Expansion of determinants, Solution of equation in the form of determinants and area of triangle and Equation of Line Questions in Gujarati

(A) આપણને $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ આપેલ છે જ્યાં $a, b, c, d \in \{\pm 3, \pm 2, \pm 1, 0\}$.
આપણે એવા શ્રેણિકોની સંખ્યા શોધવાની છે કે જેના માટે $\det(A) = ad - bc = 15$ થાય.
$ad$ ની મહત્તમ કિંમત $3 \times 3 = 9$ છે અને $bc$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-3 \times 3 = -9$ છે,તેથી $ad - bc$ ની મહત્તમ કિંમત $9 - (-9) = 18$ છે.
$ad - bc = 15$ થાય તેવી $ad$ અને $bc$ ની શક્ય કિંમતો:
કિસ્સો $I$: $ad = 9$ અને $bc = -6$.
$ad = 9$ માટે,$(a, d)$ ની જોડી $(3, 3)$ અથવા $(-3, -3)$ હોઈ શકે ($2$ જોડી).
$bc = -6$ માટે,$(b, c)$ ની જોડી $(3, -2), (-3, 2), (-2, 3), (2, -3)$ હોઈ શકે ($4$ જોડી).
કિસ્સો $I$ માટે કુલ શ્રેણિકો $= 2 \times 4 = 8$.
કિસ્સો $II$: $ad = 6$ અને $bc = -9$.
$ad = 6$ માટે,$(a, d)$ ની જોડી $(3, 2), (2, 3), (-3, -2), (-2, -3)$ હોઈ શકે ($4$ જોડી).
$bc = -9$ માટે,$(b, c)$ ની જોડી $(3, -3), (-3, 3)$ હોઈ શકે ($2$ જોડી).
કિસ્સો $II$ માટે કુલ શ્રેણિકો $= 4 \times 2 = 8$.
આવા કુલ શ્રેણિકોની સંખ્યા $= 8 + 8 = 16$.

(C) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલોના સમીકરણો તેમના લંબ સદિશો અને સ્થાન સદિશ $(x, y, z)$ ના ડોટ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
$\sigma_1: x + y + z = 0$
$\sigma_2: ax + by + cz = 0$
$\sigma_3: a^2x + b^2y + c^2z = 0$
આ ત્રણ સમતલોનો છેદબિંદુ એક બિંદુ (ઉગમબિંદુ) હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} \neq 0$
આ એક પ્રમાણિત વેન્ડરમોન્ડ નિશ્ચાયક છે. સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ દ્વારા તેને સરળ બનાવી શકાય છે:
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & b-a & c-a \\ a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2 \end{vmatrix} = (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 1 \\ a^2 & b+a & c+a \end{vmatrix}$
$C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ લાગુ કરતા:
$\Delta = (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ a^2 & b+a & c-b \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b) = -(a-b)(b-c)(c-a)$
$\Delta \neq 0$ માટે,$a \neq b, b \neq c$ અને $c \neq a$ હોવું જોઈએ. આમ,$a, b$ અને $c$ એ ત્રણ ભિન્ન ધન કિંમતો હોવી જોઈએ.

(D) જ્યારે નિશ્ચાયક $D$ ને $5$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે,આપણે ઘટકોને $5$ ના મોડ્યુલોમાં ગણીએ છીએ.
$2014 \equiv -1 \pmod{5}$,$2015 \equiv 0 \pmod{5}$,$2016 \equiv 1 \pmod{5}$,$2017 \equiv 2 \pmod{5}$,$2018 \equiv 3 \equiv -2 \pmod{5}$,$2019 \equiv 4 \equiv -1 \pmod{5}$,$2020 \equiv 0 \pmod{5}$,$2021 \equiv 1 \pmod{5}$,$2022 \equiv 2 \pmod{5}$.
આ કિંમતોને નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$D \equiv \left|\begin{array}{ccc} (-1)^{2014} & 0^{2015} & 1^{2016} \\ 2^{2017} & (-2)^{2018} & (-1)^{2019} \\ 0^{2020} & 1^{2021} & 2^{2022} \end{array}\right| \pmod{5}$
$D \equiv \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 2^{2017} & 2^{2018} & -1 \\ 0 & 1 & 2^{2022} \end{array}\right| \pmod{5}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$D \equiv 1(2^{2018} \cdot 2^{2022} - (-1)(1)) - 0 + 1(2^{2017} \cdot 1 - 0) \pmod{5}$
$D \equiv 2^{4040} + 1 + 2^{2017} \pmod{5}$
ફર્માના નાના પ્રમેય મુજબ,$a^4 \equiv 1 \pmod{5}$:
$2^{4040} = (2^4)^{1010} \equiv 1^{1010} \equiv 1 \pmod{5}$
$2^{2017} = (2^4)^{504} \cdot 2^1 \equiv 1^{504} \cdot 2 \equiv 2 \pmod{5}$
આમ,$D \equiv 1 + 1 + 2 = 4 \pmod{5}$.
તેથી,શેષ $4$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$x+y+z=1$
$2x+Ny+2z=2$
$3x+3y+Nz=3$
સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ ત્યારે જ મળે જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta \neq 0$ હોય.
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & N & 2 \\ 3 & 3 & N \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1(N^2 - 6) - 1(2N - 6) + 1(6 - 3N)$
$\Delta = N^2 - 6 - 2N + 6 + 6 - 3N$
$\Delta = N^2 - 5N + 6 = (N-2)(N-3)$
અનન્ય ઉકેલ માટે,$\Delta \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $N \neq 2$ અને $N \neq 3$.
કારણ કે $N$ એ એક નિષ્પક્ષ પાસાનું પરિણામ છે,$N \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
$N$ ના જે મૂલ્યો માટે સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે તે $\{1, 4, 5, 6\}$ છે.
આવા $4$ મૂલ્યો છે,તેથી સંભાવના $\frac{4}{6}$ છે,જે $k = 4$ આપે છે.
$k$ અને $N$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો જે માટે સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે તે $4 + (1 + 4 + 5 + 6) = 4 + 16 = 20$ થાય.

(D) શ્રેણિક વ્યસ્ત ત્યારે જ હોય જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય. ધારો કે $A$ એ આપેલ શ્રેણિક છે.
$|A| = \left|\begin{array}{ccc}e^t & e^{-t}(\sin t-2 \cos t) & e^{-t}(-2 \sin t-\cos t) \\ e^t & e^{-t}(2 \sin t+\cos t) & e^{-t}(\sin t-2 \cos t) \\ e^t & e^{-t} \cos t & e^{-t} \sin t\end{array}\right|$
$C_1$ માંથી $e^t$ અને $C_2, C_3$ માંથી $e^{-t}$ સામાન્ય લેતા:
$|A| = e^t \cdot e^{-t} \cdot e^{-t} \left|\begin{array}{ccc}1 & \sin t -2 \cos t & -2 \sin t-\cos t \\ 1 & 2 \sin t+\cos t & \sin t-2 \cos t \\ 1 & \cos t & \sin t\end{array}\right|$
$|A| = e^{-t} \left|\begin{array}{ccc}1 & \sin t -2 \cos t & -2 \sin t-\cos t \\ 1 & 2 \sin t+\cos t & \sin t-2 \cos t \\ 1 & \cos t & \sin t\end{array}\right|$
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ અને $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$|A| = e^{-t} \left|\begin{array}{ccc}0 & -\sin t - 3\cos t & -3\sin t - 2\cos t \\ 0 & 2\sin t & -2\cos t \\ 1 & \cos t & \sin t\end{array}\right|$
$C_1$ ની સાપેક્ષે વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = e^{-t} \cdot 1 \cdot [(-\sin t - 3\cos t)(-2\cos t) - (2\sin t)(-3\sin t - 2\cos t)]$
$|A| = e^{-t} [2\sin t \cos t + 6\cos^2 t + 6\sin^2 t + 4\sin t \cos t] = 6e^{-t}$.
આમ,$6e^{-t} \neq 0$ દરેક $t \in R$ માટે,તેથી શ્રેણિક દરેક $t \in R$ માટે વ્યસ્ત છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે શૂન્યેતર ઉકેલ મેળવવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $D = 0$.
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \sqrt{3} \\ -1 & \tan \theta & \sqrt{7} \\ 1 & 1 & \tan \theta \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(\tan^2 \theta - \sqrt{7}) - 1(-\tan \theta - \sqrt{7}) + \sqrt{3}(-1 - \tan \theta) = 0$
$\tan^2 \theta - \sqrt{7} + \tan \theta + \sqrt{7} - \sqrt{3} - \sqrt{3} \tan \theta = 0$
$\tan^2 \theta + (1 - \sqrt{3}) \tan \theta - \sqrt{3} = 0$
$(\tan \theta - \sqrt{3})(\tan \theta + 1) = 0$
આમ,$\tan \theta = \sqrt{3}$ અથવા $\tan \theta = -1$.
$\tan \theta = \sqrt{3}$ અને $\theta \in [-\pi, \pi]$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}$.
$\tan \theta = -1$ અને $\theta \in [-\pi, \pi]$ માટે,$\theta = \frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}$.
$S$ માંના તમામ મૂલ્યોનો સરવાળો $\sum_{\theta \in S} \theta = \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$\frac{120}{\pi} \sum_{\theta \in S} \theta = \frac{120}{\pi} \times \frac{\pi}{6} = 20$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ccc}1 & \frac{3}{2} & \alpha+\frac{3}{2} \\ 1 & \frac{1}{3} & \alpha+\frac{1}{3} \\ 2 \alpha+3 & 3 \alpha+1 & 0\end{array}\right|=0$
ત્રીજી હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$(2\alpha+3) \left( \frac{3}{2}(\alpha+\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}(\alpha+\frac{3}{2}) \right) - (3\alpha+1) \left( 1(\alpha+\frac{1}{3}) - 1(\alpha+\frac{3}{2}) \right) = 0$
કૌંસની અંદરના પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$(2\alpha+3) \left( \frac{3\alpha}{2} + \frac{1}{2} - \frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2} \right) - (3\alpha+1) \left( \alpha + \frac{1}{3} - \alpha - \frac{3}{2} \right) = 0$
$(2\alpha+3) \left( \frac{9\alpha - 2\alpha}{6} \right) - (3\alpha+1) \left( \frac{2 - 9}{6} \right) = 0$
$(2\alpha+3) \left( \frac{7\alpha}{6} \right) - (3\alpha+1) \left( -\frac{7}{6} \right) = 0$
$\frac{7}{6}$ વડે ભાગતા:
$(2\alpha+3)(\alpha) + (3\alpha+1) = 0$
$2\alpha^2 + 3\alpha + 3\alpha + 1 = 0$
$2\alpha^2 + 6\alpha + 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $\alpha = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 8}}{4} = \frac{-6 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{7}}{2}$
$\sqrt{7} \approx 2.645$ હોવાથી,કિંમતો $\alpha_1 = \frac{-3 + 2.645}{2} \approx -0.1775$ અને $\alpha_2 = \frac{-3 - 2.645}{2} \approx -2.8225$ મળે છે.
બંને કિંમતો $(-3, 0)$ અંતરાલમાં આવે છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & \beta \\ 0 & \beta & \alpha \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A| = 1(\alpha^2 - \beta^2) - 0 + 0 = \alpha^2 - \beta^2$ થાય.
ગુણધર્મ $|kA| = k^n|A|$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=3$ છે,$|2A| = 2^3|A| = 8|A|$ મળે.
આપેલ છે કે $|2A|^3 = 2^{21}$,તેથી $(8|A|)^3 = 2^{21}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$8|A| = (2^{21})^{1/3} = 2^7 = 128$.
તેથી,$|A| = \frac{128}{8} = 16$.
હવે,$\alpha^2 - \beta^2 = 16$,જેને $(\alpha - \beta)(\alpha + \beta) = 16$ તરીકે લખી શકાય.
જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$ છે,$16$ ના અવયવો પાડતા $(\alpha-\beta, \alpha+\beta)$ ની શક્ય જોડીઓ $(2, 8), (4, 4)$ વગેરે મળે.
જો $(\alpha-\beta, \alpha+\beta) = (2, 8)$ હોય,તો સરવાળો કરતા $2\alpha = 10 \Rightarrow \alpha = 5$ મળે.
જો $(\alpha-\beta, \alpha+\beta) = (4, 4)$ હોય,તો સરવાળો કરતા $2\alpha = 8 \Rightarrow \alpha = 4$ મળે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$\alpha$ ની કિંમત $5$ છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમનો શૂન્યેતર ઉકેલ હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \sqrt{2} \sin \alpha & \sqrt{2} \cos \alpha \\ 1 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ 1 & \sin \alpha & -\cos \alpha \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(-\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) - \sqrt{2} \sin \alpha(-\cos \alpha - \sin \alpha) + \sqrt{2} \cos \alpha(\sin \alpha - \cos \alpha) = 0$
$-1 + \sqrt{2} \sin \alpha \cos \alpha + \sqrt{2} \sin^2 \alpha + \sqrt{2} \sin \alpha \cos \alpha - \sqrt{2} \cos^2 \alpha = 0$
$-1 + 2\sqrt{2} \sin \alpha \cos \alpha - \sqrt{2}(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 0$
$-1 + \sqrt{2} \sin 2\alpha - \sqrt{2} \cos 2\alpha = 0$
$\sqrt{2}(\sin 2\alpha - \cos 2\alpha) = 1$
$\sin 2\alpha - \cos 2\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2\alpha - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2\alpha = \frac{1}{2}$
$\sin(2\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$
અહીં $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી,$2\alpha \in (0, \pi)$,તેથી $2\alpha - \frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$.
તેથી,$2\alpha - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6}$ અથવા $2\alpha - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6}$.
કિસ્સો $1$: $2\alpha = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{12} \Rightarrow \alpha = \frac{5\pi}{24}$.
કિસ્સો $2$: $2\alpha = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{13\pi}{12} \Rightarrow \alpha = \frac{13\pi}{24}$ (જે આપેલ મર્યાદાની બહાર છે).
તેથી,$\alpha = \frac{5\pi}{24}$.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$\left|\begin{array}{lll}\alpha & b & c \\ a & \beta & c \\ a & b & \gamma\end{array}\right|=0$
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ અને $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ લાગુ પાડતા:
$\left|\begin{array}{ccc}\alpha-a & b-\beta & 0 \\ 0 & \beta-b & c-\gamma \\ a & b & \gamma\end{array}\right|=0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(\alpha-a)[(\beta-b)\gamma - b(c-\gamma)] - (b-\beta)[0 - a(c-\gamma)] + 0 = 0$
$(\alpha-a)(\beta-b)\gamma - b(\alpha-a)(c-\gamma) + a(b-\beta)(c-\gamma) = 0$
આખા સમીકરણને $(\alpha-a)(\beta-b)(\gamma-c)$ વડે ભાગતા:
$\frac{(\alpha-a)(\beta-b)\gamma}{(\alpha-a)(\beta-b)(\gamma-c)} - \frac{b(\alpha-a)(c-\gamma)}{(\alpha-a)(\beta-b)(\gamma-c)} + \frac{a(b-\beta)(c-\gamma)}{(\alpha-a)(\beta-b)(\gamma-c)} = 0$
$\frac{\gamma}{\gamma-c} + \frac{b}{\beta-b} + \frac{a}{\alpha-a} = 0$

(D) ધારો કે $P = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ જ્યાં $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$ છે.
$3 \times 3$ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક એ $3$ ઘટકોના $6$ ગુણાકારોનો સરવાળો છે.
$\{-1, 0, 1\}$ માં ઘટકો ધરાવતા $3 \times 3$ શ્રેણિક માટે,નિશ્ચાયકનું મહત્તમ મૂલ્ય $4$ હોવાનું જાણીતું છે.
$4$ એ મહત્તમ મૂલ્ય છે તે સમજવા માટે,નીચેનો શ્રેણિક ધ્યાનમાં લો:
$P = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$\det(P) = 1(1 - (-1)) - (-1)(1 - (-1)) + 0(-1 - (-1))$
$\det(P) = 1(2) + 1(2) + 0 = 4$.
આમ,મહત્તમ શક્ય મૂલ્ય $4$ છે.

(B) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta$ છે. આપણે હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ લાગુ કરીએ છીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}(1+\alpha)^2 & (1+2\alpha)^2 & (1+3\alpha)^2 \\ 3+2\alpha & 3+4\alpha & 3+6\alpha \\ 5+2\alpha & 5+4\alpha & 5+6\alpha\end{array}\right|$
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ લાગુ કરતા:
$= \left|\begin{array}{lll}(1+\alpha)^2 & (1+2\alpha)^2 & (1+3\alpha)^2 \\ 3+2\alpha & 3+4\alpha & 3+6\alpha \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right|$
આ સમીકરણને ઉકેલતા આપણને $-8\alpha^3 = -648\alpha$ મળે છે.
તેથી $8\alpha^3 - 648\alpha = 0$,એટલે કે $8\alpha(\alpha^2 - 81) = 0$.
આમ,$\alpha = 0, 9, -9$. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $(B, C)$ છે.

(C) શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક નીચે મુજબ છે:
$|A| = 0(ae - bd) - 1(e - d) + c(b - a) = c(b - a) + d - e$.
અહીં $a, b, c, d, e \in \{0, 1\}$ અને $|A| \in \{-1, 1\}$ આપેલ છે.
કિસ્સો $I$: $c = 0$.
તો $|A| = d - e$. $|A| \in \{-1, 1\}$ માટે,$(d, e) = (0, 1)$ અથવા $(d, e) = (1, 0)$ હોવું જોઈએ.
દરેક $(d, e)$ ની જોડી માટે,$(a, b)$ માટે $2 \times 2 = 4$ વિકલ્પો છે.
$c = 0$ માટે કુલ કિસ્સાઓ $2 \times 4 = 8$ છે.
કિસ્સો $II$: $c = 1$.
તો $|A| = (b - a) + (d - e)$. આપણે $(b - a) + (d - e) \in \{-1, 1\}$ જોઈએ છે.
ધારો કે $X = b - a$ અને $Y = d - e$. $X, Y \in \{-1, 0, 1\}$.
આપણે $X + Y \in \{-1, 1\}$ જોઈએ છે.
$(X, Y)$ માટે શક્ય કિંમતો:
$(0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0)$.
$X = 0$ માટે,$(a, b) \in \{(0, 0), (1, 1)\}$ ($2$ વિકલ્પો).
$X = 1$ માટે,$(a, b) = (0, 1)$ ($1$ વિકલ્પ).
$X = -1$ માટે,$(a, b) = (1, 0)$ ($1$ વિકલ્પ).
તે જ રીતે $Y$ માટે,$Y = 1 \implies (d, e) = (1, 0)$ ($1$ વિકલ્પ),$Y = -1 \implies (d, e) = (0, 1)$ ($1$ વિકલ્પ),$Y = 0 \implies (d, e) \in \{(0, 0), (1, 1)\}$ ($2$ વિકલ્પો).
$c = 1$ માટે કુલ કિસ્સાઓ: $(2 \times 1) + (2 \times 1) + (1 \times 2) + (1 \times 2) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8$.
$S$ માં કુલ ઘટકો = $8 + 8 = 16$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 2+p & 2+p+q \\ 4 & 6+2p & 8+3p+2q \\ 6 & 12+3p & 20+6p+3q \end{bmatrix}$.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરતા: $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$,આપણે નિશ્ચાયકનું સાદું રૂપ આપીએ છીએ.
$|A| = \begin{vmatrix} 2 & p & q \\ 4 & 2+2p & 2+p+q \\ 6 & 6+3p & 8+3p+q \end{vmatrix}$.
વધુ સાદું રૂપ આપતા,આપણને $|A| = 8 = 2^3$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(M))) = |M|^{(n-1)^2}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં $n=3$ છે,તેથી $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(3A))) = |3A|^{(3-1)^2} = |3A|^4$.
કારણ કે $|3A| = 3^3 |A| = 3^3 \cdot 2^3$,તેથી $|3A|^4 = (3^3 \cdot 2^3)^4 = 3^{12} \cdot 2^{12}$.
$2^m \cdot 3^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m=12$ અને $n=12$ મળે છે.
તેથી,$m+n = 12+12 = 24$.

(C) આપેલ છે કે $\omega = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$,આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$-1 - \omega^2 = \omega$ થાય.
વળી,$\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega$.
નિશ્ચાયકમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{array} \right|$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1(\omega^2 - \omega^4) - 1(\omega - \omega^2) + 1(\omega^2 - \omega)$
$\Delta = 1(\omega^2 - \omega) - 1(\omega - \omega^2) + 1(\omega^2 - \omega)$
$\Delta = \omega^2 - \omega - \omega + \omega^2 + \omega^2 - \omega$
$\Delta = 3\omega^2 - 3\omega$
$\Delta = 3\omega(\omega - 1)$

(B) આપેલ છે કે $w = \frac{-1-i \sqrt{3}}{2}$,જે એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,જેને $\omega$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$.
ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & \omega\end{array}\right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 + \omega + \omega^2 & \omega & \omega^2 \\ \omega + \omega^2 + 1 & \omega^2 & 1 \\ \omega^2 + 1 + \omega & 1 & \omega\end{array}\right|$
કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & \omega & \omega^2 \\ 0 & \omega^2 & 1 \\ 0 & 1 & \omega\end{array}\right|$
પ્રથમ સ્તંભના તમામ ઘટકો $0$ હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(B) નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\cos(A+B) [\cos A \cos B - \sin A \sin B] - (-\sin(A+B)) [\sin A \cos B - (-\cos A \sin B)] + \cos(2B) [\sin^2 A + \cos^2 A] = 0$
કૌંસની અંદરના પદોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\cos(A+B) [\cos(A+B)] + \sin(A+B) [\sin(A+B)] + \cos(2B) [\sin^2 A + \cos^2 A] = 0$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2(A+B) + \sin^2(A+B) + \cos(2B) = 1 = 0$
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ હોવાથી:
$1 + \cos(2B) = 0$
$\cos(2B) = -1$
$2B = (2n+1)\pi$
$B = (2n+1) \frac{\pi}{2}, n \in Z$

(A) પદાવલિ $a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13}$ એ શ્રેણિક $A$ ના નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હારની સાપેક્ષ વિસ્તરણ દર્શાવે છે,જે $|A|$ ની બરાબર છે.
$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 6 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 3(2 \times 6 - 1 \times 2) - 2(1 \times 6 - 1 \times 3) + 4(1 \times 2 - 2 \times 3)$
$|A| = 3(12 - 2) - 2(6 - 3) + 4(2 - 6)$
$|A| = 3(10) - 2(3) + 4(-4)$
$|A| = 30 - 6 - 16$
$|A| = 8$
તેથી,$a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13} = 8$.

(C) સમીકરણ સંહતિને શૂન્યતર ઉકેલ મળે તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\left|\begin{array}{ccc} a^3 & (a+1)^3 & (a+2)^3 \\ a & (a+1) & (a+2) \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| = 0$
સાદું રૂપ આપવા માટે હારની અદલાબદલી કરતા:
$-\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & (a+1) & (a+2) \\ a^3 & (a+1)^3 & (a+2)^3 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ $\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^3 & y^3 & z^3 \end{array}\right| = (x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x=a, y=a+1, z=a+2$:
$-(a-(a+1))((a+1)-(a+2))((a+2)-a)(a+(a+1)+(a+2)) = 0$
$-(-1)(-1)(2)(3a+3) = 0$
$-2(3a+3) = 0$
$3a+3 = 0 \Rightarrow a = -1$.

(B) આપેલ છે,$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક $|A|$ અથવા $\det(A)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$|A| = (a \times d) - (b \times c) = ad - bc$.
પદ $|A|^{-1}$ એ નિશ્ચાયકની કિંમત $|A|$ નો વ્યસ્ત દર્શાવે છે.
તેથી,$|A|^{-1} = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{ad - bc}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો તેમના અનુરૂપ સહઅવયવો સાથેનો ગુણાકારનો સરવાળો એ શ્રેણિકના નિશ્ચાયક જેટલો થાય છે,એટલે કે $a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + a_{i3} A_{i3} = |A|$.
અહીં,$a_{31} A_{31} + a_{32} A_{32} + a_{33} A_{33} = |A|$.
હવે,પ્રથમ હારના આધારે વિસ્તરણ કરીને $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1(1 \times 7 - 5 \times 4) - 2(1 \times 7 - 5 \times 2) + 3(1 \times 4 - 1 \times 2)$
$|A| = 1(7 - 20) - 2(7 - 10) + 3(4 - 2)$
$|A| = 1(-13) - 2(-3) + 3(2)$
$|A| = -13 + 6 + 6$
$|A| = -1$
તેથી,કિંમત $-1$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} \lambda & i \\ i & -\lambda \end{bmatrix}$ છે.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવતું ન હોય તે માટે,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $|A| = 0$.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$|A| = (\lambda)(-\lambda) - (i)(i) = -\lambda^2 - i^2$.
અહીં $i = \sqrt{-1}$ હોવાથી,$i^2 = -1$ થાય.
આ કિંમત નિશ્ચાયકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$|A| = -\lambda^2 - (-1) = -\lambda^2 + 1$.
નિશ્ચાયકને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$-\lambda^2 + 1 = 0 \Rightarrow \lambda^2 = 1$.
તેથી,$\lambda = \pm 1$.

(D) જો શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોય,તો તે શ્રેણિક વ્યસ્ત ન હોઈ શકે.
આપેલ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ લેતા:
$\begin{vmatrix} x & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$x(5 \times 5 - 6 \times 3) - 2(4 \times 5 - 6 \times 2) + 3(4 \times 3 - 5 \times 2) = 0$
$x(25 - 18) - 2(20 - 12) + 3(12 - 10) = 0$
$x(7) - 2(8) + 3(2) = 0$
$7x - 16 + 6 = 0$
$7x - 10 = 0$
$7x = 10$
$x = \frac{10}{7}$

(A) શ્રેણિક $A$ વ્યસ્ત ન હોય જો અને માત્ર જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & -1 & 4 \\ -3 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = a(0 \times 2 - 1 \times 1) - (-1)(-3 \times 2 - 1 \times (-1)) + 4(-3 \times 1 - 0 \times (-1)) = 0$
$|A| = a(0 - 1) + 1(-6 + 1) + 4(-3 - 0) = 0$
$|A| = a(-1) + 1(-5) + 4(-3) = 0$
$-a - 5 - 12 = 0$
$-a - 17 = 0$
$a = -17$.
આમ,શ્રેણિક વ્યસ્ત ન હોય જ્યારે $a = -17$ હોય.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} \alpha & 14 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = \alpha(3 \times 3 - 1 \times 2) - 14(2 \times 3 - 1 \times 6) + (-1)(2 \times 2 - 3 \times 6)$
$|A| = \alpha(9 - 2) - 14(6 - 6) - 1(4 - 18)$
$|A| = \alpha(7) - 14(0) - 1(-14)$
$|A| = 7\alpha + 14$
વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ન ધરાવે તે માટે $|A| = 0$ લેતા:
$7\alpha + 14 = 0$
$7\alpha = -14$
$\alpha = -2$
આમ,$\alpha$ ની કિંમત $-2$ છે.

(B) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયકો $D_1$ અને $D_2$ છે.
$D_1 = \left|\begin{array}{ll}2017 & 2018 \\ 2019 & 2020\end{array}\right| = (2017 \times 2020) - (2018 \times 2019)$.
ગુણધર્મ $a(a+3) - (a+1)(a+2) = a^2 + 3a - (a^2 + 3a + 2) = -2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $D_1 = -2$ મળે છે.
તે જ રીતે,$D_2 = \left|\begin{array}{ll}2021 & 2022 \\ 2023 & 2024\end{array}\right| = (2021 \times 2024) - (2022 \times 2023)$.
તે જ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$D_2 = -2$ મળે છે.
આપેલ છે કે $D_1 + D_2 = 2k$,તેથી $-2 + (-2) = 2k$.
$-4 = 2k \implies k = -2$.
તેથી,$k^3 = (-2)^3 = -8$.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય ત્યારે ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
અહીં $P(k, 1)$,$Q(2, 4)$ અને $R(1, 1)$ આપેલ છે અને ક્ષેત્રફળ $3$ ચોરસ એકમ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$3 = \frac{1}{2} |k(4 - 1) + 2(1 - 1) + 1(1 - 4)|$
$6 = |3k + 0 - 3|$
$6 = |3k - 3|$
આના બે કિસ્સાઓ મળે:
કિસ્સો $1$: $3k - 3 = 6 \implies 3k = 9 \implies k = 3$.
કિસ્સો $2$: $3k - 3 = -6 \implies 3k = -3 \implies k = -1$.
આમ,$k = -1$ અથવા $k = 3$.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય ત્યારે તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
અહીં આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(k, 1)$,$B(2, 4)$ અને $C(1, 1)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $6$ ચોરસ એકમ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$6 = \frac{1}{2} |k(4 - 1) + 2(1 - 1) + 1(1 - 4)|$.
$12 = |3k + 0 - 3|$.
$12 = |3k - 3|$.
આના બે કિસ્સાઓ મળે:
કિસ્સો $1$: $3k - 3 = 12 \implies 3k = 15 \implies k = 5$.
કિસ્સો $2$: $3k - 3 = -12 \implies 3k = -9 \implies k = -3$.
આમ,$k$ ની કિંમતો $5$ અને $-3$ છે.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક $D = \sin \frac{11 \pi}{36} \cos \frac{2 \pi}{9} - \cos \frac{11 \pi}{36} \sin \frac{2 \pi}{9}$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,$A = \frac{11 \pi}{36}$ અને $B = \frac{2 \pi}{9}$ લો.
પ્રથમ,$B$ ને સમાન છેદમાં ફેરવતા: $B = \frac{2 \pi}{9} = \frac{8 \pi}{36}$.
હવે,$D = \sin \left( \frac{11 \pi}{36} - \frac{8 \pi}{36} \right) = \sin \left( \frac{3 \pi}{36} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{12} \right)$.
કારણ કે $\sin \theta = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$,તેથી $\sin \left( \frac{\pi}{12} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} \right) = \cos \left( \frac{6 \pi - \pi}{12} \right) = \cos \frac{5 \pi}{12}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $a(cb - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ba - c^2) = 0$.
આનું સાદુંરૂપ $3abc - (a^3 + b^3 + c^3) = 0$ થાય છે.
તેથી $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$.
નિત્યસમ $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા.
$a, b, c$ ત્રિકોણની બાજુઓ હોવાથી $a+b+c \neq 0$.
તેથી $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{2}((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) = 0$.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $a = b = c$ હોય.
$a = b = c$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમબાજુ છે,તેથી $A = B = C = 60^\circ$.
તેથી,$\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = \sin^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3\end{array}\right|=0$
ત્રીજા સ્તંભને અલગ કરતા:
$\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & x^3 \\ y & y^2 & y^3 \\ z & z^2 & z^3\end{array}\right|=0$
બીજા નિશ્ચાયકમાં,અનુક્રમે હાર $1, 2, 3$ માંથી $x, y, z$ સામાન્ય લેતા:
$\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| + xyz \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2\end{array}\right|=0$
પ્રથમ નિશ્ચાયક માટે,સ્તંભ $3$ ને સ્તંભ $2$ સાથે,અને પછી સ્તંભ $2$ ને સ્તંભ $1$ સાથે અદલાબદલી કરતા:
$\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| = -\left|\begin{array}{ccc}x & 1 & x^2 \\ y & 1 & y^2 \\ z & 1 & z^2\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2\end{array}\right|$
આ કિંમત પાછી મૂકતા:
$(1 + xyz) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2\end{array}\right| = 0$
આપેલ છે કે બીજો નિશ્ચાયક શૂન્ય નથી,તેથી $1 + xyz = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $xyz = -1$.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય તો તેનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(1, 3)$,$B(0, 0)$ અને $C(k, 0)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $3$ ચોરસ એકમ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$3 = \frac{1}{2} |1(0 - 0) + 0(0 - 3) + k(3 - 0)|$
$3 = \frac{1}{2} |0 + 0 + 3k|$
$3 = \frac{1}{2} |3k|$
$6 = |3k|$
$|k| = 2$
તેથી,$k = \pm 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$2[\sin(A+B)\sin(A-B) - \cos(A+B)\cos(A-B)] + \sqrt{3} = 0$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા,કૌંસની અંદરના પદને આ રીતે લખી શકાય:
$-(\cos(A+B)\cos(A-B) - \sin(A+B)\sin(A-B)) = -\cos((A+B) + (A-B)) = -\cos(2A)$
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2[-\cos(2A)] + \sqrt{3} = 0$
$-2\cos(2A) = -\sqrt{3}$
$\cos(2A) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$2A = \frac{\pi}{6}$
$A = \frac{\pi}{12}$

(B) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{lll}10 & 11 & 12 \\ 11 & 12 & 13 \\ 12 & 13 & 14\end{array}\right|$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_2$ લાગુ કરો:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}10 & 11 & 12 \\ 11-10 & 12-11 & 13-12 \\ 12-11 & 13-12 & 14-13\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}10 & 11 & 12 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
અહીં હાર $R_2$ અને હાર $R_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $D$ નું પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરીએ:
$D = 1(1 - (-\cos^2 \theta)) - (-\cos \theta)(\cos \theta - (- \cos \theta)) - 1(\cos^2 \theta - 1)$
$D = 1(1 + \cos^2 \theta) + \cos \theta(2 \cos \theta) - (\cos^2 \theta - 1)$
$D = 1 + \cos^2 \theta + 2 \cos^2 \theta - \cos^2 \theta + 1$
$D = 2 + 2 \cos^2 \theta$
કારણ કે $\cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $\cos^2 \theta$ નો વિસ્તાર $[0, 1]$ થાય.
તેથી,$D = 2 + 2 \cos^2 \theta$ નો વિસ્તાર $[2 + 2(0), 2 + 2(1)] = [2, 4]$ છે.
આમ,મહત્તમ કિંમત $p = 4$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $q = 2$ મળે છે.
અંતે,આપણે $2p + 3q = 2(4) + 3(2) = 8 + 6 = 14$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.

(D) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+x & 1 & 1 \\ 1+y & 1+2 y & 1 \\ 1+z & 1+z & 1+3 z\end{array}\right|$.
$C_1 \to C_1 - C_3$ અને $C_2 \to C_2 - C_3$ લેતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & 0 & 1 \\ y & 2y & 1 \\ -2z & -2z & 1+3z\end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = x[2y(1+3z) - (-2z)] - 0 + 1[-2yz - (-4yz)]$
$\Delta = x(2y + 6yz + 2z) + 2yz = 2xy + 6xyz + 2xz + 2yz$.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,$k=1$ મળે છે.

(A) ધારો કે $D = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right|$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_2$ લાગુ કરતા:
$D = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
અહીં બે હાર ($R_2$ અને $R_3$) સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
આપેલ છે કે $D = 2016 k$,તેથી $0 = 2016 k$.
આમ,$k = 0$.

(B) નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{cc}\sin ^2 \theta & \cos ^2 \theta \\ -\cos ^2 \theta & \sin ^2 \theta\end{array}\right|$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $2 \times 2$ નિશ્ચાયકનું સૂત્ર વાપરીએ છીએ: $\left|\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right| = ad - bc$.
આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(\sin^2 \theta)(\sin^2 \theta) - (\cos^2 \theta)(-\cos^2 \theta)$
$= \sin^4 \theta + \cos^4 \theta$.
નિત્યસમ $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ:
$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$.
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,આ પદ બને છે:
$1^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2}(4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) = 1 - \frac{1}{2}(2 \sin \theta \cos \theta)^2$.
દ્વિગુણિત ખૂણાના નિત્યસમ $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$1 - \frac{1}{2} \sin^2 2 \theta$.

(A) આપેલ છે કે $x, y, z \in \mathbb{R}$ અને $x^4+y^4+z^4=0$.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓની બેકી ઘાતનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,દરેક પદ વ્યક્તિગત રીતે શૂન્ય હોવું જોઈએ: $x^4=0, y^4=0, z^4=0$.
આનો અર્થ એ છે કે $x=0, y=0, z=0$.
હવે,નિશ્ચાયકમાં $x=0, y=0, z=0$ મૂકતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & (0)(0) & (0)(0) \\ (0)(0) & 1 & (0)(0) \\ (0)(0) & (0)(0) & 1\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$.
એકમ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $1(1-0) - 0 + 0 = 1$ થાય છે.
આમ,કિંમત $1$ છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} S+c & a & b \\ c & S+a & b \\ c & a & S+b \end{array}\right|$.
પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} S+c+a+b & a & b \\ c+S+a+b & S+a & b \\ c+a+S+b & a & S+b \end{array}\right|$.
કારણ કે $a+b+c = S$,તેથી $S+c+a+b = S+S = 2S$.
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2S & a & b \\ 2S & S+a & b \\ 2S & a & S+b \end{array}\right| = 2S \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 1 & S+a & b \\ 1 & a & S+b \end{array}\right|$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ કરતા:
$\Delta = 2S \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 0 & S & 0 \\ 0 & 0 & S \end{array}\right|$.
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 2S \times [1(S \times S - 0 \times 0)] = 2S \times S^2 = 2S^3$.

(B) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} k+r & p & q \\ r & k+p & q \\ r & p & k+q \end{array}\right|$.
પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} k+p+q+r & p & q \\ k+p+q+r & k+p & q \\ k+p+q+r & p & k+q \end{array}\right|$.
કારણ કે $k = p+q+r$,તેથી $k+p+q+r = 2k$ થાય.
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2k & p & q \\ 2k & k+p & q \\ 2k & p & k+q \end{array}\right| = 2k \left|\begin{array}{ccc} 1 & p & q \\ 1 & k+p & q \\ 1 & p & k+q \end{array}\right|$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ કરતા:
$\Delta = 2k \left|\begin{array}{ccc} 1 & p & q \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k \end{array}\right|$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 2k \times (1 \times (k^2 - 0)) = 2k \times k^2 = 2k^3$.

(A) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(2, -6)$,$(5, 4)$ અને $(k, 4)$ છે અને $\text{Area} = 35$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$35 = \frac{1}{2} |2(4 - 4) + 5(4 - (-6)) + k(-6 - 4)|$
$70 = |2(0) + 5(10) + k(-10)|$
$70 = |50 - 10k|$
આ બે કિસ્સાઓ સૂચવે છે:
$1) 50 - 10k = 70 \implies -10k = 20 \implies k = -2$
$2) 50 - 10k = -70 \implies -10k = -120 \implies k = 12$
આમ,$k$ ની કિંમતો $12$ અને $-2$ છે.

(A) $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(3, 5), (2, 2)$ અને $(k, 2)$ છે અને $\text{Area} = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$3 = \frac{1}{2} |3(2 - 2) + 2(2 - 5) + k(5 - 2)|$
$3 = \frac{1}{2} |3(0) + 2(-3) + k(3)|$
$3 = \frac{1}{2} |0 - 6 + 3k|$
$6 = |-6 + 3k|$
આ બે કિસ્સાઓ સૂચવે છે:
$1) -6 + 3k = 6 \implies 3k = 12 \implies k = 4$
$2) -6 + 3k = -6 \implies 3k = 0 \implies k = 0$
આમ,$k$ ની કિંમતો $0$ અને $4$ છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ll}3 & x \\ x & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 4 & 1\end{array}\right|$
બંને બાજુના નિશ્ચાયકોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(3 \times 1) - (x \times x) = (3 \times 1) - (2 \times 4)$
$3 - x^2 = 3 - 8$
$3 - x^2 = -5$
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા:
$-x^2 = -8$
$x^2 = 8$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x = \pm \sqrt{8}$
$x = \pm 2\sqrt{2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ જેનાં શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તેનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં શિરોબિંદુઓ $(-2, 0)$,$(0, 4)$ અને $(0, k)$ આપેલ છે અને ક્ષેત્રફળ $4$ ચોરસ એકમ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$4 = \frac{1}{2} |-2(4 - k) + 0(k - 0) + 0(0 - 4)|$
$4 = \frac{1}{2} |-8 + 2k|$
$8 = |-8 + 2k|$
આના બે કિસ્સાઓ મળે:
કિસ્સો $1$: $-8 + 2k = 8 \implies 2k = 16 \implies k = 8$
કિસ્સો $2$: $-8 + 2k = -8 \implies 2k = 0 \implies k = 0$
આમ,$k$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અને $8$ છે.

(C) શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરીએ:
$\operatorname{det}(A) = 1(1 - (-\cos^2 \theta)) - (-\cos \theta)(\cos \theta - (-1)) + (-1)(\cos^2 \theta - 1)$
$\operatorname{det}(A) = 1(1 + \cos^2 \theta) + \cos \theta(\cos \theta + 1) - 1(\cos^2 \theta - 1)$
$\operatorname{det}(A) = 1 + \cos^2 \theta + \cos^2 \theta + \cos \theta - \cos^2 \theta + 1$
$\operatorname{det}(A) = \cos^2 \theta + \cos \theta + 2$
આપેલ છે કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,તેથી $0 < \cos \theta < 1$ થાય.
ધારો કે $f(x) = x^2 + x + 2$ જ્યાં $x = \cos \theta$ છે.
કારણ કે $x \in (0, 1)$,તેથી $f(x)$ નો વિસ્તાર $(0^2 + 0 + 2, 1^2 + 1 + 2) = (2, 4)$ થશે.
આમ,$\operatorname{det}(A) \in (2, 4)$.

(A) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ જેનાં શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તેનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(k, 0), (4, 0)$ અને $(0, 2)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $= 4$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$4 = \frac{1}{2} |k(0 - 2) + 4(2 - 0) + 0(0 - 0)|$.
$4 = \frac{1}{2} |-2k + 8|$.
$8 = |-2k + 8|$.
આ બે કિસ્સાઓ સૂચવે છે:
કિસ્સો $1$: $-2k + 8 = 8 \implies -2k = 0 \implies k = 0$.
કિસ્સો $2$: $-2k + 8 = -8 \implies -2k = -16 \implies k = 8$.
આમ,$k$ ની કિંમતો $0$ અને $8$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,પ્રથમ હારમાં ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની કિંમત શોધો:
$\cos 3\pi = -1$
$\sin 5\pi = 0$
$\tan 7\pi = 0$
હવે,આ કિંમતોને નિશ્ચાયકમાં મૂકો:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ \sqrt{3} & 1 & 0 \\ \sqrt{5} & 0 & 1\end{array}\right|$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = -1 \times \left|\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right| - 0 + 0$
$\Delta = -1 \times (1 \times 1 - 0 \times 0) = -1 \times 1 = -1$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{rr}\sin 35^{\circ} & -\cos 35^{\circ} \\ \sin 55^{\circ} & \cos 55^{\circ}\end{array}\right|$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $2 \times 2$ નિશ્ચાયકના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\left|\begin{array}{rr}a & b \\ c & d\end{array}\right| = ad - bc$.
આપેલ શ્રેણિક પર આ લાગુ પાડતા:
$= (\sin 35^{\circ})(\cos 55^{\circ}) - (-\cos 35^{\circ})(\sin 55^{\circ})$
$= \sin 35^{\circ} \cos 55^{\circ} + \cos 35^{\circ} \sin 55^{\circ}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = 35^{\circ}$ અને $B = 55^{\circ}$ છે:
$= \sin(35^{\circ} + 55^{\circ})$
$= \sin(90^{\circ})$
$= 1$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & ab^2 & ac^2 \\ a^2b & 0 & bc^2 \\ a^2c & b^2c & 0\end{array}\right|$.
$R_1$ માંથી $a$,$R_2$ માંથી $b$ અને $R_3$ માંથી $c$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}0 & b^2 & c^2 \\ a^2 & 0 & c^2 \\ a^2 & b^2 & 0\end{array}\right|$.
હવે,$C_1$ માંથી $a$,$C_2$ માંથી $b$ અને $C_3$ માંથી $c$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (abc)(abc) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right| = (abc)^2 \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (abc)^2 [0(0-1) - 1(0-1) + 1(1-0)] = (abc)^2 [0 + 1 + 1] = 2(abc)^2$.
$m(abc)^k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = 2$ અને $k = 2$ મળે છે.
તેથી,$m+k = 2+2 = 4$.