Errors of Measurement Questions in Gujarati

(C) સમયગાળા માટેનું સૂત્ર: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}$,જેનો અર્થ છે કે $g = 4\pi^2 \frac{l}{T^2}$.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
અહીં $l = 100 \, cm = 1000 \, mm$ અને $\Delta l = 1 \, mm$ આપેલ છે,તેથી $l$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ: $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = \frac{1}{1000} \times 100 = 0.1 \%$.
$100$ દોલનો માટે,કુલ સમય $t = 100T = 200 \, s$ છે. સ્ટોપવોચનું લઘુત્તમ માપ $\Delta t = 0.1 \, s$ છે.
સમયગાળા $T$ માં ત્રુટિ $\Delta T = \frac{\Delta t}{100} = \frac{0.1}{100} = 0.001 \, s$ છે.
$T$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ: $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = \frac{0.001}{2} \times 100 = 0.05 \%$.
તેથી,$g$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ: $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = (0.1 \%) + 2 \times (0.05 \%) = 0.1 \% + 0.1 \% = 0.2 \%$.

(B) ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ગતિઊર્જામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta K.E.}{K.E.} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta v}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
$K.E. \text{ માં પ્રતિશત ત્રુટિ} = (m \text{ માં } \% \text{ ત્રુટિ}) + 2 \times (v \text{ માં } \% \text{ ત્રુટિ})$.
આપેલ છે કે દળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $2\%$ છે અને ઝડપમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $3\%$ છે,તેથી આ કિંમતો મૂકતા:
$K.E. \text{ માં પ્રતિશત ત્રુટિ} = 2\% + 2 \times 3\% = 2\% + 6\% = 8\%$.
તેથી,ગતિઊર્જાના અંદાજમાં મહત્તમ ત્રુટિ $8\%$ હશે.

(D) $n$ અવલોકનોના અંકગણિતીય મધ્યકમાં રહેલી યાદચ્છિક ત્રુટિ $\Delta \bar{a} = \frac{\Delta a}{\sqrt{n}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta a$ એ એક અવલોકનમાં રહેલી ત્રુટિ છે.
$n_1 = 100$ અવલોકનો માટે,યાદચ્છિક ત્રુટિ $x = \frac{\Delta a}{\sqrt{100}} = \frac{\Delta a}{10}$ છે.
$n_2 = 400$ અવલોકનો માટે,યાદચ્છિક ત્રુટિ $x' = \frac{\Delta a}{\sqrt{400}} = \frac{\Delta a}{20}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{x'}{x} = \frac{\Delta a / 20}{\Delta a / 10} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$x' = \frac{1}{2}x$.

(B) ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે છે $\ln V = \ln(\frac{4}{3} \pi) + 3 \ln r$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર મળે છે: $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$.
ટકાવારી ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણતા: $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times (\frac{\Delta r}{r} \times 100)$.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં ટકાવારી ત્રુટિ $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 1\%$ છે.
તેથી,ઘનફળમાં ટકાવારી ત્રુટિ $3 \times 1\% = 3\%$ થશે.

(C) સરેરાશ આવર્તકાળ $T = 2.00 \, s$ આપેલ છે.
આવર્તકાળમાં સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta T = 0.05 \, s$ આપેલ છે.
કોઈપણ ભૌતિક રાશિ કે જેમાં ત્રુટિ હોય તેને $(T \pm \Delta T)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,આપેલ કિંમતો મૂકતા,આવર્તકાળને $(2.00 \pm 0.05) \, s$ તરીકે લખી શકાય.

(B) આપેલ છે: અંતર $S = (13.8 \pm 0.2) \ m$ અને સમય $t = (4.0 \pm 0.3) \ s$.
વેગ $v = \frac{S}{t} = \frac{13.8}{4.0} = 3.45 \ ms^{-1}$.
વેગમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta v}{v} = \frac{\Delta S}{S} + \frac{\Delta t}{t}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta v}{3.45} = \frac{0.2}{13.8} + \frac{0.3}{4.0}$.
$\frac{\Delta v}{3.45} = 0.0145 + 0.075 = 0.0895$.
$\Delta v = 3.45 \times 0.0895 \approx 0.3087 \ ms^{-1}$.
એક સાર્થક અંક સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$\Delta v \approx 0.3 \ ms^{-1}$.
આમ,વેગ $(3.45 \pm 0.3) \ ms^{-1}$ છે.

(C) વેગ $v$ એ $v = \frac{d}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભાગાકાર માટે,સાપેક્ષ ત્રુટિ એ વ્યક્તિગત રાશિઓની સાપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો છે: $\frac{\Delta v}{v} = \frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta t}{t}$.
વેગમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $= \left( \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta t}{t} \times 100 \right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\left( \frac{0.2}{13.8} \times 100 \right) + \left( \frac{0.3}{4.0} \times 100 \right)$.
$= 1.449 + 7.5 = 8.949 \% \approx 8.95 \%$.

(C) ટકાવારી ભૂલને નિરપેક્ષ ભૂલ અને માપેલા મૂલ્યના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેને $100$ વડે ગુણવામાં આવે છે.
$\text{ટકાવારી ભૂલ} = \left( \frac{\text{માપેલું મૂલ્ય} - \text{ચોક્કસ મૂલ્ય}}{\text{ચોક્કસ મૂલ્ય}} \times 100 \right) \times 100\%$.
અંશ અને છેદ બંને સમાન ભૌતિક એકમો ધરાવતા હોવાથી,તેઓ એકબીજાને રદ કરે છે.
તેથી,ટકાવારી ભૂલ એ પરિમાણરહિત રાશિ છે અને તેનો કોઈ એકમ નથી.

(B) માપનની ચોકસાઈ એ માપેલું મૂલ્ય સાચા મૂલ્યની કેટલું નજીક છે તેનું માપ છે.
નિરપેક્ષ ત્રુટિ (Absolute error) ને ભૌતિક રાશિના માપેલા મૂલ્ય અને સાચા મૂલ્ય વચ્ચેના તફાવત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
નિરપેક્ષ ત્રુટિ સીધી રીતે સાચા મૂલ્યથી વિચલન દર્શાવતી હોવાથી,તે માપનની ચોકસાઈ નક્કી કરવા માટે વપરાતું મુખ્ય સૂચક છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ગોળાના કદનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
કદમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$\text{કદમાં પ્રતિશત ત્રુટિ} = 3 \times \left( \frac{\Delta r}{r} \right) \times 100$.
અહીં $r = 5.3 \, cm$ અને $\Delta r = 0.1 \, cm$ આપેલ છે,આ કિંમતો મૂકતા:
$\text{પ્રતિશત ત્રુટિ} = 3 \times \left( \frac{0.1}{5.3} \right) \times 100$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ સંબંધ: $a = \frac{b^\alpha c^\beta}{d^\gamma e^\delta}$.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના સિદ્ધાંત મુજબ,$a = b^\alpha c^\beta d^{-\gamma} e^{-\delta}$ રાશિ માટે,મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ એ ઘટકોની સાપેક્ષ ત્રુટિઓના તેમના ઘાતાંક સાથેના ગુણાકારના સરવાળા જેટલી હોય છે.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right)_{\max} = |\alpha| \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + |\beta| \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right) + |-\gamma| \left( \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right) + |-\delta| \left( \frac{\Delta e}{e} \times 100 \right)$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ $b_1\%, c_1\%, d_1\%, e_1\%$ મૂકતા:
$\left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right)_{\max} = (\alpha b_1 + \beta c_1 + \gamma d_1 + \delta e_1)\%$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) હવામાં વજન $W_a = (5.00 \pm 0.05) \ N$.
પાણીમાં વજન $W_w = (4.00 \pm 0.05) \ N$.
પાણીમાં વજનમાં ઘટાડો $W_L = W_a - W_w = (5.00 - 4.00) \pm (0.05 + 0.05) = (1.00 \pm 0.10) \ N$.
સાપેક્ષ ઘનતા $RD = \frac{W_a}{W_L} = \frac{5.00}{1.00} = 5.0$.
મહત્તમ અનુમતિપાત્ર પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta RD}{RD} \times 100 = \left( \frac{\Delta W_a}{W_a} + \frac{\Delta W_L}{W_L} \right) \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\left( \frac{0.05}{5.00} + \frac{0.10}{1.00} \right) \times 100 = (0.01 + 0.10) \times 100 = 1\% + 10\% = 11\%$.
આમ,સાપેક્ષ ઘનતા $5.0 \pm 11\%$ છે.

(B) આપેલ છે: $V = 100 \pm 5 \, \text{V}$ અને $I = 10 \pm 0.2 \, \text{A}$.
$R = \frac{V}{I}$ હોવાથી,$R$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીશું:
$\left( \frac{\Delta R}{R} \times 100 \right)_{\max} = \left( \frac{\Delta V}{V} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta I}{I} \times 100 \right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$= \left( \frac{5}{100} \times 100 \right) + \left( \frac{0.2}{10} \times 100 \right)$.
$= 5\% + 2\% = 7\%$.
તેથી,$R$ માં કુલ પ્રતિશત ત્રુટિ $7\%$ છે.

(B) પગલું $1$: આવર્તકાળનું સરેરાશ મૂલ્ય $(T_{mean})$ શોધો.
$T_{mean} = \frac{2.63 + 2.56 + 2.42 + 2.71 + 2.80}{5} = \frac{13.12}{5} = 2.624\, s \approx 2.62\, s$.
પગલું $2$: દરેક માપન માટે નિરપેક્ષ ત્રુટિ $(|\Delta T_i| = |T_i - T_{mean}|)$ શોધો.
$|\Delta T_1| = |2.63 - 2.62| = 0.01\, s$
$|\Delta T_2| = |2.56 - 2.62| = 0.06\, s$
$|\Delta T_3| = |2.42 - 2.62| = 0.20\, s$
$|\Delta T_4| = |2.71 - 2.62| = 0.09\, s$
$|\Delta T_5| = |2.80 - 2.62| = 0.18\, s$
પગલું $3$: સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ $(\Delta T_{mean})$ શોધો.
$\Delta T_{mean} = \frac{0.01 + 0.06 + 0.20 + 0.09 + 0.18}{5} = \frac{0.54}{5} = 0.108\, s$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\Delta T_{mean} = 0.11\, s$ મળે છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ માટેનું સૂત્ર $Y = \frac{4MgL}{\pi D^2 l}$ છે.
$Y$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta M}{M} + \frac{\Delta g}{g} + \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta l}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો $M = 3.00 \, kg$ $(\Delta M = 0.01 \, kg)$,$L = 2.820 \, m$ $(\Delta L = 0.001 \, m)$,$l = 0.087 \, cm$ $(\Delta l = 0.001 \, cm)$,$D = 0.041 \, cm$ $(\Delta D = 0.001 \, cm)$ છે.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta Y}{Y} \times 100 = \left( \frac{0.01}{3.00} + \frac{0.001}{2.820} + 2 \times \frac{0.001}{0.041} + \frac{0.001}{0.087} \right) \times 100$.
નોંધ: જો $g$ ને અચળ લેવામાં આવે તો $\frac{\Delta g}{g}$ પદને અવગણવામાં આવે છે. કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$\frac{\Delta Y}{Y} \times 100 \approx (0.00333 + 0.00035 + 0.04878 + 0.01149) \times 100 \approx 0.06395 \times 100 \approx 6.4\%$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $6.5\%$ છે.

(B) ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા માટેનું સૂત્ર: $H = I^2Rt$.
$H$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ ત્રુટિઓના પ્રસરણના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{\Delta H}{H} = 2\frac{\Delta I}{I} + \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta t}{t}$.
ટકાવારી ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{\Delta H}{H} \times 100 = \left( 2 \times \frac{\Delta I}{I} \times 100 + \frac{\Delta R}{R} \times 100 + \frac{\Delta t}{t} \times 100 \right)$.
આપેલ ટકાવારી ત્રુટિઓ $(3\%, 4\%, 6\%)$ મૂકતા:
$\frac{\Delta H}{H} \times 100 = (2 \times 3\% + 4\% + 6\%)$.
પરિણામની ગણતરી કરતા:
$\frac{\Delta H}{H} \times 100 = (6\% + 4\% + 6\%) = 16\%$.
આમ,$H$ ના માપનમાં ત્રુટિ $\pm 16\%$ છે.

(D) પદાર્થની ગતિઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
અહીં $m$ અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જામાં થતો સાપેક્ષ ફેરફાર વેગ $v$ સાથે $\frac{\Delta E}{E} \approx 2 \frac{\Delta v}{v}$ સંબંધ ધરાવે છે.
આપેલ છે કે વેગમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = 50\%$ છે,જેનો અર્થ છે કે નવો વેગ $v' = v + 0.5v = 1.5v$ થાય.
નવી ગતિઊર્જા $E'$ એ $E' = \frac{1}{2}m(v')^2 = \frac{1}{2}m(1.5v)^2 = 2.25 \times (\frac{1}{2}mv^2) = 2.25E$ થશે.
ગતિઊર્જામાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{E' - E}{E} \times 100 = \frac{2.25E - E}{E} \times 100 = 1.25 \times 100 = 125\%$ થાય.

(C) $P$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{\Delta P}{P} = 3 \frac{\Delta A}{A} + \frac{1}{2} \frac{\Delta B}{B} + 4 \frac{\Delta C}{C} + \frac{3}{2} \frac{\Delta D}{D}$.
પ્રતિશત ત્રુટિના સમીકરણમાં,દરેક સાપેક્ષ ત્રુટિ પદનો સહગુણક કુલ ત્રુટિમાં તે રાશિના ફાળાનું વજન દર્શાવે છે.
અહીં સહગુણકો $A$ માટે $3$,$B$ માટે $0.5$,$C$ માટે $4$ અને $D$ માટે $1.5$ છે.
જેহেতু $\frac{\Delta C}{C}$ નો સહગુણક સૌથી મોટો $(4)$ છે,તેથી રાશિ $C$ એ $P$ માં મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ લાવે છે.

(C) ધારો કે સળિયા $A$ ની લંબાઈ $L_A = 3.25 \pm 0.01 \,cm$ છે અને સળિયા $B$ ની લંબાઈ $L_B = 4.19 \pm 0.01 \,cm$ છે.
સળિયો $B$ એ સળિયા $A$ કરતા કેટલો લાંબો છે તે શોધવા માટે,આપણે તફાવત $L_B - L_A$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
લંબાઈમાં તફાવત $\Delta L = L_B - L_A = (4.19 - 3.25) \pm (\Delta L_B + \Delta L_A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મૂલ્યોની બાદબાકી કરતા: $4.19 - 3.25 = 0.94 \,cm$.
નિરપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો કરતા: $0.01 + 0.01 = 0.02 \,cm$.
તેથી,તફાવત $0.94 \pm 0.02 \,cm$ છે.

(A) આપેલ ભૌતિક રાશિ $X = M^a L^b T^c$ છે.
ત્રુટિના સિદ્ધાંત મુજબ,જો કોઈ રાશિ $X$ એ માપેલ રાશિઓ $M, L$ અને $T$ સાથે $X = M^a L^b T^c$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ હોય,તો $X$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta X}{X} = a \left( \frac{\Delta M}{M} \right) + b \left( \frac{\Delta L}{L} \right) + c \left( \frac{\Delta T}{T} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે સહગુણકોના નિરપેક્ષ મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$X$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta X}{X} \times 100 = a \left( \frac{\Delta M}{M} \times 100 \right) + b \left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right) + c \left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \right)$ દ્વારા મળે છે.
$M, L$ અને $T$ માટે આપેલી પ્રતિશત ત્રુટિઓ $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$X$ માં મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ $= a\alpha + b\beta + c\gamma$.

(D) આપેલ સંબંધ: $A = \frac{a^2 b^3}{c \sqrt{d}}$
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ:
$\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 1\%$
$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 3\%$
$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 2\%$
$\frac{\Delta d}{d} \times 100 = 2\%$
$A$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર:
$\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta a}{a} + 3 \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{1}{2} \frac{\Delta d}{d}$
પ્રતિશત ત્રુટિ મેળવવા માટે $100$ વડે ગુણતા:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 2 \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 2(1\%) + 3(3\%) + 2\% + \frac{1}{2}(2\%)$
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 2\% + 9\% + 2\% + 1\% = 14\%$
આમ,$A$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $14\%$ છે.

(D) ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\pi r^2 L}$ છે.
ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta L}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો $M = 0.3 \, g, \Delta M = 0.003 \, g$; $r = 0.5 \, mm, \Delta r = 0.005 \, mm$; $L = 6 \, cm, \Delta L = 0.06 \, cm$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.003}{0.3} + 2 \times \frac{0.005}{0.5} + \frac{0.06}{6}$.
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.01 + 2 \times 0.01 + 0.01 = 0.01 + 0.02 + 0.01 = 0.04$.
પ્રતિશત ત્રુટિ $= \frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 0.04 \times 100 = 4\%$.

(D) આપેલ છે: $V = 100\,V$,$\Delta V = 0.5\,V$,$I = 10\,A$,$\Delta I = 0.2\,A$.
અવરોધ $R = \frac{V}{I} = \frac{100}{10} = 10\,\Omega$.
અવરોધમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta R}{10} = \frac{0.5}{100} + \frac{0.2}{10} = 0.005 + 0.02 = 0.025$.
તેથી,$\Delta R = 10 \times 0.025 = 0.25\,\Omega$.
અવરોધનું મૂલ્ય $R \pm \Delta R = 10 \pm 0.25\,\Omega$ છે.
કારણ કે $10 \pm 0.25\,\Omega$ એ વિકલ્પો $A, B,$ કે $C$ માં નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ઓમના નિયમ મુજબ,અવરોધ $R = \frac{V}{I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવરોધના માપનમાં સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ છે.
અહીં વોલ્ટેજમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3\%$ અને વિદ્યુત પ્રવાહમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta I}{I} \times 100 = 3\%$ આપેલી છે.
તેથી,અવરોધમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 3\% + 3\% = 6\%$ થશે.

(B) ગોળાના કદનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,આપણને મળે છે $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,બંને બાજુ $100$ વડે ગુણો:
$\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times \left( \frac{\Delta r}{r} \times 100 \right)$.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.2\%$ છે.
તેથી,કદમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $3 \times 0.2\% = 0.6\%$ થશે.

(A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન,$\theta_1 = (40.6 \pm 0.2)^{\circ}C$
અંતિમ તાપમાન,$\theta_2 = (78.9 \pm 0.3)^{\circ}C$
તાપમાનમાં થયેલો વધારો $\Delta\theta = \theta_2 - \theta_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta\theta = 78.9 - 40.6 = 38.3^{\circ}C$.
જ્યારે બે રાશિઓની બાદબાકી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નિરપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો થાય છે.
તાપમાનમાં વધારામાં ત્રુટિ,$\Delta(\Delta\theta) = \Delta\theta_1 + \Delta\theta_2$.
$\Delta(\Delta\theta) = 0.2 + 0.3 = 0.5^{\circ}C$.
તેથી,યોગ્ય ત્રુટિ મર્યાદા સાથે તાપમાનમાં થયેલો વધારો $(38.3 \pm 0.5)^{\circ}C$ છે.

(A) $X$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\Delta X}{X} = \frac{\Delta a}{a} + 2\frac{\Delta b}{b} + 3\frac{\Delta c}{c}$
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ છે:
$\frac{\Delta a}{a} \times 100 = \pm 1\%$
$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = \pm 3\%$
$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = \pm 2\%$
આ કિંમતોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = \pm 1\% + 2(\pm 3\%) + 3(\pm 2\%)$
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = \pm 1\% \pm 6\% \pm 6\%$
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે મૂલ્યોનો સરવાળો કરીએ છીએ:
$\text{મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ} = 1\% + 6\% + 6\% = 13\%$
આમ,$X$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\pm 13\%$ થશે.

(C) આપેલ છે: લંબાઈ $l = (5.7 \pm 0.1) \text{ cm}$ અને પહોળાઈ $b = (3.4 \pm 0.2) \text{ cm}$.
ક્ષેત્રફળ $A = l \times b = 5.7 \times 3.4 = 19.38 \text{ cm}^2$.
ક્ષેત્રફળમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta A}{A} = \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta b}{b}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta A}{A} = \frac{0.1}{5.7} + \frac{0.2}{3.4} = \frac{0.34 + 1.14}{19.38} = \frac{1.48}{19.38}$.
તેથી,નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta A = \left( \frac{1.48}{19.38} \right) \times A = \left( \frac{1.48}{19.38} \right) \times 19.38 = 1.48 \text{ cm}^2$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $(19.38 \pm 1.48) \text{ cm}^2$ છે.

(A) માપેલ તાપમાન $T = 37.8 ^\circ C$ છે.
થર્મોમીટરની લઘુત્તમ માપશક્તિ એ નિરપેક્ષ ત્રુટિ છે,$\Delta T = 0.2 ^\circ C$.
તેથી,ત્રુટિ સાથે તાપમાન $(T \pm \Delta T) = (37.8 \pm 0.2) ^\circ C$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
પ્રતિશત ત્રુટિની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\text{પ્રતિશત ત્રુટિ} = \left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \right) \%$
$= \left( \frac{0.2}{37.8} \times 100 \right) \%$
$= \left( \frac{20}{37.8} \right) \% \approx 0.529 \% \approx 0.5 \%$.

(B) ધારો કે $X = ABC$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $\ln X = \ln A + \ln B + \ln C$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે $\frac{dX}{X} = \frac{dA}{A} + \frac{dB}{B} + \frac{dC}{C}$.
નાની ત્રુટિઓ માટે,આને $\frac{\Delta X}{X} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B} + \frac{\Delta C}{C}$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ છે કે $a, b, c$ એ પ્રતિશત ત્રુટિઓ છે,તેથી $a = \frac{\Delta A}{A} \times 100$,$b = \frac{\Delta B}{B} \times 100$,અને $c = \frac{\Delta C}{C} \times 100$.
તેથી,$X = ABC$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta X}{X} \times 100 = (\frac{\Delta A}{A} \times 100) + (\frac{\Delta B}{B} \times 100) + (\frac{\Delta C}{C} \times 100) = a + b + c$ થશે.

(B) રીંગનું તેની ભૌમિતિક અક્ષને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાન $(J) = I \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રીંગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M R^2$ હોવાથી,$J = M R^2 \omega$ થાય.
$J$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta J}{J} = \frac{\Delta M}{M} + 2 \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta \omega}{\omega}$ દ્વારા મળે છે.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીએ:
$\frac{\Delta J}{J} \times 100 = \left( \frac{\Delta M}{M} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta R}{R} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta \omega}{\omega} \times 100 \right)$.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 2 \%$,$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 1 \%$ અને $\frac{\Delta \omega}{\omega} \times 100 = 1 \%$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta J}{J} \times 100 = 2 \% + 2(1 \%) + 1 \% = 2 \% + 2 \% + 1 \% = 5 \%$.

(C) સ્ટોપવોચનું લઘુત્તમ માપ,જે માપનમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિ દર્શાવે છે,તે $\Delta t = \frac{1}{5} \ s = 0.2 \ s$ છે.
$20$ દોલનો માટે માપવામાં આવેલ સમય $t = 25 \ s$ છે.
પ્રતિશત ત્રુટિ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $\text{Percentage Error} = \left( \frac{\Delta t}{t} \right) \times 100$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Percentage Error} = \left( \frac{0.2}{25} \right) \times 100$.
$\text{Percentage Error} = 0.008 \times 100 = 0.8 \%$.

(A) દીવાલની જાડાઈ $(t)$ એ બાહ્ય ત્રિજ્યા $(r_1)$ અને આંતરિક ત્રિજ્યા $(r_2)$ ના તફાવત દ્વારા મળે છે.
$t = r_1 - r_2 = 4.23 \text{ cm} - 3.89 \text{ cm} = 0.34 \text{ cm}$.
જ્યારે બે ભૌતિક રાશિઓની બાદબાકી કરવામાં આવે,ત્યારે નિરપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો થાય છે.
$\Delta t = \Delta r_1 + \Delta r_2 = 0.01 \text{ cm} + 0.01 \text{ cm} = 0.02 \text{ cm}$.
તેથી,દીવાલની જાડાઈ $(t \pm \Delta t) = (0.34 \pm 0.02) \text{ cm}$ થશે.

(C) વર્તુળનો પરિઘ $C$ એ સૂત્ર $C = \pi D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ વ્યાસ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,આપણને મળે છે $\frac{\Delta C}{C} = \frac{\Delta D}{D}$.
આપેલ છે કે વ્યાસમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta D}{D} \times 100\% = 4\%$ છે.
તેથી,પરિઘમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta C}{C} \times 100\% = \frac{\Delta D}{D} \times 100\% = 4\%$ થશે.
આમ,પરિઘમાં ત્રુટિ $4\%$ છે.

(A) પગલું $1$: અવરોધનું સરેરાશ મૂલ્ય $\bar{R}$ શોધો.
$\bar{R} = \frac{4.12 + 4.08 + 4.22 + 4.14}{4} = \frac{16.56}{4} = 4.14 \; \Omega$.
પગલું $2$: દરેક માપનમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિ શોધો.
$\Delta R_1 = |4.14 - 4.12| = 0.02 \; \Omega$
$\Delta R_2 = |4.14 - 4.08| = 0.06 \; \Omega$
$\Delta R_3 = |4.14 - 4.22| = 0.08 \; \Omega$
$\Delta R_4 = |4.14 - 4.14| = 0.00 \; \Omega$
પગલું $3$: સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta \bar{R}$ શોધો.
$\Delta \bar{R} = \frac{0.02 + 0.06 + 0.08 + 0.00}{4} = \frac{0.16}{4} = 0.04 \; \Omega$.
પગલું $4$: સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધો.
સાપેક્ષ ત્રુટિ $= \frac{\Delta \bar{R}}{\bar{R}} = \frac{0.04}{4.14} \approx 0.00966 \approx 0.0096$.

(A) રીંગની તેની ભૌમિતિક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર $I = M R^2$ છે.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે ગુણાકાર અને ઘાત માટે ત્રુટિના પ્રસરણનો નિયમ વાપરીએ છીએ:
$\frac{\Delta I}{I} \times 100 = \frac{\Delta M}{M} \times 100 + 2 \left( \frac{\Delta R}{R} \times 100 \right)$.
આપેલ છે:
દળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 2 \%$.
ત્રિજ્યામાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 1 \%$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta I}{I} \times 100 = 2 \% + 2(1 \%) = 2 \% + 2 \% = 4 \%$.
આમ,જડત્વની ચાકમાત્રાના માપનમાં મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ $4 \%$ છે.

(C) માપનમાં સાપેક્ષ ભૂલ અથવા પ્રમાણિત ભૂલ એ અવલોકનોની સંખ્યા $n$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જો ભૂલો યાદચ્છિક હોય.
જોકે,સરેરાશ નિરપેક્ષ ભૂલના સંદર્ભમાં,ભૂલને $\Delta x_{m} = \frac{\sum |\Delta x|}{n}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
મોટી સંખ્યામાં અવલોકનો માટે,આંકડાકીય ભૂલ (સરેરાશનું પ્રમાણિત વિચલન) $\sigma_{m} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે અવલોકનોની સંખ્યા $n$ એ $100$ થી વધીને $400$ થાય છે,ત્યારે $n$ નું મૂલ્ય $4$ ગણું વધે છે.
ભૂલ એ $\sqrt{n}$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,નવી ભૂલ મૂળ ભૂલના $\frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$ ગણી થશે.
આમ,શક્ય ભૂલ અડધી થઈ જાય છે.

(C) પુલની ઊંચાઈ $h$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $h = \frac{1}{2}gt^2$.
અહીં $g = 9.8\;m/s^2$ અને $t = 2\;s$ આપેલ છે,તેથી ઊંચાઈ $h = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2)^2 = 19.6\;m$ થાય.
ઊંચાઈમાં રહેલી ત્રુટિ $\Delta h$ શોધવા માટે,આપણે $h = \frac{1}{2}gt^2$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$dh = gt \cdot dt$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,જ્યાં $dt = \Delta t = 0.1\;s$ છે:
$\Delta h = 9.8 \times 2 \times 0.1 = 1.96\;m$.
આમ,પુલની ઊંચાઈના અંદાજમાં રહેલી ત્રુટિ $1.96\;m$ છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 16 \pm 0.6 \ ^\circ C$ અને અંતિમ તાપમાન $T_2 = 56 \pm 0.3 \ ^\circ C$ છે.
તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T = T_2 - T_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બાદબાકી માટે,નિરપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો થાય છે: $\Delta T = (56 - 16) \pm (0.3 + 0.6) \ ^\circ C$.
તેથી,$\Delta T = 40 \pm 0.9 \ ^\circ C$.

(D) સાદા લોલકનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi l^{1/2} g^{-1/2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$T$ માં મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ છે:
$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l} + \frac{1}{2} \frac{\Delta g}{g}$.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણો:
$\left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \right) \% = \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right) \% + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta g}{g} \times 100 \right) \%$.
આપેલ છે કે $\left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right) \% = 2\%$ અને $\left( \frac{\Delta g}{g} \times 100 \right) \% = 4\%$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$T$ માં મહત્તમ $\%$ ત્રુટિ $= \frac{1}{2} (2\%) + \frac{1}{2} (4\%) = 1\% + 2\% = 3\%$.
આમ,સમયગાળામાં મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ $\pm 3\%$ છે.

(A) પગલું $1$: અવલોકનોનું સરેરાશ મૂલ્ય શોધો.
સરેરાશ મૂલ્ય $a_{mean} = \frac{3.29 + 3.28 + 3.29 + 3.31 + 3.28 + 3.27 + 3.29 + 3.30}{8} = \frac{26.31}{8} = 3.28875 \, cm \approx 3.29 \, cm$.
પગલું $2$: ચોથા અવલોકન $(a_4 = 3.31 \, cm)$ માટે નિરપેક્ષ ત્રુટિ શોધો.
નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta a_4 = a_4 - a_{mean} = 3.31 - 3.29 = 0.02 \, cm$.
પગલું $3$: આઠમા અવલોકન $(a_8 = 3.30 \, cm)$ માટે નિરપેક્ષ ત્રુટિ શોધો.
નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta a_8 = a_8 - a_{mean} = 3.30 - 3.29 = 0.01 \, cm$.
આમ,નિરપેક્ષ ત્રુટિઓ $0.02 \, cm$ અને $0.01 \, cm$ છે.

(A) પ્રાયોગિક માપનમાં યાદચ્છિક ત્રુટિઓ પ્રયોગમાં થતા અજ્ઞાત અને અનિશ્ચિત ફેરફારોને કારણે ઉદ્ભવે છે.
પ્રાયોગિક અવલોકનોમાં વ્યવસ્થિત ત્રુટિઓ સામાન્ય રીતે માપન સાધનોમાંથી ઉદ્ભવે છે,જેમ કે કેલિબ્રેશનની સમસ્યાઓ અથવા શૂન્ય ત્રુટિ.
શૂન્ય ત્રુટિ એ એક પ્રકારની વ્યવસ્થિત ત્રુટિ છે કારણ કે તે સુસંગત હોય છે અને માપેલા મૂલ્યોમાં જાણીતું ઓફસેટ લાગુ કરીને તેને સુધારી શકાય છે.
તેથી,સાધનની શૂન્ય ત્રુટિ વ્યવસ્થિત ત્રુટિઓ દાખલ કરે છે.

(A) શ્રેણીમાં જોડાયેલા અવરોધકો માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R = R_1 + R_2$ છે.
$R = 100 \,\Omega + 200 \,\Omega = 300 \,\Omega$.
શ્રેણી જોડાણમાં મહત્તમ નિરપેક્ષ ત્રુટિ એ વ્યક્તિગત નિરપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો છે: $\Delta R = \Delta R_1 + \Delta R_2 = 3 \,\Omega + 4 \,\Omega = 7 \,\Omega$.
આમ,સમતુલ્ય અવરોધ $(300 \pm 7) \,\Omega$ છે.
પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta R}{R} \times 100 \%$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિશત ત્રુટિ $= \frac{7}{300} \times 100 \% = \frac{7}{3} \% \approx 2.33 \%$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $2.3 \%$ મળે છે.

(C) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ અને વ્યાસ $D$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{D}{2}$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિને ધ્યાનમાં લેતા,$\frac{dr}{r} = \frac{dD}{D}$ થાય છે.
અહીં વ્યાસમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{dD}{D} \times 100 = 4\%$ આપેલી છે.
તેથી,ત્રિજ્યામાં ત્રુટિ $\frac{dr}{r} \times 100 = 4\%$ થશે.

(C) નળાકારનું કદ $V = \pi r^2 l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $l = 5.0 \; cm$,$\Delta l = 0.1 \; cm$,$d = 2.00 \; cm$,$\Delta d = 0.01 \; cm$.
ત્રિજ્યા $r = d/2 = 1.00 \; cm$. ત્રિજ્યામાં ત્રુટિ $\Delta r = \Delta d / 2 = 0.005 \; cm$ થાય.
કદમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} = 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$ છે.
પ્રતિશત ત્રુટિ = $\left( 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l} \right) \times 100$.
કિંમતો મૂકતા: $\left( 2 \times \frac{0.005}{1.00} + \frac{0.1}{5.0} \right) \times 100$.
$= (2 \times 0.5 \% + 2 \%) = 1 \% + 2 \% = 3 \%$.

(A) ધારો કે ખાલી બીકરનું દળ $m_1 = (10.1 \pm 0.1) \, g$ છે.
ધારો કે પ્રવાહીથી ભરેલા બીકરનું દળ $m_2 = (17.3 \pm 0.1) \, g$ છે.
પ્રવાહીનું દળ $m$ એ $m = m_2 - m_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m = 17.3 - 10.1 = 7.2 \, g$.
જ્યારે બે ભૌતિક રાશિઓની બાદબાકી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નિરપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો થાય છે.
તેથી,પ્રવાહીના દળમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta m = \Delta m_1 + \Delta m_2$ થશે.
$\Delta m = 0.1 + 0.1 = 0.2 \, g$.
આમ,ચોકસાઈની શક્ય મર્યાદા સાથે પ્રવાહીનું દળ $(7.2 \pm 0.2) \, g$ થશે.

(D) આપેલ છે:
$l = (4.00 \pm 0.01) \; cm \implies \frac{\Delta l}{l} = \frac{0.01}{4.00} = 0.0025$
$r = (0.250 \pm 0.001) \; cm \implies \frac{\Delta r}{r} = \frac{0.001}{0.250} = 0.004$
$m = (6.25 \pm 0.01) \; g \implies \frac{\Delta m}{m} = \frac{0.01}{6.25} = 0.0016$
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi r^2 l}$
ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રતિશત ત્રુટિ $= \left( \frac{\Delta m}{m} + 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l} \right) \times 100\%$
$= (0.0016 + 2 \times 0.004 + 0.0025) \times 100\%$
$= (0.0016 + 0.008 + 0.0025) \times 100\%$
$= 0.0121 \times 100\% = 1.21\%$

(B) વક્રીભવનાંકનું સરેરાશ મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$\bar{n} = \frac{1.54 + 1.53 + 1.44 + 1.54 + 1.56 + 1.45}{6} = \frac{9.06}{6} = 1.51$
દરેક માપનમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિઓ:
$|\Delta n_1| = |1.51 - 1.54| = 0.03$
$|\Delta n_2| = |1.51 - 1.53| = 0.02$
$|\Delta n_3| = |1.51 - 1.44| = 0.07$
$|\Delta n_4| = |1.51 - 1.54| = 0.03$
$|\Delta n_5| = |1.51 - 1.56| = 0.05$
$|\Delta n_6| = |1.51 - 1.45| = 0.06$
સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ એ આ નિરપેક્ષ ત્રુટિઓની સરેરાશ છે:
$\Delta \bar{n} = \frac{0.03 + 0.02 + 0.07 + 0.03 + 0.05 + 0.06}{6}$
$\Delta \bar{n} = \frac{0.26}{6} \approx 0.0433$
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\Delta \bar{n} = 0.04$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: $L = 10.0 \pm 0.1 \; cm$,$b = 1.00 \pm 0.01 \; cm$,$t = 0.100 \pm 0.001 \; cm$.
કદ $V = L \times b \times t = 10.0 \times 1.00 \times 0.100 = 1.000 \; cm^{3}$.
કદમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta L}{L} + \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta t}{t}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta V}{V} = \frac{0.1}{10.0} + \frac{0.01}{1.00} + \frac{0.001}{0.100}$.
$\frac{\Delta V}{V} = 0.01 + 0.01 + 0.01 = 0.03$.
તેથી,નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta V = 0.03 \times V = 0.03 \times 1.000 = 0.03 \; cm^{3}$.

(B) બ્લોકનું કદ $V = l \times b \times t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદમાં સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta t}{t}$ છે.
કદમાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = \left( \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta t}{t} \right) \times 100$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\text{પ્રતિશત ભૂલ} = \left( \frac{0.01}{15.12} + \frac{0.01}{10.15} + \frac{0.01}{5.28} \right) \times 100$.
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$\frac{0.01}{15.12} \times 100 \approx 0.0661$
$\frac{0.01}{10.15} \times 100 \approx 0.0985$
$\frac{0.01}{5.28} \times 100 \approx 0.1894$
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$0.0661 + 0.0985 + 0.1894 = 0.3540$.
યોગ્ય સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.36\%$ મળે છે.