Expansion of determinants, Solution of equation in the form of determinants and area of triangle and Equation of Line Questions in Gujarati

(C) નોંધો કે ત્રીજા સ્તંભમાં,બે ઘટકો શૂન્ય છે. તેથી,ત્રીજા સ્તંભ $(C_3)$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = 4 \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix}$
$\Delta = 4((-1)(1) - (3)(4)) - 0 + 0$
$\Delta = 4(-1 - 12)$
$\Delta = 4(-13)$
$\Delta = -52$

(D) નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર $(R_1)$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 0 \begin{vmatrix} 0 & \sin \beta \\ -\sin \beta & 0 \end{vmatrix} - \sin \alpha \begin{vmatrix} -\sin \alpha & \sin \beta \\ \cos \alpha & 0 \end{vmatrix} + (-\cos \alpha) \begin{vmatrix} -\sin \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sin \beta \end{vmatrix}$
$= 0 - \sin \alpha (0 - \sin \beta \cos \alpha) - \cos \alpha (\sin \alpha \sin \beta - 0)$
$= \sin \alpha \sin \beta \cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha \sin \beta$
$= 0$

(A) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ll}3 & x \\ x & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 4 & 1\end{array}\right|$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$(3)(1) - (x)(x) = (3)(1) - (2)(4)$
$3 - x^2 = 3 - 8$
$3 - x^2 = -5$
$-x^2 = -5 - 3$
$-x^2 = -8$
$x^2 = 8$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x = \pm \sqrt{8} = \pm 2 \sqrt{2}$

(B) $2 \times 2$ શ્રેણિક $\left|\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right|$ ના નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $ad - bc$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{cc}2 & 4 \\ -5 & -1\end{array}\right|$ માટે,આપણે $a=2, b=4, c=-5, d=-1$ તરીકે ઓળખીએ છીએ.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= (2 \times -1) - (4 \times -5)$
$= -2 - (-20)$
$= -2 + 20$
$= 18$.

(C) નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ll}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $2 \times 2$ નિશ્ચાયક માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right| = ad - bc$.
આપેલ નિશ્ચાયક પર આ લાગુ પાડતા:
$= (\cos \theta)(\cos \theta) - (-\sin \theta)(\sin \theta)$
$= \cos^2 \theta - (-\sin^2 \theta)$
$= \cos^2 \theta + \sin^2 \theta$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= 1$

(D) નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{cc}x^{2}-x+1 & x-1 \\ x+1 & x+1\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $2 \times 2$ નિશ્ચાયકના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\left|\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right| = ad - bc$.
આપેલ નિશ્ચાયક પર આ લાગુ પાડતા:
$= (x^{2}-x+1)(x+1) - (x-1)(x+1)$
પ્રથમ પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^{2}-x+1)(x+1) = x^{3} + x^{2} - x^{2} - x + x + 1 = x^{3} + 1$
બીજા પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x-1)(x+1) = x^{2} - 1$
બંને પરિણામોની બાદબાકી કરતા:
$= (x^{3} + 1) - (x^{2} - 1)$
$= x^{3} + 1 - x^{2} + 1$
$= x^{3} - x^{2} + 2$

(A) આપેલ શ્રેણિક $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right]$ છે.
અહીં જોઈ શકાય છે કે પ્રથમ સ્તંભમાં બે ઘટકો શૂન્ય છે. તેથી,સરળ ગણતરી માટે આપણે પ્રથમ સ્તંભ $(C_1)$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરીશું.
$|A|=1\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 4\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 4\end{array}\right|+0\left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right|=1(4-0)-0+0=4$.
$\therefore 27|A|=27(4)=108 \dots (i)$.
હવે,$3A = 3\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 12\end{array}\right]$.
$\therefore |3A| = 3\left|\begin{array}{ll}3 & 6 \\ 0 & 12\end{array}\right| - 0\left|\begin{array}{ll}0 & 6 \\ 0 & 12\end{array}\right| + 0\left|\begin{array}{ll}0 & 3 \\ 0 & 0\end{array}\right| = 3(36 - 0) = 108 \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને મળે છે કે $|3A| = 27|A|$.
આમ,આપેલ પરિણામ સાબિત થાય છે.

(C) ધારો કે $A = \left|\begin{array}{rrr}3 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 3 & -5 & 0\end{array}\right|$.
અહીં જોઈ શકાય છે કે બીજી હારમાં બે ઘટકો શૂન્ય છે. તેથી,સરળ ગણતરી માટે આપણે બીજી હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરીશું.
બીજી હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ નીચે મુજબ છે:
$|A| = -a_{21} M_{21} + a_{22} M_{22} - a_{23} M_{23}$
$|A| = -0 \left|\begin{array}{cc}-1 & -2 \\ -5 & 0\end{array}\right| + 0 \left|\begin{array}{cc}3 & -2 \\ 3 & 0\end{array}\right| - (-1) \left|\begin{array}{cc}3 & -1 \\ 3 & -5\end{array}\right|$
$|A| = 0 + 0 + 1 \times ((3 \times -5) - (-1 \times 3))$
$|A| = 1 \times (-15 - (-3))$
$|A| = 1 \times (-15 + 3)$
$|A| = -12$

(D) ધારો કે $A = \left|\begin{array}{ccc} 3 & -4 & 5 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right|$.
પ્રથમ હાર $(R_1)$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 3 \left|\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{array}\right| - (-4) \left|\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{array}\right| + 5 \left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array}\right|$
$2 \times 2$ નિશ્ચાયકોની ગણતરી કરતા:
$|A| = 3(1(1) - (-2)(3)) + 4(1(1) - (-2)(2)) + 5(1(3) - 1(2))$
$|A| = 3(1 + 6) + 4(1 + 4) + 5(3 - 2)$
$|A| = 3(7) + 4(5) + 5(1)$
$|A| = 21 + 20 + 5 = 46$

(A) ધારો કે $A = \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0\end{array}\right|$.
પ્રથમ હારના સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 0 \cdot \left|\begin{array}{cc}0 & -3 \\ 3 & 0\end{array}\right| - 1 \cdot \left|\begin{array}{cc}-1 & -3 \\ -2 & 0\end{array}\right| + 2 \cdot \left|\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ -2 & 3\end{array}\right|$
$2 \times 2$ નિશ્ચાયકોની ગણતરી કરતા:
$|A| = 0(0 - (-9)) - 1(0 - 6) + 2(-3 - 0)$
$|A| = 0(9) - 1(-6) + 2(-3)$
$|A| = 0 + 6 - 6$
$|A| = 0$

(B) ધારો કે $A = \left|\begin{array}{ccc}2 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 0\end{array}\right|$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 2 \left|\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -5 & 0 \end{array}\right| - (-1) \left|\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 3 & 0 \end{array}\right| + (-2) \left|\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 3 & -5 \end{array}\right|$.
$2 \times 2$ નિશ્ચાયકોની ગણતરી કરતા:
$|A| = 2(2 \times 0 - (-1) \times (-5)) + 1(0 \times 0 - (-1) \times 3) - 2(0 \times (-5) - 2 \times 3)$.
$|A| = 2(0 - 5) + 1(0 + 3) - 2(0 - 6)$.
$|A| = 2(-5) + 1(3) - 2(-6)$.
$|A| = -10 + 3 + 12$.
$|A| = 5$.

(C) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 5 & 4 & -9 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક $|A|$ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ હારને અનુસરીને વિસ્તરણ કરીએ:
$|A| = 1 \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 4 & -9 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -9 \end{vmatrix} + (-2) \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 4 \end{vmatrix}$
$2 \times 2$ નિશ્ચાયકોની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1((1)(-9) - (-3)(4)) - 1((2)(-9) - (-3)(5)) - 2((2)(4) - (1)(5))$
$|A| = 1(-9 + 12) - 1(-18 + 15) - 2(8 - 5)$
$|A| = 1(3) - 1(-3) - 2(3)$
$|A| = 3 + 3 - 6$
$|A| = 6 - 6 = 0$
આમ,$|A|$ નું મૂલ્ય $0$ છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 5 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}2x & 4 \\ 6 & x\end{array}\right|$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$(2 \times 1) - (5 \times 4) = (2x \times x) - (6 \times 4)$.
પદોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$2 - 20 = 2x^2 - 24$.
$-18 = 2x^2 - 24$.
$x^2$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$2x^2 = 24 - 18$.
$2x^2 = 6$.
$x^2 = 3$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x = \pm \sqrt{3}$.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}x & 3 \\ 2x & 5\end{array}\right|$.
બંને નિશ્ચાયકોનું વિસ્તરણ કરતા:
ડાબી બાજુ: $(2 \times 5) - (3 \times 4) = 10 - 12 = -2$.
જમણી બાજુ: $(x \times 5) - (3 \times 2x) = 5x - 6x = -x$.
બંને બાજુઓને સરખાવતા:
$-2 = -x$.
તેથી,$x = 2$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ll}x & 2 \\ 18 & x\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}6 & 2 \\ 18 & 6\end{array}\right|$.
બંને બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
ડાબી બાજુ માટે: $(x \times x) - (18 \times 2) = x^{2} - 36$.
જમણી બાજુ માટે: $(6 \times 6) - (18 \times 2) = 36 - 36 = 0$.
બંને બાજુ સરખાવતા:
$x^{2} - 36 = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x^{2} = 36$.
$x = \pm \sqrt{36}$.
$x = \pm 6$.
તેથી,સાચો જવાબ $B$ છે.

(B) $R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3} - R_{1}$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 0 & b-a & ca-bc \\ 0 & c-a & ab-bc \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 0 & b-a & -c(b-a) \\ 0 & c-a & -b(c-a) \end{vmatrix}$
$R_{2}$ માંથી $(b-a)$ અને $R_{3}$ માંથી $(c-a)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 1 & -b \end{vmatrix}$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (b-a)(c-a) [1 \cdot (-b - (-c))] = (b-a)(c-a)(c-b)$
પદોને ગોઠવતા:
$\Delta = -(a-b)(c-a)(-(b-c)) = (a-b)(b-c)(c-a)$

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}b+c & a & a \\ b & c+a & b \\ c & c & a+b\end{array}\right|$.
$\Delta$ માં $R_{1} \rightarrow R_{1} - R_{2} - R_{3}$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & -2c & -2b \\ b & c+a & b \\ c & c & a+b\end{array}\right|$.
$R_{1}$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = 0 \cdot \left|\begin{array}{cc}c+a & b \\ c & a+b\end{array}\right| - (-2c) \cdot \left|\begin{array}{cc}b & b \\ c & a+b\end{array}\right| + (-2b) \cdot \left|\begin{array}{cc}b & c+a \\ c & c\end{array}\right|$.
$\Delta = 2c(b(a+b) - bc) - 2b(bc - c(c+a))$.
$\Delta = 2c(ab + b^2 - bc) - 2b(bc - c^2 - ac)$.
$\Delta = 2abc + 2cb^2 - 2bc^2 - 2b^2c + 2bc^2 + 2abc$.
$\Delta = 4abc$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના દરેક ચોરસ શ્રેણિક $A = [a_{ij}]$ માટે,આપણે એક અનન્ય સંખ્યા સાંકળી શકીએ છીએ જેને ચોરસ શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક કહેવામાં આવે છે,જ્યાં $a_{ij}$ એ $A$ નો $(i, j)^{\text{th}}$ ઘટક છે.
આમ,નિશ્ચાયક એ ચોરસ શ્રેણિક સાથે સંકળાયેલ એક સંખ્યા છે.
તેથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) જેના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય તેવા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચાયકના સૂત્ર દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલા શિરોબિંદુઓ $(3, 8), (-4, 2)$ અને $(5, 1)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\Delta = \frac{1}{2} |3(2 - 1) + (-4)(1 - 8) + 5(8 - 2)|$
$\Delta = \frac{1}{2} |3(1) - 4(-7) + 5(6)|$
$\Delta = \frac{1}{2} |3 + 28 + 30|$
$\Delta = \frac{1}{2} |61| = \frac{61}{2}$ ચોરસ એકમ.

(B) ધારો કે $P(x, y)$ એ રેખા $AB$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે. બિંદુઓ $A, B,$ અને $P$ સમરેખ હોવાથી,ત્રિકોણ $ABP$ નું ક્ષેત્રફળ $0$ થાય.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેના નિશ્ચાયક સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} \left| \begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ x & y & 1 \end{array} \right| = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{1}{2} [1(y - 3x)] = 0 \implies y - 3x = 0 \implies y = 3x$.
આ રેખા $AB$ નું સમીકરણ છે.
હવે,આપેલ છે કે ત્રિકોણ $ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $3 \, \text{ચોરસ એકમ}$ છે,જ્યાં $A(1, 3), B(0, 0),$ અને $D(k, 0)$ છે:
$\frac{1}{2} \left| \begin{array}{lll} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ k & 0 & 1 \end{array} \right| = \pm 3$
બીજી હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{1}{2} [(-1) \cdot (0 - 3k)] = \pm 3$
$\frac{1}{2} [3k] = \pm 3$
$\frac{3k}{2} = \pm 3 \implies 3k = \pm 6 \implies k = \pm 2$.

(C) શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચાયકના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{lll} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|$
આપેલા શિરોબિંદુઓ $(1,0), (6,0), (4,3)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 6 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \end{array} \right|$
બીજા સ્તંભ (જેમાં બે શૂન્ય છે) ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| -0 \left| \begin{array}{ll} 6 & 1 \\ 4 & 1 \end{array} \right| + 0 \left| \begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{array} \right| - 3 \left| \begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 6 & 1 \end{array} \right| \right|$
$\Delta = \frac{1}{2} | -3(1 - 6) |$
$\Delta = \frac{1}{2} | -3(-5) | = \frac{1}{2} | 15 | = \frac{15}{2}$ ચોરસ એકમ.

(D) $(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચાયકના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|$
આપેલા શિરોબિંદુઓ $(2,7), (1,1),$ અને $(10,8)$ મૂકતા:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} 2 & 7 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 10 & 8 & 1 \end{array} \right|$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = \frac{1}{2} [2(1 \times 1 - 8 \times 1) - 7(1 \times 1 - 10 \times 1) + 1(1 \times 8 - 10 \times 1)]$
$\Delta = \frac{1}{2} [2(1 - 8) - 7(1 - 10) + 1(8 - 10)]$
$\Delta = \frac{1}{2} [2(-7) - 7(-9) + 1(-2)]$
$\Delta = \frac{1}{2} [-14 + 63 - 2]$
$\Delta = \frac{1}{2} [47] = \frac{47}{2}$ ચોરસ એકમ.

(A) શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચાયકના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|$
આપેલા શિરોબિંદુઓ $(-2, -3), (3, 2), (-1, -8)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} -2 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & -8 & 1 \end{array} \right|$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = \frac{1}{2} [ -2(2 - (-8)) - (-3)(3 - (-1)) + 1(-24 - (-2)) ]$
$\Delta = \frac{1}{2} [ -2(10) + 3(4) + 1(-22) ]$
$\Delta = \frac{1}{2} [ -20 + 12 - 22 ]$
$\Delta = \frac{1}{2} [ -30 ] = -15$
ક્ષેત્રફળ ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી આપણે તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય લઈએ છીએ:
$\text{Area} = |-15| = 15$ ચોરસ એકમ.

(N/A) $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચાયકના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{lll} a & b+c & 1 \\ b & c+a & 1 \\ c & a+b & 1 \end{array} \right|$
હરોળ પ્રક્રિયાઓ $R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3} - R_{1}$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} a & b+c & 1 \\ b-a & a-b & 0 \\ c-a & a-c & 0 \end{array} \right|$
$R_{2}$ માંથી $(b-a)$ અને $R_{3}$ માંથી $(c-a)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \frac{1}{2} (b-a)(c-a) \left| \begin{array}{ccc} a & b+c & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{array} \right|$
$R_{3} \rightarrow R_{3} + R_{2}$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \frac{1}{2} (b-a)(c-a) \left| \begin{array}{ccc} a & b+c & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right|$
ત્રીજી હરોળના તમામ ઘટકો $0$ હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
આમ,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ છે.
તેથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ સમરેખ છે.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ હોય તો તેનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે છે:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં ક્ષેત્રફળ $4$ ચોરસ એકમ આપેલ છે,તેથી $\Delta = \pm 4$.
શિરોબિંદુઓ $(k, 0), (4, 0), (0, 2)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$4 = \frac{1}{2} |k(0 - 2) + 4(2 - 0) + 0(0 - 0)|$
$4 = \frac{1}{2} |-2k + 8|$
$8 = |-2k + 8|$
આનો અર્થ એ છે કે $-2k + 8 = 8$ અથવા $-2k + 8 = -8$.
કિસ્સો $1$: $-2k + 8 = 8 \implies -2k = 0 \implies k = 0$.
કિસ્સો $2$: $-2k + 8 = -8 \implies -2k = -16 \implies k = 8$.
આમ,$k$ ની કિંમતો $0$ અને $8$ છે.

(A) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ જેનાં શિરોબિંદુઓ $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3})$ હોય તેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_{1}(y_{2} - y_{3}) + x_{2}(y_{3} - y_{1}) + x_{3}(y_{1} - y_{2})|$
અહીં ક્ષેત્રફળ $4$ ચોરસ એકમ આપેલ છે,તેથી $\Delta = \pm 4$ લેતા.
શિરોબિંદુઓ $(-2, 0), (0, 4), (0, k)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$4 = \frac{1}{2} |-2(4 - k) + 0(k - 0) + 0(0 - 4)|$
$4 = \frac{1}{2} |-8 + 2k|$
$8 = |-8 + 2k|$
આના બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $-8 + 2k = 8 \implies 2k = 16 \implies k = 8$
કિસ્સો $2$: $-8 + 2k = -8 \implies 2k = 0 \implies k = 0$
આમ,$k$ ની કિંમતો $0$ અને $8$ છે.

(A) ધારો કે $P(x, y)$ એ બિંદુઓ $A(1, 2)$ અને $B(3, 6)$ ને જોડતી રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ છે. બિંદુઓ $A, B,$ અને $P$ સમરેખ હોવાથી,આ ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થાય.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\det(M)| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલા બિંદુઓ મૂકતા:
$\frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 1 \\ x & y & 1 \end{matrix} \right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(6(1) - y(1)) - 2(3(1) - x(1)) + 1(3y - 6x) = 0$
$(6 - y) - 2(3 - x) + (3y - 6x) = 0$
$6 - y - 6 + 2x + 3y - 6x = 0$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$(2x - 6x) + (3y - y) + (6 - 6) = 0$
$-4x + 2y = 0$
$2y = 4x$
$y = 2x$
આમ,રેખાનું સમીકરણ $y = 2x$ છે.

(B) ધારો કે $P(x, y)$ એ બિંદુઓ $A(3, 1)$ અને $B(9, 3)$ ને જોડતી રેખા પરનું કોઈ બિંદુ છે.
બિંદુઓ $A, B$ અને $P$ સમરેખ હોવાથી,આ ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થાય.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચાયકના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{1}{2} \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \\ x & y & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{1}{2} [3(3 - y) - 1(9 - x) + 1(9y - 3x)] = 0$
$3(3 - y) - (9 - x) + (9y - 3x) = 0$
$9 - 3y - 9 + x + 9y - 3x = 0$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$(x - 3x) + (9y - 3y) + (9 - 9) = 0$
$-2x + 6y = 0$
$-2$ વડે ભાગતા:
$x - 3y = 0$
આમ,રેખાનું સમીકરણ $x - 3y = 0$ છે.

(C) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ જેનાં શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલ શિરોબિંદુઓ $(2, -6), (5, 4)$ અને $(k, 4)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $35$ $sq$ $units$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$35 = \frac{1}{2} |2(4 - 4) + 5(4 - (-6)) + k(-6 - 4)|$
$35 = \frac{1}{2} |2(0) + 5(10) + k(-10)|$
$35 = \frac{1}{2} |50 - 10k|$
$70 = |50 - 10k|$
આનો અર્થ એ છે કે:
$50 - 10k = 70$ અથવા $50 - 10k = -70$
કિસ્સો $1$: $50 - 10k = 70 \Rightarrow -10k = 20 \Rightarrow k = -2$
કિસ્સો $2$: $50 - 10k = -70 \Rightarrow -10k = -120 \Rightarrow k = 12$
આમ,$k$ ની શક્ય કિંમતો $12$ અને $-2$ છે.

(N/A) આપેલ નિશ્ચાયક માટે $C_{1} \rightarrow C_{1} + C_{2} + C_{3}$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = (a + b + c) \begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b \end{vmatrix}$
$R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3} - R_{1}$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = (a + b + c) \begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 0 & c - b & a - c \\ 0 & a - b & b - c \end{vmatrix}$
$C_{1}$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (a + b + c) [(c - b)(b - c) - (a - c)(a - b)]$
$\Delta = (a + b + c) [-(b - c)^2 - (a^2 - ab - ac + bc)]$
$\Delta = (a + b + c) [-(b^2 - 2bc + c^2) - a^2 + ab + ac - bc]$
$\Delta = (a + b + c) [-(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)]$
$\Delta = -\frac{1}{2}(a + b + c) [(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]$
કારણ કે $a, b, c$ ધન અને અસમાન છે,તેથી $(a + b + c) > 0$ અને $[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2] > 0$ થાય. આમ,$\Delta < 0$ છે.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી આપણી પાસે શરત $2b = a + c$ અથવા $a + c - 2b = 0$ છે.
ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2y+4 & 5y+7 & 8y+a \\ 3y+5 & 6y+8 & 9y+b \\ 4y+6 & 7y+9 & 10y+c \end{array}\right|$ છે.
હાર પર પ્રક્રિયા $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{3} - 2R_{2}$ લાગુ કરતા:
પ્રથમ સ્તંભ માટે: $(2y+4) + (4y+6) - 2(3y+5) = 6y + 10 - 6y - 10 = 0$.
બીજા સ્તંભ માટે: $(5y+7) + (7y+9) - 2(6y+8) = 12y + 16 - 12y - 16 = 0$.
ત્રીજા સ્તંભ માટે: $(8y+a) + (10y+c) - 2(9y+b) = 18y + a + c - 18y - 2b = a + c - 2b$.
કારણ કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,$a + c - 2b = 0$.
આમ,પ્રથમ હાર $[0, 0, 0]$ બને છે.
નિશ્ચાયકની પ્રથમ હારના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x\end{array}\right|$.
પ્રથમ હારને અનુસરીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = x(-x^2 - 1) - \sin \theta(-x \sin \theta - \cos \theta) + \cos \theta(-\sin \theta + x \cos \theta)$
$= -x^3 - x + x \sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta - \sin \theta \cos \theta + x \cos^2 \theta$
$= -x^3 - x + x(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$= -x^3 - x + x(1)$
$= -x^3 - x + x$
$= -x^3$
પરિણામ $-x^3$ માં $\theta$ નો સમાવેશ થતો નથી,તેથી નિશ્ચાયક $\theta$ થી સ્વતંત્ર છે.

(C) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \\ -\sin \beta & \cos \beta & 0 \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha\end{array}\right|$.
ત્રીજા સ્તંભ $(C_3)$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = -\sin \alpha \left( (- \sin \beta)(\sin \alpha \sin \beta) - (\cos \beta)(\sin \alpha \cos \beta) \right) + \cos \alpha \left( (\cos \alpha \cos \beta)(\cos \beta) - (\cos \alpha \sin \beta)(-\sin \beta) \right)$
$\Delta = -\sin \alpha \left( -\sin \alpha \sin^2 \beta - \sin \alpha \cos^2 \beta \right) + \cos \alpha \left( \cos \alpha \cos^2 \beta + \cos \alpha \sin^2 \beta \right)$
$\Delta = -\sin \alpha [-\sin \alpha (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta)] + \cos \alpha [\cos \alpha (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta)]$
કારણ કે $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$,તેથી:
$\Delta = -\sin \alpha [-\sin \alpha (1)] + \cos \alpha [\cos \alpha (1)]$
$\Delta = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$
$\Delta = 1$.

(A) આપેલ છે કે $\Delta=\begin{vmatrix} b+c & c+a & a+b \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{vmatrix}=0$.
$R_{1} \rightarrow R_{1}+R_{2}+R_{3}$ લેતા:
$\Delta=\begin{vmatrix} 2(a+b+c) & 2(a+b+c) & 2(a+b+c) \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{vmatrix}=2(a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{vmatrix}=0$.
$C_{2} \rightarrow C_{2}-C_{1}$ અને $C_{3} \rightarrow C_{3}-C_{1}$ લેતા:
$\Delta=2(a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ c+a & b-c & b-a \\ a+b & c-a & c-b \end{vmatrix}=0$.
$R_{1}$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta=2(a+b+c)[(b-c)(c-b)-(b-a)(c-a)] = 2(a+b+c)[-(b-c)^2 - (b-a)(c-a)] = 2(a+b+c)[-b^2-c^2+2bc - (bc-ab-ac+a^2)] = 2(a+b+c)[-a^2-b^2-c^2+ab+bc+ca] = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $a+b+c=0$ અથવા $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0$ મળે,જે $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$ છે.
વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,દરેક પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $a-b=0, b-c=0, c-a=0$,જેનો અર્થ છે કે $a=b=c$.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$\left|\begin{array}{ccc}x+a & x & x \\ x & x+a & x \\ x & x & x+a\end{array}\right|=0$
હાર પ્રક્રિયા $R_{1} \rightarrow R_{1}+R_{2}+R_{3}$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$\left|\begin{array}{ccc}3x+a & 3x+a & 3x+a \\ x & x+a & x \\ x & x & x+a\end{array}\right|=0$
$R_{1}$ માંથી $(3x+a)$ સામાન્ય લેતા:
$(3x+a) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ x & x+a & x \\ x & x & x+a\end{array}\right|=0$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_{2} \rightarrow C_{2}-C_{1}$ અને $C_{3} \rightarrow C_{3}-C_{1}$ લાગુ પાડતા:
$(3x+a) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ x & a & 0 \\ x & 0 & a\end{array}\right|=0$
$R_{1}$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$(3x+a) [1(a \times a - 0 \times 0)] = 0$
$(3x+a) a^{2} = 0$
આપેલ છે કે $a \neq 0$,તેથી $a^{2} \neq 0$.
તેથી,આપણને મળે છે:
$3x+a = 0$
$x = -\frac{a}{3}$

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y\end{array}\right|$.
હાર પ્રક્રિયા $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2} + R_{3}$ લાગુ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}2(x+y) & 2(x+y) & 2(x+y) \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y\end{array}\right|$.
$R_{1}$ માંથી $2(x+y)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = 2(x+y) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y\end{array}\right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_{2} \rightarrow C_{2} - C_{1}$ અને $C_{3} \rightarrow C_{3} - C_{1}$ લાગુ કરતા:
$\Delta = 2(x+y) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ y & x & x-y \\ x+y & -y & -x\end{array}\right|$.
$R_{1}$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 2(x+y) [1 \cdot (x(-x) - (-y)(x-y))]$.
$\Delta = 2(x+y) [-x^{2} + y(x-y)]$.
$\Delta = 2(x+y) [-x^{2} + xy - y^{2}]$.
$\Delta = -2(x+y)(x^{2} - xy + y^{2})$.
નિત્યસમ $a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab + b^{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta = -2(x^{3} + y^{3})$.

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & x & y \\ 1 & x+y & y \\ 1 & x & x+y\end{array}\right|$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{1}$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & x & y \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & x\end{array}\right|$.
પ્રથમ સ્તંભ $(C_{1})$ ની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1 \cdot \left|\begin{array}{cc}y & 0 \\ 0 & x\end{array}\right| - 0 + 0$
$\Delta = 1 \cdot (yx - 0) = xy$.
આમ,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $xy$ છે.

(D) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}x+2 & x+3 & x+2a \\ x+3 & x+4 & x+2b \\ x+4 & x+5 & x+2c\end{array}\right|$.
કારણ કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a+c$ થાય.
નિશ્ચાયકમાં $2b = a+c$ મૂકતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}x+2 & x+3 & x+2a \\ x+3 & x+4 & x+a+c \\ x+4 & x+5 & x+2c\end{array}\right|$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}-1 & -1 & a-c \\ x+3 & x+4 & x+a+c \\ 1 & 1 & c-a\end{array}\right|$.
હવે $R_1 \rightarrow R_1 + R_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ x+3 & x+4 & x+a+c \\ 1 & 1 & c-a\end{array}\right|$.
અહીં પ્રથમ હારના તમામ ઘટકો $0$ હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 1(1 - (-\sin^2 \theta)) - \sin \theta(-\sin \theta - (-\sin \theta)) + 1(\sin^2 \theta - (-1))$
$|A| = 1(1 + \sin^2 \theta) - \sin \theta(0) + 1(\sin^2 \theta + 1)$
$|A| = 1 + \sin^2 \theta + \sin^2 \theta + 1$
$|A| = 2 + 2 \sin^2 \theta = 2(1 + \sin^2 \theta)$.
આપેલ છે કે $0 \leq \theta \leq 2 \pi$,તેથી $\sin \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
તેથી,$\sin^2 \theta$ નો વિસ્તાર $[0, 1]$ થાય.
અસમતામાં $1$ ઉમેરતા: $1 \leq 1 + \sin^2 \theta \leq 2$.
$2$ વડે ગુણતા: $2 \leq 2(1 + \sin^2 \theta) \leq 4$.
આમ,$\operatorname{Det}(A) \in [2, 4]$.
તેથી,સાચો જવાબ $B$ છે.

(C) આપેલ છે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x-2 & 2 x-3 & 3 x-4 \\ 2 x-3 & 3 x-4 & 4 x-5 \\ 3 x-5 & 5 x-8 & 10 x-17\end{array}\right| = Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{2}$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x-2 & 2 x-3 & 3 x-4 \\ x-1 & x-1 & x-1 \\ x-2 & 2x-4 & 6x-12\end{array}\right|$
$R_{2}$ માંથી $(x-1)$ અને $R_{3}$ માંથી $(x-2)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (x-1)(x-2) \left|\begin{array}{ccc}x-2 & 2 x-3 & 3 x-4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 6\end{array}\right|$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (x-1)(x-2) [ (x-2)(6-2) - (2x-3)(6-1) + (3x-4)(2-1) ]$
$\Delta = (x-1)(x-2) [ 4(x-2) - 5(2x-3) + 1(3x-4) ]$
$\Delta = (x-1)(x-2) [ 4x-8 - 10x+15 + 3x-4 ]$
$\Delta = (x-1)(x-2) [ -3x+3 ] = -3(x-1)^{2}(x-2)$
વિસ્તરણ કરતા $-3(x^{2}-2x+1)(x-2) = -3(x^{3}-4x^{2}+5x-2) = -3x^{3}+12x^{2}-15x+6$.
$Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$ સાથે સરખાવતા,$B=12$ અને $C=-15$ મળે છે.
તેથી,$B+C = 12-15 = -3$.

(B) ધારો કે $a+x=b+y=c+z+1=k$.
ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & a+y & x+a \\ y & b+y & y+b \\ z & c+y & z+c\end{array}\right|$.
$C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ લેતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & a+y & a \\ y & b+y & b \\ z & c+y & c\end{array}\right|$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ લેતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & y & a \\ y & y & b \\ z & y & c\end{array}\right|$.
$C_2$ માંથી $y$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = y \left|\begin{array}{lll}x & 1 & a \\ y & 1 & b \\ z & 1 & c\end{array}\right|$.
આપેલ સમીકરણો પરથી: $x = k-a, y = k-b, z = k-c-1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta = y \left|\begin{array}{lll}k-a & 1 & a \\ k-b & 1 & b \\ k-c-1 & 1 & c\end{array}\right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લેતા:
$\Delta = y \left|\begin{array}{lll}k-a & 1 & a \\ b-a & 0 & b-a \\ c-a-1 & 0 & c-a\end{array}\right|$.
$C_2$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = y(-1) [(b-a)(c-a) - (c-a-1)(b-a)]$
$\Delta = -y(b-a) [c-a - (c-a-1)]$
$\Delta = -y(b-a) [1] = y(a-b)$.

(A) સમપરિમાણીય સુરેખ સમીકરણ સંહતિને શૂન્યતર ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 3 \lambda+1 & 2 \lambda \\ \lambda-1 & 4 \lambda-2 & \lambda+3 \\ 2 & 3 \lambda+1 & 3 \lambda-3 \end{vmatrix} = 0$
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ અને $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} 0 & 3-\lambda & \lambda-3 \\ \lambda-3 & \lambda-3 & -2(\lambda-3) \\ 2 & 3 \lambda+1 & 3 \lambda-3 \end{vmatrix} = 0$
$R_1$ અને $R_2$ માંથી $(\lambda-3)$ સામાન્ય લેતા:
$(\lambda-3)^2 \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 \lambda+1 & 3 \lambda-3 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\lambda-3)^2 [0 - (-1)(3 \lambda-3 + 4) + 1(3 \lambda+1 - 2)] = 0$
$(\lambda-3)^2 [3 \lambda+1 + 3 \lambda-1] = 0$
$(\lambda-3)^2 [6 \lambda] = 0$
આથી $\lambda = 3$ અથવા $\lambda = 0$ મળે છે.
$\lambda$ ના ભિન્ન મૂલ્યો $0$ અને $3$ છે.
તેથી તેમનો સરવાળો $0 + 3 = 3$ થાય છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \beta & \gamma & \alpha \\ \gamma & \alpha & \beta \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\alpha(\gamma\beta - \alpha^{2}) - \beta(\beta^{2} - \alpha\gamma) + \gamma(\beta\alpha - \gamma^{2}) = 0$
$\alpha\beta\gamma - \alpha^{3} - \beta^{3} + \alpha\beta\gamma + \alpha\beta\gamma - \gamma^{3} = 0$
$3\alpha\beta\gamma - (\alpha^{3} + \beta^{3} + \gamma^{3}) = 0$
નિત્યસમ $\alpha^{3} + \beta^{3} + \gamma^{3} - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha + \beta + \gamma)(\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} - (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha))$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$-(\alpha + \beta + \gamma)(\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} - (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)) = 0$
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha + \beta + \gamma = -a$ અને $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$. વળી,$\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} = (\alpha + \beta + \gamma)^{2} - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) = a^{2} - 2b$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$-(-a)(a^{2} - 2b - b) = 0$
$a(a^{2} - 3b) = 0$
કારણ કે $a \neq 0$,તેથી $a^{2} - 3b = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $a^{2} = 3b$.
તેથી,$\frac{a^{2}}{b} = 3$.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક શૂન્ય છે:
$\begin{vmatrix} 3 & 4\sqrt{2} & x \\ 4 & 5\sqrt{2} & y \\ 5 & k & z \end{vmatrix} = 0$
$x, y, z$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$y = x + d$ અને $z = x + 2d$ થાય.
હાર પ્રક્રિયા $R_2 \rightarrow R_1 + R_3 - 2R_2$ લાગુ પાડતા:
$R_1 + R_3 = (3+5, 4\sqrt{2}+k, x+z) = (8, 4\sqrt{2}+k, 2x+2d)$
$2R_2 = (8, 10\sqrt{2}, 2y) = (8, 10\sqrt{2}, 2x+2d)$
આ બંનેની બાદબાકી કરતા,બીજી હાર $(0, k - 6\sqrt{2}, 0)$ બને છે.
બીજી હારને સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$-(k - 6\sqrt{2}) \begin{vmatrix} 3 & x \\ 5 & z \end{vmatrix} = 0$
$-(k - 6\sqrt{2})(3z - 5x) = 0$
કિસ્સો $1$: $3z - 5x = 0$
$3(x + 2d) - 5x = 0 \Rightarrow 3x + 6d - 5x = 0 \Rightarrow 6d = 2x \Rightarrow x = 3d$.
આ શક્ય નથી કારણ કે શરત $x \neq 3d$ આપેલ છે.
કિસ્સો $2$: $k - 6\sqrt{2} = 0 \Rightarrow k = 6\sqrt{2}$.
તેથી,$k^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72$.

(D) આપેલ છે કે $1$,$\log_{10}(4^{x}-2)$,અને $\log_{10}(4^{x}+\frac{18}{5})$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી:
$2 \log_{10}(4^{x}-2) = 1 + \log_{10}(4^{x}+\frac{18}{5})$
$(4^{x}-2)^{2} = 10(4^{x}+\frac{18}{5})$
$(4^{x})^{2} - 4(4^{x}) + 4 = 10(4^{x}) + 36$
$(4^{x})^{2} - 14(4^{x}) - 32 = 0$
$y = 4^{x}$ લેતા,$y^{2} - 14y - 32 = 0$
$(y-16)(y+2) = 0$
$4^{x} > 0$ હોવાથી,$4^{x} = 16$,એટલે કે $x = 2$.
હવે,$x=2$ ને નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}\right| = 3(0-2) - 1(0-4) + 4(1-0) = -6 + 4 + 4 = 2$.

(B) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}(a+1)(a+2) & a+2 & 1 \\ (a+2)(a+3) & a+3 & 1 \\ (a+3)(a+4) & a+4 & 1\end{array}\right|$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3} - R_{1}$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}(a+1)(a+2) & a+2 & 1 \\ (a+2)(a+3) - (a+1)(a+2) & (a+3) - (a+2) & 1 - 1 \\ (a+3)(a+4) - (a+1)(a+2) & (a+4) - (a+2) & 1 - 1\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}(a+1)(a+2) & a+2 & 1 \\ (a+2)(a+3-a-1) & 1 & 0 \\ (a^2+7a+12) - (a^2+3a+2) & 2 & 0\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}(a+1)(a+2) & a+2 & 1 \\ 2(a+2) & 1 & 0 \\ 4a+10 & 2 & 0\end{array}\right|$
ત્રીજા સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1 \times [2(a+2) \times 2 - 1 \times (4a+10)]$
$\Delta = 4(a+2) - (4a+10)$
$\Delta = 4a + 8 - 4a - 10$
$\Delta = -2$.

(B) સમઘાત સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે $D = \begin{vmatrix} 1+\cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 4\sin 3\theta \\ \cos^2 \theta & 1+\sin^2 \theta & 4\sin 3\theta \\ \cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 1+4\sin 3\theta \end{vmatrix} = 0$.
$C_1 \rightarrow C_1 + C_2$ લેતા:
$D = \begin{vmatrix} 2 & \sin^2 \theta & 4\sin 3\theta \\ 2 & 1+\sin^2 \theta & 4\sin 3\theta \\ 1 & \sin^2 \theta & 1+4\sin 3\theta \end{vmatrix} = 0$.
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ અને $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ લેતા:
$D = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & \sin^2 \theta & 1+4\sin 3\theta \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-(-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1+4\sin 3\theta \end{vmatrix} = 0 \implies 1(1+4\sin 3\theta) + 1 = 0$.
$2 + 4\sin 3\theta = 0 \implies \sin 3\theta = -\frac{1}{2}$.
$\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ હોવાથી,$3\theta \in (0, \frac{3\pi}{2})$.
$\sin 3\theta = -\frac{1}{2}$ માટે,$3\theta = \frac{7\pi}{6}$ મળે.
તેથી,$\theta = \frac{7\pi}{18}$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક $\det(A) = \begin{vmatrix} [x+1] & [x+2] & [x+3] \\ [x] & [x+3] & [x+3] \\ [x] & [x+2] & [x+4] \end{vmatrix} = 192$.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $[x+n] = [x] + n$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\begin{vmatrix} [x]+1 & [x]+2 & [x]+3 \\ [x] & [x]+3 & [x]+3 \\ [x] & [x]+2 & [x]+4 \end{vmatrix} = 192$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_1 \rightarrow R_1 - R_3$ અને $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ લાગુ કરતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ [x] & [x]+2 & [x]+4 \end{vmatrix} = 192$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1([x]+4 - ([x]+2)) - 0 + (-1)(0 - ([x])) = 192$.
$1(2) + [x] = 192 \Rightarrow [x] = 190$.
વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,જો $[x] = 62$ હોય,તો $x$ નો અંતરાલ $[62, 63)$ મળે છે.

(D) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 1$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(a, 0)$,$B(b, 2b+1)$,અને $C(0, b)$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} |a(2b+1 - b) + b(b - 0) + 0(0 - (2b+1))| = 1$
$\frac{1}{2} |a(b+1) + b^2| = 1$
$|a(b+1) + b^2| = 2$
આથી $a(b+1) + b^2 = 2$ અથવા $a(b+1) + b^2 = -2$.
કિસ્સો $1$: $a(b+1) = 2 - b^2 \Rightarrow a_1 = \frac{2 - b^2}{b+1}$.
કિસ્સો $2$: $a(b+1) = -2 - b^2 \Rightarrow a_2 = \frac{-2 - b^2}{b+1}$.
$a$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો $a_1 + a_2 = \frac{2 - b^2 - 2 - b^2}{b+1} = \frac{-2b^2}{b+1}$ થાય.

(B) સમીકરણોની સંહતિ સમપરિમાણીય છે,જે $AX = 0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ સહગુણક શ્રેણિક છે.
સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક નીચે મુજબ છે:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \cos \gamma & \cos \beta \\ \cos \gamma & 1 & \cos \alpha \\ \cos \beta & \cos \alpha & 1 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 1(1 - \cos^2 \alpha) - \cos \gamma(\cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta) + \cos \beta(\cos \gamma \cos \alpha - \cos \beta)$
$|A| = 1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \gamma + \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \cos^2 \beta$
$|A| = 1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta - \cos^2 \gamma + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
આપેલ છે કે $\alpha + \beta + \gamma = 2\pi$,તેથી $\gamma = 2\pi - (\alpha + \beta)$,એટલે કે $\cos \gamma = \cos(\alpha + \beta)$.
આ પ્રકારના સંમિત શ્રેણિકના નિશ્ચાયક માટેનું સૂત્ર વાપરતા,જ્યારે $\alpha + \beta + \gamma = 2n\pi$ હોય ત્યારે $|A| = 0$ થાય છે.
જેથી $|A| = 0$ હોવાથી,સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો મળે છે.