Dimensional Analysis, Uses and Limitations Questions in Hindi

(D) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,किसी समीकरण के प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
चूँकि $S$ मीटर $(m)$ में मापा जाता है,इसलिए पद $ct^2$ की विमाएँ भी लंबाई $(L)$ की विमाओं के समान होनी चाहिए।
अतः,$c$ की विमाएँ $[c] = [S] / [t^2] = L / T^2 = L T^{-2}$ द्वारा प्राप्त होती हैं।
चूँकि $S$ मीटर $(m)$ में है और $t$ सेकंड $(s)$ में है,इसलिए $c$ का मात्रक $m/s^2$ या $m s^{-2}$ है।

(C) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक भौतिक समीकरण में प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
दिया गया समीकरण $x = at + bt^2$ है,जहाँ $x$ दूरी है और $t$ समय है।
इसलिए,$bt^2$ की विमाएँ $x$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[bt^2] = [x]$
$[b] = [x] / [t^2]$
चूँकि $x$ किलोमीटर $(km)$ में है और $t$ सेकंड $(s)$ में है,इसलिए $b$ की इकाई $km/s^2$ है।

(B) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली भौतिक राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
$\left( P + \frac{a}{V^2} \right)$ पद में,$P$ (दाब) को $\frac{a}{V^2}$ के साथ जोड़ा गया है।
इसलिए,$P$ की विमाएँ $\frac{a}{V^2}$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[P] = \left[ \frac{a}{V^2} \right]$
$[a] = [P] \times [V^2]$
चूंकि दाब $P$ प्रति इकाई क्षेत्रफल बल है,इसकी इकाई $Dyne/cm^2$ ($CGS$ प्रणाली में) है।
आयतन $V$ की इकाई $cm^3$ है,इसलिए $V^2$ की इकाई $cm^6$ होगी।
$a$ की इकाई $= (Dyne/cm^2) \times (cm^6) = Dyne \times cm^4$.

(B) दाब का विमीय सूत्र $P = \frac{F}{A} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ है।
प्रति इकाई आयतन ऊर्जा $\frac{E}{V} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ है।
चूंकि दाब और प्रति इकाई आयतन ऊर्जा की विमाएं समान हैं,इसलिए विकल्प $(b)$ सही है।

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली भौतिक राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
दिए गए समीकरण $\left( {P + \frac{a}{{{V^2}}}} \right)\,(V - b) = RT$ में,पद $\frac{a}{{{V^2}}}$ को दाब $P$ में जोड़ा गया है।
इसलिए,$\frac{a}{{{V^2}}}$ की विमाएँ दाब $P$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[\frac{a}{{{V^2}}}] = [P]$
$[a] = [P] \times [V^2]$
हम जानते हैं कि दाब $P$ की विमाएँ $[M{L^{ - 1}}{T^{ - 2}}]$ हैं और आयतन $V$ की विमाएँ $[L^3]$ हैं।
अतः,$[a] = [M{L^{ - 1}}{T^{ - 2}}] \times [L^3]^2$
$[a] = [M{L^{ - 1}}{T^{ - 2}}] \times [L^6]$
$[a] = [M{L^5}{T^{ - 2}}]$

(D) आवृत्ति $f$ का विमीय सूत्र $[M^0 L^0 T^{-1}]$ है।
द्रव्यमान $m$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^0 T^0]$ है।
स्प्रिंग नियतांक $K$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^0 T^{-2}]$ है।
दिए गए संबंध $f = C m^x K^y$ में दोनों पक्षों की विमाएँ रखने पर:
$[M^0 L^0 T^{-1}] = [M^1]^x [M^1 T^{-2}]^y$
$[M^0 L^0 T^{-1}] = [M^{x+y} T^{-2y}]$
दोनों पक्षों में $M$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $x + y = 0$
$T$ के लिए: $-2y = -1 \implies y = \frac{1}{2}$
$y = \frac{1}{2}$ को $x + y = 0$ में रखने पर,हमें $x + \frac{1}{2} = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = -\frac{1}{2}$ और $y = \frac{1}{2}$ है।

(C) वेग $v$ की विमा $[M^0 L^1 T^{-1}]$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की विमा $[M^0 L^1 T^0]$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g$ की विमा $[M^0 L^1 T^{-2}]$ है।
घनत्व $\rho$ की विमा $[M^1 L^{-3} T^0]$ है।
माना कि संबंध $v = k \lambda^a g^b \rho^c$ है,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है।
दोनों पक्षों की विमाओं की तुलना करने पर:
$[L T^{-1}] = [L]^a [L T^{-2}]^b [M L^{-3}]^c$
$[M^0 L^1 T^{-1}] = [M^c L^{a+b-3c} T^{-2b}]$
$M, L,$ और $T$ के घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $c = 0$
$T$ के लिए: $-2b = -1 \implies b = 0.5$
$L$ के लिए: $a + b - 3c = 1 \implies a + 0.5 - 0 = 1 \implies a = 0.5$
मान रखने पर,$v \propto \lambda^{0.5} g^{0.5} \rho^0$ प्राप्त होता है।
अतः,$v \propto \sqrt{g \lambda}$,जिसका अर्थ है कि $v^2 \propto g \lambda$।

(B) विमाओं की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक समीकरण में जोड़े या घटाए गए सभी पदों की विमाएँ समान होनी चाहिए।
दिए गए समीकरण $Y = A \sin \omega \left( \frac{x}{v} - k \right)$ में,पद $k$ को $\frac{x}{v}$ से घटाया गया है।
इसलिए,$k$ की विमा $\frac{x}{v}$ की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$x$ (दूरी) की विमा $[L]$ है।
$v$ (वेग) की विमा $[LT^{-1}]$ है।
अतः,$\frac{x}{v}$ की विमा $= \frac{[L]}{[LT^{-1}]} = [T]$ होगी।
इसलिए,$k$ की विमा $[T]$ है।

(A) दी गई राशियों के लिए विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$T = [T^1]$
$P = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$
$D = [M^1 L^{-3} T^0]$
$S = [M^1 L^0 T^{-2}]$
समीकरण $T = P^a D^b S^c$ में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$[M^0 L^0 T^1] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]^a [M^1 L^{-3}]^b [M^1 T^{-2}]^c$
$[M^0 L^0 T^1] = M^{a+b+c} L^{-a-3b} T^{-2a-2c}$
दोनों पक्षों पर $M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$a + b + c = 0$ $(1)$
$-a - 3b = 0 \implies a = -3b$ $(2)$
$-2a - 2c = 1 \implies a + c = -1/2$ $(3)$
समीकरण $(2)$ से $a = -3b$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$-3b + b + c = 0 \implies c = 2b$
अब $a = -3b$ और $c = 2b$ का मान $(3)$ में रखने पर:
$-3b + 2b = -1/2 \implies -b = -1/2 \implies b = 1/2$
अतः $a = -3(1/2) = -3/2$ और $c = 2(1/2) = 1$.
इस प्रकार,$a = -3/2, b = 1/2, c = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया संबंध: $v \propto g^p h^q$ है।
प्रत्येक राशि की विमाएँ इस प्रकार हैं:
वेग $(v)$: $[L T^{-1}]$
गुरुत्वीय त्वरण $(g)$: $[L T^{-2}]$
ऊँचाई $(h)$: $[L]$
इन विमाओं को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:
$[L T^{-1}] = [L T^{-2}]^p [L]^q$
$[L T^{-1}] = L^p T^{-2p} L^q$
$[L T^{-1}] = L^{p+q} T^{-2p}$
दोनों पक्षों में $L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$T$ के लिए: $-2p = -1 \Rightarrow p = \frac{1}{2}$
$L$ के लिए: $p + q = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + q = 1 \Rightarrow q = \frac{1}{2}$
अतः,$p = \frac{1}{2}$ और $q = \frac{1}{2}$ है।

(A) मान लीजिए कि सीमांत वेग $v_T$ को $v_T = k \cdot m^a \eta^b r^c g^d$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है।
विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$[v_T] = [L T^{-1}]$
$[m] = [M]$
$[\eta] = [M L^{-1} T^{-1}]$
$[r] = [L]$
$[g] = [L T^{-2}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[L T^{-1}] = [M]^a [M L^{-1} T^{-1}]^b [L]^c [L T^{-2}]^d$
$[M^0 L^1 T^{-1}] = [M^{a+b} L^{-b+c+d} T^{-b-2d}]$
दोनों पक्षों पर $M, L,$ और $T$ के घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a + b = 0 \Rightarrow a = -b$
$T$ के लिए: $-b - 2d = -1 \Rightarrow b + 2d = 1$
$L$ के लिए: $-b + c + d = 1$
स्टोक्स के नियम के अनुसार,सीमांत वेग $v_T = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ होता है। चूंकि गेंद का द्रव्यमान $m$,$r^3$ के समानुपाती होता है $(m \propto r^3)$,हम $r \propto m^{1/3}$ को संबंध में प्रतिस्थापित करते हैं। विमीय विश्लेषण दर्शाता है कि $v_T \propto \frac{mg}{\eta r}$ ही एकमात्र संबंध है जो वेग की विमाओं के साथ सुसंगत है।

(B) मुक्त आकाश में प्रकाश की गति को इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $c = \frac{1}{\sqrt{{\mu _0}{\varepsilon _0}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $c^2 = \frac{1}{{\mu _0}{\varepsilon _0}}$.
अतः,गुणनफल के लिए व्यंजक है: ${\mu _0}{\varepsilon _0} = \frac{1}{c^2}$.
चूंकि वेग $c$ की विमा $[L{T^{ - 1}}]$ है,इसलिए ${\mu _0}{\varepsilon _0}$ की विमाएँ होंगी:
$[{\mu _0}{\varepsilon _0}] = \frac{1}{[L{T^{ - 1}}]^2} = \frac{1}{L^2 T^{-2}} = {L^{ - 2}}{T^2}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\text{Force} = \frac{X}{\text{Density}}$
$X$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $X = \text{Force} \times \text{Density}$
बल (Force) का विमीय सूत्र $[F] = [M^1 L^1 T^{-2}]$ है।
घनत्व (Density) का विमीय सूत्र $[\rho] = [M^1 L^{-3}]$ है।
अतः,$X$ की विमाएँ हैं: $[X] = [M^1 L^1 T^{-2}] \times [M^1 L^{-3}]$
$[X] = [M^{1+1} L^{1-3} T^{-2}]$
$[X] = [M^2 L^{-2} T^{-2}]$

(D) लंबाई $(L)$ और समय $(T)$ के संदर्भ में त्वरण $(A)$ की परिभाषा इस सूत्र द्वारा दी जाती है: $A = L T^{-2}$.
दी गई मूल राशियों के संदर्भ में लंबाई $(L)$ की विमाएँ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$L = A T^2$.
चूंकि मंगल ग्रह की प्रणाली में $A$ और $T$ को मूल राशियों के रूप में चुना गया है,इसलिए लंबाई की विमा को $A T^2$ के रूप में दर्शाया जाता है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) विमीय विश्लेषण की नींव फ्रांसीसी गणितज्ञ जोसेफ फूरियर द्वारा $1822$ में प्रकाशित उनके कार्य 'Théorie analytique de la chaleur' (ऊष्मा का विश्लेषणात्मक सिद्धांत) में रखी गई थी। उन्होंने भौतिक राशियों की भौतिक प्रकृति को दर्शाने के लिए विमाओं की अवधारणा को प्रस्तुत किया,जो आज भी भौतिकी में एक मूलभूत उपकरण है।

(B) माना कोणीय संवेग $L$ को $L = k v^x A^y F^z$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है।
प्रत्येक राशि की विमाएँ रखने पर:
$[M L^2 T^{-1}] = [L T^{-1}]^x [L T^{-2}]^y [M L T^{-2}]^z$
$[M L^2 T^{-1}] = M^z L^{x+y+z} T^{-x-2y-2z}$
दोनों पक्षों में $M, L$ और $T$ के घातांकों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $z = 1$
$L$ के लिए: $x + y + z = 2$
$T$ के लिए: $-x - 2y - 2z = -1$
$z = 1$ को अन्य समीकरणों में रखने पर:
$x + y = 1$ (समीकरण $i$)
$-x - 2y = 1$ (समीकरण $ii$)
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $-y = 2 \Rightarrow y = -2$
$y = -2$ को $x + y = 1$ में रखने पर: $x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3$
अतः,विमीय सूत्र $[L] = [F v^3 A^{-2}]$ होगा।

(A) श्यान बल (स्टोक्स का नियम) के लिए दिया गया सूत्र: $F = 6\pi \eta av$.
$\eta$ की विमाएँ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: $\eta = \frac{F}{6\pi av}$.
चूंकि $6\pi$ एक विमाहीन स्थिरांक है,इसलिए विमीय सूत्र होगा: $[\eta] = \frac{[F]}{[a][v]}$.
बल $[F] = M L T^{-2}$,त्रिज्या $[a] = L$,और वेग $[v] = L T^{-1}$ की विमाएँ रखने पर:
$[\eta] = \frac{M L T^{-2}}{L \cdot L T^{-1}} = \frac{M L T^{-2}}{L^2 T^{-1}}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $[\eta] = M L^{1-2} T^{-2-(-1)} = M L^{-1} T^{-1}$.

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,भौतिक राशियों को केवल तभी जोड़ा या घटाया जा सकता है जब उनकी विमाएँ समान हों।
हालाँकि,अलग-अलग विमाओं वाली भौतिक राशियों को गुणा या विभाजित करके नई भौतिक राशियाँ बनाई जा सकती हैं।
इसलिए,संक्रिया $A/B$ भौतिक रूप से सार्थक है,जबकि $A + B$ और $A - B$ सार्थक नहीं हैं।

(A) दी गई भौतिक राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$v = [LT^{-1}]$
$r = [L]$
$g = [LT^{-2}]$
अब,$\frac{v^2}{rg}$ व्यंजक की विमाओं की जाँच करते हैं:
$v^2$ की विमा $= [LT^{-1}]^2 = [L^2 T^{-2}]$
$rg$ की विमा $= [L] \cdot [LT^{-2}] = [L^2 T^{-2}]$
अतः,$\frac{v^2}{rg}$ की विमा $= \frac{[L^2 T^{-2}]}{[L^2 T^{-2}]} = [M^0 L^0 T^0]$ है।
यह व्यंजक विमाहीन है। यह राशि घुमावदार सड़क पर वाहन के लिए बैंकिंग कोण के संदर्भ में $\tan \theta$ को दर्शाती है।

(B) ऊर्जा का विमीय सूत्र $[M{L^2}{T^{ - 2}}]$ होता है।
सौर स्थिरांक को प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में प्राप्त ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सौर स्थिरांक का विमीय सूत्र = $\frac{[M{L^2}{T^{ - 2}}]}{[L^2][T]} = [M^1 T^{-3}]$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक समीकरण में प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
चूँकि $F = at + bt^2$,इसलिए $F$ की विमाएँ $at$ और $bt^2$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
बल $F$ की विमा $[MLT^{-2}]$ है।
पद $at$ के लिए: $[a][t] = [MLT^{-2}] \implies [a] = [MLT^{-2}] / [T] = [MLT^{-3}]$.
पद $bt^2$ के लिए: $[b][t^2] = [MLT^{-2}] \implies [b] = [MLT^{-2}] / [T^2] = [MLT^{-4}]$.
अतः,$a$ और $b$ की विमाएँ क्रमशः $[MLT^{-3}]$ और $[MLT^{-4}]$ हैं।

(B) माना गुरुत्वाकर्षण नियतांक की विमा $[G] = [c^x g^y p^z]$ है।
दी गई राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[G] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
$[c] = [L T^{-1}]$
$[g] = [L T^{-2}]$
$[p] = [M L^{-1} T^{-2}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^{-1} L^3 T^{-2}] = [L T^{-1}]^x [L T^{-2}]^y [M L^{-1} T^{-2}]^z$
$[M^{-1} L^3 T^{-2}] = [M^z L^{x+y-z} T^{-x-2y-2z}]$
दोनों पक्षों में $M, L,$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $z = -1$
$L$ के लिए: $x + y - z = 3 \implies x + y - (-1) = 3 \implies x + y = 2$
$T$ के लिए: $-x - 2y - 2z = -2 \implies -x - 2y - 2(-1) = -2 \implies -x - 2y = -4 \implies x + 2y = 4$
समीकरणों को हल करने पर:
$(x + 2y) - (x + y) = 4 - 2 \implies y = 2$
$x + 2 = 2 \implies x = 0$
अतः,$[G] = [c^0 g^2 p^{-1}]$.

(A) माना आवर्तकाल $T$,$S^x r^y \rho^z$ के समानुपाती है,अतः $T = k S^x r^y \rho^z$ है।
विमीय सूत्र रखने पर:
$[T] = [M^0 L^0 T^1]$
$[S] = [M L^0 T^{-2}]$
$[r] = [L]$
$[\rho] = [M L^{-3} T^0]$
दोनों पक्षों की विमाओं की तुलना करने पर:
$[M^0 L^0 T^1] = [M L^0 T^{-2}]^x [L]^y [M L^{-3} T^0]^z$
$[M^0 L^0 T^1] = [M^{x+z} L^{y-3z} T^{-2x}]$
घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $x + z = 0 \Rightarrow z = -x$
$T$ के लिए: $-2x = 1 \Rightarrow x = -1/2$
अतः,$z = 1/2$
$L$ के लिए: $y - 3z = 0 \Rightarrow y = 3z = 3(1/2) = 3/2$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$T = k S^{-1/2} r^{3/2} \rho^{1/2} = k \sqrt{\frac{\rho r^3}{S}}$

(A) माना बल $F$ को $F = P^{\alpha} V^{\beta} T^{\gamma}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
बल का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}]$ है।
दाब $P$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ है।
वेग $V$ का विमीय सूत्र $[L^1 T^{-1}]$ है।
समय $T$ का विमीय सूत्र $[T^1]$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^1 L^1 T^{-2}] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]^{\alpha} [L^1 T^{-1}]^{\beta} [T^1]^{\gamma}$
$[M^1 L^1 T^{-2}] = [M^{\alpha} L^{-\alpha + \beta} T^{-2\alpha - \beta + \gamma}]$
दोनों पक्षों में $M$,$L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $\alpha = 1$
$L$ के लिए: $-\alpha + \beta = 1 \Rightarrow -1 + \beta = 1 \Rightarrow \beta = 2$
$T$ के लिए: $-2\alpha - \beta + \gamma = -2 \Rightarrow -2(1) - 2 + \gamma = -2 \Rightarrow -4 + \gamma = -2 \Rightarrow \gamma = 2$
अतः,बल का विमीय सूत्र $P^1 V^2 T^2$ अर्थात $P V^2 T^2$ है।

(B) माना द्रव्यमान की विमा $[M] = [E]^x [v]^y [F]^z$ है।
प्रत्येक राशि की विमाएँ प्रतिस्थापित करने पर:
$[M] = [M L^2 T^{-2}]^x [L T^{-1}]^y [M L T^{-2}]^z$
$[M] = M^{x+z} L^{2x+y+z} T^{-2x-y-2z}$
दोनों पक्षों में $M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $x + z = 1$
$L$ के लिए: $2x + y + z = 0$
$T$ के लिए: $-2x - y - 2z = 0$
तीसरे समीकरण से: $y = -2x - 2z = -2(x + z)$।
चूंकि $x + z = 1$,इसलिए $y = -2(1) = -2$ प्राप्त होता है।
अब,$y = -2$ को दूसरे समीकरण में रखने पर: $2x - 2 + z = 0 \implies 2x + z = 2$।
हमें समीकरण प्राप्त होते हैं:
$x + z = 1$
$2x + z = 2$
दूसरे में से पहला समीकरण घटाने पर: $x = 1$।
तब $z = 1 - x = 1 - 1 = 0$।
अतः,$[M] = [E]^1 [v]^{-2} [F]^0 = [E v^{-2}]$।

(D) दिया गया समीकरण: $x = Ay + B \tan(Cz)$.
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,समीकरण के प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
$1$. $B \tan(Cz)$ पद के लिए,त्रिकोणमितीय फलन का कोण $(Cz)$ विमाहीन होना चाहिए। अतः,$[Cz] = [M^0 L^0 T^0]$,जिसका अर्थ है $[C] = [z^{-1}]$। इस प्रकार,$C$ और $z^{-1}$ की विमाएँ समान हैं।
$2$. $x$ की विमाएँ $Ay$ और $B$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए। अतः,$[x] = [Ay] = [B]$। इसका अर्थ है कि $x$ और $B$ की विमाएँ समान हैं।
$3$. $[x] = [Ay]$ से,हमें $[y] = [x/A]$ प्राप्त होता है। साथ ही,$[x] = [B]$ से,$[A] = [B/x]$ प्राप्त होता है। इन्हें संयोजित करने पर,$[y] = [x/A] = [B/A]$। अतः,$y$ और $B/A$ की विमाएँ समान हैं।
$4$. $x$ और $A$ की तुलना करने पर: चूँकि $[x] = [Ay]$,$A$ की विमा $[x/y]$ है। अतः,$x$ और $A$ की विमाएँ समान नहीं हैं।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) माना द्रव्यमान $M$ को $M \propto c^x G^y h^z$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[M] = M^1 L^0 T^0$
$[c] = L T^{-1}$
$[G] = M^{-1} L^3 T^{-2}$
$[h] = M L^2 T^{-1}$
अतः,$M^1 L^0 T^0 = (L T^{-1})^x (M^{-1} L^3 T^{-2})^y (M L^2 T^{-1})^z$
$M^1 L^0 T^0 = M^{-y+z} L^{x+3y+2z} T^{-x-2y-z}$
दोनों पक्षों पर $M, L, T$ की घातों की तुलना करने पर:
$1$) $-y + z = 1$
$2$) $x + 3y + 2z = 0$
$3$) $-x - 2y - z = 0$
$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर: $y + z = 0 \implies y = -z$.
$(1)$ में $y = -z$ रखने पर: $-(-z) + z = 1 \implies 2z = 1 \implies z = 1/2$.
अतः $y = -1/2$.
$(3)$ में $y$ और $z$ का मान रखने पर: $-x - 2(-1/2) - (1/2) = 0 \implies -x + 1 - 1/2 = 0 \implies x = 1/2$.
इसलिए,द्रव्यमान की विमा $c^{1/2} G^{-1/2} h^{1/2}$ है।

(A) माना आवृत्ति $n = k{\rho ^x}{a^y}{T^z}$ है।
विमीय सूत्र हैं: $[n] = [T^{-1}]$,$[\rho] = [ML^{-3}]$,$[a] = [L]$,और $[T] = [MT^{-2}]$.
समीकरण में रखने पर: $[M^0L^0T^{-1}] = [ML^{-3}]^x [L]^y [MT^{-2}]^z$.
$[M^0L^0T^{-1}] = [M^{x+z} L^{-3x+y} T^{-2z}]$.
दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $x + z = 0 \implies x = -z$.
$T$ के लिए: $-2z = -1 \implies z = 1/2$. अतः,$x = -1/2$.
$L$ के लिए: $-3x + y = 0 \implies y = 3x = 3(-1/2) = -3/2$.
इस प्रकार,$n = k \rho^{-1/2} a^{-3/2} T^{1/2} = k \frac{\sqrt{T}}{\sqrt{\rho} a^{3/2}}$।

(A) माना कि द्रव्यमान $M$ को $M = k F^a L^b T^c$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है।
प्रत्येक राशि की विमाएँ प्रतिस्थापित करने पर:
$[M] = [M^1 L^0 T^0]$
$[F] = [M^1 L^1 T^{-2}]$
$[L] = [L]$
$[T] = [T]$
अतः,$[M^1 L^0 T^0] = [M^1 L^1 T^{-2}]^a [L]^b [T]^c$
$[M^1 L^0 T^0] = [M^a L^{a+b} T^{-2a+c}]$
दोनों पक्षों में $M, L,$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a = 1$
$L$ के लिए: $a + b = 0 \implies 1 + b = 0 \implies b = -1$
$T$ के लिए: $-2a + c = 0 \implies -2(1) + c = 0 \implies c = 2$
इन मानों को वापस रखने पर,हमें द्रव्यमान का विमीय सूत्र $M = F^1 L^{-1} T^2$ या $F L^{-1} T^2$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए तरंग समीकरण $y = a \cos (\omega t - kx)$ में,त्रिकोणमितीय फलन का तर्क (argument) विमाहीन होना चाहिए।
इसलिए,$kx$ की विमाएँ एक विमाहीन राशि (अर्थात $[M^0 L^0 T^0]$) की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[kx] = [M^0 L^0 T^0]$
$[k] [x] = [M^0 L^0 T^0]$
चूंकि $[x]$ लंबाई को दर्शाता है,इसकी विमा $[L]$ है।
$[k] [L] = [M^0 L^0 T^0]$
$[k] = \frac{[M^0 L^0 T^0]}{[L]} = [M^0 L^{-1} T^0]$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x = K{a^m}{t^n}$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,समीकरण के दोनों पक्षों की विमाएँ समान होनी चाहिए।
स्थिति $x$ की विमा $[L]$ है।
त्वरण $a$ की विमा $[LT^{-2}]$ है।
समय $t$ की विमा $[T]$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $[L] = [LT^{-2}]^m [T]^n$.
$[L^1 T^0] = [L^m T^{-2m+n}]$.
दोनों पक्षों में $L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$L$ के लिए: $m = 1$.
$T$ के लिए: $-2m + n = 0$.
दूसरे समीकरण में $m = 1$ रखने पर: $-2(1) + n = 0$,जिससे $n = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$m = 1$ और $n = 2$ है।

(B) माना ऊर्जा $(E)$ का विमीय सूत्र $E = k F^a A^b T^c$ है,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है।
राशियों के विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$[E] = [M L^2 T^{-2}]$
$[F] = [M L T^{-2}]$
$[A] = [L T^{-2}]$
$[T] = [T]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M L^2 T^{-2}] = [M L T^{-2}]^a [L T^{-2}]^b [T]^c$
$[M L^2 T^{-2}] = [M^a L^{a+b} T^{-2a-2b+c}]$
दोनों पक्षों में $M$,$L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a = 1$
$L$ के लिए: $a + b = 2 \implies 1 + b = 2 \implies b = 1$
$T$ के लिए: $-2a - 2b + c = -2 \implies -2(1) - 2(1) + c = -2 \implies -4 + c = -2 \implies c = 2$
अतः,ऊर्जा का विमीय सूत्र $F^1 A^1 T^2$ अर्थात $F A T^2$ है।

(D) इकाई प्रणालियों के बीच रूपांतरण का सूत्र $N_1 U_1 = N_2 U_2$ है,जहाँ $N$ संख्यात्मक मान है और $U$ इकाई है।
घनत्व के लिए,विमीय सूत्र $[M L^{-3}]$ है।
दिया गया है: $N_1 = 0.625$,$M_1 = 1 \ g$,$L_1 = 1 \ cm$.
$SI$ प्रणाली में: $M_2 = 1 \ kg = 10^3 \ g$,$L_2 = 1 \ m = 10^2 \ cm$.
संबंध $N_2 = N_1 \left[ \frac{M_1}{M_2} \right] \left[ \frac{L_1}{L_2} \right]^{-3}$ का उपयोग करते हुए:
$N_2 = 0.625 \times \left[ \frac{1 \ g}{10^3 \ g} \right] \times \left[ \frac{1 \ cm}{10^2 \ cm} \right]^{-3}$
$N_2 = 0.625 \times 10^{-3} \times (10^{-2})^{-3}$
$N_2 = 0.625 \times 10^{-3} \times 10^6$
$N_2 = 0.625 \times 10^3 = 625 \ kg/m^3$.
अतः,$SI$ प्रणाली में इसका परिमाण $625$ है।

(D) त्वरण का विमीय सूत्र $[M^0 L^1 T^{-2}]$ है।
रूपांतरण सूत्र $n_2 = n_1 [L_1/L_2]^1 [T_1/T_2]^{-2}$ का उपयोग करने पर।
यहाँ $n_1 = 10$,$L_1 = 1\,m$,$T_1 = 1\,s$,$L_2 = 1\,km = 10^3\,m$,और $T_2 = 1\,hr = 3600\,s$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$n_2 = 10 \times [1\,m / 10^3\,m]^1 \times [1\,s / 3600\,s]^{-2}$
$n_2 = 10 \times [10^{-3}] \times [1/3600]^{-2}$
$n_2 = 10 \times 10^{-3} \times (3600)^2$
$n_2 = 10^{-2} \times 12960000$
$n_2 = 129600$.

(D) दिया गया सूत्र $n = -D \frac{n_2 - n_1}{x_2 - x_1}$ है।
यहाँ,$n$ इकाई समय में इकाई क्षेत्रफल को पार करने वाले कणों की संख्या को दर्शाता है,इसलिए इसकी विमाएँ $[n] = [L^{-2} T^{-1}]$ हैं।
$n_1$ और $n_2$ प्रति इकाई आयतन कणों की संख्या हैं,इसलिए इनकी विमाएँ $[n_1] = [n_2] = [L^{-3}]$ हैं।
$x_1$ और $x_2$ स्थितियाँ हैं,इसलिए $[x_2 - x_1] = [L]$ है।
$D$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $D = n \frac{x_2 - x_1}{n_2 - n_1}$ प्राप्त होता है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[D] = \frac{[L^{-2} T^{-1}] \times [L]}{[L^{-3}]}$.
$[D] = \frac{[L^{-1} T^{-1}]}{[L^{-3}]} = [L^{-1+3} T^{-1}] = [L^2 T^{-1}]$.
अतः,$D$ की विमाएँ $[M^0 L^2 T^{-1}]$ हैं।

(C) समीकरण $S_t = u + \frac{1}{2}a(2t - 1)$ $t^{th}$ सेकंड में किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरी को दर्शाता है।
$1$. संख्यात्मक रूप से: यह समीकरण गति के समीकरणों $(S_t = S_t - S_{t-1})$ से व्युत्पन्न एक मानक गतिकी सूत्र है,जहाँ $S_t = ut + \frac{1}{2}at^2$ है। अतः,यह संख्यात्मक रूप से सही है।
$2$. विमीय रूप से:
- $S_t$ ($t^{th}$ सेकंड में दूरी) की विमा $[L T^{-1}]$ है।
- $u$ (प्रारंभिक वेग) की विमा $[L T^{-1}]$ है।
- $\frac{1}{2}a(2t - 1)$ की विमा $[L T^{-2}] \times [T] = [L T^{-1}]$ है।
चूंकि दिए गए समीकरण के प्रत्येक पद की विमा समान $([L T^{-1}])$ है,इसलिए यह समीकरण विमीय रूप से भी सही है।
अतः,यह समीकरण संख्यात्मक और विमीय दोनों रूप से सही है।

(D) माना लंबाई का आयाम $L = G^x c^y h^z$ है।
आयाम इस प्रकार हैं:
$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
$c = [L T^{-1}]$
$h = [M L^2 T^{-1}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^0 L^1 T^0] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]^x [L T^{-1}]^y [M L^2 T^{-1}]^z$
$[M^0 L^1 T^0] = M^{-x+z} L^{3x+y+2z} T^{-2x-y-z}$
दोनों पक्षों के घातों की तुलना करने पर:
$1$) $-x + z = 0 \implies x = z$
$2$) $3x + y + 2z = 1$
$3$) $-2x - y - z = 0 \implies y = -2x - z$
$x=z$ को $(3)$ में रखने पर: $y = -2x - x = -3x$.
$x=z$ और $y=-3x$ को $(2)$ में रखने पर:
$3x + (-3x) + 2x = 1$
$2x = 1 \implies x = 1/2$.
चूँकि $x=z$,इसलिए $z = 1/2$.
चूँकि $y = -3x$,इसलिए $y = -3/2$.
अतः,$x = 1/2, y = -3/2, z = 1/2$. विकल्प $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(A) माना घूर्णन त्रिज्या $[k] = [L]$ को $[k] = {h^x}{c^y}{G^z}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
नियतांकों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[h] = [M{L^2}{T^{ - 1}}]$
$[c] = [L{T^{ - 1}}]$
$[G] = [{M^{ - 1}}{L^3}{T^{ - 2}}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[L] = {[M{L^2}{T^{ - 1}}]^x} {[L{T^{ - 1}}]^y} [{M^{ - 1}}{L^3}{T^{ - 2}}]^z$
$[L] = {M^{x - z}} {L^{2x + y + 3z}} {T^{ - x - y - 2z}}$
दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $x - z = 0 \implies x = z$
$T$ के लिए: $-x - y - 2z = 0 \implies -x - y - 2x = 0 \implies y = -3x$
$L$ के लिए: $2x + y + 3z = 1$
$y = -3x$ और $z = x$ को $L$ के समीकरण में रखने पर:
$2x - 3x + 3x = 1$
$2x = 1 \implies x = 1/2$
अतः,$x = 1/2$,$z = 1/2$,और $y = -3(1/2) = -3/2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,घूर्णन त्रिज्या की विमा ${h^{1/2}}{c^{ - 3/2}}{G^{1/2}}$ है।

(A) दिए गए समीकरण में,घातांक $-\frac{\alpha Z}{k\theta}$ विमाहीन होना चाहिए।
इसलिए,$\frac{\alpha Z}{k\theta}$ की विमाएँ $[M^0 L^0 T^0]$ हैं।
चूंकि $[k\theta]$ ऊर्जा को दर्शाता है,इसकी विमा $[M L^2 T^{-2}]$ है।
अतः,$[\alpha] = \frac{[k\theta]}{[Z]} = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L]} = [M L T^{-2}]$.
दिया गया है $P = \frac{\alpha}{\beta}$,इसलिए $[\beta] = \frac{[\alpha]}{[P]}$.
दाब $P$ की विमा $[M L^{-1} T^{-2}]$ है।
इसलिए,$[\beta] = \frac{[M L T^{-2}]}{[M L^{-1} T^{-2}]} = [M^0 L^2 T^0]$.

(C) दिया गया सूत्र $\nu = \frac{p}{2l} \left[ \frac{F}{m} \right]^{1/2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें मिलता है $\nu^2 = \frac{p^2}{4l^2} \left[ \frac{F}{m} \right]$.
$m$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$m = \frac{p^2 F}{4l^2 \nu^2}$.
चूंकि $p$ एक विमाहीन संख्या है,इसलिए $m$ का विमीय सूत्र $[m] = \frac{[F]}{[l^2][\nu^2]}$ होगा।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[F] = [M L T^{-2}]$,$[l] = [L]$,और $[\nu] = [T^{-1}]$.
$[m] = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2][T^{-1}]^2} = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2][T^{-2}]} = [M L^{1-2} T^{-2+2}] = [M L^{-1} T^0]$.

(B) ग्रह के कक्षीय वेग का सूत्र $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ होता है।
इसे $v = (GM/R)^{1/2}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $v = G^{1/2} M^{1/2} R^{-1/2}$ प्राप्त होता है।
दिए गए व्यंजक $v = G^a M^b R^c$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $a = 1/2$,$b = 1/2$,और $c = -1/2$ है।

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली भौतिक राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
पद $\left( P + \frac{a}{V^2} \right)$ में,$P$ की विमाएँ $\frac{a}{V^2}$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
इसलिए,$[P] = \left[ \frac{a}{V^2} \right]$।
इसका अर्थ है कि $[a] = [P] \times [V^2]$।
हम जानते हैं कि दाब $P$,प्रति इकाई क्षेत्रफल बल है,इसलिए $[P] = [MLT^{-2}] / [L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$।
आयतन $V$ की विमाएँ $[L^3]$ हैं,इसलिए $[V^2] = [L^3]^2 = [L^6]$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $[a] = [ML^{-1}T^{-2}] \times [L^6] = [ML^5T^{-2}]$ प्राप्त होता है।
अतः,$a$ की विमाएँ $[M^1 L^5 T^{-2}]$ हैं।

(C) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]$ होता है।
दिए गए समीकरण $\vec{E} = \frac{K}{x^3}$ से,$K$ के लिए हल करने पर:
$K = E \cdot x^3$
यहाँ,$x$ स्थिति को दर्शाता है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[L]$ है।
समीकरण में विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[K] = [M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}] \cdot [L]^3$
$[K] = [M^1 L^1 \cdot L^3 T^{-3} A^{-1}]$
$[K] = [M^1 L^4 T^{-3} A^{-1}]$

(D) दिया गया है कि $x$ का विमीय सूत्र $x = M^{-1} L^{3} T^{-2}$ है।
त्रुटियों के प्रसार के नियम के अनुसार $x$ में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि का सूत्र है:
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = |(-1)| \frac{\Delta M}{M} \times 100 + |3| \frac{\Delta L}{L} \times 100 + |(-2)| \frac{\Delta T}{T} \times 100$.
$M, L$ और $T$ के लिए दी गई प्रतिशत त्रुटियों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 1(2\%) + 3(3\%) + 2(4\%)$.
मानों की गणना करने पर:
$= 2\% + 9\% + 8\% = 19\%$.
अतः,$x$ में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि $19\%$ है।

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,भौतिक राशियों को केवल तभी जोड़ा या घटाया जा सकता है जब उनकी विमाएँ समान हों।
हालाँकि,भौतिक राशियों का गुणा या भाग किया जा सकता है,चाहे उनकी विमाएँ समान हों या भिन्न।
चूँकि $A$ और $B$ की विमाएँ भिन्न हैं,इसलिए $A+B$ और $A-B$ संक्रियाएँ भौतिक रूप से सार्थक नहीं हैं।
संक्रिया $A/B$ भौतिक रूप से सार्थक है क्योंकि यह $[A]/[B]$ विमा वाली एक नई भौतिक राशि प्रदान करती है।

(D) विमीय विश्लेषण भौतिक समीकरणों की संगति की जांच करने या उनकी विमाओं के आधार पर भौतिक राशियों के बीच संबंधों को व्युत्पन्न करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक विधि है।
हालाँकि,इसकी महत्वपूर्ण सीमाएँ हैं:
$1$. यह विमाहीन स्थिरांकों (जैसे $1/2$,$\pi$,या संख्यात्मक गुणांक) को निर्धारित नहीं कर सकता है।
$2$. यह घातांकीय (exponential),त्रिकोणमितीय (trigonometric) या लघुगणकीय (logarithmic) कार्यों से जुड़े सूत्रों को व्युत्पन्न नहीं कर सकता है क्योंकि इन कार्यों के तर्क (arguments) विमाहीन होने चाहिए।
दिए गए विकल्पों में:
- $A$ में एक घातांकीय कार्य शामिल है।
- $B$ में एक त्रिकोणमितीय कार्य शामिल है।
- $C$ में विमाहीन स्थिरांक $(1/2)$ शामिल हैं।
इसलिए,इनमें से किसी भी संबंध को विमीय विश्लेषण का उपयोग करके व्युत्पन्न नहीं किया जा सकता है।

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,समीकरण के दोनों पक्षों के प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
$at$ पद के लिए:
$[at] = [F] = [MLT^{-2}]$
$[a] = [MLT^{-2}] / [T] = [MLT^{-3}]$
$bt^2$ पद के लिए:
$[bt^2] = [F] = [MLT^{-2}]$
$[b] = [MLT^{-2}] / [T^2] = [MLT^{-4}]$
अतः,$a$ और $b$ की विमाएँ क्रमशः $[MLT^{-3}]$ और $[MLT^{-4}]$ हैं।

(B) दिया गया सूत्र $x = M^a L^b T^c$ है।
विमीय विश्लेषण के अनुसार,यदि कोई राशि $M, L$ और $T$ पर निर्भर करती है,तो उसे $M$ और $L$ के पदों में केवल तभी व्यक्त किया जा सकता है जब $T$ का घातांक शून्य हो (अर्थात $c = 0$)।
यदि $c \neq 0$ है,तो राशि $x$ अनिवार्य रूप से समय $T$ के आयाम पर निर्भर करती है।
इसलिए,यदि $c \neq 0$ है,तो $x$ के आयाम को केवल $M$ और $L$ के पदों में व्यक्त नहीं किया जा सकता है क्योंकि $T$ के योगदान को अनदेखा नहीं किया जा सकता है या $M$ और $L$ द्वारा प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता है,जब तक कि उनके बीच कोई विशिष्ट भौतिक संबंध न हो।

(A) बल का विमीय सूत्र $F = [M L T^{-2}]$ होता है।
माना नई इकाइयाँ $M' = 10 \; g = 10^{-2} \; kg$,$L' = 10 \; cm = 0.1 \; m$,और $T' = 0.1 \; s$ हैं।
बल की नई इकाई $F'$ इस प्रकार दी जाती है: $F' = M' L' (T')^{-2}$।
मान रखने पर: $F' = (10^{-2} \; kg) \times (0.1 \; m) \times (0.1 \; s)^{-2}$।
$F' = 10^{-2} \times 10^{-1} \times (10^{-1})^{-2} \; kg \cdot m/s^2$।
$F' = 10^{-3} \times 10^2 \; N$।
$F' = 10^{-1} \; N = 0.1 \; N$।

(A) समीकरण $y = a \sin(bt - cx)$ में,साइन फलन का तर्क $(bt - cx)$ विमाहीन होना चाहिए।
इसलिए,$bt$ की विमाएँ $cx$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[bt] = [cx]$
$[b][T] = [c][L]$
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें अनुपात $b/c = [L]/[T]$ प्राप्त होता है।
चूँकि $[L]/[T]$ वेग की विमाओं को दर्शाता है,इसलिए $b/c$ की विमाएँ तरंग वेग की विमाओं के समान हैं।