અ Gujarati
Dimensional Analysis, Uses and Limitations Questions in Gujarati
Class 11 Physics · Units, Dimensions and Measurement · Dimensional Analysis, Uses and Limitations
326+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 326 questions in Gujarati
201
DifficultMCQ
સ્ટોક્સનો નિયમ જણાવે છે કે $\eta$ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $a$ ત્રિજ્યાના ગોળા પર લાગતું સ્નિગ્ધ ખેંચાણ બળ $F=6 \pi \eta a v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો આ પ્રવાહી $r$ ત્રિજ્યા અને $l$ લંબાઈ ધરાવતી નળાકાર પાઇપમાંથી વહેતું હોય અને તેના બે છેડાઓ વચ્ચે $p$ જેટલો દબાણનો તફાવત હોય,તો $t$ સમયમાં પાઇપમાંથી વહેતા પાણીનું કદ $V$ ને $\frac{V}{t}=k\left(\frac{p}{l}\right)^a \eta^b r^c$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે. $a, b$ અને $c$ ના સાચા મૂલ્યો કયા છે?
A
$a=1, b=-1, c=4$
B
$a=-1, b=1, c=4$
C
$a=2, b=-1, c=3$
D
$a=1, b=-2, c=-4$
Solution
(A) આપેલ સમીકરણ $\frac{V}{t} = k \left( \frac{p}{l} \right)^a \eta^b r^c$ છે.
ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[V/t] = [L^3 T^{-1}]$
$[p/l] = [M L^{-1} T^{-2} / L] = [M L^{-2} T^{-2}]$
$[\eta] = [M L^{-1} T^{-1}]$
$[r] = [L]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[L^3 T^{-1}] = [M L^{-2} T^{-2}]^a [M L^{-1} T^{-1}]^b [L]^c$
$[L^3 T^{-1}] = M^{a+b} L^{-2a-b+c} T^{-2a-b}$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$M$ માટે: $a + b = 0 \Rightarrow b = -a$
$T$ માટે: $-2a - b = -1$
$T$ ના સમીકરણમાં $b = -a$ મૂકતા: $-2a - (-a) = -1 \Rightarrow -a = -1 \Rightarrow a = 1$.
$b = -a$ હોવાથી,આપણને $b = -1$ મળે છે.
$L$ માટે: $-2a - b + c = 3$
$a = 1$ અને $b = -1$ મૂકતા: $-2(1) - (-1) + c = 3 \Rightarrow -2 + 1 + c = 3 \Rightarrow -1 + c = 3 \Rightarrow c = 4$.
આમ,$a=1, b=-1, c=4$ એ સાચા મૂલ્યો છે.
ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[V/t] = [L^3 T^{-1}]$
$[p/l] = [M L^{-1} T^{-2} / L] = [M L^{-2} T^{-2}]$
$[\eta] = [M L^{-1} T^{-1}]$
$[r] = [L]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[L^3 T^{-1}] = [M L^{-2} T^{-2}]^a [M L^{-1} T^{-1}]^b [L]^c$
$[L^3 T^{-1}] = M^{a+b} L^{-2a-b+c} T^{-2a-b}$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$M$ માટે: $a + b = 0 \Rightarrow b = -a$
$T$ માટે: $-2a - b = -1$
$T$ ના સમીકરણમાં $b = -a$ મૂકતા: $-2a - (-a) = -1 \Rightarrow -a = -1 \Rightarrow a = 1$.
$b = -a$ હોવાથી,આપણને $b = -1$ મળે છે.
$L$ માટે: $-2a - b + c = 3$
$a = 1$ અને $b = -1$ મૂકતા: $-2(1) - (-1) + c = 3 \Rightarrow -2 + 1 + c = 3 \Rightarrow -1 + c = 3 \Rightarrow c = 4$.
આમ,$a=1, b=-1, c=4$ એ સાચા મૂલ્યો છે.
0 likes
View Solution202
MediumMCQ
જો કોઈ પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F$ તે પ્રવાહીમાં ડૂબેલા તેના કદ $V$,પ્રવાહીની ઘનતા $\rho$ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ પર આધાર રાખતું હોય,તો $F$ માટેનું સાચું સૂત્ર શું હોઈ શકે?
A
$V \rho g$
B
$\frac{\rho g}{V}$
C
$\rho g V^2$
D
$\sqrt{\rho g V}$
Solution
(A) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,આપણે ધારીએ છીએ કે $F = k V^a \rho^b g^c$,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[F] = [M L T^{-2}]$
$[V] = [L^3]$
$[\rho] = [M L^{-3}]$
$[g] = [L T^{-2}]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M L T^{-2}] = [L^3]^a [M L^{-3}]^b [L T^{-2}]^c$
$[M L T^{-2}] = [M^b L^{3a - 3b + c} T^{-2c}]$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $b = 1$
$T$ માટે: $-2c = -2 \Rightarrow c = 1$
$L$ માટે: $3a - 3b + c = 1$
$L$ ના સમીકરણમાં $b=1$ અને $c=1$ મૂકતા:
$3a - 3(1) + 1 = 1$
$3a - 2 = 1$
$3a = 3 \Rightarrow a = 1$
આમ,સૂત્ર $F = k V^1 \rho^1 g^1$ મળે છે. $k=1$ લેતા,આપણને $F = V \rho g$ મળે છે.
ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[F] = [M L T^{-2}]$
$[V] = [L^3]$
$[\rho] = [M L^{-3}]$
$[g] = [L T^{-2}]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M L T^{-2}] = [L^3]^a [M L^{-3}]^b [L T^{-2}]^c$
$[M L T^{-2}] = [M^b L^{3a - 3b + c} T^{-2c}]$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $b = 1$
$T$ માટે: $-2c = -2 \Rightarrow c = 1$
$L$ માટે: $3a - 3b + c = 1$
$L$ ના સમીકરણમાં $b=1$ અને $c=1$ મૂકતા:
$3a - 3(1) + 1 = 1$
$3a - 2 = 1$
$3a = 3 \Rightarrow a = 1$
આમ,સૂત્ર $F = k V^1 \rho^1 g^1$ મળે છે. $k=1$ લેતા,આપણને $F = V \rho g$ મળે છે.
0 likes
View Solution203
MediumMCQ
પદાર્થને ગરમ કરવા માટે વપરાતી ઉષ્મા ઊર્જા $Q$ તેના દળ $m$,તેની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $s$ અને પદાર્થના તાપમાનમાં થતા ફેરફાર $\Delta T$ પર આધાર રાખે છે. પરિમાણીય પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને $s$ માટેનું સૂત્ર મેળવો. (આપેલ છે કે $[s] = [L^2 T^{-2} K^{-1}]$)
A
$Q m \Delta T$
B
$\frac{Q}{m \Delta T}$
C
$\frac{Q m}{\Delta T}$
D
$\frac{m}{Q \Delta T}$
Solution
(B) ઉષ્મા ઊર્જા $Q$ એ સંબંધ $Q = m^a s^b (\Delta T)^c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[Q] = [M L^2 T^{-2}]$
$[m] = [M]$
$[s] = [L^2 T^{-2} K^{-1}]$
$[\Delta T] = [K]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M L^2 T^{-2}] = [M]^a [L^2 T^{-2} K^{-1}]^b [K]^c$
$[M L^2 T^{-2}] = [M^a L^{2b} T^{-2b} K^{-b+c}]$
બંને બાજુ $M, L, T,$ અને $K$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $a = 1$
$L$ માટે: $2b = 2 \Rightarrow b = 1$
$T$ માટે: $-2b = -2 \Rightarrow b = 1$
$K$ માટે: $-b + c = 0 \Rightarrow c = b = 1$
આમ,સમીકરણ $Q = m^1 s^1 (\Delta T)^1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $Q = m s \Delta T$ થાય છે.
$s$ ને કર્તા બનાવતા,આપણને $s = \frac{Q}{m \Delta T}$ મળે છે.
ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[Q] = [M L^2 T^{-2}]$
$[m] = [M]$
$[s] = [L^2 T^{-2} K^{-1}]$
$[\Delta T] = [K]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M L^2 T^{-2}] = [M]^a [L^2 T^{-2} K^{-1}]^b [K]^c$
$[M L^2 T^{-2}] = [M^a L^{2b} T^{-2b} K^{-b+c}]$
બંને બાજુ $M, L, T,$ અને $K$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $a = 1$
$L$ માટે: $2b = 2 \Rightarrow b = 1$
$T$ માટે: $-2b = -2 \Rightarrow b = 1$
$K$ માટે: $-b + c = 0 \Rightarrow c = b = 1$
આમ,સમીકરણ $Q = m^1 s^1 (\Delta T)^1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $Q = m s \Delta T$ થાય છે.
$s$ ને કર્તા બનાવતા,આપણને $s = \frac{Q}{m \Delta T}$ મળે છે.
0 likes
View Solution204
MediumMCQ
જો $y$ એ દબાણ દર્શાવે છે અને $x$ એ વેગ પ્રચલન (velocity gradient) દર્શાવે છે,તો $\frac{d^2 y}{d x^2}$ ના પરિમાણો શું છે?
A
$[ML^{-1}T^{-2}]$
B
$[M^2L^{-2}T^{-2}]$
C
$[ML^{-1}T^0]$
D
$[M^2L^{-2}T^{-4}]$
Solution
(C) વિકલન $\frac{d^2 y}{d x^2}$ ના પરિમાણો $\frac{y}{x^2}$ ના પરિમાણોને સમાન હોય છે.
આપેલ છે કે $y$ એ દબાણ છે,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
આપેલ છે કે $x$ એ વેગ પ્રચલન છે,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[v]}{[L]} = \frac{[LT^{-1}]}{[L]} = [T^{-1}]$ છે.
તેથી,$\frac{d^2 y}{d x^2}$ ના પરિમાણો $\frac{[y]}{[x]^2} = \frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[T^{-1}]^2} = \frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[T^{-2}]} = [ML^{-1}T^0]$ થશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
આપેલ છે કે $y$ એ દબાણ છે,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
આપેલ છે કે $x$ એ વેગ પ્રચલન છે,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[v]}{[L]} = \frac{[LT^{-1}]}{[L]} = [T^{-1}]$ છે.
તેથી,$\frac{d^2 y}{d x^2}$ ના પરિમાણો $\frac{[y]}{[x]^2} = \frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[T^{-1}]^2} = \frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[T^{-2}]} = [ML^{-1}T^0]$ થશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
0 likes
View Solution205
MediumMCQ
સમીકરણ $F = \frac{\alpha - t^2}{\beta v^2}$ માં $\frac{\alpha}{\beta}$ ના પરિમાણો શોધો,જ્યાં $F$ બળ છે,$v$ વેગ છે અને $t$ સમય છે.
A
$[MLT^{-1}]$
B
$[ML^{-1}T^{-2}]$
C
$[ML^3T^{-4}]$
D
$[ML^2T^{-4}]$
Solution
(C) આપેલ સમીકરણ $F = \frac{\alpha - t^2}{\beta v^2}$ છે.
પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\alpha$ ના પરિમાણો $t^2$ ના પરિમાણો જેટલા જ હોવા જોઈએ.
તેથી,$[\alpha] = [T^2]$.
હવે,આખા સમીકરણના પરિમાણો $[F] = \frac{[\alpha]}{[\beta][v^2]}$ છે.
પરિમાણો મૂકતા: $[MLT^{-2}] = \frac{[T^2]}{[\beta][LT^{-1}]^2}$.
$[MLT^{-2}] = \frac{[T^2]}{[\beta][L^2T^{-2}]}$.
$[\beta]$ માટે ગોઠવતા: $[\beta] = \frac{[T^2]}{[MLT^{-2}][L^2T^{-2}]} = \frac{[T^2]}{[ML^3T^{-4}]} = [M^{-1}L^{-3}T^6]$.
હવે,$\frac{\alpha}{\beta}$ ના પરિમાણોની ગણતરી કરતા:
$\frac{[\alpha]}{[\beta]} = \frac{[T^2]}{[M^{-1}L^{-3}T^6]} = [ML^3T^{-4}]$.
પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\alpha$ ના પરિમાણો $t^2$ ના પરિમાણો જેટલા જ હોવા જોઈએ.
તેથી,$[\alpha] = [T^2]$.
હવે,આખા સમીકરણના પરિમાણો $[F] = \frac{[\alpha]}{[\beta][v^2]}$ છે.
પરિમાણો મૂકતા: $[MLT^{-2}] = \frac{[T^2]}{[\beta][LT^{-1}]^2}$.
$[MLT^{-2}] = \frac{[T^2]}{[\beta][L^2T^{-2}]}$.
$[\beta]$ માટે ગોઠવતા: $[\beta] = \frac{[T^2]}{[MLT^{-2}][L^2T^{-2}]} = \frac{[T^2]}{[ML^3T^{-4}]} = [M^{-1}L^{-3}T^6]$.
હવે,$\frac{\alpha}{\beta}$ ના પરિમાણોની ગણતરી કરતા:
$\frac{[\alpha]}{[\beta]} = \frac{[T^2]}{[M^{-1}L^{-3}T^6]} = [ML^3T^{-4}]$.
0 likes
View Solution206
EasyMCQ
જો કોઈ ભૌતિક રાશિ ત્રણ રાશિઓ પર આધારિત હોય,જેમાંથી બે પરિમાણીય રીતે સમાન હોય,તો પરિમાણની પદ્ધતિ દ્વારા સૂત્ર મેળવી શકાતું નથી. આ વિધાન
A
સાચું હોઈ શકે
B
ખોટું હોઈ શકે
C
ચોક્કસપણે સાચું છે
D
ચોક્કસપણે ખોટું છે
Solution
(C) આ વિધાન સાચું છે.
પરિમાણીય વિશ્લેષણ એ પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે,જે આપણને અજ્ઞાત ઘાતાંકો શોધવા માટે મૂળભૂત રાશિઓના $(M, L, T)$ ઘાતાંકોને સરખાવવાની મંજૂરી આપે છે.
જો કોઈ ભૌતિક રાશિ $X$ ત્રણ રાશિઓ $a, b,$ અને $c$ પર આધારિત હોય,જ્યાં $a$ અને $b$ ના પરિમાણો સમાન હોય,તો સંબંધ $X = k \cdot a^x \cdot b^y \cdot c^z$ સ્વરૂપમાં હશે.
કારણ કે $a$ અને $b$ ના પરિમાણો સમાન છે,ધારો કે $[M^p L^q T^r]$,તો સમીકરણ $X = k \cdot ([M^p L^q T^r])^x \cdot ([M^p L^q T^r])^y \cdot c^z = k \cdot ([M^p L^q T^r])^{x+y} \cdot c^z$ બને છે.
અહીં,આપણે પરિમાણીય વિશ્લેષણ દ્વારા માત્ર $(x+y)$ અને $z$ ની કિંમત નક્કી કરી શકીએ છીએ,પરંતુ $x$ અને $y$ ની વ્યક્તિગત કિંમતો નક્કી કરી શકતા નથી.
તેથી,આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ સૂત્ર મેળવી શકાતું નથી.
પરિમાણીય વિશ્લેષણ એ પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે,જે આપણને અજ્ઞાત ઘાતાંકો શોધવા માટે મૂળભૂત રાશિઓના $(M, L, T)$ ઘાતાંકોને સરખાવવાની મંજૂરી આપે છે.
જો કોઈ ભૌતિક રાશિ $X$ ત્રણ રાશિઓ $a, b,$ અને $c$ પર આધારિત હોય,જ્યાં $a$ અને $b$ ના પરિમાણો સમાન હોય,તો સંબંધ $X = k \cdot a^x \cdot b^y \cdot c^z$ સ્વરૂપમાં હશે.
કારણ કે $a$ અને $b$ ના પરિમાણો સમાન છે,ધારો કે $[M^p L^q T^r]$,તો સમીકરણ $X = k \cdot ([M^p L^q T^r])^x \cdot ([M^p L^q T^r])^y \cdot c^z = k \cdot ([M^p L^q T^r])^{x+y} \cdot c^z$ બને છે.
અહીં,આપણે પરિમાણીય વિશ્લેષણ દ્વારા માત્ર $(x+y)$ અને $z$ ની કિંમત નક્કી કરી શકીએ છીએ,પરંતુ $x$ અને $y$ ની વ્યક્તિગત કિંમતો નક્કી કરી શકતા નથી.
તેથી,આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ સૂત્ર મેળવી શકાતું નથી.
0 likes
View Solution207
MediumMCQ
એક પ્રાયોગિક એકમ પદ્ધતિમાં,જો દળનો એકમ બમણો અને સમયનો એકમ અડધો કરવામાં આવે,તો $8 \text{ joule}$ એ .............. કાર્યના એકમ બરાબર થશે.
A
$6$
B
$4$
C
$1$
D
$10$
Solution
(C) કાર્યનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,$n_1[M_1L_1^2T_1^{-2}] = n_2[M_2L_2^2T_2^{-2}]$.
અહીં $n_1 = 8$,$M_2 = 2M_1$,$L_2 = L_1$,અને $T_2 = \frac{1}{2}T_1$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$n_2 = n_1 \left[\frac{M_1}{M_2}\right] \left[\frac{L_1}{L_2}\right]^2 \left[\frac{T_1}{T_2}\right]^{-2}$
$n_2 = 8 \times \left[\frac{M_1}{2M_1}\right] \times \left[\frac{L_1}{L_1}\right]^2 \times \left[\frac{T_1}{0.5T_1}\right]^{-2}$
$n_2 = 8 \times \frac{1}{2} \times 1 \times (2)^{-2}$
$n_2 = 8 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = 1$.
આમ,નવી પદ્ધતિમાં $8 \text{ joule}$ એ $1$ કાર્યના એકમ બરાબર છે.
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,$n_1[M_1L_1^2T_1^{-2}] = n_2[M_2L_2^2T_2^{-2}]$.
અહીં $n_1 = 8$,$M_2 = 2M_1$,$L_2 = L_1$,અને $T_2 = \frac{1}{2}T_1$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$n_2 = n_1 \left[\frac{M_1}{M_2}\right] \left[\frac{L_1}{L_2}\right]^2 \left[\frac{T_1}{T_2}\right]^{-2}$
$n_2 = 8 \times \left[\frac{M_1}{2M_1}\right] \times \left[\frac{L_1}{L_1}\right]^2 \times \left[\frac{T_1}{0.5T_1}\right]^{-2}$
$n_2 = 8 \times \frac{1}{2} \times 1 \times (2)^{-2}$
$n_2 = 8 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = 1$.
આમ,નવી પદ્ધતિમાં $8 \text{ joule}$ એ $1$ કાર્યના એકમ બરાબર છે.
0 likes
View Solution208
MediumMCQ
એકમની નવી પદ્ધતિમાં,ઉર્જા $(E)$,ઘનતા $(d)$ અને પાવર $(P)$ ને મૂળભૂત એકમો તરીકે લેવામાં આવે છે,તો સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ નું પારિમાણિક સૂત્ર ....... થશે.
A
$[E^{-1} d^{-2} P^2]$
B
$[E^{-2} d^{-1} P^2]$
C
$[E^2 d^{-1} P^{-1}]$
D
$[E^{-1} d^{-2} P^{-2}]$
Solution
(B) સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ છે.
ધારો કે $G = [E^a d^b P^c]$.
મૂળભૂત એકમોના પરિમાણો છે:
$E = [M L^2 T^{-2}]$
$d = [M L^{-3}]$
$P = [M L^2 T^{-3}]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^{-1} L^3 T^{-2}] = [M L^2 T^{-2}]^a [M L^{-3}]^b [M L^2 T^{-3}]^c$
$[M^{-1} L^3 T^{-2}] = [M^{a+b+c} L^{2a-3b+2c} T^{-2a-3c}]$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$1) a + b + c = -1$
$2) 2a - 3b + 2c = 3$
$3) -2a - 3c = -2 \Rightarrow 2a + 3c = 2$
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$c = (2 - 2a)/3$. $c$ અને $b = -1 - a - c$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
આ સમીકરણો ઉકેલતા $a = -2, b = -1, c = 2$ મળે છે.
તેથી,$G = [E^{-2} d^{-1} P^2]$.
ધારો કે $G = [E^a d^b P^c]$.
મૂળભૂત એકમોના પરિમાણો છે:
$E = [M L^2 T^{-2}]$
$d = [M L^{-3}]$
$P = [M L^2 T^{-3}]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^{-1} L^3 T^{-2}] = [M L^2 T^{-2}]^a [M L^{-3}]^b [M L^2 T^{-3}]^c$
$[M^{-1} L^3 T^{-2}] = [M^{a+b+c} L^{2a-3b+2c} T^{-2a-3c}]$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$1) a + b + c = -1$
$2) 2a - 3b + 2c = 3$
$3) -2a - 3c = -2 \Rightarrow 2a + 3c = 2$
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$c = (2 - 2a)/3$. $c$ અને $b = -1 - a - c$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
આ સમીકરણો ઉકેલતા $a = -2, b = -1, c = 2$ મળે છે.
તેથી,$G = [E^{-2} d^{-1} P^2]$.
0 likes
View Solution209
MediumMCQ
સમીકરણ $y = x^2 \cos^2 \left( 2 \pi \frac{\beta \gamma}{\alpha} \right)$ માં,$x, \alpha, \beta$ ના એકમો અનુક્રમે $m, s^{-1}$ અને $(ms^{-1})^{-1}$ છે. $y$ અને $\gamma$ ના એકમો શું હશે?
A
$m^2, ms^{-2}$
B
$m, ms^{-1}$
C
$m^2, m$
D
$m, ms^{-2}$
Solution
(A) ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો ખૂણો પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
તેથી,પદ $\frac{\beta \gamma}{\alpha}$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ,એટલે કે $[\beta][\gamma] = [\alpha]$.
આપેલ એકમો: $[x] = L$,$[\alpha] = T^{-1}$,અને $[\beta] = (LT^{-1})^{-1} = L^{-1}T$.
આ કિંમતોને પરિમાણના સમીકરણમાં મૂકતા: $(L^{-1}T) \cdot [\gamma] = T^{-1}$.
$[\gamma]$ માટે ઉકેલતા: $[\gamma] = T^{-1} \cdot L \cdot T^{-1} = LT^{-2}$.
તેથી $\gamma$ નો એકમ $ms^{-2}$ છે.
સમીકરણ $y = x^2$ પરથી,$y$ નો એકમ એ $x$ ના એકમનો વર્ગ છે.
કારણ કે $[x] = L$ (મીટર),તેથી $[y] = L^2$ (મીટર$^2$).
આમ,$y$ અને $\gamma$ ના એકમો અનુક્રમે $m^2$ અને $ms^{-2}$ છે.
તેથી,પદ $\frac{\beta \gamma}{\alpha}$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ,એટલે કે $[\beta][\gamma] = [\alpha]$.
આપેલ એકમો: $[x] = L$,$[\alpha] = T^{-1}$,અને $[\beta] = (LT^{-1})^{-1} = L^{-1}T$.
આ કિંમતોને પરિમાણના સમીકરણમાં મૂકતા: $(L^{-1}T) \cdot [\gamma] = T^{-1}$.
$[\gamma]$ માટે ઉકેલતા: $[\gamma] = T^{-1} \cdot L \cdot T^{-1} = LT^{-2}$.
તેથી $\gamma$ નો એકમ $ms^{-2}$ છે.
સમીકરણ $y = x^2$ પરથી,$y$ નો એકમ એ $x$ ના એકમનો વર્ગ છે.
કારણ કે $[x] = L$ (મીટર),તેથી $[y] = L^2$ (મીટર$^2$).
આમ,$y$ અને $\gamma$ ના એકમો અનુક્રમે $m^2$ અને $ms^{-2}$ છે.
0 likes
View Solution210
MediumMCQ
$\eta$ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક ધરાવતું પ્રવાહી $r$ ત્રિજ્યા અને $l$ લંબાઈ ધરાવતી નળીમાંથી પસાર થાય છે,જેના છેડાઓ વચ્ચે દબાણનો તફાવત $P$ છે,તો પ્રતિ સેકન્ડ વહેતા પ્રવાહીના કદ $V$ માટે પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સુસંગત સંબંધ કયો છે?
A
$V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$
B
$V = \frac{\pi \eta}{8 P r^4}$
C
$V = \frac{8 P \eta}{\pi r^4}$
D
$V = \frac{\pi P \eta}{8 r^4}$
Solution
(A) કદનો પ્રવાહ દર $V$ (પોઈઝ્યુલીનો નિયમ) સૂત્ર $V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિમાણની દ્રષ્ટિએ ચકાસણી કરતા:
$V$ ના પરિમાણ = $[L^3 T^{-1}]$.
$P$ ના પરિમાણ = $[M L^{-1} T^{-2}]$.
$r$ ના પરિમાણ = $[L]$.
$\eta$ ના પરિમાણ = $[M L^{-1} T^{-1}]$.
$l$ ના પરિમાણ = $[L]$.
આ કિંમતો જમણી બાજુ $(RHS)$ માં મૂકતા: $\frac{[M L^{-1} T^{-2}] [L^4]}{[M L^{-1} T^{-1}] [L]} = \frac{[M L^3 T^{-2}]}{[M T^{-1}]} = [L^3 T^{-1}]$.
ડાબી બાજુ $(LHS)$ અને જમણી બાજુ $(RHS)$ ના પરિમાણો સમાન હોવાથી,સાચો સંબંધ $V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$ છે.
પરિમાણની દ્રષ્ટિએ ચકાસણી કરતા:
$V$ ના પરિમાણ = $[L^3 T^{-1}]$.
$P$ ના પરિમાણ = $[M L^{-1} T^{-2}]$.
$r$ ના પરિમાણ = $[L]$.
$\eta$ ના પરિમાણ = $[M L^{-1} T^{-1}]$.
$l$ ના પરિમાણ = $[L]$.
આ કિંમતો જમણી બાજુ $(RHS)$ માં મૂકતા: $\frac{[M L^{-1} T^{-2}] [L^4]}{[M L^{-1} T^{-1}] [L]} = \frac{[M L^3 T^{-2}]}{[M T^{-1}]} = [L^3 T^{-1}]$.
ડાબી બાજુ $(LHS)$ અને જમણી બાજુ $(RHS)$ ના પરિમાણો સમાન હોવાથી,સાચો સંબંધ $V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$ છે.
0 likes
View Solution211
DifficultMCQ
એક તરંગ પલ્સ વાયોલિનના તાર જેવા ખેંચાયેલા તાર પર મુસાફરી કરી શકે છે. પ્રયોગોની શ્રેણીએ દર્શાવ્યું છે કે પલ્સનો તરંગ વેગ $V$ નીચેની રાશિઓ પર આધાર રાખે છે: તારનું તણાવ $T$,તારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને તારની ઘનતા $\rho$ (એકમ કદ દીઠ દળ). પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને $T$,$A$ અને $\rho$ ના સંદર્ભમાં $V$ માટેનું સૂત્ર મેળવો.
A
$V = k \sqrt{\frac{T}{A \rho}}$
B
$V = k \sqrt{\frac{A \rho}{T}}$
C
$V = k \sqrt{\frac{T}{A \rho^2}}$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(A) ધારો કે વેગ માટેનું સૂત્ર $V = k T^a A^b \rho^c$ છે,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
દરેક રાશિના પરિમાણો લખતા:
$[V] = [LT^{-1}]$,$[T] = [MLT^{-2}]$,$[A] = [L^2]$,$[\rho] = [ML^{-3}]$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$[LT^{-1}] = [MLT^{-2}]^a [L^2]^b [ML^{-3}]^c = [M^{a+c} L^{a+2b-3c} T^{-2a}]$.
બંને બાજુ $M$,$L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $a + c = 0 \Rightarrow c = -a$.
$T$ માટે: $-2a = -1 \Rightarrow a = 1/2$.
તેથી,$c = -1/2$.
$L$ માટે: $a + 2b - 3c = 1$.
$a = 1/2$ અને $c = -1/2$ મૂકતા: $1/2 + 2b - 3(-1/2) = 1 \Rightarrow 1/2 + 2b + 3/2 = 1 \Rightarrow 2 + 2b = 1 \Rightarrow 2b = -1 \Rightarrow b = -1/2$.
$a, b, c$ ની કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $V = k T^{1/2} A^{-1/2} \rho^{-1/2} = k \sqrt{\frac{T}{A \rho}}$.
દરેક રાશિના પરિમાણો લખતા:
$[V] = [LT^{-1}]$,$[T] = [MLT^{-2}]$,$[A] = [L^2]$,$[\rho] = [ML^{-3}]$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$[LT^{-1}] = [MLT^{-2}]^a [L^2]^b [ML^{-3}]^c = [M^{a+c} L^{a+2b-3c} T^{-2a}]$.
બંને બાજુ $M$,$L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $a + c = 0 \Rightarrow c = -a$.
$T$ માટે: $-2a = -1 \Rightarrow a = 1/2$.
તેથી,$c = -1/2$.
$L$ માટે: $a + 2b - 3c = 1$.
$a = 1/2$ અને $c = -1/2$ મૂકતા: $1/2 + 2b - 3(-1/2) = 1 \Rightarrow 1/2 + 2b + 3/2 = 1 \Rightarrow 2 + 2b = 1 \Rightarrow 2b = -1 \Rightarrow b = -1/2$.
$a, b, c$ ની કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $V = k T^{1/2} A^{-1/2} \rho^{-1/2} = k \sqrt{\frac{T}{A \rho}}$.
0 likes
View Solution212
MediumMCQ
જો $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી હોય,$e$ એ પ્રોટોનનો વિદ્યુતભાર હોય,$G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક હોય અને $m_p$ એ પ્રોટોનનું દળ હોય,તો $\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 G m_p^2}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર શું થાય?
A
$[M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]$
B
$[M^0 L^0 T^0 A^0]$
C
$[M^1 L^3 T^{-3} A^{-1}]$
D
$[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$
Solution
(B) $r$ અંતરે રહેલા બે પ્રોટોન વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = \frac{G m_p^2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ અંતર $r$ પર રહેલા બે પ્રોટોન વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બળોનો ગુણોત્તર લેતા,આપણને મળે છે $\frac{F_e}{F_g} = \frac{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2}}{\frac{G m_p^2}{r^2}} = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 G m_p^2}$.
બે બળોનો ગુણોત્તર એ પરિમાણરહિત રાશિ હોવાથી,$\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 G m_p^2}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^0 T^0 A^0]$ થાય છે.
તે જ અંતર $r$ પર રહેલા બે પ્રોટોન વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બળોનો ગુણોત્તર લેતા,આપણને મળે છે $\frac{F_e}{F_g} = \frac{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2}}{\frac{G m_p^2}{r^2}} = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 G m_p^2}$.
બે બળોનો ગુણોત્તર એ પરિમાણરહિત રાશિ હોવાથી,$\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 G m_p^2}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^0 T^0 A^0]$ થાય છે.
0 likes
View Solution213
MediumMCQ
દોલન કરતા પ્રવાહીના ટીપાની આવૃત્તિ $(v)$ એ ટીપાની ત્રિજ્યા $(r)$,પ્રવાહીની ઘનતા $(\rho)$ અને પ્રવાહીના પૃષ્ઠતાણ $(s)$ પર $v = r^{a} \rho^{b} s^{c}$ મુજબ આધાર રાખે છે. તો $a, b$ અને $c$ ના મૂલ્યો અનુક્રમે શું હશે?
A
$(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
B
$(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
C
$(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$
D
$(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
Solution
(A) આવૃત્તિ $(v)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[T^{-1}]$ છે.
ત્રિજ્યા $(r)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
ઘનતા $(\rho)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{-3}]$ છે.
પૃષ્ઠતાણ $(s)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[MT^{-2}]$ છે.
આપેલ સંબંધ: $v = r^{a} \rho^{b} s^{c}$.
પરિમાણો મૂકતા: $[M^{0}L^{0}T^{-1}] = [L]^{a} [ML^{-3}]^{b} [MT^{-2}]^{c}$.
$[M^{0}L^{0}T^{-1}] = M^{b+c} L^{a-3b} T^{-2c}$.
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$T$ માટે: $-2c = -1 \Rightarrow c = \frac{1}{2}$.
$M$ માટે: $b + c = 0 \Rightarrow b = -c = -\frac{1}{2}$.
$L$ માટે: $a - 3b = 0 \Rightarrow a = 3b = 3(-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}$.
આમ,$a, b$ અને $c$ ના મૂલ્યો અનુક્રમે $-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}$ અને $\frac{1}{2}$ છે.
ત્રિજ્યા $(r)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
ઘનતા $(\rho)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{-3}]$ છે.
પૃષ્ઠતાણ $(s)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[MT^{-2}]$ છે.
આપેલ સંબંધ: $v = r^{a} \rho^{b} s^{c}$.
પરિમાણો મૂકતા: $[M^{0}L^{0}T^{-1}] = [L]^{a} [ML^{-3}]^{b} [MT^{-2}]^{c}$.
$[M^{0}L^{0}T^{-1}] = M^{b+c} L^{a-3b} T^{-2c}$.
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$T$ માટે: $-2c = -1 \Rightarrow c = \frac{1}{2}$.
$M$ માટે: $b + c = 0 \Rightarrow b = -c = -\frac{1}{2}$.
$L$ માટે: $a - 3b = 0 \Rightarrow a = 3b = 3(-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}$.
આમ,$a, b$ અને $c$ ના મૂલ્યો અનુક્રમે $-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}$ અને $\frac{1}{2}$ છે.
0 likes
View Solution214
MediumMCQ
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ ત્રિજ્યા છે. જો સમીકરણને $(0,0)$ સિવાયના બિંદુ પર ઉગમબિંદુ બદલવા માટે સુધારવામાં આવે,તો નવા સમીકરણ $(x-At)^2+(y-\frac{t}{B})^2=a^2$ માં $A$ અને $B$ ના સાચા પરિમાણો શોધો. $t$ ના પરિમાણો $[T^{-1}]$ તરીકે આપેલ છે.
A
$A=[L^{-1}T], B=[LT^{-1}]$
B
$A=[LT], B=[L^{-1}T^{-1}]$
C
$A=[L^{-1}T^{-1}], B=[LT^{-1}]$
D
$A=[L^{-1}T^{-1}], B=[LT]$
Solution
(B) આપેલ સમીકરણ $(x-At)^2+(y-\frac{t}{B})^2=a^2$ છે.
પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$x$ અને $y$ માંથી બાદ થતા પદોના પરિમાણ લંબાઈ $[L]$ જેટલા જ હોવા જોઈએ.
$At$ પદ માટે:
$[At] = [L]$
$[A][T^{-1}] = [L]$
$[A] = [LT]$
$\frac{t}{B}$ પદ માટે:
$[\frac{t}{B}] = [L]$
$\frac{[T^{-1}]}{[B]} = [L]$
$[B] = [L^{-1}T^{-1}]$
આમ,$A$ અને $B$ ના પરિમાણો અનુક્રમે $[LT]$ અને $[L^{-1}T^{-1}]$ છે.
પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$x$ અને $y$ માંથી બાદ થતા પદોના પરિમાણ લંબાઈ $[L]$ જેટલા જ હોવા જોઈએ.
$At$ પદ માટે:
$[At] = [L]$
$[A][T^{-1}] = [L]$
$[A] = [LT]$
$\frac{t}{B}$ પદ માટે:
$[\frac{t}{B}] = [L]$
$\frac{[T^{-1}]}{[B]} = [L]$
$[B] = [L^{-1}T^{-1}]$
આમ,$A$ અને $B$ ના પરિમાણો અનુક્રમે $[LT]$ અને $[L^{-1}T^{-1}]$ છે.
0 likes
View Solution215
DifficultMCQ
$(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=RT$ એ કેટલાક વાયુઓ માટે અવસ્થાનું સમીકરણ દર્શાવે છે. જ્યાં $P$ એ દબાણ છે,$V$ એ કદ છે,$T$ એ તાપમાન છે અને $a, b, R$ એ અચળાંકો છે. જે ભૌતિક રાશિનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{b^2}{a}$ જેવું જ હોય,તે કઈ છે?
A
બલ્ક મોડ્યુલસ
B
દ્રઢતા મોડ્યુલસ
C
સંકોચનીયતા (Compressibility)
D
ઉર્જા ઘનતા
Solution
(C) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉમેરવામાં આવતા અથવા બાદ કરવામાં આવતા પદોના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
અહીં $b$ ને $V$ માંથી બાદ કરવામાં આવે છે,તેથી $b$ ના પરિમાણો એ કદ $V$ ના પરિમાણો જેટલા જ હોય:
$[b] = [V] = [L^3]$
તે જ રીતે,$\frac{a}{V^2}$ ને $P$ માં ઉમેરવામાં આવે છે,તેથી $\frac{a}{V^2}$ ના પરિમાણો એ દબાણ $P$ ના પરિમાણો જેટલા જ હોય:
$[\frac{a}{V^2}] = [P] \implies [a] = [P][V^2] = [ML^{-1}T^{-2}][L^6] = [ML^5T^{-2}]$
હવે,આપણે $\frac{b^2}{a}$ ના પરિમાણો શોધીએ:
$[\frac{b^2}{a}] = \frac{[L^3]^2}{[ML^5T^{-2}]} = \frac{[L^6]}{[ML^5T^{-2}]} = [M^{-1}LT^2]$
આપણે જાણીએ છીએ કે સંકોચનીયતા (Compressibility) $K$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ નો વ્યસ્ત છે:
$[K] = \frac{1}{[B]} = \frac{1}{[ML^{-1}T^{-2}]} = [M^{-1}LT^2]$
આમ,$\frac{b^2}{a}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર એ સંકોચનીયતાના પારિમાણિક સૂત્ર સમાન છે.
અહીં $b$ ને $V$ માંથી બાદ કરવામાં આવે છે,તેથી $b$ ના પરિમાણો એ કદ $V$ ના પરિમાણો જેટલા જ હોય:
$[b] = [V] = [L^3]$
તે જ રીતે,$\frac{a}{V^2}$ ને $P$ માં ઉમેરવામાં આવે છે,તેથી $\frac{a}{V^2}$ ના પરિમાણો એ દબાણ $P$ ના પરિમાણો જેટલા જ હોય:
$[\frac{a}{V^2}] = [P] \implies [a] = [P][V^2] = [ML^{-1}T^{-2}][L^6] = [ML^5T^{-2}]$
હવે,આપણે $\frac{b^2}{a}$ ના પરિમાણો શોધીએ:
$[\frac{b^2}{a}] = \frac{[L^3]^2}{[ML^5T^{-2}]} = \frac{[L^6]}{[ML^5T^{-2}]} = [M^{-1}LT^2]$
આપણે જાણીએ છીએ કે સંકોચનીયતા (Compressibility) $K$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ નો વ્યસ્ત છે:
$[K] = \frac{1}{[B]} = \frac{1}{[ML^{-1}T^{-2}]} = [M^{-1}LT^2]$
આમ,$\frac{b^2}{a}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર એ સંકોચનીયતાના પારિમાણિક સૂત્ર સમાન છે.
0 likes
View Solution216
DifficultMCQ
જો પ્રકાશનો વેગ $c$,સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ અને પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ ને મૂળભૂત રાશિઓ તરીકે પસંદ કરવામાં આવે,તો નવી પદ્ધતિમાં દળનું પારિમાણિક સૂત્ર શું થશે?
A
$[h^{1/2} c^{1/2} G^{-1/2}]$
B
$[h^1 c^1 G^{-1}]$
C
$[h^{-1/2} c^{1/2} G^{1/2}]$
D
$[h^{1/2} c^{-1/2} G^{1/2}]$
Solution
(A) ધારો કે દળનું પારિમાણિક સૂત્ર $M = h^x c^y G^z$ છે.
પારિમાણિક સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$h = [ML^2T^{-1}]$
$c = [LT^{-1}]$
$G = [M^{-1}L^3T^{-2}]$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^1 L^0 T^0] = [ML^2T^{-1}]^x [LT^{-1}]^y [M^{-1}L^3T^{-2}]^z$
$[M^1 L^0 T^0] = M^{x-z} L^{2x+y+3z} T^{-x-y-2z}$
બંને બાજુના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $x - z = 1$
$2$) $2x + y + 3z = 0$
$3$) $-x - y - 2z = 0$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(2x + y + 3z) + (-x - y - 2z) = 0 + 0$
$x + z = 0 \implies x = -z$
$x = -z$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$-z - z = 1 \implies -2z = 1 \implies z = -1/2$
તેથી $x = 1/2$ મળે.
$x = 1/2$ અને $z = -1/2$ ને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$-1/2 - y - 2(-1/2) = 0$
$-1/2 - y + 1 = 0 \implies y = 1/2$
આમ,દળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[h^{1/2} c^{1/2} G^{-1/2}]$ થાય છે.
પારિમાણિક સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$h = [ML^2T^{-1}]$
$c = [LT^{-1}]$
$G = [M^{-1}L^3T^{-2}]$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^1 L^0 T^0] = [ML^2T^{-1}]^x [LT^{-1}]^y [M^{-1}L^3T^{-2}]^z$
$[M^1 L^0 T^0] = M^{x-z} L^{2x+y+3z} T^{-x-y-2z}$
બંને બાજુના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $x - z = 1$
$2$) $2x + y + 3z = 0$
$3$) $-x - y - 2z = 0$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(2x + y + 3z) + (-x - y - 2z) = 0 + 0$
$x + z = 0 \implies x = -z$
$x = -z$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$-z - z = 1 \implies -2z = 1 \implies z = -1/2$
તેથી $x = 1/2$ મળે.
$x = 1/2$ અને $z = -1/2$ ને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$-1/2 - y - 2(-1/2) = 0$
$-1/2 - y + 1 = 0 \implies y = 1/2$
આમ,દળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[h^{1/2} c^{1/2} G^{-1/2}]$ થાય છે.
0 likes
View Solution217
MediumMCQ
જો બળ $(F)$,વેગ $(V)$ અને સમય $(T)$ ને મૂળભૂત ભૌતિક રાશિઓ તરીકે લેવામાં આવે,તો ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર શું થશે?
A
$F V^{-2} T^2$
B
$F V^{-4} T^{-2}$
C
$F V^{-4} T^2$
D
$F^2 V^{-2} T^6$
Solution
(B) ઘનતા $(\rho)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{-3}]$ છે.
ધારો કે પારિમાણિક સૂત્ર $[\rho] = [F]^a [V]^b [T]^c$ છે.
પરિમાણો મૂકતા: $[M L^{-3}] = [M L T^{-2}]^a [L T^{-1}]^b [T]^c$.
$[M L^{-3}] = [M^a L^{a+b} T^{-2a-b+c}]$.
બંને બાજુ $M$,$L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $a = 1$.
$L$ માટે: $a + b = -3 \Rightarrow 1 + b = -3 \Rightarrow b = -4$.
$T$ માટે: $-2a - b + c = 0 \Rightarrow -2(1) - (-4) + c = 0 \Rightarrow -2 + 4 + c = 0 \Rightarrow 2 + c = 0 \Rightarrow c = -2$.
આમ,પારિમાણિક સૂત્ર $[F^1 V^{-4} T^{-2}]$ થશે.
ધારો કે પારિમાણિક સૂત્ર $[\rho] = [F]^a [V]^b [T]^c$ છે.
પરિમાણો મૂકતા: $[M L^{-3}] = [M L T^{-2}]^a [L T^{-1}]^b [T]^c$.
$[M L^{-3}] = [M^a L^{a+b} T^{-2a-b+c}]$.
બંને બાજુ $M$,$L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $a = 1$.
$L$ માટે: $a + b = -3 \Rightarrow 1 + b = -3 \Rightarrow b = -4$.
$T$ માટે: $-2a - b + c = 0 \Rightarrow -2(1) - (-4) + c = 0 \Rightarrow -2 + 4 + c = 0 \Rightarrow 2 + c = 0 \Rightarrow c = -2$.
આમ,પારિમાણિક સૂત્ર $[F^1 V^{-4} T^{-2}]$ થશે.
0 likes
View Solution218
MediumMCQ
સમીકરણ $[X+\frac{a}{Y^2}][Y-b]= RT$ માં,$X$ દબાણ છે,$Y$ કદ છે,$R$ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ તાપમાન છે. ગુણોત્તર $\frac{a}{b}$ ને સમકક્ષ ભૌતિક રાશિ કઈ છે?
A
ઉર્જા
B
આઘાત
C
દબાણ પ્રચલન
D
શ્યાનતા ગુણાંક
Solution
(A) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી થઈ શકે છે.
પદ $[X + \frac{a}{Y^2}]$ માં,$X$ દબાણ છે,તેથી $\frac{a}{Y^2}$ પણ દબાણના પરિમાણ ધરાવતું હોવું જોઈએ.
$[X] = [ML^{-1}T^{-2}]$
$[Y] = [L^3]$
$[\frac{a}{Y^2}] = [ML^{-1}T^{-2}] \implies [a] = [ML^{-1}T^{-2}] \times [L^3]^2 = [ML^5T^{-2}]$
પદ $[Y - b]$ માં,$Y$ કદ છે,તેથી $b$ પણ કદના પરિમાણ ધરાવતું હોવું જોઈએ.
$[b] = [L^3]$
હવે,ગુણોત્તર $\frac{a}{b}$ ના પરિમાણ:
$\frac{[a]}{[b]} = \frac{[ML^5T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^2T^{-2}]$
આ પરિમાણ ઉર્જા (અથવા કાર્ય/ટોર્ક) ના છે.
પદ $[X + \frac{a}{Y^2}]$ માં,$X$ દબાણ છે,તેથી $\frac{a}{Y^2}$ પણ દબાણના પરિમાણ ધરાવતું હોવું જોઈએ.
$[X] = [ML^{-1}T^{-2}]$
$[Y] = [L^3]$
$[\frac{a}{Y^2}] = [ML^{-1}T^{-2}] \implies [a] = [ML^{-1}T^{-2}] \times [L^3]^2 = [ML^5T^{-2}]$
પદ $[Y - b]$ માં,$Y$ કદ છે,તેથી $b$ પણ કદના પરિમાણ ધરાવતું હોવું જોઈએ.
$[b] = [L^3]$
હવે,ગુણોત્તર $\frac{a}{b}$ ના પરિમાણ:
$\frac{[a]}{[b]} = \frac{[ML^5T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^2T^{-2}]$
આ પરિમાણ ઉર્જા (અથવા કાર્ય/ટોર્ક) ના છે.
0 likes
View Solution219
MediumMCQ
પાણીમાં ઉત્પન્ન થતા તરંગની ઝડપ $v = \lambda^a g^b \rho^c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યાં $\lambda$,$g$ અને $\rho$ અનુક્રમે તરંગની તરંગલંબાઇ,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ અને પાણીની ઘનતા છે. $a$,$b$ અને $c$ ના મૂલ્યો અનુક્રમે છે:
A
$\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0$
B
$1, 1, 0$
C
$1, -1, 0$
D
$\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}$
Solution
(A) આપેલ સમીકરણ $v = \lambda^a g^b \rho^c$ છે.
પરિમાણીય વિશ્લેષણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને,આપણે દરેક ભૌતિક રાશિના પરિમાણો લખીએ છીએ:
$[v] = [L T^{-1}]$
$[\lambda] = [L]$
$[g] = [L T^{-2}]$
$[\rho] = [M L^{-3}]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^0 L^1 T^{-1}] = [L]^a [L T^{-2}]^b [M L^{-3}]^c$
$[M^0 L^1 T^{-1}] = [M^c L^{a+b-3c} T^{-2b}]$
બંને બાજુ $M$,$L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $c = 0$
$T$ માટે: $-2b = -1 \Rightarrow b = \frac{1}{2}$
$L$ માટે: $a + b - 3c = 1$
$b = \frac{1}{2}$ અને $c = 0$ ને $L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a + \frac{1}{2} - 3(0) = 1$
$a = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
આમ,$a = \frac{1}{2}$,$b = \frac{1}{2}$ અને $c = 0$ મળે છે.
પરિમાણીય વિશ્લેષણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને,આપણે દરેક ભૌતિક રાશિના પરિમાણો લખીએ છીએ:
$[v] = [L T^{-1}]$
$[\lambda] = [L]$
$[g] = [L T^{-2}]$
$[\rho] = [M L^{-3}]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^0 L^1 T^{-1}] = [L]^a [L T^{-2}]^b [M L^{-3}]^c$
$[M^0 L^1 T^{-1}] = [M^c L^{a+b-3c} T^{-2b}]$
બંને બાજુ $M$,$L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $c = 0$
$T$ માટે: $-2b = -1 \Rightarrow b = \frac{1}{2}$
$L$ માટે: $a + b - 3c = 1$
$b = \frac{1}{2}$ અને $c = 0$ ને $L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a + \frac{1}{2} - 3(0) = 1$
$a = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
આમ,$a = \frac{1}{2}$,$b = \frac{1}{2}$ અને $c = 0$ મળે છે.
0 likes
View Solution220
DifficultMCQ
વાસ્તવિક વાયુ માટે અવસ્થાનું સમીકરણ $(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P, V$ અને $T$ અનુક્રમે દબાણ,કદ અને તાપમાન છે અને $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે. $\frac{a}{b^2}$ ના પરિમાણો કોના જેવા છે:
A
$PV$
B
$P$
C
$RT$
D
$R$
Solution
(B) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણમાં ઉમેરવામાં આવતા અથવા બાદ કરવામાં આવતા પદોના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
$1$. $(P + \frac{a}{V^2})$ પદમાં,$P$ ના પરિમાણો $\frac{a}{V^2}$ ના પરિમાણો જેટલા હોવા જોઈએ.
$[P] = [\frac{a}{V^2}] \Rightarrow [a] = [P][V^2] = [P][L^6]$.
$2$. $(V - b)$ પદમાં,$V$ ના પરિમાણો $b$ ના પરિમાણો જેટલા હોવા જોઈએ.
$[b] = [V] = [L^3] \Rightarrow [b^2] = [V^2] = [L^6]$.
$3$. હવે,$\frac{a}{b^2}$ ના પરિમાણો શોધો:
$[\frac{a}{b^2}] = \frac{[P][V^2]}{[V^2]} = [P]$.
તેથી,$\frac{a}{b^2}$ ના પરિમાણો દબાણ $P$ ના પરિમાણો સમાન છે.
$1$. $(P + \frac{a}{V^2})$ પદમાં,$P$ ના પરિમાણો $\frac{a}{V^2}$ ના પરિમાણો જેટલા હોવા જોઈએ.
$[P] = [\frac{a}{V^2}] \Rightarrow [a] = [P][V^2] = [P][L^6]$.
$2$. $(V - b)$ પદમાં,$V$ ના પરિમાણો $b$ ના પરિમાણો જેટલા હોવા જોઈએ.
$[b] = [V] = [L^3] \Rightarrow [b^2] = [V^2] = [L^6]$.
$3$. હવે,$\frac{a}{b^2}$ ના પરિમાણો શોધો:
$[\frac{a}{b^2}] = \frac{[P][V^2]}{[V^2]} = [P]$.
તેથી,$\frac{a}{b^2}$ ના પરિમાણો દબાણ $P$ ના પરિમાણો સમાન છે.
0 likes
View Solution221
DifficultMCQ
જો દળને $m=kc^{p} G^{-1 / 2} \,h^{1 / 2}$ તરીકે લખવામાં આવે,તો $P$ નું મૂલ્ય કેટલું થશે? (અચળાંકો તેમના સામાન્ય અર્થ ધરાવે છે અને $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે)
A
$1 / 2$
B
$1 / 3$
C
$2$
D
$-1 / 3$
Solution
(A) દળ માટેનું સૂત્ર આપેલ છે: $m = k c^{P} G^{-1/2} h^{1/2}$.
દરેક અચળાંક માટે આપણે પરિમાણીય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$c$ (પ્રકાશની ઝડપ) $= [L T^{-1}]$
$G$ (ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક) $= [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
$h$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) $= [M L^2 T^{-1}]$
આ પરિમાણોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^1 L^0 T^0] = [L T^{-1}]^{P} [M^{-1} L^3 T^{-2}]^{-1/2} [M L^2 T^{-1}]^{1/2}$
$[M^1 L^0 T^0] = [L^P T^{-P}] [M^{1/2} L^{-3/2} T^1] [M^{1/2} L^1 T^{-1/2}]$
જમણી બાજુએ $M$,$L$,અને $T$ ના ઘાતાંકોને ભેગા કરતા:
$M: 1/2 + 1/2 = 1$
$L: P - 3/2 + 1 = P - 1/2$
$T: -P + 1 - 1/2 = -P + 1/2$
બંને બાજુ $L$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$P - 1/2 = 0 \implies P = 1/2$.
આમ,$P$ નું મૂલ્ય $1/2$ છે.
દરેક અચળાંક માટે આપણે પરિમાણીય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$c$ (પ્રકાશની ઝડપ) $= [L T^{-1}]$
$G$ (ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક) $= [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
$h$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) $= [M L^2 T^{-1}]$
આ પરિમાણોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^1 L^0 T^0] = [L T^{-1}]^{P} [M^{-1} L^3 T^{-2}]^{-1/2} [M L^2 T^{-1}]^{1/2}$
$[M^1 L^0 T^0] = [L^P T^{-P}] [M^{1/2} L^{-3/2} T^1] [M^{1/2} L^1 T^{-1/2}]$
જમણી બાજુએ $M$,$L$,અને $T$ ના ઘાતાંકોને ભેગા કરતા:
$M: 1/2 + 1/2 = 1$
$L: P - 3/2 + 1 = P - 1/2$
$T: -P + 1 - 1/2 = -P + 1/2$
બંને બાજુ $L$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$P - 1/2 = 0 \implies P = 1/2$.
આમ,$P$ નું મૂલ્ય $1/2$ છે.
0 likes
View Solution222
DifficultMCQ
એક બળ $F = ax^2 + bt^{1/2}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ અંતર છે અને $t$ સમય છે. $b^2/a$ ના પરિમાણો શું છે?
A
$[ML^3 T^{-3}]$
B
$[MLT^{-2}]$
C
$[ML^{-1} T^{-1}]$
D
$[ML^2 T^{-3}]$
Solution
(A) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણો બળ $F$ ના પરિમાણો જેટલા જ હોવા જોઈએ.
$1$. પદ $ax^2$ માટે:
$[ax^2] = [F] = [MLT^{-2}]$
$[a] = [F] / [x^2] = [MLT^{-2}] / [L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$
$2$. પદ $bt^{1/2}$ માટે:
$[bt^{1/2}] = [F] = [MLT^{-2}]$
$[b] = [F] / [t^{1/2}] = [MLT^{-2}] / [T^{1/2}] = [MLT^{-5/2}]$
$3$. $b^2/a$ ના પરિમાણોની ગણતરી:
$[b^2/a] = [b]^2 / [a] = ([MLT^{-5/2}])^2 / [ML^{-1}T^{-2}]$
$[b^2/a] = [M^2 L^2 T^{-5}] / [ML^{-1}T^{-2}] = [M^{2-1} L^{2-(-1)} T^{-5-(-2)}] = [ML^3 T^{-3}]$
$1$. પદ $ax^2$ માટે:
$[ax^2] = [F] = [MLT^{-2}]$
$[a] = [F] / [x^2] = [MLT^{-2}] / [L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$
$2$. પદ $bt^{1/2}$ માટે:
$[bt^{1/2}] = [F] = [MLT^{-2}]$
$[b] = [F] / [t^{1/2}] = [MLT^{-2}] / [T^{1/2}] = [MLT^{-5/2}]$
$3$. $b^2/a$ ના પરિમાણોની ગણતરી:
$[b^2/a] = [b]^2 / [a] = ([MLT^{-5/2}])^2 / [ML^{-1}T^{-2}]$
$[b^2/a] = [M^2 L^2 T^{-5}] / [ML^{-1}T^{-2}] = [M^{2-1} L^{2-(-1)} T^{-5-(-2)}] = [ML^3 T^{-3}]$
0 likes
View Solution223
DifficultMCQ
બે ભૌતિક રાશિઓ $A$ અને $B$ એકબીજા સાથે $E = \frac{B - x^2}{At}$ તરીકે સંબંધિત છે,જ્યાં $E, x$ અને $t$ અનુક્રમે ઉર્જા,લંબાઈ અને સમયના પરિમાણો ધરાવે છે. $AB$ નું પરિમાણ શું છે?
A
$L^{-2} M^1 T^0$
B
$L^2 M^{-1} T^1$
C
$L^{-2} M^{-1} T^1$
D
$L^0 M^{-1} T^1$
Solution
(B) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,જે રાશિઓનો સરવાળો કે બાદબાકી થાય છે તેમના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
અહીં $B$ માંથી $x^2$ બાદ થાય છે,તેથી $B$ નું પરિમાણ $x^2$ ના પરિમાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
$[B] = [x^2] = L^2$.
હવે,સમીકરણ $E = \frac{B - x^2}{At}$ છે. $A$ ને કર્તા બનાવતા,$A = \frac{B - x^2}{Et}$ મળે.
પરિમાણો મૂકતા: $[A] = \frac{[L^2]}{[E][t]}$.
આપેલ છે કે $[E] = M^1 L^2 T^{-2}$ અને $[t] = T^1$,તેથી $[A] = \frac{L^2}{(M^1 L^2 T^{-2})(T^1)} = \frac{L^2}{M^1 L^2 T^{-1}} = M^{-1} T^1$.
અંતે,$AB$ નું પરિમાણ $[A][B] = (M^{-1} T^1)(L^2) = L^2 M^{-1} T^1$ થાય.
અહીં $B$ માંથી $x^2$ બાદ થાય છે,તેથી $B$ નું પરિમાણ $x^2$ ના પરિમાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
$[B] = [x^2] = L^2$.
હવે,સમીકરણ $E = \frac{B - x^2}{At}$ છે. $A$ ને કર્તા બનાવતા,$A = \frac{B - x^2}{Et}$ મળે.
પરિમાણો મૂકતા: $[A] = \frac{[L^2]}{[E][t]}$.
આપેલ છે કે $[E] = M^1 L^2 T^{-2}$ અને $[t] = T^1$,તેથી $[A] = \frac{L^2}{(M^1 L^2 T^{-2})(T^1)} = \frac{L^2}{M^1 L^2 T^{-1}} = M^{-1} T^1$.
અંતે,$AB$ નું પરિમાણ $[A][B] = (M^{-1} T^1)(L^2) = L^2 M^{-1} T^1$ થાય.
0 likes
View Solution224
DifficultMCQ
સ્થિર તરંગનું સમીકરણ $y = 2a \sin \left( \frac{2 \pi nt}{\lambda} \right) \cos \left( \frac{2 \pi x}{\lambda} \right)$ છે. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું નથી?
A
$nt$ નું પરિમાણ $[L]$ છે.
B
$n$ નું પરિમાણ $[LT^{-1}]$ છે.
C
$n/\lambda$ નું પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે.
D
$x$ નું પરિમાણ $[L]$ છે.
Solution
(C) સાઇન વિધેયના આર્ગ્યુમેન્ટમાં,$\frac{2 \pi nt}{\lambda}$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ. $2\pi$ પરિમાણરહિત હોવાથી,$\frac{nt}{\lambda}$ નું પરિમાણ $[M^0 L^0 T^0]$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $[nt] = [\lambda] = [L]$. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
આપેલ છે કે $[nt] = [L]$ અને $[t] = [T]$,તેથી $[n] = [L/T] = [LT^{-1}]$. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
કોસાઇન વિધેય માટે,$\frac{2 \pi x}{\lambda}$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ,તેથી $[x] = [\lambda] = [L]$. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.
હવે,$n/\lambda$ ના પરિમાણનો વિચાર કરો. $[n] = [LT^{-1}]$ અને $[\lambda] = [L]$ હોવાથી,$[n/\lambda] = [LT^{-1}] / [L] = [T^{-1}]$ થાય.
વિકલ્પ $C$ માં પરિમાણ $[T]$ આપેલ છે,જે ખોટું છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $[nt] = [\lambda] = [L]$. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
આપેલ છે કે $[nt] = [L]$ અને $[t] = [T]$,તેથી $[n] = [L/T] = [LT^{-1}]$. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
કોસાઇન વિધેય માટે,$\frac{2 \pi x}{\lambda}$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ,તેથી $[x] = [\lambda] = [L]$. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.
હવે,$n/\lambda$ ના પરિમાણનો વિચાર કરો. $[n] = [LT^{-1}]$ અને $[\lambda] = [L]$ હોવાથી,$[n/\lambda] = [LT^{-1}] / [L] = [T^{-1}]$ થાય.
વિકલ્પ $C$ માં પરિમાણ $[T]$ આપેલ છે,જે ખોટું છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.
1 likes
View Solution225
DifficultMCQ
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,નક્કી કરો કે કયું સાચું છે. જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે,$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ દળ છે અને $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
A
$T^2 = \frac{4 \pi^2 r}{GM^2}$
B
$T^2 = 4 \pi^2 r^3$
C
$T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{GM}$
D
$T^2 = \frac{4 \pi^2 r^2}{GM}$
Solution
(C) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$LHS$ ના પરિમાણો $RHS$ ના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
વિકલ્પ $C$ માટે: $T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{GM}$
$LHS$ નું પરિમાણ = $[T^2]$
$RHS$ નું પરિમાણ = $\frac{[L]^3}{[M^{-1} L^3 T^{-2}] [M]} = \frac{[L^3]}{[L^3 T^{-2}]} = [T^2]$
આમ,$LHS$ અને $RHS$ ના પરિમાણો સમાન હોવાથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{GM}$
$LHS$ નું પરિમાણ = $[T^2]$
$RHS$ નું પરિમાણ = $\frac{[L]^3}{[M^{-1} L^3 T^{-2}] [M]} = \frac{[L^3]}{[L^3 T^{-2}]} = [T^2]$
આમ,$LHS$ અને $RHS$ ના પરિમાણો સમાન હોવાથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
0 likes
View Solution226
DifficultMCQ
સમીકરણ $(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=RT$ માં $ab^{-1}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર શું છે,જ્યાં અક્ષરો તેમના સામાન્ય અર્થ ધરાવે છે?
A
$[M L^5 T^{-2}]$
B
$[M L^2 T^{-2}]$
C
$[M^{-1} L^5 T^3]$
D
$[M^6 L^7 T^4]$
Solution
(B) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી થઈ શકે છે.
પદ $(V-b)$ માં,$V$ એ કદ હોવાથી,$b$ નું પરિમાણ $V$ ના પરિમાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
તેથી,$[b] = [L^3]$.
પદ $(P + \frac{a}{V^2})$ માં,$\frac{a}{V^2}$ નું પરિમાણ દબાણ $P$ ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ.
$[P] = [M L^{-1} T^{-2}]$.
તેથી,$[a] = [P] \times [V^2] = [M L^{-1} T^{-2}] \times [L^3]^2 = [M L^{-1} T^{-2}] \times [L^6] = [M L^5 T^{-2}]$.
હવે,આપણે $ab^{-1} = \frac{a}{b}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર શોધવાનું છે.
$\frac{[a]}{[b]} = \frac{[M L^5 T^{-2}]}{[L^3]} = [M L^2 T^{-2}]$.
પદ $(V-b)$ માં,$V$ એ કદ હોવાથી,$b$ નું પરિમાણ $V$ ના પરિમાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
તેથી,$[b] = [L^3]$.
પદ $(P + \frac{a}{V^2})$ માં,$\frac{a}{V^2}$ નું પરિમાણ દબાણ $P$ ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ.
$[P] = [M L^{-1} T^{-2}]$.
તેથી,$[a] = [P] \times [V^2] = [M L^{-1} T^{-2}] \times [L^3]^2 = [M L^{-1} T^{-2}] \times [L^6] = [M L^5 T^{-2}]$.
હવે,આપણે $ab^{-1} = \frac{a}{b}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર શોધવાનું છે.
$\frac{[a]}{[b]} = \frac{[M L^5 T^{-2}]}{[L^3]} = [M L^2 T^{-2}]$.
0 likes
View Solution227
MediumMCQ
$F = \alpha t^2 + \beta t$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત બળ એક કણ પર આપેલ સમય $t$ પર લાગે છે. જો $\alpha$ અને $\beta$ અચળાંકો હોય,તો પરિમાણરહિત અવયવ કયો છે?
A
$\alpha t / \beta$
B
$\alpha \beta t$
C
$\alpha \beta / t$
D
$\beta t / \alpha$
Solution
(A) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણમાં દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$[F] = [\alpha t^2] = [\beta t]$.
$[\alpha t^2] = [\beta t]$ પરથી,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{[\alpha]}{[\beta]} = \frac{[t]}{[t^2]} = \frac{1}{[t]}$.
બંને બાજુ $[t]$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\frac{[\alpha][t]}{[\beta]} = 1$.
આ સૂચવે છે કે રાશિ $\frac{\alpha t}{\beta}$ પરિમાણરહિત છે.
તેથી,$[F] = [\alpha t^2] = [\beta t]$.
$[\alpha t^2] = [\beta t]$ પરથી,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{[\alpha]}{[\beta]} = \frac{[t]}{[t^2]} = \frac{1}{[t]}$.
બંને બાજુ $[t]$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\frac{[\alpha][t]}{[\beta]} = 1$.
આ સૂચવે છે કે રાશિ $\frac{\alpha t}{\beta}$ પરિમાણરહિત છે.
1 likes
View Solution228
AdvancedMCQ
એક લંબાઈ-માપદંડ $(l)$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક પદાર્થની પરમિટિવિટી $(\varepsilon)$,બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k_B)$,નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$,અમુક વિદ્યુતભારીત કણોની એકમ કદ દીઠ સંખ્યા $(n)$,અને દરેક કણ પરના વિદ્યુતભાર $(q)$ પર આધાર રાખે છે. $l$ માટે નીચેનામાંથી કયું/કયા સમીકરણ(ઓ) પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું(સાચા) છે?
$(A)$ $l=\sqrt{\left(\frac{n q^2}{\varepsilon k_B T}\right)}$
$(B)$ $l=\sqrt{\left(\frac{\varepsilon k_B T}{n q^2}\right)}$
$(C)$ $l=\sqrt{\left(\frac{q^2}{\varepsilon n^{2 / 3} k_B T}\right)}$
$(D)$ $l=\sqrt{\left(\frac{q^2}{\varepsilon n^{1 / 3} k_B T}\right)}$
$(A)$ $l=\sqrt{\left(\frac{n q^2}{\varepsilon k_B T}\right)}$
$(B)$ $l=\sqrt{\left(\frac{\varepsilon k_B T}{n q^2}\right)}$
$(C)$ $l=\sqrt{\left(\frac{q^2}{\varepsilon n^{2 / 3} k_B T}\right)}$
$(D)$ $l=\sqrt{\left(\frac{q^2}{\varepsilon n^{1 / 3} k_B T}\right)}$
A
$A, B$
B
$B, C$
C
$C, A$
D
$B, D$
Solution
(D) પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું સમીકરણ નક્કી કરવા માટે,આપણે આપેલ ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$[\varepsilon] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$
$[k_B T] = [Energy] = [M L^2 T^{-2}]$
$[q^2] = [A^2 T^2]$
$[n] = [L^{-3}]$
પ્રથમ,પદ $\frac{\varepsilon k_B T}{q^2}$ ધ્યાનમાં લો:
$\left[\frac{\varepsilon k_B T}{q^2}\right] = \frac{[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2] [M L^2 T^{-2}]}{[A^2 T^2]} = [L^{-1}]$
હવે,વિકલ્પો તપાસો:
વિકલ્પ $(B)$ માટે: $l = \sqrt{\frac{\varepsilon k_B T}{n q^2}} \Rightarrow [l] = \sqrt{\frac{L^{-1}}{L^{-3}}} = \sqrt{L^2} = [L]$. આ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું છે.
વિકલ્પ $(D)$ માટે: $l = \sqrt{\frac{q^2}{\varepsilon n^{1/3} k_B T}} \Rightarrow [l] = \sqrt{\frac{1}{L^{-1} (L^{-3})^{1/3}}} = \sqrt{\frac{1}{L^{-1} L^{-1}}} = \sqrt{L^2} = [L]$. આ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું છે.
વિકલ્પો $(A)$ અને $(C)$ ના પરિમાણો અનુક્રમે $[L^{-2}]$ અને $[L^{3/2}]$ મળે છે,જે લંબાઈ માટે ખોટા છે. તેથી,$(B)$ અને $(D)$ સાચા છે.
$[\varepsilon] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$
$[k_B T] = [Energy] = [M L^2 T^{-2}]$
$[q^2] = [A^2 T^2]$
$[n] = [L^{-3}]$
પ્રથમ,પદ $\frac{\varepsilon k_B T}{q^2}$ ધ્યાનમાં લો:
$\left[\frac{\varepsilon k_B T}{q^2}\right] = \frac{[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2] [M L^2 T^{-2}]}{[A^2 T^2]} = [L^{-1}]$
હવે,વિકલ્પો તપાસો:
વિકલ્પ $(B)$ માટે: $l = \sqrt{\frac{\varepsilon k_B T}{n q^2}} \Rightarrow [l] = \sqrt{\frac{L^{-1}}{L^{-3}}} = \sqrt{L^2} = [L]$. આ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું છે.
વિકલ્પ $(D)$ માટે: $l = \sqrt{\frac{q^2}{\varepsilon n^{1/3} k_B T}} \Rightarrow [l] = \sqrt{\frac{1}{L^{-1} (L^{-3})^{1/3}}} = \sqrt{\frac{1}{L^{-1} L^{-1}}} = \sqrt{L^2} = [L]$. આ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું છે.
વિકલ્પો $(A)$ અને $(C)$ ના પરિમાણો અનુક્રમે $[L^{-2}]$ અને $[L^{3/2}]$ મળે છે,જે લંબાઈ માટે ખોટા છે. તેથી,$(B)$ અને $(D)$ સાચા છે.
0 likes
View Solution229
EasyMCQ
યંગના સ્થિતિસ્થાપકતાના મોડ્યુલસ $Y$ ને ત્રણ વ્યુત્પન્ન રાશિઓ,એટલે કે ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$,પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ અને પ્રકાશની ગતિ $c$ ના સંદર્ભમાં $Y = c^\alpha h^\beta G^\gamma$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?
A
$\alpha = 7, \beta = -1, \gamma = -2$
B
$\alpha = -7, \beta = -1, \gamma = -2$
C
$\alpha = 7, \beta = -1, \gamma = 2$
D
$\alpha = -7, \beta = 1, \gamma = -2$
Solution
(A) યંગના મોડ્યુલસ $Y$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ છે.
આપેલ અચળાંકો માટેના પારિમાણિક સૂત્રો:
પ્રકાશની ગતિ $c = [L T^{-1}]$
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = [M L^2 T^{-1}]$
ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
સંબંધ $Y = c^\alpha h^\beta G^\gamma$ આપેલ છે,તેથી પરિમાણોને સરખાવતા:
$[M^1 L^{-1} T^{-2}] = [L T^{-1}]^\alpha [M L^2 T^{-1}]^\beta [M^{-1} L^3 T^{-2}]^\gamma$
$[M^1 L^{-1} T^{-2}] = [M^{\beta - \gamma} L^{\alpha + 2\beta + 3\gamma} T^{-\alpha - \beta - 2\gamma}]$
$M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$1$) $\beta - \gamma = 1$
$2$) $\alpha + 2\beta + 3\gamma = -1$
$3$) $-\alpha - \beta - 2\gamma = -2$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(\alpha + 2\beta + 3\gamma) + (-\alpha - \beta - 2\gamma) = -1 + (-2)$
$\beta + \gamma = -3$
હવે,$\beta - \gamma = 1$ અને $\beta + \gamma = -3$ ને ઉકેલતા:
સરવાળો કરતા $2\beta = -2 \Rightarrow \beta = -1$ મળે છે.
$\beta = -1$ ને $\beta - \gamma = 1$ માં મૂકતા $-1 - \gamma = 1 \Rightarrow \gamma = -2$ મળે છે.
$\beta = -1$ અને $\gamma = -2$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\alpha + 2(-1) + 3(-2) = -1$
$\alpha - 2 - 6 = -1$
$\alpha - 8 = -1 \Rightarrow \alpha = 7$.
આમ,સાચા મૂલ્યો $\alpha = 7, \beta = -1, \gamma = -2$ છે.
આપેલ અચળાંકો માટેના પારિમાણિક સૂત્રો:
પ્રકાશની ગતિ $c = [L T^{-1}]$
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = [M L^2 T^{-1}]$
ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
સંબંધ $Y = c^\alpha h^\beta G^\gamma$ આપેલ છે,તેથી પરિમાણોને સરખાવતા:
$[M^1 L^{-1} T^{-2}] = [L T^{-1}]^\alpha [M L^2 T^{-1}]^\beta [M^{-1} L^3 T^{-2}]^\gamma$
$[M^1 L^{-1} T^{-2}] = [M^{\beta - \gamma} L^{\alpha + 2\beta + 3\gamma} T^{-\alpha - \beta - 2\gamma}]$
$M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$1$) $\beta - \gamma = 1$
$2$) $\alpha + 2\beta + 3\gamma = -1$
$3$) $-\alpha - \beta - 2\gamma = -2$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(\alpha + 2\beta + 3\gamma) + (-\alpha - \beta - 2\gamma) = -1 + (-2)$
$\beta + \gamma = -3$
હવે,$\beta - \gamma = 1$ અને $\beta + \gamma = -3$ ને ઉકેલતા:
સરવાળો કરતા $2\beta = -2 \Rightarrow \beta = -1$ મળે છે.
$\beta = -1$ ને $\beta - \gamma = 1$ માં મૂકતા $-1 - \gamma = 1 \Rightarrow \gamma = -2$ મળે છે.
$\beta = -1$ અને $\gamma = -2$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\alpha + 2(-1) + 3(-2) = -1$
$\alpha - 2 - 6 = -1$
$\alpha - 8 = -1 \Rightarrow \alpha = 7$.
આમ,સાચા મૂલ્યો $\alpha = 7, \beta = -1, \gamma = -2$ છે.
1 likes
View Solution230
AdvancedMCQ
સમાન સંખ્યામાં ઇલેક્ટ્રોન અને ધન આયનોના ગીચ સમૂહને તટસ્થ પ્લાઝ્મા કહેવામાં આવે છે. મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનથી ઘેરાયેલા નિશ્ચિત ધન આયનો ધરાવતા અમુક ઘન પદાર્થોને તટસ્થ પ્લાઝ્મા તરીકે ગણી શકાય. ધારો કે $N$ એ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે, દરેકનું દળ $m$ છે. જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર લગાડવામાં આવે છે, ત્યારે તેઓ ભારે ધન આયનોથી સાપેક્ષ રીતે દૂર સ્થાનાંતરિત થાય છે. જો વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થઈ જાય, તો ઇલેક્ટ્રોન ધન આયનોની આસપાસ કુદરતી કોણીય આવૃત્તિ $\omega_p$ સાથે દોલન કરવાનું શરૂ કરે છે, જેને પ્લાઝ્મા આવૃત્તિ કહેવામાં આવે છે. આ દોલનોને જાળવી રાખવા માટે, સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુતક્ષેત્રને લાગુ કરવાની જરૂર છે જેની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ હોય, જ્યાં ઉર્જાનો એક ભાગ શોષાય છે અને એક ભાગ પરાવર્તિત થાય છે. જેમ જેમ $\omega$ એ $\omega_p$ ની નજીક પહોંચે છે, ત્યારે બધા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન એકસાથે અનુનાદમાં આવે છે અને બધી ઉર્જા પરાવર્તિત થાય છે. આ ધાતુઓની ઉચ્ચ પરાવર્તકતાનું કારણ છે.
$1.$ ઇલેક્ટ્રોનિક ચાર્જને $e$ અને પરમિટિવિટીને $\varepsilon_0$ તરીકે લઈને, $\omega_p$ માટે સાચું સૂત્ર નક્કી કરવા માટે પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરો.
$(A) \sqrt{\frac{N e}{m \varepsilon_0}}$ $(B) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e}}$ $(C) \sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$ $(D) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e^2}}$
$2.$ $N \approx 4 \times 10^{27} \ m^{-3}$ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા ધરાવતી ધાતુ માટે પ્લાઝ્મા પરાવર્તન કઈ તરંગલંબાઇ પર થશે તેનો અંદાજ લગાવો. $\varepsilon_0 \approx 10^{-11}$ અને $m \approx 10^{-30}$ લો, જ્યાં આ જથ્થાઓ યોગ્ય $SI$ એકમોમાં છે.
$(A) 800 \ nm$ $(B) 600 \ nm$ $(C) 300 \ nm$ $(D) 200 \ nm$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.
$1.$ ઇલેક્ટ્રોનિક ચાર્જને $e$ અને પરમિટિવિટીને $\varepsilon_0$ તરીકે લઈને, $\omega_p$ માટે સાચું સૂત્ર નક્કી કરવા માટે પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરો.
$(A) \sqrt{\frac{N e}{m \varepsilon_0}}$ $(B) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e}}$ $(C) \sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$ $(D) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e^2}}$
$2.$ $N \approx 4 \times 10^{27} \ m^{-3}$ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા ધરાવતી ધાતુ માટે પ્લાઝ્મા પરાવર્તન કઈ તરંગલંબાઇ પર થશે તેનો અંદાજ લગાવો. $\varepsilon_0 \approx 10^{-11}$ અને $m \approx 10^{-30}$ લો, જ્યાં આ જથ્થાઓ યોગ્ય $SI$ એકમોમાં છે.
$(A) 800 \ nm$ $(B) 600 \ nm$ $(C) 300 \ nm$ $(D) 200 \ nm$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.
A
$(B, D)$
B
$(C, B)$
C
$(A, C)$
D
$(B, A)$
Solution
(B) $1.$ કોણીય આવૃત્તિનું પરિમાણ $[\omega] = T^{-1}$ છે.
પરમિટિવિટીનું પરિમાણ $[\varepsilon_0] = M^{-1} L^{-3} T^4 A^2$ છે. $I = Q/T$ હોવાથી, આપણે $[e] = Q = AT$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$[m] = M$, $[N] = L^{-3}$, $[e^2] = Q^2$.
વિકલ્પ $(C)$ તપાસતા: $\left[ \frac{N e^2}{m \varepsilon_0} \right] = \frac{L^{-3} Q^2}{M (M^{-1} L^{-3} T^2 Q^{-2})} = T^{-2}$.
આમ, $\sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$ એ $T^{-1}$ ના પરિમાણ ધરાવે છે, જે $\omega$ છે.
$2.$ અનુનાદ સમયે, $\omega = \omega_p = \sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$.
આપેલ છે $N = 4 \times 10^{27}$, $e = 1.6 \times 10^{-19}$, $m = 10^{-30}$, $\varepsilon_0 = 10^{-11}$.
$\omega_p = \sqrt{\frac{4 \times 10^{27} \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{10^{-30} \times 10^{-11}}} = 3.2 \times 10^{15} \ rad/s$.
આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{3.2 \times 10^{15}}{2 \times 3.14} \approx 0.5 \times 10^{15} \ Hz$.
તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{0.5 \times 10^{15}} = 6 \times 10^{-7} \ m = 600 \ nm$.
પરમિટિવિટીનું પરિમાણ $[\varepsilon_0] = M^{-1} L^{-3} T^4 A^2$ છે. $I = Q/T$ હોવાથી, આપણે $[e] = Q = AT$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$[m] = M$, $[N] = L^{-3}$, $[e^2] = Q^2$.
વિકલ્પ $(C)$ તપાસતા: $\left[ \frac{N e^2}{m \varepsilon_0} \right] = \frac{L^{-3} Q^2}{M (M^{-1} L^{-3} T^2 Q^{-2})} = T^{-2}$.
આમ, $\sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$ એ $T^{-1}$ ના પરિમાણ ધરાવે છે, જે $\omega$ છે.
$2.$ અનુનાદ સમયે, $\omega = \omega_p = \sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$.
આપેલ છે $N = 4 \times 10^{27}$, $e = 1.6 \times 10^{-19}$, $m = 10^{-30}$, $\varepsilon_0 = 10^{-11}$.
$\omega_p = \sqrt{\frac{4 \times 10^{27} \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{10^{-30} \times 10^{-11}}} = 3.2 \times 10^{15} \ rad/s$.
આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{3.2 \times 10^{15}}{2 \times 3.14} \approx 0.5 \times 10^{15} \ Hz$.
તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{0.5 \times 10^{15}} = 6 \times 10^{-7} \ m = 600 \ nm$.
0 likes
View Solution231
AdvancedMCQ
ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક સિદ્ધાંતમાં, વિદ્યુત અને ચુંબકીય ઘટનાઓ એકબીજા સાથે સંબંધિત છે. તેથી, વિદ્યુત અને ચુંબકીય રાશિઓના પરિમાણો પણ એકબીજા સાથે સંબંધિત હોવા જોઈએ. નીચેના પ્રશ્નોમાં, $[E]$ અને $[B]$ અનુક્રમે વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના પરિમાણો દર્શાવે છે, જ્યારે $[\varepsilon_0]$ અને $[\mu_0]$ અનુક્રમે શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી અને પરમીબિલિટીના પરિમાણો દર્શાવે છે। $[L]$ અને $[T]$ એ લંબાઈ અને સમયના પરિમાણો છે. તમામ રાશિઓ $SI$ એકમોમાં છે।
$(1)$ $[E]$ અને $[B]$ વચ્ચેનો સંબંધ છે:
$(A)$ $[E] = [B][L][T]$
$(B)$ $[E] = [B][L]^{-1}[T]$
$(C)$ $[E] = [B][L][T]^{-1}$
$(D)$ $[E] = [B][L]^{-1}[T]^{-1}$
$(2)$ $[\varepsilon_0]$ અને $[\mu_0]$ વચ્ચેનો સંબંધ છે:
$(A)$ $[\mu_0] = [\varepsilon_0][L]^2[T]^{-2}$
$(B)$ $[\mu_0] = [\varepsilon_0][L]^{-2}[T]^2$
$(C)$ $[\mu_0] = [\varepsilon_0]^{-1}[L]^2[T]^{-2}$
$(D)$ $[\mu_0] = [\varepsilon_0]^{-1}[L]^{-2}[T]^2$
પ્રશ્ન $(1)$ અને $(2)$ ના જવાબ આપો.
$(1)$ $[E]$ અને $[B]$ વચ્ચેનો સંબંધ છે:
$(A)$ $[E] = [B][L][T]$
$(B)$ $[E] = [B][L]^{-1}[T]$
$(C)$ $[E] = [B][L][T]^{-1}$
$(D)$ $[E] = [B][L]^{-1}[T]^{-1}$
$(2)$ $[\varepsilon_0]$ અને $[\mu_0]$ વચ્ચેનો સંબંધ છે:
$(A)$ $[\mu_0] = [\varepsilon_0][L]^2[T]^{-2}$
$(B)$ $[\mu_0] = [\varepsilon_0][L]^{-2}[T]^2$
$(C)$ $[\mu_0] = [\varepsilon_0]^{-1}[L]^2[T]^{-2}$
$(D)$ $[\mu_0] = [\varepsilon_0]^{-1}[L]^{-2}[T]^2$
પ્રશ્ન $(1)$ અને $(2)$ ના જવાબ આપો.
A
$C, D$
B
$C, A$
C
$C, B$
D
$B, C, D$
Solution
$(C, D)$ $(1)$ $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું લોરેન્ટ્ઝ બળ $F = qE + q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। પરિમાણોની સુસંગતતા માટે, વિદ્યુત બળ $qE$ નું મૂલ્ય ચુંબકીય બળ $qvB$ ના મૂલ્ય જેટલું હોવું જોઈએ।
તેથી, $qE = qvB$, જેનો અર્થ છે $E = vB$.
વેગ $v$ નું પરિમાણ $[L][T]^{-1}$ હોવાથી, આપણને $[E] = [L][T]^{-1}[B]$ મળે છે. આ વિકલ્પ $(C)$ સાથે મેળ ખાય છે।
$(2)$ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c$ એ પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ અને પરમીબિલિટી $\mu_0$ સાથે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે।
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ મળે છે, અથવા $\mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}$.
$c$ નું પરિમાણ $[L][T]^{-1}$ હોવાથી, $c^2$ નું પરિમાણ $[L]^2[T]^{-2}$ થાય છે।
તેથી, $[\mu_0] = [\varepsilon_0]^{-1} ([L]^2[T]^{-2})^{-1} = [\varepsilon_0]^{-1}[L]^{-2}[T]^2$. આ વિકલ્પ $(D)$ સાથે મેળ ખાય છે।
તેથી, $qE = qvB$, જેનો અર્થ છે $E = vB$.
વેગ $v$ નું પરિમાણ $[L][T]^{-1}$ હોવાથી, આપણને $[E] = [L][T]^{-1}[B]$ મળે છે. આ વિકલ્પ $(C)$ સાથે મેળ ખાય છે।
$(2)$ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c$ એ પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ અને પરમીબિલિટી $\mu_0$ સાથે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે।
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ મળે છે, અથવા $\mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}$.
$c$ નું પરિમાણ $[L][T]^{-1}$ હોવાથી, $c^2$ નું પરિમાણ $[L]^2[T]^{-2}$ થાય છે।
તેથી, $[\mu_0] = [\varepsilon_0]^{-1} ([L]^2[T]^{-2})^{-1} = [\varepsilon_0]^{-1}[L]^{-2}[T]^2$. આ વિકલ્પ $(D)$ સાથે મેળ ખાય છે।
0 likes
View Solution232
EasyMCQ
ધારો કે આપણે એકમની એવી સિસ્ટમ વિચારીએ જેમાં દળ અને કોણીય વેગમાન પરિમાણરહિત છે. જો લંબાઈનું પરિમાણ $L$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(1)$ બળનું પરિમાણ $L^{-3}$ છે.
$(2)$ ઉર્જાનું પરિમાણ $L^{-2}$ છે.
$(3)$ પાવરનું પરિમાણ $L^{-5}$ છે.
$(4)$ રેખીય વેગમાનનું પરિમાણ $L^{-1}$ છે.
$(1)$ બળનું પરિમાણ $L^{-3}$ છે.
$(2)$ ઉર્જાનું પરિમાણ $L^{-2}$ છે.
$(3)$ પાવરનું પરિમાણ $L^{-5}$ છે.
$(4)$ રેખીય વેગમાનનું પરિમાણ $L^{-1}$ છે.
A
$1, 2, 4$
B
$1, 2, 3$
C
$1, 2$
D
$1, 3$
Solution
(A) આપેલ છે કે દળ $(M)$ અને કોણીય વેગમાન $(L_{ang} = Mvr)$ પરિમાણરહિત છે,તેથી:
$M = M^0 L^0 T^0$
$L_{ang} = M^1 L^2 T^{-1} = M^0 L^0 T^0$
કારણ કે $M$ પરિમાણરહિત છે,$L^2 T^{-1} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $T = L^2$.
$(1)$ બળ $(F = M L T^{-2})$: $M$ પરિમાણરહિત હોવાથી અને $T = L^2$,$F = L^1 (L^2)^{-2} = L^1 L^{-4} = L^{-3}$. (સાચું)
$(2)$ ઉર્જા $(E = M L^2 T^{-2})$: $E = L^2 (L^2)^{-2} = L^2 L^{-4} = L^{-2}$. (સાચું)
$(3)$ પાવર $(P = E/T = M L^2 T^{-3})$: $P = L^2 (L^2)^{-3} = L^2 L^{-6} = L^{-4}$. (ખોટું)
$(4)$ રેખીય વેગમાન $(p = M L T^{-1})$: $p = L^1 (L^2)^{-1} = L^1 L^{-2} = L^{-1}$. (સાચું)
આમ,વિધાન $(1), (2),$ અને $(4)$ સાચા છે.
$M = M^0 L^0 T^0$
$L_{ang} = M^1 L^2 T^{-1} = M^0 L^0 T^0$
કારણ કે $M$ પરિમાણરહિત છે,$L^2 T^{-1} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $T = L^2$.
$(1)$ બળ $(F = M L T^{-2})$: $M$ પરિમાણરહિત હોવાથી અને $T = L^2$,$F = L^1 (L^2)^{-2} = L^1 L^{-4} = L^{-3}$. (સાચું)
$(2)$ ઉર્જા $(E = M L^2 T^{-2})$: $E = L^2 (L^2)^{-2} = L^2 L^{-4} = L^{-2}$. (સાચું)
$(3)$ પાવર $(P = E/T = M L^2 T^{-3})$: $P = L^2 (L^2)^{-3} = L^2 L^{-6} = L^{-4}$. (ખોટું)
$(4)$ રેખીય વેગમાન $(p = M L T^{-1})$: $p = L^1 (L^2)^{-1} = L^1 L^{-2} = L^{-1}$. (સાચું)
આમ,વિધાન $(1), (2),$ અને $(4)$ સાચા છે.
0 likes
View Solution233
AdvancedMCQ
ક્યારેક એકમોની એવી સિસ્ટમ બનાવવી અનુકૂળ રહે છે કે જેથી તમામ ભૌતિક રાશિઓને માત્ર એક જ ભૌતિક રાશિના સંદર્ભમાં દર્શાવી શકાય. આવી એક સિસ્ટમમાં, વિવિધ રાશિઓના પરિમાણોને રાશિ $X$ ના સંદર્ભમાં નીચે મુજબ આપવામાં આવ્યા છે: $[\text{સ્થાન}] = [X^\alpha]$; $[\text{ઝડપ}] = [X^\beta]$; $[\text{પ્રવેગ}] = [X^p]$; $[\text{રેખીય વેગમાન}] = [X^q]$; $[\text{બળ}] = [X^r]$. તો -
$(A)$ $\alpha + p = 2\beta$
$(B)$ $p + q - r = \beta$
$(C)$ $p - q + r = \alpha$
$(D)$ $p + q + r = \beta$
$(A)$ $\alpha + p = 2\beta$
$(B)$ $p + q - r = \beta$
$(C)$ $p - q + r = \alpha$
$(D)$ $p + q + r = \beta$
A
$A, B$
B
$A, C$
C
$A, D$
D
$B, C$
Solution
(A) ધારો કે મૂળભૂત રાશિ $X$ ના પરિમાણો $[X] = [M^a L^b T^c]$ છે.
આપેલ છે:
$[L] = [X^\alpha] = [M^{a\alpha} L^{b\alpha} T^{c\alpha}] \implies a\alpha = 0, b\alpha = 1, c\alpha = 0 \implies a=0, c=0, b=1/\alpha$.
$[LT^{-1}] = [X^\beta] = [M^{a\beta} L^{b\beta} T^{c\beta}] \implies b\beta = 1, c\beta = -1 \implies \beta = 1/\alpha$.
$[LT^{-2}] = [X^p]$ પરથી, $b p = 1$ અને $c p = -2$. $b = 1/\alpha$ હોવાથી, $p = \alpha$. તેમજ $c = -2/p = -2/\alpha$.
$[MLT^{-1}] = [X^q]$ પરથી, $a q = 1, b q = 1, c q = -1$.
$[MLT^{-2}] = [X^r]$ પરથી, $a r = 1, b r = 1, c r = -2$.
આ સંબંધોનો ઉપયોગ કરતા:
$1$) $\alpha + p = 2\beta$ સાચું છે કારણ કે $[L] [LT^{-2}] = [L^2 T^{-2}] = [LT^{-1}]^2$.
$2$) $p + q - r = \beta$ સાચું છે કારણ કે $[LT^{-2}] [MLT^{-1}] / [MLT^{-2}] = [LT^{-1}]$.
આમ, વિકલ્પો $(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.
આપેલ છે:
$[L] = [X^\alpha] = [M^{a\alpha} L^{b\alpha} T^{c\alpha}] \implies a\alpha = 0, b\alpha = 1, c\alpha = 0 \implies a=0, c=0, b=1/\alpha$.
$[LT^{-1}] = [X^\beta] = [M^{a\beta} L^{b\beta} T^{c\beta}] \implies b\beta = 1, c\beta = -1 \implies \beta = 1/\alpha$.
$[LT^{-2}] = [X^p]$ પરથી, $b p = 1$ અને $c p = -2$. $b = 1/\alpha$ હોવાથી, $p = \alpha$. તેમજ $c = -2/p = -2/\alpha$.
$[MLT^{-1}] = [X^q]$ પરથી, $a q = 1, b q = 1, c q = -1$.
$[MLT^{-2}] = [X^r]$ પરથી, $a r = 1, b r = 1, c r = -2$.
આ સંબંધોનો ઉપયોગ કરતા:
$1$) $\alpha + p = 2\beta$ સાચું છે કારણ કે $[L] [LT^{-2}] = [L^2 T^{-2}] = [LT^{-1}]^2$.
$2$) $p + q - r = \beta$ સાચું છે કારણ કે $[LT^{-2}] [MLT^{-1}] / [MLT^{-2}] = [LT^{-1}]$.
આમ, વિકલ્પો $(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.
0 likes
View Solution234
AdvancedMCQ
ધુમ્મસવાળી સ્થિતિમાં સિગ્નલ કેટલા અંતર $d$ સુધી સ્પષ્ટ રીતે જોઈ શકાય છે તે શોધવા માટે,એક રેલ્વે એન્જિનિયર પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરે છે અને ધારે છે કે અંતર એ ધુમ્મસની દળ ઘનતા $\rho$,સિગ્નલમાંથી આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા (પાવર/ક્ષેત્રફળ) $S$ અને તેની આવૃત્તિ $f$ પર આધાર રાખે છે. એન્જિનિયરને જાણવા મળે છે કે $d$ એ $S^{1/n}$ ના પ્રમાણમાં છે. $n$ નું મૂલ્ય છે:
A
$3$
B
$4$
C
$5$
D
$6$
Solution
(A) ધારો કે અંતર $d = k \rho^a S^b f^c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[d] = [L]$
$[\rho] = [M L^{-3}]$
$[S] = [\text{Power/Area}] = [M L^2 T^{-3} / L^2] = [M T^{-3}]$
$[f] = [T^{-1}]$
આ પરિમાણોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[L]^1 = [M L^{-3}]^a [M T^{-3}]^b [T^{-1}]^c$
$[L]^1 = M^{a+b} L^{-3a} T^{-3b-c}$
બંને બાજુ $M, L, T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $a + b = 0 \Rightarrow a = -b$
$L$ માટે: $-3a = 1 \Rightarrow a = -1/3$
તેથી,$b = 1/3$
$T$ માટે: $-3b - c = 0 \Rightarrow c = -3b = -3(1/3) = -1$
કારણ કે $d \propto S^b$ અને $b = 1/3$,તેથી $d \propto S^{1/3}$.
આને $d \propto S^{1/n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 3$ મળે છે.
પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[d] = [L]$
$[\rho] = [M L^{-3}]$
$[S] = [\text{Power/Area}] = [M L^2 T^{-3} / L^2] = [M T^{-3}]$
$[f] = [T^{-1}]$
આ પરિમાણોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[L]^1 = [M L^{-3}]^a [M T^{-3}]^b [T^{-1}]^c$
$[L]^1 = M^{a+b} L^{-3a} T^{-3b-c}$
બંને બાજુ $M, L, T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $a + b = 0 \Rightarrow a = -b$
$L$ માટે: $-3a = 1 \Rightarrow a = -1/3$
તેથી,$b = 1/3$
$T$ માટે: $-3b - c = 0 \Rightarrow c = -3b = -3(1/3) = -1$
કારણ કે $d \propto S^b$ અને $b = 1/3$,તેથી $d \propto S^{1/3}$.
આને $d \propto S^{1/n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 3$ મળે છે.
0 likes
View Solution235
DifficultMCQ
પ્લાન્કનો અચળાંક $h$,પ્રકાશની ઝડપ $c$ અને ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $G$ નો ઉપયોગ લંબાઈનો એકમ $L$ અને દળનો એકમ $M$ બનાવવા માટે થાય છે. તો સાચો વિકલ્પ/વિકલ્પો કયા છે?
$(A)$ $M \propto \sqrt{c}$
$(B)$ $M \propto \sqrt{G}$
$(C)$ $L \propto \sqrt{h}$
$(D)$ $L \propto \sqrt{G}$
$(A)$ $M \propto \sqrt{c}$
$(B)$ $M \propto \sqrt{G}$
$(C)$ $L \propto \sqrt{h}$
$(D)$ $L \propto \sqrt{G}$
A
$(A, B, C)$
B
$(A, B, D)$
C
$(A, C, D)$
D
$(B, C, D)$
Solution
(C) અચળાંકોના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$h = [M L^2 T^{-1}]$
$c = [L T^{-1}]$
$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
દળ $M$ શોધવા માટે,ધારો કે $M = k h^a c^b G^d$. પરિમાણો મૂકતા:
$[M] = [M L^2 T^{-1}]^a [L T^{-1}]^b [M^{-1} L^3 T^{-2}]^d$
$[M] = M^{a-d} L^{2a+b+3d} T^{-a-b-2d}$
ઘાતની સરખામણી કરતા:
$a - d = 1 \implies a = 1 + d$
$2a + b + 3d = 0$
$-a - b - 2d = 0 \implies b = -a - 2d = -(1+d) - 2d = -1 - 3d$
બીજા સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $2(1+d) + (-1-3d) + 3d = 0 \implies 2 + 2d - 1 = 0 \implies d = -1/2$.
તેથી $a = 1/2$ અને $b = 1/2$.
આમ,$M \propto \sqrt{\frac{hc}{G}}$.
તે જ રીતે લંબાઈ $L = k h^x c^y G^z$ માટે:
$[L] = [M L^2 T^{-1}]^x [L T^{-1}]^y [M^{-1} L^3 T^{-2}]^z$
$x - z = 0 \implies x = z$
$2x + y + 3z = 1$
$-x - y - 2z = 0 \implies y = -3z$
$2z - 3z + 3z = 1 \implies 2z = 1 \implies z = 1/2$.
તેથી $x = 1/2, y = -3/2, z = 1/2$.
$L \propto \sqrt{\frac{hG}{c^3}}$.
આ સંબંધો પરથી:
$M \propto \sqrt{h}, M \propto \sqrt{c}, M \propto 1/\sqrt{G}$
$L \propto \sqrt{h}, L \propto \sqrt{G}, L \propto 1/\sqrt{c^3}$
તેથી,વિકલ્પો $(A), (C), (D)$ સાચા છે.
$h = [M L^2 T^{-1}]$
$c = [L T^{-1}]$
$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
દળ $M$ શોધવા માટે,ધારો કે $M = k h^a c^b G^d$. પરિમાણો મૂકતા:
$[M] = [M L^2 T^{-1}]^a [L T^{-1}]^b [M^{-1} L^3 T^{-2}]^d$
$[M] = M^{a-d} L^{2a+b+3d} T^{-a-b-2d}$
ઘાતની સરખામણી કરતા:
$a - d = 1 \implies a = 1 + d$
$2a + b + 3d = 0$
$-a - b - 2d = 0 \implies b = -a - 2d = -(1+d) - 2d = -1 - 3d$
બીજા સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $2(1+d) + (-1-3d) + 3d = 0 \implies 2 + 2d - 1 = 0 \implies d = -1/2$.
તેથી $a = 1/2$ અને $b = 1/2$.
આમ,$M \propto \sqrt{\frac{hc}{G}}$.
તે જ રીતે લંબાઈ $L = k h^x c^y G^z$ માટે:
$[L] = [M L^2 T^{-1}]^x [L T^{-1}]^y [M^{-1} L^3 T^{-2}]^z$
$x - z = 0 \implies x = z$
$2x + y + 3z = 1$
$-x - y - 2z = 0 \implies y = -3z$
$2z - 3z + 3z = 1 \implies 2z = 1 \implies z = 1/2$.
તેથી $x = 1/2, y = -3/2, z = 1/2$.
$L \propto \sqrt{\frac{hG}{c^3}}$.
આ સંબંધો પરથી:
$M \propto \sqrt{h}, M \propto \sqrt{c}, M \propto 1/\sqrt{G}$
$L \propto \sqrt{h}, L \propto \sqrt{G}, L \propto 1/\sqrt{c^3}$
તેથી,વિકલ્પો $(A), (C), (D)$ સાચા છે.
0 likes
View Solution236
MediumMCQ
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$,વિદ્યુત પ્રવાહ $I$,પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$,પરમીબિલિટી $\mu_0$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c$ ના સંદર્ભમાં,પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું સમીકરણ (સમીકરણો) કયું છે:
$(A)$ $\mu_0 I^2 = \varepsilon_0 V^2$
$(B)$ $\varepsilon_0 I = \mu_0 V$
$(C)$ $I = \varepsilon_0 cV$
$(D)$ $\mu_0 cI = V$
$(A)$ $\mu_0 I^2 = \varepsilon_0 V^2$
$(B)$ $\varepsilon_0 I = \mu_0 V$
$(C)$ $I = \varepsilon_0 cV$
$(D)$ $\mu_0 cI = V$
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, C)$
D
$(A, D)$
Solution
(C) આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં ઉર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $u_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ છે.
$u_E = u_B$ હોવાથી,$\varepsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{E^2}{B^2} = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} = c^2$.
પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરતા:
$[\varepsilon_0] = M^{-1} L^{-3} T^4 A^2$,$[\mu_0] = M L T^{-2} A^{-2}$,$[V] = M L^2 T^{-3} A^{-1}$,$[I] = A$,$[c] = L T^{-1}$.
$(A)$ માટે: $[\mu_0 I^2] = (M L T^{-2} A^{-2})(A^2) = M L T^{-2}$. $[\varepsilon_0 V^2] = (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2)(M^2 L^4 T^{-6} A^{-2}) = M L T^{-2}$. આમ,$(A)$ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું છે.
$(C)$ માટે: $[I] = A$. $[\varepsilon_0 c V] = (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2)(L T^{-1})(M L^2 T^{-3} A^{-1}) = A$. આમ,$(C)$ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(A)$ અને $(C)$ છે.
$u_E = u_B$ હોવાથી,$\varepsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{E^2}{B^2} = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} = c^2$.
પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરતા:
$[\varepsilon_0] = M^{-1} L^{-3} T^4 A^2$,$[\mu_0] = M L T^{-2} A^{-2}$,$[V] = M L^2 T^{-3} A^{-1}$,$[I] = A$,$[c] = L T^{-1}$.
$(A)$ માટે: $[\mu_0 I^2] = (M L T^{-2} A^{-2})(A^2) = M L T^{-2}$. $[\varepsilon_0 V^2] = (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2)(M^2 L^4 T^{-6} A^{-2}) = M L T^{-2}$. આમ,$(A)$ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું છે.
$(C)$ માટે: $[I] = A$. $[\varepsilon_0 c V] = (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2)(L T^{-1})(M L^2 T^{-3} A^{-1}) = A$. આમ,$(C)$ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(A)$ અને $(C)$ છે.
0 likes
View Solution237
DifficultMCQ
એક ચોક્કસ એકમ પદ્ધતિમાં,એક ભૌતિક રાશિને વિદ્યુતભાર $e$,ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m_e$,પ્લાન્કનો અચળાંક $h$,અને કુલંબનો અચળાંક $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે. આ ભૌતિક અચળાંકોના સંદર્ભમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું પરિમાણ $[B] = [e]^\alpha [m_e]^\beta [h]^\gamma [k]^\delta$ છે. $\alpha + \beta + \gamma + \delta$ નું મૂલ્ય . . . . . છે.
A
$3$
B
$4$
C
$5$
D
$6$
Solution
(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 T^{-2} A^{-1}]$ છે.
અચળાંકોના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[e] = [A^1 T^1]$
$[m_e] = [M^1]$
$[h] = [M^1 L^2 T^{-1}]$
$[k] = [M^1 L^3 T^{-4} A^{-2}]$
પરિમાણોને સરખાવતા:
$[M^1 T^{-2} A^{-1}] = [A^1 T^1]^\alpha [M^1]^\beta [M^1 L^2 T^{-1}]^\gamma [M^1 L^3 T^{-4} A^{-2}]^\delta$
$[M^1 T^{-2} A^{-1}] = M^{\beta + \gamma + \delta} L^{2\gamma + 3\delta} T^{\alpha - \gamma - 4\delta} A^{\alpha - 2\delta}$
બંને બાજુ $M, L, T, A$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$1) \beta + \gamma + \delta = 1$
$2) 2\gamma + 3\delta = 0$
$3) \alpha - \gamma - 4\delta = -2$
$4) \alpha - 2\delta = -1$
$(4)$ પરથી,$\alpha = 2\delta - 1$. તેને $(3)$ માં મૂકતા:
$(2\delta - 1) - \gamma - 4\delta = -2 \implies -\gamma - 2\delta = -1 \implies \gamma + 2\delta = 1$.
$(2)$ $(2\gamma + 3\delta = 0)$ સાથે ઉકેલતા:
$2(1 - 2\delta) + 3\delta = 0 \implies 2 - 4\delta + 3\delta = 0 \implies \delta = 2$.
તેથી $\gamma = 1 - 2(2) = -3$.
તેથી $\alpha = 2(2) - 1 = 3$.
તેથી $\beta = 1 - (-3) - 2 = 2$.
આમ,$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 3 + 2 - 3 + 2 = 4$.
અચળાંકોના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[e] = [A^1 T^1]$
$[m_e] = [M^1]$
$[h] = [M^1 L^2 T^{-1}]$
$[k] = [M^1 L^3 T^{-4} A^{-2}]$
પરિમાણોને સરખાવતા:
$[M^1 T^{-2} A^{-1}] = [A^1 T^1]^\alpha [M^1]^\beta [M^1 L^2 T^{-1}]^\gamma [M^1 L^3 T^{-4} A^{-2}]^\delta$
$[M^1 T^{-2} A^{-1}] = M^{\beta + \gamma + \delta} L^{2\gamma + 3\delta} T^{\alpha - \gamma - 4\delta} A^{\alpha - 2\delta}$
બંને બાજુ $M, L, T, A$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$1) \beta + \gamma + \delta = 1$
$2) 2\gamma + 3\delta = 0$
$3) \alpha - \gamma - 4\delta = -2$
$4) \alpha - 2\delta = -1$
$(4)$ પરથી,$\alpha = 2\delta - 1$. તેને $(3)$ માં મૂકતા:
$(2\delta - 1) - \gamma - 4\delta = -2 \implies -\gamma - 2\delta = -1 \implies \gamma + 2\delta = 1$.
$(2)$ $(2\gamma + 3\delta = 0)$ સાથે ઉકેલતા:
$2(1 - 2\delta) + 3\delta = 0 \implies 2 - 4\delta + 3\delta = 0 \implies \delta = 2$.
તેથી $\gamma = 1 - 2(2) = -3$.
તેથી $\alpha = 2(2) - 1 = 3$.
તેથી $\beta = 1 - (-3) - 2 = 2$.
આમ,$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 3 + 2 - 3 + 2 = 4$.
0 likes
View Solution238
AdvancedMCQ
એક પરિમાણરહિત રાશિ ઇલેક્ટ્રોનિક ચાર્જ $e$,મુક્ત અવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$,પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c$ ના પદોમાં બનાવવામાં આવે છે. જો આ પરિમાણરહિત રાશિને $e^\alpha \varepsilon_0^\beta h^\gamma c^\delta$ તરીકે લખવામાં આવે અને $n$ એ શૂન્યતર પૂર્ણાંક હોય,તો $(\alpha, \beta, \gamma, \delta)$ શું થશે?
A
$(2n, -n, -n, -n)$
B
$(n, -n, -2n, -n)$
C
$(n, -n, -n, -2n)$
D
$(2n, -n, -2n, -2n)$
Solution
(A) રાશિ પરિમાણરહિત હોવા માટે,$e^\alpha \varepsilon_0^\beta h^\gamma c^\delta = M^0 L^0 T^0 A^0$.
પરિમાણો મૂકતા:
$[e] = AT$
$[\varepsilon_0] = M^{-1} L^{-3} T^4 A^2$
$[h] = M L^2 T^{-1}$
$[c] = L T^{-1}$
$(AT)^\alpha (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2)^\beta (M L^2 T^{-1})^\gamma (L T^{-1})^\delta = M^0 L^0 T^0 A^0$
$M, L, T, A$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M: -\beta + \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = \beta$
$A: \alpha + 2\beta = 0 \Rightarrow \alpha = -2\beta$
$L: -3\beta + 2\gamma + \delta = 0 \Rightarrow -3\beta + 2\beta + \delta = 0 \Rightarrow \delta = \beta$
$T: \alpha + 4\beta - \gamma - \delta = 0 \Rightarrow -2\beta + 4\beta - \beta - \beta = 0$ (સુસંગત)
ધારો કે $\beta = -n$,તો $\alpha = 2n, \gamma = -n, \delta = -n$.
આમ,$(\alpha, \beta, \gamma, \delta) = (2n, -n, -n, -n)$.
પરિમાણો મૂકતા:
$[e] = AT$
$[\varepsilon_0] = M^{-1} L^{-3} T^4 A^2$
$[h] = M L^2 T^{-1}$
$[c] = L T^{-1}$
$(AT)^\alpha (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2)^\beta (M L^2 T^{-1})^\gamma (L T^{-1})^\delta = M^0 L^0 T^0 A^0$
$M, L, T, A$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M: -\beta + \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = \beta$
$A: \alpha + 2\beta = 0 \Rightarrow \alpha = -2\beta$
$L: -3\beta + 2\gamma + \delta = 0 \Rightarrow -3\beta + 2\beta + \delta = 0 \Rightarrow \delta = \beta$
$T: \alpha + 4\beta - \gamma - \delta = 0 \Rightarrow -2\beta + 4\beta - \beta - \beta = 0$ (સુસંગત)
ધારો કે $\beta = -n$,તો $\alpha = 2n, \gamma = -n, \delta = -n$.
આમ,$(\alpha, \beta, \gamma, \delta) = (2n, -n, -n, -n)$.
2 likes
View Solution239
MediumMCQ
$x-$અક્ષ પર ગતિ કરતા કણનું સ્થાન $x(t) = A \sin t + B \cos^2 t + Ct^2 + D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $t$ એ સમય છે. $\frac{ABC}{D}$ નું પરિમાણ $-$ છે.
A
$L$
B
$L^3 T^{-2}$
C
$L^2 T^{-2}$
D
$L^2$
Solution
(C) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી થઈ શકે છે. અહીં $x(t)$ એ સ્થાન દર્શાવે છે,તેથી તેનું પરિમાણ $[L]$ છે.
$1$. $A \sin t$ પદ માટે: ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો ખૂણો પરિમાણરહિત હોય છે. તેથી,$[A] = [x] = [L]$.
$2$. $B \cos^2 t$ પદ માટે: તેવી જ રીતે,$[B] = [x] = [L]$.
$3$. $Ct^2$ પદ માટે: $[Ct^2] = [x] = [L]$ હોવાથી,$[C] [T^2] = [L]$,જેનો અર્થ છે કે $[C] = [L T^{-2}]$.
$4$. $D$ પદ માટે: $D$ એ $x(t)$ માં ઉમેરાયેલ છે,તેથી $[D] = [x] = [L]$.
હવે,$\frac{ABC}{D}$ નું પરિમાણ શોધીએ:
$\left[ \frac{ABC}{D} \right] = \frac{[L] \times [L] \times [L T^{-2}]}{[L]} = [L^2 T^{-2}]$.
$1$. $A \sin t$ પદ માટે: ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો ખૂણો પરિમાણરહિત હોય છે. તેથી,$[A] = [x] = [L]$.
$2$. $B \cos^2 t$ પદ માટે: તેવી જ રીતે,$[B] = [x] = [L]$.
$3$. $Ct^2$ પદ માટે: $[Ct^2] = [x] = [L]$ હોવાથી,$[C] [T^2] = [L]$,જેનો અર્થ છે કે $[C] = [L T^{-2}]$.
$4$. $D$ પદ માટે: $D$ એ $x(t)$ માં ઉમેરાયેલ છે,તેથી $[D] = [x] = [L]$.
હવે,$\frac{ABC}{D}$ નું પરિમાણ શોધીએ:
$\left[ \frac{ABC}{D} \right] = \frac{[L] \times [L] \times [L T^{-2}]}{[L]} = [L^2 T^{-2}]$.
0 likes
View Solution240
MediumMCQ
એક માપનમાં,સિસ્ટમ પર લાગુ કરવામાં આવતા એકમ ટોર્ક દીઠ સ્થિતિસ્થાપકતાનો મોડ્યુલસ શોધવાનું કહેવામાં આવ્યું છે. માપવામાં આવેલી રાશિનું પરિમાણ $[M^a L^b T^c]$ છે. જો $b = 3$ હોય,તો $c$ નું મૂલ્ય . . . . . . . છે.
A
$1$
B
$2$
C
$0$
D
$7$
Solution
(C) સ્થિતિસ્થાપકતાના મોડ્યુલસ $(Y)$ નું પરિમાણ સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) જેટલું હોય છે,જે $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ છે.
ટોર્ક $( au)$ નું પરિમાણ બળ $\times$ અંતર છે,જે $[M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.
માપવાની રાશિ $\frac{Y}{\tau}$ છે.
$\frac{Y}{\tau}$ ના પરિમાણ = $\frac{[M^1 L^{-1} T^{-2}]}{[M^1 L^2 T^{-2}]} = [M^0 L^{-3} T^0]$.
આને $[M^a L^b T^c]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 0$,$b = -3$,અને $c = 0$ મળે છે.
નોંધ: પ્રશ્નમાં $b = 3$ આપેલ છે,જે મૂલ્યની સરખામણી સૂચવે છે. પ્રમાણિત પરિમાણીય વિશ્લેષણ મુજબ,$c$ નું મૂલ્ય $0$ રહે છે.
ટોર્ક $( au)$ નું પરિમાણ બળ $\times$ અંતર છે,જે $[M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.
માપવાની રાશિ $\frac{Y}{\tau}$ છે.
$\frac{Y}{\tau}$ ના પરિમાણ = $\frac{[M^1 L^{-1} T^{-2}]}{[M^1 L^2 T^{-2}]} = [M^0 L^{-3} T^0]$.
આને $[M^a L^b T^c]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 0$,$b = -3$,અને $c = 0$ મળે છે.
નોંધ: પ્રશ્નમાં $b = 3$ આપેલ છે,જે મૂલ્યની સરખામણી સૂચવે છે. પ્રમાણિત પરિમાણીય વિશ્લેષણ મુજબ,$c$ નું મૂલ્ય $0$ રહે છે.
0 likes
View Solution241
MediumMCQ
નીચે આપેલ સમીકરણ વેગ $(v)$ અને સમય $(t)$ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે,$v=At^2+\frac{Bt}{C+t}$. તો $ABC$ નું પારિમાણિક સૂત્ર શું થાય?
A
$[M^0 L^2 T^{-3}]$
B
$[M^0 L^1 T^{-3}]$
C
$[M^0 L^1 T^{-2}]$
D
$[M^0 L^2 T^{-2}]$
Solution
(A) આપેલ સમીકરણ $v = At^2 + \frac{Bt}{C+t}$ છે.
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સરવાળામાં રહેલા દરેક પદનું પારિમાણિક સૂત્ર વેગના પારિમાણિક સૂત્ર $[LT^{-1}]$ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
પદ $\frac{Bt}{C+t}$ માટે,$C$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $t$ ના પારિમાણિક સૂત્ર જેટલું હોવું જોઈએ,તેથી $[C] = [T]$.
હવે,પદ $\frac{Bt}{C+t}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[B][T]}{[T]} = [B]$ થાય. આ વેગના પારિમાણિક સૂત્ર $[LT^{-1}]$ જેટલું હોવાથી,$[B] = [LT^{-1}]$ મળે.
પદ $At^2$ માટે,પારિમાણિક સૂત્ર $[A][T^2]$ થાય. આ પણ $[LT^{-1}]$ જેટલું હોવું જોઈએ,તેથી $[A] = [LT^{-3}]$ મળે.
અંતે,$ABC$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[A][B][C] = [LT^{-3}] \cdot [LT^{-1}] \cdot [T] = [L^2 T^{-3}]$ થાય.
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સરવાળામાં રહેલા દરેક પદનું પારિમાણિક સૂત્ર વેગના પારિમાણિક સૂત્ર $[LT^{-1}]$ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
પદ $\frac{Bt}{C+t}$ માટે,$C$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $t$ ના પારિમાણિક સૂત્ર જેટલું હોવું જોઈએ,તેથી $[C] = [T]$.
હવે,પદ $\frac{Bt}{C+t}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[B][T]}{[T]} = [B]$ થાય. આ વેગના પારિમાણિક સૂત્ર $[LT^{-1}]$ જેટલું હોવાથી,$[B] = [LT^{-1}]$ મળે.
પદ $At^2$ માટે,પારિમાણિક સૂત્ર $[A][T^2]$ થાય. આ પણ $[LT^{-1}]$ જેટલું હોવું જોઈએ,તેથી $[A] = [LT^{-3}]$ મળે.
અંતે,$ABC$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[A][B][C] = [LT^{-3}] \cdot [LT^{-1}] \cdot [T] = [L^2 T^{-3}]$ થાય.
0 likes
View Solution242
MediumMCQ
વાસ્તવિક વાયુ માટેનું સમીકરણ $(P + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P, V, T$ અને $R$ અનુક્રમે દબાણ,કદ,તાપમાન અને વાયુ અચળાંક છે. $ab^{-2}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર કોના જેવું છે?
A
પ્લાન્કનો અચળાંક
B
સંકોચનીયતા (Compressibility)
C
વિકૃતિ (Strain)
D
ઉર્જા ઘનતા
Solution
(D) આપેલ સમીકરણ $(P + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$ છે.
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉમેરવામાં આવતા અથવા બાદ કરવામાં આવતા પદોના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$[P] = [\frac{a}{V^2}] \implies [a] = [P][V^2]$.
જ્યાં $[P] = ML^{-1}T^{-2}$ અને $[V] = L^3$ હોવાથી,$[a] = (ML^{-1}T^{-2})(L^6) = ML^5T^{-2}$ મળે.
તે જ રીતે,$[b] = [V] = L^3$.
હવે,$ab^{-2}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[a][b]^{-2} = (ML^5T^{-2})(L^3)^{-2} = (ML^5T^{-2})(L^{-6}) = ML^{-1}T^{-2}$ થાય.
આ પરિમાણ $ML^{-1}T^{-2}$ એ દબાણ અથવા ઉર્જા ઘનતા (ઉર્જા/કદ = $ML^2T^{-2} / L^3 = ML^{-1}T^{-2}$) ના પરિમાણ સમાન છે.
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉમેરવામાં આવતા અથવા બાદ કરવામાં આવતા પદોના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$[P] = [\frac{a}{V^2}] \implies [a] = [P][V^2]$.
જ્યાં $[P] = ML^{-1}T^{-2}$ અને $[V] = L^3$ હોવાથી,$[a] = (ML^{-1}T^{-2})(L^6) = ML^5T^{-2}$ મળે.
તે જ રીતે,$[b] = [V] = L^3$.
હવે,$ab^{-2}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[a][b]^{-2} = (ML^5T^{-2})(L^3)^{-2} = (ML^5T^{-2})(L^{-6}) = ML^{-1}T^{-2}$ થાય.
આ પરિમાણ $ML^{-1}T^{-2}$ એ દબાણ અથવા ઉર્જા ઘનતા (ઉર્જા/કદ = $ML^2T^{-2} / L^3 = ML^{-1}T^{-2}$) ના પરિમાણ સમાન છે.
0 likes
View Solution243
MediumMCQ
આપેલ વિદ્યુતભાર $q$,પ્રવાહ $I$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\mu_0$ માટે,નીચેનામાંથી કઈ રાશિનું પરિમાણ વેગમાન જેવું છે?
A
$qI / \mu_0$
B
$q \mu_0 I$
C
$q^2 \mu_0 I$
D
$q \mu_0 / I$
Solution
(B) વેગમાન $P$ નું પરિમાણ $[MLT^{-1}]$ છે.
આપેલ પરિમાણો છે: $[q] = [AT]$,$[I] = [A]$,અને $[\mu_0] = [MLT^{-2}A^{-2}]$.
ધારો કે રાશિનું પરિમાણ $[P] = [q]^x [\mu_0]^y [I]^z$ છે.
પરિમાણો મૂકતા: $[MLT^{-1}] = [AT]^x [MLT^{-2}A^{-2}]^y [A]^z$.
$[MLT^{-1}] = [M^y L^y T^{x-2y} A^{x-2y+z}]$.
બંને બાજુ $M, L, T,$ અને $A$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $y = 1$.
$L$ માટે: $y = 1$.
$T$ માટે: $x - 2y = -1 \Rightarrow x - 2(1) = -1 \Rightarrow x = 1$.
$A$ માટે: $x - 2y + z = 0 \Rightarrow 1 - 2(1) + z = 0 \Rightarrow -1 + z = 0 \Rightarrow z = 1$.
આમ,જરૂરી રાશિ $[q^1 \mu_0^1 I^1] = [q \mu_0 I]$ છે.
આપેલ પરિમાણો છે: $[q] = [AT]$,$[I] = [A]$,અને $[\mu_0] = [MLT^{-2}A^{-2}]$.
ધારો કે રાશિનું પરિમાણ $[P] = [q]^x [\mu_0]^y [I]^z$ છે.
પરિમાણો મૂકતા: $[MLT^{-1}] = [AT]^x [MLT^{-2}A^{-2}]^y [A]^z$.
$[MLT^{-1}] = [M^y L^y T^{x-2y} A^{x-2y+z}]$.
બંને બાજુ $M, L, T,$ અને $A$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $y = 1$.
$L$ માટે: $y = 1$.
$T$ માટે: $x - 2y = -1 \Rightarrow x - 2(1) = -1 \Rightarrow x = 1$.
$A$ માટે: $x - 2y + z = 0 \Rightarrow 1 - 2(1) + z = 0 \Rightarrow -1 + z = 0 \Rightarrow z = 1$.
આમ,જરૂરી રાશિ $[q^1 \mu_0^1 I^1] = [q \mu_0 I]$ છે.
0 likes
View Solution244
MediumMCQ
જો $\mu_0$ અને $\varepsilon_0$ એ અનુક્રમે શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી અને પરમિટિવિટી હોય,તો $\left(\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}\right)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર શું થાય?
A
$L^2 / T^2$
B
$L / T^2$
C
$T^2 / L^2$
D
$L^2 / T$
Solution
(A) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c$ એ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ મળે છે.
ઝડપ $c$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L T^{-1}]$ છે.
તેથી,$c^2$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L T^{-1}]^2 = [L^2 T^{-2}]$ થાય.
આમ,$\left(\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}\right)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $L^2 / T^2$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ મળે છે.
ઝડપ $c$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L T^{-1}]$ છે.
તેથી,$c^2$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L T^{-1}]^2 = [L^2 T^{-2}]$ થાય.
આમ,$\left(\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}\right)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $L^2 / T^2$ છે.
0 likes
View Solution245
MediumMCQ
એક વિદ્યુતચુંબકીય તંત્રમાં,વિદ્યુત ફ્લક્સ અને ચુંબકીય ફ્લક્સના ગુણોત્તરનું પરિમાણ $M^{P} L^{Q} T^{R} A^{S}$ છે,જ્યાં $Q$ અને $R$ ના મૂલ્યો કેટલા છે?
A
$(3, -5)$
B
$(-2, 2)$
C
$(-2, 1)$
D
$(1, -1)$
Solution
(D) વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{E}$ અને ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_{M}$ નો ગુણોત્તર $\frac{\phi_{E}}{\phi_{M}} = \frac{E \cdot A}{B \cdot A} = \frac{E}{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $E = c \cdot B$ (જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે),તેથી ગુણોત્તર $\frac{E}{B} = c$ થાય.
ઝડપ $c$ નું પરિમાણ $[L T^{-1}]$ છે.
આને $M^{P} L^{Q} T^{R} A^{S}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $M^{0} L^{1} T^{-1} A^{0}$ મળે છે.
આમ,$Q = 1$ અને $R = -1$ થાય.
કારણ કે $E = c \cdot B$ (જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે),તેથી ગુણોત્તર $\frac{E}{B} = c$ થાય.
ઝડપ $c$ નું પરિમાણ $[L T^{-1}]$ છે.
આને $M^{P} L^{Q} T^{R} A^{S}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $M^{0} L^{1} T^{-1} A^{0}$ મળે છે.
આમ,$Q = 1$ અને $R = -1$ થાય.
0 likes
View Solution246
DifficultMCQ
પ્રવેગ,વેગ અને લંબાઈના પારિમાણિક સૂત્રો અનુક્રમે $\alpha \beta^{-2}$,$\alpha \beta^{-1}$ અને $\alpha \gamma$ છે. ઘર્ષણાંકનું પારિમાણિક સૂત્ર શું હશે?
A
$\alpha \beta \gamma$
B
$\alpha^0 \beta^{-1} \gamma^0$
C
$\alpha^{-1} \beta^0 \gamma^0$
D
$\alpha^0 \beta^0 \gamma^0$
Solution
(D) આપેલ પારિમાણિક સૂત્રો:
$[a] = \alpha \beta^{-2} = LT^{-2}$
$[v] = \alpha \beta^{-1} = LT^{-1}$
$[\ell] = \alpha \gamma = L$
$[v] = \alpha \beta^{-1} = LT^{-1}$ અને $[a] = \alpha \beta^{-2} = LT^{-2}$ પરથી,બંનેનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{[v]}{[a]} = \frac{\alpha \beta^{-1}}{\alpha \beta^{-2}} = \frac{LT^{-1}}{LT^{-2}} = T$
આમ,$[\beta] = T$.
$[\beta] = T$ ને $[v] = \alpha \beta^{-1} = LT^{-1}$ માં મૂકતા:
$\alpha T^{-1} = LT^{-1} \Rightarrow [\alpha] = L$.
$[\alpha] = L$ ને $[\ell] = \alpha \gamma = L$ માં મૂકતા:
$L \gamma = L \Rightarrow [\gamma] = 1$ (પરિમાણરહિત).
ઘર્ષણાંક એ બે બળોનો ગુણોત્તર છે,તેથી તે પરિમાણરહિત રાશિ છે,જેને $[M^0 L^0 T^0]$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $(D)$ એ $\alpha^0 \beta^0 \gamma^0 = 1$ છે,જે પરિમાણરહિત છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
$[a] = \alpha \beta^{-2} = LT^{-2}$
$[v] = \alpha \beta^{-1} = LT^{-1}$
$[\ell] = \alpha \gamma = L$
$[v] = \alpha \beta^{-1} = LT^{-1}$ અને $[a] = \alpha \beta^{-2} = LT^{-2}$ પરથી,બંનેનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{[v]}{[a]} = \frac{\alpha \beta^{-1}}{\alpha \beta^{-2}} = \frac{LT^{-1}}{LT^{-2}} = T$
આમ,$[\beta] = T$.
$[\beta] = T$ ને $[v] = \alpha \beta^{-1} = LT^{-1}$ માં મૂકતા:
$\alpha T^{-1} = LT^{-1} \Rightarrow [\alpha] = L$.
$[\alpha] = L$ ને $[\ell] = \alpha \gamma = L$ માં મૂકતા:
$L \gamma = L \Rightarrow [\gamma] = 1$ (પરિમાણરહિત).
ઘર્ષણાંક એ બે બળોનો ગુણોત્તર છે,તેથી તે પરિમાણરહિત રાશિ છે,જેને $[M^0 L^0 T^0]$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $(D)$ એ $\alpha^0 \beta^0 \gamma^0 = 1$ છે,જે પરિમાણરહિત છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
0 likes
View Solution247
MediumMCQ
આપેલ છે કે એક દોલન કરતા કણનું સ્થાનાંતર $y = A \sin(Bx + Ct + D)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $ABCD$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર શું છે? (અહીં $x$ એ સ્થાન છે,$t$ એ સમય છે)
A
$[M^0 L^{-1} T^0]$
B
$[M^0 L^0 T^0]$
C
$[M^0 L^{-1} T^{-1}]$
D
$[M^0 L^0 T^{-1}]$
Solution
(D) સાઇન વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ $(Bx + Ct + D)$ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
તેથી,દરેક પદ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ.
$Bx$ માટે: $[B][x] = [M^0 L^0 T^0] \implies [B] = [L^{-1}]$.
$Ct$ માટે: $[C][t] = [M^0 L^0 T^0] \implies [C] = [T^{-1}]$.
$D$ માટે: $[D] = [M^0 L^0 T^0]$ (પરિમાણરહિત).
$A$ માટે: કારણ કે $y$ એ સ્થાનાંતર છે,$[A] = [L]$.
હવે,$ABCD$ ના પરિમાણોની ગણતરી કરો:
$[ABCD] = [A][B][C][D] = [L] \cdot [L^{-1}] \cdot [T^{-1}] \cdot [1] = [T^{-1}] = [M^0 L^0 T^{-1}]$.
તેથી,દરેક પદ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ.
$Bx$ માટે: $[B][x] = [M^0 L^0 T^0] \implies [B] = [L^{-1}]$.
$Ct$ માટે: $[C][t] = [M^0 L^0 T^0] \implies [C] = [T^{-1}]$.
$D$ માટે: $[D] = [M^0 L^0 T^0]$ (પરિમાણરહિત).
$A$ માટે: કારણ કે $y$ એ સ્થાનાંતર છે,$[A] = [L]$.
હવે,$ABCD$ ના પરિમાણોની ગણતરી કરો:
$[ABCD] = [A][B][C][D] = [L] \cdot [L^{-1}] \cdot [T^{-1}] \cdot [1] = [T^{-1}] = [M^0 L^0 T^{-1}]$.
0 likes
View Solution248
DifficultMCQ
પાણીની નીચે થયેલા વિસ્ફોટથી બનેલો ગેસનો પરપોટો $T$ આવર્તકાળ સાથે દોલન કરે છે,જે $P^{a} d^{b} E^{c}$ ના પ્રમાણમાં છે,જ્યાં $P$ એ સ્થિર દબાણ છે,$d$ એ પાણીની ઘનતા છે અને $E$ એ વિસ્ફોટની ઉર્જા છે. તો $a, b, c$ અનુક્રમે છે:
A
$1, 1, 1$
B
$\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{-5}{6}$
C
$\frac{-5}{6}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}$
D
$\frac{1}{2}, \frac{-5}{6}, \frac{1}{3}$
Solution
(C) આવર્તકાળ $T$ એ $T \propto P^{a} d^{b} E^{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિમાણીય સૂત્રો છે: $[T] = [T^1]$,$[P] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$,$[d] = [M^1 L^{-3}]$,અને $[E] = [M^1 L^2 T^{-2}]$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $[T^1] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]^{a} [M^1 L^{-3}]^{b} [M^1 L^2 T^{-2}]^{c}$.
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$M$ માટે: $a + b + c = 0$ (સમી. $1$)
$L$ માટે: $-a - 3b + 2c = 0$ (સમી. $2$)
$T$ માટે: $-2a - 2c = 1$ (સમી. $3$)
સમી. $3$ પરથી,$a + c = -1/2$,તેથી $c = -1/2 - a$.
$c$ ની કિંમત સમી. $1$ માં મૂકતા: $a + b + (-1/2 - a) = 0 \implies b = 1/2$.
$b = 1/2$ ની કિંમત સમી. $2$ માં મૂકતા: $-a - 3(1/2) + 2c = 0 \implies -a + 2c = 3/2$.
આમાં $c = -1/2 - a$ મૂકતા: $-a + 2(-1/2 - a) = 3/2 \implies -a - 1 - 2a = 3/2 \implies -3a = 5/2 \implies a = -5/6$.
અંતે,$c = -1/2 - (-5/6) = -3/6 + 5/6 = 2/6 = 1/3$.
આમ,$a = -5/6, b = 1/2, c = 1/3$.
પરિમાણીય સૂત્રો છે: $[T] = [T^1]$,$[P] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$,$[d] = [M^1 L^{-3}]$,અને $[E] = [M^1 L^2 T^{-2}]$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $[T^1] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]^{a} [M^1 L^{-3}]^{b} [M^1 L^2 T^{-2}]^{c}$.
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$M$ માટે: $a + b + c = 0$ (સમી. $1$)
$L$ માટે: $-a - 3b + 2c = 0$ (સમી. $2$)
$T$ માટે: $-2a - 2c = 1$ (સમી. $3$)
સમી. $3$ પરથી,$a + c = -1/2$,તેથી $c = -1/2 - a$.
$c$ ની કિંમત સમી. $1$ માં મૂકતા: $a + b + (-1/2 - a) = 0 \implies b = 1/2$.
$b = 1/2$ ની કિંમત સમી. $2$ માં મૂકતા: $-a - 3(1/2) + 2c = 0 \implies -a + 2c = 3/2$.
આમાં $c = -1/2 - a$ મૂકતા: $-a + 2(-1/2 - a) = 3/2 \implies -a - 1 - 2a = 3/2 \implies -3a = 5/2 \implies a = -5/6$.
અંતે,$c = -1/2 - (-5/6) = -3/6 + 5/6 = 2/6 = 1/3$.
આમ,$a = -5/6, b = 1/2, c = 1/3$.
0 likes
View Solution249
MediumMCQ
જો $z = xP + G$ હોય,જ્યાં $P$ એ દબાણ છે અને $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે; તો $x$ અને $z$ ના પરિમાણીય સૂત્રો અનુક્રમે શું થશે? (અહીં,$G = \frac{Fr^2}{m_1 m_2}$,$P = \frac{\text{Thrust}}{\text{Area}}$).
A
$MLT^{-2}, M^2 L^3 T$
B
$MLT, M^{-1} L^{-1} T$
C
$M^{-2} L^4 T^0, M^{-1} L^3 T^{-2}$
D
$M^2 L^4 T^0, M^1 L^3 T^2$
Solution
(C) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણમાં દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ $z = xP + G$ પરથી,$[z] = [xP] = [G]$ થાય.
પ્રથમ,$G$ (સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક) ના પરિમાણો શોધો:
$[G] = \frac{[F][r^2]}{[m_1][m_2]} = \frac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M][M]} = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$.
તેથી,$z$ નું પરિમાણ $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ છે.
હવે,$P$ (દબાણ) ના પરિમાણો શોધો:
$[P] = \frac{[Thrust]}{[Area]} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1} T^{-2}]$.
સમીકરણ $[z] = [xP]$ પરથી,$[x] = \frac{[z]}{[P]} = \frac{[M^{-1} L^3 T^{-2}]}{[ML^{-1} T^{-2}]} = [M^{-2} L^4 T^0]$.
આમ,$x$ અને $z$ ના પરિમાણો અનુક્રમે $[M^{-2} L^4 T^0]$ અને $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ છે.
આપેલ સમીકરણ $z = xP + G$ પરથી,$[z] = [xP] = [G]$ થાય.
પ્રથમ,$G$ (સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક) ના પરિમાણો શોધો:
$[G] = \frac{[F][r^2]}{[m_1][m_2]} = \frac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M][M]} = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$.
તેથી,$z$ નું પરિમાણ $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ છે.
હવે,$P$ (દબાણ) ના પરિમાણો શોધો:
$[P] = \frac{[Thrust]}{[Area]} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1} T^{-2}]$.
સમીકરણ $[z] = [xP]$ પરથી,$[x] = \frac{[z]}{[P]} = \frac{[M^{-1} L^3 T^{-2}]}{[ML^{-1} T^{-2}]} = [M^{-2} L^4 T^0]$.
આમ,$x$ અને $z$ ના પરિમાણો અનુક્રમે $[M^{-2} L^4 T^0]$ અને $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ છે.
0 likes
View Solution250
MediumMCQ
ન્યુક્લિયર પાવર પ્લાન્ટમાં,મુક્ત થતી ઉર્જા યુરેનિયમ નમૂનાના દળ $(m)$,ઓસિલેટરની લંબાઈ $(\ell)$ અને ઓસિલેશનની આવૃત્તિ $(f)$ પર $E = m^{x} \ell^{y} f^{z}$ મુજબ આધાર રાખે છે. તો $x + y + z$ નું મૂલ્ય શું છે?
A
$1$
B
$5$
C
$2$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(B) ઉર્જા $E$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.
આપેલ સંબંધ $E = m^x \ell^y f^z$ માટે,આપણે પારિમાણિક સમીકરણ લખીએ:
$[M^1 L^2 T^{-2}] = [M]^x [L]^y [T^{-1}]^z$
$[M^1 L^2 T^{-2}] = [M^x L^y T^{-z}]$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $x = 1$
$L$ માટે: $y = 2$
$T$ માટે: $-z = -2 \Rightarrow z = 2$
તેથી,$x + y + z = 1 + 2 + 2 = 5$.
આપેલ સંબંધ $E = m^x \ell^y f^z$ માટે,આપણે પારિમાણિક સમીકરણ લખીએ:
$[M^1 L^2 T^{-2}] = [M]^x [L]^y [T^{-1}]^z$
$[M^1 L^2 T^{-2}] = [M^x L^y T^{-z}]$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $x = 1$
$L$ માટે: $y = 2$
$T$ માટે: $-z = -2 \Rightarrow z = 2$
તેથી,$x + y + z = 1 + 2 + 2 = 5$.
0 likes
View SolutionUnits, Dimensions and Measurement — Dimensional Analysis, Uses and Limitations · Frequently Asked Questions
1Are these Units, Dimensions and Measurement questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Units, Dimensions and Measurement Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.