Dimensional Analysis, Uses and Limitations Questions in Gujarati

(C) બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[F] = [M^1 L^1 T^{-2}]$ છે.
આપેલ એકમો:
$[F] = 100 \, N$
$[L] = 10 \, m$
$[T] = 100 \, s$
આ કિંમતોને પારિમાણિક સૂત્રમાં મૂકતા:
$100 = M \times (10) \times (100)^{-2}$
$100 = M \times 10 \times \frac{1}{10000}$
$100 = M \times \frac{1}{1000}$
$M = 100 \times 1000 = 10^{5} \, kg$.

(B) ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
ધારો કે બે પદ્ધતિઓ $1$ $(SI)$ અને $2$ (નવી પદ્ધતિ) છે.
પદ્ધતિ $1$ માં: $M_1 = 1 \ kg$,$L_1 = 1 \ m$,$T_1 = 1 \ s$,અને $n_1 = 5$.
પદ્ધતિ $2$ માં: $M_2 = \alpha \ kg$,$L_2 = \beta \ m$,$T_2 = \gamma \ s$,અને $n_2 = ?$.
સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$n_1 u_1 = n_2 u_2$,તેથી $n_2 = n_1 (M_1/M_2)^1 (L_1/L_2)^2 (T_1/T_2)^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા: $n_2 = 5 \times (1/\alpha)^1 \times (1/\beta)^2 \times (1/\gamma)^{-2}$.
$n_2 = 5 \times (1/\alpha) \times (1/\beta^2) \times (\gamma^2)$.
$n_2 = 5 \alpha^{-1} \beta^{-2} \gamma^2$.

(A) પાઈપમાંથી પ્રતિ સેકન્ડ વહેતા પ્રવાહીનું કદ $V = \frac{\pi p r^4}{8 \eta l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$LHS$ નું પરિમાણીય સૂત્ર:
$[V] = \frac{[Volume]}{[Time]} = \frac{[L^3]}{[T]} = [L^3 T^{-1}]$.
$RHS$ નું પરિમાણીય સૂત્ર:
$[p] = [M L^{-1} T^{-2}]$
$[r] = [L]$
$[\eta] = [M L^{-1} T^{-1}]$
$[l] = [L]$
આ કિંમતોને $RHS$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$[RHS] = \frac{[M L^{-1} T^{-2}] \cdot [L^4]}{[M L^{-1} T^{-1}] \cdot [L]} = \frac{[M L^3 T^{-2}]}{[M T^{-1}]} = [L^3 T^{-1}]$.
અહીં $[LHS] = [RHS]$ હોવાથી,સમીકરણ પરિમાણીય રીતે સાચું છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $P = E l^2 m^{-5} G^{-2}$ છે.
ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$E$ (ઉર્જા) = $[M^1 L^2 T^{-2}]$
$l$ (કોણીય વેગમાન) = $[M^1 L^2 T^{-1}]$
$m$ (દળ) = $[M^1]$
$G$ (ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક) = $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$
આ પરિમાણોને $P$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$[P] = [M^1 L^2 T^{-2}] \times [M^1 L^2 T^{-1}]^2 \times [M^1]^{-5} \times [M^{-1} L^3 T^{-2}]^{-2}$
ઘાતનું વિસ્તરણ કરતા:
$[P] = [M^1 L^2 T^{-2}] \times [M^2 L^4 T^{-2}] \times [M^{-5}] \times [M^2 L^{-6} T^4]$
દરેક આધાર માટે ઘાતાંકોનો સરવાળો કરતા:
$M$ માટે: $1 + 2 - 5 + 2 = 0$
$L$ માટે: $2 + 4 + 0 - 6 = 0$
$T$ માટે: $-2 - 2 + 0 + 4 = 0$
આમ,$[P] = [M^0 L^0 T^0]$.
તેથી,$P$ એ પરિમાણરહિત રાશિ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$(h)$ ના પરિમાણો $= [M^1 L^2 T^{-1}]$
$(c)$ ના પરિમાણો $= [L^1 T^{-1}]$
$(G)$ ના પરિમાણો $= [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
દળ $(M)$,લંબાઈ $(L)$ અને સમય $(T)$ ને $c, h, G$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે:
ધારો કે $M = k c^a h^b G^d$. પરિમાણો મૂકતા:
$[M^1 L^0 T^0] = [L T^{-1}]^a [M L^2 T^{-1}]^b [M^{-1} L^3 T^{-2}]^d$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$M: b - d = 1$
$L: a + 2b + 3d = 0$
$T: -a - b - 2d = 0$
આ સમીકરણો ઉકેલતા $b = 1/2, d = -1/2, a = 1/2$ મળે છે.
આમ,$M = k \sqrt{\frac{hc}{G}}$.
તે જ રીતે,લંબાઈ $(L)$ અને સમય $(T)$ માટે ઘાતાંકો ઉકેલતા:
$L = k \sqrt{\frac{hG}{c^3}}$ અને $T = k \sqrt{\frac{hG}{c^5}}$ મળે છે.

(A) કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$T^2 \propto r^3$,જેનો અર્થ છે કે $T \propto r^{3/2}$.
ધારો કે $T$ એ $r$,$R$,અને $g$ નું વિધેય છે,જેથી $T = k r^{3/2} R^a g^b$,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
દરેક પદના પરિમાણો મૂકતા: $[T] = [L]^{3/2} [L]^a [LT^{-2}]^b$.
$[M^0 L^0 T^1] = [L^{3/2 + a + b} T^{-2b}]$.
$T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા: $1 = -2b \Rightarrow b = -1/2$.
$L$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા: $3/2 + a + b = 0 \Rightarrow 3/2 + a - 1/2 = 0 \Rightarrow a + 1 = 0 \Rightarrow a = -1$.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $T = k r^{3/2} R^{-1} g^{-1/2}$.
તેથી,$T = \frac{k}{R} \sqrt{\frac{r^3}{g}}$.

(A) ધારો કે લંબાઈ $l$ ને $l = k c^x h^y G^z$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે અને $x, y, z$ એ ઘાતાંકો છે.
રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[l] = [M^0 L^1 T^0]$
$[c] = [L T^{-1}]$
$[h] = [M L^2 T^{-1}]$
$[G] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^0 L^1 T^0] = [L T^{-1}]^x [M L^2 T^{-1}]^y [M^{-1} L^3 T^{-2}]^z$
$[M^0 L^1 T^0] = [M^{y-z} L^{x+2y+3z} T^{-x-y-2z}]$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$1$) $y - z = 0 \implies y = z$
$2$) $x + 2y + 3z = 1$
$3$) $-x - y - 2z = 0 \implies x = -y - 2z$
$y = z$ ને $(3)$ માં મૂકતા: $x = -z - 2z = -3z$
$x = -3z$ અને $y = z$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$-3z + 2z + 3z = 1 \implies 2z = 1 \implies z = 1/2$
આમ,$y = 1/2$ અને $x = -3/2$.
તેથી,$l \propto c^{-3/2} h^{1/2} G^{1/2} = \sqrt{\frac{hG}{c^3}}$.

(B) ધારો કે સમય $T$ ને $T = k c^x h^y G^z$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
પરિમાણીય સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$[T] = [M^0 L^0 T^1]$
$[c] = [L T^{-1}]$
$[h] = [M L^2 T^{-1}]$
$[G] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^0 L^0 T^1] = [L T^{-1}]^x [M L^2 T^{-1}]^y [M^{-1} L^3 T^{-2}]^z$
$[M^0 L^0 T^1] = [M^{y-z} L^{x+2y+3z} T^{-x-y-2z}]$
બંને બાજુ $M$,$L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$1) y - z = 0 \implies y = z$
$2) x + 2y + 3z = 0$
$3) -x - y - 2z = 1$
$y = z$ ને સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ માં મૂકતા:
$x + 5z = 0 \implies x = -5z$
$-(-5z) - z - 2z = 1 \implies 5z - 3z = 1 \implies 2z = 1 \implies z = 1/2$
આમ,$y = 1/2$ અને $x = -5/2$.
તેથી,સમય માટેનું સૂત્ર $T = k \sqrt{\frac{h G}{c^5}}$ છે.

(A) વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં વેગ $\vec{v}$ સાથે ક્ષેત્રને લંબ રૂપે ગતિ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$qvB = \frac{mv^2}{R}$
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ $\omega = \frac{v}{R} = \frac{qB}{m}$ મળે છે.
$\omega$ ના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[\omega] = \frac{[q][B]}{[m]} = \frac{[I][T][M][I]^{-1}[T]^{-2}}{[M]} = [T]^{-1}$.
આમ,રાશિ $\frac{qB}{m}$ એ $T^{-1}$ પરિમાણ ધરાવે છે.
વધુમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર $\frac{E}{B}$ એ વેગ $[L][T]^{-1}$ ના પરિમાણ ધરાવે છે,અને ભૌતિક સંદર્ભના આધારે $\frac{eE}{mv}$ અથવા $\frac{eB}{m}$ જેવી રાશિઓનો ઉપયોગ વિવિધ પરિમાણરહિત ગુણોત્તર બનાવવા માટે કરી શકાય છે.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે કાર્ય અથવા ઉર્જા એટલે બળ ગુણ્યા સ્થાનાંતર,તેથી $1 \text{ Joule} = 1 \text{ Newton} \times 1 \text{ meter}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\text{Joule}}{\text{meter}^2} = \frac{\text{Newton} \times \text{meter}}{\text{meter}^2}$.
અંશ અને છેદમાંથી એક મીટર ઉડાડતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\text{Joule}}{\text{meter}^2} = \frac{\text{Newton}}{\text{meter}}$.

(B) ધારો કે ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[E] = [P]^x [A]^y [T]^z$ છે.
દરેક રાશિના પરિમાણો મૂકતા:
$[M L^2 T^{-2}] = [M L T^{-1}]^x [L^2]^y [T]^z$.
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$M^1 L^2 T^{-2} = M^x L^{x+2y} T^{-x+z}$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $x = 1$.
$L$ માટે: $x + 2y = 2$. $x=1$ મૂકતા,$1 + 2y = 2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $2y = 1$,તેથી $y = 1/2$.
$T$ માટે: $-x + z = -2$. $x=1$ મૂકતા,$-1 + z = -2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $z = -1$.
આમ,ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[P A^{1/2} T^{-1}]$ થાય છે.

(A) ધારો કે યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું પરિમાણ $Y = F^{x} A^{y} V^{z}$ તરીકે દર્શાવેલ છે.
યંગ મોડ્યુલસનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{1} L^{-1} T^{-2}]$ છે.
બળ $F$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{1} L^{1} T^{-2}]$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^{2}]$ છે.
ઝડપ $V$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^{1} T^{-1}]$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^{1} L^{-1} T^{-2}] = [M^{1} L^{1} T^{-2}]^{x} [L^{2}]^{y} [L^{1} T^{-1}]^{z}$
$[M^{1} L^{-1} T^{-2}] = [M]^{x} [L]^{x + 2y + z} [T]^{-2x - z}$
બંને બાજુ $M$,$L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $x = 1$
$T$ માટે: $-2x - z = -2 \Rightarrow -2(1) - z = -2 \Rightarrow z = 0$
$L$ માટે: $x + 2y + z = -1 \Rightarrow 1 + 2y + 0 = -1 \Rightarrow 2y = -2 \Rightarrow y = -1$
આમ,યંગ મોડ્યુલસનું પરિમાણ $F^{1} A^{-1} V^{0}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x = \frac{I F v^{2}}{W L^{4}}$
રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$I = [M L^{2}]$
$F = [M L T^{-2}]$
$v = [L T^{-1}]$
$W = [M L^{2} T^{-2}]$
$L = [L]$
આ કિંમતોને $x$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$[x] = \frac{[M L^{2}] [M L T^{-2}] [L T^{-1}]^{2}}{[M L^{2} T^{-2}] [L]^{4}}$
$[x] = \frac{[M^{2} L^{3} T^{-2}] [L^{2} T^{-2}]}{[M L^{6} T^{-2}]}$
$[x] = \frac{[M^{2} L^{5} T^{-4}]}{[M L^{6} T^{-2}]}$
$[x] = [M L^{-1} T^{-2}]$
હવે,ઉર્જા ઘનતાના પરિમાણો તપાસતા:
ઉર્જા ઘનતા = $\frac{\text{ઉર્જા}}{\text{કદ}} = \frac{[M L^{2} T^{-2}]}{[L^{3}]} = [M L^{-1} T^{-2}]$
આમ,$x$ ના પરિમાણો ઉર્જા ઘનતાના પરિમાણો સાથે સમાન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ સંબંધ $z = \frac{a^2 b^{2/3}}{c^{1/2} d^3}$ છે.
$z$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર: $\frac{\Delta z}{z} = 2 \frac{\Delta a}{a} + \frac{2}{3} \frac{\Delta b}{b} + \frac{1}{2} \frac{\Delta c}{c} + 3 \frac{\Delta d}{d}$ છે.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ: $\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 1.5\%$,$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 4\%$,અને $\frac{\Delta d}{d} \times 100 = 2.5\%$.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 2(2\%) + \frac{2}{3}(1.5\%) + \frac{1}{2}(4\%) + 3(2.5\%)$.
$\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 4\% + 1\% + 2\% + 7.5\% = 14.5\%$.
આમ,$z$ માં થતી પ્રતિશત ત્રુટિ $14.5\%$ છે.

(A) આપેલ સૂત્ર $X = 3 Y Z^{2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $MKSQ$ પદ્ધતિમાં કેપેસીટન્સ $C$ ના પરિમાણો $[X] = [C] = [M^{-1} L^{-2} T^{2} Q^{2}]$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $MKSQ$ પદ્ધતિમાં ચુંબકીય પ્રેરણ $B$ ના પરિમાણો $[Z] = [B] = [M T^{-1} Q^{-1}]$ છે.
$Y$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $Y = \frac{X}{3 Z^{2}}$ મળે છે.
પરિમાણરહિત અચળાંક $3$ ને અવગણતા,પરિમાણીય સૂત્ર $[Y] = \frac{[X]}{[Z^{2}]}$ થશે.
પરિમાણો મૂકતા: $[Y] = \frac{[M^{-1} L^{-2} T^{2} Q^{2}]}{[M T^{-1} Q^{-1}]^{2}}$.
$[Y] = \frac{[M^{-1} L^{-2} T^{2} Q^{2}]}{[M^{2} T^{-2} Q^{-2}]}$.
$[Y] = [M^{-1-2} L^{-2} T^{2-(-2)} Q^{2-(-2)}] = [M^{-3} L^{-2} T^{4} Q^{4}]$.

(B) ઘાતાંકીય વિધેયનો ઘાતાંક પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ,તેથી $\frac{x^{2}}{\alpha kT}$ પરિમાણરહિત છે.
$[\alpha] = \frac{[x^{2}]}{[kT]} = \frac{L^{2}}{M L^{2} T^{-2}} = M^{-1} T^{2}$.
કારણ કે ઘાતાંકીય પદ $e^{-\frac{x^{2}}{\alpha kT}}$ પરિમાણરહિત છે,તેથી કાર્ય $W$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[W] = [\alpha][\beta]^{2}$ દ્વારા મળે છે.
$[W] = M L^{2} T^{-2}$.
પારિમાણિક સૂત્રો મૂકતા: $M L^{2} T^{-2} = (M^{-1} T^{2}) [\beta]^{2}$.
$[\beta]^{2} = \frac{M L^{2} T^{-2}}{M^{-1} T^{2}} = M^{2} L^{2} T^{-4}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $[\beta] = M L T^{-2}$.

(B) $kT$ એ ઉર્જાનું પરિમાણ ધરાવે છે,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{2}T^{-2}]$ છે.
ઘાતાંક $\frac{-\beta x^{2}}{kT}$ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
તેથી,$[\beta][x^{2}] = [kT] \implies [\beta][L^{2}] = [ML^{2}T^{-2}]$.
આના પરથી $[\beta] = [MT^{-2}]$ મળે છે.
કાર્ય $W$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{2}T^{-2}]$ છે.
આપેલ છે કે $W = \alpha^{2} \beta e^{\frac{-\beta x^{2}}{kT}}$,અને ઘાતાંકીય પદ પરિમાણરહિત હોવાથી,$[W] = [\alpha^{2}][\beta]$ થાય.
$[ML^{2}T^{-2}] = [\alpha^{2}][MT^{-2}]$.
$[\alpha^{2}] = \frac{[ML^{2}T^{-2}]}{[MT^{-2}]} = [L^{2}]$.
તેથી,$[\alpha] = [L] = [M^{0}LT^{0}]$.

(D) આપેલ ભૌતિક રાશિઓના પારિમાણિક સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$E = [ML^2 T^{-2}]$
$L = [ML^2 T^{-1}]$
$m = [M]$
$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
આપેલ સૂત્ર $P = E L^2 m^{-5} G^{-2}$ માં પારિમાણિક સૂત્રો મૂકતા:
$[P] = [ML^2 T^{-2}] \cdot [ML^2 T^{-1}]^2 \cdot [M]^{-5} \cdot [M^{-1} L^3 T^{-2}]^{-2}$
$[P] = [ML^2 T^{-2}] \cdot [M^2 L^4 T^{-2}] \cdot [M^{-5}] \cdot [M^2 L^{-6} T^4]$
$[P] = [M^{1+2-5+2} L^{2+4-6} T^{-2-2+4}]$
$[P] = [M^0 L^0 T^0]$
આમ,$P$ એ પરિમાણરહિત રાશિ છે.

(A) ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{-3}]$ છે.
ધારો કે ઘનતાનું પરિમાણ $[F^{a} L^{b} T^{c}]$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
બળ $F = [M L T^{-2}]$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $[M L T^{-2}]^{a} [L]^{b} [T]^{c} = [M L^{-3}]$.
$M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$M$ માટે: $a = 1$.
$L$ માટે: $a + b = -3$.
$T$ માટે: $-2a + c = 0$.
સમીકરણોમાં $a = 1$ મૂકતા:
$1 + b = -3 \implies b = -4$.
$-2(1) + c = 0 \implies c = 2$.
આમ,ઘનતાનું પરિમાણ $[F^{1} L^{-4} T^{2}]$ છે.

(A) પરિમાણીય સચોટતા તપાસવા માટે,આપણે દરેક સમીકરણ માટે બંને બાજુના પરિમાણોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$A$. પોઈઝ્યુલીનો નિયમ: $v = \frac{\pi p a^4}{8 \eta L}$. અહીં,$v$ એ કદનો પ્રવાહ દર $(L^3 T^{-1})$ દર્શાવે છે. જમણી બાજુના પરિમાણો $[L^3 T^{-1}]$ છે. આ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું છે.
$B$. કેશિકા ઉન્નયન: $h = \frac{2 s \cos \theta}{\rho r g}$. પરિમાણો: $[L] = [L]$. આ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું છે.
$C$. સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘનતા: $J = \varepsilon \frac{\partial E}{\partial t}$. $J$ ના પરિમાણો $[I L^{-2}]$ છે. જમણી બાજુના પરિમાણો પણ $[I L^{-2}]$ છે. આ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું છે.
$D$. કાર્ય: $W = \Gamma \theta$. કાર્યના પરિમાણો $[M L^2 T^{-2}]$ છે. ટોર્ક $(\Gamma)$ ના પરિમાણો $[M L^2 T^{-2}]$ છે અને ખૂણો $(\theta)$ પરિમાણરહિત છે. આમ,$W = \Gamma \theta$ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું છે. પરંતુ વિકલ્પ $A$ માં $v$ એ કદ છે,કદનો પ્રવાહ દર નથી,તેથી તે પરિમાણની દ્રષ્ટિએ ખોટું છે.

(A) ધારો કે દળનું પરિમાણ $[M] = [F]^a [T]^b [V]^c$ તરીકે દર્શાવેલ છે.
મૂળભૂત રાશિઓના પરિમાણો મૂકતા:
$[M^1 L^0 T^0] = [M^1 L^1 T^{-2}]^a [T^1]^b [L^1 T^{-1}]^c$
$[M^1 L^0 T^0] = [M^a L^{a+c} T^{-2a+b-c}]$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $a = 1$
$L$ માટે: $a + c = 0 \implies 1 + c = 0 \implies c = -1$
$T$ માટે: $-2a + b - c = 0 \implies -2(1) + b - (-1) = 0 \implies -2 + b + 1 = 0 \implies b = 1$
તેથી,દળનું પરિમાણ $[F^1 T^1 V^{-1}]$ થશે,જેને $[F T V^{-1}]$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) ધારો કે ઉર્જા $E$ ને $E = k F^{a} A^{b} T^{c}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{1} L^{2} T^{-2}]$ છે.
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{1} L^{1} T^{-2}]$ છે.
પ્રવેગનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^{1} T^{-2}]$ છે.
સમયનું પારિમાણિક સૂત્ર $[T^{1}]$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^{1} L^{2} T^{-2}] = [M^{1} L^{1} T^{-2}]^{a} [L^{1} T^{-2}]^{b} [T^{1}]^{c}$
$[M^{1} L^{2} T^{-2}] = [M^{a} L^{a+b} T^{-2a-2b+c}]$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $a = 1$
$L$ માટે: $a + b = 2 \Rightarrow 1 + b = 2 \Rightarrow b = 1$
$T$ માટે: $-2a - 2b + c = -2 \Rightarrow -2(1) - 2(1) + c = -2 \Rightarrow -4 + c = -2 \Rightarrow c = 2$
આમ,$F, A$ અને $T$ ના સ્વરૂપમાં ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[F^{1} A^{1} T^{2}]$ અથવા $[F][A][T^{2}]$ થાય છે.

(D) લોગરીધમિક વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ,તેથી $\frac{\mu k R}{J \beta^{2}}$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $S = \frac{dQ}{T}$,તેથી એન્ટ્રોપી $S$ ના પરિમાણો $[M L^{2} T^{-2} K^{-1}]$ છે.
વાયુ અચળાંક $R$ ના પરિમાણો $[M L^{2} T^{-2} K^{-1} mol^{-1}]$ છે અને બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k$ ના પરિમાણો $[M L^{2} T^{-2} K^{-1}]$ છે.
$\frac{\mu k R}{J \beta^{2}}$ પરિમાણરહિત હોવાથી,$[\beta^{2}] = \frac{[\mu][k][R]}{[J]}$.
$J$ (ઉષ્માનો યાંત્રિક તુલ્યાંક) એ એકમ રૂપાંતરણ અચળાંક હોવાથી તે પરિમાણરહિત છે. તેથી,$[\beta^{2}] = [mol] \cdot [M L^{2} T^{-2} K^{-1}] \cdot [M L^{2} T^{-2} K^{-1} mol^{-1}] = [M^{2} L^{4} T^{-4} K^{-2}]$.
તેથી,$[\beta] = [M L^{2} T^{-2} K^{-1}]$,જે $S, k$ અને $\mu R$ ના પરિમાણો સમાન છે.
$S = \alpha^{2} \beta$ પરથી,$S$ અને $\beta$ ના પરિમાણો સમાન હોવાથી,$\alpha^{2}$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ,એટલે કે $\alpha$ પરિમાણરહિત છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $S, \beta, k, \mu R$ સમાન પરિમાણ ધરાવે છે: સાચું.
$(B)$ $\alpha$ અને $J$ સમાન પરિમાણ ધરાવે છે: સાચું (બંને પરિમાણરહિત છે).
$(C)$ $S$ અને $\alpha$ અલગ પરિમાણ ધરાવે છે: સાચું.
$(D)$ $\alpha$ અને $k$ સમાન પરિમાણ ધરાવે છે: ખોટું,કારણ કે $\alpha$ પરિમાણરહિત છે અને $k$ પરિમાણ ધરાવે છે. તેથી,$(D)$ ખોટો વિકલ્પ છે.

(A) ધારો કે દળનું પરિમાણ $m = k \cdot t^a \cdot u^b \cdot I^c$ છે,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
દરેક ભૌતિક રાશિના પરિમાણો મૂકતા:
$[M^1 L^0 T^0] = [T]^a [L T^{-1}]^b [M L^2 T^{-1}]^c$
$[M^1 L^0 T^0] = [M^c] [L^{b+2c}] [T^{a-b-c}]$
બંને બાજુ $M$,$L$,અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $c = 1$
$L$ માટે: $b + 2c = 0 \implies b + 2(1) = 0 \implies b = -2$
$T$ માટે: $a - b - c = 0 \implies a - (-2) - 1 = 0 \implies a + 1 = 0 \implies a = -1$
તેથી,દળનું પરિમાણ $[t^{-1} u^{-2} I^1]$ થાય છે.

(A) ત્રિકોણમિતીય વિધેયો જેવા કે $\cos$ અને $\sin$ નો ખૂણો પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
$\cos(Bx)$ માટે,પદ $Bx$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ,તેથી $[B] = [x]^{-1} = [L^{-1}]$.
$\sin(Dt)$ માટે,પદ $Dt$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ,તેથી $[D] = [t]^{-1} = [T^{-1}]$.
કારણ કે $F = A \cos(Bx) + C \sin(Dt)$,તેથી $A$ ના પરિમાણ બળ $F$ ના પરિમાણ જેટલા હોવા જોઈએ,એટલે કે $[A] = [MLT^{-2}]$.
હવે,આપણે $\frac{AD}{B}$ ના પરિમાણની ગણતરી કરીએ:
$[\frac{AD}{B}] = \frac{[A][D]}{[B]} = \frac{[MLT^{-2}][T^{-1}]}{[L^{-1}]}$.
$[\frac{AD}{B}] = [MLT^{-3}][L] = [ML^{2}T^{-3}]$.

(C) લઘુગણકીય વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ. તેથી,$\frac{kt}{\beta x} = 1$,જે સૂચવે છે કે $\beta = \frac{kt}{x}$.
કારણ કે $kt$ એ ઉર્જાના પરિમાણ $([ML^{2}T^{-2}])$ ધરાવે છે અને $x$ એ અંતર $([L])$ છે,તેથી $\beta$ ના પરિમાણ $[\beta] = \frac{[ML^{2}T^{-2}]}{[L]} = [MLT^{-2}]$ થશે.
આપેલ છે કે $P$ એ પરિમાણરહિત રાશિ છે,તેથી $P = \frac{\alpha}{\beta} \times (\text{પરિમાણરહિત પદ})$ સૂચવે છે કે $[P] = \frac{[\alpha]}{[\beta]}$.
કારણ કે $[P] = [M^{0}L^{0}T^{0}]$,તેથી $[\alpha] = [\beta] = [MLT^{-2}]$ થશે.

(B) આપેલ છે: $v_{2} = \frac{n}{m^{2}} v_{1}$ અને $a_{2} = \frac{a_{1}}{mn}$.
$v = \frac{L}{T}$ અને $a = \frac{L}{T^{2}}$ હોવાથી:
$\frac{L_{2}}{T_{2}} = \frac{n}{m^{2}} \frac{L_{1}}{T_{1}}$ --- $(1)$
$\frac{L_{2}}{T_{2}^{2}} = \frac{1}{mn} \frac{L_{1}}{T_{1}^{2}}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{T_{1}^{2}}{T_{2}} = \frac{n}{m^{2}} \times mn \times T_{1} = \frac{n^{2}}{m} T_{1}$
$\frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{m}{n^{2}}$ (જેનો અર્થ છે $T_{1} = \frac{n^{2}}{m} T_{2}$).
$T_{2} = \frac{m}{n^{2}} T_{1}$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{L_{2}}{(\frac{m}{n^{2}}) T_{1}} = \frac{n}{m^{2}} \frac{L_{1}}{T_{1}}$
$L_{2} = \frac{n}{m^{2}} \times \frac{m}{n^{2}} L_{1} = \frac{1}{mn} L_{1}$
$L_{1} = mn L_{2}$.
વિકલ્પો તપાસતા,સમય માટેનો સાચો સંબંધ $T_{1} = \frac{n^{2}}{m} T_{2}$ છે.

(C) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી થઈ શકે છે.
$1$. પદ $\left[ P + \frac{a}{V^2} \right]$ પરથી,$P$ ના પરિમાણ એ $\frac{a}{V^2}$ ના પરિમાણ જેટલા હોવા જોઈએ.
$[P] = \left[ \frac{a}{V^2} \right] \implies [a] = [P][V^2]$.
$2$. પદ $[V - b]$ પરથી,$b$ ના પરિમાણ એ $V$ ના પરિમાણ જેટલા હોવા જોઈએ.
$[b] = [V]$.
$3$. હવે,ગુણોત્તર $\frac{a}{b}$ ના પરિમાણ શોધીએ:
$\left[ \frac{a}{b} \right] = \frac{[P][V^2]}{[V]} = [P][V]$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{a}{b}$ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ $PV$ ને સમાન છે.

(A) સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^{-1} T^{-1}]$ છે.
ધારો કે પારિમાણિક સૂત્ર $\eta = P^x A^y T^z$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મૂળભૂત રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[P] = [M^1 L^1 T^{-1}]$
$[A] = [L^2]$
$[T] = [T^1]$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^1 L^{-1} T^{-1}] = [M^1 L^1 T^{-1}]^x [L^2]^y [T^1]^z$
$[M^1 L^{-1} T^{-1}] = M^x L^{x+2y} T^{-x+z}$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $x = 1$
$L$ માટે: $x + 2y = -1 \implies 1 + 2y = -1 \implies 2y = -2 \implies y = -1$
$T$ માટે: $-x + z = -1 \implies -1 + z = -1 \implies z = 0$
આમ,પારિમાણિક સૂત્ર $[P^1 A^{-1} T^0]$ મળે છે.

(D) $\sin$ વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ,તેથી $[\frac{\alpha x}{kt}] = [M^{0}L^{0}T^{0}]$.
આપેલ છે કે $x = [L]$,$k = [ML^{2}T^{-2}\theta^{-1}]$,અને $t = [\theta]$.
તેથી,$[\alpha] = [\frac{kt}{x}] = \frac{[ML^{2}T^{-2}\theta^{-1}][\theta]}{[L]} = [MLT^{-2}]$.
ઉર્જા ઘનતા $u$ એ એકમ કદ દીઠ ઉર્જા છે,તેથી $[u] = [ML^{-1}T^{-2}]$.
સમીકરણ $u = \frac{\alpha}{\beta}$ પરથી,આપણને $[\beta] = \frac{[\alpha]}{[u]}$ મળે છે.
$[\beta] = \frac{[MLT^{-2}]}{[ML^{-1}T^{-2}]} = [L^{2}]$.
તેથી,$\beta$ ના પરિમાણો $[M^{0}L^{2}T^{0}]$ છે.

(D) કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ પરિમાણરહિત રાશિ છે. તેથી,$[\eta] = [M^0 L^0 T^0]$.
સમીકરણ $\eta = \frac{\alpha \beta}{\sin \theta} \log_{e} \frac{\beta x}{k T}$ માં,લોગેરિધમનો આર્ગ્યુમેન્ટ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ. તેથી,$[\frac{\beta x}{k T}] = [M^0 L^0 T^0]$.
કારણ કે $[k T] = \text{ઉર્જા} = [M L^2 T^{-2}]$ અને $[x] = [L]$,તેથી $[\beta] = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L]} = [M L T^{-2}]$,જે બળનું પરિમાણ છે.
હવે,$\eta$ અને $\sin \theta$ બંને પરિમાણરહિત હોવાથી,પદ $\frac{\alpha \beta}{\sin \theta}$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ. તેથી,$[\alpha \beta] = [M^0 L^0 T^0]$.
જેથી $[\alpha] = [M^{-1} L^{-1} T^2]$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$: $[\beta] = [M L T^{-2}]$ (બળ),જે સાચું છે.
$B$: $[\alpha^{-1} x] = [M L T^{-2} \cdot L] = [M L^2 T^{-2}]$ (ઉર્જા),જે સાચું છે.
$C$: $[\eta^{-1} \sin \theta] = [1] = [\alpha \beta]$,જે સાચું છે.
$D$: $[\alpha] = [M^{-1} L^{-1} T^2]$ અને $[\beta] = [M L T^{-2}]$. આ બંને સમાન નથી. તેથી,આ ખોટો વિકલ્પ છે.

(C) સમયગાળા $T$ નું પરિમાણ $[T^1]$ છે.
આપેલ સૂત્ર $T = k \sqrt{\frac{\rho r^3}{S}}$ છે.
ઘનતા $\rho$ નું પરિમાણ $[M L^{-3}]$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ નું પરિમાણ $[L]$ છે.
પૃષ્ઠતાણ $S$ નું પરિમાણ $[M T^{-2}]$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $[RHS] = [M L^{-3} L^3]^{1/2} / [M T^{-2}]^{1/2} = [M^{1/2}] / [M^{1/2} T^{-1}] = [T^1]$.
આમ,$LHS$ અને $RHS$ ના પરિમાણો સમાન હોવાથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે અને $(R)$ ખોટું છે.

(A) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણ ત્યારે જ પરિમાણીય રીતે સાચું હોય જો બંને બાજુના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોય.
વિકલ્પ $A$ માટે: $u^2 = 2a(gt - 1)$. પદ $gt$ ના પરિમાણો $[LT^{-2}][T] = [LT^{-1}]$ છે,જે વેગના પરિમાણ છે. જોકે,સંખ્યા $1$ પરિમાણરહિત છે. આપણે $[LT^{-1}]$ પરિમાણ ધરાવતી રાશિમાંથી પરિમાણરહિત રાશિ બાદ કરી શકતા નથી. તેથી,આ સમીકરણ પરિમાણીય રીતે ખોટું છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $s - ut = \frac{1}{2}at^2$. $s$ ના પરિમાણો $[L]$,$ut$ ના $[LT^{-1}][T] = [L]$,અને $\frac{1}{2}at^2$ ના $[LT^{-2}][T^2] = [L]$ છે. બધા પદોના પરિમાણો સમાન છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $u = v - at$. $u$ ના પરિમાણો $[LT^{-1}]$,$v$ ના $[LT^{-1}]$,અને $at$ ના $[LT^{-2}][T] = [LT^{-1}]$ છે. બધા પદોના પરિમાણો સમાન છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $v^2 - u^2 = 2as$. $v^2$ ના પરિમાણો $[L^2T^{-2}]$,$u^2$ ના $[L^2T^{-2}]$,અને $2as$ ના $[LT^{-2}][L] = [L^2T^{-2}]$ છે. બધા પદોના પરિમાણો સમાન છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ પરિમાણીય રીતે ખોટું છે.

(A) ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.
ધારો કે $SI$ પદ્ધતિ એ પદ્ધતિ $1$ છે અને નવી પદ્ધતિ એ પદ્ધતિ $2$ છે.
$SI$ પદ્ધતિમાં: $M_1 = 1 \,kg$,$L_1 = 1 \,m$,$T_1 = 1 \,s$.
નવી પદ્ધતિમાં: $M_2 = 10 \,kg$,$L_2 = 10 \,m$,$T_2 = 1 \,minute = 60 \,s$.
રૂપાંતરનું સૂત્ર $n_2 = n_1 [M_1/M_2]^a [L_1/L_2]^b [T_1/T_2]^c$ છે.
અહીં $n_1 = 1$,$a = 1$,$b = 2$,$c = -2$.
કિંમતો મૂકતા: $n_2 = 1 \times [1 \,kg / 10 \,kg]^1 \times [1 \,m / 10 \,m]^2 \times [1 \,s / 60 \,s]^{-2}$.
$n_2 = [1/10] \times [1/10]^2 \times [1/60]^{-2}$.
$n_2 = [1/10] \times [1/100] \times [60]^2$.
$n_2 = [1/1000] \times 3600 = 3600 / 1000 = 3.6$.
$3.6$ ને $36 \times 10^{-1}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[F] = [M L T^{-2}]$ છે.
આપેલ એકમો છે: બળ $F' = 1 \,kN = 10^3 \,N$,લંબાઈ $L' = 1 \,km = 10^3 \,m$,અને સમય $T' = 100 \,s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $F = M L T^{-2}$,તેથી $M = F L^{-1} T^2$.
દળના સૂત્રમાં આપેલ એકમો મૂકતા:
$M' = F' \cdot (L')^{-1} \cdot (T')^2$
$M' = (10^3 \,N) \cdot (10^3 \,m)^{-1} \cdot (100 \,s)^2$
$M' = 10^3 \cdot 10^{-3} \cdot (10^2)^2 \,kg$
$M' = 1 \cdot 10^4 \,kg = 10000 \,kg$.
તેથી,દળનો એકમ $10000 \,kg$ થશે.

(A) સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સમીકરણ $U = \frac{A \sqrt{x}}{x^2 + B}$ છે.
પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સરવાળા કે બાદબાકીમાં રહેલા પદોના પરિમાણ સમાન હોવા જોઈએ. તેથી,$B$ ના પરિમાણ એ $x^2$ ના પરિમાણ જેટલા જ હોય.
અહીં $x$ એ અંતર છે,તેથી $[x] = [L]$,એટલે કે $[B] = [L^2]$.
સ્થિતિઊર્જા $U$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2 T^{-2}]$ છે.
સમીકરણ પરથી,$A = \frac{U(x^2 + B)}{\sqrt{x}}$.
પરિમાણો મૂકતા:
$[A] = \frac{[ML^2 T^{-2}] [L^2]}{[L^{1/2}]} = [ML^2 T^{-2} L^2 L^{-1/2}] = [ML^{7/2} T^{-2}]$.
હવે,$AB$ ના પરિમાણ:
$[AB] = [A][B] = [ML^{7/2} T^{-2}] [L^2] = [ML^{11/2} T^{-2}]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) પરિમાણીય વિશ્લેષણ એ સમીકરણોની સુસંગતતા તપાસવા માટેનું એક શક્તિશાળી સાધન છે,પરંતુ તેની નોંધપાત્ર મર્યાદાઓ છે.
$1$. તે ત્રિકોણમિતીય,ઘાતાંકીય અથવા લઘુગણકીય વિધેયો ધરાવતા સમીકરણો મેળવી શકતું નથી કારણ કે આ વિધેયો પરિમાણરહિત હોય છે.
$2$. તે સૂત્રમાં પરિમાણરહિત અચળાંકો (જેમ કે $1/2$ અથવા $\pi$) નક્કી કરી શકતું નથી.
$3$. જો ત્રણથી વધુ ભૌતિક રાશિઓ સ્વતંત્ર હોય,તો તે સમીકરણો મેળવી શકતું નથી.
આપેલા વિકલ્પોમાં:
- $v=u+at$ એ એક રેખીય સંબંધ છે જેની પરિમાણીય સુસંગતતા ચકાસી શકાય છે.
- $k=\frac{1}{2}mv^2$ એ એક એવો સંબંધ છે જેમાં અચળાંક $1/2$ નક્કી કરી શકાતો નથી,પરંતુ પરિમાણો ચકાસી શકાય છે.
- $y=A\sin(\omega t+kx)$ માં ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો સમાવેશ થાય છે. પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ આવા ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ સમીકરણોના બંધારણને મેળવવા કે ચકાસવા માટે થઈ શકતો નથી કારણ કે સાઈન વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ અને વિધેય પોતે સરળ ઘાત-નિયમ સ્વરૂપ ધરાવતું નથી.
તેથી,સંબંધ $y=A\sin(\omega t+kx)$ પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાતો નથી.

(D) આવર્તકાળ $T$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^0 T^1]$ છે.
દબાણ $p$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ છે.
ઘનતા $D$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^{-3} T^0]$ છે.
પૃષ્ઠતાણ $S$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^0 T^{-2}]$ છે.
આપેલ સંબંધ $T = p^a D^b S^c$ માટે,બંને બાજુના પરિમાણોને સરખાવતા:
$[M^0 L^0 T^1] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]^a [M^1 L^{-3} T^0]^b [M^1 L^0 T^{-2}]^c$
$[M^0 L^0 T^1] = [M^{a+b+c} L^{-a-3b} T^{-2a-2c}]$
$M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$1$) $a + b + c = 0$
$2$) $-a - 3b = 0 \implies a = -3b$
$3$) $-2a - 2c = 1$
સમીકરણ $(1)$ માં $a = -3b$ મૂકતા:
$-3b + b + c = 0 \implies c = 2b$
સમીકરણ $(3)$ માં $a = -3b$ અને $c = 2b$ મૂકતા:
$-2(-3b) - 2(2b) = 1$
$6b - 4b = 1 \implies 2b = 1 \implies b = \frac{1}{2}$
હવે,$a$ અને $c$ શોધતા:
$a = -3b = -3(\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}$
$c = 2b = 2(\frac{1}{2}) = 1$
આમ,મૂલ્યો $a = -\frac{3}{2}, b = \frac{1}{2}, c = 1$ છે.

(A) આપેલ છે કે,ડ્રેગ બળ $F_d$ એ હવાની ઘનતા $\sigma$,બોલનો વેગ $v$ અને બોલના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ પર આધાર રાખે છે.
$F_d \propto \sigma^a v^b A^c$
પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરતા: $[MLT^{-2}] = [ML^{-3}]^a [LT^{-1}]^b [L^2]^c$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $a=1$,$-3a+b+2c=1$,અને $-b=-2 \Rightarrow b=2$.
$a=1, b=2$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $-3(1)+2+2c=1 \Rightarrow 2c=2 \Rightarrow c=1$.
આમ,$F_d = k \sigma v^2 A$.
ટર્મિનલ વેગ $v_T$ પર,$mg = F_d = k \sigma v_T^2 A$.
કારણ કે $A = \pi R^2$ અને $m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_{ball}$,તેથી $R^2 \propto m^{2/3}$.
$A \propto m^{2/3}$ ને બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $mg \propto v_T^2 m^{2/3} \Rightarrow v_T^2 \propto m^{1/3} \Rightarrow v_T \propto m^{1/6}$.
તેથી,ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \left(\frac{m_1}{m_2}\right)^{1/6} = \left(\frac{250}{125}\right)^{1/6} = 2^{1/6}$ થાય.

(D) પાવર માટેનું સૂત્ર આપેલ છે: $P = G c^{-5} m^{x} R^{y} \omega^{z} \quad \dots (i)$
ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
પાવર $P = [M L^{2} T^{-3}]$
ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G = [M^{-1} L^{3} T^{-2}]$
પ્રકાશની ઝડપ $c = [L T^{-1}]$
દળ $m = [M]$
ત્રિજ્યા $R = [L]$
કોણીય વેગ $\omega = [T^{-1}]$
આ પરિમાણોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$[M L^{2} T^{-3}] = [M^{-1} L^{3} T^{-2}] [L T^{-1}]^{-5} [M]^{x} [L]^{y} [T^{-1}]^{z}$
$[M L^{2} T^{-3}] = [M^{-1} L^{3} T^{-2}] [L^{-5} T^{5}] [M^{x}] [L^{y}] [T^{-z}]$
$[M L^{2} T^{-3}] = [M^{x-1}] [L^{3-5+y}] [T^{-2+5-z}]$
$[M L^{2} T^{-3}] = [M^{x-1}] [L^{y-2}] [T^{3-z}]$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2$
$L$ માટે: $y - 2 = 2 \Rightarrow y = 4$
$T$ માટે: $3 - z = -3 \Rightarrow z = 6$
આમ,મૂલ્યો $x=2, y=4, z=6$ છે.

(B) પરિમાણીય વિશ્લેષણ (Dimensional analysis) આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટેની સૌથી અસરકારક રીત છે. ત્રિજ્યા $R$ એ ઉર્જા $E$,ઘનતા $\rho$ અને સમય $t$ પર આધાર રાખે છે.
ધારો કે $R = k E^a \rho^b t^c$,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
પરિમાણો નીચે મુજબ છે: $[R] = L$,$[E] = ML^2T^{-2}$,$[\rho] = ML^{-3}$,$[t] = T$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$L = (ML^2T^{-2})^a (ML^{-3})^b (T)^c$
$L^1 = M^{a+b} L^{2a-3b} T^{-2a+c}$
$M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$a + b = 0 \Rightarrow b = -a$
$2a - 3b = 1 \Rightarrow 2a - 3(-a) = 1 \Rightarrow 5a = 1 \Rightarrow a = 1/5$
આમ,$b = -1/5$.
$-2a + c = 0 \Rightarrow c = 2a = 2(1/5) = 2/5$.
તેથી,$R \propto E^{1/5} \rho^{-1/5} t^{2/5}$,જેનો અર્થ છે કે $R \propto t^{2/5}$.

(C) ધારો કે અવરોધકતા $\rho$ ને $\rho = k \cdot h^a \cdot m_e^b \cdot c^c \cdot e^d \cdot \varepsilon_0^f$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$\rho = [M L^3 T^{-3} A^{-2}]$
$h = [M L^2 T^{-1}]$
$m_e = [M]$
$c = [L T^{-1}]$
$e = [A T]$
$\varepsilon_0 = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M L^3 T^{-3} A^{-2}] = [M L^2 T^{-1}]^a [M]^b [L T^{-1}]^c [A T]^d [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]^f$
બંને બાજુ $M, L, T, A$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$M: a + b - f = 1$
$L: 2a + c - 3f = 3$
$T: -a - c + d + 4f = -3$
$A: d + 2f = -2$
આ સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલતા,આપણને $a=2, b=-1, c=-1, d=-2, f=0$ મળે છે.
આમ,$\rho = k \frac{h^2}{m_e c e^2}$.

(A) આપેલ છે કે,ઉત્સર્જિત પાવર $P = \mu_{0}^{x} m^{y} \omega^{z} c^{u}$ છે.
ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો મૂકતા:
$[P] = [ML^{2}T^{-3}]$
$[\mu_{0}] = [MLT^{-2}A^{-2}]$
$[m] = [L^{2}A]$
$[\omega] = [T^{-1}]$
$[c] = [LT^{-1}]$
પરિમાણોને સરખાવતા: $[ML^{2}T^{-3}] = [MLT^{-2}A^{-2}]^{x} [L^{2}A]^{y} [T^{-1}]^{z} [LT^{-1}]^{u}$.
$M, L, T, A$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M: x = 1$
$A: -2x + y = 0 \implies y = 2x = 2$
$L: x + 2y + u = 2 \implies 1 + 2(2) + u = 2 \implies u = -3$
$T: -2x - z - u = -3 \implies -2(1) - z - (-3) = -3 \implies -2 - z + 3 = -3 \implies z = 4$.
આમ,$x=1, y=2, z=4, u=-3$.

(B) આપેલ છે,$A = G^\alpha M^\beta c^\gamma$.
ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[A] = [L]^2$
$[G] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
$[M] = [M]$
$[c] = [L T^{-1}]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[L]^2 = [M^{-1} L^3 T^{-2}]^\alpha [M]^\beta [L T^{-1}]^\gamma$
$[L]^2 = M^{-\alpha + \beta} L^{3\alpha + \gamma} T^{-2\alpha - \gamma}$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $-\alpha + \beta = 0 \implies \beta = \alpha \quad (i)$
$L$ માટે: $3\alpha + \gamma = 2 \quad (ii)$
$T$ માટે: $-2\alpha - \gamma = 0 \implies \gamma = -2\alpha \quad (iii)$
સમીકરણ $(iii)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$3\alpha - 2\alpha = 2 \implies \alpha = 2$
કારણ કે $\beta = \alpha$,તેથી $\beta = 2$.
કારણ કે $\gamma = -2\alpha$,તેથી $\gamma = -2(2) = -4$.
આમ,$\alpha = 2, \beta = 2$ અને $\gamma = -4$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $\sigma$ ના પરિમાણો $[M T^{-3} K^{-4}]$ છે.
અચળાંકોના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$h = [M L^2 T^{-1}]$
$k_B = [M L^2 T^{-2} K^{-1}]$
$c = [L T^{-1}]$
આપેલ છે કે $\sigma = h^\alpha k_B^\beta c^\gamma$,પરિમાણોને સરખાવતા:
$[M T^{-3} K^{-4}] = [M L^2 T^{-1}]^\alpha [M L^2 T^{-2} K^{-1}]^\beta [L T^{-1}]^\gamma$
$[M T^{-3} K^{-4}] = [M^{\alpha+\beta} L^{2\alpha+2\beta+\gamma} T^{-\alpha-2\beta-\gamma} K^{-\beta}]$
$M, L, T,$ અને $K$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $K: -\beta = -4 \implies \beta = 4$
$2$) $M: \alpha + \beta = 1 \implies \alpha + 4 = 1 \implies \alpha = -3$
$3$) $T: -\alpha - 2\beta - \gamma = -3 \implies -(-3) - 2(4) - \gamma = -3 \implies 3 - 8 - \gamma = -3 \implies -5 - \gamma = -3 \implies \gamma = -2$
આમ,$\alpha = -3, \beta = 4, \gamma = -2$.

(C) $EOTVOS$ નંબર $E_0$ એ પરિમાણરહિત છે. સાચો વિકલ્પ શોધવા માટે આપણે આપેલા વિકલ્પોના પરિમાણો તપાસીએ.
વિકલ્પ $(c)$ માટે,સૂત્ર $\frac{\rho g L^2}{\sigma}$ છે.
તેના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[\rho] = [M L^{-3}]$
$[g] = [L T^{-2}]$
$[L^2] = [L^2]$
$[\sigma] = [M T^{-2}]$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\left[ \frac{\rho g L^2}{\sigma} \right] = \frac{[M L^{-3}] \cdot [L T^{-2}] \cdot [L^2]}{[M T^{-2}]}$
$= \frac{[M L^0 T^{-2}]}{[M T^{-2}]}$
$= [M^0 L^0 T^0]$
આમ,આ સૂત્ર પરિમાણરહિત છે.

(A) પ્રવાહીના ટીપાંની ધ્રુજારીની આવૃત્તિ $v$ એ પૃષ્ઠતાણ $\sigma$,ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R$ દ્વારા નક્કી થાય છે. આપેલ ગુણોત્તર $\frac{v}{\sqrt{\sigma / \rho R^3}}$ છે.
આવૃત્તિ $v$ ના પરિમાણ = $[T^{-1}]$.
પૃષ્ઠતાણ $\sigma$ ના પરિમાણ = $[MT^{-2}]$.
ઘનતા $\rho$ ના પરિમાણ = $[ML^{-3}]$.
ત્રિજ્યા $R$ ના પરિમાણ = $[L]$.
ધારો કે ગુણોત્તર $X = \frac{v}{\sqrt{\sigma / \rho R^3}}$ છે.
$\sqrt{\frac{\sigma}{\rho R^3}}$ ના પરિમાણ = $\sqrt{\frac{MT^{-2}}{ML^{-3} \cdot L^3}} = \sqrt{\frac{MT^{-2}}{M}} = [T^{-1}]$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{v}{\sqrt{\sigma / \rho R^3}}$ પરિમાણરહિત છે.
હવે આપણે વિકલ્પ $(A)$ ના પરિમાણ તપાસીએ:
$\frac{k \rho g R^2}{\sigma} = \frac{[ML^{-3}] \cdot [LT^{-2}] \cdot [L^2]}{[MT^{-2}]} = \frac{[ML^0T^{-2}]}{[MT^{-2}]} = [M^0L^0T^0]$.
આ પદ પરિમાણરહિત હોવાથી,તે આપેલ ગુણોત્તરના પરિમાણીય વિશ્લેષણ સાથે સુસંગત છે.

(D) કણની સ્થિતિઊર્જા $V(x) = -\alpha x + \beta \sin(x / \gamma)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સુસંગત હોવા માટે,દરેક પદના પરિમાણ સ્થિતિઊર્જા $[V] = [ML^2T^{-2}]$ ના પરિમાણ સમાન હોવા જોઈએ.
$1$. પદ $\alpha x$ માટે: $[\alpha][x] = [V] \implies [\alpha][L] = [ML^2T^{-2}] \implies [\alpha] = [MLT^{-2}]$.
$2$. પદ $\beta \sin(x / \gamma)$ માટે: સાઈન વિધેયનો ખૂણો પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ,તેથી $[x / \gamma] = [M^0L^0T^0] \implies [L] / [\gamma] = 1 \implies [\gamma] = [L]$.
$3$. તેમજ,$[\beta] = [V] = [ML^2T^{-2}]$.
હવે,આપેલા વિકલ્પોના પરિમાણ તપાસીએ:
વિકલ્પ $(d)$ માટે: $\frac{[\alpha][\gamma]}{[\beta]} = \frac{[MLT^{-2}][L]}{[ML^2T^{-2}]} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[ML^2T^{-2}]} = [M^0L^0T^0]$.
આ સંયોજન પરિમાણરહિત હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) અવરોધ $R$ નું પરિમાણ $[R] = [ML^2T^{-3}A^{-2}]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ ના પરિમાણો $[h] = [ML^2T^{-1}]$ છે.
ઇલેક્ટ્રિક વીજભાર $e$ ના પરિમાણો $[e] = [AT]$ છે.
ધારો કે $R_H$ નું પરિમાણ $h^a e^b$ ના પ્રમાણમાં છે.
$[ML^2T^{-3}A^{-2}] = [ML^2T^{-1}]^a [AT]^b = [M^a L^{2a} T^{-a+b} A^b]$.
બંને બાજુ $M, L, T,$ અને $A$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $a = 1$.
$A$ માટે: $b = -2$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $R_H$ નું પરિમાણ $[h^1 e^{-2}] = [h/e^2]$ મળે છે.
આમ,$R_H$ નું પરિમાણ $\frac{h}{e^2}$ જેવું જ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\frac{V}{t} = k \left( \frac{p}{l} \right)^a \eta^b r^c$ છે.
ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[V/t] = [L^3 T^{-1}]$
$[p/l] = [M L^{-1} T^{-2} / L] = [M L^{-2} T^{-2}]$
$[\eta] = [M L^{-1} T^{-1}]$
$[r] = [L]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[L^3 T^{-1}] = [M L^{-2} T^{-2}]^a [M L^{-1} T^{-1}]^b [L]^c$
$[L^3 T^{-1}] = M^{a+b} L^{-2a-b+c} T^{-2a-b}$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$M$ માટે: $a + b = 0 \Rightarrow b = -a$
$T$ માટે: $-2a - b = -1$
$T$ ના સમીકરણમાં $b = -a$ મૂકતા: $-2a - (-a) = -1 \Rightarrow -a = -1 \Rightarrow a = 1$.
$b = -a$ હોવાથી,આપણને $b = -1$ મળે છે.
$L$ માટે: $-2a - b + c = 3$
$a = 1$ અને $b = -1$ મૂકતા: $-2(1) - (-1) + c = 3 \Rightarrow -2 + 1 + c = 3 \Rightarrow -1 + c = 3 \Rightarrow c = 4$.
આમ,$a=1, b=-1, c=4$ એ સાચા મૂલ્યો છે.