Dimensional Analysis, Uses and Limitations Questions in Gujarati

(C) ધારો કે સંબંધ $v = k g^a \lambda^b \rho^c$ છે,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
દરેક રાશિના પરિમાણ લખતા:
$[v] = [L T^{-1}]$
$[g] = [L T^{-2}]$
$[\lambda] = [L]$
$[\rho] = [M L^{-3}]$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $[L T^{-1}] = [L T^{-2}]^a [L]^b [M L^{-3}]^c$
$[L^1 T^{-1} M^0] = [M^c L^{a+b-3c} T^{-2a}]$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $c = 0$
$T$ માટે: $-2a = -1 \implies a = 1/2$
$L$ માટે: $a + b - 3c = 1 \implies 1/2 + b - 0 = 1 \implies b = 1/2$
આમ,$v \propto g^{1/2} \lambda^{1/2} \rho^0 \implies v \propto \sqrt{g \lambda} \implies v^2 \propto g \lambda$.

(D) બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[F] = [M^1 L^1 T^{-2}]$ છે.
પારિમાણિક સુસંગતતાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,$n_2 = n_1 \left[ \frac{M_1}{M_2} \right]^1 \left[ \frac{L_1}{L_2} \right]^1 \left[ \frac{T_1}{T_2} \right]^{-2}$.
અહીં,$n_1 = 1$,$M_1 = 1 \; \text{kg} = 10^3 \; \text{g}$,$L_1 = 1 \; \text{m} = 10^2 \; \text{cm}$,અને $T_1 = T_2 = 1 \; \text{s}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $n_2 = 1 \times \left[ \frac{10^3 \; \text{g}}{1 \; \text{g}} \right]^1 \times \left[ \frac{10^2 \; \text{cm}}{1 \; \text{cm}} \right]^1 \times \left[ \frac{1 \; \text{s}}{1 \; \text{s}} \right]^{-2}$.
$n_2 = 1 \times 10^3 \times 10^2 \times 1 = 10^5$.
તેથી,$1 \; \text{newton} = 10^5 \; \text{dyne}$ થાય.

(A) પરિમાણ્વીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી થઈ શકે છે.
$(P + \frac{a}{V^2})$ પદમાં,$\frac{a}{V^2}$ ના પરિમાણ એ દબાણ $P$ ના પરિમાણ જેટલા હોવા જોઈએ.
તેથી,$[\frac{a}{V^2}] = [P]$.
$[a] = [P] \times [V^2]$.
દબાણ $P$ ના પરિમાણ $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે અને કદ $V$ ના પરિમાણ $[L^3]$ છે.
તેથી,$[a] = [ML^{-1}T^{-2}] \times [L^3]^2$.
$[a] = [ML^{-1}T^{-2}] \times [L^6]$.
$[a] = [ML^5T^{-2}]$.

(A) ઊર્જા $E$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.
$G$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ છે.
$h$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-1}]$ છે.
$c$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^1 T^{-1}]$ છે.
આપેલ છે $E = G^p h^q c^r$,તેથી:
$[M^1 L^2 T^{-2}] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]^p [M^1 L^2 T^{-1}]^q [L^1 T^{-1}]^r$
$[M^1 L^2 T^{-2}] = [M^{-p+q} L^{3p+2q+r} T^{-2p-q-r}]$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $-p + q = 1 \implies q = 1 + p$
$T$ માટે: $-2p - q - r = -2 \implies 2p + q + r = 2$
$L$ માટે: $3p + 2q + r = 2$
$L$ ના સમીકરણમાંથી $T$ નું સમીકરણ બાદ કરતા: $(3p + 2q + r) - (2p + q + r) = 2 - 2 \implies p + q = 0 \implies q = -p$
$q = -p$ ને $q = 1 + p$ માં મૂકતા: $-p = 1 + p \implies 2p = -1 \implies p = -\frac{1}{2}$.
તેથી $q = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
$2p + q + r = 2$ નો ઉપયોગ કરતા: $2(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} + r = 2 \implies -1 + \frac{1}{2} + r = 2 \implies r = 2 + 1 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
આમ,$p = -\frac{1}{2}, q = \frac{1}{2}, r = \frac{5}{2}$.

(B) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો ખૂણો પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
તેથી,$k_1x$ અને $k_2t$ ના પરિમાણો $M^0 L^0 T^0$ હોવા જોઈએ.
$k_1x$ પરિમાણરહિત હોવા માટે,$k_1$ નું પરિમાણ એ $x$ (અંતર) ના પરિમાણનું વ્યસ્ત હોવું જોઈએ.
$[k_1] = [x]^{-1} = L^{-1}$. તેથી,$k_1$ નો એકમ $meter^{-1}$ છે.
$k_2t$ પરિમાણરહિત હોવા માટે,$k_2$ નું પરિમાણ એ $t$ (સમય) ના પરિમાણનું વ્યસ્ત હોવું જોઈએ.
$[k_2] = [t]^{-1} = T^{-1}$. તેથી,$k_2$ નો એકમ $s^{-1}$ છે.
આમ,$k_1$ અને $k_2$ ના એકમો અનુક્રમે $meter^{-1}$ અને $s^{-1}$ છે.

(C) પરિમાણીય વિશ્લેષણ એ ભૌતિક સમીકરણોની સુસંગતતા તપાસવા માટેનું એક શક્તિશાળી સાધન છે.
$1$. જો કોઈ સમીકરણ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ ખોટું હોય,તો તે ભૌતિક રીતે પણ ખોટું જ હોય છે કારણ કે બંને બાજુના એકમો સમાન હોતા નથી.
$2$. જો કોઈ સમીકરણ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું હોય,તો તે ભૌતિક રીતે સાચું જ છે તેની ખાતરી મળતી નથી,કારણ કે તેમાં પરિમાણરહિત અચળાંકો અથવા અવયવો ખૂટતા હોઈ શકે છે.
$3$. તેથી,પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું સૂત્ર સાચું અથવા ખોટું હોઈ શકે છે,પરંતુ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ ખોટું સૂત્ર હંમેશા ખોટું જ હોય છે.
$4$. આમ,'પરિમાણની દ્રષ્ટિએ ખોટું સૂત્ર કદાચ સાચું હોઈ શકે' તે વિધાન ખોટું છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $P = P_0 \exp(-\alpha t^2)$ છે.
$e^x$ સ્વરૂપના કોઈપણ ઘાતાંકીય વિધેયમાં,ઘાતાંક $x$ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
તેથી,પદ $\alpha t^2$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\alpha$ ના પરિમાણ અને $t^2$ ના પરિમાણનો ગુણાકાર $1$ (પરિમાણરહિત) થવો જોઈએ.
$[\alpha] [t^2] = [M^0 L^0 T^0] = 1$.
કારણ કે $[t] = [T]$,તેથી $[\alpha] [T^2] = 1$.
આમ,$[\alpha] = [T^{-2}]$.

(A) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,જે પદોનો સરવાળો થાય છે તેમના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ. તેથી,$\beta$ નું પરિમાણ $\sqrt{d}$ ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ.
$[\beta] = [d]^{1/2} = [M^1 L^{-3} T^0]^{1/2} = [M^{1/2} L^{-3/2} T^0]$.
હવે,બળના સમીકરણ માટે: $F = \frac{\alpha}{\beta + \sqrt{d}}$.
છેદ $(\beta + \sqrt{d})$ નું પરિમાણ $[d]^{1/2} = [M^{1/2} L^{-3/2} T^0]$ જેટલું જ થાય.
તેથી,$[F] = \frac{[\alpha]}{[M^{1/2} L^{-3/2} T^0]}$.
$[\alpha] = [F] \times [M^{1/2} L^{-3/2} T^0] = [M^1 L^1 T^{-2}] \times [M^{1/2} L^{-3/2} T^0] = [M^{3/2} L^{-1/2} T^{-2}]$.
આ પરિણામોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^1 T^{-2}]$ છે.
$C.G.S.$ પદ્ધતિમાં લંબાઈનો એકમ $cm$ અને સમયનો એકમ $s$ છે. આપેલ છે કે $g = 980 \; cm/s^2$.
$M.K.S.$ પદ્ધતિમાં રૂપાંતર કરવા માટે,આપણે રૂપાંતર અવયવોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1 \; m = 10^2 \; cm \Rightarrow 1 \; cm = 10^{-2} \; m$
$1 \; s = 1 \; s$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$g = 980 \times (1 \; cm) / (1 \; s)^2$
$g = 980 \times (10^{-2} \; m) / (1 \; s)^2$
$g = 980 \times 10^{-2} \; m/s^2$
$g = 9.8 \; m/s^2$.

(C) $w$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ માટેનું સૂત્ર ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમ દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta w}{w} = 4 \frac{\Delta a}{a} + 3 \frac{\Delta b}{b} + 2 \frac{\Delta c}{c} + \frac{1}{2} \frac{\Delta d}{d}$
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ છે:
$\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 1\%$
$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 2\%$
$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 3\%$
$\frac{\Delta d}{d} \times 100 = 4\%$
આ કિંમતોને ત્રુટિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta w}{w} \times 100 = 4(1\%) + 3(2\%) + 2(3\%) + \frac{1}{2}(4\%)$
$= 4\% + 6\% + 6\% + 2\%$
$= 18\%$
તેથી,$w$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $18\%$ છે.

(A) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણ સમાન હોવા જોઈએ.
$1$. $at$ પદ માટે: $[at] = [v] = [LT^{-1}]$.
તેથી,$[a] = \frac{[LT^{-1}]}{[T]} = [LT^{-2}]$.
$2$. $\frac{b}{t + c}$ પદ માટે: $c$ એ $t$ માં ઉમેરાયેલ હોવાથી,$c$ નું પરિમાણ $t$ ના પરિમાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
તેથી,$[c] = [T]$.
$3$. $\frac{b}{t + c}$ પદ માટે: આખા પદનું પરિમાણ વેગ $[v]$ ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ.
$[\frac{b}{t + c}] = [v] \implies \frac{[b]}{[T]} = [LT^{-1}]$.
તેથી,$[b] = [LT^{-1}] \times [T] = [L]$.
આમ,પરિમાણો $[a] = [LT^{-2}]$,$[b] = [L]$,અને $[c] = [T]$ છે.

(C) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ભૌતિક સમીકરણમાં દરેક પદના પરિમાણ સમાન હોવા જોઈએ.
અહીં $x$ એ અંતર દર્શાવે છે,તેથી તેનું પરિમાણ $[L]$ છે.
પદ $b/t^2$ નું પરિમાણ પણ અંતર $[L]$ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
તેથી,$[b/t^2] = [L]$.
$[b] = [L] \times [t^2] = [L][T^2]$.
અહીં $x$ મીટર $(m)$ માં છે અને $t$ સેકન્ડ $(s)$ માં છે,તેથી $b$ નો એકમ $m-s^2$ થશે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $LC$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$LC$ ના પરિમાણો $[LC] = [T^{2}]$ છે.
વળી,$LR$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R}$ છે,તેથી $\frac{L}{R}$ ના પરિમાણો $[T]$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{R}{L}$ ના પરિમાણો $[T^{-1}]$ છે.
હવે,આપણે $C^{2}LR$ ના પરિમાણો શોધવાના છે.
આપણે પદને $C^{2}LR = (LC) \cdot (RC)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
કારણ કે $RC$ એ $RC$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ છે,તેના પરિમાણો $[T]$ છે.
આમ,$[C^{2}LR] = [LC] \cdot [RC] = [T^{2}] \cdot [T] = [T^{3}]$.
વૈકલ્પિક રીતે,$[C^{2}LR] = [LC] \cdot [LC] \cdot [R/L] = [T^{2}] \cdot [T^{2}] \cdot [T^{-1}] = [T^{3}]$.
તેથી,પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{0}L^{0}T^{3}I^{0}]$ છે.

(B) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી થઈ શકે છે.
છેદમાં,$x^2$ માં $B$ ઉમેરવામાં આવે છે,તેથી $[B] = [x^2] = [L^2]$.
ઉર્જા $U$ ના પરિમાણો $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
સમીકરણ $U = \frac{A\sqrt{x}}{x^2 + B}$ છે.
પરિમાણો મૂકતા: $[M L^2 T^{-2}] = \frac{[A][L^{1/2}]}{[L^2]}$.
$[A]$ માટે ઉકેલતા: $[A] = [M L^2 T^{-2}] \times \frac{[L^2]}{[L^{1/2}]} = [M L^{2+2-1/2} T^{-2}] = [M L^{7/2} T^{-2}]$.
હવે,$AB$ ના પરિમાણોની ગણતરી કરતા: $[AB] = [A][B] = [M L^{7/2} T^{-2}] \times [L^2] = [M L^{7/2+2} T^{-2}] = [M L^{11/2} T^{-2}]$.

(D) સમીકરણ $y = 2A \sin \left( \frac{2\pi ct}{\lambda} \right) \cos \left( \frac{2\pi x}{\lambda} \right)$ માં,ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના ખૂણા પરિમાણરહિત હોવા જોઈએ.
તેથી,$\left[ \frac{2\pi ct}{\lambda} \right] = M^0 L^0 T^0$ અને $\left[ \frac{2\pi x}{\lambda} \right] = M^0 L^0 T^0$ થાય.
આના પરથી,$ct$ અને $\lambda$ ના એકમો સમાન છે,અને $x$ અને $\lambda$ ના એકમો પણ સમાન છે.
વિકલ્પ $C$ તપાસતા: $\frac{2\pi c}{\lambda}$ નો એકમ $T^{-1}$ (આવૃત્તિ) છે,જ્યારે $\frac{2\pi x}{\lambda t}$ નો એકમ $\frac{L}{L \cdot T} = T^{-1}$ છે. આમ,બંનેના એકમો સમાન છે.
વિકલ્પ $D$ તપાસતા: $\frac{c}{\lambda}$ નો એકમ $T^{-1}$ છે,જ્યારે $\frac{x}{\lambda}$ નો એકમ પરિમાણરહિત $(L/L = 1)$ છે. $T^{-1} \neq 1$ હોવાથી,વિધાન $D$ સાચું નથી.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.
$CGS$ પદ્ધતિમાં,એકમ $g \cdot cm^{-1} \cdot s^{-2}$ છે.
$MKS$ પદ્ધતિમાં,એકમ $kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}$ છે.
રૂપાંતર સૂત્ર $n_2 = n_1 [M_1/M_2]^1 [L_1/L_2]^{-1} [T_1/T_2]^{-2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n_1$ એ $CGS$ માં મૂલ્ય છે અને $n_2$ એ $MKS$ માં મૂલ્ય છે:
$n_2/n_1 = [1 \ g / 10^3 \ g]^1 \cdot [1 \ cm / 10^2 \ cm]^{-1} \cdot [1 \ s / 1 \ s]^{-2}$.
$n_2/n_1 = [10^{-3}]^1 \cdot [10^{-2}]^{-1} \cdot [1]^{-2}$.
$n_2/n_1 = 10^{-3} \cdot 10^2 = 10^{-1} = 0.1$.
આમ,$CGS$ માંથી $MKS$ માં રૂપાંતર કરવા માટે,આપણે $0.1$ વડે ગુણાકાર કરવો પડે.

(A) પાવરનું પારિમાણિક સૂત્ર $[P] = [M^1 L^2 T^{-3}]$ છે.
બે સિસ્ટમ વચ્ચે રૂપાંતર માટેનું સૂત્ર: $n_2 = n_1 [M_1/M_2]^a [L_1/L_2]^b [T_1/T_2]^c$ છે.
અહીં,$n_1 = 10^6 \; W$,$M_1 = 1 \; kg$,$L_1 = 1 \; m$,$T_1 = 1 \; s$ છે.
નવી સિસ્ટમમાં,$M_2 = 10 \; kg$,$L_2 = 1 \; dm = 0.1 \; m$,$T_2 = 1 \; \text{minute} = 60 \; s$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $n_2 = 10^6 \times [1 \; kg / 10 \; kg]^1 \times [1 \; m / 0.1 \; m]^2 \times [1 \; s / 60 \; s]^{-3}$.
$n_2 = 10^6 \times [1/10] \times [10]^2 \times [1/60]^{-3}$.
$n_2 = 10^6 \times 0.1 \times 100 \times 60^3$.
$n_2 = 10^7 \times 216000 = 2.16 \times 10^{12} \; \text{units}$.

(B) આપેલ સંબંધો:
$v_2 = v_1 \frac{\alpha^2}{\beta} \Rightarrow [L_2 T_2^{-1}] = [L_1 T_1^{-1}] \frac{\alpha^2}{\beta} \dots (i)$
$a_2 = a_1 \alpha \beta \Rightarrow [L_2 T_2^{-2}] = [L_1 T_1^{-2}] \alpha \beta \dots (ii)$
$F_2 = \frac{F_1}{\alpha \beta} \Rightarrow [M_2 L_2 T_2^{-2}] = [M_1 L_1 T_1^{-2}] \frac{1}{\alpha \beta} \dots (iii)$
સમીકરણ $(iii)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{[M_2 L_2 T_2^{-2}]}{[L_2 T_2^{-2}]} = \frac{[M_1 L_1 T_1^{-2}]}{[L_1 T_1^{-2}]} \times \frac{1}{(\alpha \beta)(\alpha \beta)} \Rightarrow M_2 = \frac{M_1}{\alpha^2 \beta^2}$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{[L_2 T_2^{-2}]}{[L_2 T_2^{-1}]} = \frac{[L_1 T_1^{-2}]}{[L_1 T_1^{-1}]} \times \frac{\alpha \beta}{\alpha^2 / \beta} \Rightarrow T_2^{-1} = T_1^{-1} \frac{\beta^2}{\alpha} \Rightarrow T_2 = T_1 \frac{\alpha}{\beta^2}$
$T_2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$L_2 (T_1 \frac{\alpha}{\beta^2})^{-1} = L_1 T_1^{-1} \frac{\alpha^2}{\beta} \Rightarrow L_2 = L_1 \frac{\alpha^2}{\beta} \cdot \frac{\alpha}{\beta^2} = L_1 \frac{\alpha^3}{\beta^3}$
આમ,$M_2 = \frac{1}{\alpha^2 \beta^2} M_1, L_2 = \frac{\alpha^3}{\beta^3} L_1, T_2 = T_1 \frac{\alpha}{\beta^2}$.

(B) ધારો કે મૂળભૂત એકમો $L_1 = 1 \; m$,$T_1 = 1 \; s$,$M_1 = 1 \; kg$ છે. નવા એકમો $L_2 = 100 \; m$,$T_2 = 100 \; s$,$M_2 = 0.1 \; kg$ છે.
$1$. વેગ $(v = L T^{-1})$: નવો એકમ $v_2 = L_2 T_2^{-1} = 100 \; m / 100 \; s = 1 \; m/s$. આમ,વેગ સમાન રહે છે.
$2$. બળ $(F = M L T^{-2})$: નવો એકમ $F_2 = M_2 L_2 T_2^{-2} = (0.1 \; kg) \times (100 \; m) / (100 \; s)^2 = 0.1 \times 100 / 10000 = 0.001 \; N = \frac{1}{1000} \; N$. બળનો નવો એકમ મૂળ એકમ કરતા $\frac{1}{1000}$ ગણો છે.
$3$. ઉર્જા $(E = M L^2 T^{-2})$: નવો એકમ $E_2 = M_2 L_2^2 T_2^{-2} = (0.1 \; kg) \times (100 \; m)^2 / (100 \; s)^2 = 0.1 \times 10000 / 10000 = 0.1 \; J = \frac{1}{10} \; J$.
$4$. દબાણ $(P = M L^{-1} T^{-2})$: નવો એકમ $P_2 = M_2 L_2^{-1} T_2^{-2} = (0.1 \; kg) / (100 \; m \times (100 \; s)^2) = 0.1 / (100 \times 10000) = 0.1 / 10^6 = 10^{-7} \; Pa$.

(D) ધારો કે સંબંધ $m = K \rho^a v^b g^c$ છે,જ્યાં $K$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
પરિમાણીય સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$m = [M^1 L^0 T^0]$
$\rho = [M^1 L^{-3} T^0]$
$v = [M^0 L^1 T^{-1}]$
$g = [M^0 L^1 T^{-2}]$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^1 L^0 T^0] = [M^1 L^{-3} T^0]^a [M^0 L^1 T^{-1}]^b [M^0 L^1 T^{-2}]^c$
$[M^1 L^0 T^0] = [M^a L^{-3a+b+c} T^{-b-2c}]$
$M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $a = 1$
$T$ માટે: $-b - 2c = 0 \Rightarrow b = -2c$
$L$ માટે: $-3a + b + c = 0$
$a=1$ અને $b=-2c$ ને $L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$-3(1) + (-2c) + c = 0$
$-3 - c = 0 \Rightarrow c = -3$
હવે,$b = -2(-3) = 6$
આમ,$m \propto \rho^1 v^6 g^{-3} = \frac{\rho v^6}{g^3}$.

(A) આપેલ સૂત્ર $P = \frac{a^3 b^2}{cd}$ છે.
$P$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે ત્રુટિઓના પ્રસરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = \left( 3 \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{\Delta d}{d} \right) \times 100$
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ મૂકતા:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = [3(1\%) + 2(2\%) + 3\% + 4\%]$
$= [3\% + 4\% + 3\% + 4\%]$
$= 14\%$
આમ,$P$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $14\%$ છે.

(D) ધારો કે દળ $m \propto F^a V^b T^c$.
તેથી $m = k F^a V^b T^c$,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
બંને બાજુ પરિમાણો લખતા:
$[M L^0 T^0] = [M L T^{-2}]^a [L T^{-1}]^b [T]^c$
$[M L^0 T^0] = [M^a L^{a+b} T^{-2a-b+c}]$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $a = 1$
$L$ માટે: $a + b = 0 \implies 1 + b = 0 \implies b = -1$
$T$ માટે: $-2a - b + c = 0 \implies -2(1) - (-1) + c = 0 \implies -2 + 1 + c = 0 \implies c = 1$
$a, b,$ અને $c$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$[m] = [F^1 V^{-1} T^1] = [F V^{-1} T]$.

(C) ધારો કે પૃષ્ઠતાણ $(S)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $S = E^x V^y T^z$ છે.
પૃષ્ઠતાણના પરિમાણો $[S] = [MT^{-2}]$ છે.
મૂળભૂત રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[E] = [ML^2T^{-2}]$
$[V] = [LT^{-1}]$
$[T] = [T]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[MT^{-2}] = [ML^2T^{-2}]^x [LT^{-1}]^y [T]^z$
$[MT^{-2}] = [M^x L^{2x+y} T^{-2x-y+z}]$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $x = 1$
$L$ માટે: $2x + y = 0 \Rightarrow 2(1) + y = 0 \Rightarrow y = -2$
$T$ માટે: $-2x - y + z = -2 \Rightarrow -2(1) - (-2) + z = -2 \Rightarrow -2 + 2 + z = -2 \Rightarrow z = -2$
આમ,પૃષ્ઠતાણનું પારિમાણિક સૂત્ર $[EV^{-2}T^{-2}]$ થશે.

(B) આપેલ પરિમાણીય સંબંધ: $[v_c] = [\eta^x \rho^y r^z]$ $(i)$
ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો લખતા:
$[v_c] = [M^0 L T^{-1}]$
$[\eta] = [M L^{-1} T^{-1}]$
$[\rho] = [M L^{-3} T^0]$
$[r] = [M^0 L T^0]$
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$[M^0 L T^{-1}] = [M L^{-1} T^{-1}]^x [M L^{-3} T^0]^y [M^0 L T^0]^z$
$[M^0 L T^{-1}] = [M^{x+y} L^{-x-3y+z} T^{-x}]$
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$x + y = 0$ $(ii)$
$-x - 3y + z = 1$ $(iii)$
$-x = -1$ $(iv)$
સમીકરણ $(iv)$ પરથી,આપણને $x = 1$ મળે છે.
$x = 1$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા,$1 + y = 0$,તેથી $y = -1$ મળે છે.
$x = 1$ અને $y = -1$ ને સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા,$-1 - 3(-1) + z = 1 \implies -1 + 3 + z = 1 \implies 2 + z = 1 \implies z = -1$ મળે છે.
આમ,$x = 1, y = -1, z = -1$ છે.

(C) ધારો કે લંબાઈ $l$ નું પરિમાણ $l \propto h^p c^q G^r$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
દરેક અચળાંકના પરિમાણો મૂકતા:
$[L] = [ML^2T^{-1}]^p [LT^{-1}]^q [M^{-1}L^3T^{-2}]^r$
$[M^0 L^1 T^0] = M^{p-r} L^{2p+q+3r} T^{-p-q-2r}$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$p - r = 0 \implies p = r$
$2p + q + 3r = 1$
$-p - q - 2r = 0$
ત્રીજા સમીકરણમાં $p = r$ મૂકતા: $-r - q - 2r = 0 \implies q = -3r$.
બીજા સમીકરણમાં $p = r$ અને $q = -3r$ મૂકતા: $2r - 3r + 3r = 1 \implies 2r = 1 \implies r = 1/2$.
આમ,$p = 1/2$ અને $q = -3/2$.
તેથી,$l \propto h^{1/2} c^{-3/2} G^{1/2} = \sqrt{\frac{hG}{c^3}} = \frac{\sqrt{hG}}{c^{3/2}}$.

(C) ધારો કે લંબાઈ $l$ ની ભૌતિક રાશિને $l = k \left( \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0} \right)^p G^q c^r$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
$\frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0}$ ના પરિમાણ $= [F \cdot d^2] = [ML^3T^{-2}]$.
$G$ ના પરિમાણ $= [M^{-1}L^3T^{-2}]$.
$c$ ના પરિમાણ $= [LT^{-1}]$.
પરિમાણોને સરખાવતા: $[L^1] = [ML^3T^{-2}]^p [M^{-1}L^3T^{-2}]^q [LT^{-1}]^r$.
$M$ ના ઘાતાંકો સરખાવતા: $p - q = 0 \implies p = q$.
$T$ ના ઘાતાંકો સરખાવતા: $-2p - 2q - r = 0 \implies -4p = r$.
$L$ ના ઘાતાંકો સરખાવતા: $3p + 3q + r = 1 \implies 6p - 4p = 1 \implies 2p = 1 \implies p = 1/2$.
આમ,$q = 1/2$ અને $r = -2$.
તેથી,$l = \frac{1}{c^2} \sqrt{\frac{Ge^2}{4\pi \varepsilon_0}}$.

(A) આપેલ ભૌતિક રાશિઓ માટેના પારિમાણિક સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$[E] = [ML^2T^{-2}]$
$[m] = [M]$
$[l] = [ML^2T^{-1}]$
$[G] = [M^{-1}L^3T^{-2}]$
આ પારિમાણિક સૂત્રોને $\frac{El^2}{m^5G^2}$ પદમાં મૂકતા:
$\frac{[ML^2T^{-2}] \cdot [ML^2T^{-1}]^2}{[M]^5 \cdot [M^{-1}L^3T^{-2}]^2} = \frac{[ML^2T^{-2}] \cdot [M^2L^4T^{-2}]}{[M^5] \cdot [M^{-2}L^6T^{-4}]} = \frac{[M^3L^6T^{-4}]}{[M^3L^6T^{-4}]} = [M^0L^0T^0]$
અહીં પરિમાણ $[M^0L^0T^0]$ મળે છે,જે દર્શાવે છે કે આ રાશિ પરિમાણરહિત છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,ખૂણો એ પરિમાણરહિત ભૌતિક રાશિ છે.

(C) $\tan \theta$ નું પરિમાણ $[M^0 L^0 T^0]$ છે કારણ કે તે પરિમાણરહિત રાશિ છે.
જમણી બાજુ માટે,પરિમાણો છે: $[r] = [L]$,$[g] = [L T^{-2}]$,અને $[v^2] = [L^2 T^{-2}]$.
આમ,$\frac{rg}{v^2}$ નું પરિમાણ $\frac{[L] [L T^{-2}]}{[L^2 T^{-2}]} = [M^0 L^0 T^0]$ થાય છે.
બંને બાજુઓ સમાન પરિમાણ ધરાવતી હોવાથી,સમીકરણ પરિમાણીય રીતે સાચું છે.
જોકે,બેંકિંગના ખૂણા માટેનું સાચું ભૌતિક સૂત્ર $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ છે.
તેથી,આપેલ સમીકરણ આંકડાકીય રીતે ખોટું છે.

(C) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
$1$. પદ $c$ માટે: $c$ ને $t$ (સમય) માં ઉમેરવામાં આવે છે,તેથી $c$ નું પરિમાણ $t$ ના પરિમાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ. તેથી,$[c] = [T]$.
$2$. પદ $at$ માટે: $at$ નું પરિમાણ વેગ $v$ ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ. આમ,$[a][T] = [LT^{-1}]$,જે $[a] = [LT^{-2}]$ આપે છે.
$3$. પદ $\frac{b}{t+c}$ માટે: સમગ્ર પદનું પરિમાણ વેગ $v$ ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ. કારણ કે $[t+c] = [T]$,આપણી પાસે $\frac{[b]}{[T]} = [LT^{-1}]$ છે. તેથી,$[b] = [L]$.
આમ,પરિમાણો $a = LT^{-2}, b = L, c = T$ છે.

(A) સમીકરણ $T = 2\pi \sqrt {\frac{{{R^3}}}{{GM}}} $ ની પરિમાણીય સુસંગતતા તપાસવા માટે:
$1$. સમયગાળા $T$ નું પરિમાણ $[T]$ છે.
$2$. ત્રિજ્યા $R$ નું પરિમાણ $[L]$ છે. તેથી,$R^3$ નું પરિમાણ $[L^3]$ છે.
$3$. ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $G$ નું પરિમાણ $[M^{-1}L^3T^{-2}]$ છે.
$4$. દળ $M$ નું પરિમાણ $[M]$ છે.
$5$. ગુણાકાર $GM$ નું પરિમાણ $[M^{-1}L^3T^{-2}] \times [M] = [L^3T^{-2}]$ છે.
$6$. આ કિંમતોને વર્ગમૂળની અંદરના પદમાં મૂકતા: $\sqrt{\frac{R^3}{GM}} = \sqrt{\frac{L^3}{L^3T^{-2}}} = \sqrt{T^2} = [T]$.
$7$. ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુના પરિમાણો સમાન હોવાથી,આ સમીકરણ પરિમાણીય રીતે સાચું છે.

(A) ઘાતાંકીય વિધેયનો ઘાતાંક પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ. તેથી,$\alpha t$ નું પરિમાણ $[M^0 L^0 T^0]$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $[t] = [T]$,તેથી $[\alpha] [T] = [1]$,જે $[\alpha] = [T^{-1}]$ આપે છે.
સમીકરણ $x(t) = (v_0 / \alpha) (1 - e^{-\alpha t})$ માં,પદ $(1 - e^{-\alpha t})$ પરિમાણરહિત છે.
તેથી,$x(t)$ નું પરિમાણ $(v_0 / \alpha)$ ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ.
$[x] = [L]$,તેથી $[v_0 / \alpha] = [L]$.
$[v_0] = [L] \times [\alpha] = [L] \times [T^{-1}] = [L T^{-1}]$.
આમ,$v_0$ અને $\alpha$ ના પરિમાણો અનુક્રમે $[M^0 L^1 T^{-1}]$ અને $[T^{-1}]$ છે.

(A) પારિમાણિક સંગતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણમાં ઉમેરવામાં આવતા અથવા બાદ કરવામાં આવતા દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ $(P + \frac{a}{V^2}) = \frac{b\theta}{l}$ માં,પદ $P$ ને $\frac{a}{V^2}$ માં ઉમેરવામાં આવે છે.
તેથી,$[P] = [\frac{a}{V^2}]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે દબાણ $P$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે અને કદ $V$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^3]$ છે.
આમ,$[a] = [P] \times [V^2]$.
પરિમાણો મૂકતા: $[a] = [ML^{-1}T^{-2}] \times [L^3]^2$.
$[a] = [ML^{-1}T^{-2}] \times [L^6]$.
$[a] = [ML^5T^{-2}]$.

(A) સાચું સૂત્ર નક્કી કરવા માટે,આપણે પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ઝડપ $v$ નું પરિમાણ $[LT^{-1}]$ છે.
વિકલ્પ $(A)$ માટે,$\sqrt{g\lambda}$ નું પરિમાણ $\sqrt{[LT^{-2}] \cdot [L]} = \sqrt{[L^2T^{-2}]} = [LT^{-1}]$ છે,જે ઝડપના પરિમાણ સાથે મેળ ખાય છે.
વિકલ્પ $(B)$ માટે,$\sqrt{g/h}$ નું પરિમાણ $\sqrt{[LT^{-2}] / [L]} = \sqrt{[T^{-2}]} = [T^{-1}]$ છે,જે ખોટું છે.
વિકલ્પ $(C)$ માટે,$\sqrt{\rho gh}$ નું પરિમાણ $\sqrt{[ML^{-3}] \cdot [LT^{-2}] \cdot [L]} = \sqrt{[MT^{-2}]}$ છે,જે ખોટું છે.
વિકલ્પ $(D)$ માટે,$\sqrt{g/\rho}$ નું પરિમાણ $\sqrt{[LT^{-2}] / [ML^{-3}]} = \sqrt{[M^{-1}L^4T^{-2}]}$ છે,જે ખોટું છે.
તેથી,માત્ર $\sqrt{g\lambda}$ પરિમાણીય રીતે સુસંગત સૂત્ર છે.

(D) એકમ દળ દીઠ ગતિ ઊર્જા $(KE/m)$ ના પરિમાણો વેગના વર્ગ જેટલા હોય છે,જે $[L^2 T^{-2}]$ છે.
આપણે આપેલા વિકલ્પોના પરિમાણોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
વિકલ્પ $D$ માટે,સમીકરણ $\frac{\alpha \sigma}{\rho}$ છે.
તણાવ શક્તિ $\sigma$ (દબાણ) ના પરિમાણો $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.
ઘનતા $\rho$ ના પરિમાણો $[M L^{-3}]$ છે.
તેથી,$\frac{\sigma}{\rho}$ ના પરિમાણો $\frac{[M L^{-1} T^{-2}]}{[M L^{-3}]} = [L^2 T^{-2}]$ થાય છે.
કારણ કે $\alpha$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે,તેથી $\frac{\alpha \sigma}{\rho}$ સમીકરણ એકમ દળ દીઠ ગતિ ઊર્જાના પરિમાણોને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) $\cos \left( \frac{t}{p} - qx \right)$ પદમાં,ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{t}{p}$ ના પરિમાણો $1$ (પરિમાણરહિત) ના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $t$ ના પરિમાણો $p$ ના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
તે જ રીતે,$qx$ ના પરિમાણો $1$ ના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $q$ ના પરિમાણો $1/x$ (લંબાઈનું વ્યસ્ત) છે.
આમ,$t$ નો એકમ $p$ ના એકમ જેવો જ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{dV}{dt} = At - BV$
પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણની બંને બાજુના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
$\frac{dV}{dt}$ (પ્રવેગ) નું પરિમાણ $[LT^{-2}]$ છે.
$At$ પદ માટે:
$[At] = [LT^{-2}]$
$[A] [T] = [LT^{-2}]$
$[A] = [LT^{-2}] / [T] = [LT^{-3}]$
$BV$ પદ માટે:
$[BV] = [LT^{-2}]$
$[B] [LT^{-1}] = [LT^{-2}]$
$[B] = [LT^{-2}] / [LT^{-1}] = [T^{-1}]$
તેથી,$A$ અને $B$ ના પરિમાણો અનુક્રમે $[LT^{-3}]$ અને $[T^{-1}]$ છે.

(C) સમયગાળા $T$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^0 T^1]$ છે.
આપેલ ભૌતિક રાશિઓ માટેના પારિમાણિક સૂત્રો:
દબાણ $P = [M L^{-1} T^{-2}]$
ઘનતા $d = [M L^{-3}]$
ઉર્જા $E = [M L^2 T^{-2}]$
સંબંધ $T = k P^a d^b E^c$ પરથી,આપણે પારિમાણિક સમીકરણ લખીએ:
$[M^0 L^0 T^1] = [M L^{-1} T^{-2}]^a [M L^{-3}]^b [M L^2 T^{-2}]^c$
$[M^0 L^0 T^1] = M^{a+b+c} L^{-a-3b+2c} T^{-2a-2c}$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $a + b + c = 0$
$2$) $-a - 3b + 2c = 0$
$3$) $-2a - 2c = 1$
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$-2(a + c) = 1$,તેથી $a + c = -1/2$.
$a + c = -1/2$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા: $(-1/2) + b = 0$,જે આપણને $b = 1/2$ આપે છે.
$b = 1/2$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા: $-a - 3(1/2) + 2c = 0 \Rightarrow -a + 2c = 3/2$.
હવે આપણી પાસે બે સમીકરણો છે:
$a + c = -1/2$
$-a + 2c = 3/2$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $3c = 1$,તેથી $c = 1/3$.

(A) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ભૌતિક રાશિઓનો સરવાળો કે બાદબાકી ત્યારે જ થઈ શકે જો તેમના પરિમાણો સમાન હોય.
અહીં $A$ અને $B$ ના પારિમાણિક સૂત્રો અસમાન હોવાથી,$(A - B)$ પ્રક્રિયા ભૌતિક રીતે અર્થહીન છે અને શક્ય નથી.
$log(A - B)$ પદમાં,લઘુગણકનો આર્ગ્યુમેન્ટ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ,પરંતુ $(A - B)$ ની બાદબાકી જ અમાન્ય છે કારણ કે તેમના પરિમાણો અલગ છે.
તેથી,$log(A - B)$ પ્રક્રિયા શક્ય નથી.

(A) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ભૌતિક રાશિઓનો સરવાળો કે બાદબાકી ત્યારે જ કરી શકાય જો તેમના પરિમાણો સમાન હોય.
જોકે,ભૌતિક રાશિઓનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર તેમના પરિમાણો સમાન હોય કે અલગ,તે ધ્યાનમાં લીધા વિના કરી શકાય છે.
તેથી,જો $A$ અને $B$ ના પરિમાણો અલગ-અલગ હોય તો પણ $\frac{A}{B}$ પ્રક્રિયા કરી શકાય છે.

(B) પરિમાણીય સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
બળ $F = [MLT^{-2}] = 10\, N \dots (i)$
ઉર્જા $E = [ML^2T^{-2}] = 100\, J \dots (ii)$
વેગ $v = [LT^{-1}] = 5\, m/s \dots (iii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{[ML^2T^{-2}]}{[MLT^{-2}]} = \frac{100\, J}{10\, N} \implies [L] = 10\, m$
$[L] = 10\, m$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$10\, m / [T] = 5\, m/s \implies [T] = \frac{10\, m}{5\, m/s} = 2\, s$
$[L] = 10\, m$ અને $[T] = 2\, s$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$[M][10\, m][2\, s]^{-2} = 10\, N$
$[M][10\, m][0.25\, s^{-2}] = 10\, kg\cdot m/s^2$
$[M] = \frac{10}{2.5} = 4\, kg$
આમ,એકમો લંબાઈ $= 10\, m$,દળ $= 4\, kg$,અને સમય $= 2\, s$ છે.

(B) ઉર્જા $(E)$ એ બળ $(F)$ અને સ્થાનાંતર $(L)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$E = F \times L$
આપણે જાણીએ છીએ કે વેગ $(V)$ એ સ્થાનાંતર ભાગ્યા સમય $(T)$ છે,તેથી $V = L/T$,જેનો અર્થ છે કે $L = V \times T$.
આ કિંમતને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = F \times (V \times T)$
$E = [V^1 F^1 T^1]$
તેથી,વેગ,બળ અને સમયના સંદર્ભમાં ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[V^1 F^1 T^1]$ છે.

(A) બળનું પરિમાણીય સૂત્ર $[F] = [MLT^{-2}]$ છે.
આપેલ મૂળભૂત પરિમાણો ઘનતા $[D] = [ML^{-3}]$,વેગ $[V] = [LT^{-1}]$,અને ક્ષેત્રફળ $[A] = [L^2]$ છે.
ધારો કે બળને $[F] = [A^x V^y D^z]$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
પરિમાણો મૂકતા:
$[MLT^{-2}] = [L^2]^x [LT^{-1}]^y [ML^{-3}]^z$
$[MLT^{-2}] = [M^z L^{2x+y-3z} T^{-y}]$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $z = 1$
$T$ માટે: $-y = -2 \implies y = 2$
$L$ માટે: $2x + y - 3z = 1$
$y=2$ અને $z=1$ ને $L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2x + 2 - 3(1) = 1$
$2x - 1 = 1$
$2x = 2 \implies x = 1$
આમ,બળનું નિરૂપણ $[A^1 V^2 D^1]$ એટલે કે $[AV^2D]$ થશે.

(D) બે એકમ પદ્ધતિઓ વચ્ચે રૂપાંતર માટેનું સૂત્ર $n_2 = n_1 \left[ \frac{M_1}{M_2} \right]^a \left[ \frac{L_1}{L_2} \right]^b \left[ \frac{T_1}{T_2} \right]^c$ છે.
ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^{-3} T^0]$ છે,તેથી $a=1, b=-3, c=0$.
આપેલ છે: $n_1 = 4$,$M_1 = 1\,g$,$L_1 = 1\,cm$.
નવી પદ્ધતિ: $M_2 = 100\,g$,$L_2 = 10\,cm$.
કિંમતો મૂકતા: $n_2 = 4 \left[ \frac{1\,g}{100\,g} \right]^1 \left[ \frac{1\,cm}{10\,cm} \right]^{-3}$.
$n_2 = 4 \times \left( \frac{1}{100} \right) \times (10)^3$.
$n_2 = 4 \times 0.01 \times 1000 = 40$.
આમ,નવી પદ્ધતિમાં ઘનતાનું મૂલ્ય $40$ થશે.

(D) ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
ધારો કે $SI$ પદ્ધતિ એ પદ્ધતિ $1$ છે અને નવી પદ્ધતિ એ પદ્ધતિ $2$ છે.
$SI$ પદ્ધતિમાં: $M_1 = 1 \, kg$,$L_1 = 1 \, m$,$T_1 = 1 \, s$.
નવી પદ્ધતિમાં: $M_2 = 10 \, kg$,$L_2 = 10 \, m$,$T_2 = 1 \, minute = 60 \, s$.
રૂપાંતરણ સૂત્ર $n_2 = n_1 [M_1/M_2]^1 [L_1/L_2]^2 [T_1/T_2]^{-2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n_2 = 1 \times [1 \, kg / 10 \, kg]^1 \times [1 \, m / 10 \, m]^2 \times [1 \, s / 60 \, s]^{-2}$
$n_2 = (1/10) \times (1/10)^2 \times (1/60)^{-2}$
$n_2 = (1/10) \times (1/100) \times (60)^2$
$n_2 = (1/1000) \times 3600 = 3.6 = 36 \times 10^{-1}$.

(B) એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળનો પ્રવાહ દર $\frac{M}{A t} \propto P^{x} v^{y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ દળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{-2} T^{-1}]$ છે.
દબાણ $P$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે અને વેગ $v$ માટે $[L T^{-1}]$ છે.
બંને બાજુના પરિમાણોને સરખાવતા:
$[M L^{-2} T^{-1}] = [M L^{-1} T^{-2}]^x [L T^{-1}]^y$
$[M L^{-2} T^{-1}] = M^x L^{-x+y} T^{-2x-y}$
$M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $x = 1$
$L$ માટે: $-x + y = -2$
$T$ માટે: $-2x - y = -1$
$L$ ના સમીકરણમાં $x = 1$ મૂકતા: $-1 + y = -2 \Rightarrow y = -1$.
આમ,$x = 1$ અને $y = -1$ હોવાથી,$x = -y$ થાય છે.

(D) દબાણનું સૂત્ર $P = \frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}}$ છે.
અહીં બળ $= F$ છે,તેથી આપણે ક્ષેત્રફળને $F, V$ અને $T$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવું પડશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વેગ $(V) = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}}$,તેથી અંતર $= V \times T$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $= (\text{અંતર})^2 = (V \times T)^2 = V^2 T^2$.
આ કિંમતોને દબાણના સૂત્રમાં મૂકતા: $P = \frac{F}{V^2 T^2} = F^1 V^{-2} T^{-2}$.
દબાણમાં બળનું પરિમાણ એ $F$ નો ઘાતાંક છે,જે $1$ છે.

(B) ઘાતાંકીય વિધેય (exponential function) નો ઘાતાંક પરિમાણ રહિત હોવો જોઈએ.
તેથી,ઘાતાંક $[\alpha t^2]$ ના પરિમાણ એ પરિમાણ રહિત રાશિના પરિમાણ એટલે કે $1$ જેટલા હોવા જોઈએ.
$[\alpha t^2] = [M^0 L^0 T^0] = 1$.
અહીં $t$ એ સમય દર્શાવે છે,તેથી તેનું પરિમાણ $[T]$ છે.
આમ,$[\alpha] [T^2] = 1$.
$[\alpha] = \frac{1}{[T^2]} = [T^{-2}]$.
તેથી,અચળાંક $\alpha$ ના પરિમાણ $T^{-2}$ છે.

(A) પરિમાણીય અચળાંક એ એવી ભૌતિક રાશિ છે જેનું મૂલ્ય અચળ હોય છે અને તેને પરિમાણ હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક $(G)$ એ એક સાર્વત્રિક અચળાંક છે જેનું મૂલ્ય $6.67 \times 10^{-11} \ N \ m^2 \ kg^{-2}$ છે અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ છે.
સાપેક્ષ ઘનતા,વક્રીભવનાંક અને પોઈસન ગુણોત્તર એ સમાન ભૌતિક રાશિઓના ગુણોત્તર છે,જે તેમને પરિમાણરહિત અચળાંક બનાવે છે.

(D) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $C = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $C^2 = \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}$ મળે છે.
તેથી,ગુણાકાર $\mu_{0} \varepsilon_{0} = \frac{1}{C^2}$ થાય.
અહીં $C$ એ વેગ દર્શાવે છે,તેથી $\mu_{0} \varepsilon_{0}$ ના પરિમાણો વેગ સાથે $1/(velocity)^2$ તરીકે સંબંધિત છે.