Significant Figures Questions in Gujarati

(B) વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિ $a \times 10^n$ માં સાર્થક અંકોની સંખ્યા સહગુણક $a$ માં રહેલા સાર્થક અંકોની સંખ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
આપેલ પદ $0.310 \times 10^3$ માં,સહગુણક $0.310$ છે.
સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ,દશાંશ ચિહ્નની આગળના શૂન્ય સાર્થક નથી,પરંતુ દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંતિમ શૂન્ય સાર્થક ગણાય છે.
તેથી,અંકો $3$,$1$ અને $0$ સાર્થક છે.
આમ,સાર્થક અંકોની કુલ સંખ્યા $3$ છે.

(A) આપેલ અપૂર્ણાંક $\frac{1}{20} = 0.05$ છે.
આ કિંમતને $3$ સાર્થક અંકો સુધી દર્શાવવા માટે,આપણે દશાંશ ચિહ્ન પછીના શૂન્યોનો સમાવેશ કરવો પડે.
સાર્થક અંકોની ગણતરી પ્રથમ શૂન્યતર અંકથી શરૂ થાય છે.
$0.0500$ માં,$5$,$0$,અને $0$ અંકો સાર્થક છે.
તેથી,$3$ સાર્થક અંકો સુધી $0.05$ ને $0.0500$ તરીકે લખી શકાય.

(D) દરેક સંખ્યામાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે:
$1$. $25.12$ માટે,તમામ શૂન્યતર અંકો સાર્થક છે,તેથી તેમાં $4$ સાર્થક અંકો છે.
$2$. $2009$ માટે,તમામ શૂન્યતર અંકો અને તેમની વચ્ચેના શૂન્યો સાર્થક છે,તેથી તેમાં $4$ સાર્થક અંકો છે.
$3$. $4.156$ માટે,તમામ શૂન્યતર અંકો સાર્થક છે,તેથી તેમાં $4$ સાર્થક અંકો છે.
$4$. $1.217 \times 10^{-4}$ માટે,$10$ ની ઘાત સાર્થક અંકોમાં ગણવામાં આવતી નથી. અંકો $1, 2, 1, 7$ સાર્થક છે,તેથી તેમાં $4$ સાર્થક અંકો છે.
આમ,આપેલી તમામ સંખ્યાઓમાં $4$ સાર્થક અંકો છે.

(A) નિયમ: ગુણાકાર અથવા ભાગાકારમાં,અંતિમ પરિણામમાં એટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ જેટલા મૂળ સંખ્યાઓમાં સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતી સંખ્યામાં હોય.
$97.52$ માં $4$ સાર્થક અંકો છે.
$2.54$ માં $3$ સાર્થક અંકો છે.
તેથી,અંતિમ પરિણામને $3$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ.
ગણતરી: $\frac{97.52}{2.54} \approx 38.3937...$
$3$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $38.4$ મળે છે.

(B) સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ:
$1$. તમામ શૂન્યતર અંકો સાર્થક છે.
$2$. બે શૂન્યતર અંકોની વચ્ચે આવતા શૂન્યો સાર્થક છે.
$3$. દશાંશ ચિહ્ન ધરાવતી સંખ્યામાં અંતમાં આવતા શૂન્યો સાર્થક છે.
સંખ્યા $200.40$ માં,અંકો $2, 0, 0, 4, 0$ બધા જ સાર્થક છે.
તેથી,સાર્થક અંકોની કુલ સંખ્યા $5$ છે.

(C) વેગમાન એ દળ અને વેગનો ગુણાકાર છે: $p = m \times v$.
આપેલ છે,$m = 3.513 \ kg$ ($4$ સાર્થક અંકો) અને $v = 5.00 \ ms^{-1}$ ($3$ સાર્થક અંકો).
ગુણાકાર કરતા: $p = 3.513 \times 5.00 = 17.565 \ kg \ ms^{-1}$.
ગુણાકારમાં સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,પરિણામમાં ઓછામાં ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતી સંખ્યા જેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ.
અહીં,સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો $3$ છે ($5.00$ માંથી).
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,$17.565$ ને દશાંશ ચિહ્ન પછી બે અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $17.56 \ kg \ ms^{-1}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે,એક ગોળાનું કદ $V_1 = 1.76 \ cm^3$ છે.
ગોળાઓની સંખ્યા $n = 25$ છે.
કુલ કદ $V = n \times V_1 = 25 \times 1.76 \ cm^3 = 44.0 \ cm^3$ થાય.
સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,ગુણાકાર કરતી વખતે પરિણામમાં તેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ જેટલા સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતી સંખ્યામાં છે.
અહીં,$1.76$ માં $3$ સાર્થક અંકો છે અને $25$ એ ચોક્કસ સંખ્યા છે (અનંત સાર્થક અંકો).
તેથી,પરિણામ $3$ સાર્થક અંકો સુધી દર્શાવવું જોઈએ.
આમ,$44.0 \ cm^3$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની લંબાઈ અને પહોળાઈના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $Area = 1.23 \ cm \times 2.345 \ cm = 2.88435 \ cm^2$.
ગુણાકારમાં સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,અંતિમ પરિણામમાં તેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ જેટલા સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતા માપનમાં છે.
અહીં $1.23$ માં $3$ સાર્થક અંકો છે અને $2.345$ માં $4$ સાર્થક અંકો છે.
તેથી,પરિણામને $3$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ.
$2.88435$ ને $3$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $2.88 \ cm^2$ મળે છે.

(A) સમઘનની બાજુની લંબાઈ $l = 1.2 \times 10^{-2} \; m$ છે.
સમઘનનું કદ $V = l^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમત મૂકતા: $V = (1.2 \times 10^{-2} \; m)^3 = (1.2)^3 \times (10^{-2})^3 \; m^3 = 1.728 \times 10^{-6} \; m^3$.
સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ,બાજુની લંબાઈ $1.2$ માં બે સાર્થક અંકો છે. તેથી,પરિણામને બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ.
$1.728$ ને બે સાર્થક અંકોમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા $1.7$ મળે છે.
આમ,કદ $V = 1.7 \times 10^{-6} \; m^3$ છે.

(D) ડિસ્કના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi R^2$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $R = 1.2 \; cm$ આપેલ છે,જેમાં $2$ સાર્થક અંકો છે.
ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરતા: $A = 3.14159 \times (1.2)^2 = 3.14159 \times 1.44 = 4.52388... \; cm^2$.
સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,ગુણાકારના પરિણામમાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતી માપન સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
અહીં $1.2$ માં $2$ સાર્થક અંકો હોવાથી,અંતિમ પરિણામને $2$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું પડે.
તેથી,$4.52388...$ ને $2$ સાર્થક અંકોમાં ફેરવતા $4.5 \; cm^2$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: $L = 4.234 \; m$,$B = 1.005 \; m$,$T = 2.01 \; cm = 0.0201 \; m$.
લંબચોરસ શીટનું પૃષ્ઠફળ $A$ નું સૂત્ર $A = 2(L \times B + B \times T + T \times L)$ છે.
$A = 2(4.234 \times 1.005 + 1.005 \times 0.0201 + 0.0201 \times 4.234)$
$A = 2(4.25517 + 0.0202005 + 0.0851034) = 2(4.3604739) = 8.7209478 \; m^{2}$.
સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ($2.01 \; cm$ માં $3$ અંકો છે) મુજબ રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$A = 8.72 \; m^{2}$ મળે.
કદ $V$ માટે,$V = L \times B \times T$.
$V = 4.234 \times 1.005 \times 0.0201 = 0.085531443 \; m^{3}$.
સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો $(3)$ મુજબ રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$V = 0.0855 \; m^{3}$ મળે.

(A) આપેલ છે કે,ઘનની બાજુની લંબાઈ $L = 1.2 \times 10^{-2} \ m$ છે.
ઘનનું કદ શોધવાનું સૂત્ર $V = L^3$ છે.
$V = (1.2 \times 10^{-2} \ m)^3 = (1.2)^3 \times (10^{-2})^3 \ m^3$.
$V = 1.728 \times 10^{-6} \ m^3$.
સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,ગુણાકારના પરિણામમાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા તે માપન જેટલી જ હોવી જોઈએ જેમાં સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો હોય.
અહીં આપેલી લંબાઈ $1.2 \times 10^{-2} \ m$ માં $2$ સાર્થક અંકો છે.
તેથી,કદને $2$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ.
$1.728$ ને $2$ સાર્થક અંકોમાં ફેરવતા $1.7$ મળે છે.
આમ,ઘનનું કદ $1.7 \times 10^{-6} \ m^3$ થાય છે.

(B) તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 0.16 \; mm$ આપેલ છે.
કિંમત મૂકતા,$A = \pi \times (0.16 \; mm)^2 = 3.14159 \times 0.0256 \; mm^2 \approx 0.0804247 \; mm^2$.
સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ,ગુણાકારના પરિણામમાં તેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ જેટલા સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતા માપનમાં હોય.
ત્રિજ્યા $0.16 \; mm$ માં $2$ સાર્થક અંકો છે.
તેથી,અંતિમ પરિણામને $2$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ.
$0.0804247$ ને $2$ સાર્થક અંકોમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા $0.080 \; mm^2$ મળે છે.

(A) સાર્થક અંકોના નિયમો અનુસાર,દશાંશ ચિહ્ન વગરની પૂર્ણ સંખ્યામાં અંતમાં આવતા શૂન્યોને સાર્થક ગણવામાં આવતા નથી.
તેથી,$3400$ સંખ્યામાં માત્ર $3$ અને $4$ અંકો જ સાર્થક છે.
આમ,સાર્થક અંકોની સંખ્યા $2$ છે.

(C) $23.023$ માટે,તમામ શૂન્યતર અંકો અને તેમની વચ્ચેના શૂન્ય સાર્થક છે. તેથી,સાર્થક અંકોની સંખ્યા $5$ છે.
$0.0003$ માટે,આગળના શૂન્ય સાર્થક નથી. માત્ર અંક $3$ સાર્થક છે. તેથી,સાર્થક અંકોની સંખ્યા $1$ છે.
$2.1 \times 10^{-3}$ માટે,$10$ ની ઘાત સાર્થક અંકોમાં ગણવામાં આવતી નથી. અંકો $2$ અને $1$ સાર્થક છે. તેથી,સાર્થક અંકોની સંખ્યા $2$ છે.
આમ,સાર્થક અંકોની સંખ્યા $5, 1, 2$ છે.

(C) સમઘનનું કદ $V = a^3$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
અહીં $a = 7.203 \ m$ આપેલ છે.
$V = (7.203)^3 = 373.714754627 \ m^3$.
સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,ગુણાકાર કે ઘાતના પરિણામમાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા તેટલી જ હોવી જોઈએ જેટલી સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતા માપનમાં હોય.
અહીં $7.203$ માં $4$ સાર્થક અંકો છે.
તેથી,પરિણામને $4$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ.
$373.714754627$ ને $4$ સાર્થક અંકોમાં ફેરવતા $373.7 \ m^3$ મળે છે.

(C) સૌ પ્રથમ,બધા દળને $kg$ માં ફેરવો:
$2.15\, g = 0.00215\, kg$
$12.39\, g = 0.01239\, kg$
કુલ દળ $= 2.3 + 0.00215 + 0.01239 = 2.31454\, kg$.
સરવાળામાં સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,પરિણામમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી એટલા જ અંકો હોવા જોઈએ જેટલા સૌથી ઓછા દશાંશ સ્થાન ધરાવતા માપનમાં છે.
$2.3$ માં દશાંશ ચિહ્ન પછી એક અંક છે.
તેથી,$2.31454$ ને એક દશાંશ સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતાં $2.3\, kg$ મળે છે.

(D) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની લંબાઈ અને પહોળાઈના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $\text{Area} = \text{length} \times \text{width}$.
આપેલ છે: $\text{length} = 1.5\, cm$ (જેમાં $2$ સાર્થક અંકો છે) અને $\text{width} = 1.203\, cm$ (જેમાં $4$ સાર્થક અંકો છે).
ગુણાકાર કરતા: $1.5 \times 1.203 = 1.8045\, cm^2$.
ગુણાકારમાં સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ, અંતિમ પરિણામમાં તેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ જેટલા સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતા માપનમાં છે.
અહીં $1.5$ માં $2$ સાર્થક અંકો હોવાથી, પરિણામને $2$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું પડે.
$1.8045$ ને $2$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $1.8\, cm^2$ મળે છે.

(C) કોઈપણ માપનમાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા તે અંકો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે જે તેની ચોકસાઈ વિશે અર્થપૂર્ણ માહિતી આપે છે.
$11.118 \times 10^{-6}$ સંખ્યા માટે,$10$ ની ઘાત (એટલે કે $10^{-6}$) સાર્થક અંકોની સંખ્યામાં ફાળો આપતી નથી.
અંકો $1, 1, 1, 1,$ અને $8$ એ બધા શૂન્યતર અંકો છે.
સાર્થક અંકોના નિયમો અનુસાર,બધા શૂન્યતર અંકો સાર્થક હોય છે.
તેથી,આપેલી કિંમતમાં $5$ સાર્થક અંકો છે.

(B) સાર્થક અંકોના નિયમો અનુસાર,જ્યારે બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિણામમાં તેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ જેટલા સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતી સંખ્યામાં છે.
અહીં,અવરોધ $R = 10.845 \ \Omega$ માં $5$ સાર્થક અંકો છે.
પ્રવાહ $I = 3.23 \ A$ માં $3$ સાર્થક અંકો છે.
ગુણાકાર $V = I \times R = 3.23 \times 10.845 = 35.02935 \ V$ થાય છે.
પરિણામને $3$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ.
$35.02935$ ને $3$ સાર્થક અંકોમાં ફેરવતા $35.0 \ V$ મળે છે.

(B) બ્લોકનું કદ $V$ એ $V = l \times b \times t$ સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $V = 12 \, cm \times 6 \, cm \times 2.45 \, cm = 176.4 \, cm^3$.
ગુણાકાર માટે સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,અંતિમ પરિણામમાં તેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ જેટલા સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતા માપનમાં છે.
આપેલ કિંમતો છે: $l = 12 \, cm$ ($2$ સાર્થક અંકો),$b = 6 \, cm$ ($1$ સાર્થક અંક),અને $t = 2.45 \, cm$ ($3$ સાર્થક અંકો).
સૌથી ઓછા સાર્થક અંકોની સંખ્યા $1$ છે (પહોળાઈ $b = 6 \, cm$ માંથી).
તેથી,પરિણામ $176.4 \, cm^3$ ને એક સાર્થક અંક સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું પડશે.
$176.4$ ને એક સાર્થક અંકમાં ફેરવતા $200 \, cm^3$ મળે છે,જેને $2 \times 10^2 \, cm^3$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) પદાર્થનું વેગમાન $P$ એ તેના દળ $m$ અને વેગ $v$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = m \times v$
અહીં,$m = 3.513\ kg$ ($4$ સાર્થક અંકો) અને $v = 5.00\ ms^{-1}$ ($3$ સાર્થક અંકો) આપેલ છે.
ગુણાકાર કરતા:
$P = 3.513 \times 5.00 = 17.565\ kg\ m/s$
સાર્થક અંકોના નિયમો અનુસાર,ગુણાકારના પરિણામમાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા તે માપન જેટલી જ હોવી જોઈએ જેમાં સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો હોય.
અહીં $5.00$ માં $3$ સાર્થક અંકો હોવાથી,આપણે પરિણામને $3$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું પડશે.
$17.565$ ને $3$ સાર્થક અંકોમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા $17.6\ kg\ m/s$ મળે છે.

(A) સાર્થક અંકોની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે,આપણે નીચેના નિયમોનું પાલન કરીએ છીએ:
$(i)$ તમામ શૂન્યતર અંકો સાર્થક છે.
$(ii)$ બે શૂન્યતર અંકોની વચ્ચે આવતા તમામ શૂન્યો સાર્થક છે.
$(iii)$ $1$ કરતા નાની સંખ્યાઓ માટે,દશાંશ ચિહ્નની જમણી બાજુએ અને પ્રથમ શૂન્યતર અંકની ડાબી બાજુએ આવતા શૂન્યો સાર્થક નથી.
$(iv)$ $10$ ની ઘાતને સાર્થક અંકો માટે ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી નથી.
આ નિયમો લાગુ પાડતા:
$1$. $23.023$ માટે: બધા $5$ અંકો સાર્થક છે. તેથી,સાર્થક અંકો $= 5$.
$2$. $0.0003$ માટે: $3$ ની આગળના શૂન્યો સાર્થક નથી. માત્ર અંક $3$ સાર્થક છે. તેથી,સાર્થક અંકો $= 1$.
$3$. $2.1 \times 10^3$ માટે: $10$ ની ઘાતને અવગણવામાં આવે છે. અંકો $2$ અને $1$ સાર્થક છે. તેથી,સાર્થક અંકો $= 2$.
આમ,સાર્થક અંકોની સંખ્યા અનુક્રમે $5, 1, 2$ છે.

(B) વેગમાન $p$ એ દળ $m$ અને વેગ $v$ ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $p = m \times v$.
અહીં $m = 3.513 \; kg$ ($4$ સાર્થક અંકો) અને $v = 5.00 \; ms^{-1}$ ($3$ સાર્થક અંકો) આપેલ છે.
ગુણાકાર કરતા: $p = 3.513 \times 5.00 = 17.565 \; kg \; ms^{-1}$.
સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,ગુણાકારના પરિણામમાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતી સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
અહીં $5.00$ માં $3$ સાર્થક અંકો હોવાથી,અંતિમ પરિણામને $3$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું પડે.
તેથી,$17.565$ ને $3$ સાર્થક અંકોમાં ફેરવતા $17.6 \; kg \; ms^{-1}$ મળે છે.

(B) $1$ ગોળાનું કદ $= 1.76 \ cm^3$ (જેમાં $3$ સાર્થક અંકો છે).
$25$ ગોળાઓનું કદ $= 25 \times 1.76 \ cm^3 = 44.0 \ cm^3$.
સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ,જ્યારે કોઈ માપેલ મૂલ્યનો ચોક્કસ સંખ્યા (જેમ કે $25$) સાથે ગુણાકાર કરવામાં આવે,ત્યારે પરિણામમાં માપેલ મૂલ્ય જેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ.
અહીં $1.76$ માં $3$ સાર્થક અંકો હોવાથી,પરિણામ પણ $3$ સાર્થક અંકોમાં દર્શાવવું જોઈએ,જે $44.0 \ cm^3$ થાય છે.

(D) લંબચોરસના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \text{length} \times \text{breadth}$ છે.
અહીં,$\text{length} = 3.124\,m$ અને $\text{breadth} = 3.002\,m$ આપેલ છે.
ગુણાકાર કરતા: $3.124 \times 3.002 = 9.378248\,m^2$.
સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,ગુણાકારના પરિણામમાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા તે માપન જેટલી હોવી જોઈએ જેમાં સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો હોય.
અહીં,$3.124$ અને $3.002$ બંનેમાં $4$ સાર્થક અંકો છે.
તેથી,અંતિમ પરિણામને $4$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ.
$9.378248$ ને $4$ સાર્થક અંકોમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા $9.378\,m^2$ મળે છે.

(C) આ સંખ્યાઓનો સરવાળો કરવા માટે,આપણે પહેલા તેમને $10$ ની સમાન ઘાત સાથે દર્શાવીએ:
$3.8 \times 10^{-6} = 0.38 \times 10^{-5}$
હવે,સંખ્યાઓનો સરવાળો કરો:
$0.38 \times 10^{-5} + 4.2 \times 10^{-5} = (0.38 + 4.2) \times 10^{-5} = 4.58 \times 10^{-5}$
સરવાળા માટે સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ,પરિણામમાં દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંકોની સંખ્યા તે માપન જેટલી હોવી જોઈએ જેમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી સૌથી ઓછા અંકો હોય.
$0.38$ માં દશાંશ ચિહ્ન પછી બે અંકો છે અને $4.2$ માં દશાંશ ચિહ્ન પછી એક અંક છે.
તેથી,પરિણામને દશાંશ ચિહ્ન પછી એક અંક સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ.
$4.58$ ને એક દશાંશ સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $4.6$ મળે છે.
આમ,અંતિમ પરિણામ $4.6 \times 10^{-5}$ છે.

(D) કોઈપણ સંખ્યાને ચોક્કસ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવા માટે,આપણે નીચેના નિયમોનું પાલન કરીએ છીએ:
$1$. જો દૂર કરવાનો અંક $5$ કરતા નાનો હોય,તો તેની આગળનો અંક બદલાતો નથી.
$2$. જો દૂર કરવાનો અંક $5$ કરતા મોટો હોય,તો તેની આગળના અંકમાં $1$ ઉમેરવામાં આવે છે.
$3$. જો દૂર કરવાનો અંક $5$ હોય અને તેની પાછળ શૂન્ય હોય,તો આપણે તેની આગળના અંકને જોઈએ છીએ:
- જો આગળનો અંક બેકી (even) હોય,તો તે બદલાતો નથી.
- જો આગળનો અંક એકી (odd) હોય,તો તેમાં $1$ ઉમેરવામાં આવે છે.
$2.745$ માટે:
અહીં દૂર કરવાનો અંક $5$ છે. તેની આગળનો અંક $4$ છે,જે બેકી સંખ્યા છે. તેથી,તે બદલાશે નહીં. રાઉન્ડ ઓફ કર્યા પછીની કિંમત $2.74$ થશે.
$2.735$ માટે:
અહીં દૂર કરવાનો અંક $5$ છે. તેની આગળનો અંક $3$ છે,જે એકી સંખ્યા છે. તેથી,તેમાં $1$ ઉમેરવામાં આવશે. રાઉન્ડ ઓફ કર્યા પછીની કિંમત $2.74$ થશે.
આમ,સાચો જવાબ $2.74$ અને $2.74$ છે.

(C) એક ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $a = 5.29\ cm^2$ આપેલ છે.
આવા $7$ ચોરસનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 7 \times a$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
કિંમત મૂકતા,$A = 7 \times 5.29 = 37.03\ cm^2$ મળે છે.
સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ,જ્યારે કોઈ માપેલ કિંમતને ચોક્કસ સંખ્યા (જેમ કે $7$) વડે ગુણવામાં આવે,ત્યારે પરિણામમાં માપેલ કિંમત જેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ.
અહીં $5.29$ માં $3$ સાર્થક અંકો છે.
તેથી,અંતિમ પરિણામ $37.03$ ને $3$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ.
$37.03$ ને $3$ સાર્થક અંકોમાં ફેરવતા $37.0\ cm^2$ મળે છે.

(D) જ્યારે સંખ્યાઓને વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં લખવામાં આવે છે,ત્યારે સહગુણક (જે $1$ અને $10$ ની વચ્ચે હોય છે) માં રહેલા અંકોની સંખ્યા સાર્થક અંકોની સંખ્યા નક્કી કરે છે.
$6.25 \times 10^5$ પદમાં,સહગુણક $6.25$ છે.
અંકો $6$,$2$,અને $5$ એ ત્રણેય સાર્થક છે.
તેથી,અહીં કુલ $3$ સાર્થક અંકો છે.

(C) પગલું $1$: સરવાળામાં સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ,અંતિમ પરિણામ તે પદ જેટલા જ દશાંશ સ્થળો સુધી દર્શાવવું જોઈએ જેમાં સૌથી ઓછા દશાંશ સ્થળો હોય.
પગલું $2$: અહીં,$L = 2.331 \ cm$ માં $3$ દશાંશ સ્થળો છે અને $B = 2.1 \ cm$ માં $1$ દશાંશ સ્થળ છે.
પગલું $3$: સરવાળો $L + B = 2.331 + 2.1 = 4.431 \ cm$ થાય છે.
પગલું $4$: કારણ કે સૌથી ઓછા દશાંશ સ્થળ ધરાવતું પદ $(B = 2.1 \ cm)$ માત્ર $1$ દશાંશ સ્થળ ધરાવે છે,તેથી પરિણામને $1$ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું આવશ્યક છે.
પગલું $5$: $4.431 \ cm$ ને $1$ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $4.4 \ cm$ મળે છે.

(A) માપનમાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા તે માપનની ચોકસાઈ સૂચવે છે,જે સીધી રીતે માપન સાધનના લઘુત્તમ માપ (least count) સાથે સંબંધિત છે. નાનું લઘુત્તમ માપ વધુ સચોટ માપન શક્ય બનાવે છે,જેનાથી સાર્થક અંકોની સંખ્યા વધે છે.
સાર્થક અંકો માપનની વિશ્વસનીયતા અને ચોકસાઈ વિશે માહિતી આપે છે,જે સાધનની વાંચન ક્ષમતાની ચોકસાઈ સાથે સમાન છે.
તેથી,$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે,અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(D) સાચો ક્રમ નક્કી કરવા માટે,આપણે સરવાળો કરવો પડશે અને પરિણામને સૌથી ઓછા સચોટ માપ (જેમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી સૌથી ઓછા અંક હોય) ના આધારે યોગ્ય સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું પડશે.
$(i)$ $A_{1}+B_{1}+C_{1} = 24.36 + 0.0724 + 256.2 = 280.6324$. સૌથી ઓછું સચોટ મૂલ્ય $256.2$ (એક દશાંશ સ્થળ) છે,તેથી સરવાળો $280.6$ થાય છે.
$(ii)$ $A_{2}+B_{2}+C_{2} = 24.44 + 16.082 + 240.2 = 280.722$. સૌથી ઓછું સચોટ મૂલ્ય $240.2$ (એક દશાંશ સ્થળ) છે,તેથી સરવાળો $280.7$ થાય છે.
$(iii)$ $A_{3}+B_{3}+C_{3} = 25.2 + 19.2812 + 236.183 = 280.6642$. સૌથી ઓછું સચોટ મૂલ્ય $25.2$ (એક દશાંશ સ્થળ) છે,તેથી સરવાળો $280.7$ થાય છે.
$(iv)$ $A_{4}+B_{4}+C_{4} = 25 + 236.191 + 19.5 = 280.691$. સૌથી ઓછું સચોટ મૂલ્ય $25$ (શૂન્ય દશાંશ સ્થળ) છે,તેથી સરવાળો $281$ થાય છે.
પરિણામોની સરખામણી કરતા: $281 > 280.7 = 280.7 > 280.6$. આમ,$A_{4}+B_{4}+C_{4} > A_{3}+B_{3}+C_{3} = A_{2}+B_{2}+C_{2} > A_{1}+B_{1}+C_{1}$.

(A) માપેલ લંબાઈ $l = 7.203 \; m$ માં સાર્થક અંકોની સંખ્યા $4$ છે.
સમઘનનું પૃષ્ઠફળ $A = 6l^{2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$A = 6 \times (7.203)^{2} = 6 \times 51.883209 = 311.299254 \; m^{2}$.
$4$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $A = 311.3 \; m^{2}$ મળે છે.
સમઘનનું ઘનફળ $V = l^{3}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$V = (7.203)^{3} = 373.714754 \; m^{3}$.
$4$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $V = 373.7 \; m^{3}$ મળે છે.

(B) દળ $5.74 \; g$ છે,જેમાં $3$ સાર્થક અંકો છે.
કદ $1.2 \; cm^3$ છે,જેમાં $2$ સાર્થક અંકો છે.
ભાગાકારમાં સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,પરિણામમાં તેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ જેટલા સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતા માપનમાં છે.
તેથી,પરિણામને $2$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ.
$\text{ઘનતા} = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}} = \frac{5.74 \; g}{1.2 \; cm^3} \approx 4.7833 \; g/cm^3$.
$4.7833$ ને $2$ સાર્થક અંકોમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા $4.8 \; g/cm^3$ મળે છે.

(N/A) આપેલી રાશિ $0.007 \;m^{2}$ છે.
જો સંખ્યા $1$ કરતા નાની હોય,તો દશાંશ ચિહ્નની જમણી બાજુના પરંતુ પ્રથમ શૂન્યતર અંકની ડાબી બાજુના શૂન્યો સાર્થક નથી. તેથી,માત્ર $7$ સાર્થક અંક છે. સાર્થક અંકોની સંખ્યા = $1$.
$(b)$ આપેલી રાશિ $2.64 \times 10^{24} \;kg$ છે.
$10$ ની ઘાત સાર્થક અંકોની સંખ્યાને અસર કરતી નથી. અંકો $2, 6, 4$ સાર્થક છે. સાર્થક અંકોની સંખ્યા = $3$.
$(c)$ આપેલી રાશિ $0.2370 \;g \;cm^{-3}$ છે.
દશાંશ વાળી સંખ્યામાં,અંતિમ શૂન્યો સાર્થક હોય છે. તેથી,$2, 3, 7, 0$ સાર્થક છે. સાર્થક અંકોની સંખ્યા = $4$.
$(d)$ આપેલી રાશિ $6.320 \;J$ છે.
દશાંશ વાળી સંખ્યામાં અંતિમ શૂન્યો સાર્થક હોય છે. તેથી,$6, 3, 2, 0$ સાર્થક છે. સાર્થક અંકોની સંખ્યા = $4$.
$(e)$ આપેલી રાશિ $6.032 \;N \;m^{-2}$ છે.
બે શૂન્યતર અંકોની વચ્ચેના શૂન્યો હંમેશા સાર્થક હોય છે. તેથી,$6, 0, 3, 2$ સાર્થક છે. સાર્થક અંકોની સંખ્યા = $4$.
$(f)$ આપેલી રાશિ $0.0006032 \;m^{2}$ છે.
દશાંશ ચિહ્નની જમણી બાજુના પરંતુ પ્રથમ શૂન્યતર અંકની ડાબી બાજુના શૂન્યો સાર્થક નથી. અંકો $6, 0, 3, 2$ સાર્થક છે. સાર્થક અંકોની સંખ્યા = $4$.

(D) શીટની લંબાઈ,$l = 4.234 \; m$ ($4$ સાર્થક અંકો).
શીટની પહોળાઈ,$b = 1.005 \; m$ ($4$ સાર્થક અંકો).
શીટની જાડાઈ,$h = 2.01 \; cm = 0.0201 \; m$ ($3$ સાર્થક અંકો).
ગુણાકાર કે ભાગાકારના પરિણામમાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતા માપ જેટલી હોવી જોઈએ. અહીં,સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો $3$ છે.
શીટનું કુલ પૃષ્ઠફળ $= 2(l \times b + b \times h + h \times l)$
$= 2(4.234 \times 1.005 + 1.005 \times 0.0201 + 0.0201 \times 4.234)$
$= 2(4.25517 + 0.02020 + 0.08510)$
$= 2(4.36047) = 8.72094 \; m^2$.
$3$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $8.72 \; m^2$ મળે છે.
શીટનું કદ $= l \times b \times h$
$= 4.234 \times 1.005 \times 0.0201 = 0.085553 \; m^3$.
$3$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.0856 \; m^3$ મળે છે (નોંધ: વિકલ્પ $D$ માં $0.0855$ આપેલ છે,જે નજીકનો જવાબ છે).

(N/A) બોક્સનું દળ $= 2.30 \ kg$.
સોનાના ટુકડા $I$ નું દળ $= 20.15 \ g = 0.02015 \ kg$.
સોનાના ટુકડા $II$ નું દળ $= 20.17 \ g = 0.02017 \ kg$.
$(a)$ કુલ દળ $= 2.30 \ kg + 0.02015 \ kg + 0.02017 \ kg = 2.34032 \ kg$.
સરવાળા માટે સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,અંતિમ પરિણામમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી તેટલા જ અંકો હોવા જોઈએ જેટલા ઓછામાં ઓછા દશાંશ અંકો ધરાવતી સંખ્યામાં છે. અહીં,$2.30 \ kg$ માં દશાંશ પછી બે અંકો છે. તેથી,કુલ દળ $2.34 \ kg$ થશે.
$(b)$ દળનો તફાવત $= 20.17 \ g - 20.15 \ g = 0.02 \ g$.
બાદબાકી માટે સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,અંતિમ પરિણામમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી તેટલા જ અંકો હોવા જોઈએ જેટલા ઓછામાં ઓછા દશાંશ અંકો ધરાવતી સંખ્યામાં છે. $20.17 \ g$ અને $20.15 \ g$ બંનેમાં દશાંશ પછી બે અંકો છે,તેથી પરિણામ $0.02 \ g$ મળે છે.

(N/A) દરેક માપનમાં ભૂલો હોય છે. માપનનું પરિણામ એવી રીતે દર્શાવવું જોઈએ કે જે માપનની ચોકસાઈ સૂચવે.
સામાન્ય રીતે,માપનનું પરિણામ એક એવી સંખ્યા છે જેમાં વિશ્વસનીય રીતે જાણીતા તમામ અંકો અને પ્રથમ અનિશ્ચિત અંકનો સમાવેશ થાય છે.
વિશ્વસનીય અંકો અને પ્રથમ અનિશ્ચિત અંકને સાર્થક અંકો (Significant digits) અથવા સાર્થક આંકડા (Significant figures) કહેવામાં આવે છે.
- સાર્થક આંકડામાં રહેલા અંકોને સાર્થક અંક કહેવાય છે.
- કોઈપણ સાર્થક આંકડામાં છેલ્લો અંક (સૌથી જમણી બાજુનો) અનિશ્ચિત હોય છે.
- ઉદાહરણ તરીકે,સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $1.62 \ s$ છે. આમાં $1$ અને $6$ વિશ્વસનીય અને નિશ્ચિત છે,જ્યારે અંક $2$ અનિશ્ચિત છે. આમ,આ અવલોકનમાં $3$ સાર્થક અંકો છે.
- જ્યારે કોઈ પદાર્થની લંબાઈ $287.5 \ cm$ તરીકે નોંધવામાં આવે છે,ત્યારે આ માપનમાં $2, 8$ અને $7$ નિશ્ચિત છે,જ્યારે અંક $5$ અનિશ્ચિત છે.
- માપનનું પરિણામ સાર્થક અંકો કરતાં વધુ અંકો સાથે દર્શાવવું તે અર્થહીન અને ગેરમાર્ગે દોરનારું છે,કારણ કે તે માપનની ચોકસાઈ વિશે ખોટો ખ્યાલ આપે છે.
- એકમો બદલવાથી માપનમાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા બદલાતી નથી.
- ઉદાહરણ તરીકે,$2.308 \ cm$ લંબાઈના માપનમાં $4$ સાર્થક અંકો છે. તેને $0.02308 \ m$ અથવા $23.08 \ mm$ અથવા $23080 \ \mu m$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
- દરેક કિસ્સામાં સાર્થક અંકો $2, 3, 0, 8$ છે,તેથી સાર્થક અંકોની સંખ્યા $4$ છે.
- આમ,સાર્થક અંકોની સંખ્યા નક્કી કરવામાં દશાંશ ચિહ્નનું સ્થાન કોઈ મહત્વ ધરાવતું નથી.

(N/A) સાર્થક અંકો નક્કી કરવાના નિયમો નીચે મુજબ છે:
$(1)$ $(a)$ બધા શૂન્યતર અંકો સાર્થક છે. ઉદાહરણ તરીકે,$584$ માં $3$ સાર્થક અંકો છે.
$(b)$ બે શૂન્યતર અંકોની વચ્ચે આવતા તમામ શૂન્યો સાર્થક છે,પછી ભલે દશાંશ ચિહ્ન ગમે ત્યાં હોય. $120007 \ cm$ માં,$1, 2, 0, 0, 0, 7$ બધા સાર્થક અંકો છે,કુલ $6$ સાર્થક અંકો થાય.
$(c)$ દશાંશ ચિહ્ન વગરની સંખ્યામાં અંતમાં આવતા શૂન્યો સાર્થક નથી. ઉદાહરણ તરીકે,$12300 \ m$ માં સાર્થક અંકોની સંખ્યા $3$ છે.
$(d)$ $1$ થી નાની સંખ્યામાં,દશાંશ ચિહ્નની જમણી બાજુએ અને પ્રથમ શૂન્યતર અંકની ડાબી બાજુએ આવતા શૂન્યો સાર્થક નથી. $0.002308$ માં,આગળના શૂન્યો સાર્થક નથી.
$(e)$ દશાંશ ચિહ્ન ધરાવતી સંખ્યામાં,અંતમાં આવતા શૂન્યો સાર્થક છે. ઉદાહરણ તરીકે,$3.500 \ cm$ માં $4$ સાર્થક અંકો છે. $0.06990$ માં,આગળના શૂન્યો સાર્થક નથી,પરંતુ છેલ્લો શૂન્ય સાર્થક છે,તેથી કુલ $4$ સાર્થક અંકો $(6, 9, 9, 0)$ થાય.
$(2)$ જ્યારે માપનમાં અંતમાં શૂન્યો દર્શાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે વધુ ચોકસાઈ સૂચવે છે; તેથી તે સાર્થક છે. ઉદાહરણ તરીકે,$4.700 \ m = 470.0 \ cm = 4700 \ mm$ બધામાં $4$ સાર્થક અંકો છે.
$(3)$ વૈજ્ઞાનિક સંકેત $(a \times 10^b)$ એ અસ્પષ્ટતા દૂર કરવાની શ્રેષ્ઠ રીત છે. અહીં $a$ એ $1$ અને $10$ ની વચ્ચેની સંખ્યા છે અને $b$ એ પૂર્ણાંક છે. ઉદાહરણ તરીકે,$246.35 \ kg$ ને $2.4635 \times 10^2$ તરીકે લખાય છે.
$(4)$ $0.5$ જેવી સંખ્યાઓમાં દશાંશ ચિહ્નની ડાબી બાજુએ મૂકવામાં આવેલ શૂન્ય સાર્થક નથી.
$(5)$ ચોક્કસ સંખ્યાઓ (જેમ કે સૂત્રોમાં અચળાંકો $S = 2\pi r$) અનંત સાર્થક અંકો ધરાવે છે.

(N/A) ભૌતિક રાશિઓના માપનમાં,ગણતરીનું પરિણામ ઘણીવાર અનિશ્ચિતતા દર્શાવે છે. સુસંગતતા જાળવવા માટે,પરિણામમાં તેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ જેટલા ગણતરીમાં વપરાયેલા ડેટામાં છે. રાઉન્ડ ઓફ કરવા માટે નીચેના નિયમો લાગુ કરવામાં આવે છે:
$(1)$ જો દૂર કરવાનો અંક $5$ કરતા ઓછો હોય,તો તેની આગળનો અંક બદલાતો નથી.
ઉદાહરણ તરીકે,$2.753$ ને ત્રણ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા તે $2.75$ બને છે.
$(2)$ જો દૂર કરવાનો અંક $5$ કરતા વધારે હોય,તો તેની આગળના અંકમાં $1$ ઉમેરવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$5.86$ ને બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા તે $5.9$ બને છે.
$(3)$ જો દૂર કરવાનો અંક બરાબર $5$ હોય,તો નીચેની પદ્ધતિઓ અનુસરવામાં આવે છે:
- જો આગળનો અંક બેકી હોય,તો $5$ ને સીધો જ દૂર કરવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$2.745$ ને ત્રણ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા તે $2.74$ બને છે.
- જો આગળનો અંક એકી હોય,તો તેમાં $1$ ઉમેરવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$2.735$ ને ત્રણ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા તે $2.74$ બને છે.

(N/A) $1$. સાર્થક અંકોમાં,જેમ સાર્થક અંકોની સંખ્યા વધે છે તેમ માપનની ચોકસાઈ વધે છે.
$2$. ભૌતિક રાશિઓના માપન પર સરવાળા,બાદબાકી,ગુણાકાર અને ભાગાકાર જેવી ગાણિતિક પ્રક્રિયાઓ કરવાથી ઘણીવાર દશાંશ ચિહ્ન પછી ઘણા બધા અંકો મળે છે.
$3$. ગણતરીનું અંતિમ પરિણામ એ માપનના ઇનપુટ મૂલ્યોની ચોકસાઈ સાથે સુસંગત હોવું જોઈએ.
$4$. ઉદાહરણ તરીકે,જો પદાર્થનું દળ $m = 4.237 \ g$ હોય અને તેનું કદ $V = 2.51 \ cm^{3}$ હોય,તો ઘનતા $\rho$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\rho = \frac{m}{V} = \frac{4.237}{2.51} = 1.68804780876 \ g \ cm^{-3}$.
$5$. આ પરિણામ બિનજરૂરી રીતે લાંબું છે. સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ,પરિણામને સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતા માપન જેટલા જ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ (round off) કરવું જોઈએ (જે આ કિસ્સામાં $3$ છે). આમ,ઘનતાનું વ્યવહારુ મૂલ્ય $1.69 \ g \ cm^{-3}$ થશે.

(N/A) સાર્થક અંકો ધરાવતી સંખ્યાઓના સરવાળા અને બાદબાકીમાં નીચેના મુદ્દાઓનું પાલન કરવું જોઈએ:
$(1)$ જો સંખ્યાઓ પૂર્ણાંક હોય,તો તેમનો સરવાળો કે બાદબાકી સામાન્ય અંકગણિતના નિયમો મુજબ કરવી જોઈએ.
ઉદાહરણ તરીકે,
જો $A = 25 \text{ g}$ અને $B = 2 \text{ g}$ હોય,તો:
$A + B = 25 + 2 = 27 \text{ g}$
$A - B = 25 - 2 = 23 \text{ g}$
$(2)$ સરવાળા કે બાદબાકીમાં,અંતિમ પરિણામમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી એટલા જ અંકો હોવા જોઈએ જેટલા સૌથી ઓછા દશાંશ અંકો ધરાવતી સંખ્યામાં છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$436.32 \text{ g}$,$227.2 \text{ g}$ અને $0.301 \text{ g}$ નો સરવાળો કરો.
$436.32 \text{ g} + 227.2 \text{ g} + 0.301 \text{ g} = 663.821 \text{ g}$
સંખ્યા $227.2$ માં દશાંશ ચિહ્ન પછી માત્ર એક જ અંક છે; તેથી,પરિણામમાં પણ દશાંશ ચિહ્ન પછી માત્ર એક જ અંક હોવો જોઈએ.
તેથી,$663.821$ ને રાઉન્ડ ઓફ કરીને $663.8 \text{ g}$ લખવું જોઈએ.
ઉદાહરણ તરીકે,$0.307 \text{ m}$ અને $0.304 \text{ m}$ વચ્ચેનો તફાવત મેળવવા માટે:
$0.307 \text{ m} - 0.304 \text{ m} = 0.003 \text{ m}$
આને $3 \times 10^{-3} \text{ m}$ તરીકે લખવું જોઈએ. તેને $3.00 \times 10^{-3} \text{ m}$ તરીકે લખી શકાય નહીં કારણ કે પરિણામ બાદબાકીની ચોકસાઈ દર્શાવતું હોવું જોઈએ.

(N/A) સાર્થક અંકો ધરાવતી સંખ્યાઓના ગુણાકાર અને ભાગાકાર માટે નીચેના મુદ્દાઓ ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ:
$(1)$ ગુણાકાર કે ભાગાકારમાં,અંતિમ પરિણામમાં મૂળ સંખ્યાઓ પૈકી જે સંખ્યામાં સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો હોય,તેટલા જ સાર્થક અંકો અંતિમ પરિણામમાં હોવા જોઈએ.
$(2)$ જ્યારે કોઈ માપનનો ગુણાકાર કે ભાગાકાર કોઈ ચોક્કસ સંખ્યા (જેમ કે ભૌતિક સમીકરણોમાં આવતા પૂર્ણાંકો કે અપૂર્ણાંકો) સાથે કરવામાં આવે,ત્યારે પરિણામમાં માપન જેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ.
ઉદાહરણ તરીકે:
$(1)$ જો પ્લેટની લંબાઈ $1.567 \text{ cm}$ અને પહોળાઈ $10.4 \text{ cm}$ હોય,તો ક્ષેત્રફળ $1.567 \times 10.4 = 16.2968 \text{ cm}^2$ થાય.
અહીં $10.4$ માં $3$ સાર્થક અંકો છે (જે ન્યૂનતમ છે),તેથી ક્ષેત્રફળને $16.3 \text{ cm}^2$ તરીકે રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ.
$(2)$ જો પદાર્થનું દળ $8.254 \text{ g}$ અને કદ $2.68 \text{ cm}^3$ હોય,તો:
$\text{ઘનતા} = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}} = \frac{8.254}{2.68} = 3.07985074626 \text{ g cm}^{-3}$.
અહીં $2.68$ માં $3$ સાર્થક અંકો હોવાથી,પરિણામને $3.08 \text{ g cm}^{-3}$ તરીકે દર્શાવવું જોઈએ.
$(3)$ જો ગણતરીમાં વપરાતી કોઈ સંખ્યામાં અનંત સાર્થક અંકો હોય,તો તેને અન્ય માપનોની ચોકસાઈ મુજબ મર્યાદિત સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવી જોઈએ.
$(4)$ સમીકરણોમાં,$\pi, \epsilon_0, \mu_0$ જેવા અચળાંકોને માપનમાં રહેલા સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો કરતા એક અંક વધારે સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવા જોઈએ.

(N/A) સાર્થક સંખ્યા એટલે એવી સંખ્યા જે માપનની ચોકસાઈ દર્શાવે છે. તેમાં તમામ અંકો જે નિશ્ચિતપણે જાણીતા છે અને પ્રથમ અંક જે અનિશ્ચિત છે,તેનો સમાવેશ થાય છે.
સાર્થક અંક (Significant digit) એટલે સંખ્યાનો એવો કોઈપણ અંક જે તેની ચોકસાઈના સ્તરમાં ફાળો આપે છે. આમાં તમામ શૂન્યતર અંકો,શૂન્યતર અંકોની વચ્ચે આવતા શૂન્યો અને દશાંશ સંખ્યામાં અંતમાં આવતા શૂન્યોનો સમાવેશ થાય છે. શરૂઆતના શૂન્યોને સાર્થક ગણવામાં આવતા નથી.

(A) સાર્થક અંકો નક્કી કરવા માટેની શ્રેષ્ઠ પદ્ધતિ સંખ્યાને વૈજ્ઞાનિક સંકેતમાં દર્શાવવી છે,જે $a \times 10^b$ છે,જ્યાં $1 \le |a| < 10$ હોય. આ સ્વરૂપમાં,સહગુણક $a$ માં રહેલા તમામ અંકો સાર્થક હોય છે. આ પદ્ધતિ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓમાં પાછળ આવતા શૂન્યો અંગેની અસ્પષ્ટતા દૂર કરે છે.

(C) જે સંખ્યાઓ માપન દર્શાવતી નથી,જેમ કે અચળાંકો (દા.ત.,$\pi$) અથવા વસ્તુઓની ગણતરી (દા.ત.,$5$ સફરજન),તેમને અનંત સાર્થક અંકો ધરાવતી માનવામાં આવે છે. આનું કારણ એ છે કે આ મૂલ્યો ચોક્કસ છે અને તેની સાથે કોઈ અનિશ્ચિતતા જોડાયેલી નથી.

(C) માપન $(iii) \ 2.000 \ cm$ સૌથી વધુ ચોકસાઈવાળું છે.
ચોકસાઈ એ માપન સાધનના લઘુત્તમ માપ (resolution) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
દશાંશ ચિહ્ન પછી વધુ સાર્થક અંકો ધરાવતું માપન એ સાધનના નાના લઘુત્તમ માપને સૂચવે છે.
$2.000 \ cm$ માં દશાંશ પછી ત્રણ અંકો હોવાથી,તે $0.001 \ cm$ ની માપન ક્ષમતા સૂચવે છે,જે અન્ય બે વિકલ્પોના $0.1 \ cm$ અને $0.01 \ cm$ કરતા વધુ ચોકસાઈવાળું છે.

(B) સૌ પ્રથમ,વર્ગમૂળની અંદરની બાદબાકી કરો: $6.5 - 6.32 = 0.18$.
બાદબાકી માટેના સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,પરિણામમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી તેટલા જ અંકો હોવા જોઈએ જેટલા સૌથી ઓછા દશાંશ સ્થાન ધરાવતી સંખ્યામાં છે. અહીં,$6.5$ માં એક દશાંશ સ્થાન છે,તેથી $0.18$ ને એક દશાંશ સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $0.2$ મળે.
જો આપણે $\sqrt{0.18} \approx 0.42426...$ ની ગણતરી કરીએ,તો અંતિમ પરિણામમાં સાર્થક અંકોના નિયમો લાગુ કરવા પડે.
સંખ્યા $0.18$ માં બે સાર્થક અંકો છે. તેથી,અંતિમ પરિણામને બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ.
$0.42426...$ ને બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $0.42$ મળે છે.

(A) સાર્થક અંકોની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે,આપણે નીચેના નિયમોનું પાલન કરીએ છીએ:
$1$. $2.85 \times 10^{26} \ kg$ માટે: $10$ ની ઘાત સાર્થક અંકોમાં ગણાતી નથી. અંકો $2, 8, 5$ બધા શૂન્યતર છે,તેથી અહીં $3$ સાર્થક અંકો છે. આમ,$(1)-(c)$.
$2$. $0.009 \ m^2$ માટે: દશાંશ ચિહ્ન પછીના શરૂઆતના શૂન્યો સાર્થક નથી. માત્ર અંક $9$ સાર્થક છે. તેથી,અહીં $1$ સાર્થક અંક છે. આમ,$(2)-(a)$.
$3$. $0.060 \ s$ માટે: શરૂઆતના શૂન્યો સાર્થક નથી. દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંતિમ શૂન્ય સાર્થક ગણાય છે. તેથી,અંકો $6$ અને $0$ સાર્થક છે,જે $2$ સાર્થક અંકો આપે છે. આમ,$(3)-(b)$.
તેથી,સાચી જોડ $(1)-(c), (2)-(a), (3)-(b)$ છે.