Magnetic Equipment's (Tangent galvanometer, Vibration magnetometer and Neutral point) Questions in Hindi

(A) टैंजेंट गैल्वेनोमीटर का सिद्धांत टैंजेंट नियम पर आधारित है, जो बताता है कि $I = K \tan \theta$, जहाँ $I$ विद्युत धारा है, $\theta$ विक्षेप है, और $K$ रिडक्शन फैक्टर है।
इस समीकरण से, $K = I / \tan \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan \theta$ एक विमाहीन राशि है, इसलिए रिडक्शन फैक्टर $K$ की इकाई विद्युत धारा $I$ की इकाई के समान होती है।
अतः, टैंजेंट गैल्वेनोमीटर के रिडक्शन फैक्टर की इकाई एम्पियर $(A)$ है।

(B) टैंजेंट गैल्वेनोमीटर चुंबकत्व के टैंजेंट नियम के सिद्धांत पर आधारित विद्युत धारा को मापता है। जब एक गैल्वेनोमीटर को एक उच्च मानक प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो यह संयोजन एक वोल्टमीटर के रूप में कार्य करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि उच्च प्रतिरोध परिपथ से बहने वाली धारा को सीमित कर देता है,जिससे उपकरण संयोजन के सिरों के बीच विभवांतर को मापने में सक्षम हो जाता है,जो ओम के नियम $(V = IR)$ के अनुसार इसमें बहने वाली धारा के समानुपाती होता है। इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) थर्मोकपल में थर्मोइलेक्ट्रिक इलेक्ट्रोमोटिव फोर्स $(E)$ का संबंध $E = \alpha \theta + \frac{1}{2} \beta \theta^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ जंक्शनों के बीच का तापमान अंतर है।
थर्मोइलेक्ट्रिक पावर को तापमान के सापेक्ष थर्मोइलेक्ट्रिक $EMF$ के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $P = \frac{dE}{dT}$ है।
तटस्थ तापमान $(T_n)$ पर,थर्मोइलेक्ट्रिक $EMF$ अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।
चूंकि तटस्थ तापमान पर $EMF$ अधिकतम होता है,इसलिए उस बिंदु पर तापमान के सापेक्ष इसका अवकलन शून्य होना चाहिए।
अतः,तटस्थ तापमान पर $\frac{dE}{dT} = 0$ होता है।

(D) चुंबकीय याम्योत्तर एक ऊर्ध्वाधर $N-S$ तल है,और पृथ्वी का क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र $(B_H)$ इसी में स्थित होता है।
कुंडली के केंद्र पर उदासीन बिंदु प्राप्त करने के लिए,कुंडली में धारा के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ और पृथ्वी का क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र $(B_H)$ परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए।
वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ कुंडली के तल के लंबवत होता है।
$(B)$ को $(B_H)$ के विपरीत होने के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ को चुंबकीय याम्योत्तर तल में स्थित होना चाहिए।
चूंकि $(B)$ कुंडली के तल के लंबवत है,इसलिए कुंडली का तल चुंबकीय याम्योत्तर तल के लंबवत होना चाहिए। अतः,कुंडली के तल और चुंबकीय याम्योत्तर के बीच का कोण $90^o$ है।

(B) जब एक चुंबक को इस तरह रखा जाता है कि उसका दक्षिणी ध्रुव भौगोलिक उत्तर की ओर हो,तो उदासीन बिंदु चुंबक की अक्षीय रेखा पर स्थित होते हैं।
एक छोटे चुंबक के लिए,उसके केंद्र से $d$ दूरी पर अक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{2M}{d^3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ चुंबकीय आघूर्ण है।
उदासीन बिंदु पर,चुंबक का चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $(B_H)$ के बराबर और विपरीत होता है।
दिया गया है: $d = 20 \, cm$,$B_H = 0.3 \, gauss$.
क्षेत्रों को बराबर करने पर: $\frac{2M}{d^3} = B_H$.
मान रखने पर: $\frac{2M}{(20)^3} = 0.3$.
$\frac{2M}{8000} = 0.3$.
$2M = 0.3 \times 8000 = 2400$.
$M = 1200 \, e.m.u. = 1.2 \times 10^3 \, e.m.u.$

(B) जब एक छड़ चुंबक को उसके उत्तरी ध्रुव को भौगोलिक उत्तर की ओर रखकर रखा जाता है,तो चुंबक के कारण चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं चुंबक के बाहर उत्तर से दक्षिण की ओर निर्देशित होती हैं। पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $(B_H)$ भौगोलिक दक्षिण से भौगोलिक उत्तर की ओर होता है।
चुंबक की निरक्षीय रेखा (विषुवतीय स्थिति) पर,चुंबक के कारण चुंबकीय क्षेत्र उत्तर से दक्षिण की ओर होता है,जो पृथ्वी के क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र की दिशा के विपरीत है।
निरक्षीय रेखा पर कुछ बिंदुओं पर,चुंबक के कारण चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण पृथ्वी के क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र के घटक को पूरी तरह से रद्द कर देता है। इन बिंदुओं को उदासीन बिंदु कहा जाता है।
इसलिए,उदासीन बिंदु निरक्षीय रेखा पर स्थित होते हैं,जो चुंबक के केंद्र से पूर्व और पश्चिम दिशा में होते हैं।

(D) एक छोटे छड़ चुंबक की निरक्षीय रेखा (broadside-on position) पर $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{d^3}$ द्वारा दिया जाता है।
उदासीन बिंदु पर,चुंबक का चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $(B_H)$ के बराबर और विपरीत होता है।
अतः,$\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M_1}{r^3} = B_H$ और $\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M_2}{(2r)^3} = B_H$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{M_1}{r^3} = \frac{M_2}{8r^3}$.
इसलिए,चुंबकीय आघूर्णों का अनुपात $\frac{M_1}{M_2} = \frac{r^3}{8r^3} = \frac{1}{8}$ होगा।

(C) जब एक छड़ चुंबक का $N$-ध्रुव भौगोलिक दक्षिण की ओर और $S$-ध्रुव भौगोलिक उत्तर की ओर होता है,तो चुंबक की चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ और पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $(B_H)$ अक्षीय रेखा पर एक ही दिशा में होते हैं।
हालाँकि,भूमध्यरेखीय रेखा (चुंबकीय अक्ष का लंब समद्विभाजक) पर,छड़ चुंबक का चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र $(B_H)$ की विपरीत दिशा में होता है।
उदासीन बिंदु (null point) वह बिंदु है जहाँ कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि छड़ चुंबक का चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में पृथ्वी के क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र के बराबर और दिशा में विपरीत होता है।
इसलिए,उदासीन बिंदु चुंबकीय अक्ष के लंब समद्विभाजक पर स्थित होते हैं।

(C) उदासीन बिंदु पर, चुंबक द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक के बराबर और दिशा में विपरीत होता है।
एक छोटे छड़ चुंबक की अक्षीय रेखा पर स्थित बिंदु के लिए, चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$
दिया गया है:
चुंबकीय आघूर्ण $M = 6.75 \, Am^2$
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $B_H = 5 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$
क्षेत्रों की तुलना करने पर:
$10^{-7} \times \frac{2 \times 6.75}{d^3} = 5 \times 10^{-5}$
$\frac{13.5 \times 10^{-7}}{d^3} = 5 \times 10^{-5}$
$d^3 = \frac{13.5 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-5}} = 2.7 \times 10^{-2} = 0.027 \, m^3$
$d = \sqrt[3]{0.027} = 0.3 \, m$
सेंटीमीटर में बदलने पर: $d = 0.3 \times 100 = 30 \, cm$.

(B) जब एक छड़ चुंबक को उसकी अक्ष के साथ पूर्व-पश्चिम दिशा में रखा जाता है,तो उसका उत्तरी ध्रुव पूर्व (या पश्चिम) की ओर और दक्षिणी ध्रुव पश्चिम (या पूर्व) की ओर होता है।
इस विन्यास में,चुंबक का चुंबकीय क्षेत्र और पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $(B_H)$ चुंबक की निरक्षीय रेखा पर सभी बिंदुओं पर एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
चूंकि चुंबक का चुंबकीय क्षेत्र और पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र कभी भी एक ही रेखा पर विपरीत दिशाओं में नहीं होते हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त करके शून्य चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न नहीं कर सकते हैं।
अतः,इस अभिविन्यास में कोई भी उदासीन बिंदु नहीं होते हैं।

(A) दिए गए मामले में,कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $H$ और पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $H_0$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
जब एक चुंबकीय सुई को दो परस्पर लंबवत चुंबकीय क्षेत्रों $H$ और $H_0$ में रखा जाता है,तो यह परिणामी चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में संरेखित हो जाती है।
सदिश योग की ज्यामिति से,हम एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं जहाँ आधार $H$ है और लंबवत भुजा $H_0$ है।
चुंबक $H$ के साथ जो कोण $\theta$ बनाता है,वह त्रिकोणमितीय संबंध द्वारा दिया जाता है:
$\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{H_0}{H}$
इसलिए,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{H_0}{H}\right)$।

(A) उदासीन बिंदु अंतरिक्ष में वे बिंदु होते हैं जहाँ दिक्सूचक (compass) की सुई किसी विशिष्ट दिशा में संकेत नहीं करती है। ऐसे बिंदु तब प्राप्त होते हैं जब चुंबक के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र और पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
यदि चुंबक को ऊर्ध्वाधर रखा जाता है,तो चुंबक का केवल एक ध्रुव ही कागज के तल (चुंबकीय याम्योत्तर) के पास होता है।
परिणामस्वरूप,कागज के तल में केवल एक ही बिंदु ऐसा होता है जहाँ परिणामी चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।

(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में स्वतंत्र रूप से लटके हुए चुंबक का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$
जहाँ:
$I$ निलंबन की धुरी के परितः चुंबक का जड़त्व आघूर्ण है।
$M$ चुंबक का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है।
$H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि आवर्तकाल $T$ जड़त्व आघूर्ण $(I)$,चुंबकीय आघूर्ण $(M)$,और पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $(H)$ पर निर्भर करता है।
यह निलंबन धागे की लंबाई पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए,विकल्प $(d)$ सही है।

(C) दो छड़ चुंबकों के चुंबकीय आघूर्ण की तुलना विक्षेप चुंबकत्वमापी (Deflection magnetometer) का उपयोग करके विभिन्न स्थितियों (Tan-$A$ या Tan-$B$) में चुंबकीय सुई के विक्षेप को मापकर की जा सकती है।
वैकल्पिक रूप से,उनकी तुलना दोलन चुंबकत्वमापी (Vibration magnetometer) का उपयोग करके एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकों के दोलन काल को मापकर की जा सकती है,जहाँ चुंबकीय आघूर्ण का अनुपात दोलन काल के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(M_1/M_2 = T_2^2/T_1^2)$.

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B_H$ में मुक्त रूप से लटके हुए छड़ चुंबक पर प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = -M B_H \sin \theta$ कार्य करता है।
छोटे दोलनों के लिए,$\sin \theta \approx \theta$,इसलिए $\tau = -M B_H \theta$।
गति का समीकरण $I \alpha = \tau$ है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
$I \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -M B_H \theta$।
यह सरल आवर्त गति का समीकरण $\frac{d^2 \theta}{dt^2} + \omega^2 \theta = 0$ है,जहाँ $\omega^2 = \frac{M B_H}{I}$ है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M B_H}}$ द्वारा दिया जाता है।

(B) योग स्थिति में,आवर्तकाल $T_S = 2\pi \sqrt{\frac{I_1 + I_2}{(M_1 + M_2)B_H}}$ द्वारा दिया जाता है।
अंतर स्थिति में,आवर्तकाल $T_d = 2\pi \sqrt{\frac{I_1 + I_2}{(M_1 - M_2)B_H}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि अंतर स्थिति में हर (denominator) $(M_1 - M_2)$,योग स्थिति के हर $(M_1 + M_2)$ से छोटा होता है,इसलिए आवर्तकाल $T_d$,$T_S$ से अधिक होता है।
अंतर स्थिति तब उत्पन्न होती है जब दोनों चुंबकों के विपरीत ध्रुव एक ही तरफ रखे जाते हैं,जिसके परिणामस्वरूप शुद्ध चुंबकीय आघूर्ण $(M_1 - M_2)$ प्राप्त होता है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में दोलन करने वाले चुंबकीय द्विध्रुव का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि $T \propto \frac{1}{\sqrt{B_H}}$.
प्रथम स्थान पर दिया गया है,$n_1 = 30 \, \text{दोलन/मिनट} = 0.5 \, \text{Hz}$.
अतः,आवर्तकाल $T_1 = \frac{1}{n_1} = \frac{1}{0.5} = 2 \, \text{sec}$.
मान लीजिए कि प्रथम स्थान पर चुंबकीय क्षेत्र $B_H$ है। तो दूसरे स्थान पर चुंबकीय क्षेत्र $2B_H$ है।
संबंध $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{B_{H1}}{B_{H2}}}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T_2 = T_1 \sqrt{\frac{B_H}{2B_H}} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \, \text{sec}$.

(D) वाइब्रेशन मैग्नेटोमीटर एक उपकरण है जिसका उपयोग दो चुंबकों के चुंबकीय आघूर्ण $(M)$ और चुंबकीय क्षेत्रों के क्षैतिज घटकों $(B_H)$ की तुलना करने के लिए किया जाता है।
यह इस सिद्धांत पर कार्य करता है कि जब एक समान चुंबकीय क्षेत्र में स्वतंत्र रूप से लटका हुआ चुंबक अपनी संतुलन स्थिति से थोड़ा विचलित होता है, तो वह अपनी माध्य स्थिति के चारों ओर सरल आवर्त गति (simple harmonic motion) करता है।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $I$ चुंबक का जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) है।
आवर्तकाल को मापकर, कोई भी विभिन्न चुंबकों के चुंबकीय आघूर्ण या विभिन्न चुंबकीय क्षेत्रों की तीव्रता की तुलना कर सकता है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में दोलन करने वाले चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
चूंकि चुंबकों का आकार और द्रव्यमान समान है,इसलिए उनका जड़त्व आघूर्ण $I$ समान होगा।
अतः,$T \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,जिसका अर्थ है $M \propto \frac{1}{T^2}$।
दी गई आवृत्ति $f_1 = 10 \text{ दोलन/मिनट}$ और $f_2 = 15 \text{ दोलन/मिनट}$ है,इसलिए आवर्तकाल $T_1 = \frac{60}{10} = 6 \text{ s}$ और $T_2 = \frac{60}{15} = 4 \text{ s}$ होगा।
चुंबकीय आघूर्ण का अनुपात $\frac{M_1}{M_2} = \frac{T_2^2}{T_1^2} = \left(\frac{4}{6}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ है।

(C) दोलन करते हुए चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $B_H$ चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
जब चुंबक को चार समान भागों में काटा जाता है (दो अक्ष के साथ और दो अक्ष के लंबवत),तो प्रत्येक भाग के लिए:
नई ध्रुव प्रबलता $m' = \frac{m}{2}$ और नई लंबाई $l' = \frac{l}{2}$ होती है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = m' \times l' = \frac{m}{2} \times \frac{l}{2} = \frac{M}{4}$ होता है।
नया द्रव्यमान $w' = \frac{w}{4}$ होता है।
नया जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{w' (l')^2}{12} = \frac{(w/4) (l/2)^2}{12} = \frac{1}{16} \times \frac{wl^2}{12} = \frac{I}{16}$ होता है।
इन मानों को नए आवर्तकाल $T'$ के सूत्र में रखने पर:
$T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{M'B_H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/16}{(M/4)B_H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{4MB_H}} = \frac{1}{2} \times 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}} = \frac{T}{2}$.

(C) चुंबकीय क्षेत्र में रखे गए दो चुंबकों के लिए कंपन चुंबकत्वमापी (vibration magnetometer) का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
समान ध्रुवों के साथ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_1 + I_2}{(M_1 + M_2)B_H}}$ और विजातीय ध्रुवों के साथ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_1 + I_2}{(M_1 - M_2)B_H}}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि चुंबकों की ध्रुव प्रबलता और लंबाई समान है,इसलिए उनके चुंबकीय आघूर्ण समान हैं,अर्थात $M_1 = M_2 = M$।
विजातीय ध्रुवों के लिए सूत्र में यह मान रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{I_1 + I_2}{(M - M)B_H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I_1 + I_2}{0 \cdot B_H}} = 2\pi \sqrt{\infty}$।
अतः,आवर्तकाल $T = \infty$ होगा।

(B) वाइब्रेशन मैग्नेटोमीटर का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
चुंबकीय ध्रुवों पर,पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $B_H$ शून्य होता है।
सूत्र में $B_H = 0$ रखने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M \times 0}} = \infty$ प्राप्त होता है।
अतः,चुंबकीय ध्रुवों पर आवर्तकाल अनंत हो जाता है।

(C) वाइब्रेशन मैग्नेटोमीटर में,चुंबक को इस तरह लटकाया जाता है कि वह बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में दोलन करे। दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
यदि सस्पेंशन फाइबर में मरोड़ (twists) हैं,तो फाइबर की लोच के कारण एक अतिरिक्त प्रत्यानयन बल आघूर्ण (restoring torque) उत्पन्न होता है। यह प्रभावी प्रत्यानयन बल को बढ़ाता है,जिससे दोलन का आवर्तकाल कम हो जाता है।
इसलिए,यह सुनिश्चित करने के लिए कि चुंबक केवल चुंबकीय आघूर्ण के कारण दोलन करे (अर्थात सही आवर्तकाल मापने के लिए),सस्पेंशन फाइबर के मरोड़ को हटा दिया जाना चाहिए ताकि चुंबक फाइबर के मरोड़ स्थिरांक के प्रभाव के बिना स्वतंत्र रूप से दोलन कर सके।

(A) कंपन चुंबकत्वमापी में चुंबक के दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $T \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$।
इसलिए,आवर्तकाल का अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$ होगा।
दिया गया है $T_1 = 2 \, s$ और $M_2 = 4M_1$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{2}{T_2} = \sqrt{\frac{4M_1}{M_1}} = \sqrt{4} = 2$ प्राप्त होता है।
$T_2$ के लिए हल करने पर,हमें $T_2 = \frac{2}{2} = 1 \, s$ प्राप्त होता है।

(A) दोलन करती चुंबकीय सुई का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
$I = 40 \, g \cdot cm^2 = 40 \times 10^{-3} \, kg \times (10^{-2} \, m)^2 = 4 \times 10^{-6} \, kg \cdot m^2$.
$T = 3 \, s$.
$B_H = 3.6 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$.
मानों को सूत्र में रखने पर:
$3 = 2\pi \sqrt{\frac{4 \times 10^{-6}}{M \times 3.6 \times 10^{-5}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$9 = 4\pi^2 \left( \frac{4 \times 10^{-6}}{M \times 3.6 \times 10^{-5}} \right)$
$\pi^2 \approx 10$ का उपयोग करने पर:
$9 = 40 \left( \frac{4 \times 10^{-6}}{M \times 3.6 \times 10^{-5}} \right)$
$M = \frac{160 \times 10^{-6}}{9 \times 3.6 \times 10^{-5}} = 0.5 \, A \cdot m^2$.

(A) कंपन चुंबकत्वमापी का उपयोग चुंबक के चुंबकीय आघूर्ण या पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $(B_H)$ को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि चुंबक केवल पृथ्वी के क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में ही दोलन करे,उपकरण को चुंबकीय याम्योत्तर में सेट किया जाना चाहिए। यदि इसे चुंबकीय याम्योत्तर के साथ संरेखित नहीं किया जाता है,तो चुंबक पर अतिरिक्त बल या आघूर्ण कार्य कर सकते हैं,जिससे माप में त्रुटि हो सकती है।

(B) एक कंपन करते हुए चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) है, $M$ चुंबकीय आघूर्ण है, और $H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
जब एक पीतल की छड़ को कंपन करते हुए चुंबक पर रखा जाता है, तो निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $(I)$ बढ़ जाता है।
चूंकि आवर्तकाल $T$ जड़त्व आघूर्ण के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक होता है $(T \propto \sqrt{I})$, इसलिए $I$ में वृद्धि होने से आवर्तकाल $T$ में भी वृद्धि होती है।
अतः, कंपन करते हुए चुंबक का आवर्तकाल बढ़ जाता है।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B_H$ में दोलन करने वाली चुंबकीय सुई का आवर्तकाल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$
जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ चुंबकीय आघूर्ण है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $T \propto \frac{1}{\sqrt{B_H}}$।
इसलिए,आवर्तकाल का अनुपात:
$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{B_{H2}}{B_{H1}}}$
यहाँ $B_{H1} = H$ और $B_{H2} = 4H$ दिया गया है,अतः:
$\frac{T}{T_2} = \sqrt{\frac{4H}{H}} = \sqrt{4} = 2$
$T_2 = \frac{T}{2}$
अतः,नया आवर्तकाल $T/2$ होगा।

(B) कंपन चुंबकत्वमापी (vibration magnetometer) का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ कुल चुंबकीय आघूर्ण है।
चूंकि दोनों चुंबकों का द्रव्यमान,लंबाई और चौड़ाई समान है,इसलिए उनका जड़त्व आघूर्ण $I$ समान रहेगा।
योग स्थिति में,कुल चुंबकीय आघूर्ण $M_{sum} = M + 2M = 3M$ है। दिया गया है $T_1 = 3 \, s$,इसलिए $3 \propto \frac{1}{\sqrt{3M}}$.
अंतर स्थिति में,कुल चुंबकीय आघूर्ण $M_{diff} = 2M - M = M$ है। मान लीजिए नया आवर्तकाल $T_2$ है।
अतः,$T_2 \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{3M}{M}} = \sqrt{3}$.
इसलिए,$T_2 = 3 \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \, s$.

(D) वाइब्रेशन मैग्नेटोमीटर का उपयोग करके दो चुम्बकों के चुम्बकीय आघूर्ण ($M_1$ और $M_2$) की तुलना करने के लिए 'योग और अंतर विधि' में,चुम्बकों को समान दिशा (योग) और विपरीत दिशा (अंतर) में रखा जाता है।
अनुपात $\frac{M_1}{M_2} = \frac{T_2^2 + T_1^2}{T_2^2 - T_1^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यह विधि फायदेमंद है क्योंकि:
$1$. चुम्बकों के जड़त्व आघूर्ण $(I)$ की गणना करने की आवश्यकता नहीं होती है,जो इसके निर्धारण से जुड़ी त्रुटियों को समाप्त करता है।
$2$. अन्य विधियों की तुलना में इसमें कम प्रयोगात्मक अवलोकनों की आवश्यकता होती है।
$3$. इसमें शामिल गणितीय गणनाएं अपेक्षाकृत सरल और कम होती हैं।

(C) वाइब्रेशन मैग्नेटोमीटर में चुंबक का दोलन काल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $B$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
चूंकि चुंबक आकार,आकृति और द्रव्यमान में समान हैं,इसलिए उनका जड़त्व आघूर्ण $I$ समान रहता है।
अतः,$T \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
दिया गया है $T_1 = 1.5 \ s$ और $M_2 = \frac{M_1}{4}$.
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{1.5}{T_2} = \sqrt{\frac{M_1/4}{M_1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$T_2 = 1.5 \times 2 = 3 \ s$.

(C) कंपन चुंबकत्वमापी में एक छड़ चुंबक की दोलन आवृत्ति $\nu$ का सूत्र है: $\nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MB_H}{I}}$।
यदि दोनों चुंबकों के लिए जड़त्व आघूर्ण $I$ समान माना जाए,तो $\nu \propto \sqrt{M}$ होता है।
दिया गया है कि चुंबक $A$ की आवृत्ति चुंबक $B$ की तुलना में दोगुनी है,इसलिए $\nu_A = 2\nu_B$।
अतः,$\frac{\nu_A}{\nu_B} = \sqrt{\frac{M_A}{M_B}}$।
मान रखने पर: $2 = \sqrt{\frac{M_A}{M_B}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{M_A}{M_B}$,जिसका अर्थ है कि $M_A = 4M_B$।

(C) कंपन चुंबकत्वमापी में चुंबक का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
चूंकि चुंबक द्रव्यमान,लंबाई और चौड़ाई में समान हैं,इसलिए उनका जड़त्व आघूर्ण $I$ समान होगा।
अतः,$T \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,जिसका अर्थ है $T^2 \propto \frac{1}{M}$ या $M \propto \frac{1}{T^2}$।
यह दिया गया है कि $B$ का आवर्तकाल $A$ के आवर्तकाल का दोगुना है,इसलिए $T_B = 2T_A$।
अतः,चुंबकीय आघूर्णों का अनुपात $\frac{M_A}{M_B} = \left(\frac{T_B}{T_A}\right)^2 = \left(\frac{2T_A}{T_A}\right)^2 = 2^2 = 4$ होगा।
इस प्रकार,अनुपात $M_A/M_B$ का मान $4$ है।

(C) क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र $B_H$ में चुंबक की दोलन आवृत्ति $n$ का सूत्र है: $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MB_H}{I}}$,जहाँ $M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $n \propto \sqrt{MB_H}$.
यहाँ दिया गया है कि नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = 4M$ और नया चुंबकीय क्षेत्र $B_H' = 2B_H$ है।
इन मानों को आनुपातिक संबंध में रखने पर,हमें नई आवृत्ति $n'$ प्राप्त होती है:
$n' \propto \sqrt{M' B_H'} = \sqrt{(4M)(2B_H)} = \sqrt{8MB_H} = 2\sqrt{2} \sqrt{MB_H}$.
चूँकि $n \propto \sqrt{MB_H}$,इसलिए $n' = 2\sqrt{2} n$ होगा।

(C) जब एक चुंबकीय सुई को बिना ऐंठे हुए रेशमी धागे से क्षैतिज रूप से लटकाया जाता है,तो यह पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र में एक चुंबकीय द्विध्रुव (magnetic dipole) के रूप में कार्य करती है।
जब सुई को उसकी संतुलन स्थिति से थोड़ा विस्थापित किया जाता है,तो वह अपने चुंबकीय आघूर्ण $M$ और पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $B_H$ के बीच परस्पर क्रिया के कारण एक प्रत्यानयन बल आघूर्ण (restoring torque) का अनुभव करती है।
बल आघूर्ण का मान $\tau = M \times B_H = MB_H \sin \theta$ होता है।
छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \theta$,इसलिए $\tau \approx MB_H \theta$ होता है।
यह बल आघूर्ण सुई को वापस उसकी संतुलन स्थिति में लाने का कार्य करता है,जिससे वह क्षैतिज तल में दोलन करती है। बिना ऐंठे हुए रेशमी धागे को विशेष रूप से मरोड़ को कम करने के लिए चुना जाता है,ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि प्रत्यानयन बल मुख्य रूप से पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के कारण ही हो।

(A) कंपन चुंबकत्वमापी का आवर्तकाल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$.
यहाँ,$I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण है,जो दोनों स्थिर रहते हैं।
अतः,$T \propto \frac{1}{\sqrt{H}}$,जिसका अर्थ है $H \propto \frac{1}{T^2}$.
दिया गया है कि $T_A = 2 \ s$ और $T_B = 3 \ s$,इसलिए अनुपात:
$\frac{H_A}{H_B} = \frac{T_B^2}{T_A^2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.
अतः,$H_A : H_B$ का अनुपात $9:4$ है।

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B_H$ में दोलन करने वाले छड़ चुंबक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$I$ छड़ चुंबक का जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
द्रव्यमान $m$,लंबाई $l$ और चौड़ाई $b$ वाली आयताकार छड़ चुंबक के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{m(l^2 + b^2)}{12}$ होता है।
आवर्तकाल के सूत्र में $I$ का मान रखने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{m(l^2 + b^2)}{12MB_H}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $T \propto \sqrt{m}$,इसलिए आवर्तकाल इसके द्रव्यमान के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक होता है।

(C) वाइब्रेशन मैग्नेटोमीटर के लिए दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
दो चुंबकों $A$ और $B$ के लिए $M_1 = 2M$ और $M_2 = M$ हैं,और जड़त्व आघूर्ण $I_1$ और $I_2$ हैं।
जब समान ध्रुव एक साथ होते हैं,तो प्रभावी चुंबकीय आघूर्ण $M_{sum} = M_1 + M_2 = 3M$ होता है। आवर्तकाल $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{I_1 + I_2}{(M_1 + M_2)B_H}}$ है।
जब असमान ध्रुव एक साथ होते हैं,तो प्रभावी चुंबकीय आघूर्ण $M_{diff} = M_1 - M_2 = 2M - M = M$ होता है। आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{I_1 + I_2}{(M_1 - M_2)B_H}}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{M_1 - M_2}{M_1 + M_2}} = \sqrt{\frac{2M - M}{2M + M}} = \sqrt{\frac{M}{3M}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) वाइब्रेशन मैग्नेटोमीटर एक समान चुंबकीय क्षेत्र में निलंबित बार चुंबक पर कार्य करने वाले प्रत्यानयन टॉर्क (restoring torque) के सिद्धांत पर कार्य करता है।
जब एक बार चुंबक को क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र (जैसे पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र) में निलंबित किया जाता है और उसे उसकी संतुलन स्थिति से थोड़ा विस्थापित किया जाता है,तो उस पर $\tau = -MB \sin \theta$ का प्रत्यानयन टॉर्क कार्य करता है।
यह टॉर्क चुंबक को चुंबकीय याम्योत्तर के चारों ओर सरल आवर्त गति (simple harmonic oscillations) करने के लिए प्रेरित करता है।
इसलिए,इसका मूल सिद्धांत बार चुंबक पर कार्य करने वाला टॉर्क है।

(A) जब एक टैंजेंट गैल्वेनोमीटर की कुंडली से स्थिर विद्युत धारा $I$ प्रवाहित की जाती है,तो यह कुंडली के केंद्र में एक चुंबकीय क्षेत्र $B$ उत्पन्न करती है,जो पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $H$ के लंबवत होता है।
इन दो परस्पर लंबवत चुंबकीय क्षेत्रों के प्रभाव में,चुंबकीय सुई $\theta$ कोण से विक्षेपित हो जाती है।
टैंजेंट के नियम के अनुसार,$B = H \tan \theta$ होता है।
चूंकि $B$ विद्युत धारा $I$ के सीधे समानुपाती होता है $(B = kI)$,इसलिए हमें $I = (H/k) \tan \theta$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $I \propto \tan \theta$ है।
अतः,टैंजेंट गैल्वेनोमीटर का उपयोग मुख्य रूप से स्थिर विद्युत धारा को मापने के लिए किया जाता है।

(B) टैंजेंट गैल्वेनोमीटर के लिए,धारा $I$ का सूत्र है: $I = \frac{2rB_H}{\mu_0 n} \tan \theta$,जहाँ $r$ त्रिज्या है,$B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है,$n$ फेरों की संख्या है और $\theta$ विक्षेप है।
$\tan \theta$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\tan \theta = \frac{I \mu_0 n}{2r B_H}$.
दिया गया है: $I = 0.1$ $A$,$n = 50$,$r = 4$ $cm = 0.04$ $m$,$B_H = 7 \times 10^{-5}$ $T$,और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ $T \cdot m/A$.
मान रखने पर: $\tan \theta = \frac{0.1 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 50}{2 \times 0.04 \times 7 \times 10^{-5}}$.
$\tan \theta = \frac{0.1 \times 4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 50}{0.08 \times 7 \times 10^{-5}} = \frac{6.283 \times 10^{-6}}{0.56 \times 10^{-5}} = \frac{0.6283}{0.56} \approx 1.122$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1.122) \approx 48.2^o$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र में दोलन करने वाले छड़ चुंबक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$M = 5 \times 10^{-5} \, \text{Wb} \cdot \text{m}$,$B = 8\pi \times 10^{-4} \, \text{T}$,और $T = 15 \, \text{s}$ है।
जड़त्व आघूर्ण $I$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$I = \frac{T^2 MB}{4\pi^2}$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$I = \frac{(15)^2 \times (5 \times 10^{-5}) \times (8\pi \times 10^{-4})}{4\pi^2}$.
$I = \frac{225 \times 40\pi \times 10^{-9}}{4\pi^2} = \frac{2250 \times 10^{-9}}{\pi} \approx 7.16 \times 10^{-7} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$.

(A) टैंजेंट गैल्वेनोमीटर का रिडक्शन फैक्टर $K$ सूत्र $K = \frac{2R B_H}{\mu_0 N}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ कुंडली की त्रिज्या है,$B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है और $N$ फेरों की संख्या है।
दिया गया है कि नए फेरों की संख्या $N' = 2N$ और नई त्रिज्या $R' = 2R$ है।
नया रिडक्शन फैक्टर $K'$ होगा: $K' = \frac{2R' B_H}{\mu_0 N'} = \frac{2(2R) B_H}{\mu_0 (2N)} = \frac{2R B_H}{\mu_0 N} = K$।
अतः,रिडक्शन फैक्टर अपरिवर्तित रहता है।

(D) स्पर्शज्या गैल्वेनोमीटर के लिए,धारा $I = K \tan \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K = \frac{2rB_H}{\mu_0 n}$ है।
चूँकि दोनों के लिए त्रिज्या $r$ और पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $B_H$ समान है,इसलिए $K \propto \frac{1}{n}$ होगा।
अतः,$I = \frac{C}{n} \tan \theta$,जहाँ $C$ एक स्थिरांक है।
चूँकि गैल्वेनोमीटर श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए धारा $I$ दोनों के लिए समान होगी: $I_1 = I_2$।
इसलिए,$\frac{C}{n_1} \tan 60^{\circ} = \frac{C}{n_2} \tan 45^{\circ}$।
$\frac{\sqrt{3}}{n_1} = \frac{1}{n_2}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{n_1}{n_2} = \frac{\sqrt{3}}{1}$ प्राप्त होता है।

(B) कंपन चुंबकत्वमापी का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
जब छड़ $Q$ को $P$ के ऊपर रखा जाता है,तो नया जड़त्व आघूर्ण $I' = I + I = 2I$ हो जाता है।
आवर्तकाल के अपरिवर्तित रहने के लिए $(T' = T)$,नए चुंबकीय आघूर्ण $M'$ को संबंध $T' = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{M'B_H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ को संतुष्ट करना चाहिए।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{2I}{M'} = \frac{I}{M}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $M' = 2M$।
यह इंगित करता है कि निकाय का चुंबकीय आघूर्ण दोगुना हो गया है,जो तब होता है जब $Q$ एक समान चुंबक हो और उसे $P$ के साथ ध्रुवों को संरेखित (उत्तर पर उत्तर,दक्षिण पर दक्षिण) करके रखा गया हो।

(A) कंपन चुंबकत्वमापी की दोलन आवृत्ति $\nu$ का सूत्र $\nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MB}{I}}$ है,जहाँ $M$ चुंबकीय आघूर्ण है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है और $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\nu \propto \sqrt{B}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्ति $\nu_1$ है और प्रारंभिक चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ है। मान लीजिए अंतिम आवृत्ति $\nu_2$ है और अंतिम चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = 4B_1$ है।
अतः,$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{B_2}{B_1}} = \sqrt{\frac{4B_1}{B_1}} = \sqrt{4} = 2$ है।
इसलिए,$\nu_2 = 2\nu_1$ है।
आवृत्ति अपने मूल मान की दोगुनी हो जाएगी।

(B) टेंजेंट गैल्वेनोमीटर में,विद्युत धारा $I$ विक्षेप कोण $\theta$ के टेंजेंट के समानुपाती होती है,जिसे $I = K \tan \theta$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $K$ रिडक्शन फैक्टर है।
दिया गया है कि $I_1 \propto \tan \theta_1$ और $I_2 \propto \tan \theta_2$ है।
अतः $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}$ होगा।
यहाँ $\theta_1 = 45^{\circ}$ और $I_2 = \frac{I_1}{\sqrt{3}}$ है,इसलिए $\frac{I_1}{I_1/\sqrt{3}} = \frac{\tan 45^{\circ}}{\tan \theta_2}$ होगा।
इसे सरल करने पर $\sqrt{3} = \frac{1}{\tan \theta_2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\tan \theta_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
इसलिए,$\theta_2 = 30^{\circ}$ होगा।
विक्षेप में परिवर्तन $\theta_1 - \theta_2 = 45^{\circ} - 30^{\circ} = 15^{\circ}$ है।
इस प्रकार,विक्षेप $15^{\circ}$ कम हो जाएगा।

(D) जब एक चुंबकीय सुई को दो परस्पर लंबवत चुंबकीय क्षेत्रों $F$ और $H$ में रखा जाता है,तो यह परिणामी चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में संरेखित हो जाती है।
मान लीजिए कि सुई द्वारा क्षेत्र $F$ के साथ बनाया गया कोण $\theta = 60^\circ$ है।
वेक्टर घटकों की ज्यामिति से,कोण $\theta$ का स्पर्शज्या (tangent) लंबवत घटक और आधार घटक के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$\tan \theta = \frac{H}{F}$
दिए गए मान $\theta = 60^\circ$ को रखने पर:
$\tan 60^\circ = \frac{H}{F}$
चूंकि $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$,इसलिए:
$\sqrt{3} = \frac{H}{F}$
अतः,अनुपात $\frac{F}{H}$ है:
$\frac{F}{H} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
इस प्रकार,सही विकल्प $(d)$ है।

(D) मान लीजिए कि प्रारंभिक चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = 1 \, T$ है और लंबवत चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \sqrt{3} \, T$ है।
जब एक चुंबकीय सुई को दो परस्पर लंबवत चुंबकीय क्षेत्रों में रखा जाता है,तो यह परिणामी चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में संरेखित हो जाती है।
सुई द्वारा $B_1$ की दिशा के साथ बनाया गया कोण $\theta$,स्पर्शज्या नियम (tangent law) द्वारा दिया जाता है:
$\tan \theta = \frac{B_2}{B_1}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$
चूंकि $\tan 60^o = \sqrt{3}$,इसलिए:
$\theta = 60^o$

(C) जब एक टैंजेंट गैल्वेनोमीटर की कुंडली से विद्युत धारा $I$ प्रवाहित की जाती है,तो कुंडली के तल के लंबवत एक चुंबकीय क्षेत्र $B$ उत्पन्न होता है,अर्थात पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $H$ के लंबवत।
इन दो परस्पर लंबवत चुंबकीय क्षेत्रों $B$ और $H$ के प्रभाव में,गैल्वेनोमीटर की चुंबकीय सुई $\theta$ विक्षेप का अनुभव करती है,जो टैंजेंट नियम द्वारा नियंत्रित होता है।
टैंजेंट नियम के अनुसार,संबंध $B = H \tan \theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $B \propto I$,हमें $I = k \tan \theta$ प्राप्त होता है,जहाँ $k$ गैल्वेनोमीटर का रिडक्शन फैक्टर है।
यह स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि टैंजेंट गैल्वेनोमीटर एक ऐसा उपकरण है जिसका उपयोग परिपथ में विद्युत धारा को मापने के लिए किया जाता है।