Magnetic Equipment's (Tangent galvanometer, Vibration magnetometer and Neutral point) Questions in Hindi

(B) टेंजेंट गैल्वेनोमीटर का सिद्धांत $i = K \tan \theta$ संबंध द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K$ गैल्वेनोमीटर का रिडक्शन फैक्टर है।
इसका अर्थ है $i \propto \tan \theta$.
दिया गया है: $i_1 = \sqrt{3} \text{ A}$,$\theta_1 = 30^{\circ}$ और $i_2 = 3 \text{ A}$.
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{i_1}{i_2} = \frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}$.
मान रखने पर: $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\tan 30^{\circ}}{\tan \theta_2}$.
चूंकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1/\sqrt{3}}{\tan \theta_2}$.
इसे सरल करने पर $\tan \theta_2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta_2 = 45^{\circ}$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र में दोलन करने वाली चुंबकीय सुई का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
$m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई वाली सुई के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ml^2}{12}$ और चुंबकीय आघूर्ण $M = q_m \cdot l$ होता है,जहाँ $q_m$ ध्रुव प्राबल्य है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{ml^2/12}{q_m \cdot l \cdot B}} = 2\pi \sqrt{\frac{ml}{12 q_m B}}$.
चूँकि $T \propto \sqrt{ml}$,जब सुई को आधा काटा जाता है,तो नया द्रव्यमान $m' = m/2$ और नई लंबाई $l' = l/2$ हो जाती है। ध्रुव प्राबल्य $q_m$ समान रहता है।
अतः,$T' = T \sqrt{\frac{m'l'}{ml}} = T \sqrt{\frac{(m/2)(l/2)}{ml}} = T \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{T}{2}$.
दिए गए $T = 1.0 \, s$ के लिए,नया आवर्तकाल $T' = \frac{1.0}{2} = 0.5 \, s$ होगा।

(D) एक स्वतंत्र रूप से लटके हुए चुंबकीय द्विध्रुव का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
$L$ लंबाई,$m$ द्रव्यमान और $q_m$ ध्रुव शक्ति वाले चुंबक के लिए,चुंबकीय आघूर्ण $M = q_m L$ है और जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{mL^2}{12}$ है।
जब चुंबक को उसकी लंबाई के अनुदिश दो बराबर भागों में तोड़ा जाता है,तो नई लंबाई $L' = L/2$ हो जाती है,नया द्रव्यमान $m' = m/2$ हो जाता है और नई ध्रुव शक्ति $q_m$ समान रहती है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = q_m (L/2) = M/2$ हो जाता है।
नया जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{(m/2)(L/2)^2}{12} = \frac{mL^2}{8 \times 12} = I/8$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार है: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{M'B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/8}{(M/2)B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{4MB}} = \frac{1}{2} T$।
चूंकि $T = 2 \ s$ दिया गया है,इसलिए नया आवर्तकाल $T' = \frac{2}{2} = 1 \ s$ होगा।

(D) वाइब्रेशन मैग्नेटोमीटर के लिए दोलन का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$
जहाँ:
$I$ = निलंबन अक्ष के परितः चुंबक का जड़त्व आघूर्ण।
$M$ = चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण।
$H$ = बाह्य चुंबकीय क्षेत्र।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि दोलन का आवर्तकाल $T$ तीनों कारकों $I, M$ और $H$ पर निर्भर करता है।

(D) विक्षेप चुंबकत्वमापी के लिए,शून्य विक्षेप (null point) की स्थिति चुंबकीय क्षेत्रों के संतुलन द्वारा दी जाती है: $\frac{M_1}{d_1^3} = \frac{M_2}{d_2^3}$.
चुंबकीय आघूर्ण का अनुपात $\frac{M_1}{M_2} = \frac{27}{8}$ दिया गया है।
मान लीजिए $M_1$ शक्तिशाली चुंबक है और $M_2$ कमजोर चुंबक है। अतः,$d_2 = 0.12 \ m$.
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{27}{8} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^3$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{3}{2} = \frac{d_1}{0.12}$.
$d_1$ के लिए हल करने पर: $d_1 = \frac{3}{2} \times 0.12 = 1.5 \times 0.12 = 0.18 \ m$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबक के दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M B_H}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ चुंबकीय आघूर्ण है।
इसका अर्थ है $T \propto \frac{1}{\sqrt{B_H}}$,या $B_H \propto \frac{1}{T^2}$।
पहले स्थान पर,आवृत्ति $40 \text{ दोलन/मिनट}$ है,इसलिए आवर्तकाल $T_1 = \frac{60}{40} = 1.5 \,s$ है। चुंबकीय क्षेत्र $(B_H)_1 = 0.1 \times 10^{-5} \,T = 10^{-6} \,T$ है।
दूसरे स्थान पर,आवर्तकाल $T_2 = 2.5 \,s$ है।
अनुपात $\frac{(B_H)_2}{(B_H)_1} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(B_H)_2 = (B_H)_1 \times \left( \frac{1.5}{2.5} \right)^2$
$(B_H)_2 = 10^{-6} \times \left( \frac{3}{5} \right)^2 = 10^{-6} \times \frac{9}{25} = 10^{-6} \times 0.36 = 0.36 \times 10^{-6} \,T$.

(C) टैंजेंट गैल्वेनोमीटर के मामले में,धारा $i = k \tan \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ रिडक्शन फैक्टर है और $\phi$ विक्षेप है।
दोनों पक्षों का $\phi$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{di}{d\phi} = k \sec^2 \phi$ प्राप्त होता है।
अतः,भिन्नात्मक त्रुटि $\frac{di}{i} = \frac{k \sec^2 \phi \cdot d\phi}{k \tan \phi} = \frac{d\phi}{\sin \phi \cos \phi}$ द्वारा दी जाती है।
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर,$\frac{di}{i} = \frac{2 d\phi}{2 \sin \phi \cos \phi} = \frac{2 d\phi}{\sin 2\phi}$ प्राप्त होता है।
त्रुटि $\frac{di}{i}$ को न्यूनतम होने के लिए,$\sin 2\phi$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\sin 2\phi$ का अधिकतम मान $1$ है,जो $2\phi = 90^o$ यानी $\phi = 45^o$ पर होता है।

(A) टैंजेंट गैल्वेनोमीटर टैंजेंट के नियम पर कार्य करता है,जो बताता है कि $F = H \tan \theta$,जहाँ $F$ और $H$ एक-दूसरे के लंबवत दो समान चुंबकीय क्षेत्र हैं।
इन क्षेत्रों में से एक पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $(H)$ है,जो चुंबकीय मेरिडियन (उत्तर-दक्षिण दिशा) के साथ कार्य करता है।
प्रयोग करने के लिए,टैंजेंट गैल्वेनोमीटर की कुंडली को चुंबकीय मेरिडियन में (लंबवत उत्तर-दक्षिण) रखा जाना चाहिए ताकि कुंडली में धारा द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक के लंबवत हो।
यह संरेखण सुनिश्चित करता है कि चुंबकीय सुई,जो शुरू में चुंबकीय मेरिडियन में होती है,कुंडली से धारा प्रवाहित होने पर टैंजेंट के नियम के अनुसार विक्षेपित हो।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में दोलन करने वाले छड़ चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
जब चुंबक को उसकी लंबाई के लंबवत दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = M/2$ हो जाता है और नया जड़त्व आघूर्ण $I' = I/8$ हो जाता है (क्योंकि $I = \frac{1}{12}mL^2$ और द्रव्यमान $m$ आधा हो जाता है,लंबाई $L$ भी आधी हो जाती है)।
नया आवर्तकाल $T'$ होगा: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{M'B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/8}{(M/2)B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{4MB}} = \frac{1}{2} \left( 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}} \right) = \frac{T}{2}$।

(C) वाइब्रेशन मैग्नेटोमीटर में चुंबक की दोलन आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu B_H}{I}}$ है,जहाँ $\mu$ चुंबकीय आघूर्ण है,$B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है और $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
चूँकि $f \propto \sqrt{B_H}$,इसलिए $\frac{f_B}{f_A} = \sqrt{\frac{(B_H)_B}{(B_H)_A}}$ होगा।
यहाँ $f_A = 10 \text{ दोलन/मिनट}$ और $f_B = 20 \text{ दोलन/मिनट}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{20}{10} = \sqrt{\frac{(B_H)_B}{36 \times 10^{-6} \ T}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2^2 = \frac{(B_H)_B}{36 \times 10^{-6} \ T}$।
$4 = \frac{(B_H)_B}{36 \times 10^{-6} \ T}$।
$(B_H)_B = 4 \times 36 \times 10^{-6} \ T = 144 \times 10^{-6} \ T$।

(D) टैंजेंट गैल्वेनोमीटर में धारा $i$ और विक्षेप $\phi$ के बीच का संबंध $i = K \tan \phi$ है,जहाँ $K$ गैल्वेनोमीटर का रिडक्शन फैक्टर है।
अतः,$i \propto \tan \phi$.
दिया गया है कि $i_1 = 2 \ A$ और $\phi_1 = 30^\circ$.
हमें $\phi_2 = 60^\circ$ के लिए $i_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{i_1}{i_2} = \frac{\tan \phi_1}{\tan \phi_2}$.
मान रखने पर: $\frac{2}{i_2} = \frac{\tan 30^\circ}{\tan 60^\circ}$.
चूंकि $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$,इसलिए $\frac{2}{i_2} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.
अतः,$i_2 = 2 \times 3 = 6 \ A$.

(A) सही कथन यह है कि कुंडली के तल को पृथ्वी के चुंबकीय मेरिडियन के समानांतर सेट किया जाना चाहिए,न कि समकोण पर।
जब कुंडली का तल चुंबकीय मेरिडियन के समानांतर होता है,तो कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $(B_H)$ के लंबवत होता है।
यह टैंजेंट नियम के लिए शर्त को पूरा करता है,$B = B_H \tan \theta$।
इसलिए,विकल्प $A$ में दिया गया कथन गलत है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में दोलन करने वाले चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
चूंकि $M = m \times 2l$ (जहाँ $m$ ध्रुव प्रबलता है और $2l$ चुंबक की लंबाई है),इसलिए $T \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होता है।
चूंकि $M \propto m$,इसलिए $T \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ होगा।
दिया गया है कि ध्रुव प्रबलता $m$ अपने मूल मान की $4$ गुना $(m' = 4m)$ हो जाती है,तो नया आवर्तकाल $T'$ होगा:
$T' = T \times \sqrt{\frac{m}{m'}} = 2 \times \sqrt{\frac{m}{4m}} = 2 \times \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \, s$.

(D) विक्षेप चुंबकत्वमापी (समान दूरी विधि) में,चुंबकीय आघूर्ण $M$,$\tan \theta$ के समानुपाती होता है। अतः,$\frac{M_1}{M_2} = \frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}$।
चूंकि चुंबकीय आघूर्ण $M = m \times L$ (जहाँ $m$ ध्रुव प्रबलता है और $L$ लंबाई है),हमारे पास $\frac{m_1 L_1}{m_2 L_2} = \frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}$ है।
दिया गया है कि $\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{2}$,$\theta_1 = 45^\circ$,और $\theta_2 = 30^\circ$।
मान रखने पर: $\frac{m_1}{m_2} \times \frac{1}{2} = \frac{\tan 45^\circ}{\tan 30^\circ} = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3}$।
अतः,$\frac{m_1}{m_2} = 2\sqrt{3} : 1$।

(B) एक स्पर्शज्या गैल्वेनोमीटर में,कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$,पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $B_H$ और विक्षेप कोण $\theta$ से निम्न सूत्र द्वारा संबंधित है:
$B = B_H \tan \theta$
दिया गया है:
$B_H = 0.34 \times 10^{-4} \, T$
$\theta = 30^\circ$
मान रखने पर:
$B = (0.34 \times 10^{-4}) \times \tan 30^\circ$
चूंकि $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$:
$B = 0.34 \times 10^{-4} \times 0.577$
$B \approx 0.196 \times 10^{-4} \, T$
$B = 1.96 \times 10^{-5} \, T$

(B) टैंजेंट गैल्वेनोमीटर का सिद्धांत $I = K \tan \phi$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है,$K$ रिडक्शन फैक्टर है और $\phi$ विक्षेप कोण है।
दिए गए गैल्वेनोमीटर के लिए $K$ स्थिर है,इसलिए $I \propto \tan \phi$ होता है।
अतः,अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\tan \phi_1}{\tan \phi_2}$ होगा।
यहाँ $I_1 = 0.1 \, A$,$\phi_1 = 30^\circ$,और $\phi_2 = 60^\circ$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{0.1}{I_2} = \frac{\tan 30^\circ}{\tan 60^\circ}$.
हम जानते हैं कि $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$.
इसलिए,$\frac{0.1}{I_2} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.
अतः,$I_2 = 0.1 \times 3 = 0.3 \, A$.

(A) चुंबकीय क्षेत्र में दोलन कर रहे छड़ चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
$m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई वाली छड़ चुंबक के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ml^2}{12}$ होता है।
इसे सूत्र में रखने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{ml^2}{12MB}}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $T \propto \sqrt{m}$ है।
यदि द्रव्यमान $m$ को चार गुना $(m' = 4m)$ कर दिया जाए,तो नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{4ml^2}{12MB}} = 2 \times (2\pi \sqrt{\frac{ml^2}{12MB}}) = 2T$ हो जाता है।
गति $S.H.M.$ ही बनी रहती है क्योंकि छोटे दोलनों के लिए प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = -MB \sin \theta \approx -MB \theta$ होता है।

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव के दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
मूल चुंबक के लिए जिसका द्रव्यमान $m$ और लंबाई $l$ है,$I = \frac{ml^2}{12}$ और $M = m_s l$ (जहाँ $m_s$ ध्रुव शक्ति है)।
जब चुंबक को उसकी लंबाई के अनुदिश दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक टुकड़े के लिए: द्रव्यमान $m' = \frac{m}{2}$,लंबाई $l' = \frac{l}{2}$,और ध्रुव शक्ति $m_s' = m_s$ होती है।
नया जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{m' (l')^2}{12} = \frac{(m/2) (l/2)^2}{12} = \frac{1}{8} \left( \frac{ml^2}{12} \right) = \frac{I}{8}$।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = m_s l' = m_s (l/2) = \frac{M}{2}$।
नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{M'B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/8}{(M/2)B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{4MB}} = \frac{1}{2} \left( 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}} \right) = \frac{T}{2}$।
अतः,अनुपात $\frac{T'}{T} = \frac{1}{2}$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में दोलन कर रहे छड़ चुंबक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$I$ छड़ चुंबक का जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
$w$ द्रव्यमान,$L$ लंबाई और $b$ चौड़ाई वाले आयताकार छड़ चुंबक के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{w(L^2 + b^2)}{12}$ होता है।
चूंकि $I \propto w$,हम लिख सकते हैं कि $T \propto \sqrt{I} \propto \sqrt{w}$।
यदि द्रव्यमान $w$ को $4$ गुना बढ़ा दिया जाए,तो नया आवर्तकाल $T'$ होगा: $T' = T \sqrt{4} = 2T$।

(B) कंपन चुंबकत्वमापी में चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ चुंबकीय आघूर्ण है।
प्रारंभ में,$T = 2 \, s = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$.
जब चुंबक को उसकी लंबाई के अनुदिश तीन बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग के लिए द्रव्यमान $m' = m/3$ और लंबाई $l' = l/3$ होती है।
प्रत्येक भाग का केंद्र से जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{1}{12} m' (l')^2 = \frac{1}{12} (m/3) (l/3)^2 = \frac{I}{27}$ होता है।
प्रत्येक भाग का चुंबकीय आघूर्ण $M' = M/3$ होता है।
जब ऐसे तीन भागों को एक-दूसरे के ऊपर रखा जाता है,तो कुल जड़त्व आघूर्ण $I_s = 3 \times I' = 3 \times (I/27) = I/9$ होता है।
कुल चुंबकीय आघूर्ण $M_s = 3 \times M' = 3 \times (M/3) = M$ होता है।
नया आवर्तकाल $T_s = 2\pi \sqrt{\frac{I_s}{M_s B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/9}{MB}} = \frac{1}{3} \times 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}} = \frac{T}{3}$ होता है।
$T = 2 \, s$ रखने पर,हमें $T_s = 2/3 \, s$ प्राप्त होता है।

(C) क्षैतिज तल में दोलन करने वाले चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B_H = B \cos \phi$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
अतः,$T \propto \frac{1}{\sqrt{B \cos \phi}}$,जिसका अर्थ है $B \propto \frac{1}{T^2 \cos \phi}$.
दिया गया है $T_1 = 2 \ s$,$\phi_1 = 30^o$ और $T_2 = 3 \ s$,$\phi_2 = 60^o$.
परिणामी चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात $\frac{B_1}{B_2} = \frac{T_2^2 \cos \phi_2}{T_1^2 \cos \phi_1}$ है।
मान रखने पर: $\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 \times \frac{\cos 60^o}{\cos 30^o} = \frac{9}{4} \times \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{9}{4\sqrt{3}}$.

(C) चुम्बकीय आघूर्ण $M$ और जड़त्व आघूर्ण $I$ वाली एक छड़ चुम्बक का चुम्बकीय क्षेत्र $H$ में आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ होता है।
दो समान चुम्बकों को लम्बवत रखने पर बने संयोजन के लिए,कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I + I = 2I$ है।
परिणामी चुम्बकीय आघूर्ण $M_{res} = \sqrt{M^2 + M^2} = \sqrt{2}M$ है।
संयोजन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_{total}}{M_{res}H}} = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{\sqrt{2}MH}} = 2\pi \sqrt{\frac{\sqrt{2}I}{MH}}$ है।
इसे हम $T = 2^{1/4} \times 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}} = 2^{1/4} T'$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$T' = \frac{T}{2^{1/4}} = 2^{-1/4} T$ प्राप्त होता है।

(B) स्पर्शज्या गैल्वेनोमीटर का सिद्धांत इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $B = B_H \tan \theta$,जहाँ $B$ कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र है।
वृत्ताकार कुंडली के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र रखने पर: $\frac{\mu_0 n i}{2r} = B_H \tan \theta$.
धारा $i$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $i = \frac{2r B_H \tan \theta}{\mu_0 n}$.
दिए गए मान: $r = 0.1\,m$,$n = 10$,$B_H = 4 \times 10^{-5}\,T$,$\theta = 60^{\circ}$,और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,T\cdot m/A$.
इन मानों को रखने पर: $i = \frac{2 \times 0.1 \times 4 \times 10^{-5} \times \tan(60^{\circ})}{10 \times 4\pi \times 10^{-7}}$.
चूंकि $\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \approx 1.732$,इसलिए $i = \frac{0.8 \times 10^{-5} \times 1.732}{4\pi \times 10^{-6}} = \frac{0.8 \times 1.732}{4\pi \times 0.1} \approx 1.1\,A$.

(D) प्रारंभ में,उदासीन बिंदु चुंबक की निरक्षीय रेखा (equatorial line) पर प्राप्त होता है। उदासीन बिंदु पर,पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक का परिमाण $(B_H)$ छड़ चुंबक के कारण उसकी निरक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र $(B_e)$ के बराबर होता है। अतः,$|B_H| = |B_e|$।
जब चुंबक को $90^o$ घुमाया जाता है,तो बिंदु $P$ अब चुंबक की अक्षीय रेखा (axial line) पर आ जाता है। छड़ चुंबक के कारण उसकी अक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र $B_a = 2 B_e$ होता है। चूँकि $B_e = B_H$,इसलिए $B_a = 2 B_H$ होगा।
पृथ्वी का क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र $B_H$ उसी दिशा में रहता है। बिंदु $P$ पर शुद्ध चुंबकीय क्षेत्र $B$,$B_a$ और $B_H$ का सदिश योग है,जो एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,शुद्ध चुंबकीय प्रेरण $B = \sqrt{B_a^2 + B_H^2} = \sqrt{(2 B_H)^2 + B_H^2} = \sqrt{4 B_H^2 + B_H^2} = \sqrt{5} B_H$ होगा।

(C) कंपन चुंबकत्वमापी का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$M$ चुंबकीय आघूर्ण और $I$ जड़त्व आघूर्ण वाले दो समान चुंबक एक-दूसरे के लंबवत रखे गए हैं।
परिणामी चुंबकीय आघूर्ण $M_1 = \sqrt{M^2 + M^2} = M\sqrt{2}$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I + I = 2I$ है।
प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{M\sqrt{2} B_H}} = 2\pi \sqrt{\frac{\sqrt{2}I}{MB_H}} = 2^{1/4} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ है।
दिया गया है कि $T_1 = 2^{5/4} \ s$,इसलिए $2^{5/4} = 2^{1/4} \cdot T_0$,जहाँ $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ एक अकेले चुंबक का आवर्तकाल है।
अतः,$T_0 = \frac{2^{5/4}}{2^{1/4}} = 2^1 = 2 \ s$।
जब एक चुंबक हटा दिया जाता है,तो शेष चुंबक का आवर्तकाल $T_2 = T_0 = 2 \ s$ होता है।

(B) कंपन चुंबकत्वमापी का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $H$ चुंबकीय क्षेत्र है।
अतः,$T \propto \frac{1}{\sqrt{B_{net}}}$,जहाँ $B_{net}$ परिणामी चुंबकीय क्षेत्र है।
प्रारंभ में,$T_1 = 2 \ s$ और $B_{net1} = H$ है।
जब चुंबक को पास और समानांतर लाया जाता है,तो परिणामी क्षेत्र $B_{net2} = H + F$ हो जाता है और आवर्तकाल $T_2 = 1 \ s$ हो जाता है।
अनुपात लेने पर: $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{H+F}{H}}$.
मान रखने पर: $\frac{2}{1} = \sqrt{1 + \frac{F}{H}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = 1 + \frac{F}{H} \Rightarrow \frac{F}{H} = 3$.
इसलिए,अनुपात $\frac{H}{F} = \frac{1}{3}$ होगा।

(C) माना $M_1$ और $M_2$ चुंबकों के चुंबकीय आघूर्ण हैं और $H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
संतुलन में,तार का प्रत्यानयन बल आघूर्ण (restoring torque) चुंबकीय बल आघूर्ण के बराबर होता है: $\tau = C\phi = MH \sin \theta$,जहाँ $C$ प्रति इकाई ऐंठन प्रत्यानयन बल आघूर्ण है,$\phi$ तार का ऐंठन कोण है और $\theta$ विक्षेपण कोण है।
पहले चुंबक के लिए: $\phi_1 = 180^o - 30^o = 150^o$. अतः,$C(150^o) = M_1 H \sin 30^o$.
दूसरे चुंबक के लिए: $\phi_2 = 270^o - 30^o = 240^o$. अतः,$C(240^o) = M_2 H \sin 30^o$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{M_1}{M_2} = \frac{150^o}{240^o} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$.
अतः,चुंबकीय आघूर्णों का अनुपात $5:8$ है।

(C) चुंबकीय याम्योत्तर के लंबवत ऊर्ध्वाधर तल में,सुई पर कार्य करने वाला प्रभावी चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक $B_V$ है। आवर्तकाल $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_V}} = 2 \text{ s}$ द्वारा दिया जाता है।
क्षैतिज तल में,सुई पर कार्य करने वाला प्रभावी चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $B_H$ है। आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}} = 2 \text{ s}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $T_1 = T_2$,इसलिए $B_V = B_H$ है।
नति कोण $\phi$ को संबंध $\tan \phi = \frac{B_V}{B_H}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
$B_V = B_H$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tan \phi = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\phi = 45^o$।

(C) दोलन करते हुए चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m B_H}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$m$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
प्रारंभ में,$T = 0.1 \, s$ और $B_H = 24 \, \mu T$ है।
$i$ धारा वाले एक लंबे ऊर्ध्वाधर तार से $a$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2i}{a}$ होता है।
यहाँ $i = 18 \, A$ और $a = 20 \, cm = 0.2 \, m$ दिया गया है,इसलिए $B = 10^{-7} \cdot \frac{2 \times 18}{0.2} = 18 \times 10^{-6} \, T = 18 \, \mu T$ है।
चूंकि तार पूर्व में है और धारा नीचे की ओर है,दाएं हाथ के नियम के अनुसार,चुंबक की स्थिति पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ उत्तर दिशा में,यानी $B_H$ की दिशा में ही होगा।
अतः,नया कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_H + B = 24 \, \mu T + 18 \, \mu T = 42 \, \mu T$ होगा।
नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m(B_H + B)}}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{B_H}{B_H + B}} = \sqrt{\frac{24}{24 + 18}} = \sqrt{\frac{24}{42}} = \sqrt{\frac{4}{7}} \approx 0.7559$ है।
अतः,$T' = 0.1 \times 0.7559 \approx 0.0756 \, s \approx 0.076 \, s$।

(B) टैंजेंट गैल्वेनोमीटर में,धारा $i$ और विक्षेप $\theta$ के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है: $i = K \tan \theta$,जहाँ $K$ गैल्वेनोमीटर का रिडक्शन फैक्टर है।
इसका अर्थ है कि $\theta = \arctan(i/K)$।
जैसे-जैसे $i$ बढ़ता है,$\tan \theta$ बढ़ता है। $\theta$ के छोटे मानों के लिए,$\tan \theta \approx \theta$,जिससे ग्राफ लगभग रैखिक हो जाता है। जैसे-जैसे $\theta$,$\pi/2$ के करीब पहुँचता है,$\tan \theta$ अनंत की ओर बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि $\theta$ बढ़ने के साथ $\theta$ बनाम $i$ वक्र का ढलान कम होना चाहिए (वक्र $i$-अक्ष की ओर झुकता है)।
दिए गए ग्राफ को देखने पर,वक्र $b$ इस विशिष्ट व्यवहार को दर्शाता है जहाँ $i$ के सापेक्ष $\theta$ के बढ़ने की दर कम हो जाती है,जो इन्वर्स टेंजेंट फलन के आकार को सही ढंग से प्रस्तुत करता है।
अतः,सही विकल्प $b$ है।

(C) जब चुंबक का दक्षिणी ध्रुव भौगोलिक उत्तर की ओर होता है,तो उदासीन बिंदु उसकी अक्षीय रेखा पर स्थित होता है। अक्षीय बिंदु पर चुंबक के कारण चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{r^3}$ है।
उदासीन बिंदु पर,चुंबक का चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $(B_H)$ के बराबर होता है:
$\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{r^3} = B_H$
यहाँ,$r = 20 \, cm = 0.2 \, m$,$B_H = 0.3 \times 10^{-4} \, T$,और $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$ है।
मान रखने पर:
$10^{-7} \cdot \frac{2M}{(0.2)^3} = 0.3 \times 10^{-4}$
$10^{-7} \cdot \frac{2M}{0.008} = 0.3 \times 10^{-4}$
$2M = 0.3 \times 10^{-4} \times 0.008 \times 10^7$
$2M = 2.4$
$M = 1.2 \, A \cdot m^2$.
चूंकि $1 \, A \cdot m^2 = 1000 \, ab-amp \cdot cm^2$,इसलिए:
$M = 1.2 \times 1000 = 1200 \, ab-amp \cdot cm^2$.

(D) वाइब्रेशन मैग्नेटोमीटर के लिए दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब समान ध्रुव साथ होते हैं,तो चुम्बकीय आघूर्ण का योग $(M_1 + M_2)$ होता है,इसलिए आवर्तकाल $T_s = \frac{60}{12} = 5 \ s$ है।
जब असमान ध्रुव साथ होते हैं,तो चुम्बकीय आघूर्ण का अंतर $(M_1 - M_2)$ होता है,इसलिए आवर्तकाल $T_d = \frac{60}{4} = 15 \ s$ है।
चुम्बकीय आघूर्ण का अनुपात $\frac{M_1}{M_2} = \frac{T_d^2 + T_s^2}{T_d^2 - T_s^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{M_1}{M_2} = \frac{15^2 + 5^2}{15^2 - 5^2} = \frac{225 + 25}{225 - 25} = \frac{250}{200} = \frac{5}{4}$.

(B) टैंजेंट गैल्वेनोमीटर का सिद्धांत निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $B = B_H \tan \theta$,जहाँ $B$ कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र है,$B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है और $\theta$ विक्षेप कोण है।
दिया गया है:
$B_H = 0.34 \times 10^{-4} \, T$
$\theta = 30^{\circ}$
मान रखने पर:
$B = (0.34 \times 10^{-4}) \times \tan(30^{\circ})$
चूंकि $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.57735$
$B = 0.34 \times 10^{-4} \times 0.57735$
$B \approx 0.1963 \times 10^{-4} \, T$
$B \approx 1.963 \times 10^{-5} \, T$
अतः,कुंडली का चुंबकीय क्षेत्र $1.96 \times 10^{-5} \, T$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र $B_H$ में स्वतंत्र रूप से लटके हुए चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ चुंबकीय आघूर्ण है।
सूत्र से,$T \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
माना प्रारंभिक चुंबकीय आघूर्ण $M_1 = 100$ है और अंतिम चुंबकीय आघूर्ण $M_2 = 100 - 19 = 81$ है।
आवर्तकाल का अनुपात $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}} = \sqrt{\frac{100}{81}} = \frac{10}{9}$ है।
प्रतिशत परिवर्तन की गणना: $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 = (\frac{10}{9} - 1) \times 100 = \frac{1}{9} \times 100 \approx 11.11\%$.
अतः,आवर्तकाल में लगभग $11\%$ की वृद्धि होती है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में दोलन करने वाली चुंबकीय सुई का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B_H = B \cos \phi$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
अतः,$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB \cos \phi}}$,जिसका अर्थ है $T \propto \frac{1}{\sqrt{B \cos \phi}}$.
यहाँ $n_1 = 20$ दोलन $60 \ s$ में,इसलिए $T_1 = \frac{60}{20} = 3 \ s$ और $\phi_1 = 30^{\circ}$.
यहाँ $n_2 = 15$ दोलन $60 \ s$ में,इसलिए $T_2 = \frac{60}{15} = 4 \ s$ और $\phi_2 = 60^{\circ}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{B_2 \cos \phi_2}{B_1 \cos \phi_1}} \Rightarrow \frac{3}{4} = \sqrt{\frac{B_2 \cos 60^{\circ}}{B_1 \cos 30^{\circ}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{9}{16} = \frac{B_2}{B_1} \times \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{B_2}{B_1} \times \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{16}{9\sqrt{3}}$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में दोलन करने वाले चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,चुंबकीय क्षेत्र $H$ है,इसलिए $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}} = 2 \, s$.
जब समान दिशा में बाहरी क्षेत्र $F$ लगाया जाता है,तो कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = H + F$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M(H+F)}} = 1 \, s$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{T}{T'} = \sqrt{\frac{H+F}{H}} = \sqrt{1 + \frac{F}{H}}$.
मान रखने पर: $\frac{2}{1} = \sqrt{1 + \frac{F}{H}} \Rightarrow 4 = 1 + \frac{F}{H} \Rightarrow \frac{F}{H} = 3$.
अतः,अनुपात $\frac{H}{F} = \frac{1}{3}$ होगा।

(D) क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र में दोलन करने वाले चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $T \propto \sqrt{I}$ है।
प्रारंभ में,जड़त्व आघूर्ण $I$ है। जब चुंबक के साथ उसी के समान जड़त्व आघूर्ण $I$ वाला एक लकड़ी का गुटका जोड़ा जाता है,तो निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I' = I + I = 2I$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार होगा: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{MB_H}} = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{MB_H}}$।
अतः,$T' = \sqrt{2} \times (2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}) = \sqrt{2}T$।

(C) एक छोटे छड़ चुंबक के लिए $\tan A$ स्थिति में,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{d^3}$ द्वारा दिया जाता है।
विक्षेप गैल्वेनोमीटर में,$B = H \tan \theta$,जहाँ $H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
अतः,$\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{d^3} = H \tan \theta$ ..... $(i)$
जब दूरी दोगुनी कर दी जाती है $(d' = 2d)$,तो नया विक्षेप $\theta'$ इस प्रकार होगा:
$\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{(2d)^3} = H \tan \theta'$ ..... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\tan \theta'}{\tan \theta} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$\tan \theta' = \frac{\tan 60^\circ}{8} = \frac{\sqrt{3}}{8}$
$\theta' = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{8}\right)$

(C) टैंजेंट गैल्वेनोमीटर का सूत्र $I = K \tan \theta$ है,जहाँ $K = \frac{2r B_H}{\mu_0 n}$ है।
दिया गया है: $I = 10 \, mA = 10 \times 10^{-3} \, A$,$\theta = 45^{\circ}$,$B_H = 3.6 \times 10^{-5} \, T$,$r = 10 \, cm = 0.1 \, m$.
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $I = K$,अतः $n = \frac{2r B_H}{\mu_0 I}$.
मान रखने पर: $n = \frac{2 \times 0.1 \times 3.6 \times 10^{-5}}{4\pi \times 10^{-7} \times 10 \times 10^{-3}}$.
गणना करने पर: $n = \frac{0.72 \times 10^{-5}}{12.56 \times 10^{-10}} = 573.25$। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $570$ है।

(B) कंपन चुंबकत्वमापी का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $T \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
इसलिए,आवर्तकाल का अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$ होगा।
यह दिया गया है कि चुंबकीय आघूर्ण $36\%$ कम हो जाता है,यदि प्रारंभिक चुंबकीय आघूर्ण $M_1 = 100$ है,तो अंतिम चुंबकीय आघूर्ण $M_2 = 100 - 36 = 64$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{64}{100}} = \frac{8}{10} = 0.8$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $T_2 = \frac{T_1}{0.8} = 1.25 T_1$.
आवर्तकाल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100\% = (1.25 - 1) \times 100\% = 25\%$ है।

(A) माना चुम्बकीय आघूर्ण $M_1$ और $M_2$ हैं,जहाँ $\frac{M_1}{M_2} = \frac{13}{5}$ है।
जब समान ध्रुव एक साथ होते हैं,तो प्रभावी चुम्बकीय आघूर्ण $M_s = M_1 + M_2$ होता है और आवृत्ति $\nu_s = 15 \text{ oscillations/min}$ है।
जब असमान ध्रुव एक साथ होते हैं,तो प्रभावी चुम्बकीय आघूर्ण $M_d = M_1 - M_2$ होता है और आवृत्ति $\nu_d$ है।
कम्पन चुम्बकत्वमापी की आवृत्ति $\nu \propto \sqrt{M}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$\frac{\nu_s}{\nu_d} = \sqrt{\frac{M_1 + M_2}{M_1 - M_2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{\nu_s^2}{\nu_d^2} = \frac{M_1 + M_2}{M_1 - M_2} = \frac{13 + 5}{13 - 5} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$.
वर्गमूल लेने पर: $\frac{\nu_s}{\nu_d} = \frac{3}{2}$.
दिया गया है $\nu_s = 15$,इसलिए $\frac{15}{\nu_d} = \frac{3}{2}$.
$\nu_d$ के लिए हल करने पर: $\nu_d = \frac{15 \times 2}{3} = 10 \text{ oscillations/min}$.

(D) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में दोलन करने वाले चुंबकीय द्विध्रुव का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
प्रारंभ में,जड़त्व आघूर्ण $I$ है। अतः,$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$.
जब चुंबक के साथ उसी जड़त्व आघूर्ण $I$ का लकड़ी का एक टुकड़ा जोड़ा जाता है,तो निकाय का नया जड़त्व आघूर्ण $I' = I + I = 2I$ हो जाता है।
चुंबकीय आघूर्ण $M$ अपरिवर्तित रहता है।
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार है: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{MB_H}} = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{MB_H}}$.
इसकी तुलना प्रारंभिक आवर्तकाल से करने पर,हमें $T' = \sqrt{2} \times (2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}) = \sqrt{2}T$ प्राप्त होता है।

(C) कंपन चुंबकत्वमापी में चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $L$ लंबाई,$m$ द्रव्यमान और $M$ चुंबकीय आघूर्ण वाले चुंबक को उसकी लंबाई के अनुदिश $6$ समान भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का द्रव्यमान $m' = m/6$,लंबाई $l' = L/6$ और चुंबकीय आघूर्ण $M' = M/6$ होता है।
प्रत्येक भाग का जड़त्व आघूर्ण $I_{part} = \frac{I}{6^3}$ लेने पर,निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{net} = 6 \times \frac{I}{216} = \frac{I}{36}$ होता है।
चित्र से,$2$ चुंबक एक दिशा में और $4$ चुंबक विपरीत दिशा में हैं। अतः कुल चुंबकीय आघूर्ण $M_{net} = \frac{2M}{6} - \frac{4M}{6} = -\frac{2M}{6} = -\frac{M}{3}$ है। इसका परिमाण $|M_{net}| = \frac{M}{3}$ है।
नया आवर्तकाल $T'$ होगा: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I_{net}}{|M_{net}|H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/36}{(M/3)H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{12MH}} = \frac{1}{\sqrt{12}} \times 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}} = \frac{T}{2\sqrt{3}}$।

(A) दिया गया है:
चुंबकीय आघूर्ण,$M = 6.7 \times 10^{-2} \ Am^2$
चुंबकीय क्षेत्र,$B = 0.01 \ T$
जड़त्व आघूर्ण,$I = 7.5 \times 10^{-6} \ kgm^2$
सरल आवर्त दोलन करने वाली चुंबकीय सुई का आवर्तकाल $T$ निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$
मान रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{7.5 \times 10^{-6}}{6.7 \times 10^{-2} \times 0.01}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{7.5 \times 10^{-6}}{6.7 \times 10^{-4}}}$
$T = 2\pi \sqrt{1.1194 \times 10^{-2}}$
$T = 2\pi \times 0.1058 \approx 0.665 \ s$
$10$ पूर्ण दोलनों के लिए लिया गया समय:
$t = 10 \times T = 10 \times 0.665 = 6.65 \ s$

(B) कंपन चुंबकत्वमापी का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $B_H$ क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र है।
दो समान चुंबकों (प्रत्येक $I_0$ जड़त्व आघूर्ण और $M_0$ चुंबकीय आघूर्ण के साथ) के संयोजन के लिए जो परस्पर लंबवत हैं और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं:
कुल जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I_0 + I_0 = 2I_0$.
परिणामी चुंबकीय आघूर्ण $M_1 = \sqrt{M_0^2 + M_0^2} = M_0\sqrt{2}$.
दिया गया है $T_1 = 4 \, s$,इसलिए $4 = 2\pi \sqrt{\frac{2I_0}{M_0\sqrt{2} B_H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I_0\sqrt{2}}{M_0 B_H}}$.
जब एक चुंबक को हटा दिया जाता है:
नया जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_0$.
नया चुंबकीय आघूर्ण $M_2 = M_0$.
नया आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{I_0}{M_0 B_H}}$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{I_0\sqrt{2}}{M_0 B_H}}}{2\pi \sqrt{\frac{I_0}{M_0 B_H}}} = \sqrt{\sqrt{2}} = 2^{1/4}$.
अतः,$T_2 = \frac{T_1}{2^{1/4}} = \frac{4}{2^{1/4}} = \frac{2^2}{2^{1/4}} = 2^{2 - 1/4} = 2^{7/4} \, s$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबक का दोलन काल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है।
मूल चुंबक के लिए जिसका द्रव्यमान $m$ और लंबाई $\ell$ है,$I = \frac{m\ell^2}{12}$ और $M = q_m \ell$ (जहाँ $q_m$ ध्रुव शक्ति है)।
जब चुंबक को उसकी लंबाई के अनुदिश दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो नई लंबाई $\ell' = \ell/2$ और नया द्रव्यमान $m' = m/2$ हो जाता है।
नई ध्रुव शक्ति $q_m$ समान रहती है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = q_m \ell' = q_m (\ell/2) = M/2$.
नया जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{m'(\ell')^2}{12} = \frac{(m/2)(\ell/2)^2}{12} = \frac{m\ell^2}{12 \times 8} = I/8$.
नया दोलन काल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{M'B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/8}{(M/2)B}} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{I}{MB}} = \frac{1}{2} T$.
अतः,अनुपात $T'/T = 1/2$ है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B_{H}$ में दो चुंबकों के संयोजन के लिए दोलन काल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_{total}}{M_{total} B_{H}}}$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिति $1$: जब समान ध्रुव एक ही तरफ होते हैं,तो प्रभावी चुंबकीय आघूर्ण $M_{eff} = M + 2M = 3M$ होता है। जड़त्व आघूर्ण $I = I_{1} + I_{2}$ होता है।
अतः,$T_{1} = 2\pi \sqrt{\frac{I_{1} + I_{2}}{3M B_{H}}}$.
स्थिति $2$: जब एक चुंबक की ध्रुवता उलट दी जाती है,तो प्रभावी चुंबकीय आघूर्ण $M_{eff} = |2M - M| = M$ होता है। जड़त्व आघूर्ण $I = I_{1} + I_{2}$ समान रहता है।
अतः,$T_{2} = 2\pi \sqrt{\frac{I_{1} + I_{2}}{M B_{H}}}$.
$T_{1}$ और $T_{2}$ की तुलना करने पर,चूंकि $T_{2}$ का हर $T_{1}$ से छोटा है,इसलिए $T_{1} < T_{2}$ प्राप्त होता है।