Bar Magnet and Magnetic Dipole and Magnetic Moment Questions in Hindi

(A) चुंबकीय आघूर्ण $(M)$ को ध्रुव प्राबल्य $(m)$ और चुंबकीय लंबाई $(2l)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ध्रुव प्राबल्य का $SI$ मात्रक $Ampere \cdot meter$ $(A \cdot m)$ है।
लंबाई का $SI$ मात्रक $meter$ $(m)$ है।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण का मात्रक $(Ampere \cdot meter) \times meter = Ampere \cdot meter^2$ $(A \cdot m^2)$ होता है।

(A) एक चुंबकीय द्विध्रुव को उसके चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{M}$ द्वारा पहचाना जाता है।
एक वृत्ताकार धारा लूप के लिए,चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}$ लूप की अक्ष की दिशा में होता है।
चुंबकीय आघूर्ण सदिश (अक्ष) से गुजरने वाली रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु को एंड-ऑन स्थिति (जिसे अक्षीय स्थिति के रूप में भी जाना जाता है) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए,लूप की अक्ष पर स्थित बिंदु एक एंड-ऑन स्थिति है।

(C) नियोन $(Ne)$ $10$ परमाणु क्रमांक वाली एक उत्कृष्ट गैस है।
इसका इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6$ है।
चूंकि सभी कक्षक पूरी तरह से भरे हुए हैं,इसलिए सभी इलेक्ट्रॉन युग्मित (paired) हैं।
इलेक्ट्रॉनों के युग्मित होने के कारण,स्पिन चुंबकीय आघूर्ण और कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
अतः,नियोन परमाणु का कुल परिणामी चुंबकीय आघूर्ण $0$ है।

(B) छड़ का चुंबकीय आघूर्ण $M = m \times L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ ध्रुव की प्रबलता है और $L$ छड़ की लंबाई है।
जब छड़ को अर्धवृत्त में मोड़ा जाता है,तो लंबाई $L$ अर्धवृत्त की चाप की लंबाई बन जाती है,इसलिए $L = \pi R$,जहाँ $R$ अर्धवृत्त की त्रिज्या है।
इस प्रकार,त्रिज्या $R = \frac{L}{\pi}$ है।
ध्रुवों के बीच की नई दूरी (अर्धवृत्त का व्यास) $L' = 2R = \frac{2L}{\pi}$ है।
ध्रुव की प्रबलता $m$ अपरिवर्तित रहती है।
इसलिए,नया चुंबकीय आघूर्ण $M'$ इस प्रकार है: $M' = m \times L' = m \times \frac{2L}{\pi}$।
चूंकि $M = m \times L$,हम समीकरण में $M$ को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$M' = \frac{2M}{\pi}$।

(D) जब एक चुंबक को लोहे के पाउडर में रखकर बाहर निकाला जाता है,तो लोहे का अधिकतम पाउडर चुंबक के सिरों पर चिपक जाता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र की शक्ति चुंबक के ध्रुवों (सिरों) पर सबसे अधिक होती है,जिसके परिणामस्वरूप इन स्थानों पर लोहे के कणों पर अधिक चुंबकीय बल कार्य करता है।

(B) चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $M = m \times l$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ ध्रुव शक्ति है और $l$ चुंबकीय लंबाई है।
स्थिति $1$: यदि चुंबक को उसकी अक्ष के अनुदिश (लंबाई के समानांतर) काटा जाता है,तो नई ध्रुव शक्ति $m' = m/2$ हो जाती है और लंबाई $l' = l$ रहती है।
अतः,नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = m' \times l' = (m/2) \times l = M/2$ होगा।
स्थिति $2$: यदि चुंबक को उसकी अक्ष के लंबवत काटा जाता है,तो ध्रुव शक्ति $m' = m$ रहती है और नई लंबाई $l' = l/2$ हो जाती है।
अतः,नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = m' \times l' = m \times (l/2) = M/2$ होगा।
दोनों स्थितियों में,प्रत्येक भाग का चुंबकीय आघूर्ण $M/2$ होता है।

(B) चुंबक का ध्रुव प्राबल्य $m$ उसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के सीधे समानुपाती होता है (अर्थात $m \propto A$)।
जब चुंबक को चार भागों में इस प्रकार काटा जाता है कि प्रत्येक भाग की लंबाई और चौड़ाई आधी हो जाती है,तो अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ भी आधा हो जाता है। अतः,नया ध्रुव प्राबल्य $m'$ नए क्षेत्रफल $A' = A/2$ के समानुपाती होता है।
इसलिए,$m' = m/2$।

(A) चुंबक का चुंबकत्व मुख्य रूप से इलेक्ट्रॉनों की चक्रण (स्पिन) गति के कारण होता है। परमाणु में प्रत्येक इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर एक कक्षा में घूमता है, जो एक छोटे धारा लूप के समतुल्य है, जिससे कक्षीय चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{M}_{l} = \text{current} \times \text{area}$ उत्पन्न होता है।
कक्षीय गति के अलावा, प्रत्येक इलेक्ट्रॉन अपनी धुरी पर एक आंतरिक चक्रण गति करता है, जो एक चक्रण चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{M}_{s}$ उत्पन्न करता है। परमाणु का कुल चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{M}$, $\vec{M}_{l}$ और $\vec{M}_{s}$ का सदिश योग है। चूंकि $\vec{M}_{s}$, $\vec{M}_{l}$ से काफी अधिक होता है, इसलिए चुंबक का चुंबकत्व मुख्य रूप से इलेक्ट्रॉनों के चक्रण (स्पिन) के कारण होता है।

(D) एक छोटे छड़ चुंबक की अक्ष पर $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{axis} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{x^3}$ द्वारा दिया जाता है।
एक छोटे छड़ चुंबक की निरक्षीय रेखा पर $y$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{equator} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{y^3}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि चुंबकीय क्षेत्र बराबर हैं,इसलिए $B_{axis} = B_{equator}$.
अतः,$\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{x^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{y^3}$.
समीकरण को सरल करने पर,हमें $\frac{2}{x^3} = \frac{1}{y^3}$ प्राप्त होता है।
अनुपात के लिए व्यवस्थित करने पर,$\frac{x^3}{y^3} = 2$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$\frac{x}{y} = 2^{1/3}$ प्राप्त होता है।

(B) चुंबकीय आघूर्ण $M$ वाले एक छोटे छड़ चुंबक के लिए,$d$ दूरी पर अक्षीय बिंदु (end-on position) पर चुंबकीय तीव्रता $H_{axial} = \frac{2M}{4\pi d^3}$ द्वारा दी जाती है।
उसी चुंबक के लिए,समान दूरी $d$ पर निरक्षीय बिंदु (broad side-on position) पर चुंबकीय तीव्रता $H_{equatorial} = \frac{M}{4\pi d^3}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $OP_1 = OP_2 = d = 10 \ m$ दिया गया है,जहाँ $P_1$ निरक्षीय स्थिति में है और $P_2$ अक्षीय स्थिति में है।
अतः,$H_1 = H_{equatorial} = \frac{M}{4\pi d^3}$ और $H_2 = H_{axial} = \frac{2M}{4\pi d^3}$।
अनुपात $\frac{H_1}{H_2} = \frac{M/4\pi d^3}{2M/4\pi d^3} = \frac{1}{2}$ होगा।
इस प्रकार,अनुपात $H_1:H_2 = 1:2$ है।

(B) एक छड़ चुंबक में चुंबकीय प्रेरण रेखाएं (या चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं) निरंतर होती हैं और बंद लूप बनाती हैं।
चुंबक के बाहर,क्षेत्र रेखाएं उत्तरी ध्रुव से निकलती हैं और दक्षिणी ध्रुव में प्रवेश करती हैं।
चुंबक के अंदर,क्षेत्र रेखाएं दक्षिणी ध्रुव से उत्तरी ध्रुव की ओर चलती हैं ताकि बंद लूप पूरा हो सके।
इसलिए,वे चुंबक के अंदर और बाहर निरंतर चलती हैं।

(A) चुंबक की ध्रुव प्रबलता एक ऐसा गुण है जो उसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल और पदार्थ की चुंबकन तीव्रता पर निर्भर करता है।
जब एक चुंबक को उसकी लंबाई के लंबवत काटा जाता है,तो अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल अपरिवर्तित रहता है।
चूंकि पदार्थ के गुण और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल नहीं बदलते हैं,इसलिए प्रत्येक टुकड़े की ध्रुव प्रबलता मूल चुंबक के समान ही रहती है।
अतः,दोनों खंडों की ध्रुव प्रबलता का अनुपात $1 : 1$ है,जिसका अर्थ है कि वे समान हैं।

(B) किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $(H)$ को उस बिंदु पर रखे गए इकाई उत्तरी ध्रुव द्वारा अनुभव किए गए बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे $H = F/m$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ चुंबकीय बल है और $m$ ध्रुव की प्रबलता है।
इसलिए,यह इकाई चुंबकीय ध्रुव पर कार्य करने वाले चुंबकीय प्रेरण बल को दर्शाता है।
अतः,विकल्प $(b)$ सही परिभाषा है।

(A) एक चुंबकीय सुई एक चुंबकीय द्विध्रुव (डाइपोल) के रूप में कार्य करती है।
असमान चुंबकीय क्षेत्र में,सुई के दोनों ध्रुवों पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल परिमाण और दिशा दोनों में भिन्न होगा।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र असमान है,इसलिए द्विध्रुव पर कुल बल शून्य नहीं होता है,जिसके परिणामस्वरूप एक स्थानांतरीय बल उत्पन्न होता है।
इसके अतिरिक्त,चूंकि दोनों ध्रुवों पर लगने वाले बल संरेखीय नहीं हैं और उनके परिमाण अलग-अलग हैं,इसलिए वे एक कुल बलाघूर्ण (टॉर्क) उत्पन्न करते हैं,जिससे सुई घूमती है।
अतः,चुंबकीय सुई बल और बलाघूर्ण दोनों का अनुभव करती है।

(B) $m$ शक्ति के एक पृथक चुंबकीय ध्रुव से $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $SI$ प्रणाली में $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{d^2}$ होता है।
$C.G.S.$ प्रणाली में,स्थिरांक $\frac{\mu_0}{4\pi}$ को $1$ लिया जाता है। अतः,चुंबकीय प्रेरण $B = \frac{m}{d^2}$ होता है।

(C) जब एक चुंबकीय सुई को उसकी लंबाई के लंबवत दो बराबर टुकड़ों में काटा जाता है,तो प्रत्येक नए टुकड़े की ध्रुव शक्ति $m$ मूल के समान ही रहती है,क्योंकि चुंबक का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल नहीं बदलता है।
प्रत्येक नए टुकड़े की लंबाई $L' = \frac{2L}{2} = L$ हो जाती है।
प्रत्येक नए टुकड़े का चुंबकीय आघूर्ण $M'$ उसकी ध्रुव शक्ति और उसकी नई लंबाई के गुणनफल द्वारा दिया जाता है:
$M' = m \times L' = m \times L$.
चूंकि मूल चुंबकीय आघूर्ण $M = m \times (2L) = 2mL$ है,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$M' = \frac{M}{2}$.
अतः,प्रत्येक टुकड़े का चुंबकीय आघूर्ण $\frac{M}{2}$ और ध्रुव शक्ति $m$ होगी।

(B) $m_1$ और $m_2$ प्रबलता वाले दो चुंबकीय ध्रुवों के बीच,जो $r$ दूरी पर स्थित हैं,लगने वाला बल कूलम्ब के नियम के अनुसार $F = k \frac{m_1 m_2}{r^2}$ होता है।
यहाँ नई ध्रुव प्रबलता $m_1' = 2m_1$ और $m_2' = 2m_2$ है,और नई दूरी $r' = 2r$ है।
नया बल $F'$ इस प्रकार होगा: $F' = k \frac{(2m_1)(2m_2)}{(2r)^2}$.
$F' = k \frac{4 m_1 m_2}{4 r^2} = k \frac{m_1 m_2}{r^2} = F$.
अतः,बल में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(C) $m_1$ और $m_2$ ध्रुव प्रबलता वाले और $r$ दूरी पर स्थित दो चुंबकीय ध्रुवों के बीच का बल चुंबकत्व के लिए कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{m_1 m_2}{r^2}$
यहाँ दिया गया है कि ध्रुव प्रबलता इकाई है,इसलिए $m_1 = 1 \, Am$ और $m_2 = 1 \, Am$ है।
दूरी $r = 1 \, m$ है।
$\frac{\mu_0}{4\pi}$ का मान $10^{-7} \, N/A^2$ होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = 10^{-7} \times \frac{1 \times 1}{1^2} = 10^{-7} \, N$.

(C) एक छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $M$,उसके ध्रुव प्राबल्य $m$ और चुंबकीय लंबाई $2l$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित होता है,जिसे $M = m \times 2l$ द्वारा दिया जाता है।
जब छड़ चुंबक के केंद्र में एक छेद किया जाता है,तो चुंबक के मध्य भाग से पदार्थ हटा दिया जाता है।
हालाँकि,ध्रुव प्राबल्य $m$ चुंबक के सिरों पर मौजूद चुंबकीय पदार्थ पर निर्भर करता है,जो केंद्र में छेद करने से प्रभावित नहीं होता है।
चुंबकीय लंबाई $2l$ (ध्रुवों के बीच की दूरी) भी अपरिवर्तित रहती है।
चूंकि ध्रुव प्राबल्य और चुंबकीय लंबाई दोनों स्थिर रहते हैं,इसलिए छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $M$ नहीं बदलता है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं निरंतर बंद लूप बनाती हैं।
छड़ चुंबक के बाहर,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं उत्तर ध्रुव से निकलती हैं और दक्षिण ध्रुव पर समाप्त होती हैं।
छड़ चुंबक के अंदर,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं बंद लूप को पूरा करने के लिए दक्षिण ध्रुव से उत्तर ध्रुव की ओर चलती हैं।
इसलिए,सही विवरण यह है कि वे चुंबक के अंदर दक्षिण ध्रुव से उत्तर ध्रुव की ओर और चुंबक के बाहर उत्तर ध्रुव से दक्षिण ध्रुव की ओर चलती हैं।

(D) दो छोटे छड़ चुम्बकों को समाक्षीय रूप से रखने पर,उनके बीच का बल $F$ उनके केंद्रों के बीच की दूरी $r$ की चौथी घात के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $F \propto \frac{1}{r^4}$।
दिया गया है कि प्रारंभिक बल $F_1 = 4.8 \ N$ दूरी $r_1 = r$ पर है।
जब दूरी को बढ़ाकर $r_2 = 2r$ कर दिया जाता है,तो नया बल $F_2$ इस प्रकार होगा:
$\frac{F_2}{F_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^4$
$\frac{F_2}{4.8} = \left( \frac{r}{2r} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$
$F_2 = \frac{4.8}{16} = 0.3 \ N$।

(B) एक स्थायी चुंबक वह पदार्थ है जो चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। यह चुंबकीय क्षेत्र चुंबकीय पदार्थों (जैसे लोहा,निकल और कोबाल्ट) पर बल लगाता है,जिससे वे चुंबक की ओर आकर्षित होते हैं। गैर-चुंबकीय पदार्थ इस तरह से चुंबकीय क्षेत्र के साथ परस्पर क्रिया नहीं करते हैं,जिसका अर्थ है कि वे न तो चुंबक द्वारा आकर्षित होते हैं और न ही प्रतिकर्षित। इसलिए,एक स्थायी चुंबक केवल चुंबकीय पदार्थों को आकर्षित करता है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं निरंतर बंद लूप बनाती हैं। चुंबक के बाहर,वे उत्तरी ध्रुव से दक्षिणी ध्रुव की ओर जाती हैं। हालाँकि,चुंबक के अंदर,वे बंद लूप को पूरा करने के लिए दक्षिणी ध्रुव से उत्तरी ध्रुव की ओर जाती हैं। इसलिए,विकल्प $C$ में दिया गया कथन गलत है।

(B) सही उत्तर $B$ है। आकर्षण एक चुंबक और एक चुंबकीय पदार्थ (जैसे लोहा या स्टील) के बीच या दो चुंबकों के विपरीत ध्रुवों के बीच हो सकता है। हालाँकि,प्रतिकर्षण केवल तभी होता है जब दो चुंबकों के समान ध्रुव एक-दूसरे के सामने हों। इसलिए,प्रतिकर्षण ही चुंबकत्व का एकमात्र निर्णायक परीक्षण है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क $\tau = M B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम टॉर्क के लिए,$\theta = 90^\circ$,इसलिए $\tau_{\max} = M B$ है।
दिया गया है: $\tau_{\max} = 4 \times 10^{-5} \ N \cdot m$ और $B = 10^{-4} \ Wb/m^2$।
मान रखने पर: $4 \times 10^{-5} = M \times 10^{-4}$।
$M$ के लिए हल करने पर: $M = \frac{4 \times 10^{-5}}{10^{-4}} = 4 \times 10^{-1} = 0.4 \ A \cdot m^2$।

(B) चुंबकीय आघूर्ण एक सदिश राशि है। जब समान चुंबकीय आघूर्ण $M$ वाले दो चुंबकों को एक-दूसरे के लंबवत रखा जाता है,तो उनका परिणामी चुंबकीय आघूर्ण $M_{net}$ व्यक्तिगत चुंबकीय आघूर्णों के सदिश योग द्वारा प्राप्त होता है।
चूंकि दो चुंबकीय आघूर्णों के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए परिणामी चुंबकीय आघूर्ण का परिमाण इस प्रकार परिकलित किया जाता है:
$M_{net} = \sqrt{M^2 + M^2 + 2MM \cos(90^{\circ})}$
चूंकि $\cos(90^{\circ}) = 0$ है,इसलिए यह सरल होकर निम्न रूप में आता है:
$M_{net} = \sqrt{M^2 + M^2} = \sqrt{2M^2} = \sqrt{2} \,M$

(B) मान लीजिए कि बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है,जो $10$ इकाई वाले ध्रुव से $x$ दूरी पर स्थित है।
चूंकि ध्रुव समान हैं,इसलिए शून्य क्षेत्र बिंदु उनके बीच में स्थित होगा।
$40$ इकाई वाले ध्रुव से $P$ की दूरी $(30 - x)$ है।
बिंदु $P$ पर,दोनों ध्रुवों के कारण चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होनी चाहिए:
$\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{10}{x^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{40}{(30 - x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(30 - x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{2}{30 - x}$
$30 - x = 2x$
$3x = 30 \Rightarrow x = 10 \, cm$.
इस प्रकार,यह बिंदु $10$ इकाई वाले ध्रुव से $10 \, cm$ की दूरी पर और अधिक शक्तिशाली ($40$ इकाई) ध्रुव से $(30 - 10) = 20 \, cm$ की दूरी पर है।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(C) माना मूल ध्रुव प्राबल्य $m$,लंबाई $L$ और चुंबकीय आघूर्ण $M = m \times L$ है।
स्थिति $1$: चुंबक $P$ को उसकी अक्षीय रेखा के अनुदिश (लंबाई के समानांतर) काटा जाता है।
प्रत्येक टुकड़े की लंबाई $L' = L$ और ध्रुव प्राबल्य $m' = \frac{m}{2}$ हो जाता है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = m' \times L' = \frac{m}{2} \times L = \frac{M}{2}$ होता है।
स्थिति $2$: चुंबक $Q$ को उसकी निरक्षीय रेखा के अनुदिश (लंबाई के लंबवत) काटा जाता है।
प्रत्येक टुकड़े की लंबाई $L' = \frac{L}{2}$ और ध्रुव प्राबल्य $m' = m$ हो जाता है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = m' \times L' = m \times \frac{L}{2} = \frac{M}{2}$ होता है।
अतः,प्राप्त चारों टुकड़ों का चुंबकीय आघूर्ण $\frac{M}{2}$ होता है।

(D) एक बल आघूर्ण (couple) को दो समान और विपरीत बलों के रूप में परिभाषित किया जाता है जो अलग-अलग क्रिया रेखाओं पर कार्य करते हैं,जिससे टॉर्क उत्पन्न होता है।
जब दो छड़ चुम्बकों को समाक्षीय रूप से रखा जाता है,तो उनके बीच कार्य करने वाला चुंबकीय बल उनके केंद्रों को जोड़ने वाली अक्ष के अनुदिश कार्य करता है।
चूंकि चुम्बकों के ध्रुवों पर कार्य करने वाले बल एक ही रेखा (सामान्य अक्ष) पर कार्य करते हैं,इसलिए बलों की क्रिया रेखाओं के बीच की लंबवत दूरी शून्य होती है।
इसलिए,टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$ होता है।
अतः,चुम्बकों पर कोई बल आघूर्ण कार्य नहीं करता है।

(D) छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $M$,$M = m \times L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ ध्रुव प्राबल्य है और $L$ चुंबक की लंबाई है।
एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में प्रत्येक ध्रुव द्वारा अनुभव किया गया बल $F$,$F = m \times B$ द्वारा दिया जाता है।
इससे,ध्रुव प्राबल्य $m = \frac{F}{B}$ होता है।
चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में $m$ का मान रखने पर: $M = \left( \frac{F}{B} \right) \times L$.
$L$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $L = \frac{M \times B}{F}$.
दिया गया है: $M = 3.0 \, A-m^2$,$B = 2 \times 10^{-5} \, T$,और $F = 6 \times 10^{-4} \, N$.
$L = \frac{3.0 \times 2 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-4}} = \frac{6 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-4}} = 0.1 \, m$.
अतः,चुंबक की लंबाई $0.1 \, m$ है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा को दर्शाती हैं। यदि दो चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं,तो इसका अर्थ यह होगा कि प्रतिच्छेदन बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की दो अलग-अलग दिशाएँ हैं,जो भौतिक रूप से असंभव है। इसलिए,एक छड़ चुंबक के कारण चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ कभी भी एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

(C) चुंबकत्व में,पृथक चुंबकीय मोनोपोल (एकल ध्रुव) का अस्तित्व नहीं होता है। परमाणु स्तर पर भी,चुंबकत्व धारा लूप या इलेक्ट्रॉन स्पिन से उत्पन्न होता है,जो स्वाभाविक रूप से एक चुंबकीय द्विध्रुव (Dipole) बनाता है। इसलिए,चुंबकत्व की सबसे छोटी मूलभूत इकाई चुंबकीय द्विध्रुव है।

(D) सही विकल्प है।
चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं निरंतर बंद लूप बनाती हैं।
चुंबक के बाहर,क्षेत्र रेखाएं उत्तरी ध्रुव से दक्षिणी ध्रुव की ओर निर्देशित होती हैं।
चुंबक के अंदर,क्षेत्र रेखाएं दक्षिणी ध्रुव से उत्तरी ध्रुव की ओर निर्देशित होती हैं,जो बंद लूप की निरंतरता सुनिश्चित करती हैं।

(A) चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं निरंतर बंद लूप बनाती हैं। चुंबक के बाहर,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं उत्तर ध्रुव से निकलती हैं और दक्षिण ध्रुव में प्रवेश करती हैं। चुंबक के भीतर,बंद लूप को पूरा करने के लिए,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं दक्षिण ध्रुव से उत्तर ध्रुव की ओर चलती हैं। अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) बाह्य चुंबकीय क्षेत्र $B$ में रखे $M$ चुंबकीय आघूर्ण वाले छड़ चुंबक पर लगने वाला बल आघूर्ण $\tau$ सूत्र $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय अक्ष और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के लिए,बल आघूर्ण $\tau = M B_H \sin \theta$ है,जहाँ $B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
बल आघूर्ण $\tau$ तब अधिकतम होता है जब $\sin \theta$ अधिकतम हो,जो $\theta = 90^{\circ}$ पर होता है।
अतः,बल आघूर्ण तब अधिकतम होता है जब चुंबक की अक्ष पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत होती है।

(B) चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण,जिसे $\vec{M}$ या $\vec{m}$ द्वारा दर्शाया जाता है,को चुंबक की ध्रुव प्रबलता $(q_m)$ और चुंबकीय लंबाई $(2\vec{l})$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि इसमें परिमाण और एक विशिष्ट दिशा (दक्षिणी ध्रुव से उत्तरी ध्रुव की ओर) दोनों होते हैं,इसलिए यह एक सदिश राशि है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) एक छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $M$,उसकी ध्रुव शक्ति $m$ और उसकी चुंबकीय लंबाई $L$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
ध्रुव शक्ति $m = 4.0\, Am$
लंबाई $L = 10\, cm = 0.1\, m$
सूत्र: $M = m \times L$
गणना: $M = 4.0\, Am \times 0.1\, m = 0.4\, A\, m^2$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) प्रारंभिक चुंबकीय आघूर्ण $M$ का मान $M = m \times L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m = 0.5 \, Am$ और $L = 31.4 \, cm = 0.314 \, m$ है।
अतः,$M = 0.5 \times 0.314 = 0.157 \, Am^2$ है।
जब चुंबक को अर्धवृत्त में मोड़ा जाता है,तो नई प्रभावी लंबाई (ध्रुवों के बीच की दूरी) $L'$ अर्धवृत्त का व्यास बन जाती है।
यदि $R$ त्रिज्या है,तो चाप की लंबाई $L = \pi R$,इसलिए $R = L / \pi$ होगा।
ध्रुवों के बीच की नई दूरी $L' = 2R = 2L / \pi$ है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = m \times L' = m \times (2L / \pi) = (2 / \pi) \times M$ है।
मान रखने पर: $M' = (2 / 3.14) \times (0.5 \times 0.314) = (2 / 3.14) \times 0.157 = 2 \times 0.05 = 0.1 \, Am^2$।

(B) स्वतंत्र रूप से लटके हुए चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}} = 4 \ s$ द्वारा दिया जाता है।
जब चुंबक को उसकी लंबाई के अनुदिश दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = \frac{M}{2}$ हो जाता है।
एक भाग के लिए नया जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{m'l'^2}{12}$ है,जहाँ $m' = \frac{m}{2}$ और $l' = \frac{l}{2}$ है।
अतः,$I' = \frac{(m/2)(l/2)^2}{12} = \frac{1}{8} \cdot \frac{ml^2}{12} = \frac{I}{8}$।
नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{M'B_H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/8}{(M/2)B_H}}$ है।
इसे सरल करने पर,$T' = 2\pi \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{I}{MB_H}} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}} = \frac{T}{2}$ प्राप्त होता है।
$T = 4 \ s$ रखने पर,हमें $T' = \frac{4}{2} = 2 \ s$ प्राप्त होता है।

(D) परमाणु का चुंबकीय आघूर्ण उसके इलेक्ट्रॉनों के स्पिन और कक्षीय कोणीय संवेग (orbital angular momentum) से उत्पन्न होता है।
विभिन्न तत्वों के इलेक्ट्रॉनिक विन्यास अलग-अलग होते हैं,जिसके कारण चुंबकीय गुण भिन्न होते हैं।
कुछ परमाणुओं में अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों के कारण स्थायी चुंबकीय आघूर्ण होता है,जबकि अन्य में नहीं होता है।
इसके अलावा,एक पदार्थ में परमाणुओं के बीच की परस्पर क्रिया शुद्ध चुंबकीय व्यवहार को निर्धारित करती है।
इसलिए,यह कहना सार्वभौमिक रूप से सत्य नहीं है कि सभी परमाणुओं के पास चुंबकीय आघूर्ण है,न ही यह सत्य है कि किसी के पास नहीं है,और न ही सभी बाहरी क्षेत्र के तहत एक ही दिशा में संरेखित होते हैं।
अतः,दिए गए कथनों में से कोई भी सटीक नहीं है।

(A) नियॉन $(Ne)$ परमाणु का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6$ है।
चूंकि सभी कक्षक पूरी तरह से भरे हुए हैं,इसलिए सभी इलेक्ट्रॉन युग्मित (paired) हैं।
इलेक्ट्रॉनों के युग्मन के कारण,चक्रण चुंबकीय आघूर्ण और कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
अतः,नियॉन परमाणु का कुल चुंबकीय आघूर्ण शून्य होता है।

(B) चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M$,चुंबकन $I$ और चुंबक के आयतन $V$ के गुणनफल के बराबर होता है,अर्थात $M = I \times V$.
दिया गया है: चुंबकन $I = 5.30 \times 10^3 \, A/m$,लंबाई $l = 5 \, cm = 0.05 \, m$,और व्यास $d = 1 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 0.5 \, cm = 0.005 \, m$.
बेलनाकार छड़ का आयतन $V = \pi r^2 l$ होता है।
मान रखने पर:
$V = \pi \times (0.005)^2 \times 0.05 = \pi \times (2.5 \times 10^{-5}) \times 0.05 = 3.927 \times 10^{-6} \, m^3$.
अब,द्विध्रुव आघूर्ण की गणना करने पर:
$M = (5.30 \times 10^3) \times (3.927 \times 10^{-6}) \approx 2.08 \times 10^{-2} \, J/T$.

(C) $1$. प्रति इकाई आयतन परमाणुओं की संख्या $(n)$ की गणना करें:
$n = \frac{\rho N_A}{M} = \frac{7.78 \times 10^3 \times 6.02 \times 10^{23}}{56 \times 10^{-3}} \approx 8.36 \times 10^{28} \, atoms/m^3$.
$2$. छड़ का आयतन $(V)$ ज्ञात करें:
$V = 5 \, cm \times 1 \, cm \times 1 \, cm = 5 \times 10^{-6} \, m^3$.
$3$. परमाणुओं की कुल संख्या $(N)$ की गणना करें:
$N = n \times V = 8.36 \times 10^{28} \times 5 \times 10^{-6} = 4.18 \times 10^{23} \, atoms$.
$4$. कुल चुंबकीय आघूर्ण $(M_{total})$ की गणना करें:
$M_{total} = N \times \mu_{atom} = 4.18 \times 10^{23} \times 1.8 \times 10^{-23} \approx 7.52 \, A \cdot m^2$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $7.54 \, A \cdot m^2$ है।

(B) प्रारंभिक चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M = m \cdot L$ है,जहाँ $m$ ध्रुव प्रबलता है।
जब छड़ को $R$ त्रिज्या के अर्धवृत्त में मोड़ा जाता है,तो इसकी लंबाई $L$ अर्धवृत्त की चाप की लंबाई बन जाती है,इसलिए $L = \pi R$,जिससे $R = \frac{L}{\pi}$ प्राप्त होता है।
नया चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M'$ ध्रुव प्रबलता $m$ और ध्रुवों के बीच की सीधी दूरी (व्यास $2R$) का गुणनफल है।
$M' = m \cdot (2R) = m \cdot \left( \frac{2L}{\pi} \right)$.
चूँकि $M = m \cdot L$,हम समीकरण में $M$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$M' = \frac{2M}{\pi}$.

(D) छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $M$,$M = m \cdot L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ ध्रुव प्राबल्य है और $L$ चुंबक की लंबाई है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में एक ध्रुव पर लगने वाला बल $F$,$F = m \cdot B$ द्वारा दिया जाता है।
पहले समीकरण से,हमारे पास $m = \frac{M}{L}$ है।
इसे बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $F = \frac{M}{L} \cdot B$।
दिया गया है $M = 3.0 \, A \cdot m^2$,$B = 2 \times 10^{-5} \, T$,और $F = 6 \times 10^{-4} \, N$।
मान रखने पर: $6 \times 10^{-4} = \frac{3.0}{L} \times 2 \times 10^{-5}$।
$L = \frac{3.0 \times 2 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-4}} = \frac{6 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-4}} = 10^{-1} = 0.1 \, m$।

(C) ध्रुव प्राबल्य $m = 0.01 \, A \cdot m$ है। ध्रुवों के बीच की दूरी $d = 0.1 \, m$ है। मध्य बिंदु प्रत्येक ध्रुव से $r = d/2 = 0.05 \, m$ की दूरी पर है।
मध्य बिंदु पर,उत्तरी ध्रुव के कारण चुंबकीय क्षेत्र $(B_N)$ उससे दूर की दिशा में होता है और दक्षिणी ध्रुव के कारण चुंबकीय क्षेत्र $(B_S)$ उसकी ओर होता है। दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में कार्य करते हैं।
एक ध्रुव के कारण चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$B_N = B_S = 10^{-7} \times \frac{0.01}{(0.05)^2} = 10^{-7} \times \frac{0.01}{0.0025} = 10^{-7} \times 4 = 4 \times 10^{-7} \, T$.
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_N + B_S = 4 \times 10^{-7} + 4 \times 10^{-7} = 8 \times 10^{-7} \, T$.

(B) चुंबकीय आघूर्ण $M$,चुंबकन $I$ और छड़ के आयतन $V$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$M = I \times V$
दिया गया है:
चुंबकन $I = 5.30 \times 10^3 \, A/m$
लंबाई $l = 5 \, cm = 5 \times 10^{-2} \, m$
त्रिज्या $r = \text{व्यास} / 2 = 0.5 \, cm = 0.5 \times 10^{-2} \, m$
आयतन $V = \pi r^2 l = \pi \times (0.5 \times 10^{-2})^2 \times (5 \times 10^{-2}) \, m^3$
$V = 3.14159 \times 0.25 \times 10^{-4} \times 5 \times 10^{-2} \approx 3.927 \times 10^{-6} \, m^3$
अब,चुंबकीय आघूर्ण की गणना करने पर:
$M = (5.30 \times 10^3) \times (3.927 \times 10^{-6})$
$M \approx 20.813 \times 10^{-3} \, J/T = 2.08 \times 10^{-2} \, J/T$.

(A) छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $M$,$M = m \times L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ ध्रुव प्राबल्य है और $L$ चुंबक की चुंबकीय लंबाई है।
जब किसी चुंबक को चुंबकीय क्षेत्र $B$ में रखा जाता है,तो प्रत्येक ध्रुव पर अनुभव किया जाने वाला बल $F = mB$ होता है।
इससे,ध्रुव प्राबल्य $m = F/B$ प्राप्त होता है।
$m$ का मान चुंबकीय आघूर्ण के समीकरण में रखने पर: $M = (F/B) \times L$।
लंबाई $L$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $L = MB/F$।

(B) माना $l$ लंबाई के छड़ चुंबक के प्रत्येक ध्रुव की ध्रुव प्रबलता $m$ है। तो,प्रारंभिक चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है:
$M = m \times l$ ......... $(i)$
जब छड़ चुंबक को $r$ त्रिज्या के चाप में मोड़ा जाता है जो केंद्र पर $\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ रेडियन}$ का कोण बनाता है,तो चाप की लंबाई $l$ है:
$l = r \theta = r \times \frac{\pi}{3}$
$r = \frac{3l}{\pi}$
नया चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M^{\prime}$ ध्रुव प्रबलता $m$ और दोनों ध्रुवों के बीच की सीधी दूरी (जीवा की लंबाई) का गुणनफल है।
जीवा की लंबाई $d = 2r \sin(\frac{\theta}{2}) = 2r \sin(30^{\circ}) = 2r \times \frac{1}{2} = r$.
अतः,$M^{\prime} = m \times d = m \times r$.
$r = \frac{3l}{\pi}$ रखने पर:
$M^{\prime} = m \times \frac{3l}{\pi} = \frac{3}{\pi} (m \times l) = \frac{3}{\pi} M$ (समीकरण $(i)$ का उपयोग करते हुए)।