Magnetic Equipment's (Tangent galvanometer, Vibration magnetometer and Neutral point) Questions in Gujarati

(A) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરનો સિદ્ધાંત ટેન્જન્ટના નિયમ પર આધારિત છે, જે દર્શાવે છે કે $I = K \tan \theta$, જ્યાં $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે, $\theta$ એ કોણાવર્તન છે, અને $K$ એ રિડક્શન ફેક્ટર છે.
આ સમીકરણ પરથી, $K = I / \tan \theta$.
કારણ કે $\tan \theta$ એ પરિમાણરહિત રાશિ છે, તેથી રિડક્શન ફેક્ટર $K$ નો એકમ એ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ના એકમ જેટલો જ હોય છે.
તેથી, ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરના રિડક્શન ફેક્ટરનો એકમ એમ્પિયર $(A)$ છે.

(B) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટર ચુંબકત્વના ટેન્જન્ટ નિયમના સિદ્ધાંત પર આધારિત પ્રવાહ માપે છે. જ્યારે ગેલ્વેનોમીટરને ઉચ્ચ પ્રમાણિત અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે આ સંયોજન વોલ્ટમીટર તરીકે કાર્ય કરે છે. આનું કારણ એ છે કે ઉચ્ચ અવરોધ પરિપથમાંથી વહેતા પ્રવાહને મર્યાદિત કરે છે,જેનાથી ઉપકરણ સંયોજનના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત માપી શકે છે,જે ઓહ્મના નિયમ $(V = IR)$ મુજબ તેમાંથી વહેતા પ્રવાહના પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) થર્મોકપલમાં થર્મોઈલેક્ટ્રિક ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(E)$ સંબંધ $E = \alpha \theta + \frac{1}{2} \beta \theta^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ જંકશન વચ્ચેનો તાપમાનનો તફાવત છે.
થર્મોઈલેક્ટ્રિક પાવરને તાપમાનના સંદર્ભમાં થર્મોઈલેક્ટ્રિક $EMF$ ના બદલાવના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $P = \frac{dE}{dT}$ છે.
તટસ્થ તાપમાન $(T_n)$ પર,થર્મોઈલેક્ટ્રિક $EMF$ તેનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.
કારણ કે તટસ્થ તાપમાને $EMF$ મહત્તમ હોય છે,તેથી તે બિંદુએ તાપમાનના સંદર્ભમાં તેનું વિકલન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,તટસ્થ તાપમાને $\frac{dE}{dT} = 0$ થાય છે.

(D) ચુંબકીય મેરિડિયન એ એક ઉભું $N-S$ સમતલ છે,અને પૃથ્વીનું સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_H)$ તેમાં રહેલું હોય છે.
કોઈલના કેન્દ્રમાં તટસ્થ બિંદુ મેળવવા માટે,કોઈલમાં વહેતા પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ અને પૃથ્વીનું સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_H)$ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં પરસ્પર વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ એ કોઈલના સમતલને લંબ હોય છે.
$(B)$ ને $(B_H)$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં રાખવા માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ એ ચુંબકીય મેરિડિયનના સમતલમાં હોવું જોઈએ.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ એ કોઈલના સમતલને લંબ હોવાથી,કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય મેરિડિયનના સમતલને લંબ હોવું જોઈએ. તેથી,કોઈલનું સમતલ અને ચુંબકીય મેરિડિયન વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે.

(B) જ્યારે ચુંબકને તેનો દક્ષિણ ધ્રુવ ભૌગોલિક ઉત્તર તરફ રહે તે રીતે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તટસ્થ બિંદુઓ ચુંબકની અક્ષીય રેખા પર મળે છે.
ટૂંકા ચુંબક માટે,તેના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે અક્ષીય રેખા પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{2M}{d^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
તટસ્થ બિંદુ પર,ચુંબકનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના ક્ષૈતિજ ઘટક $(B_H)$ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
આપેલ છે: $d = 20 \, cm$,$B_H = 0.3 \, gauss$.
ક્ષેત્રોને સરખાવતા: $\frac{2M}{d^3} = B_H$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2M}{(20)^3} = 0.3$.
$\frac{2M}{8000} = 0.3$.
$2M = 0.3 \times 8000 = 2400$.
$M = 1200 \, e.m.u. = 1.2 \times 10^3 \, e.m.u.$

(B) જ્યારે ગજિયા ચુંબકને તેનો ઉત્તર ધ્રુવ ભૌગોલિક ઉત્તર તરફ રહે તેમ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબકને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ચુંબકની બહાર ઉત્તરથી દક્ષિણ તરફ હોય છે. પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ ભૌગોલિક દક્ષિણથી ભૌગોલિક ઉત્તર તરફ હોય છે.
ચુંબકની વિષુવરેખા પર,ચુંબકને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્તરથી દક્ષિણ તરફ હોય છે,જે પૃથ્વીના સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
વિષુવરેખા પરના અમુક બિંદુઓ પર,ચુંબકને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના સમક્ષિતિજ ઘટકને સંપૂર્ણપણે નાબૂદ કરે છે. આ બિંદુઓને તટસ્થ બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,તટસ્થ બિંદુઓ વિષુવરેખા પર આવેલા હોય છે,જે ચુંબકના કેન્દ્રથી પૂર્વ અને પશ્ચિમ દિશામાં હોય છે.

(D) ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની વિષુવવૃત્તીય રેખા (broadside-on position) પર $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{d^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તટસ્થ બિંદુ પર,ચુંબકનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
તેથી,$\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M_1}{r^3} = B_H$ અને $\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M_2}{(2r)^3} = B_H$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{M_1}{r^3} = \frac{M_2}{8r^3}$.
આમ,ચુંબકીય મોમેન્ટનો ગુણોત્તર $\frac{M_1}{M_2} = \frac{r^3}{8r^3} = \frac{1}{8}$ થાય છે.

(C) જ્યારે ગજિયા ચુંબકનો $N$-ધ્રુવ ભૌગોલિક દક્ષિણ દિશા તરફ અને $S$-ધ્રુવ ભૌગોલિક ઉત્તર દિશા તરફ રાખવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબકનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ અક્ષીય રેખા પર એક જ દિશામાં હોય છે.
જોકે,વિષુવરેખીય રેખા પર (ચુંબકીય અક્ષનો લંબ દ્વિભાજક),ગજિયા ચુંબકનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_H)$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
તટસ્થ બિંદુ (null point) એટલે એવું બિંદુ જ્યાં પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય,એટલે કે ગજિયા ચુંબકનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્ર જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય.
તેથી,તટસ્થ બિંદુઓ ચુંબકીય અક્ષના લંબ દ્વિભાજક પર જોવા મળે છે.

(C) તટસ્થ બિંદુ પર, ચુંબક દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે।
ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની અક્ષ પરના બિંદુ માટે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$
આપેલ છે:
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 6.75 \, Am^2$
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = 5 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$
ક્ષેત્રોને સરખાવતા:
$10^{-7} \times \frac{2 \times 6.75}{d^3} = 5 \times 10^{-5}$
$\frac{13.5 \times 10^{-7}}{d^3} = 5 \times 10^{-5}$
$d^3 = \frac{13.5 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-5}} = 2.7 \times 10^{-2} = 0.027 \, m^3$
$d = \sqrt[3]{0.027} = 0.3 \, m$
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $d = 0.3 \times 100 = 30 \, cm$.

(B) જ્યારે ગજિયા ચુંબકને તેની અક્ષ પૂર્વ-પશ્ચિમ દિશામાં રહે તે રીતે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો ઉત્તર ધ્રુવ પૂર્વ (અથવા પશ્ચિમ) તરફ અને દક્ષિણ ધ્રુવ પશ્ચિમ (અથવા પૂર્વ) તરફ હોય છે.
આ ગોઠવણીમાં,ચુંબકનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ ચુંબકની વિષુવવૃત્તીય રેખા પરના તમામ બિંદુઓ પર એકબીજાને લંબ હોય છે.
ચુંબકનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ક્યારેય એક જ રેખા પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોતા નથી,તેથી તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરી શકતા નથી અને પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થઈ શકતું નથી.
તેથી,આ દિશામાં કોઈ તટસ્થ બિંદુઓ મળતા નથી.

(A) આપેલ કિસ્સામાં,કોઈલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $H$ અને પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $H_0$ એકબીજાને લંબ છે.
જ્યારે ચુંબકીય સોયને બે પરસ્પર લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રો $H$ અને $H_0$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં ગોઠવાય છે.
સદિશ સરવાળાની ભૂમિતિ પરથી,આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવી શકીએ છીએ જ્યાં પાયો $H$ છે અને લંબ બાજુ $H_0$ છે.
ચુંબક $H$ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે ત્રિકોણમિતીય સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{H_0}{H}$
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{H_0}{H}\right)$.

(A) તટસ્થ બિંદુઓ અવકાશમાં એવા બિંદુઓ છે જ્યાં હોકાયંત્રની સોય કોઈ ચોક્કસ દિશામાં નિર્દેશ કરતી નથી. આવા બિંદુઓ ત્યારે મળે છે જ્યારે ચુંબકને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એકબીજાની અસરને નાબૂદ કરે છે.
જો ચુંબકને શિરોલંબ રાખવામાં આવે,તો ચુંબકનો માત્ર એક જ ધ્રુવ કાગળના સમતલ (ચુંબકીય મેરિડિયન) ની નજીક હોય છે.
પરિણામે,કાગળના સમતલમાં માત્ર એક જ બિંદુ એવું મળે છે જ્યાં પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મુક્ત રીતે લટકાવેલા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$
જ્યાં:
$I$ એ લટકાવવાની ધરીને અનુલક્ષીને ચુંબકની જડત્વની આઘૂર્ણ છે.
$M$ એ ચુંબકની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
$H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે આવર્તકાળ $T$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ $(I)$,ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M)$ અને પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $(H)$ પર આધાર રાખે છે.
તે લટકાવેલા દોરાની લંબાઈ પર આધાર રાખતું નથી. તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(C) બે ગજિયા ચુંબકોની ચુંબકીય મોમેન્ટની સરખામણી ડિફ્લેક્શન મેગ્નેટોમીટરનો ઉપયોગ કરીને વિવિધ સ્થિતિઓમાં (Tan-$A$ અથવા Tan-$B$) ચુંબકીય સોયના કોણાવર્તનને માપીને કરી શકાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,તેમની સરખામણી વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરનો ઉપયોગ કરીને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકોના દોલનોનો આવર્તકાળ માપીને કરી શકાય છે,જ્યાં ચુંબકીય મોમેન્ટનો ગુણોત્તર આવર્તકાળના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(M_1/M_2 = T_2^2/T_1^2)$.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_H$ માં મુક્ત રીતે લટકાવેલ ગજિયા ચુંબક પર પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -M B_H \sin \theta$ લાગે છે.
નાના દોલનો માટે,$\sin \theta \approx \theta$,તેથી $\tau = -M B_H \theta$.
ગતિનું સમીકરણ $I \alpha = \tau$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
$I \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -M B_H \theta$.
આ સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ $\frac{d^2 \theta}{dt^2} + \omega^2 \theta = 0$ છે,જ્યાં $\omega^2 = \frac{M B_H}{I}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M B_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) સરવાળાની સ્થિતિમાં,સમયગાળો $T_S = 2\pi \sqrt{\frac{I_1 + I_2}{(M_1 + M_2)B_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તફાવતની સ્થિતિમાં,સમયગાળો $T_d = 2\pi \sqrt{\frac{I_1 + I_2}{(M_1 - M_2)B_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તફાવતની સ્થિતિમાં છેદ $(M_1 - M_2)$ એ સરવાળાની સ્થિતિના છેદ $(M_1 + M_2)$ કરતા નાનો હોવાથી,સમયગાળો $T_d$ એ $T_S$ કરતા વધારે હોય છે.
તફાવતની સ્થિતિ ત્યારે સર્જાય છે જ્યારે બંને ચુંબકના વિરુદ્ધ ધ્રુવો એક જ બાજુ પર મૂકવામાં આવે છે,જેના પરિણામે ચોખ્ખી ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M_1 - M_2)$ મળે છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ચુંબકીય ડાયપોલનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{B_H}}$.
પ્રથમ જગ્યાએ આપેલ છે કે,$n_1 = 30 \, \text{દોલનો/મિનિટ} = 0.5 \, \text{Hz}$.
તેથી,આવર્તકાળ $T_1 = \frac{1}{n_1} = \frac{1}{0.5} = 2 \, \text{sec}$.
ધારો કે પ્રથમ જગ્યાએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_H$ છે. તો બીજી જગ્યાએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $2B_H$ છે.
સંબંધ $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{B_{H1}}{B_{H2}}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$T_2 = T_1 \sqrt{\frac{B_H}{2B_H}} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \, \text{sec}$.

(D) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટર એ એક સાધન છે જેનો ઉપયોગ બે ચુંબકોની ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના સમક્ષિતિજ ઘટકો $(B_H)$ ની સરખામણી કરવા માટે થાય છે.
તે આ સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે કે જ્યારે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મુક્તપણે લટકાવેલું ચુંબક તેની સંતુલન સ્થિતિમાંથી સહેજ વિચલિત થાય છે, ત્યારે તે તેની સરેરાશ સ્થિતિની આસપાસ સરળ આવર્ત ગતિ (simple harmonic motion) કરે છે.
દોલનનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I$ એ ચુંબકની જડત્વની આઘૂર્ણ (moment of inertia) છે.
સમયગાળાને માપીને, કોઈ પણ વ્યક્તિ વિવિધ ચુંબકોની ચુંબકીય મોમેન્ટ અથવા વિવિધ ચુંબકીય ક્ષેત્રોની તીવ્રતાની સરખામણી કરી શકે છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
ચુંબકો સમાન કદ અને દળના હોવાથી,તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ સમાન રહેશે.
આમ,$T \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,જેનો અર્થ છે કે $M \propto \frac{1}{T^2}$.
આપેલ આવૃત્તિ $f_1 = 10 \text{ દોલન/મિનિટ}$ અને $f_2 = 15 \text{ દોલન/મિનિટ}$ છે,તેથી આવર્તકાળ $T_1 = \frac{60}{10} = 6 \text{ s}$ અને $T_2 = \frac{60}{15} = 4 \text{ s}$ થશે.
ચુંબકીય મોમેન્ટનો ગુણોત્તર $\frac{M_1}{M_2} = \frac{T_2^2}{T_1^2} = \left(\frac{4}{6}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ થાય.

(C) દોલન કરતા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B_H$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
જ્યારે ચુંબકને ચાર સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે (બે અક્ષની સાથે અને બે અક્ષને લંબ),ત્યારે દરેક ભાગ માટે:
નવી ધ્રુવ પ્રબળતા $m' = \frac{m}{2}$ અને નવી લંબાઈ $l' = \frac{l}{2}$ થાય છે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = m' \times l' = \frac{m}{2} \times \frac{l}{2} = \frac{M}{4}$ થાય છે.
નવું દળ $w' = \frac{w}{4}$ થાય છે.
નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{w' (l')^2}{12} = \frac{(w/4) (l/2)^2}{12} = \frac{1}{16} \times \frac{wl^2}{12} = \frac{I}{16}$ થાય છે.
આ કિંમતોને નવા આવર્તકાળ $T'$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{M'B_H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/16}{(M/4)B_H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{4MB_H}} = \frac{1}{2} \times 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}} = \frac{T}{2}$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રાખેલા બે ચુંબકો માટે વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
સમાન ધ્રુવો સાથે હોય ત્યારે $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_1 + I_2}{(M_1 + M_2)B_H}}$ અને વિજાતીય ધ્રુવો સાથે હોય ત્યારે $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_1 + I_2}{(M_1 - M_2)B_H}}$.
અહીં આપેલ છે કે ચુંબકોની ધ્રુવ પ્રબળતા અને લંબાઈ સમાન છે,તેથી તેમની ચુંબકીય મોમેન્ટ સમાન છે,એટલે કે $M_1 = M_2 = M$.
વિજાતીય ધ્રુવો માટેના સૂત્રમાં આ કિંમત મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{I_1 + I_2}{(M - M)B_H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I_1 + I_2}{0 \cdot B_H}} = 2\pi \sqrt{\infty}$.
તેથી,આવર્તકાળ $T = \infty$ થશે.

(B) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરનો સમયગાળો $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$,જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ (moment of inertia) છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે,અને $B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
ચુંબકીય ધ્રુવો પર,પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ શૂન્ય હોય છે.
સૂત્રમાં $B_H = 0$ મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M \times 0}} = \infty$ મળે છે.
તેથી,ચુંબકીય ધ્રુવો પર સમયગાળો અનંત થઈ જાય છે.

(C) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં,ચુંબકને એવી રીતે લટકાવવામાં આવે છે કે તે બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રની અસર હેઠળ દોલન કરે. દોલનનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ક્ષણ છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે,અને $H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
જો સસ્પેન્શન ફાઇબરમાં વળ હોય,તો ફાઇબરની સ્થિતિસ્થાપકતાને કારણે વધારાનું પુનઃસ્થાપક ટોર્ક ઉત્પન્ન થાય છે. આ અસરકારક પુનઃસ્થાપક બળમાં વધારો કરે છે,જે દોલનનો સમયગાળો ઘટાડે છે.
તેથી,એ સુનિશ્ચિત કરવા માટે કે ચુંબક માત્ર ચુંબકીય ટોર્કને કારણે દોલન કરે (એટલે કે સાચો સમયગાળો માપવા માટે),સસ્પેન્શન ફાઇબરના વળ દૂર કરવા જોઈએ જેથી ચુંબક ફાઇબરના ટોર્સનલ અચળાંકની અસર વિના મુક્તપણે દોલન કરી શકે.

(A) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં ચુંબકના દોલનનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
આ સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
તેથી,સમયગાળાનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$ થાય.
અહીં $T_1 = 2 \, s$ અને $M_2 = 4M_1$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{2}{T_2} = \sqrt{\frac{4M_1}{M_1}} = \sqrt{4} = 2$ મળે છે.
$T_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $T_2 = \frac{2}{2} = 1 \, s$ મળે છે.

(A) દોલન કરતી ચુંબકીય સોયનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$I = 40 \, g \cdot cm^2 = 40 \times 10^{-3} \, kg \times (10^{-2} \, m)^2 = 4 \times 10^{-6} \, kg \cdot m^2$.
$T = 3 \, s$.
$B_H = 3.6 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$3 = 2\pi \sqrt{\frac{4 \times 10^{-6}}{M \times 3.6 \times 10^{-5}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$9 = 4\pi^2 \left( \frac{4 \times 10^{-6}}{M \times 3.6 \times 10^{-5}} \right)$
$\pi^2 \approx 10$ લેતા:
$9 = 40 \left( \frac{4 \times 10^{-6}}{M \times 3.6 \times 10^{-5}} \right)$
$M = \frac{160 \times 10^{-6}}{9 \times 3.6 \times 10^{-5}} = 0.5 \, A \cdot m^2$.

(A) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરનો ઉપયોગ ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ અથવા પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ ને નક્કી કરવા માટે થાય છે. ચુંબક માત્ર પૃથ્વીના સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્રની અસર હેઠળ જ દોલન કરે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,સાધનને ચુંબકીય મેરિડિયનમાં ગોઠવવું આવશ્યક છે. જો તેને ચુંબકીય મેરિડિયન સાથે ગોઠવવામાં ન આવે,તો ચુંબક પર વધારાના બળો અથવા ટોર્ક લાગી શકે છે,જેના પરિણામે માપનમાં ભૂલ આવી શકે છે.

(B) કંપન કરતા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ (moment of inertia), $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ અને $H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
જ્યારે પિત્તળનો સળિયો કંપન કરતા ચુંબક પર મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે સિસ્ટમની કુલ જડત્વની આઘૂર્ણ $(I)$ વધે છે.
આવર્તકાળ $T$ એ જડત્વની આઘૂર્ણના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(T \propto \sqrt{I})$, $I$ માં વધારો થવાથી આવર્તકાળ $T$ માં પણ વધારો થાય છે.
તેથી, કંપન કરતા ચુંબકનો આવર્તકાળ વધે છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_H$ માં દોલન કરતી ચુંબકીય સોયનો આવર્તકાળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$
જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{B_H}}$.
તેથી,આવર્તકાળનો ગુણોત્તર:
$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{B_{H2}}{B_{H1}}}$
અહીં $B_{H1} = H$ અને $B_{H2} = 4H$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{T}{T_2} = \sqrt{\frac{4H}{H}} = \sqrt{4} = 2$
$T_2 = \frac{T}{2}$
આમ,નવો આવર્તકાળ $T/2$ થશે.

(B) કંપન મેગ્નેટોમીટરનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
બંને ચુંબકો સમાન દળ,લંબાઈ અને પહોળાઈ ધરાવતા હોવાથી,તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ સમાન રહેશે.
સરવાળાની સ્થિતિમાં,કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{sum} = M + 2M = 3M$ થાય. આપેલ છે કે $T_1 = 3 \, s$,તેથી $3 \propto \frac{1}{\sqrt{3M}}$.
તફાવતની સ્થિતિમાં,કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{diff} = 2M - M = M$ થાય. ધારો કે નવો આવર્તકાળ $T_2$ છે.
તેથી,$T_2 \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{3M}{M}} = \sqrt{3}$.
આમ,$T_2 = 3 \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \, s$.

(D) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરનો ઉપયોગ કરીને બે ચુંબકોની ચુંબકીય મોમેન્ટ ($M_1$ અને $M_2$) ની સરખામણી કરવા માટે 'સરવાળા અને તફાવતની રીત' માં,ચુંબકોને સમાન દિશામાં (સરવાળો) અને વિરુદ્ધ દિશામાં (તફાવત) ગોઠવવામાં આવે છે.
ગુણોત્તર $\frac{M_1}{M_2} = \frac{T_2^2 + T_1^2}{T_2^2 - T_1^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પદ્ધતિ ફાયદાકારક છે કારણ કે:
$1$. ચુંબકોની જડત્વની મોમેન્ટ $(I)$ ની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી,જે તેના નિર્ધારણ સાથે સંકળાયેલી ભૂલોને દૂર કરે છે.
$2$. અન્ય પદ્ધતિઓની તુલનામાં આમાં ઓછા પ્રાયોગિક અવલોકનોની જરૂર પડે છે.
$3$. તેમાં સામેલ ગાણિતિક ગણતરીઓ પ્રમાણમાં સરળ અને ઓછી હોય છે.

(C) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં ચુંબકનો સમયગાળો $T$ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
ચુંબકો કદ,આકાર અને દળમાં સમાન હોવાથી,તેમની જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ સમાન રહે છે.
આમ,$T \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
આપેલ છે કે $T_1 = 1.5 \ s$ અને $M_2 = \frac{M_1}{4}$.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.5}{T_2} = \sqrt{\frac{M_1/4}{M_1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$T_2 = 1.5 \times 2 = 3 \ s$.

(C) વાઇબ્રેટિંગ મેગ્નેટોમીટરમાં ગજિયા ચુંબકની દોલન આવૃત્તિ $\nu$ નું સૂત્ર: $\nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MB_H}{I}}$ છે.
જો બંને ચુંબક માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ સમાન હોય,તો $\nu \propto \sqrt{M}$ મળે.
અહીં આપેલ છે કે ચુંબક $A$ ની આવૃત્તિ ચુંબક $B$ કરતા બમણી છે,તેથી $\nu_A = 2\nu_B$.
તેથી,$\frac{\nu_A}{\nu_B} = \sqrt{\frac{M_A}{M_B}}$.
કિંમતો મૂકતા: $2 = \sqrt{\frac{M_A}{M_B}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = \frac{M_A}{M_B}$,જેનો અર્થ છે કે $M_A = 4M_B$.

(C) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં ચુંબકનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
ચુંબકો દળ,લંબાઈ અને પહોળાઈમાં સમાન હોવાથી,તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ સમાન રહેશે.
આમ,$T \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,જેનો અર્થ છે કે $T^2 \propto \frac{1}{M}$ અથવા $M \propto \frac{1}{T^2}$.
આપેલ છે કે $B$ નો આવર્તકાળ $A$ ના આવર્તકાળ કરતા બમણો છે,તેથી $T_B = 2T_A$.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટનો ગુણોત્તર $\frac{M_A}{M_B} = \left(\frac{T_B}{T_A}\right)^2 = \left(\frac{2T_A}{T_A}\right)^2 = 2^2 = 4$.
આમ,ગુણોત્તર $M_A/M_B$ એ $4$ છે.

(C) સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_H$ માં ચુંબકની દોલન આવૃત્તિ $n$ માટેનું સૂત્ર: $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MB_H}{I}}$ છે,જ્યાં $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $n \propto \sqrt{MB_H}$.
અહીં આપેલ છે કે નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = 4M$ અને નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_H' = 2B_H$ છે.
આ કિંમતોને પ્રમાણભૂત સંબંધમાં મૂકતા,આપણને નવી આવૃત્તિ $n'$ મળે છે:
$n' \propto \sqrt{M' B_H'} = \sqrt{(4M)(2B_H)} = \sqrt{8MB_H} = 2\sqrt{2} \sqrt{MB_H}$.
કારણ કે $n \propto \sqrt{MB_H}$,તેથી $n' = 2\sqrt{2} n$ થાય.

(C) જ્યારે ચુંબકીય સોયને વણાયા વગરના રેશમી દોરા વડે આડી લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલ તરીકે વર્તે છે.
જ્યારે સોયને તેની સંતુલન સ્થિતિમાંથી થોડી વિચલિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે તેના ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ અને પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ વચ્ચેની આંતરક્રિયાને કારણે પુનઃસ્થાપક ટોર્ક અનુભવે છે.
ટોર્કનું સૂત્ર $\tau = M \times B_H = MB_H \sin \theta$ છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \theta$,તેથી $\tau \approx MB_H \theta$.
આ ટોર્ક સોયને તેની સંતુલન સ્થિતિમાં પાછી લાવવાનું કાર્ય કરે છે,જેના કારણે તે સમક્ષિતિજ સમતલમાં દોલનો કરે છે. વણાયા વગરના રેશમી દોરાને ખાસ કરીને ટોર્સનને ઘટાડવા માટે પસંદ કરવામાં આવે છે,જેથી પુનઃસ્થાપક બળ મુખ્યત્વે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે હોય.

(A) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરનો આવર્તકાળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$.
અહીં,$I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ છે,જે બંને અચળ રહે છે.
આમ,$T \propto \frac{1}{\sqrt{H}}$,જેનો અર્થ છે કે $H \propto \frac{1}{T^2}$.
આપેલ છે કે $T_A = 2 \ s$ અને $T_B = 3 \ s$,તેથી ગુણોત્તર:
$\frac{H_A}{H_B} = \frac{T_B^2}{T_A^2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.
તેથી,$H_A : H_B$ નો ગુણોત્તર $9:4$ છે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_H$ માં દોલન કરતા ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$.
અહીં,$I$ એ ગજિયા ચુંબકની જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે,અને $B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
$m$ દળ,$l$ લંબાઈ અને $b$ પહોળાઈ ધરાવતા લંબચોરસ ગજિયા ચુંબક માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{m(l^2 + b^2)}{12}$ થાય છે.
આવર્તકાળના સૂત્રમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{m(l^2 + b^2)}{12MB_H}}$ મળે છે.
આમ,$T \propto \sqrt{m}$ હોવાથી,આવર્તકાળ તેના દળના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(C) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટર માટે દોલનનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ક્ષણ છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
બે ચુંબકો $A$ અને $B$ માટે $M_1 = 2M$ અને $M_2 = M$ છે,અને જડત્વની ક્ષણ $I_1$ અને $I_2$ છે.
જ્યારે સમાન ધ્રુવો સાથે હોય,ત્યારે અસરકારક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{sum} = M_1 + M_2 = 3M$ થાય છે. સમયગાળો $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{I_1 + I_2}{(M_1 + M_2)B_H}}$ છે.
જ્યારે અસમાન ધ્રુવો સાથે હોય,ત્યારે અસરકારક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{diff} = M_1 - M_2 = 2M - M = M$ થાય છે. સમયગાળો $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{I_1 + I_2}{(M_1 - M_2)B_H}}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{M_1 - M_2}{M_1 + M_2}} = \sqrt{\frac{2M - M}{2M + M}} = \sqrt{\frac{M}{3M}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટર સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લટકાવેલા બાર મેગ્નેટ પર લાગતા પુનઃસ્થાપક ટોર્ક (restoring torque) ના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.
જ્યારે બાર મેગ્નેટને આડા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં (જેમ કે પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર) લટકાવવામાં આવે છે અને તેને તેની સંતુલન સ્થિતિમાંથી થોડું વિચલિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર $\tau = -MB \sin \theta$ જેટલું પુનઃસ્થાપક ટોર્ક લાગે છે.
આ ટોર્કને કારણે ચુંબક ચુંબકીય મેરિડિયન આસપાસ સરળ આવર્ત ગતિ (simple harmonic oscillations) કરે છે.
તેથી,તેનો મુખ્ય સિદ્ધાંત બાર મેગ્નેટ પર લાગતું ટોર્ક છે.

(A) જ્યારે ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરના ગૂંચળામાંથી સ્થિર વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ પસાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે ગૂંચળાના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ઉત્પન્ન કરે છે,જે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $H$ ને લંબ હોય છે.
આ બે પરસ્પર લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રોની અસર હેઠળ,ચુંબકીય સોય $\theta$ ખૂણે કોણાવર્તન અનુભવે છે.
ટેન્જન્ટના નિયમ મુજબ,$B = H \tan \theta$.
કારણ કે $B$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(B = kI)$,તેથી આપણને $I = (H/k) \tan \theta$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $I \propto \tan \theta$.
આમ,ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે સ્થિર વિદ્યુતપ્રવાહ માપવા માટે થાય છે.

(B) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટર માટે,વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ નું સૂત્ર: $I = \frac{2rB_H}{\mu_0 n} \tan \theta$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે,$B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે,$n$ એ આંટાની સંખ્યા છે અને $\theta$ એ કોણાવર્તન છે.
$\tan \theta$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $\tan \theta = \frac{I \mu_0 n}{2r B_H}$.
આપેલ છે: $I = 0.1$ $A$,$n = 50$,$r = 4$ $cm = 0.04$ $m$,$B_H = 7 \times 10^{-5}$ $T$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ $T \cdot m/A$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \frac{0.1 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 50}{2 \times 0.04 \times 7 \times 10^{-5}}$.
$\tan \theta = \frac{0.1 \times 4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 50}{0.08 \times 7 \times 10^{-5}} = \frac{6.283 \times 10^{-6}}{0.56 \times 10^{-5}} = \frac{0.6283}{0.56} \approx 1.122$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(1.122) \approx 48.2^o$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$.
અહીં,$M = 5 \times 10^{-5} \, \text{Wb} \cdot \text{m}$,$B = 8\pi \times 10^{-4} \, \text{T}$,અને $T = 15 \, \text{s}$ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$I = \frac{T^2 MB}{4\pi^2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{(15)^2 \times (5 \times 10^{-5}) \times (8\pi \times 10^{-4})}{4\pi^2}$.
$I = \frac{225 \times 40\pi \times 10^{-9}}{4\pi^2} = \frac{2250 \times 10^{-9}}{\pi} \approx 7.16 \times 10^{-7} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$.

(A) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરનો રિડક્શન ફેક્ટર $K$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $K = \frac{2R B_H}{\mu_0 N}$,જ્યાં $R$ એ કોઈલની ત્રિજ્યા છે,$B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે અને $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે નવા આંટાની સંખ્યા $N' = 2N$ અને નવી ત્રિજ્યા $R' = 2R$ છે.
નવો રિડક્શન ફેક્ટર $K'$ આ મુજબ થશે: $K' = \frac{2R' B_H}{\mu_0 N'} = \frac{2(2R) B_H}{\mu_0 (2N)} = \frac{2R B_H}{\mu_0 N} = K$.
તેથી,રિડક્શન ફેક્ટર બદલાતો નથી.

(D) ટેન્જેન્ટ ગેલ્વેનોમીટર માટે,પ્રવાહ $I = K \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K = \frac{2rB_H}{\mu_0 n}$ છે.
અહીં બંને માટે ત્રિજ્યા $r$ અને પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ સમાન હોવાથી,$K \propto \frac{1}{n}$ થાય.
તેથી,$I = \frac{C}{n} \tan \theta$,જ્યાં $C$ એક અચળાંક છે.
ગેલ્વેનોમીટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,બંનેમાં પ્રવાહ $I$ સમાન રહેશે: $I_1 = I_2$.
તેથી,$\frac{C}{n_1} \tan 60^{\circ} = \frac{C}{n_2} \tan 45^{\circ}$.
$\frac{\sqrt{3}}{n_1} = \frac{1}{n_2}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{n_1}{n_2} = \frac{\sqrt{3}}{1}$ મળે છે.

(B) કંપન મેગ્નેટોમીટરનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે,અને $B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
જ્યારે સળિયો $Q$ ને $P$ ની ઉપર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = I + I = 2I$ થાય છે.
આવર્તકાળ બદલાય નહીં $(T' = T)$ તે માટે,નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ સંબંધ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{M'B_H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{2I}{M'} = \frac{I}{M}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $M' = 2M$.
આ સૂચવે છે કે સિસ્ટમની ચુંબકીય મોમેન્ટ બમણી થઈ ગઈ છે,જે ત્યારે જ શક્ય છે જો $Q$ એ $P$ જેવો જ ચુંબક હોય અને તેના ધ્રુવો $P$ સાથે સંરેખિત (ઉત્તર પર ઉત્તર,દક્ષિણ પર દક્ષિણ) હોય.

(A) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરની દોલન આવૃત્તિ $\nu$ નું સૂત્ર $\nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MB}{I}}$ છે,જ્યાં $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે અને $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\nu \propto \sqrt{B}$.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $\nu_1$ છે અને પ્રારંભિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ છે. ધારો કે અંતિમ આવૃત્તિ $\nu_2$ છે અને અંતિમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = 4B_1$ છે.
તેથી,$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{B_2}{B_1}} = \sqrt{\frac{4B_1}{B_1}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$\nu_2 = 2\nu_1$.
આવૃત્તિ તેના મૂળ મૂલ્ય કરતા બમણી થશે.

(B) ટેન્જેન્ટ ગેલ્વેનોમીટરમાં,વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એ કોણાવર્તન ખૂણા $\theta$ ના ટેન્જેન્ટના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $I = K \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ રિડક્શન ફેક્ટર છે.
આપેલ છે કે $I_1 \propto \tan \theta_1$ અને $I_2 \propto \tan \theta_2$.
આથી $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}$.
અહીં $\theta_1 = 45^{\circ}$ અને $I_2 = \frac{I_1}{\sqrt{3}}$ છે,તેથી $\frac{I_1}{I_1/\sqrt{3}} = \frac{\tan 45^{\circ}}{\tan \theta_2}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\sqrt{3} = \frac{1}{\tan \theta_2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\theta_2 = 30^{\circ}$.
કોણાવર્તનમાં થતો ફેરફાર $\theta_1 - \theta_2 = 45^{\circ} - 30^{\circ} = 15^{\circ}$ છે.
આમ,કોણાવર્તન $15^{\circ}$ જેટલું ઘટશે.

(D) જ્યારે ચુંબકીય સોયને બે પરસ્પર લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રો $F$ અને $H$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં ગોઠવાય છે.
ધારો કે સોય દ્વારા ક્ષેત્ર $F$ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\theta = 60^\circ$ છે.
વેક્ટર ઘટકોની ભૂમિતિ પરથી,ખૂણા $\theta$ નો ટેન્જન્ટ એ લંબ ઘટક અને આધાર ઘટકના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tan \theta = \frac{H}{F}$
આપેલ કિંમત $\theta = 60^\circ$ મૂકતા:
$\tan 60^\circ = \frac{H}{F}$
કારણ કે $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$,તેથી:
$\sqrt{3} = \frac{H}{F}$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{F}{H}$ છે:
$\frac{F}{H} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = 1 \, T$ છે અને લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \sqrt{3} \, T$ છે.
જ્યારે ચુંબકીય સોયને બે પરસ્પર લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રોમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં ગોઠવાય છે.
સોય $B_1$ ની દિશા સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે ટેન્જન્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tan \theta = \frac{B_2}{B_1}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 60^o = \sqrt{3}$,તેથી:
$\theta = 60^o$

(C) જ્યારે ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરના ગૂંચળામાંથી વિદ્યુત પ્રવાહ $I$ પસાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે ગૂંચળાના સમતલને લંબ રૂપે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ઉત્પન્ન થાય છે,એટલે કે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $H$ ને લંબ રૂપે.
આ બે પરસ્પર લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B$ અને $H$ ની અસર હેઠળ,ગેલ્વેનોમીટરની ચુંબકીય સોય $\theta$ જેટલું કોણાવર્તન અનુભવે છે,જે ટેન્જન્ટના નિયમ દ્વારા સંચાલિત થાય છે.
ટેન્જન્ટના નિયમ મુજબ,સંબંધ $B = H \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B \propto I$ હોવાથી,આપણને $I = k \tan \theta$ મળે છે,જ્યાં $k$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો રિડક્શન ફેક્ટર છે.
આ સ્પષ્ટ કરે છે કે ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટર એ પરિપથમાં વિદ્યુત પ્રવાહ માપવા માટે વપરાતું સાધન છે.