Dimensional Analysis, Uses and Limitations Questions in Gujarati

(A) આપેલ સૂત્ર $x = \frac{a^{1/2} b^2}{c^3}$ છે.
$x$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$\frac{\Delta x}{x} = \frac{1}{2} \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta b}{b} + 3 \frac{\Delta c}{c}$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ મૂકતા:
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = \frac{1}{2} (\pm 1\%) + 2 (\pm 3\%) + 3 (\pm 2\%)$.
મહત્તમ શક્ય પ્રતિશત ત્રુટિની ગણતરી કરતા:
$= \pm 0.5\% \pm 6\% \pm 6\% = \pm 12.5\%$.

(B) પ્રમાણિત સંકલનનું સૂત્ર $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1} \frac{x}{a}$ છે.
પરિમાણની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,જે પદોનો સરવાળો કે બાદબાકી થતી હોય તેમના પરિમાણ સમાન હોવા જોઈએ.
છેદમાં,$a^2$ અને $x^n$ પદોની બાદબાકી થાય છે,તેથી તેમના પરિમાણ સમાન હોવા જોઈએ.
અહીં $x$ અને $a$ બંને અંતર દર્શાવે છે,તેથી તેમનું પરિમાણ $[L]$ છે.
તેથી,$[a^2] = [L^2]$ અને $[x^n] = [L^n]$.
પરિમાણોને સરખાવતા: $[L^2] = [L^n]$.
આથી $n = 2$ મળે છે.

(B) આપેલ ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[v] = [L T^{-1}]$
$[r] = [L]$
$[g] = [L T^{-2}]$
હવે,દરેક વિકલ્પના પરિમાણો તપાસીએ:
વિકલ્પ $A$: $[v^2 r / g] = \frac{[L^2 T^{-2}] [L]}{[L T^{-2}]} = [L^2]$
વિકલ્પ $B$: $[v^2 / (rg)] = \frac{[L^2 T^{-2}]}{[L] [L T^{-2}]} = \frac{[L^2 T^{-2}]}{[L^2 T^{-2}]} = [M^0 L^0 T^0] = 1$ (પરિમાણરહિત)
વિકલ્પ $C$: $[v^2 / (g/r)] = [v^2 r / g] = [L^2]$
વિકલ્પ $D$: $[v^2 r g] = [L^2 T^{-2}] [L] [L T^{-2}] = [L^4 T^{-4}]$
તેથી,પદ $\frac{v^2}{rg}$ પરિમાણરહિત છે.

(B) પ્લાન્ક લંબાઈ $l_p$ નક્કી કરવા માટે,આપણે $G$ (ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક),$h$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) અને $c$ (પ્રકાશની ગતિ) ના પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[G] = M^{-1}L^3T^{-2}$
$[h] = ML^2T^{-1}$
$[c] = LT^{-1}$
ધારો કે $l_p \propto G^a h^b c^d$.
પરિમાણો મૂકતા: $L^1 = (M^{-1}L^3T^{-2})^a (ML^2T^{-1})^b (LT^{-1})^d$.
$M, L, T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$M: -a + b = 0 \implies a = b$
$T: -2a - b - d = 0 \implies -3a = d$
$L: 3a + 2b + d = 1 \implies 3a + 2a - 3a = 1 \implies 2a = 1 \implies a = 1/2$.
આમ,$a = 1/2, b = 1/2, d = -3/2$.
તેથી,$l_p = \sqrt{\frac{Gh}{c^3}}$.

(D) $AD = C \ln(BD)$ સમીકરણમાં,લઘુગણકીય વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ. તેથી,$BD$ નું પરિમાણ $1$ (પરિમાણરહિત) હોવું જોઈએ,એટલે કે $[BD] = [M^0 L^0 T^0]$.
આનો અર્થ એ છે કે $[B] = [D]^{-1}$.
આને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $[AD] = [C] \times [1]$ મળે છે,તેથી $[A][D] = [C]$.
સરવાળા કે બાદબાકીમાં ભૌતિક રાશિ અર્થપૂર્ણ બને તે માટે,પદોના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
વિકલ્પ $D$ તપાસતા: $\frac{A - C}{D}$. અહીં,$A$ અને $C$ ની બાદબાકી કરવામાં આવી રહી છે. કારણ કે $[A] = [C][D]^{-1}$ અને $[C] = [A][D]$,તેથી $A$ અને $C$ ના પરિમાણો અલગ છે. આમ,$A - C$ એ અર્થપૂર્ણ પ્રક્રિયા નથી.

(D) કેપેસીટન્સ $C$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1} L^{-2} T^4 I^2]$ છે.
આપેલા અચળાંકોના પરિમાણો તપાસીએ:
વિદ્યુતભાર $e = [I T]$
બોહર ત્રિજ્યા $a_0 = [L]$
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = [M L^2 T^{-1}]$
પ્રકાશની ગતિ $c = [L T^{-1}]$
હવે,વિકલ્પ $D$ $(u = \frac{e^2 a_0}{hc})$ ના પરિમાણો તપાસીએ:
$\frac{e^2 a_0}{hc}$ ના પરિમાણો $= \frac{[I^2 T^2] [L]}{[M L^2 T^{-1}] [L T^{-1}]} = \frac{[I^2 T^2 L]}{[M L^3 T^{-2}]} = [M^{-1} L^{-2} T^4 I^2]$.
કેપેસીટન્સના પરિમાણો અને $u = \frac{e^2 a_0}{hc}$ ના પરિમાણો સમાન હોવાથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $\mu_0$ એ $e, m, c$ અને $h$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\mu_0 = k e^a m^b c^c h^d$.
$\mu_0$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L T^{-2} A^{-2}]$ છે.
આપેલ રાશિઓના પારિમાણિક સૂત્રો છે: $e = [A T]$,$m = [M]$,$c = [L T^{-1}]$,અને $h = [M L^2 T^{-1}]$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$[M L T^{-2} A^{-2}] = [A T]^a [M]^b [L T^{-1}]^c [M L^2 T^{-1}]^d$
$[M L T^{-2} A^{-2}] = [M^{b+d} L^{c+2d} T^{a-c-d} A^a]$
બંને બાજુ $M, L, T$ અને $A$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$A: a = -2$
$M: b + d = 1$
$L: c + 2d = 1$
$T: a - c - d = -2$
$T$ ના સમીકરણમાં $a = -2$ મૂકતા: $-2 - c - d = -2 \implies c + d = 0 \implies c = -d$.
$L$ ના સમીકરણમાં $c = -d$ મૂકતા: $-d + 2d = 1 \implies d = 1$.
$d = 1$ હોવાથી,$c = -1$.
$b + d = 1$ હોવાથી,$b + 1 = 1 \implies b = 0$.
આમ,$\mu_0 \propto e^{-2} m^0 c^{-1} h^1 = \frac{h}{c e^2}$.

(D) ધારો કે $\frac{Q}{A} = \eta^a \left( \frac{S\Delta \theta}{h} \right)^b \left( \frac{1}{\rho g} \right)^c$.
$\frac{Q}{A}$ (હીટ ફ્લક્સ) ના પરિમાણો $[M T^{-3}]$ છે.
$\eta$ ના પરિમાણો $[M L^{-1} T^{-1}]$ છે.
$\frac{S\Delta \theta}{h}$ ના પરિમાણો $[L^2 T^{-2} K^{-1} \cdot K \cdot L^{-1}] = [L T^{-2}]$ છે.
$\frac{1}{\rho g}$ ના પરિમાણો $[(M L^{-3})^{-1} (L T^{-2})^{-1}] = [M^{-1} L^3 \cdot L^{-1} T^2] = [M^{-1} L^2 T^2]$ છે.
પરિમાણોને સરખાવતા: $[M T^{-3}] = [M L^{-1} T^{-1}]^a [L T^{-2}]^b [M^{-1} L^2 T^2]^c$.
$[M T^{-3}] = [M^{a-c} L^{-a+b+2c} T^{-a-2b+2c}]$.
ઘાતને સરખાવતા:
$a - c = 1$
$-a + b + 2c = 0$
$-a - 2b + 2c = -3$
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$a = 1 + c$.
ત્રીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $-(1+c) - 2b + 2c = -3 \Rightarrow -1 + c - 2b = -3 \Rightarrow c - 2b = -2$.
બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $-(1+c) + b + 2c = 0 \Rightarrow c + b = 1$.
$c - 2b = -2$ અને $2(c + b) = 2$ નો સરવાળો કરતા $3c = 0$ મળે,તેથી $c = 0$.
તેથી $b = 1$ અને $a = 1$.
આમ,$\frac{Q}{A} = \eta \frac{S\Delta \theta}{h}$.

(B) જો કોઈ ભૌતિક રાશિ પરિમાણરહિત હોય,તો તે એકમોની વિવિધ પદ્ધતિઓમાં સમાન મૂલ્ય ધરાવે છે. આપણે આપેલ પદ $\frac{e^2}{2\pi \varepsilon _0 G m_e^2}$ ના પરિમાણો ચકાસીએ.
અચળાંકોના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$e = [M^0 L^0 T^1 A^1]$
$\varepsilon _0 = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$
$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
$m_e = [M^1 L^0 T^0]$
આ કિંમતોને પદમાં મૂકતા:
$\frac{[T^2 A^2]}{[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2] [M^{-1} L^3 T^{-2}] [M^2]} = \frac{[T^2 A^2]}{[M^{-1-1+2} L^{-3+3} T^{4-2} A^2]} = \frac{[T^2 A^2]}{[M^0 L^0 T^2 A^2]} = 1$
આ પદ પરિમાણરહિત હોવાથી,તેનું મૂલ્ય એકમોની તમામ પદ્ધતિઓમાં સમાન રહે છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જાને તેના સ્થિર દળ ઊર્જા સાથે સરખાવીને શાસ્ત્રીય ઇલેક્ટ્રોન ત્રિજ્યા $r_e$ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$mc^2 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r_e}$
$r_e$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$r_e = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 mc^2}$
અચળાંકોના મૂલ્યો ($e \approx 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$,$m \approx 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,$c \approx 3 \times 10^8 \ m/s$) મૂકતા,આપણને $r_e \approx 2.8 \times 10^{-15} \ m$ મળે છે,જે પરમાણુના કદના ક્રમની છે.

(C) ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે: આવર્તકાળ $t = [T]$,ઘનતા $d = [ML^{-3}]$,ત્રિજ્યા $r = [L]$,પૃષ્ઠતાણ $s = [MT^{-2}]$.
આપેલ સૂત્ર: $t = r^b s^{c/2} d^{a/4}$.
પરિમાણો મૂકતા: $[T] = [L]^b [MT^{-2}]^{c/2} [ML^{-3}]^{a/4}$.
$M$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા: $0 = c/2 + a/4 \implies a = -2c$.
$T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા: $1 = -c \implies c = -1$.
$c = -1$ ને $a = -2c$ માં મૂકતા,આપણને $a = 2$ મળે છે.
$L$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા: $0 = b - 3(a/4) = b - 3(2/4) = b - 3/2$.
તેથી,$b = 3/2$.

(A) પૃષ્ઠતાણની વ્યાખ્યા એકમ લંબાઈ દીઠ બળ તરીકે કરવામાં આવે છે: $S = \frac{F}{\ell}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉર્જા $K = F \cdot \ell$,તેથી $F = \frac{K}{\ell}$.
આ કિંમતને પૃષ્ઠતાણના સૂત્રમાં મૂકતા: $S = \frac{K}{\ell^2}$.
વેગ $V = \frac{\ell}{T}$ હોવાથી,આપણને મળે છે $\ell = V \cdot T$.
$S$ ના સમીકરણમાં $\ell$ ની કિંમત મૂકતા: $S = \frac{K}{(V \cdot T)^2} = \frac{K}{V^2 T^2}$.
તેથી,$K, V, T$ ના સંદર્ભમાં પૃષ્ઠતાણનું પારિમાણિક સૂત્ર $[K V^{-2} T^{-2}]$ છે.

(A) બે એકમ પદ્ધતિઓ વચ્ચે રૂપાંતર માટેનું સૂત્ર $n_2 = n_1 \left( \frac{M_1}{M_2} \right)^a \left( \frac{L_1}{L_2} \right)^b \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^c$ છે.
અહીં,ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^{-3} T^0]$ છે,તેથી $a=1, b=-3, c=0$.
આપેલ છે: $n_1 = 128$,$M_1 = 1 \ kg = 1000 \ g$,$L_1 = 1 \ m = 100 \ cm$.
નવા એકમો: $M_2 = 50 \ g$,$L_2 = 25 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા:
$n_2 = 128 \times \left( \frac{1000 \ g}{50 \ g} \right)^1 \times \left( \frac{100 \ cm}{25 \ cm} \right)^{-3}$
$n_2 = 128 \times (20) \times (4)^{-3}$
$n_2 = 128 \times 20 \times \frac{1}{64}$
$n_2 = 2 \times 20 = 40$.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ સ્ટ્રેસ અને સ્ટ્રેઈનનો ગુણોત્તર છે. સ્ટ્રેઈન પરિમાણરહિત હોવાથી,$Y$ નું પરિમાણ સ્ટ્રેસ (બળ/ક્ષેત્રફળ) જેટલું જ હોય છે.
$[Y] = [F] / [L^2]$.
અહીં આપણને મૂળભૂત એકમો $V, A, F$ આપેલા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $F = M \cdot A$,તેથી $M = F \cdot A^{-1}$.
વળી,$V = L \cdot T^{-1}$ અને $A = L \cdot T^{-2}$.
$A$ ને $V$ વડે ભાગતા: $A/V = (L \cdot T^{-2}) / (L \cdot T^{-1}) = T^{-1}$,તેથી $T = V \cdot A^{-1}$.
હવે,$L = V \cdot T = V \cdot (V \cdot A^{-1}) = V^2 \cdot A^{-1}$.
તેથી,$L^2 = (V^2 \cdot A^{-1})^2 = V^4 \cdot A^{-2}$.
આ કિંમતોને $Y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$[Y] = [F] / [L^2] = F / (V^4 \cdot A^{-2}) = F \cdot V^{-4} \cdot A^2$.

(A) ધારો કે રેખીય વેગમાન $P$ ને $P = k S^a I^b h^c$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
પારિમાણિક સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$P = [MLT^{-1}]$
$S = [MT^{-2}]$
$I = [ML^2]$
$h = [ML^2T^{-1}]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[MLT^{-1}] = [MT^{-2}]^a [ML^2]^b [ML^2T^{-1}]^c$
$[MLT^{-1}] = M^{a+b+c} L^{2b+2c} T^{-2a-c}$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$a + b + c = 1$ $(1)$
$2b + 2c = 1$ $(2)$
$-2a - c = -1$ $(3)$
$(2)$ પરથી,$b + c = 1/2$. આને $(1)$ માં મૂકતા:
$a + 1/2 = 1 \implies a = 1/2$
$(3)$ પરથી,$c = 1 - 2a = 1 - 2(1/2) = 0$.
$c = 0$ ને $(2)$ માં મૂકતા,$2b = 1 \implies b = 1/2$.
આમ,રેખીય વેગમાનનું પારિમાણિક સૂત્ર $S^{1/2} I^{1/2} h^0$ થાય છે.

(B) આપેલ સૂત્ર $X = 5YZ^2$ પરથી,આપણે $Y$ ને $Y = \frac{X}{5Z^2}$ તરીકે લખી શકીએ.
કેપેસીટન્સ $X$ નું પરિમાણ $[M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $Z$ નું પરિમાણ $[M^1 L^0 T^{-2} A^{-1}]$ છે.
આ કિંમતોને $Y$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$Y = \frac{[M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]}{[M^1 L^0 T^{-2} A^{-1}]^2}$
$Y = \frac{[M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]}{[M^2 L^0 T^{-4} A^{-2}]}$
$Y = [M^{-1-2} L^{-2-0} T^{4-(-4)} A^{2-(-2)}]$
$Y = [M^{-3} L^{-2} T^8 A^4]$.

(B) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી થઈ શકે છે.
અહીં $B$ ને $x^2$ માં ઉમેરવામાં આવે છે,તેથી $B$ ના પરિમાણ $x^2$ ના પરિમાણ જેટલા જ હોવા જોઈએ.
$[B] = [x^2] = L^2$.
સ્થિતિ ઊર્જા $U$ ના પરિમાણ કાર્ય જેટલા હોય છે,જે $[U] = M L^2 T^{-2}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $U = \frac{A \sqrt{x}}{x^2 + B}$ છે.
છેદના પરિમાણ લેતા,$[x^2 + B] = L^2$.
તેથી,$[U] = \frac{[A] [x]^{1/2}}{L^2}$.
પરિમાણો મૂકતા: $M L^2 T^{-2} = \frac{[A] L^{1/2}}{L^2}$.
$[A] = (M L^2 T^{-2}) \times (L^{3/2}) = M L^{7/2} T^{-2}$.
હવે,$A/B$ ના પરિમાણની ગણતરી કરતા:
$[A/B] = \frac{M L^{7/2} T^{-2}}{L^2} = M L^{7/2 - 2} T^{-2} = M L^{3/2} T^{-2}$.

(B) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ભૌતિક રાશિઓનો સરવાળો કે બાદબાકી ત્યારે જ થઈ શકે જો તેમના પરિમાણો સમાન હોય.
$1$. વિકલ્પ $A$ માં,જો $B$ ના પરિમાણો $A^2$ ના પરિમાણો જેટલા હોય,તો $A$ અને $\frac{A^3}{B}$ ના પરિમાણો સમાન હોઈ શકે. તેથી,આ પદ એક ભૌતિક રાશિ દર્શાવી શકે છે.
$2$. વિકલ્પ $B$ માં,ઘાતાંકીય વિધેય (exponential function) નો ઘાતાંક પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ. કારણ કે $A$ અને $B$ ના પરિમાણો અલગ-અલગ છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{A}{B}$ પરિમાણરહિત નથી. તેથી,$\exp \left( -\frac{A}{B} \right)$ ભૌતિક રીતે અર્થહીન છે.
$3$. વિકલ્પ $C$ માં,$AB^2$ એ ભૌતિક રાશિઓનો ગુણાકાર છે,જે હંમેશા એક માન્ય ભૌતિક રાશિ છે.
$4$. વિકલ્પ $D$ માં,$\frac{A}{B^4}$ એ ભૌતિક રાશિઓનો ભાગાકાર છે,જે પણ એક માન્ય ભૌતિક રાશિ છે.
આમ,જે પદ ભૌતિક રાશિ દર્શાવી શકતું નથી તે $\exp \left( -\frac{A}{B} \right)$ છે.

(D) ધારો કે ઉર્જા $(E)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $E = k P^a A^b T^c$ છે,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
દરેક રાશિના પરિમાણો મૂકતા:
$[M L^2 T^{-2}] = [M L T^{-1}]^a [L^2]^b [T]^c$
$[M L^2 T^{-2}] = [M^a L^{a+2b} T^{-a+c}]$
બંને બાજુ $M$,$L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $a = 1$
$L$ માટે: $a + 2b = 2 \implies 1 + 2b = 2 \implies 2b = 1 \implies b = 1/2$
$T$ માટે: $-a + c = -2 \implies -1 + c = -2 \implies c = -1$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $E = [P^1 A^{1/2} T^{-1}]$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $v = \sqrt{ab} + bt + \frac{c}{d + t}$ છે.
$1$. પદ $bt$ માટે: $v$ એ વેગ $([LT^{-1}])$ છે અને $t$ એ સમય $([T])$ છે,તેથી $bt$ નું પરિમાણ $[LT^{-1}]$ હોવું જોઈએ. આમ,$[b][T] = [LT^{-1}] \Rightarrow [b] = [LT^{-2}]$,જે પ્રવેગ દર્શાવે છે.
$2$. પદ $\sqrt{ab}$ માટે: $\sqrt{ab}$ નું પરિમાણ વેગ $([LT^{-1}])$ હોવું જોઈએ. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$[ab] = [L^2T^{-2}]$. કારણ કે $[b] = [LT^{-2}]$,તેથી $[a][LT^{-2}] = [L^2T^{-2}] \Rightarrow [a] = [L]$,જે અંતર દર્શાવે છે.
$3$. પદ $d+t$ માટે: આપણે ફક્ત સમાન પરિમાણ ધરાવતી રાશિઓનો સરવાળો કરી શકીએ છીએ,તેથી $d$ નું પરિમાણ સમય $([T])$ હોવું જોઈએ.
$4$. પદ $\frac{c}{d+t}$ માટે: આ પદનું પરિમાણ વેગ $([LT^{-1}])$ હોવું જોઈએ. કારણ કે $[d+t] = [T]$,તેથી $\frac{[c]}{[T]} = [LT^{-1}] \Rightarrow [c] = [L]$,જે અંતર દર્શાવે છે.
તેથી,ક્રમ $a$ (અંતર),$b$ (પ્રવેગ),$c$ (અંતર),$d$ (સમય) છે.

(A) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,જે ભૌતિક રાશિઓનો સરવાળો કરવામાં આવે છે,તેમના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
અહીં $\beta$ માં $\sqrt{d}$ ઉમેરવામાં આવે છે,તેથી $\beta$ ના પરિમાણો $\sqrt{d}$ ના પરિમાણો જેટલા જ હોવા જોઈએ.
ઘનતા $d = [M L^{-3}]$,તેથી $\sqrt{d} = [M^{1/2} L^{-3/2}]$.
આમ,$[\beta] = [M^{1/2} L^{-3/2}]$.
છેદ $(\beta + \sqrt{d})$ ના પરિમાણો પણ $[\beta + \sqrt{d}] = [M^{1/2} L^{-3/2}]$ થશે.
આપેલ સમીકરણ $F = \frac{\alpha}{\beta + \sqrt{d}}$ છે.
$\alpha$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\alpha = F \times (\beta + \sqrt{d})$.
બળ $F = [M L T^{-2}]$.
પરિમાણો મૂકતા: $[\alpha] = [M L T^{-2}] \times [M^{1/2} L^{-3/2}]$.
$[\alpha] = [M^{1 + 1/2} L^{1 - 3/2} T^{-2}] = [M^{3/2} L^{-1/2} T^{-2}]$.

(A) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણમાં ઉમેરવામાં આવતા અથવા બાદ કરવામાં આવતા દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ $F = a \sin(ct) + b \cos(dx)$ માટે,$a \sin(ct)$ અને $b \cos(dx)$ પદોના પરિમાણો બળ $F$ ના પરિમાણો જેટલા જ હોવા જોઈએ.
ત્રિકોણમિતીય વિધેયો ($sin$ અને $cos$) ના ખૂણા પરિમાણરહિત હોવાથી,$a$ અને $b$ ના પરિમાણો બળ $F$ ના પરિમાણો જેટલા જ થશે.
બળ $F$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $= [M^1L^1T^{-2}]$.
તેથી,$[a] = [M^1L^1T^{-2}]$ અને $[b] = [M^1L^1T^{-2}]$.
હવે,$a/b$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[a]/[b] = [M^1L^1T^{-2}] / [M^1L^1T^{-2}] = [M^0L^0T^0]$ થાય.

(B) ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો ખૂણો પરિમાણરહિત હોય છે.
અહીં $qt$ એ $\tan$ નો ખૂણો હોવાથી,$[qt] = [M^{0}L^{0}T^{0}]$ થાય.
આપેલ છે કે $t$ સમય છે,તેથી $[t] = [T]$.
તેથી,$[q][T] = [1] \Rightarrow [q] = [T^{-1}]$.
સમીકરણ $y = pq \tan(qt)$ માં,$\tan(qt)$ પદ પરિમાણરહિત છે.
આમ,$y$ ના પરિમાણ એ $pq$ ના ગુણાકારના પરિમાણ જેટલા હોવા જોઈએ.
$[y] = [pq]$.
$y$ સ્થાન દર્શાવે છે,તેથી $[y] = [L]$.
$[p][T^{-1}] = [L]$.
$[p] = [L][T] = [L^{1}T^{1}]$.

(A) આવર્તકાળ $T$ એ $T \propto P^a d^b E^c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક ભૌતિક રાશિ માટે પારિમાણિક સૂત્રો લખતા:
$[T] = [M^0 L^0 T^1]$
$[P] = [M L^{-1} T^{-2}]$
$[d] = [M L^{-3} T^0]$
$[E] = [M L^2 T^{-2}]$
આ સૂત્રોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^0 L^0 T^1] = [M L^{-1} T^{-2}]^a [M L^{-3}]^b [M L^2 T^{-2}]^c$
$[M^0 L^0 T^1] = [M^{a+b+c} L^{-a-3b+2c} T^{-2a-2c}]$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$1) a + b + c = 0$
$2) -a - 3b + 2c = 0$
$3) -2a - 2c = 1$
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$a + c = -1/2$,તેથી $c = -1/2 - a$.
$c$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા: $a + b + (-1/2 - a) = 0 \implies b = 1/2$.
$b = 1/2$ અને $c = -1/2 - a$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$-a - 3(1/2) + 2(-1/2 - a) = 0$
$-a - 3/2 - 1 - 2a = 0$
$-3a = 5/2 \implies a = -5/6$.
અંતે,$c = -1/2 - (-5/6) = -3/6 + 5/6 = 2/6 = 1/3$.
આમ,$a = -5/6, b = 1/2, c = 1/3$.

(D) આપેલ સમીકરણ $F = A \cos(Bx) + C \sin(Dt)$ છે.
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,કોઈપણ ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો ખૂણો પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
તેથી,$Bx$ ના પરિમાણો $[M^0 L^0 T^0]$ હોવા જોઈએ.
$[B] \cdot [x] = [M^0 L^0 T^0]$
$[B] \cdot [L] = [M^0 L^0 T^0]$
$[B] = [L^{-1}]$
તે જ રીતે,$Dt$ ના પરિમાણો $[M^0 L^0 T^0]$ હોવા જોઈએ.
$[D] \cdot [t] = [M^0 L^0 T^0]$
$[D] \cdot [T] = [M^0 L^0 T^0]$
$[D] = [T^{-1}]$
હવે,$D/B$ નું પારિમાણિક સૂત્ર:
$[D/B] = \frac{[T^{-1}]}{[L^{-1}]} = [L^1 T^{-1}]$

(B) આપેલ સંબંધ: $P = \frac{a - t^2}{bx}$.
પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,જે રાશિઓનો સરવાળો કે બાદબાકી થાય છે,તેમના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ. તેથી,$a$ નું પરિમાણ $t^2$ ના પરિમાણ જેટલું જ હશે.
$[a] = [T^2]$.
હવે,સમગ્ર સમીકરણના પરિમાણો ધ્યાનમાં લો:
$[P] = \frac{[a - t^2]}{[b][x]} = \frac{[T^2]}{[b][L]}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે દબાણ $P$ નું પરિમાણ $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M L^{-1} T^{-2}] = \frac{[T^2]}{[b][L]}$.
$[b]$ માટે ઉકેલતા:
$[b] = \frac{[T^2]}{[M L^{-1} T^{-2}][L]} = \frac{[T^2]}{[M T^{-2}]} = [M^{-1} T^4]$.
હવે,$a/b$ ના પરિમાણો શોધો:
$[a/b] = \frac{[T^2]}{[M^{-1} T^4]} = [M^1 L^0 T^{-2}]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે સમય $T \propto c^{x} G^{y} h^{z}$.
$\Rightarrow T = k c^{x} G^{y} h^{z}$.
બંને બાજુ પરિમાણો લેતા: $[M^{0} L^{0} T^{1}] = [L T^{-1}]^{x} [M^{-1} L^{3} T^{-2}]^{y} [M L^{2} T^{-1}]^{z}$.
$[M^{0} L^{0} T^{1}] = [M^{-y+z} L^{x+3y+2z} T^{-x-2y-z}]$.
બંને બાજુ $M, L, T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$-y + z = 0 \implies z = y \quad \dots(1)$
$x + 3y + 2z = 0 \quad \dots(2)$
$-x - 2y - z = 1 \quad \dots(3)$
$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા: $(x + 3y + 2z) + (-x - 2y - z) = 0 + 1 \implies y + z = 1$.
$z = y$ હોવાથી,$2y = 1 \implies y = 1/2$.
તેથી,$z = 1/2$.
$(2)$ માં કિંમત મૂકતા: $x + 3(1/2) + 2(1/2) = 0 \implies x + 3/2 + 1 = 0 \implies x = -5/2$.
તેથી,$[T] = [G^{1/2} h^{1/2} c^{-5/2}]$.

(B) $X$ માટેનું સૂત્ર $X = \frac{A^2 B^{1/2}}{C^{1/3} D^3}$ આપેલ છે.
$X$ માં સાપેક્ષ ભૂલનું સૂત્ર: $\frac{\Delta X}{X} = 2 \frac{\Delta A}{A} + \frac{1}{2} \frac{\Delta B}{B} + \frac{1}{3} \frac{\Delta C}{C} + 3 \frac{\Delta D}{D}$ છે.
મહત્તમ ટકાવારી ભૂલ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીશું:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 2 \left( \frac{\Delta A}{A} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta B}{B} \times 100 \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{\Delta C}{C} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{\Delta D}{D} \times 100 \right)$.
આપેલ ટકાવારી ભૂલો $(1\%, 2\%, 3\%, 4\%)$ મૂકતા:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 2(1\%) + \frac{1}{2}(2\%) + \frac{1}{3}(3\%) + 3(4\%)$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$= 2\% + 1\% + 1\% + 12\% = 16\%$.
આમ,$X$ માં મહત્તમ ટકાવારી ભૂલ $16\%$ છે.

(D) સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{0}$ નું પરિમાણ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલું જ હોય છે,જે $\frac{\text{કાર્ય}}{\text{વીજભાર}} = \frac{ML^{2}T^{-2}}{AT} = ML^{2}T^{-3}A^{-1}$ છે.
ધારો કે $V_{0} = h^{x} c^{y} G^{z} A^{w}$.
પરિમાણો મૂકતા: $[ML^{2}T^{-3}A^{-1}] = [ML^{2}T^{-1}]^{x} [LT^{-1}]^{y} [M^{-1}L^{3}T^{-2}]^{z} [A]^{w}$.
$A$ ના ઘાતાંકો સરખાવતા: $w = -1$.
$M$ ના ઘાતાંકો સરખાવતા: $x - z = 1$.
$L$ ના ઘાતાંકો સરખાવતા: $2x + y + 3z = 2$.
$T$ ના ઘાતાંકો સરખાવતા: $-x - y - 2z = -3$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $x - z = 1$ પરથી $x = 1 + z$ મળે.
$L$ અને $T$ ના સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(2x + y + 3z) + (-x - y - 2z) = 2 + (-3) \Rightarrow x + z = -1$.
હવે આપણી પાસે $x - z = 1$ અને $x + z = -1$ છે. બંનેનો સરવાળો કરતા $2x = 0 \Rightarrow x = 0$ મળે. તેથી $z = -1$.
$x=0$ અને $z=-1$ ને $2x + y + 3z = 2$ માં મૂકતા: $0 + y - 3 = 2 \Rightarrow y = 5$.
આમ,$V_{0} = h^{0} c^{5} G^{-1} A^{-1}$.

(C) અચળાંકોના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[h] = M^1 L^2 T^{-1}$
$[c] = L^1 T^{-1}$
$[G] = M^{-1} L^3 T^{-2}$
આ કિંમતોને $f$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$[f] = \sqrt{\frac{(M^1 L^2 T^{-1}) \times (L^1 T^{-1})^5}{M^{-1} L^3 T^{-2}}}$
$[f] = \sqrt{\frac{M^1 L^2 T^{-1} \times L^5 T^{-5}}{M^{-1} L^3 T^{-2}}}$
$[f] = \sqrt{\frac{M^1 L^7 T^{-6}}{M^{-1} L^3 T^{-2}}}$
$[f] = \sqrt{M^{1-(-1)} L^{7-3} T^{-6-(-2)}}$
$[f] = \sqrt{M^2 L^4 T^{-4}}$
$[f] = M^1 L^2 T^{-2}$
પરિમાણ $M^1 L^2 T^{-2}$ એ ઉર્જાના પરિમાણ સાથે સુસંગત છે.

(N/A) $LHS$ ના પરિમાણો:
$[M][LT^{-1}]^{2} = [M][L^{2}T^{-2}] = [ML^{2}T^{-2}]$
$RHS$ ના પરિમાણો:
$[M][LT^{-2}][L] = [M][L^{2}T^{-2}] = [ML^{2}T^{-2}]$
$LHS$ અને $RHS$ ના પરિમાણો સમાન હોવાથી,આ સમીકરણ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું છે.

(A, C, E) ગતિઊર્જા $K$ નું પરિમાણ $[M L^{2} T^{-2}]$ છે.
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
$(a)$ માટે,પરિમાણ $[M^{2} (L T^{-1})^{3}] = [M^{2} L^{3} T^{-3}]$ છે,જે ખોટું છે.
$(b)$ માટે,પરિમાણ $[M (L T^{-1})^{2}] = [M L^{2} T^{-2}]$ છે,જે સાચું છે.
$(c)$ માટે,પરિમાણ $[M (L T^{-2})] = [M L T^{-2}]$ છે,જે ખોટું છે.
$(d)$ માટે,પરિમાણ $[M (L T^{-1})^{2}] = [M L^{2} T^{-2}]$ છે,જે સાચું છે.
$(e)$ માટે,$m v^{2}$ અને $m a$ પદોના પરિમાણો અલગ-અલગ ($[M L^{2} T^{-2}]$ અને $[M L T^{-2}]$) છે,તેથી તેમનો સરવાળો થઈ શકે નહીં. આ ખોટું છે.
તેથી,પરિમાણીય વિશ્લેષણના આધારે સૂત્રો $(a)$,$(c)$ અને $(e)$ ને નકારી શકાય છે.

(N/A) આવર્તકાળ $T$ નો $l, g$ અને $m$ પરનો આધાર ગુણાકાર સ્વરૂપે નીચે મુજબ લખી શકાય:
$T = k l^{x} g^{y} m^{z}$
જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે અને $x, y$ તથા $z$ એ ઘાતાંકો છે.
બંને બાજુના પરિમાણોને ધ્યાનમાં લેતા,આપણને મળે છે:
$[M^0 L^0 T^1] = [L]^x [L T^{-2}]^y [M]^z$
$[M^0 L^0 T^1] = M^z L^{x+y} T^{-2y}$
બંને બાજુના પરિમાણોને સરખાવતા:
$z = 0$
$x + y = 0$
$-2y = 1$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$y = -1/2$,$x = 1/2$ અને $z = 0$ મળે છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$T = k l^{1/2} g^{-1/2} m^0$ મળે છે.
તેથી,$T = k \sqrt{\frac{l}{g}}$.
નોંધો કે અચળાંક $k$ નું મૂલ્ય પરિમાણીય પદ્ધતિ દ્વારા મેળવી શકાતું નથી. પ્રાયોગિક રીતે $k = 2\pi$ છે,તેથી $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.

(A) આપેલ છે કે, $1 \; \text{કેલરી} = 4.2 \; (1 \; kg) (1 \; m^2) (1 \; s^{-2})$.
ધારો કે નવા એકમો $M' = \alpha \; kg$, $L' = \beta \; m$, અને $T' = \gamma \; s$ છે.
તેથી, $1 \; kg = \frac{1}{\alpha} \; M' = \alpha^{-1} \; M'$.
$1 \; m = \frac{1}{\beta} \; L' = \beta^{-1} \; L'$, તેથી $1 \; m^2 = \beta^{-2} \; (L')^2$.
$1 \; s = \frac{1}{\gamma} \; T' = \gamma^{-1} \; T'$, તેથી $1 \; s^{-2} = (\gamma^{-1})^{-2} \; (T')^{-2} = \gamma^2 \; (T')^{-2}$.
આ કિંમતોને કેલરીના સમીકરણમાં મૂકતા:
$1 \; \text{કેલરી} = 4.2 \times (\alpha^{-1} \; M') \times (\beta^{-2} \; (L')^2) \times (\gamma^2 \; (T')^{-2})$.
તેથી, નવી પદ્ધતિમાં કેલરીનું મૂલ્ય $4.2 \; \alpha^{-1} \beta^{-2} \gamma^2$ મળે છે.

(B, C) સાચું: $y = a \sin \left(\frac{2 \pi t}{T}\right)$
$y$ નું પરિમાણ $= [L]$. $a$ નું પરિમાણ $= [L]$. $\sin$ નો ખૂણો $\frac{2 \pi t}{T}$ પરિમાણરહિત છે. તેથી,આ સૂત્ર પરિમાણીય રીતે સાચું છે.
$(b)$ ખોટું: $y = a \sin v t$
$v t$ નું પરિમાણ $= [LT^{-1}] \times [T] = [L]$. ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો ખૂણો પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ,પરંતુ અહીં તે લંબાઈનું પરિમાણ ધરાવે છે. તેથી,તે પરિમાણીય રીતે ખોટું છે.
$(c)$ ખોટું: $y = \left(\frac{a}{T}\right) \sin \left(\frac{t}{a}\right)$
$\frac{a}{T}$ નું પરિમાણ $= [LT^{-1}] \neq [L]$. ઉપરાંત,ખૂણો $\frac{t}{a} = [TL^{-1}]$ પરિમાણરહિત નથી. તેથી,તે પરિમાણીય રીતે ખોટું છે.
$(d)$ સાચું: $y = (a \sqrt{2}) \left(\sin \frac{2 \pi t}{T} + \cos \frac{2 \pi t}{T}\right)$
$y$ નું પરિમાણ $= [L]$. $a$ નું પરિમાણ $= [L]$. ખૂણો $\frac{2 \pi t}{T}$ પરિમાણરહિત છે. તેથી,આ સૂત્ર પરિમાણીય રીતે સાચું છે.

(B) આપેલ સંબંધ,$m = \frac{m_{0}}{(1 - v^{2})^{1/2}}$.
$m$ નું પરિમાણ = $[M^{1} L^{0} T^{0}]$.
$m_{0}$ નું પરિમાણ = $[M^{1} L^{0} T^{0}]$.
$v$ નું પરિમાણ = $[M^{0} L^{1} T^{-1}]$.
$v^{2}$ નું પરિમાણ = $[M^{0} L^{2} T^{-2}]$.
$c$ નું પરિમાણ = $[M^{0} L^{1} T^{-1}]$.
આપેલ સૂત્ર ત્યારે જ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું હશે જ્યારે $L$.$H$.$S$. નું પરિમાણ $R$.$H$.$S$. ના પરિમાણ સમાન હોય.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે અવયવ $(1 - v^{2})^{1/2}$ પરિમાણરહિત હોય,એટલે કે $(1 - v^{2})$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ.
કારણ કે $1$ પરિમાણરહિત છે,તેથી $v^{2}$ પણ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ. આ ત્યારે જ શક્ય છે જો $v^{2}$ ને $c^{2}$ વડે ભાગવામાં આવે,કારણ કે ગુણોત્તર $v^{2}/c^{2}$ પરિમાણરહિત છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $m = \frac{m_{0}}{(1 - v^{2}/c^{2})^{1/2}}$ છે.

(N/A) મૂળભૂત અચળાંકોનો એક સંબંધ જે બ્રહ્માંડની ઉંમર આપે છે તે નીચે મુજબ છે:
$t = \left(\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0}\right)^2 \times \frac{1}{m_p m_e^2 c^3 G}$
જ્યાં:
$t =$ બ્રહ્માંડની ઉંમર
$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \; N m^2 / C^2$
$m_p = 1.67 \times 10^{-27} \; kg$
$m_e = 9.1 \times 10^{-31} \; kg$
$c = 3 \times 10^8 \; m/s$
$G = 6.67 \times 10^{-11} \; N m^2 kg^{-2}$
આ મૂલ્યો મૂકતા:
$t = \frac{(1.6 \times 10^{-19})^4 \times (9 \times 10^9)^2}{(1.67 \times 10^{-27}) \times (9.1 \times 10^{-31})^2 \times (3 \times 10^8)^3 \times (6.67 \times 10^{-11})}$
આની ગણતરી કરતા આશરે $6 \times 10^{17} \; s$ મળે છે, જે લગભગ $19$ અબજ વર્ષ છે.
જો બ્રહ્માંડની ઉંમર સાથેની આ સમાનતા નોંધપાત્ર હોય, તો તે સૂચવે છે કે મૂળભૂત અચળાંકો સમય સાથે કદાચ અચળ ન રહેતા હોય, પરંતુ બ્રહ્માંડના ઉત્ક્રાંતિ સાથે બદલાઈ શકે છે.

(N/A) આપેલ ગુણોત્તર $\frac{k e^{2}}{G m_{e} m_{p}}$ છે.
જ્યાં,$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે જેનો એકમ $N \, m^{2} \, kg^{-2}$ છે.
$m_{e}$ અને $m_{p}$ એ અનુક્રમે ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોનનું દળ છે,જેનો એકમ $kg$ છે.
$e$ એ વિદ્યુતભાર છે જેનો એકમ $C$ છે.
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}$ એ કુલંબનો અચળાંક છે જેનો એકમ $N \, m^{2} \, C^{-2}$ છે.
એકમો મૂકતા:
$\frac{[N \, m^{2} \, C^{-2}] [C^{2}]}{[N \, m^{2} \, kg^{-2}] [kg] [kg]} = \frac{N \, m^{2}}{N \, m^{2}} = M^{0} L^{0} T^{0}$.
આમ,આ ગુણોત્તર પરિમાણરહિત છે.
મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરતા:
$k = 9 \times 10^{9} \, N \, m^{2} \, C^{-2}$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
$G = 6.67 \times 10^{-11} \, N \, m^{2} \, kg^{-2}$
$m_{e} = 9.11 \times 10^{-31} \, kg$
$m_{p} = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$
ગણતરી કરતા:
$\frac{9 \times 10^{9} \times (1.6 \times 10^{-19})^{2}}{6.67 \times 10^{-11} \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.67 \times 10^{-27}} \approx 2.3 \times 10^{39}$.
આ ગુણોત્તર ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચે લાગતા સ્થિત-વિદ્યુત બળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ગુણોત્તરને દર્શાવે છે.

(N/A) ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણીય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ભૌતિકવિજ્ઞાનની કેટલીક સમસ્યાઓના ઉકેલ મેળવવાની પદ્ધતિને પરિમાણીય વિશ્લેષણ કહેવામાં આવે છે.
પરિમાણીય વિશ્લેષણના ઉપયોગો:
$(a)$ કોઈ ભૌતિક રાશિના મૂલ્યને એક એકમ પદ્ધતિમાંથી બીજી એકમ પદ્ધતિમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે.
$(b)$ આપેલ ભૌતિક સમીકરણની પરિમાણીય સુસંગતતા (ચોકસાઈ) ચકાસવા માટે.
$(c)$ ભૌતિક સમીકરણમાં રહેલી વિવિધ ભૌતિક રાશિઓ વચ્ચેનો સંબંધ તારવવા માટે.

(N/A) $MKS$ પદ્ધતિમાં કાર્યનો એકમ જુલ $(J)$ છે અને $CGS$ પદ્ધતિમાં અર્ગ છે. જુલ અને અર્ગ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ મેળવી શકાય છે:
કાર્યનું પારિમાણિક સૂત્ર $W = [M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.
ધારો કે બે પદ્ધતિઓમાં આંકડાકીય મૂલ્યો $n_1$ અને $n_2$ છે અને એકમો $u_1$ અને $u_2$ છે.
$n_1 u_1 = n_2 u_2$
$n_2 = n_1 [M_1/M_2]^1 [L_1/L_2]^2 [T_1/T_2]^{-2}$
$MKS$ પદ્ધતિમાં: $M_1 = 1 \text{ kg} = 10^3 \text{ g}$,$L_1 = 1 \text{ m} = 10^2 \text{ cm}$,$T_1 = 1 \text{ s}$.
$CGS$ પદ્ધતિમાં: $M_2 = 1 \text{ g}$,$L_2 = 1 \text{ cm}$,$T_2 = 1 \text{ s}$.
$n_2 = 1 \times [10^3 \text{ g} / 1 \text{ g}]^1 \times [10^2 \text{ cm} / 1 \text{ cm}]^2 \times [1 \text{ s} / 1 \text{ s}]^{-2}$
$n_2 = 10^3 \times (10^2)^2 \times 1 = 10^3 \times 10^4 = 10^7$.
તેથી,$1 \text{ Joule} = 10^7 \text{ erg}$.

(A) પરિમાણીય સમાનતાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી થઈ શકે છે.
આ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ આપેલ સમીકરણની પરિમાણીય સુસંગતતા ચકાસવા માટે થાય છે. સમીકરણ પરિમાણીય રીતે સુસંગત હોવા માટે,સમીકરણની બંને બાજુના દરેક પદના પરિમાણ સમાન હોવા જોઈએ.
નોંધ: પરિમાણીય સુસંગતતા એ સમીકરણની ભૌતિક ચોકસાઈની ખાતરી આપતું નથી,કારણ કે તે પરિમાણરહિત અચળાંકો અથવા વિધેયોને ધ્યાનમાં લઈ શકતું નથી.
ઉદાહરણ: $x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}$ ની સુસંગતતા ચકાસો.
અહીં,$x$ એ અંતિમ સ્થાન છે,$x_{0}$ એ પ્રારંભિક સ્થાન છે,$v_{0}$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$a$ એ પ્રવેગ છે અને $t$ એ સમય છે.
$1$. $LHS$ $(x)$ નું પરિમાણ: $[L^1] = [M^0 L^1 T^0]$.
$2$. $RHS$ ના પદોના પરિમાણ:
- $x_{0}$ નું પરિમાણ: $[L^1] = [M^0 L^1 T^0]$.
- $v_{0}t$ નું પરિમાણ: $[L^1 T^{-1}] \times [T^1] = [L^1] = [M^0 L^1 T^0]$.
- $\frac{1}{2}at^{2}$ નું પરિમાણ: $\frac{1}{2}$ પરિમાણરહિત અચળાંક હોવાથી,પરિમાણ $[L^1 T^{-2}] \times [T^2] = [L^1] = [M^0 L^1 T^0]$ થશે.
બંને બાજુના તમામ પદોના પરિમાણ સમાન હોવાથી,સમીકરણ પરિમાણીય રીતે સુસંગત છે.

(N/A) ધારો કે,ઉષ્મા ઉર્જા $H \propto I^{a} R^{b} t^{c}$.
$\therefore H = k I^{a} R^{b} t^{c} \dots (i)$ (જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે).
હવે,બંને બાજુએ પારિમાણિક સૂત્ર લખતા:
$[H] = M^{1} L^{2} T^{-2}$
$[I] = A^{1}$
$[R] = M^{1} L^{2} T^{-3} A^{-2}$
$[t] = T^{1}$
સમીકરણ $(i)$ માં પરિમાણો મૂકતા:
$M^{1} L^{2} T^{-2} = (A^{1})^{a} (M^{1} L^{2} T^{-3} A^{-2})^{b} (T^{1})^{c}$
$M^{1} L^{2} T^{-2} = M^{b} L^{2b} T^{-3b+c} A^{a-2b}$
બંને બાજુએ $M, L, T$ અને $A$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$M$ માટે: $b = 1$
$L$ માટે: $2b = 2 \implies b = 1$
$A$ માટે: $a - 2b = 0 \implies a - 2(1) = 0 \implies a = 2$
$T$ માટે: $-3b + c = -2 \implies -3(1) + c = -2 \implies c = 1$
આમ,$a = 2, b = 1, c = 1$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$H = k I^{2} R t$
પ્રાયોગિક રીતે,$k = 1$,તેથી $H = I^{2} R t$.

(N/A) પરિમાણીય વિશ્લેષણ એ ભૌતિક સમીકરણોની સુસંગતતા તપાસવા,ભૌતિક રાશિઓ વચ્ચેના સંબંધો મેળવવા અને તેમાં સામેલ રાશિઓના પરિમાણોના આધારે એક એકમ પદ્ધતિમાંથી બીજી પદ્ધતિમાં રૂપાંતર કરવા માટે વપરાતી પદ્ધતિ છે.
પરિમાણીય વિશ્લેષણની મર્યાદાઓ:
$(1)$ $M, L,$ અને $T$ ધરાવતા પરિમાણીય સમીકરણોમાં,આપણે $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવીને વધુમાં વધુ ત્રણ સમીકરણો મેળવી શકીએ છીએ. તેથી,આ પદ્ધતિ ત્રણથી વધુ સ્વતંત્ર ભૌતિક રાશિઓ પર આધારિત ભૌતિક સંબંધનું ચોક્કસ સ્વરૂપ મેળવવા માટે ઉપયોગી નથી.
$(2)$ પરિમાણરહિત અચળાંકો (જેમ કે $\pi, e,$ અથવા સંખ્યાત્મક સહગુણકો) વિશેની માહિતી આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાતી નથી.
$(3)$ ઘાતાંકીય (exponential),લઘુગણકીય (logarithmic) અથવા ત્રિકોણમિતીય વિધેયો ધરાવતા સમીકરણો આ પદ્ધતિની મર્યાદાની બહાર છે.
$(4)$ જો પ્રમાણસરતાનો અચળાંક પરિમાણરહિત ન હોય,તો આ પદ્ધતિ ઉપયોગી નથી.

(N/A) પરિમાણોની સમાનતાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે કોઈપણ ભૌતિક સમીકરણ ત્યારે જ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું હોઈ શકે જો સમીકરણની બંને બાજુના તમામ પદોના પરિમાણો સમાન હોય.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો,આપણે ફક્ત સમાન પરિમાણો ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો,બાદબાકી અથવા સરખામણી કરી શકીએ છીએ.
ઉદાહરણ તરીકે,સમીકરણ $v = u + at$ માં,$v$,$u$ અને $at$ ના પરિમાણો $[LT^{-1}]$ સમાન હોવા જોઈએ.

(A) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણની બંને બાજુના દરેક પદના પરિમાણ સમાન હોવા જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ $x = a + bt + ct^2$ છે,જ્યાં $x$ મીટરમાં $(m)$ અને $t$ સેકન્ડમાં $(s)$ છે.
$1$. પદ $a$ માટે: $x$ અને $a$ નો સરવાળો થાય છે,તેથી તેમના એકમો સમાન હોવા જોઈએ. તેથી,$a$ નો એકમ $m$ છે.
$2$. પદ $bt$ માટે: $bt$ નો એકમ $x$ ના એકમ જેટલો જ હોવો જોઈએ. તેથી,$[bt] = m$. આમ,$b$ નો એકમ $m/s$ થાય.
$3$. પદ $ct^2$ માટે: $ct^2$ નો એકમ $x$ ના એકમ જેટલો જ હોવો જોઈએ. તેથી,$[ct^2] = m$. આમ,$c$ નો એકમ $m/s^2$ થાય.
તેથી,$a, b,$ અને $c$ ના એકમો અનુક્રમે $m, m/s, m/s^2$ છે.

(A) આપેલ એકમ $W/m^2$ (વોટ પ્રતિ ચોરસ મીટર) છે.
પાવર $(P)$ નો એકમ વોટ $(W)$ છે,અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-3}]$ છે.
ક્ષેત્રફળ $(A)$ નો એકમ $m^2$ છે,અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^2]$ છે.
આ ભૌતિક રાશિ તીવ્રતા અથવા પાવર ઘનતા છે,જે $I = P/A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
પારિમાણિક સૂત્ર = $[M^1 L^2 T^{-3}] / [L^2] = [M^1 L^0 T^{-3}]$.
તેથી,સાચું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^0 T^{-3}]$ છે.

(A) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ $y = x^2 r + M^1 L^1 T^{-2}$ માં,$x^2 r$ ના પરિમાણો એ $M^1 L^1 T^{-2}$ ના પરિમાણો જેટલા જ હોવા જોઈએ.
ધારો કે $[x^2]$ એ $x^2$ નું પારિમાણિક સૂત્ર છે અને $[r] = L^1$ (કારણ કે $r$ એ સ્થાનાંતર છે).
તેથી,$[x^2] \cdot [r] = M^1 L^1 T^{-2}$.
$[x^2] \cdot L^1 = M^1 L^1 T^{-2}$.
$[x^2] = \frac{M^1 L^1 T^{-2}}{L^1}$.
$[x^2] = M^1 L^0 T^{-2}$.

(A) દબાણ $P$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[P] = [M^{1} L^{-1} T^{-2}]$ છે.
બળ $F$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[F] = [M^{1} L^{1} T^{-2}]$ છે.
આપેલ સમીકરણ $P = FK$ માટે,આપણે પારિમાણિક સમીકરણને $[P] = [F][K]$ તરીકે લખી શકીએ.
પરિમાણો મૂકતા: $[M^{1} L^{-1} T^{-2}] = [M^{1} L^{1} T^{-2}] [K]$.
તેથી,$[K] = \frac{[M^{1} L^{-1} T^{-2}]}{[M^{1} L^{1} T^{-2}]}$.
$[K] = M^{1-1} L^{-1-1} T^{-2-(-2)} = M^{0} L^{-2} T^{0}$.