Magnetic field due to magnetic dipole and Dipole in Magnetic Field and Poential Energy and Work Done Questions in Hindi

(A) चुंबकीय द्विध्रुव (धारा लूप) की अक्ष पर $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{x^3}$
दिया गया है:
$M$ = $2.1 \times 10^{-25} \text{ A m}^2$
x = $1 \text{ Å} = 10^{-10} \text{ m}$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{ T m/A}$
मान रखने पर:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 2.1 \times 10^{-25}}{(10^{-10})^3}$
$B = 10^{-7} \times \frac{4.2 \times 10^{-25}}{10^{-30}}$
$B = 4.2 \times 10^{-7} \times 10^{-25} \times 10^{30}$
$B = 4.2 \times 10^{-2} \text{ Wb/m}^2$

(C) $M$ चुंबकीय आघूर्ण वाले एक छोटे छड़ चुंबक के केंद्र से $d$ दूरी पर स्थित अक्षीय बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B_{axial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \times \frac{2M}{d^3}$
इस व्यंजक को सरल करने पर:
$B_{axial} = \frac{\mu_0}{2\pi} \times \frac{M}{d^3}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) एक छोटे छड़ चुंबक की अक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ चुंबक के केंद्र से दूरी है।
यहाँ दूरी $x$ निकटतम ध्रुव से दी गई है। चुंबक की लंबाई $2l = 2 \ cm$ है,इसलिए $l = 1 \ cm$। केंद्र से दूरी $r = (x + l)$ होगी।
छोटे चुंबक के सन्निकटन के लिए जहाँ $x \gg l$ है,चुंबकीय क्षेत्र $B \propto \frac{1}{x^3}$ होता है।
अतः,$A$ और $B$ पर चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात $\frac{B_A}{B_B} = \left( \frac{2x}{x} \right)^3 = \frac{8}{1}$ होगा।
चूंकि चुंबक की लंबाई दूरी की तुलना में छोटी है,इसलिए यह एक अनुमानित परिणाम है।

(C) एक छड़ चुंबक के केंद्र से $d$ दूरी पर उसकी अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2Md}{(d^2 - l^2)^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $2l$ चुंबक की लंबाई है।
यहाँ $d_1 = 10 \, cm$ और $d_2 = 20 \, cm$ दिया गया है।
चुंबकीय तीव्रता का अनुपात $\frac{B_1}{B_2} = \frac{d_1}{d_2} \left( \frac{d_2^2 - l^2}{d_1^2 - l^2} \right)^2 = 12.5$ है।
मान रखने पर: $\frac{10}{20} \left( \frac{400 - l^2}{100 - l^2} \right)^2 = 12.5$.
$\frac{1}{2} \left( \frac{400 - l^2}{100 - l^2} \right)^2 = 12.5 \Rightarrow \left( \frac{400 - l^2}{100 - l^2} \right)^2 = 25$.
वर्गमूल लेने पर: $\frac{400 - l^2}{100 - l^2} = 5$.
$400 - l^2 = 500 - 5l^2 \Rightarrow 4l^2 = 100 \Rightarrow l^2 = 25 \Rightarrow l = 5 \, cm$.
चुंबक की लंबाई $2l = 2 \times 5 = 10 \, cm$ होगी।

(C) चुंबकीय आघूर्ण $M$ वाले एक छोटे छड़ चुंबक के लिए,दूरी $d$ पर अक्षीय बिंदु (longitudinal position) पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$ द्वारा दिया जाता है।
उसी चुंबक के लिए,दूरी $d$ पर निरक्षीय बिंदु (broad side-on position) पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों क्षेत्रों का अनुपात लेने पर,हमें $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}}{\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3}} = \frac{2}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(C) छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $M$,ध्रुव प्रबलता $m$ और चुंबकीय लंबाई $l$ के गुणनफल के बराबर होता है:
$M = m \times l = 48 \, A \cdot m \times 0.25 \, m = 12 \, A \cdot m^2$.
एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल-आघूर्ण $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $M = 12 \, A \cdot m^2$,$B = 0.15 \, N \cdot A^{-1} \cdot m^{-1}$,और $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है।
$\tau = 12 \times 0.15 \times \sin(30^{\circ}) = 12 \times 0.15 \times 0.5 = 0.9 \, N \cdot m$.

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $M$ चुंबकीय आघूर्ण वाले चुंबक को उसकी संतुलन स्थिति से $\theta$ कोण तक घुमाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = MB(1 - \cos \theta)$
दिया गया है:
चुंबकीय आघूर्ण $M = 20$ $C.G.S.$ इकाइयाँ
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B = 0.3$ $C.G.S.$ इकाइयाँ
विक्षेपण कोण $\theta = 30^{\circ}$
सूत्र में मान रखने पर:
$W = 20 \times 0.3 \times (1 - \cos 30^{\circ})$
$W = 6 \times (1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$
$W = 3 \times (2 - \sqrt{3})$ $C.G.S.$ इकाइयाँ।

(A) एक छोटे छड़ चुंबक के लिए,अक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{axial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{X^3} = 200 \, G$ द्वारा दिया जाता है।
समान दूरी $X$ पर निरक्षीय रेखा (उदासीन अक्ष) पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{equatorial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{X^3}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $B_{equatorial} = \frac{B_{axial}}{2}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान को रखने पर: $B_{equatorial} = \frac{200 \, G}{2} = 100 \, G$.

(D) एक छोटे छड़ चुंबक की अक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{R^3}$ द्वारा दिया जाता है।
एक छोटे छड़ चुंबक की निरक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{R^3}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों ही स्थितियों में,एक छोटे चुंबक के लिए जहाँ दूरी $R$ चुंबक की लंबाई से बहुत अधिक है,चुंबकीय क्षेत्र केंद्र से दूरी के घन के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अतः,$B \propto 1/R^3$।

(C) एक छोटे छड़ चुंबक की निरक्षीय रेखा (अक्ष के लंबवत) पर इसके केंद्र से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है।
चूंकि बिंदु बड़ी दूरी पर हैं,हम छोटे द्विध्रुव के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,$B \propto \frac{1}{r^3}$.
दी गई दूरियाँ $r_A = X$ और $r_B = 3X$ हैं।
चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात $\frac{B_A}{B_B} = \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^3$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{B_A}{B_B} = \left( \frac{3X}{X} \right)^3 = (3)^3 = 27$.
इसलिए,अनुपात $27:1$ है।

(C) जब एक छोटे चुंबक को इस प्रकार रखा जाता है कि उसकी अक्ष चुंबकीय याम्योत्तर के लंबवत हो,तो सुई के केंद्र पर (चुंबक की अक्षीय रेखा पर) चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि सुई में कोई विक्षेप नहीं होता है,इसलिए दोनों चुंबकों द्वारा सुई की स्थिति पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए।
अतः,$B_1 = B_2$.
$\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M_1}{d_1^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M_2}{d_2^3}$.
यह समीकरण $\frac{M_1}{M_2} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^3$ में सरल हो जाता है।
यहाँ $d_1 = 40 \, cm$ और $d_2 = 50 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $\frac{M_1}{M_2} = \left( \frac{40}{50} \right)^3 = \left( \frac{4}{5} \right)^3 = \frac{64}{125}$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -MB \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
चुंबक को प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^\circ$ (स्थायी संतुलन) से अंतिम कोण $\theta$ तक घुमाने में किया गया कार्य $W$,स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = U_f - U_i$
$W = (-MB \cos \theta) - (-MB \cos 0^\circ)$
$W = -MB \cos \theta + MB(1)$
$W = MB(1 - \cos \theta)$
वैकल्पिक रूप से,समाकलन का उपयोग करते हुए:
$W = \int_{0}^{\theta} \tau \, d\theta = \int_{0}^{\theta} MB \sin \theta \, d\theta$
$W = MB [-\cos \theta]_{0}^{\theta}$
$W = MB(-\cos \theta - (-1)) = MB(1 - \cos \theta)$.

(D) जब दो छोटे छड़ चुम्बकों (चुम्बकीय द्विध्रुव) को अक्षीय स्थिति में रखा जाता है,तो एक चुम्बक द्वारा दूसरे चुम्बक की स्थिति पर उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$ द्वारा दिया जाता है।
इस क्षेत्र में $M'$ चुम्बकीय आघूर्ण वाले दूसरे चुम्बक पर लगने वाला बल $F = M' \cdot \frac{dB}{dr}$ होता है।
चूंकि $B \propto \frac{1}{d^3}$ है,इसलिए इसका अवकलन $\frac{dB}{dd} \propto \frac{1}{d^4}$ होता है।
अतः,दोनों चुम्बकों के बीच लगने वाला बल $F$,$d^4$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $F \propto \frac{1}{d^4}$।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$.
प्रारंभ में, चुंबक चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में है, इसलिए प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^{\circ}$ है।
हमें इसे $180^{\circ}$ के कोण से घुमाना है, इसलिए अंतिम कोण $\theta_2 = 180^{\circ}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ})$
चूंकि $\cos 0^{\circ} = 1$ और $\cos 180^{\circ} = -1$, हमें प्राप्त होता है:
$W = MB(1 - (-1)) = MB(1 + 1) = 2MB$.
अतः, किया गया कार्य $2MB$ है।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $H$ में रखे $M$ आघूर्ण वाले चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = MH \sin \theta$.
दिया गया है कि कोण $\theta = 30^{\circ}$ है,मान को सूत्र में रखने पर:
$\tau = MH \sin(30^{\circ})$.
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए बल आघूर्ण होगा:
$\tau = MH \times \frac{1}{2} = \frac{MH}{2}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) अक्षीय स्थिति (end-on position) में रखे गए दो छोटे चुम्बकों के बीच बल $F$ का सूत्र है:
$F = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{6MM'}{d^4} \right)$
दिया गया है:
$M = M' = 10 \, A \cdot m^2$
$d = 0.1 \, m = 10^{-1} \, m$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$F = 10^{-7} \times \frac{6 \times 10 \times 10}{(0.1)^4}$
$F = 10^{-7} \times \frac{600}{10^{-4}}$
$F = 600 \times 10^{-7} \times 10^4$
$F = 600 \times 10^{-3} = 0.6 \, N$

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
विक्षेपण $\theta$ के सापेक्ष टॉर्क के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम $\theta$ के सापेक्ष $\tau$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{d\tau}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(MB \sin \theta) = MB \cos \theta$.
टॉर्क के परिवर्तन की दर $\frac{d\tau}{d\theta}$ को अधिकतम होने के लिए,$\cos \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\cos \theta$ का अधिकतम मान $1$ है,जो $\theta = 0^\circ$ पर प्राप्त होता है।

(D) $M$ चुंबकीय आघूर्ण वाले चुंबकीय द्विध्रुव को $B$ (या $H$) चुंबकीय क्षेत्र में $\theta_1$ से $\theta_2$ कोण तक घुमाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
यहाँ,चुंबक को $360^{\circ}$ घुमाया जाता है,इसलिए $\theta_1 = 0^{\circ}$ और $\theta_2 = 360^{\circ}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = MH(\cos 0^{\circ} - \cos 360^{\circ})$
चूंकि $\cos 0^{\circ} = 1$ और $\cos 360^{\circ} = 1$ होता है:
$W = MH(1 - 1) = 0$
अतः,किया गया कुल कार्य शून्य है।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में चुंबकीय द्विध्रुव को $\theta_1$ से $\theta_2$ कोण तक घुमाने में किया गया कार्य $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
पहले मामले में,चुंबक को याम्योत्तर $(\theta_1 = 0^{\circ})$ से $\theta_2 = 90^{\circ}$ तक घुमाया जाता है:
$W_1 = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 90^{\circ}) = MB(1 - 0) = MB$.
दूसरे मामले में,चुंबक को याम्योत्तर $(\theta_1 = 0^{\circ})$ से $\theta_2 = 60^{\circ}$ तक घुमाया जाता है:
$W_2 = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = MB(1 - 0.5) = 0.5MB = \frac{MB}{2}$.
यह दिया गया है कि $W_1 = n W_2$,इसलिए:
$MB = n \times \frac{MB}{2}$.
$n$ के लिए हल करने पर,हमें $n = 2$ प्राप्त होता है।

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को $\theta_1$ से $\theta_2$ कोण तक घुमाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
यहाँ,प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^\circ$ (क्षेत्र के समानांतर) और अंतिम कोण $\theta_2 = 60^\circ$ है।
चुंबकीय आघूर्ण $M = 10^4\,J/T$ और चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \times 10^{-5}\,T$ है।
मान रखने पर:
$W = (10^4) \times (4 \times 10^{-5}) \times (\cos 0^\circ - \cos 60^\circ)$
$W = 0.4 \times (1 - 0.5)$
$W = 0.4 \times 0.5 = 0.2\,J$.

(C) एक छोटे छड़ चुंबक की अक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$
दिया गया है:
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M = 1.25 \, A-m^2$
दूरी $d = 0.5 \, m$
स्थिरांक $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T-m/A$
मान रखने पर:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 1.25}{(0.5)^3}$
$B = 10^{-7} \times \frac{2.5}{0.125}$
$B = 10^{-7} \times 20$
$B = 2 \times 10^{-6} \, T$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) बिंदु $P$ पर चुम्बकीय क्षेत्र दोनों चुम्बकों द्वारा उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्रों का सदिश योग है।
$1$. ऊर्ध्वाधर चुम्बक के लिए,बिंदु $P$ उसकी निरक्षीय रेखा पर स्थित है। इस चुम्बक के कारण बिंदु $P$ पर चुम्बकीय क्षेत्र $B_1$ ऊपर की ओर निर्देशित होता है।
$2$. क्षैतिज चुम्बक के लिए,बिंदु $P$ उसकी अक्षीय रेखा पर स्थित है। इस चुम्बक के कारण बिंदु $P$ पर चुम्बकीय क्षेत्र $B_2$ दाईं ओर निर्देशित होता है।
$3$. परिणामी चुम्बकीय क्षेत्र $B_{\text{net}} = B_1 + B_2$ इन दो लंबवत क्षेत्रों का सदिश योग होगा। चूँकि $B_1$ ऊपर की ओर और $B_2$ दाईं ओर निर्देशित है,इसलिए परिणामी सदिश $B_{\text{net}}$ उत्तर-पूर्व दिशा में होगा,जिसे $\nearrow$ द्वारा दर्शाया गया है।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में रखे चुंबकीय द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया गया बल आघूर्ण $\tau$ सूत्र $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
बल आघूर्ण $\tau = 0.032 \ J$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.16 \ T$
कोण $\theta = 30^{\circ}$
सूत्र में मान रखने पर:
$0.032 = M \times 0.16 \times \sin(30^{\circ})$
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = 0.5$,इसलिए:
$0.032 = M \times 0.16 \times 0.5$
$0.032 = M \times 0.08$
$M = \frac{0.032}{0.08} = 0.4 \ J/T$.
अतः,छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $0.4 \ J/T$ है।

(B) $M$ चुंबकीय आघूर्ण वाले एक छोटे चुंबकीय द्विध्रुव के लिए,केंद्र से $r$ दूरी पर निरक्षीय रेखा पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$B_{equatorial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3}$
यह सूत्र द्विध्रुव के उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों द्वारा निरक्षीय बिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों के अध्यारोपण (superposition) से प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) $2l$ लंबाई वाले एक छड़ चुंबक को एक समान चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ में क्षेत्र की दिशा के साथ $\theta$ कोण पर रखा गया है।
चुंबक के प्रत्येक ध्रुव पर लगने वाला बल $F = mB$ है, जहाँ $m$ ध्रुव प्राबल्य है।
ये दो समान और विपरीत बल एक बल-युग्म बनाते हैं जो चुंबक पर टॉर्क $\tau$ लगाता है।
टॉर्क का सूत्र है: $\tau = \text{बल} \times \text{लंबवत दूरी } (d)$।
ज्यामिति से, बलों के बीच की लंबवत दूरी $d = 2l \sin \theta$ है।
इसलिए, $\tau = (mB) \times (2l \sin \theta) = (m \times 2l) B \sin \theta$।
चूंकि चुंबकीय आघूर्ण $M = m \times 2l$ है, इसलिए हमें $\tau = MB \sin \theta$ प्राप्त होता है।
सदिश रूप में, इसे $\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{M} \times \overrightarrow{B}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$M$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है,$M = m \times L$,जहाँ $m = 40 \, A-m$ ध्रुव शक्ति है और $L = 10 \, cm = 0.1 \, m$ चुंबक की लंबाई है।
$M = 40 \times 0.1 = 4 \, A-m^2$।
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B = 2 \times 10^{-4} \, T$ और कोण $\theta = 45^\circ$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tau = 4 \times (2 \times 10^{-4}) \times \sin 45^\circ$
$\tau = 8 \times 10^{-4} \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\tau = 8 \times 10^{-4} \times 0.7071$
$\tau = 5.6568 \times 10^{-4} \, N-m = 0.5656 \times 10^{-3} \, N-m$।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = -M \cdot H = -MH \cos \theta$ है, जहाँ $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण $M$ और चुंबकीय क्षेत्र $H$ के बीच का कोण है。
अधिकतम स्थितिज ऊर्जा ज्ञात करने के लिए, हम $\theta$ का वह मान देखते हैं जो $U$ को अधिकतम करता है。
स्थितिज ऊर्जा तब अधिकतम होती है जब $\cos \theta = -1$ हो, जो $\theta = 180^\circ$ पर होता है。
सूत्र में $\cos 180^\circ = -1$ रखने पर, हमें $U_{\max} = -MH(-1) = MH$ प्राप्त होता है。
अतः, $MH$ का गुणांक $1$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में स्थित चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = MB \sin \theta$।
यहाँ,चुंबकीय आघूर्ण $M = 200 \, A-m^2$,चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B = 0.25 \, N/A-m$,और विक्षेपण कोण $\theta = 30^\circ$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tau = 200 \times 0.25 \times \sin 30^\circ$
$\tau = 50 \times 0.5$
$\tau = 25 \, N-m$।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में छड़ चुंबक पर कार्य करने वाला बल-आघूर्ण (युग्म) $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ चुंबकीय आघूर्ण है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र है,और $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण और क्षेत्र के बीच का कोण है।
प्रारंभ में,चुंबक क्षेत्र के लंबवत है,इसलिए $\theta_1 = 90^\circ$। अतः,$\tau_1 = MB \sin 90^\circ = MB$।
हम नए बल-आघूर्ण $\tau_2$ को प्रारंभिक बल-आघूर्ण का आधा करना चाहते हैं,इसलिए $\tau_2 = \frac{\tau_1}{2} = \frac{MB}{2}$।
सूत्र $\tau_2 = MB \sin \theta_2$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{MB}{2} = MB \sin \theta_2$ प्राप्त होता है।
इससे $\sin \theta_2 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\theta_2 = 30^\circ$।
घूर्णन का कोण प्रारंभिक और अंतिम कोणों के बीच का अंतर है: $\Delta \theta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में रखे चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र है और $\theta$ कोण है।
चूंकि $M = m \times L$ (जहाँ $m$ ध्रुव प्रबलता है और $L$ चुंबक की लंबाई है),सूत्र $\tau = (m \times L) B \sin \theta$ हो जाता है।
दिया गया है: $\tau = 25 \times 10^{-6} \,N-m$,$B = 5 \times 10^{-2} \,T$,$L = 5 \,cm = 5 \times 10^{-2} \,m$,और $\theta = 30^o$.
मान रखने पर: $25 \times 10^{-6} = (m \times 5 \times 10^{-2}) \times (5 \times 10^{-2}) \times \sin 30^o$.
चूंकि $\sin 30^o = 0.5$,इसलिए $25 \times 10^{-6} = m \times 25 \times 10^{-4} \times 0.5$.
$25 \times 10^{-6} = m \times 12.5 \times 10^{-4}$.
$m = \frac{25 \times 10^{-6}}{12.5 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^{-2} \,A-m$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र में एक चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^\circ$ (क्षेत्र की दिशा में) और अंतिम कोण $\theta_2 = 180^\circ$ (क्षेत्र की विपरीत दिशा में) है।
मान रखने पर: $W = MB(\cos 0^\circ - \cos 180^\circ)$।
चूंकि $\cos 0^\circ = 1$ और $\cos 180^\circ = -1$,हमें $W = MB(1 - (-1)) = 2MB$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $M = 2 \, A-m^2$ और $B = 5 \times 10^{-3} \, T$।
$W = 2 \times (2) \times (5 \times 10^{-3}) = 20 \times 10^{-3} = 2 \times 10^{-2} \, J$।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^\circ$ (क्षेत्र की दिशा में) और अंतिम कोण $\theta_2 = 90^\circ$ (क्षेत्र के लंबवत) है।
दिया गया है: चुंबकीय आघूर्ण $M = 2 \, J \, T^{-1}$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.1 \, T$।
मान रखने पर: $W = 2 \times 0.1 \times (\cos 0^\circ - \cos 90^\circ)$।
$W = 0.2 \times (1 - 0) = 0.2 \, J$।

(D) एक छड़ चुंबक की अक्षीय रेखा पर उसके केंद्र से $d$ दूरी पर चुंबकीय विभव $V$ का सूत्र इस प्रकार है:
$V = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^2}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि चुंबकीय विभव चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण के सीधे समानुपाती होता है,अर्थात $V \propto M$।
यहाँ दिया गया है कि प्रारंभिक द्विध्रुव आघूर्ण $M_1 = M$ और विभव $V_1 = V$ है,तथा नया द्विध्रुव आघूर्ण $M_2 = \frac{M}{4}$ है,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{M_1}{M_2}$
मान रखने पर:
$\frac{V}{V_2} = \frac{M}{M/4} = 4$
अतः,नया चुंबकीय विभव $V_2$ होगा:
$V_2 = \frac{V}{4}$

(B) एक छोटे छड़ चुंबक की अक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$
दिया गया है:
चुंबकीय आघूर्ण $M = 1.2 \, A-m^2$
दूरी $d = 0.1 \, m$
पारगम्यता स्थिरांक $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T-m/A$
सूत्र में मान रखने पर:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 1.2}{(0.1)^3}$
$B = 10^{-7} \times \frac{2.4}{0.001}$
$B = 10^{-7} \times 2400$
$B = 2.4 \times 10^{-4} \, T$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) मान लीजिए कि दो चुंबक $M_1$ और $M_2$ हैं जिनका चुंबकीय आघूर्ण $M = 10 \, Am^2$ है। उनके केंद्रों के बीच की दूरी $0.2 \, m$ है,इसलिए प्रत्येक चुंबक के केंद्र से मध्य बिंदु $P$ तक की दूरी $d = 0.1 \, m$ है।
चुंबक $1$ के लिए,बिंदु $P$ उसकी अक्षीय रेखा पर स्थित है। चुंबकीय क्षेत्र $B_a = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबक $2$ के लिए,बिंदु $P$ उसकी निरक्षीय रेखा पर स्थित है। चुंबकीय क्षेत्र $B_e = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि ये क्षेत्र एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = \sqrt{B_a^2 + B_e^2}$ होगा।
$B_{net} = \sqrt{\left( \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3} \right)^2 + \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3} \right)^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3} \sqrt{2^2 + 1^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3} \sqrt{5}$.
मान रखने पर: $B_{net} = 10^{-7} \cdot \frac{10}{(0.1)^3} \cdot \sqrt{5} = 10^{-7} \cdot \frac{10}{0.001} \cdot \sqrt{5} = 10^{-7} \cdot 10^4 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5} \times 10^{-3} \, T$.

(C) चुंबकीय क्षेत्र में स्थित चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल-आघूर्ण $\tau$ सूत्र $\tau = M B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$M$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है,$M = m \times (2l)$,जहाँ $m$ ध्रुव प्राबल्य है और $(2l)$ चुंबक की लंबाई है।
दिया गया है: ध्रुव प्राबल्य $m = 10^{-4} \, A \cdot m$,लंबाई $2l = 0.1 \, m$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 30 \, Wb/m^2$,और कोण $\theta = 30^\circ$।
मान रखने पर: $\tau = (10^{-4} \times 0.1) \times 30 \times \sin(30^\circ)$।
चूंकि $\sin(30^\circ) = 0.5$,इसलिए: $\tau = 10^{-4} \times 0.1 \times 30 \times 0.5 = 1.5 \times 10^{-4} \, N \cdot m$।

(B) दो द्विध्रुवों के बीच की दूरी $2 \, m$ है। बिंदु $P$ उनके बीच में है,इसलिए प्रत्येक द्विध्रुव से $P$ की दूरी $d = 1 \, m$ है।
पहले चुंबक के लिए,बिंदु $P$ उसकी अक्षीय रेखा पर (अक्षीय स्थिति में) स्थित है।
पहले चुंबक के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ इस प्रकार है:
$B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{2M}{d^3} \right) = 10^{-7} \times \left( \frac{2 \times 1.0}{1^3} \right) = 2 \times 10^{-7} \, T$ (दाईं ओर निर्देशित)।
दूसरे चुंबक के लिए,बिंदु $P$ उसकी निरक्षीय रेखा पर (निरक्षीय स्थिति में) स्थित है।
दूसरे चुंबक के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ इस प्रकार है:
$B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{M}{d^3} \right) = 10^{-7} \times \left( \frac{1.0}{1^3} \right) = 10^{-7} \, T$ (ऊपर की ओर निर्देशित)।
चूंकि $B_1$ और $B_2$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_R$ है:
$B_R = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{(2 \times 10^{-7})^2 + (10^{-7})^2} = \sqrt{4 \times 10^{-14} + 1 \times 10^{-14}} = \sqrt{5 \times 10^{-14}} = \sqrt{5} \times 10^{-7} \, T$.

(D) दोनों चुम्बक एक-दूसरे के चुम्बकीय क्षेत्र में रखे गए हैं। चुम्बक $1$ द्वारा चुम्बक $2$ की स्थिति पर (उसकी अक्षीय रेखा पर) उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र $B_1$ इस प्रकार है:
$B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M_1}{r^3}$
बाह्य चुम्बकीय क्षेत्र $B_1$ में चुम्बकीय द्विध्रुव $M_2$ की स्थितिज ऊर्जा $U = -M_2 B_1 \cos \theta$ द्वारा दी जाती है। चूँकि चुम्बकों को एक ही अक्ष पर समान ध्रुवों के साथ आमने-सामने रखा गया है,इसलिए चुम्बकीय आघूर्ण एक ही दिशा में हैं,अतः $\theta = 0^\circ$ और $\cos 0^\circ = 1$ होगा। इस प्रकार:
$U = -M_2 B_1 = -M_2 \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M_1}{r^3} \right) = -\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M_1 M_2}{r^3}$
चुम्बकों के बीच का बल $F$ स्थितिज ऊर्जा के ऋणात्मक प्रवणता (gradient) द्वारा दिया जाता है:
$F = -\frac{dU}{dr} = -\frac{d}{dr} \left( -\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M_1 M_2}{r^3} \right)$
$F = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot 2M_1 M_2 \cdot \frac{d}{dr} (r^{-3}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot 2M_1 M_2 \cdot (-3r^{-4})$
$F = -\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{6M_1 M_2}{r^4}$
बल का परिमाण $F = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{6M_1 M_2}{r^4}$ है।
अतः,बल दूरी की चौथी घात के व्युत्क्रमानुपाती होता है,यानी $F \propto \frac{1}{r^4}$।

(D) मान लीजिए कि दो चुंबकों को इस प्रकार रखा गया है कि बिंदु $P$ प्रत्येक चुंबक के केंद्र से $d$ दूरी पर है।
पहले चुंबक के लिए,बिंदु $P$ उसकी अक्षीय रेखा पर स्थित है। इस चुंबक के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$ है।
दूसरे चुंबक के लिए,बिंदु $P$ उसकी निरक्षीय रेखा पर स्थित है। इस चुंबक के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3}$ है।
चूंकि अक्ष एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए क्षेत्र $B_1$ और $B_2$ भी एक-दूसरे के लंबवत हैं।
$P$ पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ होगा।
मान रखने पर: $B_{net} = \sqrt{\left(\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3}\right)^2}$.
$B_{net} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3} \sqrt{2^2 + 1^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{\sqrt{5}M}{d^3}$.

(C) बिंदु $P$ पर चुंबक $A$ (अक्षीय स्थिति) के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d_1^3}$ है।
बिंदु $P$ पर चुंबक $B$ (निरक्षीय स्थिति) के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d_2^3}$ है।
जब चुंबकीय सुई $B_1$ की दिशा के साथ $\theta$ कोण पर संतुलन में होती है,तो परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ के साथ $\theta$ कोण बनाता है,जिससे $\tan \theta = \frac{B_2}{B_1}$ होता है।
मान रखने पर,हमें मिलता है $\tan \theta = \frac{(\mu_0 / 4\pi) \cdot (M / d_2^3)}{(\mu_0 / 4\pi) \cdot (2M / d_1^3)} = \frac{d_1^3}{2d_2^3}$.
अतः,$\frac{d_1^3}{d_2^3} = 2 \tan \theta$,जिसका अर्थ है $\frac{d_1}{d_2} = (2 \tan \theta)^{1/3}$.
चित्र के अनुसार,$\theta$ ऊर्ध्वाधर के साथ कोण है,इसलिए $\tan \theta = B_1 / B_2 = \frac{2d_2^3}{d_1^3}$ होता है,जिसका अर्थ है $\frac{d_1}{d_2} = (2 \cot \theta)^{1/3}$. अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) दो चुम्बकों का परिणामी चुंबकीय आघूर्ण व्यक्तिगत द्विध्रुव आघूर्णों के सदिश योग द्वारा दिया जाता है। चूंकि वे लंबवत हैं,इसलिए शुद्ध चुंबकीय आघूर्ण $M_{net} = \sqrt{M^2 + M^2} = M\sqrt{2}$ है।
यह शुद्ध चुंबकीय आघूर्ण दोनों चुम्बकों के बीच के कोण के द्विभाजक के अनुदिश कार्य करता है।
बिंदु $P$ इस समतुल्य चुंबकीय द्विध्रुव की अक्षीय रेखा पर स्थित है।
एक छोटे चुम्बक की अक्षीय रेखा पर $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M_{net}}{d^3}$ द्वारा दिया जाता है।
$M_{net} = M\sqrt{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2(M\sqrt{2})}{d^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2\sqrt{2}M}{d^3}$ प्राप्त होता है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र $B$,चुंबकीय अदिश विभव $V$ से $B = -\nabla V$ संबंध द्वारा संबंधित है। चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B = \frac{\Delta V}{\Delta r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta r$ दो समविभव पृष्ठों के बीच की लंबवत दूरी है।
चित्र से,दो क्रमिक पृष्ठों के बीच विभव में परिवर्तन $\Delta V = 0.2 \times 10^{-4} - 0.1 \times 10^{-4} = 0.1 \times 10^{-4} \, T \cdot m$ है।
इन पृष्ठों के बीच x-अक्ष पर दूरी $\Delta x = 20 \, cm - 10 \, cm = 10 \, cm = 0.1 \, m$ है।
पृष्ठों के बीच लंबवत दूरी $\Delta r = \Delta x \sin(30^\circ) = 0.1 \times \sin(30^\circ) = 0.1 \times 0.5 = 0.05 \, m$ है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B = \frac{\Delta V}{\Delta r} = \frac{0.1 \times 10^{-4}}{0.05} = 2 \times 10^{-4} \, T$ है।

(A) एक चुंबकीय द्विध्रुव को संतुलन स्थिति $(\theta = 0^{\circ})$ से $\theta$ कोण तक घुमाने में किया गया कार्य $W = MB(1 - \cos \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $W = MB(1 - \cos 60^{\circ}) = MB(1 - 0.5) = \frac{MB}{2}$।
इससे हमें $MB = 2W$ प्राप्त होता है।
चुंबक को $\theta$ कोण पर बनाए रखने के लिए आवश्यक टॉर्क $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tau = MB \sin 60^{\circ} = (2W) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} W$।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को $\theta_1$ से $\theta_2$ कोण तक घुमाने में किया गया कार्य $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,प्रारंभिक स्थिति संतुलन स्थिति है,इसलिए $\theta_1 = 0^{\circ}$ है।
अंतिम स्थिति $\theta_2 = 30^{\circ}$ है।
दिया गया है: चुंबकीय आघूर्ण $M = 20 \, C.G.S$ और चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.3 \, C.G.S$ है।
मान रखने पर:
$W = 20 \times 0.3 \times (\cos 0^{\circ} - \cos 30^{\circ})$
$W = 6 \times (1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$
$W = 3 \times (2 - \sqrt{3}) \, C.G.S$ इकाई।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$.
यहाँ,प्रारंभिक स्थिति स्थायी संतुलन है,इसलिए $\theta_1 = 0^\circ$.
अंतिम स्थिति अस्थायी संतुलन है,इसलिए $\theta_2 = 180^\circ$.
दिया गया है: चुंबकीय आघूर्ण $M = 2.5 \, J \, T^{-1}$ और चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.2 \, T$.
मान रखने पर: $W = MB(\cos 0^\circ - \cos 180^\circ)$.
$W = (2.5) \times (0.2) \times (1 - (-1))$.
$W = 0.5 \times (1 + 1) = 0.5 \times 2 = 1 \, J$.

(C) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
दिया गया है:
चुंबकीय आघूर्ण $M = 2 \times 10^4 \, JT^{-1}$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 6 \times 10^{-4} \, T$
प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^{\circ}$ (क्षेत्र के समानांतर)
अंतिम कोण $\theta_2 = 60^{\circ}$
मान रखने पर:
$W = (2 \times 10^4) \times (6 \times 10^{-4}) \times (\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ})$
$W = 12 \times (1 - 0.5)$
$W = 12 \times 0.5 = 6 \, J$
अतः,किया गया कार्य $6 \, J$ है।

(B) दिया गया है: चुंबकीय आघूर्ण $M = 0.4 \, J T^{-1}$ और चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.16 \, T$ है।
एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$ होता है।
स्थिर संतुलन के लिए,चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}$ को चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के साथ संरेखित होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि कोण $\theta = 0^{\circ}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$U = -MB \cos(0^{\circ})$
$U = -(0.4 \, J T^{-1}) \times (0.16 \, T) \times 1$
$U = -0.064 \, J$.
अतः,स्थिर संतुलन में स्थितिज ऊर्जा $-0.064 \, J$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में चुंबकीय आघूर्ण $M$ वाली चुंबकीय सुई को $\theta_{1}$ से $\theta_{2}$ तक घुमाने में किया गया कार्य:
$W = MB(\cos \theta_{1} - \cos \theta_{2})$
यहाँ $\theta_{1} = 0^{\circ}$ और $\theta_{2} = 60^{\circ}$ है,अतः कार्य:
$W = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = MB(1 - 0.5) = 0.5 MB$
दिया गया है $W = \sqrt{3} \, J$,इसलिए $0.5 MB = \sqrt{3} \implies MB = 2\sqrt{3} \, J$.
$\theta = 60^{\circ}$ पर सुई को बनाए रखने के लिए आवश्यक टॉर्क $\tau$:
$\tau = MB \sin \theta$
$\tau = MB \sin 60^{\circ} = (2\sqrt{3}) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \, J$.

(D) संतुलन की स्थिति में,द्विध्रुव (dipole) की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_{i} = -MB_{H} \cos 0^{\circ} = -MB_{H}$ है।
$60^{\circ}$ घुमाने के बाद द्विध्रुव की अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_{f} = -MB_{H} \cos 60^{\circ} = -\frac{MB_{H}}{2}$ है।
किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है: $W = U_{f} - U_{i} = -\frac{MB_{H}}{2} - (-MB_{H}) = \frac{MB_{H}}{2}$।
इससे हमें $MB_{H} = 2W$ प्राप्त होता है।
चुंबक को इस नई स्थिति में बनाए रखने के लिए आवश्यक टॉर्क $\tau = MB_{H} \sin 60^{\circ}$ है।
$MB_{H} = 2W$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tau = (2W) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} W$ प्राप्त होता है।

(C) एक छोटे चुंबक की अक्षीय स्थिति में चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B_{axial} = \frac{2M}{x^3} = 9 \ Gauss$ है ... $(i)$.
एक छोटे चुंबक की निरक्षीय स्थिति में चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B_{equatorial} = \frac{M}{r^3}$ है,जहाँ $r = \frac{x}{2}$ है।
$r$ का मान रखने पर: $B_{equatorial} = \frac{M}{(\frac{x}{2})^3} = \frac{8M}{x^3}$ ... $(ii)$.
समीकरण $(i)$ से,$\frac{M}{x^3} = \frac{9}{2} = 4.5 \ Gauss$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $(ii)$ में रखने पर: $B_{equatorial} = 8 \times 4.5 = 36 \ Gauss$ प्राप्त होता है।