નિશ્ચાયકનો ઉપયોગ કરીને $A(1, 3)$ અને $B(0, 0)$ ને જોડતી રેખાનું સમીકરણ શોધો અને જો $D(k, 0)$ એવું બિંદુ હોય કે જેથી ત્રિકોણ $ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $3 \, \text{ચોરસ એકમ}$ થાય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

જો $\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & -1 & 1\end{array}\right]$ નો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવતો ન હોય,તો $x$ ની વાસ્તવિક કિંમત શોધો.

જો $\left|\begin{array}{ccc}2 a & x_{1} & y_{1} \\ 2 b & x_{2} & y_{2} \\ 2 c & x_{3} & y_{3}\end{array}\right|=\frac{a b c}{2} \neq 0$ હોય,તો જે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $\left(\frac{x_{1}}{a}, \frac{y_{1}}{a}\right), \left(\frac{x_{2}}{b}, \frac{y_{2}}{b}\right), \left(\frac{x_{3}}{c}, \frac{y_{3}}{c}\right)$ હોય તેનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

જો $a_i^2 + b_i^2 + c_i^2 = 1$ જ્યાં $i = 1, 2, 3$ અને $a_ia_j + b_ib_j + c_ic_j = 0$ જ્યાં $i \ne j$ અને $i, j = 1, 2, 3$ હોય,તો નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array} \right|$ ની કિંમત શું થાય?

નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} 1 & \cos(\alpha - \beta) & \cos \alpha \\ \cos(\alpha - \beta) & 1 & \cos \beta \\ \cos \alpha & \cos \beta & 1 \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય છે

બહુપદી $\left|\begin{array}{ccc}x+3 & x & x+2 \\ x & x+1 & x-1 \\ x+2 & 2x & 3x+1\end{array}\right|$ નું અચળ પદ શોધો.