2}$
$= \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{2}$
$= \sqrt{2} - 1$
અહીં $\sqrt{2} = 1.414$ આપેલ છે,તેથી કિંમત મૂકતા:
$= 1.414 - 1 = 0.414$

(B) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ વડે ગુણો.
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$
છેદમાં $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}$
$= \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$
હવે,આપેલી કિંમતો $\sqrt{3} = 1.732$ અને $\sqrt{2} = 1.414$ મૂકતા:
$= 1.732 - 1.414$
$= 0.318$

(B) પગલું $1$: કૌંસની અંદરની સંખ્યાઓના ઘન શોધો.
$1^{3} = 1 \times 1 \times 1 = 1$
$2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$
$3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27$
પગલું $2$: પરિણામોનો સરવાળો કરો.
$1 + 8 + 27 = 36$
પગલું $3$: ઘાતાંક $\frac{1}{2}$ લાગુ કરો,જે વર્ગમૂળ દર્શાવે છે.
$(36)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$
તેથી,સાદું રૂપ $6$ મળે છે.

(25/9) પદાવલિ $(\frac{3}{5})^4 \times (\frac{3}{5})^{-12} \times (\frac{3}{5})^{6}$ ને સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $a^m \times a^n \times a^p = a^{m+n+p}$.
અહીં,આધાર $a = \frac{3}{5}$,$m = 4$,$n = -12$,અને $p = 6$ છે.
નિયમ લાગુ પાડતા: $(\frac{3}{5})^{4 + (-12) + 6}$.
ઘાતાંકની ગણતરી કરતા: $4 - 12 + 6 = -2$.
તેથી,પદાવલિ $(\frac{3}{5})^{-2}$ બને છે.
નિયમ $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(\frac{5}{3})^2$ મળે છે.
અંતિમ કિંમતની ગણતરી કરતા: $(\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9}$.