ધારો કે g(x) = log(f(x)) જ્યાં f(x) એ (0, inf | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $g(x) = \log(f(x))$ અને $f(x+1) = x f(x)$.બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log(f(x+1)) = \log(x) + \log(f(x))$.આનો અર્થ એ થાય કે $g(x+1) = g(x)

Vedclass · Accepted Answer

$-4\left\{1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\ldots+\frac{1}{(2N-1)^2}\right\}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $g(x) = \log(f(x))$ અને $f(x+1) = x f(x)$.બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log(f(x+1)) = \log(x) + \log(f(x))$.આનો અર્થ એ થાય કે $g(x+1) = g(x) + \log(x)$,અથવા $g(x+1) - g(x) = \log(x)$.$x$ ની સાપેક્ષમાં બે વાર વિકલન કરતા,આપણને $g^{\prime \prime}(x+1) - g^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^2}$ મળે છે.આપણે $g^{\prime \prime}\left(N+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right)$ શોધવા માંગીએ છીએ.આને આપણે ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળા તરીકે લખી શકીએ:$g^{\prime \prime}\left(N+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right) = \sum_{k=1}^{N} \left[ g^{\prime \prime}\left(k+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(k-\frac{1}{2}\right) \right]$.સંબંધ $g^{\prime \prime}(x+1) - g^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^2}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x = k - \frac{1}{2}$ મૂકીએ:$g^{\prime \prime}\left(k+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(k-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{(k-\frac{1}{2})^2} = -\frac{1}{(\frac{2k-1}{2})^2} = -\frac{4}{(2k-1)^2}$.$k=1$ થી $N$ સુધીનો સરવાળો કરતા:$\sum_{k=1}^{N} -\frac{4}{(2k-1)^2} = -4 \left[ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \ldots + \frac{1}{(2N-1)^2} \right]$.આનું સાદું રૂપ $-4 \left\{ 1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \ldots + \frac{1}{(2N-1)^2} \right\}$ થાય છે.

Similar Questions

જો $x = \sqrt{e^{\sin^{-1} t}}$ અને $y = \sqrt{e^{\cos^{-1} t}}$ હોય,તો $\frac{d^2 y}{dx^2}$ શું થાય?

જો $f$ એક બહુપદી હોય,તો $f(e^x)$ નું દ્વિતીય વિકલિત શું થાય?

જો $y = \cos^{2} \frac{3x}{2} - \sin^{2} \frac{3x}{2}$ હોય,તો $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ શું થાય?

વિધેય $y = \tan^{-1} x$ માટે,$(1 + x^2) y_2$ ની કિંમત . . . . . . છે.

જો $ y = (\tan^{-1} x)^2 $ હોય,તો $ (x^2 + 1)^2 y_2 + 2x(x^2 + 1) y_1 $ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module