Dimensional Analysis, Uses and Limitations Questions in Gujarati

(B) દબાણનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ છે.
આપેલ છે: $M_1 = 50 \ g = 0.05 \ kg$,$L_1 = 10 \ cm = 0.1 \ m$,$T_1 = 5 \ s$.
$SI$ એકમમાં: $M_2 = 1 \ kg$,$L_2 = 1 \ m$,$T_2 = 1 \ s$.
રૂપાંતરણનું સૂત્ર $n_2 = n_1 [M_1/M_2]^1 [L_1/L_2]^{-1} [T_1/T_2]^{-2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $n_2 = 1 \times [0.05/1]^1 \times [0.1/1]^{-1} \times [5/1]^{-2}$.
$n_2 = 0.05 \times (1/0.1) \times (1/25)$.
$n_2 = 0.05 \times 10 \times 0.04 = 0.5 / 25 = 1/50 \ \text{Pascal}$.

(D) ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના આર્ગ્યુમેન્ટમાં,પરિમાણો પરિમાણરહિત હોવા જોઈએ.
$\sin \left(\frac{2 \pi ct}{\lambda}\right)$ માટે,પદ $\frac{ct}{\lambda}$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $[ct] = [\lambda]$. આમ,$ct$ નો એકમ $\lambda$ જેવો જ છે.
$\cos \left(\frac{2 \pi x}{\lambda}\right)$ માટે,પદ $\frac{x}{\lambda}$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $[x] = [\lambda]$. આમ,$x$ નો એકમ $\lambda$ જેવો જ છે.
હવે,વિકલ્પ $C$ માં પદોના પરિમાણો તપાસીએ:
$\left[\frac{2 \pi c}{\lambda}\right] = \frac{[L T^{-1}]}{[L]} = [T^{-1}]$
$\left[\frac{2 \pi x}{\lambda t}\right] = \frac{[L]}{[L][T]} = [T^{-1}]$
બંનેના પરિમાણ $[T^{-1}]$ હોવાથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
હવે,વિકલ્પ $D$ તપાસીએ:
$\left[\frac{c}{\lambda}\right] = [T^{-1}]$
$\left[\frac{x}{\lambda}\right] = [M^0 L^0 T^0] = 1$ (પરિમાણરહિત).
કારણ કે $[T^{-1}] \neq 1$,તેથી વિકલ્પ $D$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(D) પરિમાણીય વિશ્લેષણ એ સમીકરણોની સુસંગતતા તપાસવા માટેનું એક શક્તિશાળી સાધન છે,પરંતુ તેની મર્યાદાઓ છે.
$1$. તે ઘાતાંકીય (exponential),લઘુગણકીય (logarithmic) અથવા ત્રિકોણમિતીય વિધેયો ધરાવતા સમીકરણો મેળવી શકતું નથી કારણ કે આ વિધેયો પરિમાણરહિત હોય છે.
$2$. તે સરવાળા કે બાદબાકીના અચળાંકો ધરાવતા સમીકરણો મેળવી શકતું નથી.
$3$. વિકલ્પ $A$ માં ઘાતાંકીય વિધેય છે.
$4$. વિકલ્પ $B$ માં ત્રિકોણમિતીય વિધેય છે.
$5$. વિકલ્પ $C$ માં બે પદોનો સરવાળો છે.
$6$. વિકલ્પ $D$,$L = mvr$,એ ભૌતિક રાશિઓનો ગુણાકાર છે અને તેને પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે કારણ કે તે કોણીય વેગમાનની વ્યાખ્યા સાથે સંબંધિત છે.

(A) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
આપેલ બળનું સમીકરણ: $F = a \sqrt{x} - bt$.
બળ $F$ ના પરિમાણો $[M^1 L^1 T^{-2}]$ છે.
પ્રથમ પદ માટે: $[F] = [a \sqrt{x}]$
$[M^1 L^1 T^{-2}] = [a] [L^{1/2}]$
$[a] = [M^1 L^{1/2} T^{-2}]$
દળ $(kg)$,લંબાઈ $(m)$ અને સમય $(s)$ માટે $SI$ એકમો મૂકતા: $a$ નો એકમ = $kg\ m^{1/2}\ s^{-2}$.
બીજા પદ માટે: $[F] = [bt]$
$[M^1 L^1 T^{-2}] = [b] [T^1]$
$[b] = [M^1 L^1 T^{-3}]$
$SI$ એકમો મૂકતા: $b$ નો એકમ = $kg\ m\ s^{-3}$.
આમ,$a$ અને $b$ ના એકમો અનુક્રમે $kg\ m^{1/2}\ s^{-2}$ અને $kg\ m\ s^{-3}$ છે.

(B) પરિમાણીય વિશ્લેષણ એ સમીકરણોની સુસંગતતા તપાસવા માટેનું એક શક્તિશાળી સાધન છે,પરંતુ તેની નોંધપાત્ર મર્યાદાઓ છે.
$1$. તે સરવાળા અથવા બાદબાકીના પદો ધરાવતા સૂત્રો (દા.ત.,$s = ut + \frac{1}{2}at^2$) મેળવી શકતું નથી કારણ કે પરિમાણીય વિશ્લેષણ માત્ર ભૌતિક રાશિઓના ગુણાકાર અને ભાગાકાર સાથે જ કામ કરે છે.
$2$. તે પરિમાણરહિત અચળાંકો (જેમ કે $1, 2, \pi, e$,વગેરે) નક્કી કરી શકતું નથી કારણ કે આ અચળાંકોને કોઈ પરિમાણ હોતા નથી અને તેથી તે પરિમાણીય સૂત્રમાં દેખાતા નથી.
બંને વિધાનો સાચા છે. કારણ એ સમજાવે છે કે પરિમાણીય વિશ્લેષણ શા માટે મર્યાદિત છે,પરંતુ સરવાળાના સંબંધો મેળવવાની અસમર્થતા એ પદ્ધતિના માળખાનું પરિણામ છે,જે સીધી રીતે અચળાંકો શોધવાની અસમર્થતાને કારણે નથી. તેથી,કારણ એ સાચું વિધાન છે પરંતુ તે વિધાનની સીધી સમજૂતી નથી.

(A) પરિમાણોની સમાનતાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે ભૌતિક સમીકરણ ત્યારે જ પારિમાણિક રીતે સાચું હોય છે જો સમીકરણની બંને બાજુના તમામ પદોના પરિમાણો સમાન હોય.
આ સિદ્ધાંત કોઈપણ ભૌતિક સમીકરણની પારિમાણિક સુસંગતતા તપાસવા માટેનો પાયાનો આધાર છે.
જો પદોના પરિમાણો સમાન ન હોય,તો સમીકરણ ભૌતિક રીતે સાચું હોઈ શકે નહીં,કારણ કે આપણે અલગ-અલગ પરિમાણો ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો સરવાળો કે બાદબાકી કરી શકતા નથી.
તેથી,વિધાન સાચું છે,અને કારણ એ સમજાવે છે કે આપણે સમીકરણોને ચકાસવા માટે સમાનતાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ શા માટે કરીએ છીએ.

(A) પાવરનું પારિમાણિક સૂત્ર $[P] = [M L^2 T^{-3}]$ છે.
ધારો કે નવા એકમો $M' = a \ kg$,$L' = b \ m$,અને $T' = c \ s$ છે.
તેથી,$1 \ kg = \frac{1}{a} M'$,$1 \ m = \frac{1}{b} L'$,અને $1 \ s = \frac{1}{c} T'$ થાય.
આપેલ પાવર $P = 6 \ W = 6 \ kg \cdot m^2 \cdot s^{-3}$ છે.
પાવરના સમીકરણમાં નવા એકમો મૂકતા:
$P = 6 \times (\frac{1}{a} M') \times (\frac{1}{b} L')^2 \times (\frac{1}{c} T')^{-3}$
$P = 6 \times \frac{1}{a} \times \frac{1}{b^2} \times c^3 \times (M' L'^2 T'^{-3})$
$P = \frac{6 c^3}{a b^2}$ નવા એકમો.
આમ,નવી પદ્ધતિમાં $6 \ W$ પાવરનું મૂલ્ય $\frac{6 c^3}{a b^2}$ છે.

(B) ધારો કે ઉર્જા $E$ ને $E = k P^x A^y T^z$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[E] = [M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.
વેગમાનનું પારિમાણિક સૂત્ર $[P] = [M^1 L^1 T^{-1}]$ છે.
ક્ષેત્રફળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[A] = [L^2]$ છે.
સમયનું પારિમાણિક સૂત્ર $[T] = [T^1]$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^1 L^2 T^{-2}] = [M^1 L^1 T^{-1}]^x [L^2]^y [T^1]^z$
$[M^1 L^2 T^{-2}] = [M^x L^{x+2y} T^{-x+z}]$
બંને બાજુ $M$,$L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $x = 1$
$L$ માટે: $x + 2y = 2$
$T$ માટે: $-x + z = -2$
$x = 1$ ને $L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $1 + 2y = 2 \implies 2y = 1 \implies y = 1/2$.
$x = 1$ ને $T$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $-1 + z = -2 \implies z = -1$.
આમ,ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[P^1 A^{1/2} T^{-1}]$ થશે.

(A) આપેલ સંબંધ $P = \frac{a - t^2}{bx}$ છે.
પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$a$ ના પરિમાણો $t^2$ ના પરિમાણો જેટલા જ હોવા જોઈએ.
તેથી,$[a] = [T^2]$.
હવે,સમગ્ર પદ $\frac{a - t^2}{bx}$ ના પરિમાણો દબાણ $P$ ના પરિમાણો જેટલા હોવા જોઈએ.
$[P] = [ML^{-1} T^{-2}]$.
તેથી,$[P] = \frac{[a]}{[b][x]} \implies [ML^{-1} T^{-2}] = \frac{[T^2]}{[b][L]}$.
$[b]$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$[b] = \frac{[T^2]}{[ML^{-1} T^{-2}][L]} = \frac{[T^2]}{[MT^{-2}]} = [M^{-1} T^4]$.
અંતે,$\frac{a}{b}$ ના પરિમાણો $\frac{[T^2]}{[M^{-1} T^4]} = [M^1 L^0 T^{-2}]$ થાય.

(A) આપેલ અચળાંકોના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$G = [M^{-1} L^{3} T^{-2}]$
$h = [M L^{2} T^{-1}]$
$c = [L T^{-1}]$
ધારો કે અભિવ્યક્તિ $T = G^{a} h^{b} c^{d}$ છે.
પરિમાણો મૂકતા:
$[T^{1}] = [M^{-1} L^{3} T^{-2}]^{a} [M L^{2} T^{-1}]^{b} [L T^{-1}]^{d}$
$[M^{0} L^{0} T^{1}] = [M^{-a+b} L^{3a+2b+d} T^{-2a-b-d}]$
બંને બાજુના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $-a + b = 0 \implies a = b$
$L$ માટે: $3a + 2b + d = 0 \implies 3a + 2a + d = 0 \implies d = -5a$
$T$ માટે: $-2a - b - d = 1 \implies -2a - a - (-5a) = 1 \implies 2a = 1 \implies a = 1/2$
આમ,$a = 1/2, b = 1/2, d = -5/2$.
તેથી સાચું સૂત્ર $\left[\frac{G h}{c^{5}}\right]^{\frac{1}{2}}$ છે.

(A) આપેલ ભૌતિક રાશિઓના પારિમાણિક સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$[E] = [M L^{2} T^{-2}]$
$[M] = [M]$
$[L] = [M L^{2} T^{-1}]$
$[G] = [M^{-1} L^{3} T^{-2}]$
હવે,આ કિંમતોને $\left(\frac{E L^{2}}{G^{2} M^{5}}\right)$ પદમાં મૂકતા:
પરિમાણ $= \frac{[M L^{2} T^{-2}] \cdot [M L^{2} T^{-1}]^{2}}{[M^{-1} L^{3} T^{-2}]^{2} \cdot [M]^{5}}$
$= \frac{[M L^{2} T^{-2}] \cdot [M^{2} L^{4} T^{-2}]}{[M^{-2} L^{6} T^{-4}] \cdot [M^{5}]}$
$= \frac{[M^{3} L^{6} T^{-4}]}{[M^{3} L^{6} T^{-4}]}$
$= [M^{0} L^{0} T^{0}]$
આમ,આ રાશિ પરિમાણરહિત છે,જે ખૂણાના પરિમાણ દર્શાવે છે (ખૂણો એ પરિમાણરહિત ભૌતિક રાશિ છે).

(B) વક્રીભવનાંક $\mu$ એ પરિમાણરહિત ભૌતિક રાશિ છે,તેથી તેનું પરિમાણ $[M^0 L^0 T^0]$ છે.
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$\frac{B}{\lambda^2}$ ના પરિમાણો $\mu$ ના પરિમાણો (જે પરિમાણરહિત છે) જેટલા હોવા જોઈએ.
$\left[ \frac{B}{\lambda^2} \right] = [M^0 L^0 T^0]$
$[B] = [\lambda^2] \times [M^0 L^0 T^0]$
અહીં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,તેથી તેનું પરિમાણ $[L]$ છે.
$[B] = [L^2]$
પરિમાણ $[L^2]$ એ ક્ષેત્રફળના પરિમાણ સાથે સુસંગત છે.

(D) ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
આપેલ છે $F = A \sin(Ct) + B \cos(Dx)$.
$\sin(Ct)$ પદ માટે,આર્ગ્યુમેન્ટ $Ct$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ.
$[Ct] = [M^0 L^0 T^0] \implies [C][T] = [T^0] \implies [C] = [T^{-1}]$.
$\cos(Dx)$ પદ માટે,આર્ગ્યુમેન્ટ $Dx$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ.
$[Dx] = [M^0 L^0 T^0] \implies [D][L] = [L^0] \implies [D] = [L^{-1}]$.
હવે,$\frac{C}{D}$ ના પરિમાણો:
$\left[ \frac{C}{D} \right] = \frac{[T^{-1}]}{[L^{-1}]} = [L T^{-1}]$.
આ વેગના પરિમાણો છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $P = \frac{c - t^{2}}{DS}$ છે.
પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$c$ ના પરિમાણો $t^{2}$ ના પરિમાણો જેટલા હોવા જોઈએ.
તેથી,$[c] = [t^{2}] = [T^{2}]$.
હવે,દબાણ $P$ નું પરિમાણ $[P] = [M L^{-1} T^{-2}]$ છે.
અહીં $S$ અંતર છે,તેથી $[S] = [L]$.
સમીકરણ $P = \frac{c}{DS} - \frac{t^{2}}{DS}$ માં કિંમતો મૂકતા,આપણે પદ $\frac{c}{DS}$ ને ધ્યાનમાં લઈએ:
$[P] = \frac{[c]}{[D][S]} \Rightarrow [M L^{-1} T^{-2}] = \frac{[T^{2}]}{[D][L]}$.
$[D]$ માટે ઉકેલતા:
$[D] = \frac{[T^{2}]}{[M L^{-1} T^{-2}][L]} = \frac{[T^{2}]}{[M T^{-2}]} = [M^{-1} T^{4}]$.
આપણે $\left(\frac{D}{c}\right)$ ના પરિમાણો શોધવાના છે:
$\left[\frac{D}{c}\right] = \frac{[M^{-1} T^{4}]}{[T^{2}]} = [M^{-1} T^{2}] = [L^{0} M^{-1} T^{2}]$.

(A) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી થઈ શકે છે.
સમીકરણ $A = B + \frac{C}{D+E}$ માં,$B$ નો સરવાળો $\frac{C}{D+E}$ પદ સાથે થાય છે,તેથી $A$ ના પરિમાણ $B$ ના પરિમાણ જેટલા જ હોવા જોઈએ.
આપેલ છે કે $[B] = [L^{1} M^{0} T^{-1}]$,તેથી $[A] = [L^{1} M^{0} T^{-1}]$.
વળી,છેદ $(D+E)$ માં,$D$ અને $E$ ના પરિમાણ સમાન હોવા જોઈએ,તેથી $[D] = [E]$.
આખા પદ $\frac{C}{D+E}$ નું પરિમાણ $B$ ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ.
$[B] = \frac{[C]}{[D+E]} \implies [D+E] = \frac{[C]}{[B]}$.
આપેલ પરિમાણો મૂકતા: $[D+E] = \frac{[L^{1} M^{0} T^{0}]}{[L^{1} M^{0} T^{-1}]} = [T^{1}]$.
તેથી $[D] = [T^{1}]$ અને $[E] = [T^{1}]$ મળે છે.

(A) બળનું પરિમાણ $[F] = [M L T^{-2}]$ છે.
ઘનતાનું પરિમાણ $[d] = [M L^{-3} T^0]$ છે.
આપેલ સંબંધ $F = \frac{y}{\sqrt{d}}$ પરથી,આપણે લખી શકીએ $y = F \sqrt{d}$.
$F$ અને $d$ ના પરિમાણો મૂકતા:
$[y] = [M L T^{-2}] \times [M L^{-3}]^{1/2}$
$[y] = [M L T^{-2}] \times [M^{1/2} L^{-3/2}]$
$[y] = [M^{1 + 1/2} L^{1 - 3/2} T^{-2}]$
$[y] = [M^{3/2} L^{-1/2} T^{-2}]$.

(A) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ માટેનું સૂત્ર $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,આપણને $c^{2} = \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}$ મળે છે.
તેથી,$\mu_{0} \varepsilon_{0} = \frac{1}{c^{2}}$.
પ્રકાશની ઝડપ $c$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{0} L^{1} T^{-1}]$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,$\mu_{0} \varepsilon_{0} = \frac{1}{(M^{0} L^{1} T^{-1})^{2}}$.
$\mu_{0} \varepsilon_{0} = \frac{1}{M^{0} L^{2} T^{-2}} = M^{0} L^{-2} T^{2}$.

(B) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપનો સંબંધ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $c^{2} = \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}$ મળે છે.
અહીં $c$ એ વેગ દર્શાવે છે,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{0} L^{1} T^{-1}]$ છે.
તેથી,$\frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર એ વેગના પારિમાણિક સૂત્રનો વર્ગ થશે:
$\frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}} = [M^{0} L^{1} T^{-1}]^{2} = M^{0} L^{2} T^{-2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) પ્લાન્ક અચળાંક $(h)$ ના પરિમાણો $[M L^{2} T^{-1}]$ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ ના પરિમાણો $[M L^{2}]$ છે.
પ્લાન્ક અચળાંક અને જડત્વની ચાકમાત્રાના પરિમાણોનો ગુણોત્તર $\frac{[h]}{[I]} = \frac{[M L^{2} T^{-1}]}{[M L^{2}]} = [T^{-1}]$ થાય છે.
આવૃત્તિનું પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે.
વેગનું પરિમાણ $[L T^{-1}]$ છે.
કોણીય વેગમાનનું પરિમાણ $[M L^{2} T^{-1}]$ છે.
સમયનું પરિમાણ $[T]$ છે.
તેથી,પ્લાન્ક અચળાંક અને જડત્વની ચાકમાત્રાના પરિમાણોનો ગુણોત્તર આવૃત્તિના પરિમાણ જેવો હોય છે.

(C) પરિમાણીય વિશ્લેષણ એ ભૌતિક સમીકરણોની સુસંગતતા તપાસવા માટેનું એક શક્તિશાળી સાધન છે,પરંતુ તેની મર્યાદાઓ છે. તે પરિમાણરહિત અચળાંકો (જેમ કે $6 \pi$) અથવા ત્રિકોણમિતીય,ઘાતાંકીય કે લઘુગણકીય વિધેયોની હાજરી નક્કી કરી શકતું નથી કારણ કે તેમના આર્ગ્યુમેન્ટ્સ પરિમાણરહિત હોવા જોઈએ.
$1$. $x=A \cos (\omega t)$: પરિમાણીય રીતે સુસંગત હોવા છતાં,$\cos$ વિધેયની હાજરી પરિમાણીય વિશ્લેષણ દ્વારા તારવી શકાતી નથી.
$2$. $N=N_0 e^{-\lambda t}$: પરિમાણીય રીતે સુસંગત હોવા છતાં,ઘાતાંકીય સ્વરૂપ પરિમાણીય વિશ્લેષણ દ્વારા તારવી શકાતું નથી.
$3$. $F=6 \pi \eta r \nu$ (સ્ટોક્સનો નિયમ): જમણી બાજુના પરિમાણો $[M L^{-1} T^{-1}] \cdot [L] \cdot [L T^{-1}] = [M L T^{-2}]$ છે,જે બળનું પરિમાણ છે. પરિમાણીય વિશ્લેષણ દ્વારા $F$ ને $\eta$,$r$,અને $\nu$ સાથે $F \propto \eta^a r^b \nu^c$ તરીકે સંબંધિત કરી શકાય છે. પરિમાણોની સરખામણી કરીને,આપણે $a=1, b=1, c=1$ મેળવી શકીએ છીએ,જે $F \propto \eta r \nu$ તરફ દોરી જાય છે. આમ,વિધેયાત્મક નિર્ભરતા તારવી શકાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(B) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણો ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી કરી શકાય છે.
$(A)$ $PQ/R$: ભિન્ન પરિમાણો ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર શક્ય છે.
$(B)$ $(P-Q)/R$: કારણ કે $P$ અને $Q$ ના પરિમાણો અલગ-અલગ છે,તેથી $(P-Q)$ ની બાદબાકી ભૌતિક રીતે અર્થહીન છે.
$(C)$ $(PR-Q^2)/R$: અહીં,બાદબાકી માન્ય રહે તે માટે $PR$ અને $Q^2$ ના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
$(D)$ $PQ-R$: કારણ કે $PQ$ અને $R$ ના પરિમાણો અલગ-અલગ છે,તેથી $(PQ-R)$ ની બાદબાકી ભૌતિક રીતે અર્થહીન છે.
જોકે,પ્રમાણિત બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં,$(P-Q)$ એ પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંતનું સૌથી સીધું ઉલ્લંઘન છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\text{Force} = \frac{\alpha}{\text{density} + \beta^3}$ છે.
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,જે ભૌતિક રાશિઓનો સરવાળો થાય છે,તેમના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$\beta^3$ નું પરિમાણ એ ઘનતા (density) ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ.
ઘનતાનું પરિમાણ = $[M L^{-3} T^0]$.
તેથી,$[\beta^3] = [M L^{-3} T^0]$.
ઘનમૂળ લેતા,$[\beta] = [M^{1/3} L^{-1} T^0]$.
હવે,બળ (force) નું પરિમાણ $[M L T^{-2}]$ છે.
સમીકરણ પરથી,$\alpha = \text{Force} \times (\text{density} + \beta^3)$.
કારણ કે $(\text{density} + \beta^3)$ નું પરિમાણ ઘનતા જેટલું જ છે,તેથી $[\alpha] = [M L T^{-2}] \times [M L^{-3} T^0] = [M^2 L^{-2} T^{-2}]$.
આમ,પરિમાણો $[M^2 L^{-2} T^{-2}]$ અને $[M^{1/3} L^{-1} T^0]$ છે.

(A) આપેલ ભૌતિક રાશિઓના પારિમાણિક સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$E = [M L^2 T^{-2}]$
$m = [M]$
$L = [M L^2 T^{-1}]$
$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
આ કિંમતોને $\frac{E L^2}{m^5 G^2}$ પદમાં મૂકતા:
$\left[\frac{E L^2}{m^5 G^2}\right] = \frac{[M L^2 T^{-2}] [M L^2 T^{-1}]^2}{[M]^5 [M^{-1} L^3 T^{-2}]^2}$
$= \frac{[M L^2 T^{-2}] [M^2 L^4 T^{-2}]}{[M^5] [M^{-2} L^6 T^{-4}]}$
$= \frac{[M^3 L^6 T^{-4}]}{[M^3 L^6 T^{-4}]}$
$= [M^0 L^0 T^0]$
પરિમાણો $[M^0 L^0 T^0]$ હોવાથી,આ રાશિ પરિમાણરહિત છે,જે $\text{Angle}$ (ખૂણા) ના પરિમાણો દર્શાવે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $F = a \sqrt{x} + b t^2$.
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણની બંને બાજુના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$[F] = [a \sqrt{x}]$ અને $[F] = [b t^2]$.
$[F] = [a \sqrt{x}]$ પરથી,આપણને મળે છે $[a] = \frac{[F]}{[\sqrt{x}]} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^{1/2}]} = [ML^{1/2}T^{-2}]$.
$[F] = [b t^2]$ પરથી,આપણને મળે છે $[b] = \frac{[F]}{[t^2]} = \frac{[MLT^{-2}]}{[T^2]} = [MLT^{-4}]$.
હવે,$\frac{a}{b}$ માટે પારિમાણિક સૂત્ર શોધીએ:
$\left[\frac{a}{b}\right] = \frac{[ML^{1/2}T^{-2}]}{[MLT^{-4}]} = [M^{1-1} L^{1/2-1} T^{-2-(-4)}] = [M^0 L^{-1/2} T^2]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે આવર્તકાળ $T$ એ $R^a M^b G^c$ ના પ્રમાણમાં છે,તેથી $T = K R^a M^b G^c$.
દરેક ભૌતિક રાશિ માટે પરિમાણીય સૂત્રો લખતા:
$[T] = [T]^1$
$[R] = [L]^1$
$[M] = [M]^1$
$[G] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $[T]^1 = [L]^a [M]^b [M^{-1} L^3 T^{-2}]^c = [M]^{b-c} [L]^{a+3c} [T]^{-2c}$.
બંને બાજુ $M$,$L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$T$ માટે: $-2c = 1 \Rightarrow c = -1/2$.
$M$ માટે: $b - c = 0 \Rightarrow b = c = -1/2$.
$L$ માટે: $a + 3c = 0 \Rightarrow a = -3c = -3(-1/2) = 3/2$.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $T = K R^{3/2} M^{-1/2} G^{-1/2} = K \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$.

(B) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી થઈ શકે છે.
આપેલ સમીકરણ $(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=RT$ માં,પદ $\frac{a}{V^2}$ ને દબાણ $P$ માં ઉમેરવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{a}{V^2}$ ના પરિમાણો દબાણ $P$ ના પરિમાણો જેટલા જ હોવા જોઈએ.
$[P] = [\frac{a}{V^2}] \implies [a] = [P][V^2]$.
દબાણ $P$ નું પરિમાણ $[ML^{-1} T^{-2}]$ છે અને કદ $V$ નું પરિમાણ $[L^3]$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $[a] = [ML^{-1} T^{-2}] \times [L^3]^2 = [ML^{-1} T^{-2}] \times [L^6] = [ML^5 T^{-2}]$.

(D) પ્રકાશની ઝડપ $c$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L T^{-1}]$ છે.
આપેલ છે $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ ... $(1)$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L T^{-2}]$ છે.
આપેલ છે $g = 10 \,m/s^2$ ... $(2)$
સમયનો એકમ $[T]$ શોધવા માટે, આપણે ઝડપના પરિમાણને પ્રવેગના પરિમાણ વડે ભાગીશું:
$\frac{[L T^{-1}]}{[L T^{-2}]} = [T]$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$[T] = \frac{3 \times 10^8}{10} = 3 \times 10^7 \,s$
તેથી, આ પદ્ધતિમાં સમયનો એકમ $3 \times 10^7 \,s$ છે.

(C) આપેલ સૂત્ર $X = \frac{\pi}{3}(a^2 - b^2) h d$ છે.
અહીં $a, b,$ અને $h$ લંબાઈ હોવાથી,તેમનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
તેથી,$(a^2 - b^2)$ ના પરિમાણ $[L^2]$ થાય.
પદ $h$ ના પરિમાણ $[L]$ છે.
પદ $d$ એ ઘનતા છે,જે $\frac{\text{દળ}}{\text{કદ}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,તેથી તેના પરિમાણ $[M L^{-3}]$ છે.
આ પરિમાણોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$[X] = [L^2] \cdot [L] \cdot [M L^{-3}] = [L^3] \cdot [M L^{-3}] = [M]$.
પરિણામી પરિમાણ $[M]$ હોવાથી,આ ભૌતિક રાશિ દળ છે.

(C) સિસ્ટમની ઉર્જા સમીકરણ $E(t) = \alpha t - \beta t^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
ઉર્જા $E$ નું પરિમાણીય સૂત્ર $[ML^2 T^{-2}]$ છે.
પ્રથમ પદ માટે,$\alpha t$ નું પરિમાણ ઉર્જાના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ:
$[\alpha][T] = [ML^2 T^{-2}]$
$[\alpha] = [ML^2 T^{-2}] / [T] = [ML^2 T^{-3}]$
બીજા પદ માટે,$\beta t^3$ નું પરિમાણ ઉર્જાના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ:
$[\beta][T^3] = [ML^2 T^{-2}]$
$[\beta] = [ML^2 T^{-2}] / [T^3] = [ML^2 T^{-5}]$
આમ,$\alpha$ અને $\beta$ ના પરિમાણો અનુક્રમે $[ML^2 T^{-3}]$ અને $[ML^2 T^{-5}]$ છે.

(A) ઉર્જા (Energy) નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.
ઝડપ (speed) નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^1 T^{-1}]$ છે.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા:
$[\text{Energy} \times \text{speed}] = [M^1 L^2 T^{-2}] \times [M^0 L^1 T^{-1}]$
$= [M^{1+0} L^{2+1} T^{-2-1}]$
$= [M^1 L^3 T^{-3}]$
આને $[M^a L^b T^c]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1, b = 3, c = -3$ મળે છે.

(C) સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ભૌતિક સમીકરણ ત્યારે જ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું હોય જો સમીકરણની બંને બાજુના તમામ પદોના પરિમાણો સમાન હોય. ઘાતાંકીય વિધેયનો ઘાતાંક પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ. આપેલા તમામ વિકલ્પોમાં,પદ $\frac{V}{V_0}$ પરિમાણરહિત છે,તેથી ઘાતાંકીય પદો માન્ય છે.
હવે,આપણે સહગુણકોના પરિમાણો તપાસીએ:
$(A)$ માટે: $[I] = [I_0]$,જે સાચું છે.
$(B)$ માટે: $[I] = [I_0]$,જે સાચું છે.
$(C)$ માટે: $[I] = [I_0 V_0]$. કારણ કે $[V_0]$ એ પોટેન્શિયલ છે,$[I] \neq [I_0 V_0]$. તેથી,$(C)$ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ ખોટું છે.
$(D)$ માટે: $[I] = [I_0] \times [\frac{V}{V_0}]$. કારણ કે $[\frac{V}{V_0}]$ પરિમાણરહિત છે,$[I] = [I_0]$,જે સાચું છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ એ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ ખોટું સમીકરણ છે.

(A) લહેરોની ઝડપ $v$ એ પૃષ્ઠતાણ $\sigma$,ઘનતા $\rho$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે.
આ સંબંધને $v = k \sigma^a \rho^b \lambda^c$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
ઝડપ $v$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L T^{-1}]$ છે.
પૃષ્ઠતાણ $\sigma$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^0 T^{-2}]$ છે.
ઘનતા $\rho$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{-3} T^0]$ છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L T^0]$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^0 L T^{-1}] = [M L^0 T^{-2}]^a [M L^{-3} T^0]^b [L]^c$
$[M^0 L T^{-1}] = [M]^{a+b} [L]^{-3b+c} [T]^{-2a}$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$a + b = 0$
$-3b + c = 1$
$-2a = -1$
$-2a = -1$ પરથી,આપણને $a = 1/2$ મળે છે.
$a = 1/2$ ને $a + b = 0$ માં મૂકતા,આપણને $b = -1/2$ મળે છે.
$b = -1/2$ ને $-3b + c = 1$ માં મૂકતા,આપણને $-3(-1/2) + c = 1 \Rightarrow 1.5 + c = 1 \Rightarrow c = -0.5 = -1/2$ મળે છે.
આમ,$v \propto \sigma^{1/2} \rho^{-1/2} \lambda^{-1/2}$.
તેથી,$v \propto \sqrt{\frac{\sigma}{\rho \lambda}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v^2 \propto \frac{\sigma}{\rho \lambda}$.

(C) શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટીને $\mu_0 \propto e^a m^b c^c h^d$ અથવા $\mu_0 = k e^a m^b c^c h^d$ ...$(i)$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$\mu_0 = [M L T^{-2} A^{-2}]$
$e = [A T]$
$m = [M]$
$c = [L T^{-1}]$
$h = [M L^2 T^{-1}]$
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$[M L T^{-2} A^{-2}] = [A T]^a [M]^b [L T^{-1}]^c [M L^2 T^{-1}]^d$
$[M L T^{-2} A^{-2}] = [M]^{b+d} [L]^{c+2d} [T]^{a-c-d} [A]^a$
બંને બાજુના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$a = -2$
$b + d = 1$
$c + 2d = 1$
$a - c - d = -2$
$a = -2$ ને $a - c - d = -2$ માં મૂકતા $-2 - c - d = -2$ મળે,તેથી $c + d = 0$,એટલે કે $c = -d$.
$c = -d$ ને $c + 2d = 1$ માં મૂકતા $-d + 2d = 1$ મળે,તેથી $d = 1$.
ત્યારબાદ $c = -1$ અને $b = 1 - d = 1 - 1 = 0$.
આમ,$\mu_0 = k e^{-2} m^0 c^{-1} h^1 = k \frac{h}{c e^2}$.
તેથી,$\mu_0$ ને $\frac{h}{c e^2}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

(D) ઉષ્મા વાહકતાના ગુણાંક $[k]$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-3} K^{-1}]$ છે.
સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $[G]$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{[k]}{[G]} = \frac{[M^1 L^1 T^{-3} K^{-1}]}{[M^{-1} L^3 T^{-2}]} = [M^{1-(-1)} L^{1-3} T^{-3-(-2)} K^{-1}] = [M^2 L^{-2} T^{-1} K^{-1}]$.
આને આપેલ પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{2a} L^{4b} T^{2c} K^d]$ સાથે સરખાવતા:
$2a = 2 \implies a = 1$
$4b = -2 \implies b = -\frac{1}{2}$
$2c = -1 \implies c = -\frac{1}{2}$
$d = -1$
હવે,જરૂરી પદાવલિની ગણતરી કરતા: $\frac{a+b}{c+b} - d = \frac{1 + (-1/2)}{-1/2 + (-1/2)} - (-1) = \frac{1/2}{-1} + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

(D) એકમ કદ દીઠ ઉર્જાનું પરિમાણીય સૂત્ર $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.
કોણીય વેગમાનનું પરિમાણીય સૂત્ર $[M L^2 T^{-1}]$ છે.
કારણ કે એકમ કદ દીઠ ઉર્જા અને કોણીય વેગમાનના પરિમાણો અલગ-અલગ છે,તેથી તેમને ઉમેરી કે બાદ કરી શકાતા નથી.
તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
પરિમાણીય સમાનતાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે માત્ર સમાન પરિમાણો ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓને જ ઉમેરી કે બાદ કરી શકાય છે.
તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે.

(D) વિદ્યુત પરમિટિવિટી $\epsilon_0$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$ છે.
લંબાઈ $L$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $\Delta V$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-3} A^{-1}]$ છે.
સમયના ગાળા $\Delta t$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[T]$ છે.
આ કિંમતોને $P = \epsilon_0 L \frac{\Delta V}{\Delta t}$ માં મૂકતા:
$[P] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2] \cdot [L] \cdot \frac{[M L^2 T^{-3} A^{-1}]}{[T]}$
$[P] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2] \cdot [L] \cdot [M L^2 T^{-3} A^{-1} T^{-1}]$
$[P] = [M^{-1+1} L^{-3+1+2} T^{4-3-1} A^{2-1}]$
$[P] = [M^0 L^0 T^0 A^1] = [A]$
આમ,$P$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[A]$ છે,જે વિદ્યુત પ્રવાહ દર્શાવે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સૂત્ર: $r = \sqrt{\frac{64 IA}{\pi Bv}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $r^2 = \frac{64 IA}{\pi Bv}$.
'$A$' ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $A = \frac{r^2 \pi Bv}{64 I}$.
હવે,દરેક ભૌતિક રાશિના પરિમાણો મૂકતા:
$[r] = [L]$,$[B] = [M T^{-2} I^{-1}]$,$[v] = [L T^{-1}]$,$[I] = [I]$.
'$A$' ના સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$[A] = \frac{[L]^2 [M T^{-2} I^{-1}] [L T^{-1}]}{[I]} = [M L^3 T^{-3} I^{-2}]$.
આ પરિમાણોને વિશિષ્ટ અવરોધ $(\rho)$ ના પરિમાણો સાથે સરખાવતા:
અવરોધ $R = \rho \frac{L}{Area} \implies \rho = R \frac{Area}{L}$.
$[R] = [M L^2 T^{-3} I^{-2}]$,$[Area] = [L^2]$,$[L] = [L]$.
$[\rho] = [M L^2 T^{-3} I^{-2}] \cdot \frac{[L^2]}{[L]} = [M L^3 T^{-3} I^{-2}]$.
આમ,'$A$' ના પરિમાણો વિશિષ્ટ અવરોધના પરિમાણો સાથે મેળ ખાય છે,તેથી '$A$' એ વિશિષ્ટ અવરોધ (Resistivity) દર્શાવે છે.

(C) આપેલ છે: $A = [LT^{-1}]$ (વેગ),$B = [LT^{-2}]$ (પ્રવેગ),$C = [ML^2T^{-2}A^{-2}]$ (ઇન્ડક્ટન્સ),$D = [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$ (કેપેસીટન્સ).
આપણે $A^{-1} BCD$ ના પરિમાણો શોધવાના છે.
પરિમાણો મૂકતા:
$A^{-1} = [L^{-1}T]$
$B = [LT^{-2}]$
$C = [ML^2T^{-2}A^{-2}]$
$D = [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$
હવે,ગુણાકારની ગણતરી કરો:
$A^{-1} BCD = [L^{-1}T] \cdot [LT^{-2}] \cdot [ML^2T^{-2}A^{-2}] \cdot [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા:
$= [L^{-1} \cdot L \cdot L^2 \cdot L^{-2}] \cdot [T \cdot T^{-2} \cdot T^{-2} \cdot T^4] \cdot [M \cdot M^{-1}] \cdot [A^{-2} \cdot A^2]$
$= [L^0] \cdot [T^1] \cdot [M^0] \cdot [A^0]$
$= [T]$
આમ,આ પદ સમયના પરિમાણ ધરાવે છે.

(B) ધારો કે દળ $M$ ને $M = C^a h^b G^c$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
પારિમાણિક સૂત્રો:
$C = [LT^{-1}]$
$h = [ML^2T^{-1}]$
$G = [M^{-1}L^3T^{-2}]$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$[M^1L^0T^0] = [LT^{-1}]^a [ML^2T^{-1}]^b [M^{-1}L^3T^{-2}]^c$
$[M^1L^0T^0] = M^{b-c} L^{a+2b+3c} T^{-a-b-2c}$
બંને બાજુ $M, L, T$ ના ઘાતાંકો સરખાવતા:
$b - c = 1$ $(i)$
$a + 2b + 3c = 0$ (ii)
$-a - b - 2c = 0$ (iii)
(ii) અને (iii) નો સરવાળો કરતા: $b + c = 0$,તેથી $b = -c$.
$b = -c$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $-c - c = 1 \implies -2c = 1 \implies c = -1/2$.
તેથી $b = 1/2$.
$b = 1/2$ અને $c = -1/2$ ને (iii) માં મૂકતા: $-a - 1/2 - 2(-1/2) = 0 \implies -a - 1/2 + 1 = 0 \implies a = 1/2$.
આમ,$M = C^{1/2} h^{1/2} G^{-1/2}$.

(B) $\text{બળનું પારિમાણિક સૂત્ર } [M L T^{-2}] \text{ છે.}$
$\text{આપેલ છે,} N_1 = 10, M_1 = 1 \,kg, L_1 = 1 \,m, T_1 = 1 \,s$.
$\text{નવી પદ્ધતિમાં,} M_2 = A \,kg, L_2 = B \,m, T_2 = C \,s$.
$\text{રૂપાંતરણના સૂત્ર } N_2 = N_1 \left( \frac{M_1}{M_2} \right)^1 \left( \frac{L_1}{L_2} \right)^1 \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^{-2} \text{ નો ઉપયોગ કરતા.}$
$\text{કિંમતો મૂકતા:}$
$N_2 = 10 \left( \frac{1}{A} \right)^1 \left( \frac{1}{B} \right)^1 \left( \frac{1}{C} \right)^{-2}$.
$N_2 = 10 \cdot A^{-1} \cdot B^{-1} \cdot C^2$.
$\text{આમ,નવી પદ્ધતિમાં } 10 \,N \text{ નું મૂલ્ય } 10 A^{-1} B^{-1} C^2 \text{ થાય છે.}$

(B) આપેલ સમીકરણ $10 \ g \ cm \ s^{-1} = x \ N \ s$ છે.
સૌ પ્રથમ,$CGS$ એકમ $g \ cm \ s^{-1}$ ને $SI$ એકમ $(kg \ m \ s^{-1})$ માં ફેરવો:
$1 \ g = 10^{-3} \ kg$
$1 \ cm = 10^{-2} \ m$
તેથી,$1 \ g \ cm \ s^{-1} = 10^{-3} \ kg \times 10^{-2} \ m \times s^{-1} = 10^{-5} \ kg \ m \ s^{-1}$.
આમ,$10 \ g \ cm \ s^{-1} = 10 \times 10^{-5} \ kg \ m \ s^{-1} = 10^{-4} \ kg \ m \ s^{-1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \ N = 1 \ kg \ m \ s^{-2}$,તેથી $1 \ N \ s = 1 \ kg \ m \ s^{-1}$.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $x \ N \ s = 10^{-4} \ kg \ m \ s^{-1}$ મળે છે.
તેથી,$x = 10^{-4}$.

(C) આપેલ ભૌતિક રાશિ $X = \frac{2 k^3 l^2}{m \sqrt{n}}$ છે.
$X$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે ત્રુટિઓના પ્રસરણ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{\Delta X}{X} = 3 \left( \frac{\Delta k}{k} \right) + 2 \left( \frac{\Delta l}{l} \right) + 1 \left( \frac{\Delta m}{m} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta n}{n} \right)$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ $\frac{\Delta k}{k} \times 100 = 1 \%$,$\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 2 \%$,$\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 3 \%$ અને $\frac{\Delta n}{n} \times 100 = 4 \%$ છે.
આ કિંમતોને પ્રતિશત ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 3(1 \%) + 2(2 \%) + 1(3 \%) + \frac{1}{2}(4 \%)$.
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 3 \% + 4 \% + 3 \% + 2 \% = 12 \%$.
આમ,$X$ ના મૂલ્યમાં પ્રતિશત અનિશ્ચિતતા $12 \%$ છે.

(D) આપેલ સંબંધ: $z = a b^2 c^{-2}$.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના સિદ્ધાંત મુજબ,$z$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta z}{z} = \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta b}{b} + 2 \frac{\Delta c}{c}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આખા સમીકરણને $100$ વડે ગુણો:
$\frac{\Delta z}{z} \times 100 = \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right)$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 2.1 \% + 2(1.3 \%) + 2(2.2 \%)$.
$\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 2.1 \% + 2.6 \% + 4.4 \% = 9.1 \%$.
તેથી,$z$ ના માપનમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $9.1 \%$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $Q V = k P T L^\alpha$ છે.
ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[Q] = M L^{-1} T^{-1}$
$[V] = L^3$
$[P] = M L^{-1} T^{-2}$
$[T] = T$
$[L] = L$
$k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે,તેથી $[k] = 1$.
બંને બાજુના પરિમાણોને સરખાવતા:
$[Q][V] = [k][P][T][L]^\alpha$
$(M L^{-1} T^{-1})(L^3) = (1)(M L^{-1} T^{-2})(T)(L^\alpha)$
$M L^2 T^{-1} = M L^{-1+\alpha} T^{-1}$
બંને બાજુ $L$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$2 = -1 + \alpha$
$\alpha = 3$.

(D) કોઈપણ સમીકરણ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું હોવા માટે,ઘાતાંકીય વિધેયનો ઘાતાંક પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
$E=E_0 e^{-t / t_0}$ સમીકરણમાં,પદ $-t / t_0$ એ બે સમયનો ગુણોત્તર છે,જે પરિમાણરહિત છે.
$E$ અને $E_0$ બંને ઊર્જા દર્શાવતા હોવાથી,તેમનું પરિમાણીય સૂત્ર $[M L^2 T^{-2}]$ સમાન છે.
તેથી,$E=E_0 e^{-t / t_0}$ સમીકરણ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સુસંગત છે કારણ કે ઘાતાંકીય અવયવ $e^{-t / t_0}$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
અન્ય વિકલ્પો પરિમાણની દ્રષ્ટિએ ખોટા છે કારણ કે તેમના ઘાતાંક પરિમાણરહિત નથી અથવા બંને બાજુના પરિમાણો સમાન નથી.

(A) વાન ડર વાલ્સ વાયુ સમીકરણ $(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=n R T$ છે.
સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉમેરવામાં આવતા અથવા બાદ કરવામાં આવતા પદોના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
$1$. $\frac{a}{V^2}$ નું પરિમાણ $P$ (દબાણ) ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ.
$[P] = [ML^{-1} T^{-2}]$ અને $[V] = [L^3]$.
તેથી,$[a] = [P] \times [V^2] = [ML^{-1} T^{-2}] \times [L^3]^2 = [ML^5 T^{-2}]$.
$2$. $b$ નું પરિમાણ $V$ (કદ) ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ.
$[b] = [V] = [L^3]$.
$3$. હવે,ગુણોત્તર $\frac{b}{a}$ ના પરિમાણો:
$\frac{[b]}{[a]} = \frac{[L^3]}{[ML^5 T^{-2}]} = [M^{-1} L^{-2} T^2]$.

(C) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી કરી શકાય છે.
અહીં આપેલ છે કે $A, B$ અને $C$ ના પરિમાણીય સૂત્રો અલગ-અલગ છે,તેથી $(A-C)$ અને $(AC-B)$ જેવી પદાવલીઓ ભૌતિક રીતે અર્થહીન છે કારણ કે તેમાં અલગ પરિમાણ ધરાવતી રાશિઓની બાદબાકી કરવામાં આવી છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વિકલ્પ $(C)$ માં $(A-C)$ પદ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ અમાન્ય છે. તેવી જ રીતે વિકલ્પ $(D)$ માં $(AC-B)$ પણ અમાન્ય છે. સામાન્ય રીતે આવા પ્રશ્નોમાં,$\frac{A-C}{B}$ ને અમાન્ય ગણવામાં આવે છે કારણ કે અંશ $(A-C)$ વ્યાખ્યાયિત નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ $m \frac{d^2 x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$ છે.
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$m \frac{d^2 x}{dt^2}$,$b \frac{dx}{dt}$,અને $kx$ ના પરિમાણો સમાન છે.
$b \frac{dx}{dt}$ અને $kx$ ના પરિમાણોને સરખાવતા:
$[b] [v] = [k] [x] \implies [b] = [k] [x] / [v] = [k] [x] / ([x] / [t]) = [k] [t]$.
તેથી,$[b] = [k] [T]$.
હવે,$\frac{b}{\sqrt{km}}$ પદને ધ્યાનમાં લો.
આ પદમાં $[b] = [k] [T]$ મૂકતા:
$\frac{[b]}{\sqrt{[k][m]}} = \frac{[k][T]}{\sqrt{[k][m]}}$.
અહીં $k = F/x = ma/x$ હોવાથી,$k$ ના પરિમાણો $[M T^{-2}]$ છે.
વળી,ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{k/m}$ સાથે સંબંધિત છે,તેથી $\sqrt{k/m}$ ના પરિમાણો $[T^{-1}]$ થાય છે.
અથવા,$[b] = [k] [T]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{b}{\sqrt{km}} = \frac{k T}{\sqrt{km}} = \sqrt{\frac{k}{m}} T = [T^{-1}] [T] = [M^0 L^0 T^0]$.