Magnetic Equipment's (Tangent galvanometer, Vibration magnetometer and Neutral point) Questions in Hindi

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबक के दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
चूंकि $M = m \times 2l$ (जहाँ $m$ ध्रुव प्रबलता है और $2l$ चुंबकीय लंबाई है),इसलिए $T \propto \frac{1}{\sqrt{M}} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
यह दिया गया है कि ध्रुव प्रबलता $m$,$4$ गुनी हो जाती है,इसलिए नई ध्रुव प्रबलता $m' = 4m$ है।
अतः,नया आवर्तकाल $T'$,मूल आवर्तकाल $T$ से इस प्रकार संबंधित है: $T' = \frac{T}{\sqrt{4}} = \frac{T}{2}$.
दिया गया है $T = 2 \ s$,इसलिए हमें $T' = \frac{2}{2} = 1 \ s$ प्राप्त होता है।

(B) स्पर्शज्या गैल्वेनोमीटर के लिए,धारा $I = K \tan \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ रिडक्शन फैक्टर है।
चूँकि कुंडलियाँ श्रेणीक्रम में जुड़ी हैं,इसलिए दोनों के लिए धारा $I$ समान होगी।
अतः,$K_1 \tan \theta_1 = K_2 \tan \theta_2$.
यहाँ $\theta_1 = 60^o$ और $\theta_2 = 45^o$ दिया गया है,इसलिए $K_1 \tan 60^o = K_2 \tan 45^o$.
$K_1 (\sqrt{3}) = K_2 (1) \Rightarrow \frac{K_1}{K_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
रिडक्शन फैक्टर $K = \frac{2 R B_H}{\mu_0 N}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ त्रिज्या है और $N$ फेरों की संख्या है।
चूँकि दोनों के लिए $R$ समान है,इसलिए $K \propto \frac{1}{N}$,जिसका अर्थ है $\frac{K_1}{K_2} = \frac{N_2}{N_1}$.
इस प्रकार,$\frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है $\frac{N_1}{N_2} = \frac{\sqrt{3}}{1}$.

(B) उदासीन बिंदु पर,धारावाही तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $(B_H)$ के बराबर और विपरीत होता है।
दिया गया है: दूरी $R = 5 \ cm = 0.05 \ m$,$B_H = 0.18 \ G = 0.18 \times 10^{-4} \ T$.
एक लंबे सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}$ होता है।
$B = B_H$ रखने पर,$\frac{\mu_0 I}{2\pi R} = B_H$.
मान रखने पर: $\frac{2 \times 10^{-7} \times I}{0.05} = 0.18 \times 10^{-4}$.
$I = \frac{0.18 \times 10^{-4} \times 0.05}{2 \times 10^{-7}} = \frac{0.009 \times 10^{-4}}{2 \times 10^{-7}} = 0.0045 \times 10^3 = 4.5 \ A$.
अतः,तार में प्रवाहित धारा $4.5 \ A$ है।

(B) एक कंपन चुंबकत्वमापी का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
पृथ्वी के चुंबकीय ध्रुवों पर,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ ऊर्ध्वाधर होती हैं,जिसका अर्थ है कि पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $B_H$ शून्य होता है।
सूत्र में $B_H = 0$ रखने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M \times 0}} = 2\pi \sqrt{\infty} = \infty$ प्राप्त होता है।
अतः,आवर्तकाल अनंत हो जाता है।

(B) टैंजेंट गैल्वेनोमीटर में,कुंडली (या चुंबक) द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_{m}$,पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $B_{H}$ के लंबवत होता है।
विक्षेप कोण $\theta$ को टैंजेंट नियम द्वारा दिया जाता है: $B_{m} = B_{H} \tan \theta$.
दिया गया है:
$B_{H} = 0.34 \times 10^{-4} \text{ T}$
$\theta = 30^{\circ}$
मान रखने पर:
$B_{m} = (0.34 \times 10^{-4}) \times \tan 30^{\circ}$
$B_{m} = (0.34 \times 10^{-4}) \times \frac{1}{\sqrt{3}}$
$B_{m} = \frac{0.34 \times 10^{-4}}{1.732}$
$B_{m} \approx 0.1963 \times 10^{-4} \text{ T}$
$B_{m} \approx 1.96 \times 10^{-5} \text{ T}$

(C) जब एक छोटे छड़ चुंबक को उत्तर ध्रुव भौगोलिक उत्तर की ओर रखते हुए रखा जाता है, तो उदासीन बिंदु निरक्षीय रेखा (पूर्व-पश्चिम रेखा) पर स्थित होते हैं।
उदासीन बिंदु पर, चुंबक के कारण चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $(B_H)$ के बराबर होता है।
निरक्षीय रेखा पर एक छोटे छड़ चुंबक के लिए चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{r^3}$ है।
दिया गया है: $r = 30 \, cm = 0.3 \, m$, $B_H = 3.6 \times 10^{-5} \, T$, और $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$.
क्षेत्रों को बराबर करने पर: $10^{-7} \cdot \frac{M}{(0.3)^3} = 3.6 \times 10^{-5}$.
$M$ के लिए हल करने पर: $M = \frac{3.6 \times 10^{-5} \times (0.3)^3}{10^{-7}}$.
$M = 3.6 \times 10^2 \times 0.027$.
$M = 360 \times 0.027 = 9.72 \, A \cdot m^2$.
अतः, चुंबकीय आघूर्ण लगभग $9.7 \, A \cdot m^2$ है।

(A) टैंजेंट गैल्वेनोमीटर में धारा $i$ के लिए सूत्र इस प्रकार है:
$i = \frac{2 r B_{H}}{\mu_{0} N} \tan \theta$
जहाँ:
$r = 15 \times 10^{-2}\, m$ (कुंडली की त्रिज्या)
$B_{H} = 3 \times 10^{-5}\, T$ (पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक)
$N = 25$ (फेरों की संख्या)
$\theta = 45^{\circ}$ (विक्षेप कोण)
$\mu_{0} = 4 \pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$ (निर्वात की पारगम्यता)
मान रखने पर:
$i = \frac{2 \times 15 \times 10^{-2} \times 3 \times 10^{-5}}{4 \pi \times 10^{-7} \times 25} \times \tan 45^{\circ}$
$i = \frac{90 \times 10^{-7}}{100 \pi \times 10^{-7}} \times 1$
$i = \frac{0.9}{\pi} \approx 0.2865\, A \approx 0.29\, A$

(C) कंपन चुंबकत्वमापी का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{M B_{H}}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $B_{H}$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $T \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
इसलिए,आवर्तकालों का अनुपात $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1}}}$ होगा।
दिया गया है कि चुंबकीय आघूर्ण $19\%$ कम हो जाता है,यदि $M_{1} = 100$ है,तो $M_{2} = 100 - 19 = 81$ होगा।
इन मानों को रखने पर,हमें $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{9}{10}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $T_{2} = \frac{10}{9} T_{1} \approx 1.11 T_{1}$।
आवर्तकाल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{T_{2} - T_{1}}{T_{1}} \times 100 = (1.11 - 1) \times 100 = 11\%$ है।
अतः,आवर्तकाल में $11\%$ की वृद्धि होती है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में दोलन करने वाले छड़ चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
द्रव्यमान $m$ और लंबाई $L$ वाले मूल चुंबक के लिए,$I = \frac{mL^2}{12}$ और $M = m_s L$ (जहाँ $m_s$ ध्रुव प्राबल्य है)।
जब इसे लंबाई के लंबवत $3$ समान भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग की लंबाई $L' = L/3$ और द्रव्यमान $m' = m/3$ हो जाता है।
नया जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{m'(L')^2}{12} = \frac{(m/3)(L/3)^2}{12} = \frac{I}{27}$ होता है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = m_s L' = m_s (L/3) = M/3$ होता है।
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार होगा: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{M'B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/27}{(M/3)B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{9MB}} = \frac{1}{3} \times 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}} = \frac{T}{3}$।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में एक छड़ चुंबक के दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
$m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई वाली छड़ चुंबक के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ml^2}{12}$ होता है।
चूंकि $M$ और $B_H$ स्थिर रहते हैं,इसलिए $T \propto \sqrt{I}$ होता है।
चूंकि $I \propto m$,इसलिए $T \propto \sqrt{m}$ प्राप्त होता है।
माना $m$ द्रव्यमान के साथ प्रारंभिक आवर्तकाल $T_0$ है और $2m$ द्रव्यमान के साथ नया आवर्तकाल $T'$ है।
$\frac{T'}{T_0} = \sqrt{\frac{2m}{m}} = \sqrt{2}$.
अतः,$T' = \sqrt{2} T_0$.

(D) चुंबक के दोलन का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $B$ क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र है।
चूँकि $I$ और $M$ स्थिर हैं,इसलिए $T \propto \frac{1}{\sqrt{B}}$,जिसका अर्थ है $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{B_1}{B_2}}$.
दिया गया है $B_1 = 24 \, \mu T$ और $T_1 = 2 \, s$.
नया चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = B_1 - 18 \, \mu T = 24 \, \mu T - 18 \, \mu T = 6 \, \mu T$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{T_2}{2} = \sqrt{\frac{24}{6}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$T_2 = 2 \times 2 = 4 \, s$.

(D) कम्पन चुम्बकत्वमापी में दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{mB_H}{I}}$ द्वारा दी जाती है।
जब समान ध्रुव एक साथ होते हैं,तो प्रभावी चुम्बकीय आघूर्ण $M_1 = m_1 + m_2$ होता है और आवृत्ति $f_1 = 12 \text{ दोलन/मिनट}$ होती है।
जब असमान ध्रुव एक साथ होते हैं,तो प्रभावी चुम्बकीय आघूर्ण $M_2 = m_1 - m_2$ होता है और आवृत्ति $f_2 = 4 \text{ दोलन/मिनट}$ होती है।
चूंकि $f \propto \sqrt{M}$,इसलिए $\frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_1 - m_2}}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{12}{4} = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_1 - m_2}} \implies 3 = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_1 - m_2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $9 = \frac{m_1 + m_2}{m_1 - m_2}$.
$9m_1 - 9m_2 = m_1 + m_2 \implies 8m_1 = 10m_2$.
अतः,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.

(D) टैंजेंट गैल्वेनोमीटर के लिए,धारा $I = K \tan \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K = \frac{2R B_H}{\mu_0 N}$ है।
चूंकि कुंडलियाँ श्रेणीक्रम में जुड़ी हैं,इसलिए दोनों के लिए धारा $I$ समान होगी।
अतः,$K_1 \tan \theta_1 = K_2 \tan \theta_2$.
दिया गया है $\theta_1 = 60^o$ और $\theta_2 = 45^o$,इसलिए $K_1 \tan 60^o = K_2 \tan 45^o$.
$K_1 (\sqrt{3}) = K_2 (1) \Rightarrow \frac{K_1}{K_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूंकि $K \propto \frac{1}{N}$ (त्रिज्या $R$ समान है),इसलिए $\frac{K_1}{K_2} = \frac{N_2}{N_1}$ होगा।
अतः,$\frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{N_1}{N_2} = \frac{\sqrt{3}}{1}$.

(D) टैंजेंट गैल्वेनोमीटर में धारा $I$ का सूत्र $I = K \tan \theta$ है,जहाँ $K = \frac{2r B_H}{\mu_0 n}$ है।
यहाँ,$n = 100$,$r = 0.20\, m$,$B_H = 3 \times 10^{-5}\, T$,और $\theta = 45^{\circ}$ है।
मान रखने पर:
$I = \frac{2 \times 0.20 \times 3 \times 10^{-5}}{4 \pi \times 10^{-7} \times 100} \times \tan 45^{\circ}$.
$I = \frac{1.2 \times 10^{-5}}{4 \pi \times 10^{-5}} \times 1 = \frac{1.2}{4 \pi} = \frac{0.3}{\pi} \approx 0.09549\, A$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,धारा $0.095\, A$ है।

(A) कंपन चुंबकत्वमापी का आवर्तकाल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$
जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
प्रारंभिक स्थिति के लिए: $T_0 = 2 \pi \sqrt{\frac{I_0}{M_0 B}}$.
नए चुंबक के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I_1 = 3I_0$ और चुंबकीय आघूर्ण $M_1 = \frac{M_0}{3}$ है।
नया आवर्तकाल $T_1$ इस प्रकार होगा:
$T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{I_1}{M_1 B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{3I_0}{(M_0/3) B}}$
$T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{9I_0}{M_0 B}} = 3 \times (2 \pi \sqrt{\frac{I_0}{M_0 B}})$
$T_1 = 3T_0$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र $H$ में चुंबक के दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि समान चुंबक का उपयोग किया जाता है, इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण $I$ और चुंबकीय आघूर्ण $M$ स्थिर रहते हैं।
अतः, $T \propto \frac{1}{\sqrt{H}}$, जिसका अर्थ है $T^2 \propto \frac{1}{H}$ या $H \propto \frac{1}{T^2}$।
प्रथम स्थिति में:
आवृत्ति $f_1 = 40 \, \text{दोलन/मिनट} = \frac{40}{60} \, \text{Hz}$।
आवर्तकाल $T_1 = \frac{1}{f_1} = \frac{60}{40} = 1.5 \, s$।
चुंबकीय क्षेत्र $H_1 = 0.1 \times 10^{-5} \, T = 10^{-6} \, T$।
दूसरी स्थिति में:
आवर्तकाल $T_2 = 2.5 \, s$।
चुंबकीय क्षेत्र $H_2 = ?$।
संबंध $\frac{H_2}{H_1} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{H_2}{10^{-6}} = \left( \frac{1.5}{2.5} \right)^2 = \left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{9}{25} = 0.36$।
$H_2 = 0.36 \times 10^{-6} \, T$।

(A) दोलन का आवर्तकाल $T$,कुल समय को दोलनों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: $T = \frac{6.70 \; s}{10} = 0.67 \; s$.
चुंबकीय क्षेत्र में दोलन करने वाली चुंबकीय सुई के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mB}}$ है।
इस सूत्र को चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $B = \frac{4\pi^2 I}{m T^2}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $B = \frac{4 \times (3.14)^2 \times 7.5 \times 10^{-6}}{(6.7 \times 10^{-2}) \times (0.67)^2}$.
हर (denominator) की गणना करने पर: $(6.7 \times 10^{-2}) \times 0.4489 \approx 0.0300763$.
अंश (numerator) की गणना करने पर: $4 \times 9.8596 \times 7.5 \times 10^{-6} \approx 0.000295788$.
अतः,$B = \frac{0.000295788}{0.0300763} \approx 0.00983 \; T$,जो लगभग $0.01 \; T$ है।

(D) पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $H = 0.36 \; G$ है।
अक्षीय रेखा पर उदासीन बिंदु पर,चुंबक का चुंबकीय क्षेत्र $B_{axial}$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $H$ के बराबर होता है:
$B_{axial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{d^3} = H = 0.36 \; G \dots (i)$
जहाँ $d = 14 \; cm$ केंद्र से दूरी है।
समान दूरी $d$ पर निरक्षीय रेखा (लंब समद्विभाजक) पर चुंबकीय क्षेत्र इस प्रकार है:
$B_{equatorial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{d^3} = \frac{H}{2} = \frac{0.36}{2} = 0.18 \; G$।
चूंकि निरक्षीय रेखा पर चुंबक का चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में ही होता है,इसलिए उस बिंदु पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{total}$ होगा:
$B_{total} = B_{equatorial} + H = 0.18 \; G + 0.36 \; G = 0.54 \; G$।

(A) $d_{1} = 14 \; cm$ की दूरी पर चुंबक की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र इस प्रकार है:
$B_{1} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2M}{d_{1}^{3}} = H \dots (1)$
जहाँ $M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
जब चुंबक को $180^o$ घुमाया जाता है,तो उदासीन बिंदु चुंबक की निरक्षीय रेखा (equatorial line) पर स्थानांतरित हो जाते हैं।
निरक्षीय रेखा पर $d_{2}$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र इस प्रकार है:
$B_{2} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M}{d_{2}^{3}} = H \dots (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{2}{d_{1}^{3}} = \frac{1}{d_{2}^{3}}$
$d_{2}^{3} = \frac{d_{1}^{3}}{2}$
$d_{2} = \frac{d_{1}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{14}{1.26} \approx 11.1 \; cm$
नए उदासीन बिंदु निरक्षीय रेखा पर $11.1 \; cm$ की दूरी पर स्थित होंगे।

(N/A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में दोलन कर रहे छड़ चुंबक का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mB}}$
जहाँ:
$T$ दोलन का आवर्तकाल है।
$I$ छड़ चुंबक का जड़त्व आघूर्ण है।
$m$ चुंबक का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है।
$B$ एकसमान चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में दोलन करने वाले छड़ चुंबक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है।
मूल चुंबक के लिए,$I = \frac{m l^2}{12}$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $l$ लंबाई है।
जब चुंबक को उसकी लंबाई के लंबवत दो समान टुकड़ों में काटा जाता है,तो प्रत्येक टुकड़े की लंबाई $l' = l/2$ और द्रव्यमान $m' = m/2$ हो जाता है।
प्रत्येक टुकड़े के लिए उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः नया जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{m' (l')^2}{12} = \frac{(m/2) (l/2)^2}{12} = \frac{m l^2}{12 \times 8} = \frac{I}{8}$ होता है।
प्रत्येक टुकड़े के लिए नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = M/2$ होता है।
नया आवर्तकाल $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I'}{M' B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I/8}{(M/2) B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{4} \frac{I}{MB}} = \frac{1}{2} \left( 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}} \right) = \frac{T}{2}$ होता है।

(C) चुंबक की लंबाई $2l = 14 \, cm$,इसलिए $l = 7 \, cm = 0.07 \, m$ है।
केंद्र से उदासीन बिंदु की दूरी $d = 18 \, cm = 0.18 \, m$ है।
प्रत्येक ध्रुव से उदासीन बिंदु की दूरी $r = \sqrt{d^2 + l^2} = \sqrt{18^2 + 7^2} = \sqrt{324 + 49} = \sqrt{373} \, cm$ है।
एक ध्रुव के कारण उदासीन बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_0 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{r^2}$ है।
उदासीन बिंदु पर,पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $B_H$ दोनों ध्रुवों के परिणामी चुंबकीय क्षेत्र द्वारा संतुलित होता है: $B_H = 2 B_0 \sin \theta$,जहाँ $\sin \theta = \frac{l}{r}$ है।
मान रखने पर: $B_H = 2 \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{r^2} \right) \left( \frac{l}{r} \right) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2ml}{r^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3}$,जहाँ $M = m(2l)$ चुंबकीय आघूर्ण है।
$0.4 \times 10^{-4} = 10^{-7} \times \frac{M}{(r \times 10^{-2})^3} = 10^{-7} \times \frac{M}{(373 \times 10^{-4})^{3/2}}$.
$M = \frac{0.4 \times 10^{-4} \times (373 \times 10^{-4})^{3/2}}{10^{-7}} = 0.4 \times 10^3 \times (373)^{3/2} \times 10^{-6} = 0.4 \times 10^{-3} \times 7203.82 \approx 2.88 \, J \, T^{-1}$.

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में दोलन करने वाली चुंबकीय सुई का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: चुंबकीय आघूर्ण $M = 9.85 \times 10^{-2} \, A \cdot m^{2}$,जड़त्व आघूर्ण $I = 5 \times 10^{-6} \, kg \cdot m^{2}$.
सुई $5 \, s$ में $10$ दोलन करती है,इसलिए आवर्तकाल $T = \frac{5}{10} = 0.5 \, s$.
सूत्र में मान रखने पर: $0.5 = 2\pi \sqrt{\frac{5 \times 10^{-6}}{9.85 \times 10^{-2} \times B}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $0.25 = 4\pi^{2} \left( \frac{5 \times 10^{-6}}{9.85 \times 10^{-2} \times B} \right)$.
$\pi^{2} = 9.85$ का उपयोग करने पर: $0.25 = 4 \times 9.85 \times \frac{5 \times 10^{-6}}{9.85 \times 10^{-2} \times B}$.
$0.25 = 4 \times \frac{5 \times 10^{-6}}{10^{-2} \times B} = \frac{20 \times 10^{-6}}{10^{-2} \times B} = \frac{20 \times 10^{-4}}{B}$.
$B = \frac{20 \times 10^{-4}}{0.25} = 80 \times 10^{-4} = 8 \times 10^{-3} \, T$.
चूंकि $1 \, T = 1000 \, mT$,इसलिए $B = 8 \, mT$.

(A) दोलन चुंबकत्वमापी का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M B_H}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B_H = B \cos \delta$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है और $\delta$ नति कोण है।
आवृत्ति $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{M B \cos \delta}{I}}$. अतः,$f \propto \sqrt{B \cos \delta}$.
स्थान $P$ पर: $f_P = 20 \text{ दोलन/मिनट}$,$\delta_P = 30^{\circ}$.
स्थान $Q$ पर: $f_Q = 10 \text{ दोलन/मिनट}$,$\delta_Q = 60^{\circ}$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{f_P}{f_Q} = \sqrt{\frac{B_P \cos 30^{\circ}}{B_Q \cos 60^{\circ}}}$
$\frac{20}{10} = \sqrt{\frac{B_P (\sqrt{3}/2)}{B_Q (1/2)}}$
$2 = \sqrt{\frac{B_P \sqrt{3}}{B_Q}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{B_P \sqrt{3}}{B_Q}$
अतः,$\frac{B_Q}{B_P} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र में दोलन करने वाली छड़ चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $T_1 = 3\,s$,$T_2 = 4\,s$ और जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{3}{2}$ है।
आवर्तकाल का अनुपात लेने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2} \cdot \frac{M_2}{M_1}} = \frac{3}{4}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{I_1}{I_2} \cdot \frac{M_2}{M_1} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$.
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{3}{2}$ का मान रखने पर:
$\frac{3}{2} \cdot \frac{M_2}{M_1} = \frac{9}{16}$.
$\frac{M_2}{M_1} = \frac{9}{16} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{8}$.
अतः,चुंबकीय आघूर्ण का अनुपात $\frac{M_1}{M_2} = \frac{8}{3}$ है।

(A) उदासीन बिंदु वह बिंदु है जहाँ चुम्बकों के कारण कुल चुम्बकीय क्षेत्र शून्य होता है। यह तब होता है जब दोनों चुम्बकों से उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र सदिश परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं।
दोनों छड़ चुम्बकों की चुम्बकीय क्षेत्र रेखाओं का विश्लेषण करके,हम प्रत्येक क्षेत्र में चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा निर्धारित कर सकते हैं।
क्षेत्र $I$ में,क्षैतिज चुम्बक से चुम्बकीय क्षेत्र रेखाएं बाईं ओर इंगित करती हैं,और ऊर्ध्वाधर चुम्बक से चुम्बकीय क्षेत्र रेखाएं भी ऐसी दिशा में होती हैं जो क्षैतिज चुम्बक के क्षेत्र का विरोध करती हैं। इस प्रकार,इस क्षेत्र में क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर सकते हैं।
अतः,उदासीन बिंदु क्षेत्र $I$ में स्थित है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में दोलन करने वाली चुंबकीय सुई का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है।
जब चुंबक को उसकी लंबाई के लंबवत $n$ समान भागों में तोड़ा जाता है,तो प्रत्येक भाग की लंबाई $l' = l/n$ हो जाती है।
प्रत्येक भाग का नया द्रव्यमान $m' = m/n$ होता है।
प्रत्येक भाग का नया जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{m' (l')^2}{12} = \frac{(m/n) (l/n)^2}{12} = \frac{I}{n^3}$ होता है।
प्रत्येक भाग का नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = M/n$ होता है।
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार है: $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I'}{M' B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I/n^3}{(M/n) B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{n^2 MB}} = \frac{1}{n} \left( 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}} \right) = \frac{T}{n}$.

(B) चुम्बकीय क्षेत्र में चुम्बक के दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ चुम्बकीय आघूर्ण है।
चूँकि चुम्बक समान आकार के हैं,उनका जड़त्व आघूर्ण $I$ समान है। मान लीजिए $I_1 = I_2 = I$। कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I + I = 2I$ होगा।
स्थिति $1$: समान ध्रुव एक साथ। परिणामी चुम्बकीय आघूर्ण $M_{net} = M_1 + M_2$ है। दिया गया है $M_1 : M_2 = 1 : 2$,अतः $M_1 = M$ और $M_2 = 2M$ लेने पर,$M_{net} = M + 2M = 3M$।
आवर्तकाल $T_1 = 3 \, s = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{3MB}}$।
स्थिति $2$: एक चुम्बक को उलटने पर। परिणामी चुम्बकीय आघूर्ण $M'_{net} = |M_2 - M_1| = |2M - M| = M$ है।
नया आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{MB}}$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{2I/MB}{2I/3MB}} = \sqrt{3}$।
अतः,$T_2 = 3 \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \, s$।

(D) चुंबकीय मेरिडियन में,आभासी डिप $\delta$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के ऊर्ध्वाधर घटक $B_V$ और क्षैतिज घटक $B_H$ से $\tan \delta = \frac{B_V}{B_H}$ द्वारा संबंधित है।
जब डिप सर्कल को क्षैतिज तल में $\alpha$ कोण से घुमाया जाता है,तो प्रभावी क्षैतिज घटक $B_H^{\prime} = B_H \cos \alpha$ हो जाता है,जबकि ऊर्ध्वाधर घटक $B_V$ अपरिवर्तित रहता है।
नया आभासी डिप कोण $\delta^{\prime}$ इस प्रकार दिया जाता है: $\tan \delta^{\prime} = \frac{B_V}{B_H^{\prime}} = \frac{B_V}{B_H \cos \alpha}$।
$\tan \delta = \frac{B_V}{B_H}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tan \delta^{\prime} = \frac{\tan \delta}{\cos \alpha}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{\tan \delta^{\prime}}{\tan \delta} = \frac{1}{\cos \alpha}$ है।

(D) जब एक छड़ चुंबक को इस प्रकार रखा जाता है कि उसका चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}$ पृथ्वी के क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_H$ के समानांतर हो,तो चुंबक द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र भूमध्यरेखीय क्षेत्र में पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का विरोध करता है।
उन बिंदुओं का बिंदुपथ जहाँ चुंबक का चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के बराबर और विपरीत होता है,भूमध्यरेखीय तल में चुंबक के चारों ओर एक वृत्त (या वलय) बनाता है।
चूंकि इस वृत्त पर अनंत बिंदु होते हैं जहाँ कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है,इसलिए अनंत उदासीन बिंदु प्राप्त होते हैं।
$2D$ तल में (जैसे कागज पर),हम इनमें से केवल दो बिंदु ही देख पाते हैं,जो वलय और कागज के तल का प्रतिच्छेदन बिंदु होते हैं।

(A) क्षैतिज तल में दोलन करने वाली चुंबकीय सुई का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M B_H}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B_H = B \cos \delta$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है और $\delta$ नमन कोण है।
दिया गया है $\delta = 60^{\circ}$,अतः $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M B \cos 60^{\circ}}}$.
जब सुई चुंबकीय याम्योत्तर के साथ संपाती ऊर्ध्वाधर तल में दोलन करती है,तो वह कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ का अनुभव करती है। नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार है: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M B}}$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{M B \cos 60^{\circ}}{M B}} = \sqrt{\cos 60^{\circ}}$.
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$T' = \frac{T}{\sqrt{2}}$.

(A) दोलन चुम्बकत्वमापी (vibration magnetometer) का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ चुम्बकीय आघूर्ण है।
जब समान ध्रुवों को जोड़ा जाता है,तो प्रभावी चुम्बकीय आघूर्ण $M_1 + M_2$ होता है। दिया गया है $T_1 = 5 \, s$,इसलिए $5 = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{M_1 + M_2}}$।
जब असमान ध्रुवों को जोड़ा जाता है,तो प्रभावी चुम्बकीय आघूर्ण $M_1 - M_2$ होता है। दिया गया है $T_2 = 15 \, s$,इसलिए $15 = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{M_1 - M_2}}$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{5}{15} = \sqrt{\frac{M_1 - M_2}{M_1 + M_2}} \Rightarrow \frac{1}{3} = \sqrt{\frac{M_1 - M_2}{M_1 + M_2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{9} = \frac{M_1 - M_2}{M_1 + M_2}$।
वज्र गुणन करने पर: $M_1 + M_2 = 9M_1 - 9M_2 \Rightarrow 10M_2 = 8M_1$।
अतः,अनुपात $\frac{M_1}{M_2} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$ है।

(C) स्पर्शज्या गैल्वेनोमीटर का रिडक्शन फैक्टर $K$, सूत्र $K = \frac{2 R H}{N}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
फेरों की संख्या $N = 80$.
आंतरिक व्यास $d_1 = 19 \, cm$, बाहरी व्यास $d_2 = 21 \, cm$.
औसत त्रिज्या $R = \frac{d_1 + d_2}{4} = \frac{19 + 21}{4} = 10 \, cm = 0.1 \, m$.
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $H = 0.32 \, \text{oersted} = 0.32 \times 80 \, A/m = 25.6 \, A/m$.
सूत्र के अनुसार, $K = \frac{2 \times 0.1 \times 25.6}{80} = \frac{5.12}{80} = 0.064 \, A$.

(A) टैंजेंट गैल्वेनोमीटर का रिडक्शन फैक्टर $K$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$K = \frac{2 R B_H}{\mu_0 N}$
जहाँ $R$ कुंडली की त्रिज्या है,$B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है,$\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता है और $N$ फेरों की संख्या है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $K \propto \frac{R}{N}$ है।
दिया गया है कि नई त्रिज्या $R' = 2R$ और फेरों की नई संख्या $N' = 2N$ है,तो नया रिडक्शन फैक्टर $K'$ होगा:
$K' = \frac{2 R' B_H}{\mu_0 N'} = \frac{2 (2R) B_H}{\mu_0 (2N)} = \frac{2 R B_H}{\mu_0 N} = K$
अतः,रिडक्शन फैक्टर अपरिवर्तित रहेगा।

(B) जब एक छड़ चुंबक को उसके उत्तरी ध्रुव को भौगोलिक उत्तर की ओर रखते हुए रखा जाता है,तो चुंबक का चुंबकीय क्षेत्र और पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $(B_H)$ निरक्षीय रेखा (चुंबक के केंद्र से गुजरने वाली पूर्व-पश्चिम रेखा) पर एक-दूसरे के विपरीत होते हैं।
उदासीन बिंदु पर,चुंबक के कारण चुंबकीय क्षेत्र $(B_{mag})$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $(B_H)$ के बराबर और विपरीत होता है।
चूंकि चुंबक की क्षेत्र रेखाएं उत्तरी ध्रुव से निकलकर दक्षिणी ध्रुव में प्रवेश करती हैं,इसलिए निरक्षीय रेखा पर क्षेत्र उत्तर से दक्षिण की ओर (पृथ्वी के $B_H$ के विपरीत) होता है।
अतः,उदासीन बिंदु चुंबक के केंद्र से गुजरने वाली पूर्व-पश्चिम रेखा पर प्राप्त होते हैं।

(D) वाइब्रेशन मैग्नेटोमीटर का दोलन काल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M B_H}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
सूत्र से,$T \propto \frac{1}{\sqrt{B_H}}$,जिसका अर्थ है $B_H \propto \frac{1}{T^2}$।
यहाँ $T_1 = 2.45 \,s$ और $T_2 = 4.9 \,s$ दिया गया है।
इसलिए,$\frac{B_{H_1}}{B_{H_2}} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^2$।
मान रखने पर: $\frac{B_{H_1}}{B_{H_2}} = \left( \frac{4.9}{2.45} \right)^2 = (2)^2 = 4$।
अतः,अनुपात $4: 1$ है।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय सुई के दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है, $M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है。
दिया गया है: $B = 0.049 \ T$, $I = 9.8 \times 10^{-5} \ kg \ m^2$, और सुई $5 \ s$ में $20$ दोलन करती है。
आवर्तकाल $T = \frac{5 \ s}{20} = 0.25 \ s = \frac{1}{4} \ s$.
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{1}{4} = 2 \pi \sqrt{\frac{9.8 \times 10^{-5}}{M \times 0.049}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{16} = 4 \pi^2 \times \frac{9.8 \times 10^{-5}}{M \times 0.049}$.
$M$ के लिए हल करने पर: $M = \frac{4 \pi^2 \times 9.8 \times 10^{-5} \times 16}{0.049} = 1280 \pi^2 \times 10^{-5} \ A \ m^2$.
अतः, $x = 1280 \pi^2$.

(B) जब गैल्वेनोमीटर की कुंडली से विद्युत धारा $I$ प्रवाहित की जाती है,तो कुंडली के तल के लंबवत एक चुंबकीय क्षेत्र $B$ उत्पन्न होता है,अर्थात पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $H$ के लंबवत। दो परस्पर लंब चुंबकीय क्षेत्रों $B$ और $H$ के प्रभाव में,गैल्वेनोमीटर की चुंबकीय सुई $\theta$ विक्षेप का अनुभव करती है,जो टैंजेंट नियम द्वारा दिया जाता है। टैंजेंट नियम का उपयोग करके,हम संबंध $I = K \tan \theta$ प्राप्त कर सकते हैं,जहाँ $K$ रिडक्शन फैक्टर है। यह स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि टैंजेंट गैल्वेनोमीटर एक उपकरण है जिसका उपयोग परिपथ में विद्युत धारा को मापने के लिए किया जाता है। नोट: टैंजेंट गैल्वेनोमीटर तब सबसे सटीक होता है जब इसका विक्षेप $45^{\circ}$ हो।

(A) दोलन करते हुए चुंबक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $T \propto \frac{1}{\sqrt{B}}$.
दिया गया है $n_1 = 30 \text{ दोलन/मिनट}$,इसलिए आवर्तकाल $T_1 = \frac{60}{30} = 2 \text{ s}$.
मान लीजिए पहले स्थान पर चुंबकीय प्रेरण $B_1$ है और दूसरे स्थान पर $B_2 = 3B_1$ है (प्रश्न के अनुसार वृद्धि)।
संबंध $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{B_1}{B_2}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{T_2}{2} = \sqrt{\frac{B_1}{3B_1}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$T_2 = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{ s}$.

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में छड़ चुंबक की दोलन आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{MB}{I}}$ द्वारा दी जाती है।
चुंबक $P$ के लिए: $f_{P} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{M_{P} B}{I_{P}}}$.
चुंबक $Q$ के लिए: $f_{Q} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{M_{Q} B}{I_{Q}}}$.
दिया गया है कि $f_{P} = 2 f_{Q}$ और $I_{P} = 2 I_{Q}$.
इन मानों को अनुपात में रखने पर: $\frac{f_{P}}{f_{Q}} = \sqrt{\frac{M_{P} I_{Q}}{M_{Q} I_{P}}} = 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{M_{P} I_{Q}}{M_{Q} I_{P}} = 4$.
चूंकि $I_{P} = 2 I_{Q}$,इसलिए $\frac{I_{Q}}{I_{P}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\frac{M_{P}}{M_{Q}} \cdot \frac{1}{2} = 4$,जिसका अर्थ है कि $\frac{M_{P}}{M_{Q}} = 8$,या $M_{P} = 8 M_{Q}$.

(C) मान लीजिए कि चुंबक $A$ और $B$ के चुंबकीय आघूर्ण क्रमशः $M_A = 2M$ और $M_B = M$ हैं। उनके जड़त्व आघूर्ण $I_A = I_B = I$ हैं (क्योंकि वे ज्यामितीय रूप से समान हैं)।
जब समान ध्रुवों को एक साथ रखा जाता है,तो कुल चुंबकीय आघूर्ण $M_{net1} = M_A + M_B = 2M + M = 3M$ होता है। कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{net} = I_A + I_B = 2I$ होता है।
आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_{net}}{M_{net}B_H}}$ है।
अतः,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{3MB_H}}$.
जब असमान ध्रुवों को एक साथ रखा जाता है,तो कुल चुंबकीय आघूर्ण $M_{net2} = M_A - M_B = 2M - M = M$ होता है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{net} = 2I$ ही रहता है।
अतः,$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{MB_H}}$.
अनुपात लेने पर,$T_1 / T_2 = \sqrt{\frac{2I}{3MB_H} / \frac{2I}{MB_H}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = 1 : \sqrt{3}$.

(C) चुंबकीय क्षेत्र में दोलन कर रहे छड़ चुंबक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
चूंकि द्रव्यमान और आयतन समान हैं,इसलिए जड़त्व आघूर्ण $I$ स्थिर रहता है।
नए चुंबक के लिए,चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M' = 9M$ है।
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार होगा: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M'B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{9MB}}$.
इसे सरल करने पर हमें प्राप्त होता है: $T' = \frac{1}{\sqrt{9}} \times 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}} = \frac{1}{3} T$.
अतः,नया आवर्तकाल $\frac{T}{3}$ होगा।

(D) टैंजेंट गैल्वेनोमीटर के लिए,धारा $I = K \tan \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K = \frac{2r B_{H}}{n \mu_{0}}$ है।
चूंकि गैल्वेनोमीटर समानांतर में जुड़े हैं,उनके बीच का वोल्टेज $V$ समान है। अतः,$I_1 R_1 = I_2 R_2$,जिसका अर्थ है $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{3}{1}$।
सूत्र $I = K \tan \theta$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है $\frac{I_1}{I_2} = \frac{n_2}{n_1} \cdot \frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3}{1} = \frac{n_2}{n_1} \cdot \frac{\tan 30^{\circ}}{\tan 60^{\circ}}$।
$\frac{3}{1} = \frac{n_2}{n_1} \cdot \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{n_2}{n_1} \cdot \frac{1}{3}$।
अतः,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{9}$।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय सुई के दोलन का आवर्तकाल सूत्र: $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $T = 2 \text{ s}$,$I = 8 \times 10^{-6} \text{ kg m}^2$,$M = 5 \times 10^{-2} \text{ A m}^2$.
सूत्र में मान रखने पर: $2 = 2\pi \sqrt{\frac{8 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2} \times B}}$.
$2$ से विभाजित करने पर: $1 = \pi \sqrt{\frac{8 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2} \times B}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 = \pi^2 \left( \frac{8 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2} \times B} \right)$.
$B$ के लिए हल करने पर: $B = \frac{\pi^2 \times 8 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2}}$.
$\pi^2 \approx 9.86$ का उपयोग करने पर: $B = \frac{9.86 \times 8 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2}} \approx 1.577 \times 10^{-4} \text{ T}$.
अतः,$B \approx 1.6 \times 10^{-4} \text{ T}$ प्राप्त होता है।

(B) स्पर्शज्या गैल्वेनोमीटर का सिद्धांत $I = K \tan \theta$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है,$K$ रिडक्शन फैक्टर है,और $\theta$ विक्षेप कोण है।
दी गई धारा $I = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{ A}$ और विक्षेप $\theta = 60^{\circ}$ है।
रिडक्शन फैक्टर $K$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$K = \frac{I}{\tan \theta}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$K = \frac{2 / \sqrt{3}}{\tan 60^{\circ}}$
चूंकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए:
$K = \frac{2 / \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{2}{3} \text{ A}$.
अतः,रिडक्शन फैक्टर $\frac{2}{3} \text{ A}$ है।

(C) दिया गया है: $T_1 = 0.1 \, s$, $B_H = 24 \, \mu T = 24 \times 10^{-6} \, T$, $I = 18 \, A$, $r = 20 \, cm = 0.2 \, m$.
ऊर्ध्वाधर तार के कारण चुंबक की स्थिति पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ है।
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 18}{2 \pi \times 0.2} = 18 \times 10^{-6} \, T = 18 \, \mu T$.
चूंकि तार पूर्व में है और धारा नीचे की ओर है, दाएं हाथ के नियम के अनुसार, तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$ उत्तर दिशा में ($B_H$ की दिशा में) होगा।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_H + B = 24 \, \mu T + 18 \, \mu T = 42 \, \mu T$.
दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ है, इसलिए $T \propto \frac{1}{\sqrt{B}}$.
अतः, $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{B_H}{B_{net}}} = \sqrt{\frac{24}{42}} = \sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$.
$T_2 = T_1 \times \frac{2}{\sqrt{7}} = 0.1 \times \frac{2}{2.645} \approx 0.076 \, s$.

(D) पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय सुई की दोलन आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\mu B_H}{I}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $B_H = B \cos \theta$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है,$\mu$ चुंबकीय आघूर्ण है और $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
चूंकि एक ही सुई का उपयोग किया जाता है,इसलिए $\mu$ और $I$ स्थिर रहते हैं। अतः,$f \propto \sqrt{B \cos \theta}$.
दिया गया है $f_1 = 20$ दोलन/मिनट,$\theta_1 = 45^{\circ}$ और $f_2 = 30$ दोलन/मिनट,$\theta_2 = 30^{\circ}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{B_1 \cos 45^{\circ}}{B_2 \cos 30^{\circ}}} \Rightarrow \frac{20}{30} = \sqrt{\frac{B_1 (1/\sqrt{2})}{B_2 (\sqrt{3}/2)}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4}{9} = \frac{B_1}{B_2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{B_1}{B_2} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{4}{9} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}$.
इस प्रकार,$B_1: B_2 = 2 \sqrt{2}: 3 \sqrt{3}$।

(A) कंपन मैग्नेटोमीटर का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_{H}}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है, $M$ चुंबकीय आघूर्ण है, और $B_{H}$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है。
सूत्र से, हम देख सकते हैं कि $T \propto \frac{1}{\sqrt{B_{H}}}$.
दिया गया है कि $T_{A} = 2T_{B}$, इसलिए हम अनुपात $\frac{T_{A}}{T_{B}} = 2$ लिख सकते हैं。
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए, $\frac{T_{A}}{T_{B}} = \sqrt{\frac{B_{HB}}{B_{HA}}}$.
मान रखने पर, $2 = \sqrt{\frac{32 \times 10^{-6}}{B_{HA}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $4 = \frac{32 \times 10^{-6}}{B_{HA}}$.
अतः, $B_{HA} = \frac{32 \times 10^{-6}}{4} = 8 \times 10^{-6} \,T$.

(B) टैंजेंट गैल्वेनोमीटर के लिए,धारा $I = \frac{2r B_H \tan \theta}{\mu_0 N}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया है: प्रतिरोध $R = 9 \ \Omega$,विभवांतर $V = 4.5 \ V$,फेरों की संख्या $N = 10$,विक्षेप $\theta = 30^{\circ}$,पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $B_H = 3.14 \times 10^{-5} \ T$.
सबसे पहले,ओम के नियम का उपयोग करके धारा $I$ ज्ञात करें: $I = \frac{V}{R} = \frac{4.5}{9} = 0.5 \ A$.
त्रिज्या $r$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $r = \frac{\mu_0 N I}{2 B_H \tan \theta}$.
मान रखने पर: $r = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 10 \times 0.5}{2 \times 3.14 \times 10^{-5} \times \tan 30^{\circ}}$.
चूंकि $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \approx 4 \times 3.14 \times 10^{-7}$,इसलिए $r = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 5}{2 \times 3.14 \times 10^{-5} \times (1/\sqrt{3})}$.
$r = \frac{2 \times 10^{-7} \times 5}{10^{-5} \times (1/\sqrt{3})} = 10 \times 10^{-2} \times \sqrt{3} \ m = 10 \sqrt{3} \times 10^{-2} \ m$.

(A) चुंबकीय क्षेत्र में दोलन कर रहे छड़ चुंबक का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$
जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है,और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
चूंकि जड़त्व आघूर्ण $I = mk^2$ होता है (जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $k$ घूर्णन त्रिज्या है),हमें प्राप्त होता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{mk^2}{MB}}$
इसका अर्थ है कि $T \propto \sqrt{m}$।
चूंकि द्रव्यमान $9$ गुना बढ़ाया गया है $(m_2 = 9m_1)$,नया आवर्तकाल $T_2$ होगा:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} = \sqrt{\frac{9m_1}{m_1}} = \sqrt{9} = 3$
अतः,$T_2 = 3T_1 = 3T$।