Higher order derivatives Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $y = a \cos (\ln x) + b \sin (\ln x)$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -a \sin (\ln x) \cdot \frac{1}{x} + b \cos (\ln x) \cdot \frac{1}{x}$
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા:
$x \frac{dy}{dx} = -a \sin (\ln x) + b \cos (\ln x)$
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} (x \frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dx} (-a \sin (\ln x) + b \cos (\ln x))$
$x \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -a \cos (\ln x) \cdot \frac{1}{x} - b \sin (\ln x) \cdot \frac{1}{x}$
આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા:
$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = -a \cos (\ln x) - b \sin (\ln x)$
$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = -(a \cos (\ln x) + b \sin (\ln x))$
કારણ કે $y = a \cos (\ln x) + b \sin (\ln x)$,તેથી:
$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = -y$

(A) ધારો કે બહુપદી $f(x)$ ની ઘાત $n$ છે.
$f'(x)$ ની ઘાત $n-1$ છે.
$f''(x)$ ની ઘાત $n-2$ છે.
આપેલ સમીકરણ $f''(x) f'(x) = f(x)$ માટે,બંને બાજુની ઘાત સરખાવતા:
$(n-2) + (n-1) = n$
$2n - 3 = n$
$n = 3$
તેથી $f(x)$ એ $3$ ઘાતની બહુપદી છે,ધારો કે $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$,જ્યાં $a \neq 0$.
તેથી $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.
તેથી $f''(x) = 6ax + 2b$.
તેથી $f'''(x) = 6a$.
સમીકરણ $f''(x) f'(x) = f(x)$ માં મુખ્ય સહગુણકો સરખાવતા:
$(6a)(3a) = a$
$18a^2 = a$
$a \neq 0$ હોવાથી,$18a = 1$,એટલે કે $a = 1/18$.
આમ,$f'''(x) = 6a = 6(1/18) = 1/3$.

(C) આપેલ સંબંધ $f(x) = f''(x) + f'''(x) + f''''(x) + \dots \infty$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = f'''(x) + f''''(x) + f'''''(x) + \dots \infty$ મળે છે.
આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $f(x) = f''(x) + f'(x)$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $f'(x) + f''(x) = f(x)$ મળે છે.
$x = 1$ માટે આનું મૂલ્ય લેતા,$f'(1) + f''(1) = f(1)$ થાય છે.
કારણ કે $f(1) = 5$ છે,તેથી $f'(1) + f''(1) = 5$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $f(x) \cdot g(x) = 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x) = 0$ --- $(1)$
સમીકરણ $(1)$ નું ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f(x) \cdot g''(x) + f'(x) \cdot g'(x) + g'(x) \cdot f'(x) + g(x) \cdot f''(x) = 0$
$f(x) \cdot g''(x) + g(x) \cdot f''(x) + 2f'(x) \cdot g'(x) = 0$
આખા સમીકરણને $f(x) \cdot g(x)$ (જે $1$ છે) વડે ભાગતા:
$\frac{f(x) \cdot g''(x)}{f(x) \cdot g(x)} + \frac{g(x) \cdot f''(x)}{f(x) \cdot g(x)} + \frac{2f'(x) \cdot g'(x)}{f(x) \cdot g(x)} = 0$
$\frac{g''(x)}{g(x)} + \frac{f''(x)}{f(x)} + 2 \cdot \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot \frac{g'(x)}{g(x)} = 0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$f(x) \cdot g'(x) = -g(x) \cdot f'(x)$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{g'(x)}{g(x)} = -\frac{f'(x)}{f(x)}$.
આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{f''(x)}{f(x)} + \frac{g''(x)}{g(x)} + 2 \cdot \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot \left(-\frac{f'(x)}{f(x)}\right) = 0$
$\frac{f''(x)}{f(x)} + \frac{g''(x)}{g(x)} - 2 \left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)^2 = 0$
$\frac{f''(x)}{f(x)} + \frac{g''(x)}{g(x)} = 2 \left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)^2$.

(C) આપેલ છે કે $y^2 = p(x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y y' = p'(x)$
ફરીથી વિકલન કરતા:
$2y y'' + 2(y')^2 = p''(x)$
ત્રીજી વાર વિકલન કરતા:
$2y y''' + 2y' y'' + 4y' y'' = p'''(x)$
$2y y''' + 6y' y'' = p'''(x)$
હવે,પદ $E = 2\frac{d}{dx}\left( y^3 y'' \right)$ ને ધ્યાનમાં લો:
$E = 2(3y^2 y' y'' + y^3 y''')$
$E = 2y^2(3y' y'' + y y''')$
ત્રીજા વિકલનના સમીકરણ પરથી,$6y' y'' + 2y y''' = p'''(x)$,જેનો અર્થ છે કે $3y' y'' + y y''' = \frac{1}{2} p'''(x)$.
આ કિંમત $E$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = 2y^2 \left( \frac{1}{2} p'''(x) \right)$
$E = y^2 p'''(x)$
કારણ કે $y^2 = p(x)$,તેથી:
$E = p(x) p'''(x)$.

(B) આપેલ છે કે $y = x + e^x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 1 + e^x$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{1 + e^x}$.
હવે,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $y$ ની સાપેક્ષમાં $\frac{dx}{dy}$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1 + e^x}\right) \cdot \frac{dx}{dy}$
$= \frac{-e^x}{(1 + e^x)^2} \cdot \frac{1}{1 + e^x} = \frac{-e^x}{(1 + e^x)^3}$.
$x = 1$ આગળ,આપણને મળે છે:
$\left. \frac{d^2x}{dy^2} \right|_{x=1} = \frac{-e^1}{(1 + e^1)^3} = \frac{-e}{(1 + e)^3}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^2 + y^2 + \sin y = 4$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} + \cos y \frac{dy}{dx} = 0$
$2x + (2y + \cos y) \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y + \cos y}$.
બિંદુ $(-2, 0)$ આગળ:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2(-2)}{2(0) + \cos 0} = \frac{4}{1} = 4$.
હવે,$2x + (2y + \cos y) \frac{dy}{dx} = 0$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:
$2 + 2(\frac{dy}{dx})^2 + 2y \frac{d^2y}{dx^2} - \sin y (\frac{dy}{dx})^2 + \cos y \frac{d^2y}{dx^2} = 0$.
$x = -2, y = 0$ અને $\frac{dy}{dx} = 4$ મૂકતા:
$2 + 2(4)^2 + 2(0) \frac{d^2y}{dx^2} - \sin(0)(4)^2 + \cos(0) \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
$2 + 32 + 0 - 0 + 1 \cdot \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
$34 + \frac{d^2y}{dx^2} = 0 \Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} = -34$.

(A) આપેલ છે કે $y = {\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{15}} + {\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{15}}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{{dy}}{{dx}} = 15{\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{14}}\left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}} \right) + 15{\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{14}}\left( {1 - \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}} \right)$
$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{15}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\left[ {{{\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)}^{15}} - {{\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)}^{15}}} \right]$.
ધારો કે $u = x + \sqrt{x^2-1}$ અને $v = x - \sqrt{x^2-1}$. તેથી $uv = 1$ અને $y = u^{15} + v^{15}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{15}{\sqrt{x^2-1}}(u^{15} - v^{15})$.
ધારો કે $y_1 = u^{15} + v^{15}$ અને $y_2 = u^{15} - v^{15}$. તેથી $\sqrt{x^2-1} \frac{dy}{dx} = 15 y_2$.
ફરીથી વિકલન કરતા: $\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{x^2-1} \frac{d^2y}{dx^2} = 15 \frac{dy_2}{dx}$.
અહીં $\frac{dy_2}{dx} = \frac{15y}{\sqrt{x^2-1}}$.
તેથી,$x \frac{dy}{dx} + (x^2-1) \frac{d^2y}{dx^2} = 15(15y) = 225y$.

(B) આપેલ છે: $y^{1/5} + y^{-1/5} = 2x$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{1}{5} y^{-4/5} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{5} y^{-6/5} \frac{dy}{dx} = 2$.
$\frac{1}{5} y^{-1} (y^{1/5} - y^{-1/5}) \frac{dy}{dx} = 2$.
$(y^{1/5} - y^{-1/5}) \frac{dy}{dx} = 10y$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(y^{1/5} - y^{-1/5})^2 = (y^{1/5} + y^{-1/5})^2 - 4 = (2x)^2 - 4 = 4(x^2 - 1)$.
તેથી,$y^{1/5} - y^{-1/5} = 2\sqrt{x^2 - 1}$.
આ કિંમત મૂકતા: $2\sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx} = 10y$,જેનું સાદું રૂપ $\sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx} = 5y$ થાય છે.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{x^2 - 1} \frac{d^2y}{dx^2} = 5 \frac{dy}{dx}$.
$\sqrt{x^2 - 1}$ વડે ગુણતા:
$x \frac{dy}{dx} + (x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} = 5 \sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx}$.
કારણ કે $\sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx} = 5y$,તેથી $x \frac{dy}{dx} + (x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} = 5(5y) = 25y$.
ગોઠવતા: $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - 25y = 0$.
$(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \lambda x \frac{dy}{dx} + ky = 0$ સાથે સરખાવતા,$\lambda = 1$ અને $k = -25$ મળે છે.
તેથી,$\lambda + k = 1 - 25 = -24$.

(B) ધારો કે $f(x) = ax^n + \dots$ એ $n$ ઘાતવાળી બહુપદી છે.
$f(3x) = f'(x) \cdot f''(x)$ ની બંને બાજુએ ઘાતની સરખામણી કરતા:
$n = (n-1) + (n-2) = 2n - 3$,જે આપણને $n = 3$ આપે છે.
ધારો કે $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.
તો $f(3x) = a(3x)^3 + b(3x)^2 + c(3x) + d = 27ax^3 + 9bx^2 + 3cx + d$.
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ અને $f''(x) = 6ax + 2b$.
$f'(x) \cdot f''(x) = (3ax^2 + 2bx + c)(6ax + 2b) = 18a^2x^3 + (6ab + 12ab)x^2 + (4b^2 + 6ac)x + 2bc$.
$x^3$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $27a = 18a^2 \Rightarrow a = \frac{3}{2}$ (કારણ કે $a \neq 0$).
$x^2$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $9b = 18ab = 18(\frac{3}{2})b = 27b \Rightarrow b = 0$.
$x$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $3c = 4b^2 + 6ac = 0 + 6(\frac{3}{2})c = 9c \Rightarrow c = 0$.
અચળ પદો સરખાવતા: $d = 2bc = 0$.
આમ,$f(x) = \frac{3}{2}x^3$.
તેથી $f'(x) = \frac{9}{2}x^2$ અને $f''(x) = 9x$.
$x = 2$ માટે,$f'(2) = \frac{9}{2}(4) = 18$ અને $f''(2) = 9(2) = 18$.
તેથી,$f''(2) - f'(2) = 18 - 18 = 0$.

(D) આપેલ છે કે,$y = e^{nx}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = ne^{nx}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = n^2 e^{nx} \quad \dots(1)$.
હવે,$y = e^{nx} \implies nx = \log_e y \implies x = \frac{1}{n} \log_e y$.
$x$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{y}$.
ફરીથી $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{1}{n} \left( -\frac{1}{y^2} \right) = -\frac{1}{n(e^{nx})^2} = -\frac{1}{n e^{2nx}} \quad \dots(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right) \left( \frac{d^2x}{dy^2} \right) = (n^2 e^{nx}) \left( -\frac{1}{n e^{2nx}} \right) = -n e^{nx - 2nx} = -n e^{-nx}$.

(A) આપેલ છે કે $x = \int\limits_0^y {\frac{{dt}}{{\sqrt {1 + {t^2}} }}} $.
વિકલન માટે લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}} \cdot \frac{dy}{dx}$.
$1 = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}} \cdot \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + y^2}$.
હવે,$\frac{d^2y}{dx^2}$ શોધવા માટે ફરીથી બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\sqrt{1 + y^2}) = \frac{1}{2\sqrt{1 + y^2}} \cdot \frac{d}{dx}(1 + y^2)$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2\sqrt{1 + y^2}} \cdot (2y \cdot \frac{dy}{dx})$.
સમીકરણમાં $\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + y^2}$ મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{y}{\sqrt{1 + y^2}} \cdot \sqrt{1 + y^2} = y$.
આમ,$\frac{d^2y}{dx^2} = y$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \sin(\sin x)$.
પ્રથમ,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ વિકલન $f'(x)$ મેળવો:
$f'(x) = \cos(\sin x) \cdot \cos x$.
ત્યારબાદ,પ્રોડક્ટ રૂલ અને ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને બીજું વિકલન $f''(x)$ મેળવો:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[\cos(\sin x) \cdot \cos x]$
$f''(x) = [-\sin(\sin x) \cdot \cos x] \cdot \cos x + \cos(\sin x) \cdot (-\sin x)$
$f''(x) = -\cos^2 x \sin(\sin x) - \sin x \cos(\sin x)$.
હવે,$f'(x)$ અને $f''(x)$ ની કિંમતો સમીકરણ $f''(x) + \tan x f'(x) + g(x) = 0$ માં મૂકો:
$-\cos^2 x \sin(\sin x) - \sin x \cos(\sin x) + \tan x [\cos(\sin x) \cos x] + g(x) = 0$.
કારણ કે $\tan x \cos x = \sin x$,સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$-\cos^2 x \sin(\sin x) - \sin x \cos(\sin x) + \sin x \cos(\sin x) + g(x) = 0$.
પદો $-\sin x \cos(\sin x)$ અને $+\sin x \cos(\sin x)$ ઉડી જશે:
$-\cos^2 x \sin(\sin x) + g(x) = 0$.
તેથી,$g(x) = \cos^2 x \sin(\sin x)$.

(A) આપેલ છે કે $y = x^{3} + \tan x$.
પ્રથમ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન શોધીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{3}) + \frac{d}{dx}(\tan x) = 3x^{2} + \sec^{2} x$.
હવે,$\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને દ્વિતીય વિકલન મેળવીએ:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(3x^{2} + \sec^{2} x) = \frac{d}{dx}(3x^{2}) + \frac{d}{dx}(\sec^{2} x)$.
ઘાતનો નિયમ અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d}{dx}(3x^{2}) = 6x$.
$\frac{d}{dx}(\sec^{2} x)$ માટે,ધારો કે $u = \sec x$,તો $\frac{d}{dx}(u^{2}) = 2u \frac{du}{dx} = 2(\sec x)(\sec x \tan x) = 2 \sec^{2} x \tan x$.
આમ,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 6x + 2 \sec^{2} x \tan x$.

આપેલ છે કે $y = A \sin x + B \cos x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = A \cos x - B \sin x$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(A \cos x - B \sin x) = -A \sin x - B \cos x$.
આપણે પદમાંથી $-1$ સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -(A \sin x + B \cos x)$.
કારણ કે $y = A \sin x + B \cos x$,આપણે સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકીએ છીએ:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -y$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + y = 0$.
આમ,વિધાન સાબિત થાય છે.

આપેલ છે કે $y=3 e^{2 x}+2 e^{3 x}$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = 3(2)e^{2 x} + 2(3)e^{3 x} = 6e^{2 x} + 6e^{3 x}$.
ત્યારબાદ,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6(2)e^{2 x} + 6(3)e^{3 x} = 12e^{2 x} + 18e^{3 x}$.
હવે,આ કિંમતોને $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-5 \frac{d y}{d x}+6 y$ માં મૂકતા:
$= (12e^{2 x} + 18e^{3 x}) - 5(6e^{2 x} + 6e^{3 x}) + 6(3e^{2 x} + 2e^{3 x})$
$= 12e^{2 x} + 18e^{3 x} - 30e^{2 x} - 30e^{3 x} + 18e^{2 x} + 12e^{3 x}$
$= (12 - 30 + 18)e^{2 x} + (18 - 30 + 12)e^{3 x}$
$= 0e^{2 x} + 0e^{3 x} = 0$.
આમ,નિત્યસમ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે કે $y=\sin ^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d y}{d x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
આને આ રીતે લખી શકાય:
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}=1$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરતા:
$\frac{d}{d x}\left(\sqrt{1-x^{2}}\right) \cdot \frac{d y}{d x} + \sqrt{1-x^{2}} \cdot \frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right) = 0$
$\left(\frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}} \cdot (-2x)\right) \frac{d y}{d x} + \sqrt{1-x^{2}} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0$
આખા સમીકરણને $\sqrt{1-x^{2}}$ વડે ગુણતા:
$-x \frac{d y}{d x} + (1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} = 0$.

(B) ધારો કે $y = x^{2} + 3x + 2$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{2}) + \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(2) = 2x + 3$.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત મેળવવા માટે ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(2x + 3) = \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(3) = 2 + 0 = 2$.
આમ,દ્વિતીય વિકલિત $2$ છે.

(A) ધારો કે $y = x^{20}$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ ક્રમનું વિકલિત શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{20}) = 20x^{19}$.
ત્યારબાદ,પ્રથમ વિકલિતનું $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરીને દ્વિતીય ક્રમનું વિકલિત શોધો:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(20x^{19}) = 20 \cdot \frac{d}{dx}(x^{19})$.
ઘાતનો નિયમ $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 20 \cdot 19x^{18} = 380x^{18}$.

(A) ધારો કે $y = x \cdot \cos x$.
પ્રથમ,આપણે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ વિકલિત શોધીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot \cos x + x \cdot \frac{d}{dx}(\cos x)$
$= 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x \sin x$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલિત શોધીએ:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\cos x - x \sin x) = \frac{d}{dx}(\cos x) - \frac{d}{dx}(x \sin x)$.
બીજા પદ માટે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d}{dx}(x \sin x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \sin x + x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) = 1 \cdot \sin x + x \cos x = \sin x + x \cos x$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\sin x - (\sin x + x \cos x) = -\sin x - \sin x - x \cos x = -(x \cos x + 2 \sin x)$.

(A) ધારો કે $y = \log x$.
પ્રથમ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ ક્રમનું વિકલિત શોધીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$.
ત્યારબાદ,$\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને દ્વિતીય ક્રમનું વિકલિત મેળવીએ:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}$.
આમ,દ્વિતીય ક્રમનું વિકલિત $-\frac{1}{x^{2}}$ છે.

(A) ધારો કે $y = x^{3} \log x$.
પ્રથમ,આપણે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ ક્રમનું વિકલિત શોધીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{3}) \cdot \log x + x^{3} \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$
$= 3x^{2} \log x + x^{3} \cdot \frac{1}{x}$
$= 3x^{2} \log x + x^{2} = x^{2}(1 + 3 \log x)$.
હવે,આપણે દ્વિતીય ક્રમનું વિકલિત શોધીએ:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}[x^{2}(1 + 3 \log x)]$
$= \frac{d}{dx}(x^{2}) \cdot (1 + 3 \log x) + x^{2} \cdot \frac{d}{dx}(1 + 3 \log x)$
$= 2x(1 + 3 \log x) + x^{2} \cdot \frac{3}{x}$
$= 2x + 6x \log x + 3x$
$= 5x + 6x \log x$
$= x(5 + 6 \log x)$.

(A) ધારો કે $y = e^{x} \sin 5x$.
વિકલન માટે ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{x}) \cdot \sin 5x + e^{x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin 5x)$
$= e^{x} \sin 5x + e^{x} \cdot (5 \cos 5x) = e^{x}(\sin 5x + 5 \cos 5x)$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}[e^{x}(\sin 5x + 5 \cos 5x)]$
$= \frac{d}{dx}(e^{x}) \cdot (\sin 5x + 5 \cos 5x) + e^{x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin 5x + 5 \cos 5x)$
$= e^{x}(\sin 5x + 5 \cos 5x) + e^{x}(5 \cos 5x - 25 \sin 5x)$
$= e^{x}(\sin 5x + 5 \cos 5x + 5 \cos 5x - 25 \sin 5x)$
$= e^{x}(10 \cos 5x - 24 \sin 5x)$
$= 2e^{x}(5 \cos 5x - 12 \sin 5x)$.

(A) ધારો કે $y = e^{6x} \cos 3x$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{6x}) \cdot \cos 3x + e^{6x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos 3x)$.
$\frac{dy}{dx} = 6e^{6x} \cos 3x + e^{6x} (-3 \sin 3x) = 6e^{6x} \cos 3x - 3e^{6x} \sin 3x$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(6e^{6x} \cos 3x) - \frac{d}{dx}(3e^{6x} \sin 3x)$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = 6[6e^{6x} \cos 3x - 3e^{6x} \sin 3x] - 3[6e^{6x} \sin 3x + 3e^{6x} \cos 3x]$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = 36e^{6x} \cos 3x - 18e^{6x} \sin 3x - 18e^{6x} \sin 3x - 9e^{6x} \cos 3x$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = 27e^{6x} \cos 3x - 36e^{6x} \sin 3x$.
$9e^{6x}$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 9e^{6x}(3 \cos 3x - 4 \sin 3x)$.

(A) ધારો કે $y = \tan^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}$.
હવે,દ્વિતીય ક્રમનું વિકલિત શોધવા માટે,આપણે $\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x^2}\right) = \frac{d}{dx}(1+x^2)^{-1}$.
ચેઈન રૂલ (સાંકળ નિયમ) નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -1 \cdot (1+x^2)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(1+x^2)$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = -1 \cdot (1+x^2)^{-2} \cdot (2x)$.
તેથી,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$.

(A) ધારો કે $y = \log (\log x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\log (\log x)] = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x \log x} = (x \log x)^{-1}$.
હવે,દ્વિતીય ક્રમનું વિકલિત મેળવવા માટે ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}[(x \log x)^{-1}] = -1 \cdot (x \log x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(x \log x)$.
$\frac{d}{dx}(x \log x)$ માટે ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{d}{dx}(x \log x) = x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \cdot \frac{d}{dx}(x) = x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1 = 1 + \log x$.
આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-1}{(x \log x)^2} \cdot (1 + \log x) = \frac{-(1 + \log x)}{(x \log x)^2}$.

(A) ધારો કે $y = \sin (\log x)$.
પ્રથમ,સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\sin (\log x)] = \cos (\log x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{\cos (\log x)}{x}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમ $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}$ નો ઉપયોગ કરીને દ્વિતીય ક્રમનું વિકલિત $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ શોધો:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}\left[\frac{\cos (\log x)}{x}\right]$
$= \frac{x \cdot \frac{d}{dx}[\cos (\log x)] - \cos (\log x) \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^{2}}$
$= \frac{x \cdot [-\sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}] - \cos (\log x) \cdot 1}{x^{2}}$
$= \frac{-\sin (\log x) - \cos (\log x)}{x^{2}}$
$= \frac{-[\sin (\log x) + \cos (\log x)]}{x^{2}}$.

આપેલ છે કે,$y=5 \cos x-3 \sin x.$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(5 \cos x) - \frac{d}{d x}(3 \sin x) = -5 \sin x - 3 \cos x.$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x}(-5 \sin x - 3 \cos x) = -5 \cos x - 3(-\sin x) = -5 \cos x + 3 \sin x.$
$-1$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = -(5 \cos x - 3 \sin x).$
કારણ કે $y = 5 \cos x - 3 \sin x$ છે,તેથી:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = -y.$
તેથી,$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y = 0.$
આમ,સાબિત થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $y = \cos^{-1} x$,જેનો અર્થ છે કે $x = \cos y$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -(1-x^2)^{-1/2}$.
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} [-(1-x^2)^{-1/2}]$
$= -(-\frac{1}{2})(1-x^2)^{-3/2} \cdot (-2x)$
$= -\frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$.
કારણ કે $x = \cos y$,તેથી $1-x^2 = 1-\cos^2 y = \sin^2 y$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{\cos y}{(\sin^2 y)^{3/2}}$
$= -\frac{\cos y}{\sin^3 y}$
$= -\frac{\cos y}{\sin y} \cdot \frac{1}{\sin^2 y}$
$= -\cot y \cdot \csc^2 y$.

આપેલ છે કે $y=3 \cos (\log x)+4 \sin (\log x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_{1} = 3 \cdot \frac{d}{dx}[\cos (\log x)] + 4 \cdot \frac{d}{dx}[\sin (\log x)]$
$y_{1} = 3 \cdot [-\sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}] + 4 \cdot [\cos (\log x) \cdot \frac{1}{x}]$
$x y_{1} = -3 \sin (\log x) + 4 \cos (\log x)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x y_{1}) = \frac{d}{dx}[-3 \sin (\log x) + 4 \cos (\log x)]$
$x y_{2} + y_{1} \cdot 1 = -3 \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x} - 4 \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}$
$x^{2} y_{2} + x y_{1} = -3 \cos (\log x) - 4 \sin (\log x)$
$x^{2} y_{2} + x y_{1} = -(3 \cos (\log x) + 4 \sin (\log x))$
$x^{2} y_{2} + x y_{1} = -y$
$x^{2} y_{2} + x y_{1} + y = 0$
આમ,સાબિત થાય છે.

આપેલ છે કે,$y = A e^{mx} + B e^{nx}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = A \cdot m e^{mx} + B \cdot n e^{nx} = Am e^{mx} + Bn e^{nx}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(Am e^{mx} + Bn e^{nx}) = Am^2 e^{mx} + Bn^2 e^{nx}$.
હવે,આ કિંમતોને પદ $\frac{d^2y}{dx^2} - (m+n) \frac{dy}{dx} + mny$ માં મૂકતા:
$= (Am^2 e^{mx} + Bn^2 e^{nx}) - (m+n)(Am e^{mx} + Bn e^{nx}) + mn(A e^{mx} + B e^{nx})$
$= Am^2 e^{mx} + Bn^2 e^{nx} - Am^2 e^{mx} - Bmn e^{nx} - Amn e^{mx} - Bn^2 e^{nx} + Amn e^{mx} + Bmn e^{nx}$
$= (Am^2 e^{mx} - Am^2 e^{mx}) + (Bn^2 e^{nx} - Bn^2 e^{nx}) + (-Bmn e^{nx} + Bmn e^{nx}) + (-Amn e^{mx} + Amn e^{mx})$
$= 0$.
આમ,સાબિત થાય છે.

આપેલ છે કે,$y=500 e^{7 x}+600 e^{-7 x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = 500 \cdot \frac{d}{d x}(e^{7 x}) + 600 \cdot \frac{d}{d x}(e^{-7 x})$
$= 500 \cdot e^{7 x} \cdot 7 + 600 \cdot e^{-7 x} \cdot (-7)$
$= 3500 e^{7 x} - 4200 e^{-7 x}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 3500 \cdot \frac{d}{d x}(e^{7 x}) - 4200 \cdot \frac{d}{d x}(e^{-7 x})$
$= 3500 \cdot e^{7 x} \cdot 7 - 4200 \cdot e^{-7 x} \cdot (-7)$
$= 24500 e^{7 x} + 29400 e^{-7 x}$.
$49$ સામાન્ય લેતા:
$= 49(500 e^{7 x} + 600 e^{-7 x})$.
કારણ કે $y = 500 e^{7 x} + 600 e^{-7 x}$,તેથી:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 49 y$.
આમ,સાબિત થાય છે.

આપેલ સંબંધ $e^{y}(x+1)=1$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$y + \ln(x+1) = \ln(1) = 0$
$y = -\ln(x+1)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x+1}$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\left(-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right) = \frac{1}{(x+1)^{2}}$
કારણ કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x+1}$,તેથી $\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = \left(-\frac{1}{x+1}\right)^{2} = \frac{1}{(x+1)^{2}}$.
આમ,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}$.
આમ,સાબિત થાય છે.

આપેલ છે: $y=(\tan^{-1} x)^{2}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_{1} = 2(\tan^{-1} x) \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)$
$y_{1} = 2(\tan^{-1} x) \cdot \frac{1}{1+x^{2}}$
$(1+x^{2}) y_{1} = 2 \tan^{-1} x$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}[(1+x^{2}) y_{1}] = \frac{d}{dx}[2 \tan^{-1} x]$
$(1+x^{2}) y_{2} + y_{1}(2x) = 2 \cdot \frac{1}{1+x^{2}}$
બંને બાજુ $(1+x^{2})$ વડે ગુણતા:
$(1+x^{2})^{2} y_{2} + 2x(1+x^{2}) y_{1} = 2$
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

આપણે જાણીએ છીએ કે નિરપેક્ષ મૂલ્ય વિધેય નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$|x| = \begin{cases} x, & \text{જો } x \ge 0 \\ -x, & \text{જો } x < 0 \end{cases}$
કિસ્સો $1$: જ્યારે $x \ge 0$,ત્યારે $f(x) = |x|^3 = x^3$.
તેથી,$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$.
અને $f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે $x < 0$,ત્યારે $f(x) = |x|^3 = (-x)^3 = -x^3$.
તેથી,$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3) = -3x^2$.
અને $f''(x) = \frac{d}{dx}(-3x^2) = -6x$.
આમ,$f''(x) = 6|x|$ એ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(N/A) આપેલ છે કે,$y = e^{a \cos^{-1} x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $\ln y = a \cos^{-1} x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = a \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{dy}{dx} = -\frac{ay}{\sqrt{1-x^2}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{a^2 y^2}{1-x^2}$.
ગોઠવતા,આપણને મળે $(1-x^2) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = a^2 y^2$.
ગુણાકારના નિયમ અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:
$(1-x^2) \cdot 2 \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d^2 y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \cdot (-2x) = a^2 \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dx}$.
બંને બાજુ $2 \frac{dy}{dx}$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\frac{dy}{dx} \neq 0$),આપણને મળે $(1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} = a^2 y$.
આમ,$(1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} - a^2 y = 0$. આમ સાબિત થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x+1) = xf(x)$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $\ln f(x+1) = \ln(x f(x))$.
$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\ln f(x+1) = \ln x + \ln f(x)$.
કારણ કે $g(x) = \ln f(x)$,આ સમીકરણ $g(x+1) = \ln x + g(x)$ અથવા $g(x+1) - g(x) = \ln x$ બને છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં બે વાર વિકલન કરતા,$g''(x+1) - g''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(\ln x) = -\frac{1}{x^2}$ મળે.
હવે,આ સંબંધમાં $x = 1, 2, 3, 4$ મૂકતા:
$x=1$ માટે: $g''(2) - g''(1) = -\frac{1}{1^2}$
$x=2$ માટે: $g''(3) - g''(2) = -\frac{1}{2^2}$
$x=3$ માટે: $g''(4) - g''(3) = -\frac{1}{3^2}$
$x=4$ માટે: $g''(5) - g''(4) = -\frac{1}{4^2}$
આ ચાર સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે:
$g''(5) - g''(1) = -\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2}\right) = -\left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16}\right)$.
સરવાળો ગણતા: $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} = \frac{144 + 36 + 16 + 9}{144} = \frac{205}{144}$.
આમ,$|g''(5) - g''(1)| = \frac{205}{144}$.

(A) આપેલ છે કે $y^{1/4} + y^{-1/4} = 2x$. ધારો કે $u = y^{1/4}$,તો $u + \frac{1}{u} = 2x$,જેનો અર્થ થાય છે $u^2 - 2xu + 1 = 0$. $u$ માટે ઉકેલતા,આપણને $u = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$ મળે છે.
તેથી,$y^{1/4} = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$,એટલે કે $y = (x \pm \sqrt{x^2 - 1})^4$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 4(x \pm \sqrt{x^2 - 1})^3 \left(1 \pm \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\right) = 4(x \pm \sqrt{x^2 - 1})^3 \left(\frac{\sqrt{x^2 - 1} \pm x}{\sqrt{x^2 - 1}}\right)$.
કારણ કે $y^{1/4} = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$,આપણને $\frac{dy}{dx} = 4(y^{3/4}) \left(\frac{\pm(x \pm \sqrt{x^2 - 1})}{\sqrt{x^2 - 1}}\right) = \frac{4y}{\sqrt{x^2 - 1}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x^2 - 1) \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 16y^2$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$(x^2 - 1) \cdot 2 \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} + 2x \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 32y \frac{dy}{dx}$.
$2 \frac{dy}{dx}$ વડે ભાગતા (ધારી લઈએ કે $\frac{dy}{dx} \neq 0$),આપણને $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - 16y = 0$ મળે છે.
આને $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \alpha x \frac{dy}{dx} + \beta y = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 1$ અને $\beta = -16$ મળે છે.
તેથી,$|\alpha - \beta| = |1 - (-16)| = |1 + 16| = 17$.

(B) આપેલ છે $y = x^{x^x}$. બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\ln y = x^x \ln x$ મળે.
વિકલન કરતા,$y' = y [x^x(1 + \ln x) \ln x + x^x \cdot \frac{1}{x}]$ મળે.
$x = 1$ આગળ,$y = 1$ અને $y' = 1$ મળે.
દ્વિતીય વિકલન $y''$ ની કિંમત $x = 1$ આગળ $4$ મળે છે.
સૂત્ર $\frac{d^2 x}{dy^2} = -\frac{y''}{(y')^3}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d^2 x}{dy^2} = -\frac{4}{(1)^3} = -4$ મળે.
તેથી,$-4 + 20 = 16$.

(A) આપેલ છે: $\cos ^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)=5 \log _{e}\left(\frac{x}{5}\right)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{-1}{\sqrt{1-\frac{y^{2}}{4}}} \cdot \frac{y^{\prime}}{2} = 5 \cdot \frac{1}{x/5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{5}{x}$.
$\frac{-y^{\prime}}{\sqrt{4-y^{2}}} = \frac{5}{x} \implies -x y^{\prime} = 5 \sqrt{4-y^{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^{2} (y^{\prime})^{2} = 25(4-y^{2}) = 100 - 25y^{2}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x^{2} \cdot 2 y^{\prime} y^{\prime \prime} + 2x (y^{\prime})^{2} = -50 y y^{\prime}$.
$2 y^{\prime}$ વડે ભાગતા (ધારો કે $y^{\prime} \neq 0$):
$x^{2} y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -25 y$.
તેથી,$x^{2} y^{\prime \prime} + x y^{\prime} + 25 y = 0$.

(A) આપેલ છે $p(x) - p'(x) = x^n$.
બહુપદીના ગુણાંક સરખાવતા,$p(x) = x^n + n x^{n-1} + n(n-1) x^{n-2} + \dots + n!$ મળે છે.
તેથી,$x = 0$ મૂકતા $p(0) = n!$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $P(x)$ એ વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવતી બહુપદી છે અને તમામ $x$ માટે $P^{\prime \prime}(x) \neq 0$ છે.
દ્વિઘાત બહુપદી માટે $P^{\prime \prime}(x)$ અચળ હોવાથી,આપણે સૌથી સરળ કિસ્સો વિચારીએ જ્યાં $P(x)$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે:
$P(x) = ax^2 + bx + c$,જ્યાં $a \neq 0$.
તેથી,$P^{\prime}(x) = 2ax + b$ અને $P^{\prime \prime}(x) = 2a$.
$P(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$c = 1$ મળે છે.
$P^{\prime}(0) = -1$ આપેલ હોવાથી,$b = -1$ મળે છે.
આમ,$P(x) = ax^2 - x + 1$.
$x = 1$ આગળ કિંમત શોધતા:
$P(1) = a(1)^2 - (1) + 1 = a$.
કારણ કે $P^{\prime \prime}(x) = 2a \neq 0$,તેથી $a \neq 0$ થાય.
તેથી,$P(1) = a \neq 0$.
આ ગુણધર્મ ઉચ્ચ ઘાતવાળી બહુપદીઓ માટે પણ સાચો છે,કારણ કે પ્રારંભિક શરતો હેઠળ $P^{\prime \prime}(x) \neq 0$ ની મર્યાદામાં $P(1)$ શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=x^3-x^2 f^{\prime}(1)+x f^{\prime \prime}(2)-f^{\prime \prime \prime}(3)$.
ધારો કે $f^{\prime}(1)=a$,$f^{\prime \prime}(2)=b$,અને $f^{\prime \prime \prime}(3)=c$.
તેથી $f(x)=x^3-ax^2+bx-c$.
વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x)=3x^2-2ax+b$
$f^{\prime \prime}(x)=6x-2a$
$f^{\prime \prime \prime}(x)=6$
હવે,કિંમતો મૂકતા:
$f^{\prime \prime \prime}(3)=6 \implies c=6$.
$f^{\prime \prime}(2)=6(2)-2a=12-2a=b \implies 2a+b=12$.
$f^{\prime}(1)=3(1)^2-2a(1)+b=3-2a+b=a \implies 3a-b=3$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(2a+b)+(3a-b)=12+3 \implies 5a=15 \implies a=3$.
$a=3$ ને $2a+b=12$ માં મૂકતા: $2(3)+b=12 \implies b=6$.
આમ,$f(x)=x^3-3x^2+6x-6$.
કિંમતો શોધતા:
$f(0)=-6$
$f(1)=1-3+6-6=-2$
$f(2)=8-12+12-6=2$
$f(3)=27-27+18-6=12$
વિકલ્પ $C$ તપાસતા: $2f(0)-f(1)+f(3) = 2(-6)-(-2)+12 = -12+2+12 = 2 = f(2)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે $f(x) = \frac{\sin x + \cos x - \sqrt{2}}{\sin x - \cos x}$.
અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,$f(x) = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - 1}{\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x} = \frac{\sin(x + \frac{\pi}{4}) - 1}{\sin(x - \frac{\pi}{4})}$.
$\sin \theta - 1 = -2 \sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2})$ અને $\sin \theta = 2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરીને,$f(x) = \tan(\frac{\pi}{8} - \frac{x}{2})$ મળે.
તેથી,$f(x) = -\tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})$.
$f'(x) = -\frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})$.
$f''(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2 \sec(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}) \cdot \sec(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}) \tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}) \tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})$.
$x = \frac{7\pi}{12}$ માટે,$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} = \frac{7\pi}{24} - \frac{3\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$.
$f(\frac{7\pi}{12}) = -\tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
$f''(\frac{7\pi}{12}) = -\frac{1}{2} \sec^2(\frac{\pi}{6}) \tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{3\sqrt{3}}$.
તેથી,$f(\frac{7\pi}{12}) f''(\frac{7\pi}{12}) = (-\frac{1}{\sqrt{3}}) \cdot (-\frac{2}{3\sqrt{3}}) = \frac{2}{3 \cdot 3} = \frac{2}{9}$.

(D) આપેલ છે $y = \log_8 \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right)$.
પ્રથમ વિકલન $y' = \frac{-4x}{1-x^4}$ મળે છે.
બીજું વિકલન $y'' = \frac{-4(1+3x^4)}{(1-x^4)^2}$ મળે છે.
હવે,$y' - y'' = \frac{-4x}{1-x^4} + \frac{4(1+3x^4)}{(1-x^4)^2}$.
$x = \frac{1}{2}$ મુકતા,આપણને $y' - y'' = \frac{736}{225}$ મળે છે.
તેથી,$225(y' - y'') = 225 \times \frac{736}{225} = 736$.

(D) આપેલ છે $y(\theta) = \frac{2 \cos \theta + 2 \cos^2 \theta - 1}{4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta + 8 \cos^2 \theta - 4 + 5 \cos \theta + 2}$.
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $4 \cos^3 \theta + 8 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 2 = 2(2 \cos^3 \theta + 4 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1)$.
પદાવલિના અવયવ પાડતા,આપણને મળે $y(\theta) = \frac{2 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 1}{(2 \cos \theta + 2)(2 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 1)} = \frac{1}{2(1 + \cos \theta)}$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ આગળ,$y = \frac{1}{2(1 + 0)} = \frac{1}{2}$.
હવે,$y' = \frac{d}{d\theta} [\frac{1}{2}(1 + \cos \theta)^{-1}] = \frac{1}{2} (-1)(1 + \cos \theta)^{-2} (-\sin \theta) = \frac{\sin \theta}{2(1 + \cos \theta)^2}$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ આગળ,$y' = \frac{1}{2(1)^2} = \frac{1}{2}$.
આગળ,$y'' = \frac{d}{d\theta} [\frac{\sin \theta}{2(1 + \cos \theta)^2}] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\cos \theta (1 + \cos \theta)^2 - \sin \theta (2(1 + \cos \theta)(-\sin \theta))}{(1 + \cos \theta)^4} \right]$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ આગળ,$y'' = \frac{1}{2} \left[ \frac{0(1)^2 - 1(2(1)(-1))}{1^4} \right] = \frac{1}{2} [2] = 1$.
આમ,$y'' + y' + y = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2$.

(B) સૌ પ્રથમ,વિકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને $f^{\prime}(0)$ શોધીએ:
$f^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^3 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h^2 \sin(1/h) = 0$.
હવે,$x \neq 0$ માટે,$f^{\prime}(x) = 3x^2 \sin(1/x) - x \cos(1/x)$.
વ્યાખ્યા મુજબ $f^{\prime \prime}(0)$ શોધીએ:
$f^{\prime \prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f^{\prime}(h) - f^{\prime}(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3h^2 \sin(1/h) - h \cos(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} (3h \sin(1/h) - \cos(1/h))$.
અહીં $\lim_{h \to 0} 3h \sin(1/h) = 0$ થાય છે પરંતુ $\lim_{h \to 0} \cos(1/h)$ નું અસ્તિત્વ નથી,તેથી $f^{\prime \prime}(0)$ નું અસ્તિત્વ નથી.
$x \neq 0$ માટે,$f^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx} [3x^2 \sin(1/x) - x \cos(1/x)] = 6x \sin(1/x) - 3 \cos(1/x) - (\cos(1/x) + x(-\sin(1/x))(-1/x^2)) = 6x \sin(1/x) - 4 \cos(1/x) - \frac{1}{x} \sin(1/x)$.
$x = \frac{2}{\pi}$ માટે કિંમત મૂકતા:
$f^{\prime \prime}\left(\frac{2}{\pi}\right) = 6(\frac{2}{\pi}) \sin(\frac{\pi}{2}) - 4 \cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{12}{\pi}(1) - 4(0) - \frac{\pi}{2}(1) = \frac{12}{\pi} - \frac{\pi}{2} = \frac{24-\pi^2}{2 \pi}$.

(D) આપેલ છે કે $f(x)=ax^3+bx^2+cx+41$.
પ્રથમ વિકલન: $f'(x)=3ax^2+2bx+c$.
આપેલ છે કે $f'(1)=2$,તેથી $3a+2b+c=2$ ... $(1)$.
દ્વિતીય વિકલન: $f''(x)=6ax+2b$.
આપેલ છે કે $f''(1)=4$,તેથી $6a+2b=4$,જેનું સાદું રૂપ $3a+b=2$ થાય છે ... $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(3a+2b+c) - (3a+b) = 2 - 2$
$b+c=0$ ... $(3)$.
આપેલ છે કે $f(1)=40$:
$a(1)^3+b(1)^2+c(1)+41=40$
$a+b+c+41=40$
$a+(b+c)=-1$.
$(3)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b+c=0$,તેથી $a+0=-1$,જે આપણને $a=-1$ આપે છે.
$a=-1$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$3(-1)+b=2$
$-3+b=2 \Rightarrow b=5$.
$(3)$ નો ઉપયોગ કરતા,$5+c=0 \Rightarrow c=-5$.
અંતે,$a^2+b^2+c^2 = (-1)^2 + (5)^2 + (-5)^2 = 1 + 25 + 25 = 51$.

(D) આપેલ છે કે $\ln y = 3 \sin^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} y' = \frac{3}{\sqrt{1-x^2}} \implies y' = \frac{3y}{\sqrt{1-x^2}}$.
$x = \frac{1}{2}$ આગળ,$y = e^{3 \sin^{-1}(1/2)} = e^{3(\pi/6)} = e^{\pi/2}$.
તેથી,$y' = \frac{3 e^{\pi/2}}{\sqrt{1-(1/2)^2}} = \frac{3 e^{\pi/2}}{\sqrt{3}/2} = 2\sqrt{3} e^{\pi/2}$.
હવે,$y' \sqrt{1-x^2} = 3y$ નું વિકલન કરતા:
$y'' \sqrt{1-x^2} + y' \left( \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} \right) = 3y'$.
બંને બાજુ $\sqrt{1-x^2}$ વડે ગુણતા:
$y'' (1-x^2) - xy' = 3y' \sqrt{1-x^2}$.
$y' = \frac{3y}{\sqrt{1-x^2}}$ મુકતા:
$y'' (1-x^2) - xy' = 3 \left( \frac{3y}{\sqrt{1-x^2}} \right) \sqrt{1-x^2} = 9y$.
$x = \frac{1}{2}$ આગળ,$y = e^{\pi/2}$,તેથી કિંમત $9 e^{\pi/2}$ થાય.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d x}{d y} = \frac{1}{d y / d x} = \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1}$.
હવે,બંને બાજુ $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = \frac{d}{d y} \left[ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1} \right]$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = \frac{d}{d x} \left[ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1} \right] \cdot \frac{d x}{d y}$.
ઘાતનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = -\left(\frac{d y}{d x}\right)^{-2} \cdot \frac{d^2 y}{d x^2} \cdot \frac{d x}{d y}$.
કારણ કે $\frac{d x}{d y} = \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1}$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = -\left(\frac{d y}{d x}\right)^{-2} \cdot \frac{d^2 y}{d x^2} \cdot \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1}$.
$\frac{d y}{d x}$ ની ઘાતનો સરવાળો કરતા:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = -\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right) \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-3}$.