Mix Examples - Number Systems Questions in Gujarati

(B) આપેલ પદાવલિ: $(\frac{1}{27})^{\frac{-2}{3}}$
પ્રથમ,$27$ ને $3$ ની ઘાત તરીકે દર્શાવો: $27 = 3^3$.
તેથી,$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.
હવે,આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકો:
$(3^{-3})^{\frac{-2}{3}}$
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3^{-3 \times \frac{-2}{3}} = 3^2$
અંતે,કિંમતની ગણતરી કરો:
$3^2 = 9$.

(A) પદાવલિ ${{(625)^{-\frac{1}{2}}}^{-\frac{1}{4}}}^{2}$ ને સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે ઘાતનો ઘાતનો નિયમ વાપરીશું: $(a^m)^n = a^{m \times n}$.
પગલું $1$: ઘાતાંકોનો ગુણાકાર કરો.
$(-1/2) \times (-1/4) \times 2 = (1/8) \times 2 = 1/4$.
પગલું $2$: પરિણામને આધાર પર લાગુ કરો.
$625^{1/4}$.
પગલું $3$: $625$ ને $5$ ની ઘાત તરીકે દર્શાવો.
$625 = 5^4$.
પગલું $4$: કિંમત મૂકીને સાદું રૂપ આપો.
$(5^4)^{1/4} = 5^{4 \times (1/4)} = 5^1 = 5$.

(D) પદાવલિ $\frac{9^{\frac{1}{3}} \times 27^{-\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{6}} \times 3^{-\frac{2}{3}}}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે બધા આધારને $3$ ના ઘાતાંક તરીકે દર્શાવીશું.
પગલું $1$: આધારને ફરીથી લખો:
$9 = 3^2$ અને $27 = 3^3$.
પગલું $2$: આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો:
$\frac{(3^2)^{\frac{1}{3}} \times (3^3)^{-\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{6}} \times 3^{-\frac{2}{3}}}$
પગલું $3$: ઘાતનો નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ લાગુ કરો:
$\frac{3^{\frac{2}{3}} \times 3^{-\frac{3}{2}}}{3^{\frac{1}{6}} \times 3^{-\frac{2}{3}}}$
પગલું $4$: અંશ અને છેદ માટે ગુણાકારનો નિયમ $a^m \times a^n = a^{m+n}$ લાગુ કરો:
અંશ: $3^{\frac{2}{3} - \frac{3}{2}} = 3^{\frac{4-9}{6}} = 3^{-\frac{5}{6}}$
છેદ: $3^{\frac{1}{6} - \frac{2}{3}} = 3^{\frac{1-4}{6}} = 3^{-\frac{3}{6}} = 3^{-\frac{1}{2}}$
પગલું $5$: ભાગાકારનો નિયમ $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ લાગુ કરો:
$3^{-\frac{5}{6} - (-\frac{1}{2})} = 3^{-\frac{5}{6} + \frac{3}{6}} = 3^{-\frac{2}{6}} = 3^{-\frac{1}{3}}$
આમ,સાદું રૂપ $3^{-\frac{1}{3}}$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $64^{-\frac{1}{3}} + 64^{\frac{1}{3}} - 64^{\frac{2}{3}}$
પ્રથમ,$64$ ને $4$ ની ઘાત તરીકે દર્શાવો: $64 = 4^3$.
પદાવલિમાં $4^3$ મૂકતા:
$(4^3)^{-\frac{1}{3}} + (4^3)^{\frac{1}{3}} - (4^3)^{\frac{2}{3}}$
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4^{3 \cdot (-\frac{1}{3})} + 4^{3 \cdot \frac{1}{3}} - 4^{3 \cdot \frac{2}{3}}$
ઘાતાંકોનું સાદું રૂપ આપતા:
$4^{-1} + 4^1 - 4^2$
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$\frac{1}{4} + 4 - 16$
પદોને ભેગા કરતા:
$\frac{1}{4} - 12$
સમાન છેદ મેળવતા:
$\frac{1 - 48}{4} = -\frac{47}{4}$

(B) પદાવલિ $\frac{8^{\frac{1}{3}} \times 16^{\frac{1}{3}}}{32^{-\frac{1}{3}}}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,દરેક આધારને $2$ ની ઘાત તરીકે દર્શાવો:
$8 = 2^3$,$16 = 2^4$,અને $32 = 2^5$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(2^3)^{\frac{1}{3}} \times (2^4)^{\frac{1}{3}}}{(2^5)^{-\frac{1}{3}}}$
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2^{3 \times \frac{1}{3}} \times 2^{4 \times \frac{1}{3}}}{2^{5 \times -\frac{1}{3}}} = \frac{2^1 \times 2^{\frac{4}{3}}}{2^{-\frac{5}{3}}}$
અંશમાં ગુણાકારના નિયમ $a^m \times a^n = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2^{1 + \frac{4}{3}}}{2^{-\frac{5}{3}}} = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{2^{-\frac{5}{3}}}$
ભાગાકારના નિયમ $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2^{\frac{7}{3} - (-\frac{5}{3})} = 2^{\frac{7}{3} + \frac{5}{3}} = 2^{\frac{12}{3}} = 2^4 = 16$.

(B) આપેલ છે કે $a = 5 + 2\sqrt{6}$.
$b = \frac{1}{a}$ હોવાથી,આપણે છેદનું સંમેયીકરણ કરીએ:
$b = \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} \times \frac{5 - 2\sqrt{6}}{5 - 2\sqrt{6}} = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{5^2 - (2\sqrt{6})^2} = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{25 - 24} = 5 - 2\sqrt{6}$.
આપણે $a^2 + b^2$ શોધવાનું છે. નિત્યસમ $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ,$a + b = (5 + 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) = 10$ મેળવીએ.
ત્યારબાદ,$ab = (5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 24 = 1$ મેળવીએ.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$a^2 + b^2 = (10)^2 - 2(1) = 100 - 2 = 98$.

(C) પ્રથમ, દરેક પદને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$x = 0.\overline{7} = 0.777\ldots$ માટે
$10x = 7.777\ldots$
$10x$ માંથી $x$ બાદ કરતા $9x = 7$ મળે, તેથી $x = \frac{7}{9}$.
$y = 0.4\overline{7} = 0.4777\ldots$ માટે
$10y = 4.777\ldots$
$100y = 47.777\ldots$
$100y$ માંથી $10y$ બાદ કરતા $90y = 43$ મળે, તેથી $y = \frac{43}{90}$.
હવે, અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરો:
$\frac{6}{10} + \frac{7}{9} + \frac{43}{90} = \frac{54}{90} + \frac{70}{90} + \frac{43}{90} = \frac{54 + 70 + 43}{90} = \frac{167}{90}$.
આમ, અભિવ્યક્તિ $\frac{167}{90}$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે દરેક પદના છેદનું સંમેયીકરણ કરીશું:
$\frac{7 \sqrt{3}}{\sqrt{10}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{10}-\sqrt{3}}{\sqrt{10}-\sqrt{3}} = \frac{7 \sqrt{3}(\sqrt{10}-\sqrt{3})}{10-3} = \frac{7 \sqrt{3}(\sqrt{10}-\sqrt{3})}{7} = \sqrt{30}-3$
$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}(\sqrt{6}-\sqrt{5})}{6-5} = 2 \sqrt{30}-10$
$\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{15}+3 \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{15}-3 \sqrt{2}}{\sqrt{15}-3 \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}(\sqrt{15}-3 \sqrt{2})}{15-18} = \frac{3 \sqrt{30}-18}{-3} = -\sqrt{30}+6$
હવે,આ કિંમતોને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\sqrt{30}-3) - (2 \sqrt{30}-10) - (-\sqrt{30}+6)$
$= \sqrt{30}-3-2 \sqrt{30}+10+\sqrt{30}-6$
$= (\sqrt{30}-2 \sqrt{30}+\sqrt{30}) + (-3+10-6)$
$= 0 + 1 = 1$

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{4}{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}}+\frac{3}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}$
છેદ સમાન કરતા $(3\sqrt{3}-2\sqrt{2})(3\sqrt{3}+2\sqrt{2})$:
$= \frac{4(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}) + 3(3\sqrt{3}-2\sqrt{2})}{(3\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{2})^2}$
$= \frac{12\sqrt{3} + 8\sqrt{2} + 9\sqrt{3} - 6\sqrt{2}}{27 - 8}$
$= \frac{21\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{19}$
$\sqrt{3}=1.732$ અને $\sqrt{2}=1.414$ ની કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{21(1.732) + 2(1.414)}{19}$
$= \frac{36.372 + 2.828}{19}$
$= \frac{39.2}{19} \approx 2.063$

(B) આપેલ છે,$a = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$.
પ્રથમ,$a^{2}$ ની ગણતરી કરો:
$a^{2} = \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{2} = \frac{9 + 5 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$.
ત્યારબાદ,છેદનું સંમેયીકરણ કરીને $\frac{1}{a^{2}}$ ની ગણતરી કરો:
$\frac{1}{a^{2}} = \frac{2}{7 + 3\sqrt{5}} = \frac{2(7 - 3\sqrt{5})}{(7 + 3\sqrt{5})(7 - 3\sqrt{5})} = \frac{2(7 - 3\sqrt{5})}{49 - 45} = \frac{2(7 - 3\sqrt{5})}{4} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$.
અંતે,$a^{2}$ અને $\frac{1}{a^{2}}$ નો સરવાળો કરો:
$a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} + \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{7 + 3\sqrt{5} + 7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

(C) $x$ માટે છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$x = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}}{3-2} = 3+2+2\sqrt{6} = 5+2\sqrt{6}$.
તે જ રીતે,$y$ માટે:
$y = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}}{3-2} = 3+2-2\sqrt{6} = 5-2\sqrt{6}$.
હવે,$x+y$ અને $xy$ ની ગણતરી કરતા:
$x+y = (5+2\sqrt{6}) + (5-2\sqrt{6}) = 10$.
$xy = (5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6}) = 5^{2} - (2\sqrt{6})^{2} = 25 - 24 = 1$.
નિત્યસમ $x^{2}+y^{2} = (x+y)^{2} - 2xy$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x^{2}+y^{2} = (10)^{2} - 2(1) = 100 - 2 = 98$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $(256)^{4^{-\frac{3}{2}}}$
પ્રથમ,ઘાતાંક $4^{-\frac{3}{2}}$ નું સાદું રૂપ આપો:
$4^{-\frac{3}{2}} = (2^2)^{-\frac{3}{2}} = 2^{2 \times (-\frac{3}{2})} = 2^{-3} = \frac{1}{8}$
હવે,આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(256)^{\frac{1}{8}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $256 = 2^8$,તેથી:
$(2^8)^{\frac{1}{8}} = 2^{8 \times \frac{1}{8}} = 2^1 = 2$
જો પ્રશ્ન $(256)^{-\left(4^{-\frac{3}{2}}\right)}$ હોય,તો:
$(2^8)^{-\left(\frac{1}{8}\right)} = 2^{8 \times (-\frac{1}{8})} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{4}{(216)^{-\frac{2}{3}}} + \frac{1}{(256)^{-\frac{3}{4}}} + \frac{2}{(243)^{-\frac{1}{5}}}$
ઘાતાંકના નિયમ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$4(216)^{\frac{2}{3}} + (256)^{\frac{3}{4}} + 2(243)^{\frac{1}{5}}$
આધારને ઘાત સ્વરૂપે દર્શાવતા:
$216 = 6^3$,$256 = 4^4$,$243 = 3^5$
આ કિંમતો મૂકતા:
$= 4(6^3)^{\frac{2}{3}} + (4^4)^{\frac{3}{4}} + 2(3^5)^{\frac{1}{5}}$
ઘાતનો નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 4(6^{3 \times \frac{2}{3}}) + (4^{4 \times \frac{3}{4}}) + 2(3^{5 \times \frac{1}{5}})$
$= 4(6^2) + 4^3 + 2(3^1)$
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$= 4(36) + 64 + 2(3)$
$= 144 + 64 + 6$
$= 214$

(N/A) $\frac{2}{9}$ અને $\frac{2}{7}$ ની વચ્ચે સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદ સમાન કરીએ છીએ. $9$ અને $7$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $63$ છે.
$\frac{2}{9} = \frac{2 \times 7}{9 \times 7} = \frac{14}{63}$
$\frac{2}{7} = \frac{2 \times 9}{7 \times 9} = \frac{18}{63}$
$14$ અને $18$ ની વચ્ચે માત્ર ત્રણ પૂર્ણાંકો $(15, 16, 17)$ હોવાથી,આપણે અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણીએ છીએ.
$\frac{14}{63} = \frac{14 \times 2}{63 \times 2} = \frac{28}{126}$
$\frac{18}{63} = \frac{18 \times 2}{63 \times 2} = \frac{36}{126}$
હવે,આપણે $\frac{28}{126}$ અને $\frac{36}{126}$ ની વચ્ચે કોઈપણ ચાર સંમેય સંખ્યાઓ પસંદ કરી શકીએ છીએ,જેમ કે $\frac{29}{126}, \frac{30}{126}, \frac{31}{126}$ અને $\frac{32}{126}$.
તેનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ આપતા,આપણને $\frac{29}{126}, \frac{5}{21}, \frac{31}{126}$ અને $\frac{16}{63}$ મળે છે.

(A) $\frac{2}{3}$ અને $\frac{4}{5}$ ની વચ્ચેની ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ $3$ અને $5$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધીને છેદ સમાન કરો,જે $15$ છે.
અપૂર્ણાંકોને રૂપાંતરિત કરો: $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$ અને $\frac{4}{5} = \frac{4 \times 3}{5 \times 3} = \frac{12}{15}$.
આપણને ત્રણ સંખ્યાઓની જરૂર હોવાથી,બંને અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને $(3 + 1) = 4$ (અથવા $3$ થી મોટી કોઈપણ સંખ્યા) વડે ગુણો.
$\frac{10}{15} = \frac{10 \times 4}{15 \times 4} = \frac{40}{60}$ અને $\frac{12}{15} = \frac{12 \times 4}{15 \times 4} = \frac{48}{60}$.
$\frac{40}{60}$ અને $\frac{48}{60}$ ની વચ્ચેની ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ $\frac{41}{60}, \frac{42}{60}$ અને $\frac{43}{60}$ છે.

(B) $\frac{1}{7}$ અને $\frac{3}{7}$ ની વચ્ચે ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે બંને અપૂર્ણાંકોના અંશ અને છેદને $(3 + 1) = 4$ અથવા તેનાથી મોટી કોઈપણ પૂર્ણાંક સંખ્યા વડે ગુણી શકીએ છીએ જેથી તેમની વચ્ચેનો તફાવત વધે.
$2$ વડે ગુણતા (કારણ કે $2$ એ $1$ અને $3$ ની વચ્ચે છે):
$\frac{1}{7} = \frac{1 \times 2}{7 \times 2} = \frac{2}{14}$
$\frac{3}{7} = \frac{3 \times 2}{7 \times 2} = \frac{6}{14}$
$\frac{2}{14}$ અને $\frac{6}{14}$ ની વચ્ચેની સંમેય સંખ્યાઓ $\frac{3}{14}, \frac{4}{14}$ અને $\frac{5}{14}$ છે.
આમ,ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ $\frac{3}{14}, \frac{2}{7}$ અને $\frac{5}{14}$ છે.

$\frac{2}{7}$ અને $\frac{2}{5}$ ની વચ્ચે પાંચ સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ આપણે $7$ અને $5$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધીને છેદ સમાન બનાવીશું,જે $35$ છે.
$\frac{2}{7} = \frac{2 \times 5}{7 \times 5} = \frac{10}{35}$
$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 7}{5 \times 7} = \frac{14}{35}$
આપણને પાંચ સંમેય સંખ્યાઓની જરૂર હોવાથી,આપણે બંને અપૂર્ણાંકોના અંશ અને છેદને $6$ (અથવા $5$ થી મોટી કોઈપણ સંખ્યા) વડે ગુણી શકીએ છીએ:
$\frac{10 \times 6}{35 \times 6} = \frac{60}{210}$
$\frac{14 \times 6}{35 \times 6} = \frac{84}{210}$
હવે,આપણે $\frac{60}{210}$ અને $\frac{84}{210}$ ની વચ્ચેની કોઈપણ પાંચ સંમેય સંખ્યાઓ પસંદ કરી શકીએ છીએ,જેમ કે $\frac{61}{210}, \frac{62}{210}, \frac{63}{210}, \frac{64}{210}, \text{ અને } \frac{65}{210}$.

(B) $-\frac{2}{3}$ અને $\frac{1}{5}$ ની વચ્ચે પાંચ સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ $3$ અને $5$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધીને છેદ સમાન કરો,જે $15$ છે.
$-\frac{2}{3} = -\frac{2 \times 5}{3 \times 5} = -\frac{10}{15}$
$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 3}{5 \times 3} = \frac{3}{15}$
હવે,આપણે $-\frac{10}{15}$ અને $\frac{3}{15}$ ની વચ્ચે પાંચ સંમેય સંખ્યાઓ શોધવાની છે.
$-10$ અને $3$ ની વચ્ચેના પૂર્ણાંકો $-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2$ છે.
આપણે આમાંથી કોઈપણ પાંચ પસંદ કરી શકીએ છીએ,ઉદાહરણ તરીકે: $-\frac{9}{15}, -\frac{8}{15}, -\frac{7}{15}, -\frac{6}{15}, -\frac{5}{15}$.
તેનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ આપતા,આપણને મળે છે: $-\frac{3}{5}, -\frac{8}{15}, -\frac{7}{15}, -\frac{2}{5}, -\frac{1}{3}$.

(A) $-\frac{3}{4}$ અને $-\frac{1}{3}$ ની વચ્ચે સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ $4$ અને $3$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધીને છેદ સમાન કરો,જે $12$ છે.
$-\frac{3}{4} = -\frac{3 \times 3}{4 \times 3} = -\frac{9}{12}$
$-\frac{1}{3} = -\frac{1 \times 4}{3 \times 4} = -\frac{4}{12}$
$-9$ અને $-4$ ની વચ્ચે પૂરતી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ ન હોવાથી,અંશ અને છેદને $2$ જેવા મોટા અવયવ વડે ગુણો જેથી વધુ જગ્યા મળે.
$-\frac{9}{12} = -\frac{18}{24}$
$-\frac{4}{12} = -\frac{8}{24}$
હવે,આપણે $-\frac{18}{24}$ અને $-\frac{8}{24}$ ની વચ્ચે પાંચ સંમેય સંખ્યાઓ પસંદ કરી શકીએ છીએ,જે $-\frac{17}{24}, -\frac{16}{24}, -\frac{15}{24}, -\frac{14}{24}, -\frac{13}{24}$ છે.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ એ $1, 2, 3, ...$ થી શરૂ થતી ગણતરીની સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.
પૂર્ણ સંખ્યાઓ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાં $0$ નો સમાવેશ કરીને બનતો સમૂહ છે,એટલે કે $0, 1, 2, 3, ...$.
કારણ કે $0$ એ પૂર્ણ સંખ્યા છે પરંતુ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી,તેથી દરેક પૂર્ણ સંખ્યા પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે તે વિધાન ખોટું છે.

(A) પૂર્ણ સંખ્યાઓનો ગણ $W = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ $Z = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
પૂર્ણ સંખ્યાઓના ગણનો દરેક ઘટક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગણમાં સમાવિષ્ટ હોવાથી,દરેક પૂર્ણ સંખ્યા એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.
તેથી,આ વિધાન ખરું છે.

(TRUE) આ વિધાન સત્ય છે.
પૂર્ણ સંખ્યા એ $W = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ ગણની કોઈપણ સંખ્યા છે.
સંમેય સંખ્યાની વ્યાખ્યા મુજબ,જે સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે અને $q \neq 0$ હોય,તેને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે.
કોઈપણ પૂર્ણ સંખ્યા $n$ ને $\frac{n}{1}$ તરીકે લખી શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$0 = \frac{0}{1}$,$1 = \frac{1}{1}$,$2 = \frac{2}{1}$,વગેરે.
આમ,દરેક પૂર્ણ સંખ્યાને બે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવી શકાતી હોવાથી,દરેક પૂર્ણ સંખ્યા એ સંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) $1$. સંખ્યા રેખા પર $0$ દર્શાવતો બિંદુ $O$ પસંદ કરો.
$2$. એક એકમ લંબાઈ પસંદ કરો અને સંખ્યા રેખા પર $O$ થી $1$ એકમના અંતરે બિંદુ $A$ અંકિત કરો.
$3$. બિંદુ $A$ પર $1$ એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ $AB$ દોરો.
$4$. $OB$ ને જોડો. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$5$. બિંદુ $B$ પર $1$ એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ $BC$ દોરો. $OC$ ને જોડો. તેથી $OC = \sqrt{OB^2 + BC^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$6$. બિંદુ $C$ પર $1$ એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ $CD$ દોરો. $OD$ ને જોડો. તેથી $OD = \sqrt{OC^2 + CD^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$.
$7$. બિંદુ $D$ પર $1$ એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ $DE$ દોરો. $OE$ ને જોડો. તેથી $OE = \sqrt{OD^2 + DE^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.
$8$. $O$ ને કેન્દ્ર અને $OE$ ને ત્રિજ્યા લઈને,એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $P$ પર છેદે છે.
$9$. સંખ્યા રેખા પરનું બિંદુ $P$ એ $\sqrt{5}$ દર્શાવે છે.

(A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{6}$ ને દર્શાવવા માટે,આપણે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $a^2 + b^2 = c^2$.
આપણે $6 = 5 + 1$ લખી શકીએ છીએ,તેથી $\sqrt{6} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2}$.
$1$. પ્રથમ,સંખ્યા રેખા પર $2$ એકમનો પાયો અને $1$ એકમની ઊંચાઈ ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવીને $\sqrt{5}$ ને દર્શાવો.
$2$. સંખ્યા રેખા પર $0$ પર બિંદુ $O$ અને $2$ પર બિંદુ $A$ અંકિત કરો.
$3$. બિંદુ $A$ પર $1$ એકમ લંબાઈનો લંબ $AB$ દોરો.
$4$. $OB$ ને જોડો. પાયથાગોરસ મુજબ,$OB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.
$5$. હવે,બિંદુ $B$ પર $1$ એકમ લંબાઈનો લંબ $BC$ દોરો.
$6$. $OC$ ને જોડો. પાયથાગોરસ મુજબ,$OC = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$7$. $O$ ને કેન્દ્ર અને $OC$ ને ત્રિજ્યા લઈને,એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $P$ પર છેદે છે. અંતર $OP$ એ $\sqrt{6}$ દર્શાવે છે.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{10}$ દર્શાવવા માટે,આપણે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $a^2 + b^2 = c^2$.
આપણે $10$ ને $3^2 + 1^2 = 10$ તરીકે લખી શકીએ છીએ,તેથી $\sqrt{10} = \sqrt{3^2 + 1^2}$.
પગલું $1$: એક સંખ્યા રેખા દોરો અને $0$ પર બિંદુ $O$ અને $O$ થી $3$ એકમ દૂર બિંદુ $A$ અંકિત કરો.
પગલું $2$: બિંદુ $A$ પર,$1$ એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ $AB$ દોરો.
પગલું $3$: $O$ અને $B$ ને જોડો. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OB$ ની લંબાઈ $\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$ થશે.
પગલું $4$: $O$ ને કેન્દ્ર અને $OB$ ને ત્રિજ્યા તરીકે લઈને,એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $P$ પર છેદે છે.
બિંદુ $P$ એ સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{10}$ દર્શાવે છે.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{20}$ દર્શાવવા માટે,આપણે પાયથાગોરસના પ્રમેય $a^2 + b^2 = c^2$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે $20$ ને $4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$1$. એક સંખ્યા રેખા દોરો અને $O$ બિંદુને $0$ પર અને $A$ બિંદુને $O$ થી $4$ એકમ દૂર અંકિત કરો.
$2$. $A$ બિંદુ પર,$2$ એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ $AB$ દોરો.
$3$. $O$ અને $B$ ને જોડો. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OB$ ની લંબાઈ $\sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$ થશે.
$4$. પરિકરનો ઉપયોગ કરીને,$O$ ને કેન્દ્ર અને $OB$ ને ત્રિજ્યા લઈ,એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને $P$ બિંદુમાં છેદે.
$5$. બિંદુ $P$ એ સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{20}$ દર્શાવે છે.

(N/A) $\sqrt{6}$ સુધી વર્ગમૂળ સર્પાકાર બનાવવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. $1 \text{ unit}$ લંબાઈનો રેખાખંડ $OA$ દોરો.
$2$. બિંદુ $A$ પર, $1 \text{ unit}$ લંબાઈનો લંબ $AB$ દોરો. $OB$ ને જોડો. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ, $OB = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$3$. બિંદુ $B$ પર, $OB$ ને લંબ $1 \text{ unit}$ લંબાઈનો રેખાખંડ $BC$ દોરો. $OC$ ને જોડો. તેથી $OC = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$4$. બિંદુ $C$ પર, $OC$ ને લંબ $1 \text{ unit}$ લંબાઈનો રેખાખંડ $CD$ દોરો. $OD$ ને જોડો. તેથી $OD = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$.
$5$. બિંદુ $D$ પર, $OD$ ને લંબ $1 \text{ unit}$ લંબાઈનો રેખાખંડ $DE$ દોરો. $OE$ ને જોડો. તેથી $OE = \sqrt{(\sqrt{4})^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.
$6$. બિંદુ $E$ પર, $OE$ ને લંબ $1 \text{ unit}$ લંબાઈનો રેખાખંડ $EF$ દોરો. $OF$ ને જોડો. તેથી $OF = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.

(N/A) $\frac{2}{11}$ ને દશાંશ સ્વરૂપમાં લખવા માટે,આપણે $2$ ને $11$ વડે ભાગીને લાંબી ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
$2$ ને $11$ વડે ભાગતા:
$2 \div 11 = 0.1818...$
જેમ કે શેષ $2$ પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી ભાગફળ $0.18$ અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થાય છે.
આમ,$\frac{2}{11} = 0.1818... = 0.\overline{18}$.
દશાંશ નિરૂપણ શાંત થતું નથી અને અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી $\frac{2}{11}$ નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત દશાંશ છે.

(N/A) $\frac{121}{400}$ ને દશાંશ સ્વરૂપમાં લખવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$121 \div 400 = 0.3025$
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી $\frac{121}{400}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત દશાંશ છે.

(N/A) $\frac{5}{13}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે $5$ ને $13$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$5 \div 13 = 0.384615384615...$
જેમ કે શેષ અમુક પગલાં પછી પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી ભાગફળ પણ પુનરાવર્તિત થાય છે.
આમ,$\frac{5}{13} = 0.\overline{384615}$.
$\frac{5}{13}$ નું દશાંશ સ્વરૂપ અનંત આવૃત દશાંશ છે.

(A) ધારો કે $x = 0 . \overline{35}$.
$\therefore x = 0.353535 \ldots$ $(1)$
અહીં બે અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 35.353535 \ldots$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$100x - x = 35.353535 \ldots - 0.353535 \ldots$
$99x = 35$
$\therefore x = \frac{35}{99}$
આમ,$0 . \overline{35} = \frac{35}{99}$.

(N/A) ધારો કે $x = 0.5 \overline{7}.$
$\therefore x = 0.5777...$ $(1)$
દશાંશ ચિહ્નને પુનરાવર્તિત ભાગની આગળ લાવવા માટે બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 5.777...$ $(2)$
હવે,દશાંશ ચિહ્નને એક પુનરાવર્તિત અંક પછી લાવવા માટે સમીકરણ $(2)$ ને $10$ વડે ગુણતા:
$100x = 57.777...$ $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$100x - 10x = 57.777... - 5.777...$
$90x = 52$
$x = \frac{52}{90}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ મેળવતા:
$x = \frac{26}{45}$
આમ,$0.5 \overline{7} = \frac{26}{45}.$

(N/A) ધારો કે $x = 0.\overline{125}$.
$\therefore x = 0.125125\ldots$ $(1)$
અહીં ત્રણ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુ $1000$ વડે ગુણતા:
$1000x = 125.125125\ldots$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$1000x - x = 125.125125\ldots - 0.125125\ldots$
$999x = 125$
$\therefore x = \frac{125}{999}$
આમ,$0.\overline{125} = \frac{125}{999}$.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{4} = 0.25$ અને $\frac{4}{5} = 0.8$ થાય છે.
$\frac{1}{4}$ અને $\frac{4}{5}$ ની વચ્ચે ત્રણ ભિન્ન અસંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે $0.25$ અને $0.8$ ની વચ્ચે એવી ત્રણ સંખ્યાઓ શોધવી પડશે જે અનંત અને અનાવૃત (non-terminating and non-recurring) હોય.
આવી ત્રણ સંખ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
$1. 0.3030030003\dots$
$2. 0.4040040004\dots$
$3. 0.5050050005\dots$

બે ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ ની વચ્ચેની અસંમેય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $\sqrt{a \cdot b}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
$1$. $\sqrt{3}$ અને $\sqrt{5}$ ની વચ્ચેની પ્રથમ અસંમેય સંખ્યા:
$= \sqrt{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}} = \sqrt{\sqrt{15}} = 15^{\frac{1}{4}}$.
$2$. $\sqrt{3}$ અને $15^{\frac{1}{4}}$ ની વચ્ચેની બીજી અસંમેય સંખ્યા:
$= \sqrt{\sqrt{3} \cdot 15^{\frac{1}{4}}} = \sqrt{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}}} = \sqrt{3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}}} = 3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}$.
$3$. $\sqrt{3}$ અને $3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}$ ની વચ્ચેની ત્રીજી અસંમેય સંખ્યા:
$= \sqrt{\sqrt{3} \cdot 3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}} = \sqrt{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}} = \sqrt{3^{\frac{7}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}} = 3^{\frac{7}{16}} \cdot 5^{\frac{1}{16}}$.
આમ,$\sqrt{3}$ અને $\sqrt{5}$ ની વચ્ચેની ત્રણ અસંમેય સંખ્યાઓ $15^{\frac{1}{4}}$,$3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}$ અને $3^{\frac{7}{16}} \cdot 5^{\frac{1}{16}}$ છે.

(N/A) $\frac{71}{125}$ ને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે,આપણે અંશને છેદ વડે ભાગી શકીએ છીએ અથવા છેદમાં $10$ ની ઘાત મેળવવા માટે અંશ અને છેદ બંનેને $8$ વડે ગુણી શકીએ છીએ.
$\frac{71 \times 8}{125 \times 8} = \frac{568}{1000} = 0.568$
અહીં ભાગાકારની પ્રક્રિયામાં અમુક પગલાં પછી શેષ $0$ મળે છે,તેથી આ દશાંશ નિરૂપણ શાંત (Terminating) દશાંશ નિરૂપણ છે.

(N/A) $\frac{4}{13}$ ને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે,આપણે $4$ ને $13$ વડે ભાગાકાર કરીશું.
$4 \div 13 = 0.307692307692...$
અહીં અંકોની શ્રેણી $307692$ અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી દશાંશ નિરૂપણ $0.\overline{307692}$ છે.
આથી,આ દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત દશાંશ છે.

(N/A) $\frac{25}{8}$ ને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$25 \div 8 = 3.125$
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી આ દશાંશ નિરૂપણ શાંત (Terminating) દશાંશ નિરૂપણ છે.

(N/A) $\frac{37}{60}$ ને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$37 \div 60 = 0.61666...$
આને $0.61\overline{6}$ તરીકે લખી શકાય છે.
દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંકો અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થતા હોવાથી,આ દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત દશાંશ છે.

(A) $\frac{29}{12}$ ને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરીએ:
$29 \div 12 = 2.41666...$
અહીં અંક $6$ અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી દશાંશ નિરૂપણ $2.41\overline{6}$ છે.
કારણ કે શેષ ક્યારેય શૂન્ય થતી નથી અને એક અંકનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી આ અનંત આવૃત દશાંશ છે.

(A) ધારો કે $x = 0.\overline{4} = 0.4444...$ (સમીકરણ $1$).
દશાંશ ચિહ્ન પછી એક અંકનું પુનરાવર્તન થતું હોવાથી, બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 4.4444...$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$10x - x = 4.4444... - 0.4444...$
$9x = 4$
$x = \frac{4}{9}$.
આમ, $0.\overline{4}$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં $\frac{4}{9}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

(B) ધારો કે $x = 0.\overline{83}$.
આને $x = 0.838383...$ તરીકે લખી શકાય (સમીકરણ $1$)।
અહીં બે અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે, તેથી બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 83.838383...$ (સમીકરણ $2$)।
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$100x - x = 83.838383... - 0.838383...$
$99x = 83$.
તેથી, $x = \frac{83}{99}$.
આમ, $0.\overline{83} = \frac{83}{99}$।

(N/A) ધારો કે $x = 2.137137137...$ (સમીકરણ $1$).
દશાંશ ચિહ્ન પછી $3$ અંકોનું પુનરાવર્તન થતું હોવાથી, બંને બાજુને $1000$ વડે ગુણતા:
$1000x = 2137.137137137...$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$1000x - x = 2137.137137... - 2.137137...$
$999x = 2135$.
તેથી, $x = \frac{2135}{999}$.

(A) ધારો કે $x = 0.5\overline{7} = 0.5777...$ (સમીકરણ $1$).
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે બંને બાજુ $10$ વડે ગુણો:
$10x = 5.777...$ (સમીકરણ $2$).
પુનરાવર્તિત અંક પછી દશાંશ ચિહ્ન લાવવા માટે સમીકરણ $2$ ને ફરીથી $10$ વડે ગુણો:
$100x = 57.777...$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરો:
$100x - 10x = 57.777... - 5.777...$
$90x = 52$.
$x = \frac{52}{90}$.
અંશ અને છેદને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $2$ વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ મેળવો:
$x = \frac{26}{45}$.

(A) ધારો કે $x = 1.23444...$ (સમીકરણ $1$).
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે $100$ વડે ગુણતા: $100x = 123.444...$ (સમીકરણ $2$).
દશાંશ ચિહ્નને ફરીથી ખસેડવા માટે સમીકરણ $2$ ને $10$ વડે ગુણતા: $1000x = 1234.444...$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$1000x - 100x = 1234.444... - 123.444...$
$900x = 1111$.
તેથી,$x = \frac{1111}{900}$.

(B) ધારો કે $x = 0.7\overline{39} = 0.7393939...$ (સમીકરણ $1$).
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા: $10x = 7.393939...$ (સમીકરણ $2$).
પુનરાવર્તિત ભાગ પછી દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે સમીકરણ $2$ ને $100$ વડે ગુણતા: $1000x = 739.393939...$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$1000x - 10x = 739.393939... - 7.393939...$
$990x = 732$.
$x = \frac{732}{990}$.
અંશ અને છેદને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $6$ વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ મેળવતા:
$x = \frac{732 \div 6}{990 \div 6} = \frac{122}{165}$.

(N/A) સૌ પ્રથમ,સંમેય સંખ્યાઓને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવો:
$\frac{1}{3} = 0.3333\ldots$
$\frac{7}{9} = 0.7777\ldots$
$0.3333\ldots$ અને $0.7777\ldots$ ની વચ્ચે અસંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે અનંત અને અનાવૃત દશાંશ સંખ્યાઓ લખવી પડશે જે આ શ્રેણીમાં આવે.
આવી ત્રણ સંખ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
$1) 0.4040040004\ldots$
$2) 0.5050050005\ldots$
$3) 0.6060060006\ldots$

(D) સૌ પ્રથમ,સંમેય સંખ્યાઓને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવો: $\frac{3}{4} = 0.75$ અને $\frac{4}{5} = 0.80$.
$0.75$ અને $0.80$ ની વચ્ચે અસંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે અનંત અને અનાવૃત દશાંશ સંખ્યાઓ લખવાની જરૂર છે.
આવી સંખ્યાઓના ઉદાહરણો છે:
$1. 0.75010010001...$
$2. 0.76010010001...$
$3. 0.77010010001...$
આ સંખ્યાઓ સ્પષ્ટપણે $0.75$ કરતા મોટી અને $0.80$ કરતા નાની છે,અને તે અસંમેય છે કારણ કે તેમનું દશાંશ વિસ્તરણ અનંત અને અનાવૃત છે.

બે અસંમેય સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ ની વચ્ચે અસંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે $\sqrt{a \cdot b}$,$\sqrt{a \cdot \sqrt{a \cdot b}}$ વગેરે સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ,અથવા એવી સંખ્યાઓ શોધી શકીએ છીએ જેની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને અનાવૃત હોય.
$1$. પ્રથમ સંખ્યા: $\sqrt{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \sqrt{\sqrt{10}} = 10^{\frac{1}{4}} \approx 1.778$.
$2$. બીજી સંખ્યા: $\sqrt{\sqrt{2} \cdot 10^{\frac{1}{4}}} = (2^{\frac{1}{2}} \cdot 10^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 10^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}} \approx 1.682$.
$3$. ત્રીજી સંખ્યા: $\sqrt{10^{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{5}} = (10^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} = 10^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{3}{8}} \approx 1.880$.
આ કિંમતો $\sqrt{2} \approx 1.414$ અને $\sqrt{5} \approx 2.236$ ની વચ્ચે આવેલી છે.

(A) ધારો કે $x = 0.\overline{35} = 0.353535...$ અને $y = 0.\overline{28} = 0.282828...$
$0.\overline{35}$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવવા માટે: $100x = 35.3535...$,તેથી $99x = 35$,જે આપે છે $x = \frac{35}{99}$.
$0.\overline{28}$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવવા માટે: $100y = 28.2828...$,તેથી $99y = 28$,જે આપે છે $y = \frac{28}{99}$.
બંને અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરતા: $x + y = \frac{35}{99} + \frac{28}{99} = \frac{63}{99}$.
$63$ ને $99$ વડે ભાગતા $0.636363...$ મળે છે,જે $0.\overline{63}$ છે.