Dimensions and Dimensional Formula Questions in Gujarati

(A) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી થઈ શકે છે.
અહીં $v$ એ વેગ છે અને $v = a + bt + ct^2$ હોવાથી,જમણી બાજુના દરેક પદના પરિમાણ વેગ $(v)$ ના પરિમાણ જેટલા જ હોવા જોઈએ.
તેથી,$a$ નું પરિમાણ એ $v$ ના પરિમાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
વેગ $v$ નો એકમ $m/s$ હોવાથી,$a$ નો એકમ પણ $m/s$ જ થશે.

(D) પ્લાન્ક અચળાંક $(h)$ એ ફોટોનની ઉર્જા $(E)$ અને તેની આવૃત્તિ $(
u)$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = h\nu$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવે છે.
$h$ ને કર્તા બનાવતા,આપણને $h = E / \nu$ મળે છે.
ઉર્જા $(E)$ નો એકમ જૂલ $(J)$ છે અને આવૃત્તિ $(
u)$ નો એકમ હર્ટ્ઝ $(Hz)$ છે,જે $s^{-1}$ ને સમાન છે.
તેથી,$h$ નો એકમ $J / s^{-1} = J \cdot s$ (જૂલ-સેકન્ડ) થાય છે.

(A) દબાણ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતું બળ,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.
પ્રતિબળ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉદ્ભવતું પુનઃસ્થાપક બળ,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર પણ $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.
બંનેના પારિમાણિક સૂત્રો સમાન હોવાથી,સાચી જોડી દબાણ અને પ્રતિબળ છે.

(C) $\text{યંગ }\text{મોડ્યુલસ}$,$\text{પ્રતિબળ}$ અને $\text{દબાણ}$ માટેનું પરિમાણીય સૂત્ર $\frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
$\text{વિકૃતિ}$ એ પરિમાણમાં થતા ફેરફાર અને મૂળ પરિમાણનો ગુણોત્તર છે,એટલે કે $\text{વિકૃતિ }= \frac{\Delta L}{L}$.
વિકૃતિ એ બે સમાન ભૌતિક રાશિઓનો ગુણોત્તર હોવાથી,તે પરિમાણરહિત રાશિ છે,જેને $[M^0 L^0 T^0]$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,પરિમાણીય સૂત્ર $ML^{-1}T^{-2}$ એ $\text{વિકૃતિ}$ દર્શાવતું નથી.

(B) પાવરનું પરિમાણીય સૂત્ર કાર્ય અને સમયના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાવર = $\frac{\text{કાર્ય}}{\text{સમય}}$.
કાર્યનું પરિમાણીય સૂત્ર $M{L^2}{T^{ - 2}}$ છે.
સમયનું પરિમાણીય સૂત્ર $T$ છે.
તેથી,પાવર = $\frac{M{L^2}{T^{ - 2}}}{T} = M{L^2}{T^{ - 3}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) કેલરી એ ઉષ્માનો એકમ છે,જે ઉર્જાનું એક સ્વરૂપ છે.
ઉર્જા એ કાર્ય કરવાની ક્ષમતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર કાર્યના પારિમાણિક સૂત્ર સમાન હોય છે.
કાર્ય = બળ $\times$ સ્થાનાંતર.
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર = $[M L T^{-2}]$.
સ્થાનાંતરનું પારિમાણિક સૂત્ર = $[L]$.
તેથી,ઉર્જા (અને આમ કેલરી) નું પારિમાણિક સૂત્ર = $[M L T^{-2}] \times [L] = [M L^2 T^{-2}]$.

(B) કોણીય વેગમાન $(L)$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર રેખીય વેગમાન $(p)$ અને ત્રિજ્યા $(r)$ ના ગુણાકાર દ્વારા મેળવી શકાય છે.
$L = p \times r = (mv) \times r$
દળ $(M)$,વેગ $(L{T^{-1}})$ અને લંબાઈ $(L)$ ના પરિમાણો મૂકતા:
$L = [M] \times [L{T^{-1}}] \times [L] = M{L^2}{T^{-1}}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(C) ઇન્ડક્ટન્સ $L$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $E = \frac{1}{2} L i^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $E$ એ ઉર્જા છે અને $i$ એ પ્રવાહ છે. તેથી,$L = \frac{2E}{i^2}$.
પરિમાણો મૂકતા: $[L] = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[A^2]} = [ML^2T^{-2}A^{-2}]$.
અવરોધ $R$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $V = iR$ પરથી મળે છે,તેથી $R = \frac{V}{i} = \frac{W}{qi} = \frac{W}{i^2t}$.
પરિમાણો મૂકતા: $[R] = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[A^2T]} = [ML^2T^{-3}A^{-2}]$.
હવે,$\frac{L}{R}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[ML^2T^{-2}A^{-2}]}{[ML^2T^{-3}A^{-2}]} = [T]$ થશે.
તેથી,$\frac{L}{R}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^0 T^1]$ છે.

(C) આઘાત (Impulse) એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ: $J = \Delta p$. આઘાત એ વેગમાનમાં થતો ફેરફાર હોવાથી,બંને રાશિઓ સમાન ભૌતિક પરિમાણો ધરાવે છે. બંને માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-1}]$ છે. તેથી,સાચી જોડી વેગમાન અને આઘાત છે.

(B) $RC$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ એ અવરોધ $R$ અને કેપેસીટન્સ $C$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવરોધ $R$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[R] = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ છે.
કેપેસીટન્સ $C$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[C] = [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]$ છે.
આ પરિમાણોનો ગુણાકાર કરતા: $[RC] = [M L^2 T^{-3} A^{-2}] \times [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]$.
$[RC] = [M^{1-1} L^{2-2} T^{-3+4} A^{-2+2}] = [M^0 L^0 T^1 A^0]$.
આમ,$RC$ ના પરિમાણો સમય $T$ ના પરિમાણો સમાન છે.

(A) ટોર્કનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
કાર્યનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
બંનેના પારિમાણિક સૂત્રો સમાન હોવાથી,સાચી જોડી ટોર્ક અને કાર્ય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની અવસ્થા બદલવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા $Q$ નું સૂત્ર $Q = mL$ છે,જ્યાં $L$ એ ગુપ્ત ઉષ્મા છે.
તેથી,ગુપ્ત ઉષ્મા $L$ માટેનું સૂત્ર $L = \frac{Q}{m}$ થાય.
ઉષ્મા $Q$ એ ઉર્જાનું એક સ્વરૂપ હોવાથી,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.
દળ $m$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1]$ છે.
આ કિંમતોને $L$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = \frac{[M^1 L^2 T^{-2}]}{[M^1]} = [M^0 L^2 T^{-2}]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) કદ સ્થિતિસ્થાપકતા (બલ્ક મોડ્યુલસ) ને પ્રતિબળ અને કદ વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કદ સ્થિતિસ્થાપકતા = $\frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{કદ વિકૃતિ}} = \frac{\text{બળ/ક્ષેત્રફળ}}{\text{કદમાં ફેરફાર/મૂળ કદ}}$.
વિકૃતિ એ બે સમાન ભૌતિક રાશિઓનો ગુણોત્તર હોવાથી,તે પરિમાણરહિત છે.
તેથી,કદ સ્થિતિસ્થાપકતાના પરિમાણો એ પ્રતિબળ (બળ/ક્ષેત્રફળ) ના પરિમાણો સમાન હોય છે.
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર = $[M^1 L^1 T^{-2}]$.
ક્ષેત્રફળનું પારિમાણિક સૂત્ર = $[L^2]$.
કદ સ્થિતિસ્થાપકતાનું પારિમાણિક સૂત્ર = $\frac{[M^1 L^1 T^{-2}]}{[L^2]} = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$d$ અંતરે રહેલા બે દળ $m_1$ અને $m_2$ વચ્ચે લાગતું બળ $F = \frac{G m_1 m_2}{d^2}$ છે.
સૂત્રને ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ માટે ગોઠવતા,$G = \frac{F d^2}{m_1 m_2}$ મળે છે.
બળ $F$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}]$ છે,અંતર $d$ માટે $[L]$ છે,અને દળ $m$ માટે $[M]$ છે.
આ કિંમતો $G$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $[G] = \frac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M][M]} = \frac{[ML^3T^{-2}]}{[M^2]} = [M^{-1}L^3T^{-2}]$.

(A) કોણીય વેગ $(\omega)$ એ સમય $(t)$ ની સાપેક્ષમાં કોણીય સ્થાનાંતર $( \theta)$ માં થતા ફેરફારનો દર છે.
ગાણિતિક રીતે,$\omega = \frac{\theta}{t}$.
કોણીય સ્થાનાંતર $( \theta)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર પરિમાણરહિત છે,જેને $[M^0L^0T^0]$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
સમય $(t)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[T]$ છે.
તેથી,કોણીય વેગનું પારિમાણિક સૂત્ર $[\omega] = \frac{[M^0L^0T^0]}{[T]} = [M^0L^0T^{-1}]$ થાય છે.

(A) પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર,જેનું સૂત્ર $P = \frac{W}{t}$ છે.
કાર્ય $(W)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.
સમય $(t)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[T^1]$ છે.
તેથી,પાવરનું પારિમાણિક સૂત્ર: $[P] = \frac{[M^1 L^2 T^{-2}]}{[T^1]} = [M^1 L^2 T^{-3}]$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) બળયુગ્મ (Couple) એ બળ અને બે બળો વચ્ચેના લંબ અંતર (ભુજાની લંબાઈ) ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\text{Couple} = \text{Force} \times \text{Arm length}$.
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}]$ છે.
લંબાઈનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
તેથી,બળયુગ્મના પરિમાણો $[MLT^{-2}] \times [L] = [ML^2T^{-2}]$ થાય છે.

(B) કોણીય વેગમાન $(L)$ એ રેખીય વેગમાન $(p)$ અને પરિભ્રમણની ધરીથી લંબ અંતર $(r)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,$L = p \times r$.
રેખીય વેગમાન $p = m \times v$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
દળ $m$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M]$ છે.
વેગ $v$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L{T^{ - 1}}]$ છે.
અંતર $r$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
તેથી,કોણીય વેગમાનનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M] \times [L{T^{ - 1}}] \times [L] = [M{L^2}{T^{ - 1}}]$ થાય છે.

(B) આવેગ એ બળ અને સમયગાળાના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આવેગ = બળ $\times$ સમય
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર = $[MLT^{-2}]$
સમયનું પારિમાણિક સૂત્ર = $[T]$
તેથી,આવેગનું પારિમાણિક સૂત્ર = $[MLT^{-2}] \times [T] = [MLT^{-1}]$.

(A) $r.m.s.$ (રૂટ મીન સ્ક્વેર) વેગ એ એક પ્રકારનો વેગ છે,અને તમામ વેગના પરિમાણો ઝડપ સમાન હોય છે.
વેગની વ્યાખ્યા સ્થાનાંતર ભાગ્યા સમય તરીકે કરવામાં આવે છે,જે $\frac{\text{લંબાઈ}}{\text{સમય}}$ છે.
લંબાઈ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે અને સમય માટે $[T]$ છે.
તેથી,વેગ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L T^{-1}]$ થાય છે.
દળ,લંબાઈ અને સમયના સંદર્ભમાં,આને $[M^0 L T^{-1}]$ તરીકે લખવામાં આવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ફોટોનની ઉર્જા સમીકરણ $E = h \nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ ઉર્જા છે,$h$ એ પ્લાન્ક અચળાંક છે,અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
$h$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,આપણને $h = \frac{E}{\nu}$ મળે છે.
ઉર્જા $E$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
આવૃત્તિ $\nu$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[T^{-1}]$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $[h] = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [M L^2 T^{-1}]$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્ક અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
આમ,$h$ નું પરિમાણ $[h] = [E] / [\nu]$ થાય.
$[E] = [M L^2 T^{-2}]$ અને $[\nu] = [T^{-1}]$.
તેથી,$[h] = [M L^2 T^{-2}] / [T^{-1}] = [M L^2 T^{-1}]$.
કોણીય વેગમાન $L$ ને $L = mvr$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$v$ એ વેગ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
$[L] = [M] [L T^{-1}] [L] = [M L^2 T^{-1}]$.
તેથી,પ્લાન્ક અચળાંકનું પરિમાણ કોણીય વેગમાનના પરિમાણ જેટલું જ છે.

(A) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}Li^2$ છે.
ઉર્જા એ કાર્યનું પરિમાણ ધરાવે છે,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M{L^2}{T^{-2}}]$ છે.
$\frac{1}{2}$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક હોવાથી,$Li^2$ ના પરિમાણો ઉર્જાના પરિમાણો સમાન જ હોય છે.
તેથી,$Li^2$ ના પરિમાણો $[M{L^2}{T^{-2}}]$ છે.

(C) આપેલ સંબંધ $m = A/B$ પરથી,આપણે $B$ ને $B = A/m$ તરીકે લખી શકીએ.
રેખીય ઘનતા $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{-1}]$ છે.
બળ $A$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L T^{-2}]$ છે.
આ કિંમતોને $B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$[B] = \frac{[M L T^{-2}]}{[M L^{-1}]} = [L^2 T^{-2}]$.
ગુપ્ત ઉષ્મા $L$ એ એકમ દળ દીઠ ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-2}] / [M] = [L^2 T^{-2}]$ છે.
આમ,$B$ નું પારિમાણિક સૂત્ર ગુપ્ત ઉષ્માના પારિમાણિક સૂત્ર સમાન છે.

(C) ધ્વનિનો વેગ એ એક પ્રકારની ઝડપ અથવા વેગ છે,જે સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
વેગનું પારિમાણિક સૂત્ર = $\frac{[\text{સ્થાનાંતર}]}{[\text{સમય}]}$.
સ્થાનાંતરનું પરિમાણ લંબાઈ $[L]$ છે અને સમયનું પરિમાણ $[T]$ છે,તેથી પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[L]}{[T]} = [L{T^{ - 1}}]$ થાય છે.
આને દળ,લંબાઈ અને સમયના સંદર્ભમાં દર્શાવતા,આપણને $[{M^0}L{T^{ - 1}}]$ મળે છે.

(A) કેપેસીટન્સ $C$ એ વિદ્યુતભાર $Q$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $C = \frac{Q}{V}$ છે.
કારણ કે $V = \frac{W}{Q}$,જ્યાં $W$ એ કાર્ય છે,આપણે લખી શકીએ $C = \frac{Q^2}{W}$.
વિદ્યુતભાર $Q$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[A^1T^1]$ છે.
કાર્ય $W$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1L^2T^{-2}]$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $C = \frac{[A^1T^1]^2}{[M^1L^2T^{-2}]} = \frac{[A^2T^2]}{[M^1L^2T^{-2}]}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $[C] = [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$ મળે છે.

(B) વેગમાન માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
વેગમાન $(p)$ = દળ $(m)$ $\times$ વેગ $(v)$.
દળના પરિમાણો $[M]$ છે.
વેગના પરિમાણો $[LT^{-1}]$ છે.
તેથી,વેગમાન માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M] \times [LT^{-1}] = [MLT^{-1}]$ થાય છે.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(A) ઉષ્મા ઉર્જા એ ઉર્જાનું એક સ્વરૂપ છે. ઉર્જાના કોઈપણ સ્વરૂપ (ગતિજ,સ્થિતિજ,ઉષ્મા,કાર્ય,વગેરે) માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $\text{કાર્ય }= \text{બળ }\times \text{સ્થાનાંતર}$ ના સૂત્ર પરથી મેળવવામાં આવે છે.
કારણ કે $\text{બળ }= \text{દળ }\times \text{પ્રવેગ}$,બળના પરિમાણો $[M^1L^1T^{-2}]$ છે.
તેથી,ઉર્જાના પરિમાણો $[M^1L^1T^{-2}] \times [L^1] = [M^1L^2T^{-2}]$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
કાર્યને બળ અને સ્થાનાંતરના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$W = F \cdot d$.
કાર્યનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}] \times [L] = [ML^2T^{-2}]$ છે.
આમ,ઉર્જા અને કાર્ય બંનેના પારિમાણિક સૂત્રો સમાન $[ML^2T^{-2}]$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) કાર્યનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
પાવરનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-3}]$ છે.
વેગમાનનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-1}]$ છે.
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}]$ છે.
કાર્ય અને ઉર્જા બંનેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ હોવાથી,તેમના પરિમાણો સમાન છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) આપેલ જોડીઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$(a)$ કાર્ય અને ઉર્જા બંનેના પરિમાણો $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
$(b)$ ખૂણો (ચાપ/ત્રિજ્યા) અને વિકૃતિ (લંબાઈમાં ફેરફાર/મૂળ લંબાઈ) બંને પરિમાણરહિત રાશિઓ છે,એટલે કે $[M^0 L^0 T^0]$.
$(c)$ સાપેક્ષ ઘનતા (પદાર્થની ઘનતા/પાણીની ઘનતા) અને વક્રીભવનાંક (શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ/માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ) બંને સમાન ભૌતિક રાશિઓના ગુણોત્તર છે,તેથી તેઓ પરિમાણરહિત છે,એટલે કે $[M^0 L^0 T^0]$.
$(d)$ પ્લાન્ક અચળાંક $(h)$ ના પરિમાણો $[M L^2 T^{-1}]$ છે,જ્યારે ઉર્જા $(E)$ ના પરિમાણો $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
તેથી,તેમના પરિમાણો અલગ હોવાથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો જવાબ છે.

(B) આવૃત્તિ એટલે એકમ સમયમાં થતા દોલનો કે ચક્રની સંખ્યા.
ગાણિતિક રીતે,$\text{આવૃત્તિ} = \frac{1}{\text{આવર્તકાળ}}$.
સમયનું પારિમાણિક સૂત્ર $[T]$ છે.
તેથી,આવૃત્તિનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{1}{[T]} = [T^{-1}]$ થાય.
દળ,લંબાઈ અને સમયના સંદર્ભમાં,આને $[M^0 L^0 T^{-1}]$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ઉર્જા (ગતિ ઉર્જા અથવા સ્થિતિ ઉર્જા) નું પારિમાણિક સૂત્ર બળ અને સ્થાનાંતરના ગુણાકાર દ્વારા મેળવવામાં આવે છે.
બળ $F = [M L T^{-2}]$
સ્થાનાંતર $d = [L]$
ઉર્જા $E = F \times d = [M L T^{-2}] \times [L] = [M L^2 T^{-2}]$
દબાણનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે,વેગમાનનું $[M L T^{-1}]$ છે,અને પાવરનું $[M L^2 T^{-3}]$ છે.
તેથી,પદ $[M L^2 T^{-2}]$ એ ગતિ ઉર્જા દર્શાવે છે.

(A) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\varepsilon_0$ એ મુક્ત અવકાશની પરમિટિવિટી છે અને $\mu_0$ એ મુક્ત અવકાશની પરમીબિલિટી છે.
જેহেতু $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ દર્શાવે છે,તેથી તેનું પરિમાણ વેગના પરિમાણ જેવું જ હોય છે,જે $[LT^{-1}]$ છે.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$ નું પરિમાણ વેગ જેવું છે.

(A) પ્રશ્ન મુજબ,$\text{muscle} \times \text{speed} = \text{power}$.
તેથી,$\text{muscle} = \frac{\text{power}}{\text{speed}}$.
પાવરનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-3}]$ છે.
ઝડપનું પારિમાણિક સૂત્ર $[LT^{-1}]$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\text{muscle} = \frac{[ML^2T^{-3}]}{[LT^{-1}]} = [MLT^{-2}]$.

(B) તરંગ સંખ્યાને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તરંગ સંખ્યા = $\frac{1}{\lambda}$.
તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ એ લંબાઈનું માપ હોવાથી,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^1 T^0]$ છે.
તેથી,તરંગ સંખ્યાનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{1}{[M^0 L^1 T^0]} = [M^0 L^{-1} T^0]$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) દબાણ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ પર લાગતું બળ.
$P = \frac{F}{A}$
બળ $(F)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}]$ છે.
ક્ષેત્રફળ $(A)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^2]$ છે.
તેથી,દબાણના પરિમાણો:
$[P] = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.

(A) બે સમાંતર પ્રવાહધારિત તાર વચ્ચે લાગતા એકમ લંબાઈ દીઠ બળનું સૂત્ર: $F/l = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}$ છે.
$\mu_0$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $\mu_0 = \frac{2\pi r F}{l I_1 I_2}$.
બળ $F$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-2}]$ છે.
લંબાઈ $l$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^1]$ છે.
પ્રવાહ $I$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[A^1]$ છે.
અંતર $r$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^1]$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $[\mu_0] = \frac{[L^1] [M^1 L^1 T^{-2}]}{[L^1] [A^1] [A^1]}$.
પદને સાદું રૂપ આપતા: $[\mu_0] = [M^1 L^1 T^{-2} A^{-2}]$.

(A) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} L i^2$ છે.
$L$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$L = \frac{2E}{i^2}$ મળે છે.
ઉર્જા $E$ નું પરિમાણીય સૂત્ર $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
પ્રવાહ $i$ નું પરિમાણીય સૂત્ર $[A]$ છે.
આ કિંમતો $L$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[A]^2} = [M L^2 T^{-2} A^{-2}]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) પાવર $(P)$ એ કાર્ય કરવાના દર અથવા ઉર્જાના સ્થાનાંતરના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$P = \frac{\text{કાર્ય}}{\text{સમય}} = \frac{W}{t}$
કાર્ય $(W)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
સમય $(t)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[T]$ છે.
તેથી,પાવરનું પારિમાણિક સૂત્ર:
$P = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[T]} = [ML^2T^{-3}]$
આને સામાન્ય પારિમાણિક સૂત્ર $[M^aL^bT^c]$ સાથે સરખાવતા,સમયનું પરિમાણ $c = -3$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
અહીં,$m$ એ દળ છે,જેનું પરિમાણ $[M]$ છે.
$v$ એ વેગ છે,જેનું પરિમાણ $[LT^{-1}]$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$[K.E.] = [M] \times [LT^{-1}]^2 = [M] \times [L^2T^{-2}] = [ML^2T^{-2}]$.
તેથી,ગતિ ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.

(A) ટોર્ક $( \tau)$ ને બળ અને પરિભ્રમણની ધરીથી લંબ અંતરના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$ \tau = \text{બળ} \times \text{અંતર}$.
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L T^{-2}]$ છે.
અંતરનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
તેથી,ટોર્કનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L T^{-2}] \times [L] = [M L^2 T^{-2}]$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.