Higher order derivatives Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $g(x) = \log(f(x))$ અને $f(x+1) = x f(x)$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log(f(x+1)) = \log(x) + \log(f(x))$.
આનો અર્થ એ થાય કે $g(x+1) = g(x) + \log(x)$,અથવા $g(x+1) - g(x) = \log(x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બે વાર વિકલન કરતા,આપણને $g^{\prime \prime}(x+1) - g^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^2}$ મળે છે.
આપણે $g^{\prime \prime}\left(N+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right)$ શોધવા માંગીએ છીએ.
આને આપણે ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળા તરીકે લખી શકીએ:
$g^{\prime \prime}\left(N+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right) = \sum_{k=1}^{N} \left[ g^{\prime \prime}\left(k+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(k-\frac{1}{2}\right) \right]$.
સંબંધ $g^{\prime \prime}(x+1) - g^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^2}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x = k - \frac{1}{2}$ મૂકીએ:
$g^{\prime \prime}\left(k+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(k-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{(k-\frac{1}{2})^2} = -\frac{1}{(\frac{2k-1}{2})^2} = -\frac{4}{(2k-1)^2}$.
$k=1$ થી $N$ સુધીનો સરવાળો કરતા:
$\sum_{k=1}^{N} -\frac{4}{(2k-1)^2} = -4 \left[ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \ldots + \frac{1}{(2N-1)^2} \right]$.
આનું સાદું રૂપ $-4 \left\{ 1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \ldots + \frac{1}{(2N-1)^2} \right\}$ થાય છે.

(B) $x=2$ ની આસપાસ $P(x)$ ના ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$P(x) = P(2) + P^{\prime}(2)(x-2) + \frac{P^{\prime \prime}(2)}{2!}(x-2)^2$
આપેલ છે કે $P(2)=-1, P^{\prime}(2)=0, P^{\prime \prime}(2)=2$:
$P(x) = -1 + 0(x-2) + \frac{2}{2}(x-2)^2$
$P(x) = -1 + (x-2)^2$
હવે,$x=1.001$ મુકતા:
$P(1.001) = -1 + (1.001-2)^2$
$P(1.001) = -1 + (-0.999)^2$
$P(1.001) = -1 + 0.998001$
$P(1.001) = -0.001999$
આપેલ વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $-0.002$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $y = (\tan^{-1} x)^2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2(\tan^{-1} x) \cdot \frac{1}{1+x^2}$.
બંને બાજુ $(1+x^2)$ વડે ગુણતા:
$(1+x^2) \frac{dy}{dx} = 2 \tan^{-1} x$.
ડાબી બાજુ ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(1+x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \cdot (2x) = 2 \cdot \frac{1}{1+x^2}$.
આખા સમીકરણને $(1+x^2)$ વડે ગુણતા:
$(1+x^2)^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + 2x(1+x^2) \frac{dy}{dx} = 2$.
આમ,કિંમત $2$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $y = 3 e^{5 x} + 5 e^{3 x}$.
પ્રથમ,પ્રથમ વિકલિત $\frac{d y}{d x}$ શોધો:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(3 e^{5 x} + 5 e^{3 x}) = 3(5 e^{5 x}) + 5(3 e^{3 x}) = 15 e^{5 x} + 15 e^{3 x}$.
ત્યારબાદ,દ્વિતીય વિકલિત $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ શોધો:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x}(15 e^{5 x} + 15 e^{3 x}) = 15(5 e^{5 x}) + 15(3 e^{3 x}) = 75 e^{5 x} + 45 e^{3 x}$.
હવે,$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 8 \frac{d y}{d x}$ ની ગણતરી કરો:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 8 \frac{d y}{d x} = (75 e^{5 x} + 45 e^{3 x}) - 8(15 e^{5 x} + 15 e^{3 x})$
$= 75 e^{5 x} + 45 e^{3 x} - 120 e^{5 x} - 120 e^{3 x}$
$= -45 e^{5 x} - 75 e^{3 x}$
$= -15(3 e^{5 x} + 5 e^{3 x})$
$= -15 y$.

(B) આપેલ છે $(a+bx) e^{\frac{y}{x}}=x$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(a+bx) + \frac{y}{x} = \ln x$.
ગોઠવતા $\frac{y}{x} = \ln x - \ln(a+bx) = \ln \left(\frac{x}{a+bx}\right)$ મળે.
તેથી,$y = x \ln \left(\frac{x}{a+bx}\right)$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \ln \left(\frac{x}{a+bx}\right) + x \cdot \frac{a+bx}{x} \cdot \frac{(a+bx)(1) - x(b)}{(a+bx)^2} = \frac{y}{x} + \frac{a}{(a+bx)}$.
આમ,$x \frac{dy}{dx} = y + \frac{ax}{a+bx}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$x \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx} + \frac{(a+bx)(a) - ax(b)}{(a+bx)^2} = \frac{dy}{dx} + \frac{a^2}{(a+bx)^2}$.
તેથી,$x \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{a^2}{(a+bx)^2}$.
$x \frac{dy}{dx} - y = \frac{ax}{a+bx}$ પરથી,$\left(x \frac{dy}{dx} - y\right)^2 = \frac{a^2 x^2}{(a+bx)^2}$ મળે.
આને $x \frac{d^2y}{dx^2}$ સાથે સરખાવતા,$x^3 \frac{d^2y}{dx^2} = x^2 \cdot \frac{a^2}{(a+bx)^2} = \left(x \frac{dy}{dx} - y\right)^2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે,$x^{2} y^{5}=(x+y)^{7}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા:
$2 \ln x + 5 \ln y = 7 \ln (x+y)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{2}{x} + \frac{5}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{7}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} \left(\frac{5}{y} - \frac{7}{x+y}\right) = \frac{7}{x+y} - \frac{2}{x}$.
$\frac{dy}{dx} \left(\frac{5x + 5y - 7y}{y(x+y)}\right) = \frac{7x - 2x - 2y}{x(x+y)}$.
$\frac{dy}{dx} \left(\frac{5x - 2y}{y(x+y)}\right) = \frac{5x - 2y}{x(x+y)}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^{2}}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{x(y/x) - y}{x^{2}} = \frac{y - y}{x^{2}} = 0$.

(B) આપેલ છે કે $x = \log t$ અને $y = \frac{1}{t}$.
પ્રથમ,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dy}{dx}$ શોધો: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$.
કારણ કે $y = t^{-1}$,તેથી $\frac{dy}{dt} = -t^{-2} = -\frac{1}{t^2}$.
કારણ કે $x = \log t$,તેથી $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{t}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{-1/t^2}{1/t} = -\frac{1}{t} = -y$.
હવે,$\frac{d^2 y}{dx^2}$ શોધવા માટે $\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-y) = -\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = -(-t^{-2}) \cdot t = t^{-1} = y$.
આમ,$\frac{d^2 y}{dx^2} = y$.

(D) આપેલ છે કે $x = \sin \theta$ અને $y = \sin^3 \theta$.
ચલ $x = \sin \theta$ હોવાથી,આપણે $y = x^3$ લખી શકીએ.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં $y$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$.
ત્યારબાદ,દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2 y}{dx^2}$ મેળવતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$.
જ્યારે $\theta = \frac{\pi}{2}$ હોય,ત્યારે $x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ થાય.
આમ,$x = 1$ મુકતા:
$\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)_{x=1} = 6(1) = 6$.

(C) આપેલ છે કે $y=3 \cos (\log x)+4 \sin (\log x)$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = -3 \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x} + 4 \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x}$.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા:
$x y_1 = -3 \sin (\log x) + 4 \cos (\log x)$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ડાબી બાજુ ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા):
$1 \cdot y_1 + x \cdot y_2 = -3 \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x} - 4 \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}$.
આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા:
$x y_1 + x^2 y_2 = -3 \cos (\log x) - 4 \sin (\log x)$.
જમણી બાજુથી $-1$ સામાન્ય લેતા:
$x^2 y_2 + x y_1 = -(3 \cos (\log x) + 4 \sin (\log x))$.
કારણ કે $y = 3 \cos (\log x) + 4 \sin (\log x)$,તેથી:
$x^2 y_2 + x y_1 = -y$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = b \cdot e^{ax} + a \cdot e^{bx}$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલિત $f^{\prime}(x)$ શોધો:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(b \cdot e^{ax} + a \cdot e^{bx}) = b \cdot a \cdot e^{ax} + a \cdot b \cdot e^{bx} = ab(e^{ax} + e^{bx})$.
ત્યારબાદ,દ્વિતીય વિકલિત $f^{\prime \prime}(x)$ શોધો:
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx}(ab \cdot e^{ax} + ab \cdot e^{bx}) = ab \cdot a \cdot e^{ax} + ab \cdot b \cdot e^{bx} = a^2b \cdot e^{ax} + ab^2 \cdot e^{bx}$.
હવે,$x = 0$ માટે કિંમત મેળવો:
$f^{\prime \prime}(0) = a^2b \cdot e^{a(0)} + ab^2 \cdot e^{b(0)} = a^2b(1) + ab^2(1) = a^2b + ab^2$.
$ab$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$f^{\prime \prime}(0) = ab(a + b)$.

(B) આપેલ છે કે $y = (\sin^{-1} x)^2 + (\cos^{-1} x)^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$.
આ કિંમત મૂકતા,$y = (\sin^{-1} x)^2 + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x)^2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2(\sin^{-1} x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + 2(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x) \cdot (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{1-x^2}} (\sin^{-1} x - \frac{\pi}{2} + \sin^{-1} x) = \frac{2(2\sin^{-1} x - \frac{\pi}{2})}{\sqrt{1-x^2}}$.
$\sqrt{1-x^2}$ વડે ગુણતા: $\sqrt{1-x^2} y_1 = 4\sin^{-1} x - \pi$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\sqrt{1-x^2} y_2 + y_1 \cdot (\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}) = \frac{4}{\sqrt{1-x^2}}$.
આખા સમીકરણને $\sqrt{1-x^2}$ વડે ગુણતા: $(1-x^2) y_2 - x y_1 = 4$.

(C) આપેલ છે કે $x = \sqrt{e^{\sin^{-1} t}}$ અને $y = \sqrt{e^{\cos^{-1} t}}$.
$x$ અને $y$ નો ગુણાકાર કરતા:
$xy = \sqrt{e^{\sin^{-1} t}} \cdot \sqrt{e^{\cos^{-1} t}} = \sqrt{e^{\sin^{-1} t + \cos^{-1} t}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1} t + \cos^{-1} t = \frac{\pi}{2}$,તેથી $xy = \sqrt{e^{\pi/2}}$,જે એક અચળ પદ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} \quad ... (i)$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right) = -\left( \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2} \right)$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\left( \frac{x(-\frac{y}{x}) - y}{x^2} \right) = -\left( \frac{-y - y}{x^2} \right) = -\left( \frac{-2y}{x^2} \right) = \frac{2y}{x^2}$.

(A) આપેલ છે,$y^{2}=a x^{2}+b x+c$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2 y \frac{d y}{d x}=2 a x+b$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{d y}{d x} = \frac{2 a x + b}{2 y}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2(\frac{d y}{d x})^{2} + 2 y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 2 a$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $(\frac{d y}{d x})^{2} + y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = a$ મળે છે.
$\frac{d y}{d x} = \frac{2 a x + b}{2 y}$ મૂકતા,આપણને $y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = a - (\frac{2 a x + b}{2 y})^{2}$ મળે છે.
$y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{4 a y^{2} - (2 a x + b)^{2}}{4 y^{2}}$.
$y^{2} = a x^{2} + b x + c$ મૂકતા,આપણને $y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{4 a (a x^{2} + b x + c) - (4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2})}{4 y^{2}}$ મળે છે.
$y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c - 4 a^{2} x^{2} - 4 a b x - b^{2}}{4 y^{2}}$.
$y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{4 a c - b^{2}}{4 y^{2}}$.
બંને બાજુ $y^{2}$ વડે ગુણતા,આપણને $y^{3} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{4 a c - b^{2}}{4}$ મળે છે,જે એક અચળાંક છે.

(B) આપેલ છે કે $y = a x^{n+1} + b x^{-n}$.
પ્રથમ વિકલન: $\frac{dy}{dx} = a(n+1)x^n + b(-n)x^{-n-1}$.
દ્વિતીય વિકલન: $\frac{d^2y}{dx^2} = a(n+1)nx^{n-1} + b(-n)(-n-1)x^{-n-2}$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = an(n+1)x^{n-1} + bn(n+1)x^{-n-2}$.
$x^2$ વડે ગુણતા: $x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = an(n+1)x^{n+1} + bn(n+1)x^{-n}$.
$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = n(n+1) [a x^{n+1} + b x^{-n}]$.
કારણ કે $y = a x^{n+1} + b x^{-n}$,તેથી $x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = n(n+1)y$.

(C) આપેલ છે કે $y = a^x \cdot b^{2x-1}$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $y = a^x \cdot (b^2)^x \cdot b^{-1} = \frac{1}{b} (a b^2)^x$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\log y = \log \left( \frac{1}{b} (a b^2)^x \right) = \log(1) - \log(b) + x \log(a b^2) = -\log b + x \log(a b^2)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log(a b^2)$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = y \log(a b^2)$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{dy}{dx} \log(a b^2)$.
$\frac{dy}{dx} = y \log(a b^2)$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $\frac{d^2 y}{d x^2} = (y \log(a b^2)) \cdot \log(a b^2) = y(\log(a b^2))^2$.

(D) ધારો કે $y = \log x$.
તેથી,પ્રથમ વિકલન $y_1 = \frac{d}{dx}(\log x) = x^{-1}$ છે.
બીજું વિકલન $y_2 = \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2}$ છે.
ત્રીજું વિકલન $y_3 = \frac{d}{dx}(-1 \cdot x^{-2}) = (-1)(-2) \cdot x^{-3} = 2 \cdot x^{-3}$ છે.
ચોથું વિકલન $y_4 = \frac{d}{dx}(2 \cdot x^{-3}) = 2(-3) \cdot x^{-4} = -6 \cdot x^{-4} = -3! \cdot x^{-4}$ છે.
આ ભાત (pattern) જોતા,$n$-મું વિકલન $y_n = (-1)^{n-1} \cdot (n-1)! \cdot x^{-n}$ મળે છે.
આમ,$\frac{d^{n}}{d x^{n}}(\log x) = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^{n}}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 3x^3 + Ax^2 + Bx + C$,જ્યાં $A = 2f'(1)$,$B = f''(2)$,અને $C = f'''(3)$.
પ્રથમ,વિકલિતો શોધો:
$f'(x) = 9x^2 + 2Ax + B$
$f''(x) = 18x + 2A$
$f'''(x) = 18$
હવે,અચળાંકોની કિંમત શોધો:
$f'''(3) = 18$,તેથી $C = 18$.
$f''(2) = 18(2) + 2A = 36 + 2A$. કારણ કે $B = f''(2)$,તેથી $B = 36 + 2A$.
$f'(1) = 9(1)^2 + 2A(1) + B = 9 + 2A + B$. કારણ કે $A = 2f'(1)$,તેથી $A = 2(9 + 2A + B) = 18 + 4A + 2B$.
$B = 36 + 2A$ ને $A$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$A = 18 + 4A + 2(36 + 2A)$
$A = 18 + 4A + 72 + 4A$
$A = 90 + 8A$
$-7A = 90 \implies A = -\frac{90}{7}$.
હવે $B$ શોધો:
$B = 36 + 2(-\frac{90}{7}) = 36 - \frac{180}{7} = \frac{252 - 180}{7} = \frac{72}{7}$.
આમ,$f(x) = 3x^3 - \frac{90}{7}x^2 + \frac{72}{7}x + 18 = \frac{1}{7}(21x^3 - 90x^2 + 72x + 126)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{y}{b^2} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{a^2} \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{y} \right) = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{y(1) - x(dy/dx)}{y^2} \right)$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{y - x(-b^2 x / a^2 y)}{y^2} \right) = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{a^2 y^2 + b^2 x^2}{a^2 y^3} \right)$.
કારણ કે $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$,તેથી $b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{a^2 b^2}{a^2 y^3} \right) = -\frac{b^4}{a^2 y^3}$.

(A) આપેલ છે કે $y = A \cos nx + B \sin nx$ ...$(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = -An \sin nx + Bn \cos nx$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -An^2 \cos nx - Bn^2 \sin nx$
$-n^2$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -n^2 (A \cos nx + B \sin nx)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -n^2 y$

(A) આપેલ છે કે $y = a x^{n+1} + b x^{-n}$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = a(n+1) x^n - bn x^{-n-1}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત મેળવવા માટે ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = a(n+1)n x^{n-1} - bn(-n-1) x^{-n-2}$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = a n(n+1) x^{n-1} + b n(n+1) x^{-n-2}$.
$n(n+1)$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = n(n+1) [a x^{n-1} + b x^{-n-2}]$.
બંને બાજુ $x^2$ વડે ગુણતા:
$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} = n(n+1) [a x^{n+1} + b x^{-n}]$.
કારણ કે $y = a x^{n+1} + b x^{-n}$,તેથી $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} = n(n+1) y$.

(A) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos(2\theta)$ જાણીએ છીએ.
આપેલ છે કે $y = \cos^2\left(\frac{5x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{5x}{2}\right)$,અહીં $\theta = \frac{5x}{2}$ લેતા.
તેથી,$y = \cos\left(2 \times \frac{5x}{2}\right) = \cos(5x)$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(5x) \times \frac{d}{dx}(5x) = -5\sin(5x)$.
દ્વિતીય વિકલિત મેળવવા માટે ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -5 \times \cos(5x) \times \frac{d}{dx}(5x) = -5 \times 5 \cos(5x) = -25\cos(5x)$.
કારણ કે $y = \cos(5x)$,તેથી $\frac{d^2y}{dx^2} = -25y$.

(D) આપેલ છે કે $y = 2 \sin x + 3 \cos x$.
પ્રથમ,પ્રથમ વિકલન મેળવો: $\frac{dy}{dx} = 2 \cos x - 3 \sin x$.
ત્યારબાદ,દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $\frac{d^2y}{dx^2} = -2 \sin x - 3 \cos x$.
આને આપણે $\frac{d^2y}{dx^2} = -(2 \sin x + 3 \cos x) = -y$ તરીકે લખી શકીએ.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $y + \frac{d^2y}{dx^2} = 0$ મળે છે.
આને આપેલ સમીકરણ $y + A \frac{d^2y}{dx^2} = B$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 1$ અને $B = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ છે $y^2 = ax^2 + bx + c$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 2ax + b$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2ax + b}{2y}$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{2ax + b}{2y} \right) = \frac{2a(2y) - (2ax + b)(2 \frac{dy}{dx})}{4y^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2ax + b}{2y}$ મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{4ay - (2ax + b) \frac{2ax + b}{y}}{4y^2} = \frac{4ay^2 - (2ax + b)^2}{4y^3}$
હવે,$y^3$ વડે ગુણતા:
$y^3 \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{4ay^2 - (2ax + b)^2}{4} = \frac{4a(ax^2 + bx + c) - (4a^2x^2 + 4abx + b^2)}{4}$
$y^3 \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{4a^2x^2 + 4abx + 4ac - 4a^2x^2 - 4abx - b^2}{4} = \frac{4ac - b^2}{4}$
$a, b, c$ અચળાંકો હોવાથી,$\frac{4ac - b^2}{4}$ એ અચળ છે.

(A) આપેલ છે કે $y = e^{4x} \cos 5x$.
ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા,$\frac{dy}{dx} = e^{4x}(-5 \sin 5x) + \cos 5x(4e^{4x}) = e^{4x}(4 \cos 5x - 5 \sin 5x)$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = e^{4x}(-20 \sin 5x - 25 \cos 5x) + (4 \cos 5x - 5 \sin 5x)(4e^{4x})$.
$x=0$ આગળ કિંમત મુકતા:
$\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)_{x=0} = e^{0}(-20 \sin 0 - 25 \cos 0) + (4 \cos 0 - 5 \sin 0)(4e^{0})$.
કારણ કે $\sin 0 = 0$ અને $\cos 0 = 1$:
$\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)_{x=0} = 1(0 - 25) + (4 - 0)(4) = -25 + 16 = -9$.

(A) આપેલ છે કે $\sqrt{x+y}+\sqrt{y-x}=5$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે $\sqrt{y-x}=5-\sqrt{x+y}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$y-x = 25 + (x+y) - 10\sqrt{x+y}$.
સાદું રૂપ આપતા,$-2x = 25 - 10\sqrt{x+y}$,જે આપે છે $10\sqrt{x+y} = 2x + 25$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$10 \times \frac{1}{2\sqrt{x+y}} \times (1 + \frac{dy}{dx}) = 2$.
$\frac{5}{\sqrt{x+y}} \times (1 + \frac{dy}{dx}) = 2$.
$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{2\sqrt{x+y}}{5}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{5} \times \frac{1}{2\sqrt{x+y}} \times (1 + \frac{dy}{dx})$.
અગાઉના સ્ટેપમાંથી $(1 + \frac{dy}{dx})$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{5\sqrt{x+y}} \times \frac{2\sqrt{x+y}}{5} = \frac{2}{25}$.

(D) અમને વિધેય $y = \cos^{2}\left(\frac{5x}{2}\right) - \sin^{2}\left(\frac{5x}{2}\right)$ આપેલ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(2\theta) = \cos^{2}(\theta) - \sin^{2}(\theta)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\theta = \frac{5x}{2}$ લઈને પદને સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
આમ,$y = \cos\left(2 \times \frac{5x}{2}\right) = \cos(5x)$.
હવે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન મેળવીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos(5x)) = -5 \sin(5x)$.
ત્યારબાદ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં દ્વિતીય વિકલન મેળવીએ:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(-5 \sin(5x)) = -5 \times 5 \cos(5x) = -25 \cos(5x)$.
કારણ કે $y = \cos(5x)$,આપણે પદમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -25y$.

(D) આપેલ છે કે $h(x) = [f(x)]^2 + [g(x)]^2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$h^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) + 2g(x)g^{\prime}(x)$.
કારણ કે $f^{\prime}(x) = g(x)$,તેથી $g^{\prime}(x) = f^{\prime \prime}(x)$ થાય.
આપેલ છે કે $f^{\prime \prime}(x) = -f(x)$,આ કિંમતોને વિકલનમાં મૂકતા:
$h^{\prime}(x) = 2f(x)g(x) + 2g(x)(-f(x)) = 2f(x)g(x) - 2f(x)g(x) = 0$.
$h^{\prime}(x) = 0$ હોવાથી,$h(x)$ એ અચળ વિધેય છે.
તેથી,$h(5) = h(10) = 1$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $h(x) = [f(x)]^2 + [g(x)]^2$.
$x$ ની સાપેક્ષે $h(x)$ નું વિકલન કરતા:
$h^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) + 2g(x)g^{\prime}(x)$.
$f^{\prime}(x) = g(x)$ હોવાથી,$f^{\prime \prime}(x) = g^{\prime}(x)$ થાય.
$f^{\prime \prime}(x) = -f(x)$ આપેલ હોવાથી,$g^{\prime}(x) = -f(x)$ મળે.
આ કિંમતોને વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$h^{\prime}(x) = 2f(x)g(x) + 2g(x)(-f(x)) = 2f(x)g(x) - 2f(x)g(x) = 0$.
$h^{\prime}(x) = 0$ હોવાથી,$h(x)$ એ અચળ વિધેય છે.
તેથી,$h(5) = h(10) = 1$.

(C) આપેલ સમીકરણ $y = 7 \sin x + 5 \cos x$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન મેળવો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(7 \sin x + 5 \cos x) = 7 \cos x - 5 \sin x$.
ત્યારબાદ,$x$ ની સાપેક્ષમાં દ્વિતીય વિકલન મેળવો:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(7 \cos x - 5 \sin x) = -7 \sin x - 5 \cos x$.
પદમાંથી $-1$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -(7 \sin x + 5 \cos x)$.
કારણ કે $y = 7 \sin x + 5 \cos x$,આપણે સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકી શકીએ:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -y$.
ગોઠવતા આપણને $\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$ મળે છે.
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2} - my = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $-m = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $m = -1$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $y = 100 e^{2x} + 200 e^{-2x}$ છે.
પ્રથમ,પ્રથમ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = 100 \cdot 2 e^{2x} + 200 \cdot (-2) e^{-2x} = 200 e^{2x} - 400 e^{-2x}$.
ત્યારબાદ,દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2 y}{dx^2}$ શોધો:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 200 \cdot 2 e^{2x} - 400 \cdot (-2) e^{-2x} = 400 e^{2x} + 800 e^{-2x}$.
આ પદમાંથી $4$ સામાન્ય કાઢતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 4(100 e^{2x} + 200 e^{-2x})$.
કારણ કે $y = 100 e^{2x} + 200 e^{-2x}$,આપણે સમીકરણમાં $y$ મૂકી શકીએ છીએ:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 4y$.
આને $\frac{d^2 y}{dx^2} = ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $x+1 = e^{-y}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે છે $\ln(x+1) = -y$,જેનો અર્થ છે કે $y = -\ln(x+1)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{x+1}$ મળે છે.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{d^2 y}{d x^2} = -(-1)(x+1)^{-2} = \frac{1}{(x+1)^2}$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{x+1}$,તેથી $\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = \left(-\frac{1}{x+1}\right)^2 = \frac{1}{(x+1)^2}$ થાય.
આમ,$\frac{d^2 y}{d x^2} = \left(\frac{d y}{d x}\right)^2$.

(C) આપેલ છે કે $x = \sin y$,તેથી $y = \arcsin x$ થાય.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = (1 - x^2)^{-1/2}$ મળે.
હવે,સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{1}{2}(1 - x^2)^{-3/2} \cdot \frac{d}{dx}(1 - x^2)$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{1}{2}(1 - x^2)^{-3/2} \cdot (-2x)$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{x}{(1 - x^2)^{3/2}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ છે કે $y = 5 \cos x - 3 \sin x$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(5 \cos x - 3 \sin x) = -5 \sin x - 3 \cos x$.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત મેળવવા માટે ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d}{d x}(-5 \sin x - 3 \cos x) = -5 \cos x - 3(-\sin x) = -5 \cos x + 3 \sin x$.
$-1$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = -(5 \cos x - 3 \sin x)$.
કારણ કે $y = 5 \cos x - 3 \sin x$,તેથી:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = -y$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $e^y(x+1)=1$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(e^y) + \ln(x+1) = \ln(1)$.
$y + \ln(x+1) = 0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x+1} = 0$.
તેથી,$\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{x+1} = -(x+1)^{-1}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d^2 y}{d x^2} = -(-1)(x+1)^{-2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.
કારણ કે $\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{x+1}$,તેથી $\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = \left(-\frac{1}{x+1}\right)^2 = \frac{1}{(x+1)^2}$.
આમ,$\frac{d^2 y}{d x^2} = \left(\frac{d y}{d x}\right)^2$.

(C) આપેલ છે કે $y = \log_e(\log_e x)$.
સૌ પ્રથમ,સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{d}{dx}(\log_e x) = \frac{1}{x \log_e x} = (x \log_e x)^{-1}$.
હવે,ઘાતનો નિયમ અને ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને દ્વિતીય વિકલિત $\frac{d^2 y}{dx^2}$ શોધો:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -1(x \log_e x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(x \log_e x)$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{1}{(x \log_e x)^2} \cdot [1 \cdot \log_e x + x \cdot \frac{1}{x}] = -\frac{\log_e x + 1}{x^2 (\log_e x)^2}$.
કારણ કે $\log_e x + 1 = \log_e x + \log_e e = \log_e(ex)$,તેથી:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{\log_e(ex)}{x^2 (\log_e x)^2}$.

(A) આપેલ વિધેય $y = \tan^{-1} x$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$.
આને $(1 + x^2) y_1 = 1$ તરીકે લખી શકાય.
હવે,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} [(1 + x^2) y_1] = \frac{d}{dx} (1)$.
$(1 + x^2) y_2 + y_1 (2x) = 0$.
તેથી,$(1 + x^2) y_2 = -2x y_1$.

(C) આપેલ છે કે $y = (\cos^{-1} x)^2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$y_1 = 2(\cos^{-1} x) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)$ મળે.
તેથી,$\sqrt{1-x^2} y_1 = -2 \cos^{-1} x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(1-x^2) y_1^2 = 4 (\cos^{-1} x)^2 = 4y$ મળે.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$(1-x^2) \cdot 2y_1 y_2 + y_1^2 (-2x) = 4y_1$ મળે.
$2y_1$ વડે ભાગતા ($y_1 \neq 0$ ધારીને),$(1-x^2) y_2 - x y_1 = 2$ મળે.
આમ,$(1-x^2) y_2 - x y_1 - 2 = 0$.
આને $(1-x^2) y_2 + p x y_1 + q = 0$ સાથે સરખાવતા,$p = -1$ અને $q = -2$ મળે.
તેથી,$p+q = -1 + (-2) = -3$.

(D) આપેલ છે કે $ y = (\tan^{-1} x)^2 $.
પ્રથમ,$ x $ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$ y_1 = \frac{dy}{dx} = 2(\tan^{-1} x) \cdot \frac{1}{1+x^2} $.
આથી $ (1+x^2) y_1 = 2 \tan^{-1} x $ મળે.
હવે ફરીથી $ x $ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$ (1+x^2) y_2 + y_1(2x) = 2 \cdot \frac{1}{1+x^2} $.
આખા સમીકરણને $ (1+x^2) $ વડે ગુણતા:
$ (1+x^2)^2 y_2 + 2x(1+x^2) y_1 = 2 $.
આમ,જવાબ $ 2 $ છે.

(C) આપેલ છે કે,$h(x) = f(x) \cdot g(x)$ અને $f^{\prime}(x) \cdot g^{\prime}(x) = c$.
પ્રથમ,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $h(x)$ નું પ્રથમ વિકલન મેળવો:
$h^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{\prime}(x)$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $h^{\prime \prime}(x)$ મેળવો:
$h^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx}[f^{\prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{\prime}(x)]$
$h^{\prime \prime}(x) = [f^{\prime \prime}(x) \cdot g(x) + f^{\prime}(x) \cdot g^{\prime}(x)] + [f^{\prime}(x) \cdot g^{\prime}(x) + f(x) \cdot g^{\prime \prime}(x)]$
$h^{\prime \prime}(x) = f^{\prime \prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{\prime \prime}(x) + 2f^{\prime}(x) \cdot g^{\prime}(x)$.
કારણ કે $f^{\prime}(x) \cdot g^{\prime}(x) = c$,તેથી:
$h^{\prime \prime}(x) = f^{\prime \prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{\prime \prime}(x) + 2c \quad \dots(i)$.
હવે,પદાવલિની કિંમત શોધો:
$\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)} + \frac{g^{\prime \prime}(x)}{g(x)} + \frac{2c}{f(x) \cdot g(x)} = \frac{f^{\prime \prime}(x) \cdot g(x) + g^{\prime \prime}(x) \cdot f(x) + 2c}{f(x) \cdot g(x)}$.
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{h^{\prime \prime}(x)}{h(x)}$.

(C) આપેલ છે,$f(x) = b e^{ax} + a e^{bx}$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં $f(x)$ નું વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(b e^{ax} + a e^{bx}) = b(a e^{ax}) + a(b e^{bx}) = ab e^{ax} + ab e^{bx}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત મેળવવા માટે $f^{\prime}(x)$ નું ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx}(ab e^{ax} + ab e^{bx}) = ab(a e^{ax}) + ab(b e^{bx}) = a^2 b e^{ax} + ab^2 e^{bx}$.
છેલ્લે,$x = 0$ મૂકતા:
$f^{\prime \prime}(0) = a^2 b e^{a(0)} + ab^2 e^{b(0)} = a^2 b(1) + ab^2(1) = a^2 b + ab^2$.
$ab$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$f^{\prime \prime}(0) = ab(a + b)$.

(A) આપેલ છે કે,$y = \log(\log x) \quad (1)$
સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x} \quad (2)$
હવે,સમીકરણ $(2)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા (ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}((x \log x)^{-1}) = -1(x \log x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(x \log x)$
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{(x \log x)^2} \cdot [x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1]$
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1 + \log x}{(x \log x)^2}$

(B) આપેલ છે કે $y = \tan^{-1} \sqrt{x^{2}-1}$.
ધારો કે $x = \sec \theta$,તો $\sqrt{x^{2}-1} = \tan \theta$.
તેથી,$y = \tan^{-1}(\tan \theta) = \theta = \sec^{-1} x$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sec^{-1} x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ શોધો:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx} \left( (x(x^{2}-1)^{1/2})^{-1} \right) = -1 \cdot (x(x^{2}-1)^{1/2})^{-2} \cdot \frac{d}{dx} (x(x^{2}-1)^{1/2})$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d}{dx} (x(x^{2}-1)^{1/2}) = (x^{2}-1)^{1/2} + x \cdot \frac{1}{2}(x^{2}-1)^{-1/2} \cdot 2x = \sqrt{x^{2}-1} + \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}} = \frac{x^{2}-1+x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}} = \frac{2x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}-1}}$.
આમ,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = - \frac{1}{x^{2}(x^{2}-1)} \cdot \frac{2x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}-1}} = - \frac{2x^{2}-1}{x^{2}(x^{2}-1)^{3/2}}$.
અંતે,ગુણોત્તર:
$\frac{d^{2}y/dx^{2}}{dy/dx} = \left( - \frac{2x^{2}-1}{x^{2}(x^{2}-1)^{3/2}} \right) \div \left( \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} \right) = - \frac{2x^{2}-1}{x^{2}(x^{2}-1)^{3/2}} \cdot x \sqrt{x^{2}-1} = - \frac{2x^{2}-1}{x(x^{2}-1)} = \frac{1-2x^{2}}{x(x^{2}-1)}$.

(A) આપેલ છે કે,$y=e^{\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \ldots}}}}, x>1$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log _e y = \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \ldots}}} \log _e e = \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \ldots}}}$.
વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ પુનરાવર્તિત થતી હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\log _e y = \sqrt{x \log _e y}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\log _e y)^2 = x \log _e y$.
$\log _e y$ વડે ભાગતા (કારણ કે $x>1$,$y>1$,તેથી $\log _e y \neq 0$):
$\log _e y = x$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 \implies \frac{d y}{d x} = y$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} = y$.
$x = \log _e 3$ આગળ,આપણી પાસે $\log _e y = \log _e 3$ છે,જેનો અર્થ છે કે $y = 3$.
તેથી,$\frac{d^2 y}{d x^2} = y = 3$.

(D) આપેલ છે,$\sqrt{r} = a e^{\theta \cot \alpha}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $r = a^{2} e^{2 \theta \cot \alpha}$ મળે છે.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dr}{d\theta} = a^{2} \cdot e^{2 \theta \cot \alpha} \cdot (2 \cot \alpha) = 2 a^{2} \cot \alpha \cdot e^{2 \theta \cot \alpha}$.
ફરીથી $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2}r}{d\theta^{2}} = 2 a^{2} \cot \alpha \cdot e^{2 \theta \cot \alpha} \cdot (2 \cot \alpha) = 4 a^{2} \cot^{2} \alpha \cdot e^{2 \theta \cot \alpha}$.
કારણ કે $r = a^{2} e^{2 \theta \cot \alpha}$,આપણે આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકી શકીએ:
$\frac{d^{2}r}{d\theta^{2}} = 4 \cot^{2} \alpha \cdot (a^{2} e^{2 \theta \cot \alpha}) = 4 r \cot^{2} \alpha$.
તેથી,$\frac{d^{2}r}{d\theta^{2}} - 4 r \cot^{2} \alpha = 0$.

(C) આપેલ છે કે,$y = \cos^{2} \frac{3x}{2} - \sin^{2} \frac{3x}{2}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(2\theta) = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,અહીં $\theta = \frac{3x}{2}$ છે,તેથી $2\theta = 3x$ થાય.
આમ,$y = \cos(3x)$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x)$.
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -3 \cdot \cos(3x) \cdot 3 = -9\cos(3x)$.
કારણ કે $y = \cos(3x)$,તેથી કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -9y$.

(A) આપેલ છે કે,$f(x)=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}x^3+\ldots+x^n$.
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \ldots + x^n$.
આપેલ પદાવલિ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે કે $f(x) = (1+x)^n$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષે $f(x)$ નું પ્રથમ વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(1+x)^n = n(1+x)^{n-1}$.
ત્યારબાદ,$f(x)$ નું દ્વિતીય વિકલન કરતા:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[n(1+x)^{n-1}] = n(n-1)(1+x)^{n-2}$.
છેલ્લે,દ્વિતીય વિકલનમાં $x=1$ મૂકતા:
$f''(1) = n(n-1)(1+1)^{n-2} = n(n-1)2^{n-2}$.

(B) આપેલ છે,$y = 2 x^{n+1} + 3 x^{-n} \dots (i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2(n+1)x^n + 3(-n)x^{-n-1} = 2(n+1)x^n - 3nx^{-n-1}$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2(n+1)(n)x^{n-1} - 3n(-n-1)x^{-n-2}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2n(n+1)x^{n-1} + 3n(n+1)x^{-n-2}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = n(n+1) [2x^{n-1} + 3x^{-n-2}]$
બંને બાજુ $x^2$ વડે ગુણતા:
$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = n(n+1) [2x^{n+1} + 3x^{-n}]$
સમીકરણ $(i)$ પરથી $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = n(n+1)y$

(A) આપેલ છે,$m \sin ^{-1} x = \log _{e} y$
$\Rightarrow y = e^{m \sin ^{-1} x}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$y' = e^{m \sin ^{-1} x} \times \frac{m}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\Rightarrow \sqrt{1 - x^{2}} \cdot y' = m y$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(1 - x^{2}) (y')^{2} = m^{2} y^{2}$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(1 - x^{2}) \cdot 2 y' \cdot y'' + (y')^{2} (-2 x) = m^{2} \cdot 2 y y' $
બંને બાજુ $2 y'$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$(1 - x^{2}) y'' - x y' = m^{2} y$

(D) આપેલ છે કે,$f^{\prime \prime}(x)+f(x)=0$ ... $(i)$
અને $g(x)=[f(x)]^{2}+[f^{\prime}(x)]^{2}$.
$g(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$g^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) + 2f^{\prime}(x)f^{\prime \prime}(x)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી $f^{\prime \prime}(x) = -f(x)$ મૂકતા:
$g^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) + 2f^{\prime}(x)(-f(x))$
$g^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) - 2f(x)f^{\prime}(x) = 0$.
કારણ કે $g(x)$ નું વિકલન $0$ છે,તેથી $g(x)$ એ અચળ વિધેય છે.
આપેલ છે કે $g(3) = 8$,તેથી દરેક $x$ માટે $g(x) = 8$ થાય.
આમ,$g(8) = 8$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $f(x) = f'(x) + f''(x) + f'''(x) + \ldots$
ધારો કે $f(x) = e^{kx}$. તો $f'(x) = ke^{kx}$,$f''(x) = k^2e^{kx}$,$f'''(x) = k^3e^{kx}$,વગેરે.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$e^{kx} = ke^{kx} + k^2e^{kx} + k^3e^{kx} + \ldots$
$e^{kx}$ વડે ભાગતા:
$1 = k + k^2 + k^3 + \ldots$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = k$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = k$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ થાય છે.
તેથી,$1 = \frac{k}{1-k}$.
$1 - k = k \implies 2k = 1 \implies k = \frac{1}{2}$.
આમ,$f(x) = Ce^{x/2}$.
$f(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$Ce^0 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $C = 1$.
તેથી,$f(x) = e^{x/2}$.