Expansion of determinants, Solution of equation in the form of determinants and area of triangle and Equation of Line Questions in Gujarati

(B) સુરેખ સમીકરણોની પ્રણાલી માટે બિન-તુચ્છ ઉકેલ મેળવવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} \sin 3 \theta & -1 & 1 \\ \cos 2 \theta & 4 & 3 \\ 2 & 7 & 7 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\sin 3 \theta (4 \times 7 - 3 \times 7) - (-1) (\cos 2 \theta \times 7 - 3 \times 2) + 1 (\cos 2 \theta \times 7 - 4 \times 2) = 0$
$\sin 3 \theta (28 - 21) + (7 \cos 2 \theta - 6) + (7 \cos 2 \theta - 8) = 0$
$7 \sin 3 \theta + 14 \cos 2 \theta - 14 = 0$
$\sin 3 \theta + 2 \cos 2 \theta - 2 = 0$
$\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$ અને $\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta + 2(1 - 2 \sin^2 \theta) - 2 = 0$
$3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta + 2 - 4 \sin^2 \theta - 2 = 0$
$-4 \sin^3 \theta - 4 \sin^2 \theta + 3 \sin \theta = 0$
$-\sin \theta (4 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta - 3) = 0$
$-\sin \theta (2 \sin \theta - 1)(2 \sin \theta + 3) = 0$
આનાથી $\sin \theta = 0$,$\sin \theta = 1/2$,અથવા $\sin \theta = -3/2$ (અશક્ય) મળે છે.
$\sin \theta = 0$ માટે,$\theta = 0, \pi$ ($[0, 2\pi)$ માં).
$\sin \theta = 1/2$ માટે,$\theta = \pi/6, 5\pi/6$ ($[0, 2\pi)$ માં).
આમ,$\theta$ ના $4$ મુખ્ય મૂલ્યો છે.

(C) શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક નીચે મુજબ મળે છે:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારને અનુરૂપ વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 1(1 - (-\sin^2 \theta)) - \sin \theta(-\sin \theta - (-\sin \theta)) + 1(\sin^2 \theta - (-1))$
$|A| = 1(1 + \sin^2 \theta) - \sin \theta(0) + 1(\sin^2 \theta + 1)$
$|A| = 1 + \sin^2 \theta + \sin^2 \theta + 1 = 2(1 + \sin^2 \theta)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $-1 \le \sin \theta \le 1$,તેથી $0 \le \sin^2 \theta \le 1$ થાય.
બધા પદોમાં $1$ ઉમેરતા,$1 \le 1 + \sin^2 \theta \le 2$ મળે.
$2$ વડે ગુણતા,$2 \le 2(1 + \sin^2 \theta) \le 4$ મળે.
તેથી,$|A| \in [2, 4]$.

(C) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta$ છે. આપણે હાર પ્રક્રિયા $R_3 \rightarrow R_3 - (2R_2 + 3R_1)$ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,પ્રક્રિયા પછી $R_3$ ના ઘટકોની ગણતરી કરીએ:
પ્રથમ સ્તંભ માટે: $(7x - 2) - [2(2x - 1) + 3(x)] = 7x - 2 - (4x - 2 + 3x) = 7x - 2 - 7x + 2 = 0$.
બીજા સ્તંભ માટે: $(17x + 6) - [2(4x) + 3(3x + 2)] = 17x + 6 - (8x + 9x + 6) = 17x + 6 - 17x - 6 = 0$.
ત્રીજા સ્તંભ માટે: $(12x - 1) - [2(3x + 1) + 3(2x - 1)] = 12x - 1 - (6x + 2 + 6x - 3) = 12x - 1 - (12x - 1) = 0$.
ત્રીજી હારના તમામ ઘટકો $0$ હોવાથી,$x$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
તેથી,$x$ ના અનંત વાસ્તવિક મૂલ્યો છે જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં 'અનંત' ન હોવાથી,અને પ્રશ્ન વાસ્તવિક મૂલ્યોની સંખ્યા પૂછે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ '$3$ કરતા વધારે' ગણી શકાય.

(D) કોઈપણ શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી જ્યારે તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
$A$ નો નિશ્ચાયક ગણતા:
$|A| = \begin{vmatrix} \lambda - 1 & \lambda & \lambda + 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ \lambda + 3 & \lambda - 2 & \lambda + 7 \end{vmatrix}$
હાર પ્રક્રિયા $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$|A| = \begin{vmatrix} \lambda - 1 & \lambda & \lambda + 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & -2 & 6 \end{vmatrix}$
અહીં જોઈ શકાય છે કે ત્રીજી હાર એ બીજી હાર કરતા $2$ ગણી છે $(R_3 = 2R_2)$.
બે હાર પ્રમાણસર હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય તમામ વાસ્તવિક $\lambda$ માટે $0$ થાય છે.
તેથી,શ્રેણિક $A$ તમામ $\lambda \in \mathbb{R}$ માટે અસામાન્ય (singular) છે.
આમ,$\lambda$ ના અનંત મૂલ્યો માટે શ્રેણિકનો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.

(D) ધારો કે નિશ્ચાયક $D$ છે. $C_1$ ને $x$ વડે,$C_2$ ને $y$ વડે અને $C_3$ ને $z$ વડે ગુણો અને નિશ્ચાયકને $xyz$ વડે ભાગો:
$D = \frac{1}{xyz} \left| \begin{array}{ccc} \frac{x}{z} & \frac{y}{z} & -\frac{x+y}{z} \\ -\frac{y+z}{x} & \frac{y}{x} & \frac{z}{x} \\ -\frac{y(y+z)}{x^2} & \frac{y(x+2y+z)}{xz} & -\frac{yz(x+y)}{xz^2} \end{array} \right|$.
હાર અને સ્તંભની પ્રક્રિયાઓ કરવાથી અથવા નિશ્ચાયકનું સાદુંરૂપ આપવાથી,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે હાર અથવા સ્તંભો સુરેખ રીતે આધારિત છે.
ચોક્કસ રીતે,જો આપણે નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધીએ,તો આપણને $D = 0$ મળે છે.
$D = 0$ હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય અચળ (શૂન્ય) છે અને તે $x, y,$ કે $z$ પર આધારિત નથી.
તેથી,વિધાન '$D$ એ $x, y, z$ પર આધારિત છે' તે ખોટું છે.

(D) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^2} + 1}&{ab}&{ac}\\{ab}&{{b^2} + 1}&{bc}\\{ac}&{bc}&{{c^2} + 1}\end{array}}\right|$.
$R_1$ ને $a$ વડે,$R_2$ ને $b$ વડે અને $R_3$ ને $c$ વડે ગુણતા અને નિશ્ચાયકને $abc$ વડે ભાગતા:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a(a^2+1)}&{a^2b}&{a^2c}\\{ab^2}&{b(b^2+1)}&{b^2c}\\{ac^2}&{bc^2}&{c(c^2+1)}\end{array}}\right|$.
$C_1, C_2, C_3$ માંથી અનુક્રમે $a, b, c$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \frac{abc}{abc} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a^2+1}&{a^2}&{a^2}\\{b^2}&{b^2+1}&{b^2}\\{c^2}&{c^2}&{c^2+1}\end{array}}\right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a^2+1}&{a^2}&{a^2}\\{b^2}&{b^2+1}&{b^2}\\{c^2}&{c^2}&{c^2+1}\end{array}}\right|$.
$C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a^2+b^2+c^2+1}&{a^2}&{a^2}\\{a^2+b^2+c^2+1}&{b^2+1}&{b^2}\\{a^2+b^2+c^2+1}&{c^2}&{c^2+1}\end{array}}\right| = (a^2+b^2+c^2+1) \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{a^2}&{a^2}\\{1}&{b^2+1}&{b^2}\\{1}&{c^2}&{c^2+1}\end{array}}\right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = (a^2+b^2+c^2+1) \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{a^2}&{a^2}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}}\right| = (a^2+b^2+c^2+1)(1) = 1+a^2+b^2+c^2$.
આપેલ છે કે $\Delta = 1$,તેથી $1+a^2+b^2+c^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a^2+b^2+c^2 = 0$. કારણ કે $a, b, c$ વાસ્તવિક છે,આ માત્ર ત્યારે જ શક્ય છે જો $a = b = c = 0$.

(D) ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધીએ:
$\Delta = (1 - \lambda) [\lambda(1 + \lambda) - (-2)(-2)] - 2 [(-3)(1 + \lambda) - (-2)(2)] + 1 [(-3)(-2) - \lambda(2)] = 0$
$\Delta = (1 - \lambda) [\lambda + \lambda^2 - 4] - 2 [-3 - 3\lambda + 4] + 1 [6 - 2\lambda] = 0$
$\Delta = (1 - \lambda)(\lambda^2 + \lambda - 4) - 2(1 - 3\lambda) + (6 - 2\lambda) = 0$
$\Delta = (\lambda^2 + \lambda - 4 - \lambda^3 - \lambda^2 + 4\lambda) - 2 + 6\lambda + 6 - 2\lambda = 0$
$\Delta = -\lambda^3 + 5\lambda - 4 - 2 + 6\lambda + 6 - 2\lambda = 0$
$\Delta = -\lambda^3 + 9\lambda = 0$
$\lambda^3 - 9\lambda = 0$
$\lambda(\lambda^2 - 9) = 0$
$\lambda(\lambda - 3)(\lambda + 3) = 0$
ઉકેલો $\lambda = 0, 3, -3$ મળે છે.
અહીં માત્ર $\lambda = 3$ એ ધન પૂર્ણાંક ઉકેલ છે.
તેથી,ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $1$ છે.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક $f(x) = \begin{vmatrix} a - x & b & b \\ b & a - x & b \\ b & b & a - x \end{vmatrix} = 0$ છે.
હાર પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$f(x) = \begin{vmatrix} a - x + 2b & a - x + 2b & a - x + 2b \\ b & a - x & b \\ b & b & a - x \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હારમાંથી $(a - x + 2b)$ સામાન્ય લેતા:
$f(x) = (a - x + 2b) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b & a - x & b \\ b & b & a - x \end{vmatrix} = 0$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$f(x) = (a - x + 2b) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ b & a - x - b & 0 \\ b & 0 & a - x - b \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = (a - x + 2b)(a - x - b)^2 = 0$.
બીજ $x = a + 2b$ અને $x = a - b$ (બે વાર) છે.
કારણ કે $a, b \in R$,બાકીના બે બીજ $x = a - b$ છે,જે વાસ્તવિક અને સમાન છે.

(A) સંખ્યાઓ $100x + 17$,$306 + 10y$,અને $120 + z$ છે. આ સંખ્યાઓ $k$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,$100x + 17 \equiv 0 \pmod{k}$,$306 + 10y \equiv 0 \pmod{k}$,અને $120 + z \equiv 0 \pmod{k}$ થાય.
નિશ્ચાયક $D = \left| \begin{array}{ccc} x & 3 & 1 \\ 7 & 6 & z \\ 1 & y & 2 \end{array} \right|$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$D = x(12 - yz) - 3(14 - z) + 1(7y - 6)$
$D = 12x - xyz - 42 + 3z + 7y - 6$
$D = 12x - xyz + 3z + 7y - 48$.
આપણને $D + 48 = 12x - xyz + 3z + 7y$ ની કિંમત પૂછવામાં આવી છે.
આપેલ વિભાજ્યતાની શરતો મુજબ,$k$ ના ચોક્કસ મૂલ્યો માટે,આ પદ $k$ નો ગુણક બને છે. તેથી,$D+48$ એ $k$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) સમીકરણ $x^2 - (a + b)x + ab = 0$ ના બીજ $a$ અને $b$ છે.
બીજનો સરવાળો $a + b$ છે અને બીજનો ગુણાકાર $ab$ છે.
$3 \times 3$ ક્રમનો શ્રેણિક $A$ નીચે મુજબ છે:
$a_{11} = a_{22} = a_{33} = a + b$
$a_{12} = a_{23} = ab$
$a_{21} = a_{32} = 1$
બાકીના તમામ ઘટકો $0$ છે.
તેથી,$A = \begin{bmatrix} a+b & ab & 0 \\ 1 & a+b & ab \\ 0 & 1 & a+b \end{bmatrix}$.
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\det(A) = (a+b) \begin{vmatrix} a+b & ab \\ 1 & a+b \end{vmatrix} - ab \begin{vmatrix} 1 & ab \\ 0 & a+b \end{vmatrix} + 0$
$\det(A) = (a+b)((a+b)^2 - ab) - ab(a+b)$
$\det(A) = (a+b)(a^2 + 2ab + b^2 - ab) - ab(a+b)$
$\det(A) = (a+b)(a^2 + ab + b^2) - ab(a+b)$
$\det(A) = (a+b)(a^2 + ab + b^2 - ab) = (a+b)(a^2 + b^2)$.

(B) પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $N = \left| \begin{array}{ccc} 28 & 25 & 38 \\ 42 & 38 & 65 \\ 56 & 47 & 83 \end{array} \right|$ ની કિંમત શોધીએ.
હારની પ્રક્રિયાઓ લાગુ પાડતા: $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_2$,આપણને મળે છે:
$N = \left| \begin{array}{ccc} 28 & 25 & 38 \\ 14 & 13 & 27 \\ 14 & 9 & 18 \end{array} \right|$.
$R_2 \to R_2 - R_3$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$N = \left| \begin{array}{ccc} 28 & 25 & 38 \\ 0 & 4 & 9 \\ 14 & 9 & 18 \end{array} \right|$.
પ્રથમ સ્તંભ મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $N = 28(4 \times 18 - 9 \times 9) - 0 + 14(25 \times 9 - 38 \times 4) = 28(-9) + 14(73) = -252 + 1022 = 770$.
$N = 770$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2 \times 5 \times 7 \times 11$ છે.
$N$ ને બે પરસ્પર અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવાની રીતોની સંખ્યા $2^{n-1}$ છે,જ્યાં $n$ એ ભિન્ન અવિભાજ્ય અવયવોની સંખ્યા છે.
અહીં,$n = 4$,તેથી રીતોની સંખ્યા $2^{4-1} = 2^3 = 8$ છે.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક: $\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1+\sin A & 1+\sin B & 1+\sin C \\ \sin A+\sin ^{2} A & \sin B+\sin ^{2} B & \sin C+\sin ^{2} C\end{array}\right|=0$
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1+\sin A & \sin B-\sin A & \sin C-\sin A \\ \sin A+\sin^2 A & (\sin B-\sin A)(1+\sin B+\sin A) & (\sin C-\sin A)(1+\sin C+\sin A)\end{array}\right|=0$
$C_2$ માંથી $(\sin B - \sin A)$ અને $C_3$ માંથી $(\sin C - \sin A)$ સામાન્ય લેતા:
$(\sin B - \sin A)(\sin C - \sin A) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1+\sin A & 1 & 1 \\ \sin A+\sin^2 A & 1+\sin B+\sin A & 1+\sin C+\sin A\end{array}\right|=0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$(\sin B - \sin A)(\sin C - \sin A) [ (1+\sin C+\sin A) - (1+\sin B+\sin A) ] = 0$
$(\sin B - \sin A)(\sin C - \sin A)(\sin C - \sin B) = 0$
આનો અર્થ એ થાય કે $\sin B = \sin A$ અથવા $\sin C = \sin A$ અથવા $\sin C = \sin B$.
કારણ કે $A, B, C$ ત્રિકોણના ખૂણાઓ છે,તેથી $A=B$ અથવા $C=A$ અથવા $C=B$.
તેથી,આ ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{matrix} x & a & b \\ a & x & a \\ b & b & x \end{matrix} \right| = 0$ છે.
$C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\left| \begin{matrix} x+a+b & a & b \\ x+a+b & x & a \\ x+a+b & b & x \end{matrix} \right| = 0$.
$C_1$ માંથી $(x+a+b)$ સામાન્ય લેતા:
$(x+a+b) \left| \begin{matrix} 1 & a & b \\ 1 & x & a \\ 1 & b & x \end{matrix} \right| = 0$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$(x+a+b) \left| \begin{matrix} 1 & a & b \\ 0 & x-a & a-b \\ 0 & b-a & x-b \end{matrix} \right| = 0$.
$C_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$(x+a+b) [(x-a)(x-b) - (a-b)(b-a)] = 0$.
આમ,$x = -(a+b)$ એ એક ઉકેલ છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક: $\left| \begin{matrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & x & x^2 \\ b^2 & ab & a^2 \end{matrix} \right| = 0$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\left| \begin{matrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & x-a & x^2-a^2 \\ b^2-1 & ab-a & 0 \end{matrix} \right| = 0$.
$R_2$ માંથી $(x-a)$ અને $R_3$ માંથી $(b-1)$ સામાન્ય લેતા:
$(x-a)(b-1) \left| \begin{matrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & 1 & x+a \\ b+1 & a & 0 \end{matrix} \right| = 0$.
$C_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-a)(b-1) [1(0 - a(x+a)) - 0 + (b+1)(a(x+a) - a^2)] = 0$.
$(x-a)(b-1) [-ax - a^2 + (b+1)(ax)] = 0$.
$(x-a)(b-1) [-ax - a^2 + abx + ax] = 0$.
$(x-a)(b-1) [abx - a^2] = 0$.
$(x-a)(b-1) a(bx - a) = 0$.
આથી $x = a$ અથવા $x = \frac{a}{b}$ મળે છે.

(D) $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \text{ અને } (x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|$ છે.
તેથી,$\left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|^2 = (2A)^2 = 4A^2$.
$s = 6 \text{ cm}$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3}$ થાય.
આમ,$4A^2 = 4 \times (9\sqrt{3})^2 = 4 \times 243 = 972$.

(C) શ્રેણિક અસામાન્ય હોય જો તેનો નિશ્ચાયક $0$ હોય. આપણે $\Delta(x)$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$\det(\Delta(x)) = \begin{vmatrix} -x & x & 2 \\ 2 & x & -x \\ x & -2 & -x \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-x(x(-x) - (-x)(-2)) - x(2(-x) - (-x)(x)) + 2(2(-2) - x(x)) = 0$
$-x(-x^2 - 2x) - x(-2x + x^2) + 2(-4 - x^2) = 0$
$x^3 + 2x^2 + 2x^2 - x^3 - 8 - 2x^2 = 0$
$2x^2 - 8 = 0$
$2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$
આમ,$x$ ની $n = 2$ કિંમતો છે જેના માટે શ્રેણિક અસામાન્ય છે.
હવે,આપણે $\det(\Delta(n)) = \det(\Delta(2))$ શોધવાનું છે.
$x = 2$ ને $\Delta(x)$ માં મૂકતા:
$\Delta(2) = \begin{bmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & -2 \\ 2 & -2 & -2 \end{bmatrix}$
$\det(\Delta(2)) = -2(2(-2) - (-2)(-2)) - 2(2(-2) - (-2)(2)) + 2(2(-2) - 2(2))$
$= -2(-4 - 4) - 2(-4 + 4) + 2(-4 - 4)$
$= -2(-8) - 2(0) + 2(-8) = 16 - 0 - 16 = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણોને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$(a-1)x + ay + az = 0$
$bx + (b-1)y + bz = 0$
$cx + cy + (c-1)z = 0$
કારણ કે $xyz \neq 0$,તેથી આ સંહતિનો ઉકેલ શૂન્યતર છે. તેથી,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} a-1 & a & a \\ b & b-1 & b \\ c & c & c-1 \end{vmatrix} = 0$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} a+b+c-1 & a & a \\ a+b+c-1 & b-1 & b \\ a+b+c-1 & c & c-1 \end{vmatrix} = 0$
$(a+b+c-1)$ ને સામાન્ય લેતા:
$(a+b+c-1) \begin{vmatrix} 1 & a & a \\ 1 & b-1 & b \\ 1 & c & c-1 \end{vmatrix} = 0$
હાર પ્રક્રિયા $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$(a+b+c-1) \begin{vmatrix} 1 & a & a \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & c-a & c-a-1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(a+b+c-1) [1 \times ((-1)(c-a-1) - 0)] = 0$
$(a+b+c-1) (a-c+1) = 0$
કારણ કે $x, y, z$ શૂન્ય નથી,તેથી $a+b+c-1 = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $a+b+c = 1$.

(B) સુરેખ સમીકરણ સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} a & -a^2 & a^3 \\ -a^2 & a^3 & a \\ a^3 & a & -a^2 \end{array}\right| = 0$
દરેક હારમાંથી $a$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = a^3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & -a & a^2 \\ -a & a^2 & 1 \\ a^2 & 1 & -a \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$a^3 [1(-a^3 - 1) + a(a^2 - a^2) + a^2(-a - a^4)] = 0$
$a^3 [-a^3 - 1 - a^3 - a^6] = 0$
$-a^3 (a^6 + 2a^3 + 1) = 0$
$-a^3 (a^3 + 1)^2 = 0$
અહીં $a^3 + 1 = (a+1)(a^2 - a + 1) = 0$ હોવાથી,બીજ $a = -1$ અને $a = -\omega, -\omega^2$ મળે છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે.
આપેલ છે કે $a$ અવાસ્તવિક સંકર સંખ્યા છે,તેથી $a = -\omega$ અથવા $a = -\omega^2$.
$|-\omega| = |-\omega^2| = 1$ હોવાથી,$|a| = 1$ થાય.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(102, -4)$,$B(105, -2)$ અને $C(103, -3)$ છે.
ઉગમબિંદુને $A(102, -4)$ પર ખસેડતા,નવા યામો:
$A' = (0, 0)$
$B' = (3, 2)$
$C' = (1, 1)$
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(3)(1) - (1)(2)| = 0.5$ ચોરસ એકમ.

(C) ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ સમરેખ હોય જો તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ હોય.
$\frac{1}{2} \left| \begin{matrix} \lambda+1 & 1 & 1 \\ 2\lambda+1 & 3 & 1 \\ 2\lambda+2 & 2\lambda & 1 \end{matrix} \right| = 0$
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\left| \begin{matrix} \lambda+1 & 1 & 1 \\ \lambda & 2 & 0 \\ \lambda+1 & 2\lambda-1 & 0 \end{matrix} \right| = 0$
ત્રીજા સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$1 \cdot [\lambda(2\lambda-1) - 2(\lambda+1)] = 0$
$2\lambda^2 - \lambda - 2\lambda - 2 = 0$
$2\lambda^2 - 3\lambda - 2 = 0$
$2\lambda^2 - 4\lambda + \lambda - 2 = 0$
$2\lambda(\lambda - 2) + 1(\lambda - 2) = 0$
$(2\lambda + 1)(\lambda - 2) = 0$
આમ,$\lambda = -1/2$ અથવા $\lambda = 2$.
$\lambda$ માટે $2$ શક્ય મૂલ્યો છે.

(B) શ્રેણિક $A_{\lambda}$ નો નિશ્ચાયક નીચે મુજબ મળે છે:
$|A_{\lambda}| = \begin{vmatrix} \lambda & \lambda - 1 \\ \lambda - 1 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 - (\lambda - 1)^2$
$= \lambda^2 - (\lambda^2 - 2\lambda + 1) = 2\lambda - 1$
આપણે સરવાળો $S = \sum_{\lambda=1}^{300} |A_{\lambda}| = \sum_{\lambda=1}^{300} (2\lambda - 1)$ શોધવાનો છે.
આ પ્રથમ $300$ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો છે.
$S = 1 + 3 + 5 + \dots + (2(300) - 1)$
$S = 1 + 3 + 5 + \dots + 599$
સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{300}{2}(1 + 599) = 150 \times 600 = 90000$
કારણ કે $(300)^2 = 90000$,તેથી સાચો જવાબ $(300)^2$ છે.

(D) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} -1 + \cos B & \cos C + \cos B & \cos B \\ \cos C + \cos A & -1 + \cos A & \cos A \\ -1 + \cos B & -1 + \cos A & -1 \end{array} \right|$ છે.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_1 \rightarrow C_1 - C_3$ અને $C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} -1 & \cos C & \cos B \\ \cos C & -1 & \cos A \\ -1 & -1 & 0 \end{array} \right|$.
ત્રીજી હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = -1( \cos C \cos A - (-\cos B)) - (-1)( -\cos A - \cos B \cos C ) + 0$
$\Delta = -\cos A \cos C - \cos B + \cos A + \cos B \cos C$
ત્રિકોણના ગુણધર્મો મુજબ,આ નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(C) નિશ્ચાયકના વિસ્તરણમાં અચળ પદ $a_0$ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ લઈએ છીએ.
નિશ્ચાયકમાં $x = 0$ મૂકતા:
$\cos(2 \times 0) = \cos(0) = 1$
$\sin^2(0) = 0$
$\cos(4 \times 0) = \cos(0) = 1$
$\cos^2(0) = 1$
નિશ્ચાયક આ મુજબ બનશે:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1(1 \times 1 - 1 \times 1) - 0(0 \times 1 - 1 \times 1) + 1(0 \times 1 - 1 \times 1)$
$\Delta = 1(0) - 0(-1) + 1(-1)$
$\Delta = 0 + 0 - 1 = -1$
આમ,વિસ્તરણ $a_0 + a_1 \sin x + a_2 \sin^2 x + \dots$ હોવાથી,$x = 0$ મૂકતા $a_0 = -1$ મળે છે.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$.
આપેલ શરતો $a_i^2 + b_i^2 + c_i^2 = 1$ અને $i \ne j$ માટે $a_ia_j + b_ib_j + c_ic_j = 0$ સૂચવે છે કે શ્રેણિક $A$ ના સ્તંભો ઓર્થોનોર્મલ સદિશો છે.
ખાસ કરીને,જો આપણે $A^T A$ નો ગુણાકાર કરીએ,તો આપણને મળે:
$A^T A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $\det(A^T A) = \det(I) = 1$ મળે છે.
કારણ કે $\det(A^T) = \det(A)$,તેથી $(\det(A))^2 = 1$ થાય.
તેથી,$\det(A) = \pm 1$ મળે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^3 + 64 = 0$ છે,જેને $x^3 = -64$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે આ સમીકરણના બીજ $q_1, q_2, q_3$ છે. વિએટાના સૂત્રો મુજબ,ત્રિઘાત સમીકરણ $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ ના બીજનો સરવાળો $-b/a$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,સમીકરણ $x^3 + 0x^2 + 0x + 64 = 0$ છે,તેથી બીજનો સરવાળો $q_1 + q_2 + q_3 = -0/1 = 0$ થાય.
હવે,નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} q_1 & q_2 & q_3 \\ q_2 & q_3 & q_1 \\ q_3 & q_1 & q_2 \end{array} \right|$ ધ્યાનમાં લો.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} q_1 + q_2 + q_3 & q_2 & q_3 \\ q_2 + q_3 + q_1 & q_3 & q_1 \\ q_3 + q_1 + q_2 & q_1 & q_2 \end{array} \right|$
કારણ કે $q_1 + q_2 + q_3 = 0$,પ્રથમ સ્તંભ શૂન્ય થઈ જાય છે:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 0 & q_2 & q_3 \\ 0 & q_3 & q_1 \\ 0 & q_1 & q_2 \end{array} \right| = 0$.
આમ,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ છે.

(B) પ્રથમ,નિશ્ચાયકના દરેક પદની કિંમત મેળવીએ:
$1$. $[\pi] = 3$ ($\pi$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક).
$2$. $\operatorname{amp}(1 + i\sqrt{3}) = \tan^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{1}) = \frac{\pi}{3}$.
$3$. $\operatorname{sgn}(\cot^{-1}x) = 1$ (કારણ કે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $\cot^{-1}x > 0$).
$4$. $\{\pi\} = \pi - [\pi] = \pi - 3$.
આ કિંમતોને નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$D = \left| \begin{array}{ccc} 3 & \pi/3 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & \pi-3 \end{array} \right|$
બીજી હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$D = -1 \cdot \left| \begin{array}{cc} \pi/3 & 1 \\ 1 & \pi-3 \end{array} \right| + 0 \cdot \dots - 2 \cdot \left| \begin{array}{cc} 3 & \pi/3 \\ 1 & 1 \end{array} \right|$
$D = -1 \cdot (\frac{\pi}{3}(\pi-3) - 1) - 2 \cdot (3 - \frac{\pi}{3})$
$D = -(\frac{\pi^2}{3} - \pi - 1) - (6 - \frac{2\pi}{3})$
$D = -\frac{\pi^2}{3} + \pi + 1 - 6 + \frac{2\pi}{3}$
$D = -\frac{\pi^2}{3} + \frac{5\pi}{3} - 5$.

(D) શ્રેણિક અ-વ્યસ્ત હોય જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ $A = \begin{bmatrix} \sin \theta & \csc \theta & 1 \\ \csc \theta & 1 & \sin \theta \\ 1 & \sin \theta & \csc \theta \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A| = \sin \theta (\csc^2 \theta - \sin^2 \theta) - \csc \theta (\csc^2 \theta - \sin \theta) + 1 (\sin \theta \csc \theta - 1) = 0$.
$|A| = \csc \theta - \sin^3 \theta - \csc^3 \theta + 1 = 0$.
ધારો કે $x = \sin \theta$,તો $\csc \theta = \frac{1}{x}$.
$\frac{1}{x} - x^3 - \frac{1}{x^3} + 1 = 0 \Rightarrow x^6 - x^3 - x^2 + 1 = 0 \Rightarrow (x^3 - 1)(x^3 - x^2 + 1) = 0$.
અહીં $x^3 - x^2 + 1 = 0$ ને $\sin \theta$ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી,તેથી $x^3 = 1 \Rightarrow \sin \theta = 1$.
આમ,$\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$.

(C) આપેલ છે $\Delta = \begin{vmatrix} a+b & b & c \\ b+c & c & a \\ c+a & a & b \end{vmatrix}$.
$C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને મળે $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા,$\Delta = a(bc - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3 = -(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc)$.
આને $\Delta = -\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$ તરીકે પણ લખી શકાય.
કારણ કે $a, b, c > 0$,તેથી $a+b+c > 0$. વળી,વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા અ-ઋણ હોય છે. તેથી,$\Delta \leq 0$.
જો $\Delta = 0$ હોય,તો કાં તો $a+b+c = 0$ (જે અશક્ય છે કારણ કે $a, b, c > 0$) અથવા $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$,જેનો અર્થ છે $a=b=c$.
તેથી,વિધાન $\Delta = 0 \Rightarrow a+b+c = 0$ ખોટું છે.

(C) $\lambda$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે નિશ્ચાયકનું પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરીશું:
$\left| \begin{matrix} -6 & 1 & \lambda \\ 0 & 3 & 7 \\ -1 & 0 & 5 \end{matrix} \right| = -6(3 \times 5 - 7 \times 0) - 0(1 \times 5 - \lambda \times 0) + (-1)(1 \times 7 - 3 \times \lambda) = 5948$
$-6(15) - 0 + (-1)(7 - 3\lambda) = 5948$
$-90 - 7 + 3\lambda = 5948$
$-97 + 3\lambda = 5948$
$3\lambda = 5948 + 97$
$3\lambda = 6045$
$\lambda = \frac{6045}{3} = 2015$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે નિશ્ચાયક $D$ છે. પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$D = 0 - (a-x)[(-a-x)(0) - (c-x)(-b-x)] + (b-x)[(-a-x)(-c-x) - 0(-b-x)]$
$D = -(a-x)[-(c-x)(-b-x)] + (b-x)[(-a-x)(-c-x)]$
$D = (a-x)(c-x)(-b-x) + (b-x)(a+x)(c+x)$
આ પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(a-x)(c-x)(-b-x) = -x^3 + (a-b+c)x^2 + (ab+bc-ac)x - abc$
$(b-x)(a+x)(c+x) = -x^3 + (b-a-c)x^2 + (ab+bc-ac)x + abc$
બંનેનો સરવાળો કરતા:
$D = -2x^3 + 2(ab+bc-ac)x = 0$
$-2x(x^2 - (ab+bc-ac)) = 0$
સમીકરણમાં પુનરાવર્તિત બીજ હોવા માટે,$x=0$ એ પુનરાવર્તિત બીજ હોવું જોઈએ,જેના માટે $x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$ab+bc-ac = 0 \Rightarrow ac = ab+bc$.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & {a_3} & {a_2} \\ 1 & {a_3} & {2{a_2} - x} \\ 1 & {2{a_3} - x} & {a_2} \end{array} \right|$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & {a_3} & {a_2} \\ 0 & 0 & {a_2 - x} \\ 0 & {a_3 - x} & {a_2 - a_3} \end{array} \right|$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = 1 \cdot [0 - (a_2 - x)(a_3 - x)] = -(a_2 - x)(a_3 - x) = -(a_2 a_3 - a_2 x - a_3 x + x^2) = -x^2 + (a_2 + a_3)x - a_2 a_3$.
આ એક નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય $f(x) = ax^2 + bx + c$ છે જ્યાં $a = -1$,$b = (a_2 + a_3)$,અને $c = -a_2 a_3$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c$ ની મહત્તમ કિંમત $-\frac{D}{4a}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $D = b^2 - 4ac$.
$D = (a_2 + a_3)^2 - 4(-1)(-a_2 a_3) = (a_2 + a_3)^2 - 4a_2 a_3 = (a_2 - a_3)^2$.
આપેલ છે કે $|a_2 - a_3| = 6$,તેથી $D = 6^2 = 36$.
મહત્તમ કિંમત $-\frac{36}{4(-1)} = \frac{36}{4} = 9$ છે.

(D) આપેલ અસમતા: ${a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc + ca \leq 0$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે: $2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \leq 0$.
આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય: $(a^2 + 2ab + b^2) + (b^2 + 2bc + c^2) + (c^2 + 2ca + a^2) \leq 0$.
$(a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)^2 \leq 0$.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,સરવાળો $\leq 0$ ત્યારે જ શક્ય છે જો દરેક પદ શૂન્ય હોય:
$a+b=0, b+c=0, c+a=0$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $a=0, b=0, c=0$ મળે છે.
હવે,નિશ્ચાયકમાં $a=0, b=0, c=0$ મૂકતા:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{(0+0+0)}^2} & {{0^2} + {0^2}} & 1 \\ 1 & {{(0+0+2)}^2} & {{0^2} + {0^2}} \\ {{0^2} + {0^2}} & 1 & {{(0+0+2)}^2} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{array}} \right|$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 0(16-0) - 0(4-0) + 1(1-0) = 1$.

(D) લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - xI| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 5 \\ 3 & -1 & 2 \end{bmatrix}$,તેથી $A - xI = \begin{bmatrix} 2-x & 3 & 0 \\ 1 & 2-x & 5 \\ 3 & -1 & 2-x \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A - xI| = (2-x) \begin{vmatrix} 2-x & 5 \\ -1 & 2-x \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 2-x \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 1 & 2-x \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 0$.
$(2-x)((2-x)^2 + 5) - 3(2-x - 15) = 0$.
$(2-x)(4 - 4x + x^2 + 5) - 3(-x - 13) = 0$.
$(2-x)(x^2 - 4x + 9) + 3x + 39 = 0$.
$2x^2 - 8x + 18 - x^3 + 4x^2 - 9x + 3x + 39 = 0$.
$-x^3 + 6x^2 - 14x + 57 = 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $x^3 - 6x^2 + 14x - 57 = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left| \begin{array}{ccc} x + 2 & \omega & \omega^2 \\ \omega & x + 1 + \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & x + 1 + \omega \end{array} \right| = 0$.
હાર પ્રક્રિયા $R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ લાગુ પાડતા:
પ્રથમ હારનો સરવાળો:
$(x + 2 + \omega + \omega^2) = (x + 1 + (1 + \omega + \omega^2)) = (x + 1 + 0) = (x + 1)$.
તે જ રીતે,પ્રથમ હારના અન્ય ઘટકો:
$(\omega + x + 1 + \omega^2 + 1) = (x + 1 + (1 + \omega + \omega^2)) = (x + 1)$.
$(\omega^2 + 1 + x + 1 + \omega) = (x + 1 + (1 + \omega + \omega^2)) = (x + 1)$.
પ્રથમ હારમાંથી $(x + 1)$ સામાન્ય લેતા:
$(x + 1) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ \omega & x + 1 + \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & x + 1 + \omega \end{array} \right| = 0$.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $x \neq -1$ માટે શૂન્યતર હોવાથી,સમીકરણ $(x + 1)^3 = 0$ માં પરિણમે છે.
તેથી,બીજ $x = -1$ છે.

(A) ધારો કે $G.P.$ એ $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ છે. આપેલ છે કે $x = ar, y = ar^2, z = ar^3$.
નિશ્ચાયક $\Delta$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} (ar)^k & (ar)^{k+1} & (ar)^{k+2} \\ (ar^2)^k & (ar^2)^{k+1} & (ar^2)^{k+2} \\ (ar^3)^k & (ar^3)^{k+1} & (ar^3)^{k+2} \end{vmatrix}$
$R_1$ માંથી $(ar)^k$,$R_2$ માંથી $(ar^2)^k$,અને $R_3$ માંથી $(ar^3)^k$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (ar)^k (ar^2)^k (ar^3)^k \begin{vmatrix} 1 & ar & a^2r^2 \\ 1 & ar^2 & a^2r^4 \\ 1 & ar^3 & a^2r^6 \end{vmatrix}$
$= a^{3k} r^{k(1+2+3)} \cdot a^2 r^3 \begin{vmatrix} 1 & r & r^2 \\ 1 & r^2 & r^4 \\ 1 & r^3 & r^6 \end{vmatrix}$
$= a^{3k+2} r^{6k+3} (r-1)(r^2-r)(r^2-1) = a^{3k+2} r^{6k+3} r(r-1)^2(r+1)(r-1)$
આપેલ પદાવલિ સાથે સરખાવતા,$k = -1$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $A_{\lambda} = \begin{bmatrix} \lambda & \lambda - 1 \\ \lambda - 1 & \lambda \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A_{\lambda}|$ ની ગણતરી કરતા,$|A_{\lambda}| = \lambda(\lambda) - (\lambda - 1)(\lambda - 1) = \lambda^2 - (\lambda - 1)^2$.
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $|A_{\lambda}| = (\lambda - (\lambda - 1))(\lambda + \lambda - 1) = (1)(2\lambda - 1) = 2\lambda - 1$.
આપણે સરવાળો $S = \sum_{\lambda=1}^{300} |A_{\lambda}| = \sum_{\lambda=1}^{300} (2\lambda - 1)$ શોધવાનો છે.
આ પ્રથમ $300$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે.
પ્રથમ $n$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $n^2$ થાય છે.
તેથી,$S = (300)^2 = 90000$.

(B) ધારો કે $S = ab + bc + ca$ અને $K = a^2 + b^2 + c^2$. નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} K & S & S \\ S & K & S \\ S & S & K \end{array} \right|$ છે.
$R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ પ્રક્રિયા કરતા,$\Delta = (K + 2S) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ S & K & S \\ S & S & K \end{array} \right|$ મળે.
$K + 2S = (a+b+c)^2$ હોવાથી,$\Delta = (a+b+c)^2 \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ S & K & S \\ S & S & K \end{array} \right|$ થાય.
$C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ પ્રક્રિયા કરતા,$\Delta = (a+b+c)^2 \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ S & K-S & 0 \\ S & 0 & K-S \end{array} \right| = (a+b+c)^2 (K-S)^2$ મળે.
કિંમતો મુકતા,$K-S = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2} [(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$.
આમ,$\Delta = (a+b+c)^2 \times \left( \frac{1}{2} [(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] \right)^2$.
$a, b, c$ ભિન્ન સંમેય સંખ્યાઓ હોવાથી,$(a-b)^2, (b-c)^2, (c-a)^2$ ધન સંમેય સંખ્યાઓ છે. તેથી,$\Delta$ એ ધન સંમેય સંખ્યા છે.

(C) ધારો કે નિશ્ચાયક $D$ છે. $R_1 \to R_1 - R_2$ અને $R_2 \to R_2 - R_3$ લેતા:
$D = \begin{vmatrix} \cos x - \sin x & \sin x - \cos x & 0 \\ 0 & \cos x - \sin x & \sin x - \cos x \\ \sin x & \sin x & \cos x \end{vmatrix} = 0$
$R_1$ અને $R_2$ માંથી $(\cos x - \sin x)$ સામાન્ય લેતા:
$D = (\cos x - \sin x)^2 \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ \sin x & \sin x & \cos x \end{vmatrix} = 0$
$R_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$(\cos x - \sin x)^2 [1(\cos x + \sin x) - (-1)(0 + \sin x)] = 0$
$(\cos x - \sin x)^2 (\cos x + 2\sin x) = 0$
આથી $\cos x - \sin x = 0$ અથવા $\cos x + 2\sin x = 0$ મળે.
કિસ્સો $1$: $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}$.
કિસ્સો $2$: $\tan x = -\frac{1}{2} \implies x = \arctan(-\frac{1}{2})$.
કારણ કે $\arctan(-\frac{1}{2}) \approx -0.46$ અને $-\frac{\pi}{4} \approx -0.785$,બંને કિંમતો અંતરાલ $\left[ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right]$ માં આવે છે.
આમ,કુલ $2$ ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.

(D) નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $\Delta = x(yz - 1) - 1(z - 1) + 1(1 - y) = xyz - x - z + 1 - 1 + 1 - y = xyz - (x + y + z) + 2$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta \ge 0$,તેથી $xyz - (x + y + z) + 2 \ge 0$,જેનો અર્થ છે કે $xyz + 2 \ge x + y + z$.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$x + y + z \ge 3(xyz)^{1/3}$.
ધારો કે $t = (xyz)^{1/3}$,તો અસમતા $t^3 + 2 \ge x + y + z$ બને છે.
ન્યૂનતમ કિંમત માટે,$x=y=z=t$ લેતા,$t^3 - 3t + 2 \ge 0$ મળે.
અવયવ પાડતા,$(t - 1)^2(t + 2) \ge 0$ મળે.
$(t - 1)^2 \ge 0$ હોવાથી,$t + 2 \ge 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $t \ge -2$.
તેથી,$xyz = t^3 \ge (-2)^3 = -8$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-8$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણોની સંહતિને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$(a - 1)x - y - z = 0$
$-x + (b - 1)y - z = 0$
$-x - y + (c - 1)z = 0$
શૂન્યતર ઉકેલ માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} a - 1 & -1 & -1 \\ -1 & b - 1 & -1 \\ -1 & -1 & c - 1 \end{vmatrix} = 0$
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_3$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} a - 1 & -1 & -1 \\ 0 & b & -c \\ -a & 0 & c \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$(a - 1)(bc - 0) + 1(0 - ac) - 1(0 + ab) = 0$
$(a - 1)(bc) - ac - ab = 0$
$abc - bc - ac - ab = 0$
$abc = ab + bc + ca$
આમ,$ab + bc + ca = abc$.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array} \right|$.
$R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = (a+b+c) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (a+b+c) [1(bc - a^2) - 1(b^2 - ac) + 1(ab - c^2)]$
$\Delta = (a+b+c) (bc + ac + ab - a^2 - b^2 - c^2)$.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$\Delta = -\frac{1}{2}(a+b+c) [2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca]$
$\Delta = -\frac{1}{2}(a+b+c) [(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$.
અહીં $a, b, c$ એ વિષમબાજુ ત્રિકોણની બાજુઓ હોવાથી,$a, b, c > 0$ અને $a \neq b \neq c$ છે.
તેથી,$(a+b+c) > 0$ અને $[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] > 0$ થાય.
આમ,$\Delta < 0$ મળે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અશૂન્ય ઉકેલ હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ -1 & 4 & 7 \\ \sin 3\theta & \cos 2\theta & 2 \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયકને શૂન્ય લેતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 7 \\ -1 & 4 & 7 \\ \sin 3\theta & \cos 2\theta & 2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(8 - 7\cos 2\theta) - 3(-2 - 7\sin 3\theta) + 7(-\cos 2\theta - 4\sin 3\theta) = 0$
$8 - 7\cos 2\theta + 6 + 21\sin 3\theta - 7\cos 2\theta - 28\sin 3\theta = 0$
$14 - 14\cos 2\theta - 7\sin 3\theta = 0$
$2 - 2\cos 2\theta - \sin 3\theta = 0$
$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ અને $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 - 2(1 - 2\sin^2 \theta) - (3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) = 0$
$4\sin^3 \theta + 4\sin^2 \theta - 3\sin \theta = 0$
$\sin \theta (2\sin \theta - 1)(2\sin \theta + 3) = 0$
$\theta \in (0, \pi)$ હોવાથી,$\sin \theta > 0$. તેથી,$\sin \theta = 1/2$ એ એકમાત્ર શક્ય ઉકેલ છે.
$\sin \theta = 1/2 \implies \theta = \pi/6, 5\pi/6$.
આમ,કુલ $2$ મૂલ્યો મળે છે.

(D) શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક નીચે મુજબ છે:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારના આધારે વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 1(1 + \sin^2 \theta) - \sin \theta(-\sin \theta + \sin \theta) + 1(\sin^2 \theta + 1)$
$|A| = 1 + \sin^2 \theta - 0 + \sin^2 \theta + 1 = 2 + 2\sin^2 \theta = 2(1 + \sin^2 \theta)$
આપેલ છે કે $\theta \in \left( \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right)$,તેથી $\sin \theta$ ની કિંમત $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ થી $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ની વચ્ચે છે.
ચોક્કસ રીતે,$-\frac{1}{\sqrt{2}} < \sin \theta < \frac{1}{\sqrt{2}}$.
અસમતાનો વર્ગ કરતા,આપણને મળે $0 \le \sin^2 \theta < \frac{1}{2}$.
હવે,આ કિંમત $|A|$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$|A| = 2(1 + \sin^2 \theta)$
કારણ કે $0 \le \sin^2 \theta < 0.5$,તેથી $1 \le 1 + \sin^2 \theta < 1.5$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $2 \le 2(1 + \sin^2 \theta) < 3$.
આમ,$\det(A) \in [2, 3)$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,અંતરાલ $[2, 3)$ એ $(1.5, 3)$ માં સમાવિષ્ટ છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકાય:
$(1 - \lambda)x - 2y - 2z = 0$
$x + (2 - \lambda)y + z = 0$
$-x - y - \lambda z = 0$
સિસ્ટમ શૂન્યતર ઉકેલો ધરાવે તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 - \lambda & -2 & -2 \\ 1 & 2 - \lambda & 1 \\ -1 & -1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(1 - \lambda) [(2 - \lambda)(-\lambda) - (-1)(1)] - (-2) [1(-\lambda) - (-1)(1)] + (-2) [1(-1) - (-1)(2 - \lambda)] = 0$
$(1 - \lambda) [-2\lambda + \lambda^2 + 1] + 2 [-\lambda + 1] - 2 [-1 + 2 - \lambda] = 0$
$(1 - \lambda)(\lambda - 1)^2 + 2(1 - \lambda) - 2(1 - \lambda) = 0$
$-(\lambda - 1)^3 = 0$
$\lambda = 1$
આમ,$\lambda$ માટે માત્ર એક જ મૂલ્ય હોવાથી,તમામ મૂલ્યોનો સમૂહ એક સિંગલટન સેટ છે.

(B) સુરેખ સમીકરણ સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ મળે તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ $(D = 0)$.
સમીકરણો:
$x - cy - cz = 0$
$cx - y + cz = 0$
$cx + cy - z = 0$
નિશ્ચાયક $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = \begin{vmatrix} 1 & -c & -c \\ c & -1 & c \\ c & c & -1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારની સાપેક્ષે નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1((-1)(-1) - (c)(c)) - (-c)((c)(-1) - (c)(c)) + (-c)((c)(c) - (-1)(c)) = 0$
$1(1 - c^2) + c(-c - c^2) - c(c^2 + c) = 0$
$1 - c^2 - c^2 - c^3 - c^3 - c^2 = 0$
$-2c^3 - 3c^2 + 1 = 0$
$2c^3 + 3c^2 - 1 = 0$
ઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(c + 1)^2(2c - 1) = 0$
તેથી,ઉકેલો $c = -1$ (પુનરાવર્તિત) અને $c = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$c$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{2}$ એટલે કે $0.5$ છે.

(C) સમીકરણ $x^2 + x + 1 = 0$ ના બીજ $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ અને $\omega^2$ એ એકમના સંકર ઘનમૂળ છે. નોંધો કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$ થાય.
ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} y + 1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & y + \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & y + \omega \end{array} \right|$ છે.
હારની પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} y + 1 + \omega + \omega^2 & y + 1 + \omega + \omega^2 & y + 1 + \omega + \omega^2 \\ \omega & y + \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & y + \omega \end{array} \right|$
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,પ્રથમ હાર $y, y, y$ બને છે.
$\Delta = y \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ \omega & y + \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & y + \omega \end{array} \right|$
સ્તંભની પ્રક્રિયા $C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = y \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ \omega & y + \omega^2 - \omega & 1 - \omega \\ \omega^2 & 1 - \omega^2 & y + \omega - \omega^2 \end{array} \right|$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = y \left[ (y + \omega^2 - \omega)(y + \omega - \omega^2) - (1 - \omega)(1 - \omega^2) \right]$
$\Delta = y \left[ (y + (\omega^2 - \omega))(y - (\omega^2 - \omega)) - (1 - \omega^2 - \omega + \omega^3) \right]$
$\Delta = y \left[ y^2 - (\omega^2 - \omega)^2 - (1 - (\omega^2 + \omega) + 1) \right]$
$\omega^2 + \omega = -1$ હોવાથી,$\Delta = y \left[ y^2 - (\omega^4 - 2\omega^3 + \omega^2) - (1 - (-1) + 1) \right] = y \left[ y^2 - (\omega - 2 + \omega^2) - 3 \right]$
$\Delta = y \left[ y^2 - (-1 - 2) - 3 \right] = y \left[ y^2 + 3 - 3 \right] = y^3.$
આમ,જવાબ $y^3$ છે.

(C) સમીકરણોની સિસ્ટમનો શૂન્યેતર ઉકેલ હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & k & -2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$2(k - 2) - 3(1 - (-4)) - 1(-1 - 2k) = 0$
$2k - 4 - 3(5) + 1 + 2k = 0$
$4k - 18 = 0 \Rightarrow 4k = 18 \Rightarrow k = \frac{9}{2}$
$k = \frac{9}{2}$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$(1) 2x + 3y - z = 0$
$(2) x + \frac{9}{2}y - 2z = 0$
$(3) 2x - y + z = 0$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા:
$(2x + 3y - z) - (2x - y + z) = 0 \Rightarrow 4y - 2z = 0 \Rightarrow z = 2y \Rightarrow \frac{y}{z} = \frac{1}{2}$
$z = 2y$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$2x + 3y - 2y = 0 \Rightarrow 2x + y = 0 \Rightarrow \frac{x}{y} = -\frac{1}{2}$
તેથી,$\frac{z}{x} = \frac{2y}{-0.5y} = -4$
હવે,અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરતા:
$\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + k = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 4 + \frac{9}{2} = \frac{1}{2}$

(B) નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$x[(-3x)(x+2) - (x-3)(2x)] - (-6)[2(x+2) - (x-3)(-3)] + (-1)[2(2x) - (-3x)(-3)] = 0$
$x[-3x^2 - 6x - (2x^2 - 6x)] + 6[2x + 4 - (-3x + 9)] - 1[4x - 9x] = 0$
$x[-3x^2 - 6x - 2x^2 + 6x] + 6[2x + 4 + 3x - 9] - 1[-5x] = 0$
$x[-5x^2] + 6[5x - 5] + 5x = 0$
$-5x^3 + 30x - 30 + 5x = 0$
$-5x^3 + 35x - 30 = 0$
$-5$ વડે ભાગતા,આપણને $x^3 - 7x + 6 = 0$ મળે છે.
આ $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ સ્વરૂપનું ત્રિઘાત સમીકરણ છે,જ્યાં $a=1, b=0, c=-7, d=6$.
બીજનો સરવાળો $-b/a = -0/1 = 0$ થાય છે.

(A) $2 \times 2$ શ્રેણિક $\left|\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right|$ ના નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $ad - bc$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{cc}2 & 4 \\ -1 & 2\end{array}\right|$ માટે,આપણે $a=2, b=4, c=-1, d=2$ તરીકે ઓળખીએ છીએ.
સૂત્ર લાગુ કરતાં: $(2)(2) - (4)(-1)$.
$= 4 - (-4)$.
$= 4 + 4 = 8$.

(B) નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{cc}x & x+1 \\ x-1 & x\end{array}\right|$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $2 \times 2$ નિશ્ચાયક માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\left|\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right| = ad - bc$.
આપણા પદ માટે આ સૂત્ર લાગુ પાડતા:
$= x(x) - (x+1)(x-1)$
$= x^2 - (x^2 - 1)$
$= x^2 - x^2 + 1$
$= 1$