Moment of Inertia and Radius of gyration Questions in Gujarati

(A) દળ $M$ અને લંબાઈ $L$ ધરાવતા સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $(MI)$ નીચે મુજબ છે:
$1$. સળિયાને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને: $I = \frac{ML^2}{12}$.
$2$. સળિયાને લંબ અને એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને: $I = \frac{ML^2}{3}$.
આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$(a)$ દળ $M$,લંબાઈ $L$,મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષ: $I = \frac{ML^2}{12}$ ($iii$ સાથે સુસંગત છે).
$(b)$ દળ $2M$,લંબાઈ $L$,છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષ: $I = \frac{(2M)L^2}{3} = \frac{2ML^2}{3}$ ($iv$ સાથે સુસંગત છે).
$(c)$ દળ $M$,લંબાઈ $2L$,મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષ: $I = \frac{M(2L)^2}{12} = \frac{4ML^2}{12} = \frac{ML^2}{3}$ ($ii$ સાથે સુસંગત છે).
$(d)$ દળ $2M$,લંબાઈ $2L$,છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષ: $I = \frac{(2M)(2L)^2}{3} = \frac{2M(4L^2)}{3} = \frac{8ML^2}{3}$ ($i$ સાથે સુસંગત છે).
આમ,સાચી જોડ $(a)-(iii), (b)-(iv), (c)-(ii), (d)-(i)$ છે.

(A) ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k$ નું સૂત્ર $k = \sqrt{\frac{I}{m}}$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $m$ એ દળ છે.
$m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી પાતળી સમાન તકતી માટે:
$1$. તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{mR^2}{2}$ છે.
$2$. તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{mR^2}{4}$ છે.
ધારો કે $k_1$ અને $k_2$ એ અનુક્રમે $I_1$ અને $I_2$ ને અનુરૂપ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યાઓ છે.
તેથી,$\frac{k_1}{k_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{mR^2 / 2}{mR^2 / 4}} = \sqrt{\frac{4}{2}} = \sqrt{2} = \sqrt{2}: 1$.

(C) બધા પદાર્થોની ત્રિજ્યા $2R$ અને દળ $M$ છે.
$I_{1} = \frac{2}{5} M (2R)^{2} = \frac{8}{5} MR^{2}$
$I_{2} = \frac{1}{2} M (2R)^{2} = 2 MR^{2}$
$I_{3} = \frac{M (2R)^{2}}{4} = MR^{2}$
$I_{4} = \frac{M (2R)^{2}}{2} = 2 MR^{2}$
આપેલ સમીકરણ: $2(I_{2} + I_{3}) + I_{4} = x I_{1}$
કિંમતો મૂકતા: $2(2 MR^{2} + MR^{2}) + 2 MR^{2} = x (\frac{8}{5} MR^{2})$
$2(3 MR^{2}) + 2 MR^{2} = x (\frac{8}{5} MR^{2})$
$6 MR^{2} + 2 MR^{2} = x (\frac{8}{5} MR^{2})$
$8 MR^{2} = x (\frac{8}{5} MR^{2})$
$x = 5$

(A) સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{com} + MR^2$.
$(A)$ નક્કર ગોળા માટે,$I_{com} = \frac{2}{5}MR^2$. સ્પર્શકને અનુલક્ષીને,$I = \frac{2}{5}MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5}MR^2$ $(II)$.
$(B)$ પોલા ગોળા માટે,$I_{com} = \frac{2}{3}MR^2$. સ્પર્શકને અનુલક્ષીને,$I = \frac{2}{3}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{3}MR^2$ $(I)$.
$(C)$ વર્તુળાકાર રીંગ માટે,$I_{com} = MR^2$ (સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને). લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_x + I_y = I_z$. કારણ કે $I_x = I_y = I_{diameter}$,તેથી $2I_{diameter} = MR^2$,એટલે કે $I_{diameter} = \frac{1}{2}MR^2$ $(IV)$.
$(D)$ વર્તુળાકાર તકતી માટે,$I_{com} = \frac{1}{2}MR^2$. લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$2I_{diameter} = \frac{1}{2}MR^2$,તેથી $I_{diameter} = \frac{1}{4}MR^2$ $(III)$.
આમ,સાચી જોડ $A-II, B-I, C-IV, D-III$ છે.

(A) $m$ દળ અને $\ell$ લંબાઈના સમાન પાતળા સળિયા માટે,તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{1} = \frac{m \ell^{2}}{3}$ છે.
જ્યારે સળિયાને $r$ ત્રિજ્યાની રીંગમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે રીંગનો પરિઘ સળિયાની લંબાઈ જેટલો હોય છે,તેથી $\ell = 2 \pi r$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{\ell}{2 \pi}$.
$m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{2} = \frac{1}{2} m r^{2}$ છે.
$I_{2}$ ના સમીકરણમાં $r = \frac{\ell}{2 \pi}$ મૂકતા,આપણને $I_{2} = \frac{1}{2} m \left(\frac{\ell}{2 \pi}\right)^{2} = \frac{m \ell^{2}}{8 \pi^{2}}$ મળે છે.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{I_{1}}{I_{2}}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{\frac{m \ell^{2}}{3}}{\frac{m \ell^{2}}{8 \pi^{2}}} = \frac{8 \pi^{2}}{3}$.
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{x \pi^{2}}{3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 8$ મળે છે.

(A) $m$ દળ અને $\ell$ લંબાઈ ધરાવતા સમાન સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{m \ell^{2}}{12}$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જડત્વની ચાકમાત્રાને $I = mk^{2}$ તરીકે પણ દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $mk^{2} = \frac{m \ell^{2}}{12}$.
$k$ માટે ઉકેલતા: $k^{2} = \frac{\ell^{2}}{12} \Rightarrow k = \frac{\ell}{\sqrt{12}} = \frac{\ell}{2 \sqrt{3}}$.
અહીં $\ell = 10 \sqrt{3} \ m$ આપેલ છે,તેથી:
$k = \frac{10 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = 5 \ m$.
આમ,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $5 \ m$ છે.

(A) ધારો કે $O$ એ તકતીનું ભૌમિતિક કેન્દ્ર છે અને $C(x, y)$ તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર છે.
ધારો કે $I_{CM}$ એ તકતીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સ્પર્શકોને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{CM} + M d^2$ છે,જ્યાં $d$ એ અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.
સ્પર્શકો $AB$ અને $CD$ ($x$-અક્ષને સમાંતર) માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી અંતર અનુક્રમે $(R-y)$ અને $(R+y)$ છે:
$I_1 = I_{CM} + M(R-y)^2$
$I_3 = I_{CM} + M(R+y)^2$
આ સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$I_1 - I_3 = M[(R-y)^2 - (R+y)^2] = M[R^2 - 2Ry + y^2 - (R^2 + 2Ry + y^2)] = -4MRy$
તે જ રીતે,સ્પર્શકો $BC$ અને $DA$ ($y$-અક્ષને સમાંતર) માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી અંતર અનુક્રમે $(R-x)$ અને $(R+x)$ છે:
$I_2 = I_{CM} + M(R-x)^2$
$I_4 = I_{CM} + M(R+x)^2$
$I_2 - I_4 = -4MRx$
બંને પરિણામોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(I_1 - I_3)^2 + (I_2 - I_4)^2 = 16M^2R^2y^2 + 16M^2R^2x^2 = 16M^2R^2(x^2 + y^2)$
તેથી,અંતર $d = \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{1}{4MR} \sqrt{(I_1 - I_3)^2 + (I_2 - I_4)^2}$.

(C) કોઈપણ પદાર્થની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ એ $I = \sum m_i r_i^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $r_i$ એ પરિભ્રમણની અક્ષથી દળના ઘટક $m_i$ નું લંબ અંતર છે.
જ્યારે તકતીને તેના વ્યાસ પર અડધી વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તે વ્યાસની સાપેક્ષમાં દળનું વિતરણ બદલાતું નથી. મૂળ તકતીમાં વ્યાસથી $r$ અંતરે રહેલો દરેક દળનો ઘટક $dm$,વાળ્યા પછી પણ વ્યાસથી તેટલા જ અંતરે $r$ પર રહે છે.
દળ $M$ અને અક્ષ (વ્યાસ) થી તમામ દળના ઘટકોના લંબ અંતર $r$ સમાન રહેતા હોવાથી,સંકલન $I = \int r^2 dm$ બદલાતું નથી.
તેથી,વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $\frac{M R^2}{4}$ જ રહેશે.

(D) ભ્રમણ કરતી વસ્તુની ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે.
તમામ કિસ્સાઓ માટે $\omega$ અચળ હોવાથી,ગતિ ઊર્જા $K$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે $(K \propto I)$.
તેથી,જે અક્ષ માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ મહત્તમ હશે,તે અક્ષ માટે ગતિ ઊર્જા સૌથી વધુ હશે.
$a$ બાજુ અને $M$ દળ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટ માટે:
$1$. કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને પ્લેટને લંબ અક્ષ: $I_1 = \frac{Ma^2}{6}$
$2$. વિકર્ણની સાથેની અક્ષ: $I_2 = \frac{Ma^2}{12}$
$3$. ધારની સાથેની અક્ષ: $I_3 = \frac{Ma^2}{3}$
$4$. ખૂણામાંથી પસાર થતી અને પ્લેટને લંબ અક્ષ: લંબ અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_4 = I_{cm} + M(r^2) = \frac{Ma^2}{6} + M(\frac{a}{\sqrt{2}})^2 = \frac{Ma^2}{6} + \frac{Ma^2}{2} = \frac{4Ma^2}{6} = \frac{2Ma^2}{3}$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$I_4$ સૌથી મોટી છે. આમ,જ્યારે પ્લેટને એક ખૂણામાંથી પસાર થતી અને પ્લેટને લંબ અક્ષની આસપાસ ફેરવવામાં આવે ત્યારે ગતિ ઊર્જા સૌથી વધુ હોય છે.

(D) કોઈપણ દ્રઢ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ એ દરેક કણના દળ $(m_i)$ અને ભ્રમણાક્ષથી તેના લંબ અંતર $(r_i)$ ના વર્ગના ગુણાકારના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$1$. તે પદાર્થના કુલ દળ પર આધાર રાખે છે.
$2$. તે ભ્રમણાક્ષની સાપેક્ષમાં દળ કેવી રીતે વિતરિત થયેલું છે તેના પર આધાર રાખે છે.
$3$. તે ભ્રમણાક્ષના સ્થાન અને દિશા પર આધાર રાખે છે.
તેથી,આપેલા તમામ પરિબળો પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રાને અસર કરે છે.

(C) તારની લંબાઈ $\ell$ છે,જે $R$ ત્રિજ્યાનું અર્ધવર્તુળ બનાવે છે. તેથી,$\ell = \pi R$,જે આપણને $R = \frac{\ell}{\pi}$ આપે છે.
અર્ધવર્તુળાકાર તાર પરનો દરેક બિંદુ તેના મુક્ત છેડાઓમાંથી પસાર થતી અક્ષ (અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ) થી $R$ અંતરે છે.
અક્ષથી $R$ અંતરે રહેલા $m$ દળના કણની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m R^2$ છે. કારણ કે તારનું સંપૂર્ણ દળ $m$ અક્ષથી $R$ અંતરે છે,તેથી આ અક્ષને અનુલક્ષીને અર્ધવર્તુળાકાર તારની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m R^2$ થશે.
સૂત્રમાં $R = \frac{\ell}{\pi}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = m \left( \frac{\ell}{\pi} \right)^2 = \frac{m \ell^2}{\pi^2}$.

(C) તકતીની તેની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (\pi R^2 t) \rho$ હોવાથી,આપણે $R^2 = \frac{M}{\pi t \rho}$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને $I$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} M \left( \frac{M}{\pi t \rho} \right) = \frac{M^2}{2 \pi t \rho}$.
આપેલ છે કે બંને તકતીઓનું દળ $M$ અને જાડાઈ $t$ સમાન છે,તેથી જડત્વની ચાકમાત્રા ઘનતા $\rho$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે:
$I \propto \frac{1}{\rho}$.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{51 \, g/cm^3}{17 \, g/cm^3} = 3$.
આમ,ગુણોત્તર $3:1$ છે.

(D) તારની લંબાઈ $l = \pi r$ છે,જ્યાં $r$ એ અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$r = \frac{l}{\pi}$.
તાર પાતળો હોવાથી,તારનો દરેક બિંદુ અર્ધવર્તુળના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે છે.
અર્ધવર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને સમગ્ર તારની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{center} = m r^2$ થાય.
પરંતુ,પ્રશ્નમાં તારના છેડામાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા પૂછવામાં આવી છે.
અર્ધવર્તુળાકાર તાર માટે,એક છેડામાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 2mr^2$ થાય છે.
$r = \frac{l}{\pi}$ કિંમત મૂકતા,આપણને $I = 2m(\frac{l}{\pi})^2 = \frac{2ml^2}{\pi^2}$ મળે છે.

(C) $M$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા સળિયાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{M l^2}{12}$ છે.
$x$-અક્ષ પરના સળિયા માટે,સળિયા અને $y = x$ રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે. આ રેખાને અનુલક્ષીને આ સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = I_{cm} \sin^2(45^{\circ}) = \frac{M l^2}{12} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{M l^2}{24}$ થાય.
તે જ રીતે,$y$-અક્ષ પરના સળિયા માટે,સળિયા અને $y = x$ રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે. આ રેખાને અનુલક્ષીને આ સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_{cm} \sin^2(45^{\circ}) = \frac{M l^2}{12} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{M l^2}{24}$ થાય.
$y = x$ રેખાને અનુલક્ષીને કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 = \frac{M l^2}{24} + \frac{M l^2}{24} = \frac{2 M l^2}{24} = \frac{M l^2}{12}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે બે રીંગ $R_1$ અને $R_2$ છે. ધારો કે પરિભ્રમણની અક્ષ એ રીંગ $R_1$ નો વ્યાસ છે અને તે રીંગ $R_2$ ના સમતલને લંબ છે.
રીંગ $R_1$ માટે,તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} m R^2$ છે.
રીંગ $R_2$ માટે,અક્ષ તેના સમતલને લંબ છે અને તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = m R^2$ છે.
તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 = \frac{1}{2} m R^2 + m R^2 = \frac{3}{2} m R^2$ છે.
ધારો કે $k$ એ તંત્રની ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે. તંત્રનું કુલ દળ $M = m + m = 2m$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I = M k^2$,તેથી $\frac{3}{2} m R^2 = (2m) k^2$.
$k$ માટે ઉકેલતા: $k^2 = \frac{3}{4} R^2$,જે આપે છે $k = \frac{\sqrt{3}}{2} R$.

(B) સળિયો $4$ ભાગોનો બનેલો છે,દરેકની લંબાઈ $l$ અને દળ $M$ છે. ડાબેથી જમણે ભાગોને $1, 2, 3, 4$ કહીએ.
ભાગ $2$ અને $3$ બિંદુ $O$ પર જોડાયેલા છે. તેઓ $l$ લંબાઈના સળિયા છે જે એક છેડાને અનુલક્ષીને ફરે છે. તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_3 = \frac{Ml^2}{3}$ છે.
ભાગ $1$ અને $4$ એ $l$ લંબાઈના સળિયા છે જેમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રો બિંદુ $O$ થી $d$ અંતરે છે. $90^\circ$ ના ખૂણાની ભૂમિતિનો ઉપયોગ કરીને $O$ થી ભાગ $1$ (અથવા $4$) ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $x = \sqrt{(l/2)^2 + (l/2)^2} = \frac{l}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_1 = I_4 = I_{CM} + Mx^2 = \frac{Ml^2}{12} + M(\frac{l}{\sqrt{2}})^2 = \frac{Ml^2}{12} + \frac{Ml^2}{2} = \frac{7Ml^2}{12}$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = 2(\frac{7Ml^2}{12}) + 2(\frac{Ml^2}{3}) = \frac{7Ml^2}{6} + \frac{4Ml^2}{6} = \frac{11Ml^2}{6}$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,આ પ્રકારના પ્રમાણિત પાઠ્યપુસ્તકના પ્રશ્નોના આધારે અપેક્ષિત જવાબ $B$ છે.

(A) નક્કર ગોળાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5} MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$PQ$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{PQ} = I_{cm} + Md^2$ છે,જ્યાં $d = 10 \, cm$ એ અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.
$I_{PQ} = \frac{2}{5} MR^2 + M(10)^2$.
વ્યાખ્યા મુજબ,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા સાથે $I_{PQ} = Mk^2$ દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,$Mk^2 = \frac{2}{5} MR^2 + M(10)^2$.
$M$ વડે ભાગતા,આપણને $k^2 = \frac{2}{5} R^2 + 100$ મળે છે.
$R = 5 \, cm$ મૂકતા,$k^2 = \frac{2}{5} (5)^2 + 100 = \frac{2}{5} (25) + 100 = 10 + 100 = 110$.
આમ,$k = \sqrt{110} \, cm$.
આને $\sqrt{x} \, cm$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 110$ મળે છે.

(C) ધારો કે નળાકારના દ્રવ્યની ઘનતા $\rho$ છે.
મૂળ નળાકારનું દળ $m_1 = \rho \cdot \pi R^2 L$ છે.
તેની અક્ષને અનુલક્ષીને મૂળ નળાકારની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} m_1 R^2 = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 L) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 L$ છે.
કોતરીને કાઢેલા નળાકારનું દળ $m_2 = \rho \cdot \pi (R')^2 L' = \rho \cdot \pi (\frac{R}{2})^2 (\frac{L}{2}) = \rho \cdot \pi \frac{R^2}{4} \cdot \frac{L}{2} = \frac{1}{8} \rho \pi R^2 L$ છે.
કોતરીને કાઢેલા નળાકારની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{1}{2} m_2 (R')^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{8} \rho \pi R^2 L) (\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} \rho \pi R^2 L \cdot \frac{R^2}{4} = \frac{1}{64} \rho \pi R^4 L$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{1}{2} \rho \pi R^4 L}{\frac{1}{64} \rho \pi R^4 L} = \frac{64}{2} = 32$ થાય.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ડિસ્કની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{4}MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે દળ $M_1$ અને $M_2$ સમાન છે,તેથી જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_1^2}{R_2^2}$ થશે.
ડિસ્કનું દળ $M = \rho \cdot V = \rho \cdot \pi R^2 t$ છે,જ્યાં $\rho$ ઘનતા છે અને $t$ જાડાઈ છે.
$M_1 = M_2$ આપેલ હોવાથી,$\rho_1 R_1^2 t_1 = \rho_2 R_2^2 t_2$ થાય.
તેથી,$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{\rho_2 t_2}{\rho_1 t_1}$.
$\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{3}{5}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{5}{3}$.
$t_1 = 1\,cm$ અને $t_2 = 0.5\,cm$ આપેલ છે,તેથી $\frac{t_2}{t_1} = \frac{0.5}{1} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{5}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{5}{6}$ છે.
આને $\frac{x}{6}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 5$ મળે છે.

(C) રીંગ માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M_1 R_1^2$ છે. $I = M_1 K_1^2$ હોવાથી,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K_1 = R_1$ થાય.
નક્કર ગોળા માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{2}{5} M_2 R_2^2$ છે. $I' = M_2 K_2^2$ હોવાથી,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K_2 = \sqrt{\frac{2}{5}} R_2$ થાય.
આપેલ છે કે બંનેની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા સમાન છે,તેથી $K_1 = K_2$.
તેથી,$R_1 = \sqrt{\frac{2}{5}} R_2$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{2}{5}}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\sqrt{\frac{2}{x}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 5$ મળે છે.

(B) $M_{total}$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M_{total}R^2$ હોય છે.
$M$ દળ ધરાવતી અર્ધવર્તુળાકાર રીંગ માટે,દળ એવી રીતે વિતરિત થયેલું છે કે દરેક દળના ઘટકનું કેન્દ્રથી અંતર બરાબર $R$ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ને $\int r^2 dm$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અર્ધવર્તુળાકાર રીંગનો દરેક દળનો ઘટક $dm$ કેન્દ્રથી $R$ જેટલા અચળ અંતરે હોવાથી,આપણને $I = \int R^2 dm = R^2 \int dm = MR^2$ મળે છે.
આને આપેલા સમીકરણ $\frac{1}{x} MR^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{1}{x} = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.

(A) પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ $I = mk^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $k$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે.
નક્કર ગોળા માટે,તેની કેન્દ્રીય અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{sph}} = \frac{2}{5}mR^2$ છે.
આને $mk_{\text{sph}}^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k_{\text{sph}} = \sqrt{\frac{2}{5}}R$ મળે છે.
નક્કર નળાકાર માટે,તેની કેન્દ્રીય અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{cyl}} = \frac{1}{2}mR^2$ છે.
આને $mk_{\text{cyl}}^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k_{\text{cyl}} = \frac{R}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{k_{\text{sph}}}{k_{\text{cyl}}} = \frac{\sqrt{2/5}R}{R/\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{2}{5}} \times \sqrt{2} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ છે.
આપેલા ગુણોત્તર $\frac{2}{\sqrt{x}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 5$ મળે છે.

(B) ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K$ નું સૂત્ર $K = \sqrt{\frac{I}{M}}$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ દળ છે.
નક્કર ગોળા માટે,તેની પોતાની અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{solid}} = \frac{2}{5}MR^2$ છે. તેથી,$K_{\text{solid}} = \sqrt{\frac{2/5 MR^2}{M}} = R\sqrt{\frac{2}{5}}$.
પાતળા પોલા ગોળા માટે,તેની પોતાની અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{hollow}} = \frac{2}{3}MR^2$ છે. તેથી,$K_{\text{hollow}} = \sqrt{\frac{2/3 MR^2}{M}} = R\sqrt{\frac{2}{3}}$.
ગુણોત્તર $\frac{K_{\text{solid}}}{K_{\text{hollow}}} = \frac{R\sqrt{2/5}}{R\sqrt{2/3}} = \sqrt{\frac{2}{5} \times \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{3} : \sqrt{5}$ થાય.

(B) ધારો કે દરેક કણનું દળ $m = 1 \ kg$ છે અને ચોરસની બાજુ $a = 2 \ m$ છે.
ધારો કે પરિભ્રમણની અક્ષ એક શિરોબિંદુ (ધારો કે ઉપરનો જમણો ખૂણો) માંથી પસાર થાય છે અને તે ચોરસના સમતલને લંબ છે.
આ અક્ષથી ચાર કણોના અંતર નીચે મુજબ છે:
$1$. અક્ષ પર રહેલો કણ: $r_1 = 0$
$2$. બે પાસપાસેના કણો: $r_2 = r_3 = a = 2 \ m$
$3$. વિકર્ણની સામેનો કણ: $r_4 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \ m$
જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નું સૂત્ર $I = \sum m_i r_i^2 = m(r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 + r_4^2)$ છે.
$I = 1 \times (0^2 + 2^2 + 2^2 + (2\sqrt{2})^2)$
$I = 1 \times (0 + 4 + 4 + 8) = 16 \ kg \ m^2$.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પોલા ગોળા માટે,તેના વ્યાસ અક્ષ $AB$ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{3} MR^2$ છે.
$I = Mk^2$ હોવાથી,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k_1$ માટે $k_1^2 = \frac{2}{3} R^2$ મળે.
$M$ દળ,$R$ ત્રિજ્યા અને $4R$ લંબાઈ ધરાવતા નક્કર નળાકાર માટે,અક્ષ $AB$ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.
નળાકાર માટે $I_{\text{cylinder}} = \frac{1}{12} M(4R)^2 + \frac{1}{4} MR^2 + M(2R)^2 = \frac{16}{12} MR^2 + \frac{1}{4} MR^2 + 4MR^2 = (\frac{4}{3} + \frac{1}{4} + 4) MR^2 = \frac{67}{12} MR^2$ મળે.
તેથી,$k_2^2 = \frac{67}{12} R^2$.
ગુણોત્તર $\frac{k_1}{k_2} = \sqrt{\frac{2/3}{67/12}} = \sqrt{\frac{2}{3} \cdot \frac{12}{67}} = \sqrt{\frac{8}{67}}$.
આમ,$x = 67$.

(D) $2 \,m$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રથી દરેક બાજુના મધ્યબિંદુ સુધીનું અંતર $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \,m$ છે。
ત્રિકોણના સમતલને લંબ અને મધ્યકેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ છે。
અહીં બધા દળ મધ્યકેન્દ્રથી સમાન અંતર $r$ પર હોવાથી,$I = (m_1 + m_2 + m_3) r^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $I = (2 + 4 + 6) \times (\frac{1}{\sqrt{3}})^2$.
$I = 12 \times \frac{1}{3} = 4 \,kg \,m^2$.

(D) પાતળા સળિયાની તેના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી અને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{m \ell^2}{12}$
આપેલ છે:
$I = 2400 \,g \,cm^2$
$m = 400 \,g$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$2400 = \frac{400 \times \ell^2}{12}$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$2400 = \frac{100 \times \ell^2}{3}$
$2400 \times 3 = 100 \times \ell^2$
$7200 = 100 \times \ell^2$
$\ell^2 = 72$
વર્ગમૂળ લેતા:
$\ell = \sqrt{72} \approx 8.485 \,cm$
નજીકની કિંમત લેતા:
$\ell \approx 8.5 \,cm$

(B) $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતી ગોળાકાર કવચની જડત્વની ચાકમાત્રા $dI = \frac{2}{3} (dm) r^2$ છે.
$dm = \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr$ હોવાથી,$dI = \frac{8}{3} \pi \rho(r) r^4 dr$ મળે.
ગોળા $A$ માટે: $I_A = \int_0^R \frac{8}{3} \pi \left( k \frac{r}{R} \right) r^4 dr = \frac{8\pi k}{3R} \int_0^R r^5 dr = \frac{8\pi k}{3R} \left[ \frac{r^6}{6} \right]_0^R = \frac{8\pi k R^5}{18} = \frac{4\pi k R^5}{9}$.
ગોળા $B$ માટે: $I_B = \int_0^R \frac{8}{3} \pi \left( k \frac{r^5}{R^5} \right) r^4 dr = \frac{8\pi k}{3R^5} \int_0^R r^9 dr = \frac{8\pi k}{3R^5} \left[ \frac{r^{10}}{10} \right]_0^R = \frac{8\pi k R^5}{30} = \frac{4\pi k R^5}{15}$.
હવે,$\frac{I_B}{I_A} = \frac{4\pi k R^5 / 15}{4\pi k R^5 / 9} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = \frac{6}{10}$.
આને $\frac{n}{10}$ સાથે સરખાવતા,$n = 6$ મળે છે.

(B) ધારો કે દરેક પદાર્થનું દળ $M$ છે. તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{MR_1^2}{4}$ છે.
રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{MR_2^2}{2}$ છે.
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_3 = \frac{2MR_1^2}{5}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$I_1 = 2.5 I_2$.
$\frac{MR_1^2}{4} = 2.5 \times \frac{MR_2^2}{2} \Rightarrow \frac{R_1^2}{4} = \frac{5}{2} \times \frac{R_2^2}{2} \Rightarrow \frac{R_1^2}{4} = \frac{5R_2^2}{4} \Rightarrow R_1^2 = 5R_2^2$.
હવે,આપણને આપેલ છે કે $I_3 = n I_2$.
$\frac{2MR_1^2}{5} = n \times \frac{MR_2^2}{2}$.
સમીકરણમાં $R_1^2 = 5R_2^2$ મૂકતા:
$\frac{2M(5R_2^2)}{5} = n \times \frac{MR_2^2}{2} \Rightarrow 2MR_2^2 = n \times \frac{MR_2^2}{2} \Rightarrow n = 4$.

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી નક્કર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તકતીઓ સમાન દ્રવ્ય (લોખંડ) ની બનેલી હોવાથી અને અવગણ્ય જાડાઈ ધરાવતી હોવાથી,તેમની પૃષ્ઠ દળ ઘનતા $\sigma$ સમાન છે.
તેથી,તકતીનું દળ $M = \sigma \times \text{ક્ષેત્રફળ} = \sigma \times \pi R^2$ થાય.
પ્રથમ તકતી માટે: $M_1 = \sigma \pi R_1^2$ અને $I_1 = \frac{1}{2} M_1 R_1^2 = \frac{1}{2} (\sigma \pi R_1^2) R_1^2 = \frac{1}{2} \sigma \pi R_1^4$.
બીજી તકતી માટે: $M_2 = \sigma \pi R_2^2$ અને $I_2 = \frac{1}{2} M_2 R_2^2 = \frac{1}{2} (\sigma \pi R_2^2) R_2^2 = \frac{1}{2} \sigma \pi R_2^4$.
આપેલ છે કે $R_2 = 2 R_1$,આ કિંમત $I_2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I_2 = \frac{1}{2} \sigma \pi (2 R_1)^4 = \frac{1}{2} \sigma \pi (16 R_1^4) = 16 \times (\frac{1}{2} \sigma \pi R_1^4) = 16 I_1$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_1}{16 I_1} = \frac{1}{16}$.
આને $1/x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 16$ મળે છે.

(D) સળિયાની લંબાઈ $L$ છે અને તેની રેખીય દળ ઘનતા $\lambda$ છે. તેથી,સળિયાનું કુલ દળ $M = \lambda L$ થાય.
જ્યારે સળિયાને $R$ ત્રિજ્યાની રીંગમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે રીંગનો પરિઘ સળિયાની લંબાઈ જેટલો થાય છે: $2 \pi R = L$,જેના પરથી $R = \frac{L}{2 \pi}$ મળે છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનું સૂત્ર $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
$M$ અને $R$ ની કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} (\lambda L) \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2$
$I = \frac{1}{2} (\lambda L) \left( \frac{L^2}{4 \pi^2} \right)$
$I = \frac{\lambda L^3}{8 \pi^2}$.

(C) ધારો કે $L$ લંબાઈ અને $M$ દળનો સળિયો $AB$ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ બંને છેડાથી $L/2$ અંતરે છે. પરિભ્રમણની અક્ષ એક છેડા (ધારો કે $A$) થી $L/3$ અંતરે આવેલા બિંદુ $N$ માંથી પસાર થાય છે.
કેન્દ્ર $C$ થી $N$ નું અંતર $d = |L/2 - L/3| = L/6$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$N$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = I_{CM} + Md^2$
$I = \frac{ML^2}{12} + M\left(\frac{L}{6}\right)^2$
$I = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{36} = \frac{3ML^2 + ML^2}{36} = \frac{4ML^2}{36} = \frac{ML^2}{9}$
ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ એ $I = MK^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,તેથી:
$MK^2 = \frac{ML^2}{9}$
$K^2 = \frac{L^2}{9}$
$K = \frac{L}{3}$

(A) $M_s$ દળ ધરાવતા નક્કર અર્ધગોલકની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_s = \frac{2}{5} M_s R^2$ છે.
અહીં,નક્કર અર્ધગોલકનું દળ $M_s = m/2$ છે,તેથી $I_s = \frac{2}{5} (m/2) R^2 = \frac{1}{5} m R^2$ થાય.
$M_h$ દળ ધરાવતા અર્ધગોલીય કવચની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_h = \frac{2}{3} M_h R^2$ છે.
અહીં,અર્ધગોલીય કવચનું દળ $M_h = m/2$ છે,તેથી $I_h = \frac{2}{3} (m/2) R^2 = \frac{1}{3} m R^2$ થાય.
અક્ષ $AB$ ની સાપેક્ષે કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા એ વ્યક્તિગત જડત્વની ચાકમાત્રાઓનો સરવાળો છે:
$I = I_s + I_h = \frac{1}{5} m R^2 + \frac{1}{3} m R^2 = \left(\frac{3+5}{15}\right) m R^2 = \frac{8}{15} m R^2$.

(A) તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે ... $(i)$
તકતીનું કદ $V = \pi R^2 \times \text{જાડાઈ} = \pi R^2 \times \frac{R}{6} = \frac{\pi R^3}{6}$ થાય.
જ્યારે તકતીને $R_s$ ત્રિજ્યાના નક્કર ગોળામાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે:
$\frac{\pi R^3}{6} = \frac{4}{3} \pi R_s^3$
$R_s^3 = \frac{R^3}{8} \implies R_s = \frac{R}{2}$ ... (ii)
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} MR_s^2$ છે.
$R_s = \frac{R}{2}$ ને $I_{\text{sphere}}$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} MR^2 = \frac{1}{5} \left(\frac{1}{2} MR^2\right)$.
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I_{\text{sphere}} = \frac{I}{5}$ મળે છે.

(C) તક્તિની તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તક્તિઓ સમાન દ્રવ્ય અને સમાન જાડાઈ $t$ ની બનેલી હોવાથી,તેમનું દળ $M = \text{ઘનતા} \times \text{કદ} = \rho \times (\pi R^2 t)$ થાય.
$I$ ના સૂત્રમાં $M$ ની કિંમત મૂકતા,$I = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 t) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi t R^4$ મળે.
અહીં $\rho$,$\pi$ અને $t$ બંને તક્તિઓ માટે અચળ હોવાથી,$I \propto R^4$ થાય.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_A}{I_B} = \left( \frac{R_A}{R_B} \right)^4$ થશે.
અહીં $R_A = R$ અને $R_B = 3R$ આપેલ હોવાથી,$\frac{I_A}{I_B} = \left( \frac{R}{3R} \right)^4 = \left( \frac{1}{3} \right)^4 = \frac{1}{81}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $1: 81$ છે.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપની તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે તારની રેખીય દળ ઘનતા $\lambda$ છે.
લૂપ $P$ નું દળ $M_P = \lambda \cdot (2\pi r)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R_P = r$ છે.
તેથી,$I_P = M_P R_P^2 = (2\pi r \lambda) r^2 = 2\pi \lambda r^3$.
લૂપ $Q$ નું દળ $M_Q = \lambda \cdot (2\pi nr)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R_Q = nr$ છે.
તેથી,$I_Q = M_Q R_Q^2 = (2\pi nr \lambda) (nr)^2 = 2\pi \lambda n^3 r^3$.
આપેલ છે કે $I_Q = 4 I_P$,તેથી $2\pi \lambda n^3 r^3 = 4(2\pi \lambda r^3)$.
બંને બાજુથી $2\pi \lambda r^3$ ને દૂર કરતા,આપણને $n^3 = 4$ મળે છે.
તેથી,$n = 4^{1/3} = (2^2)^{1/3} = 2^{2/3}$.

(B) $1$. $M$ દળ અને $L$ લંબાઈના પાતળા સમાન સળિયા માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ML^2}{12}$ છે.
$2$. જ્યારે સળિયાને $R$ ત્રિજ્યાની રીંગમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે રીંગનો પરિઘ સળિયાની લંબાઈ જેટલો થાય છે: $2\pi R = L$,તેથી $R = \frac{L}{2\pi}$.
$3$. $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
$4$. $I_1$ ના સમીકરણમાં $R = \frac{L}{2\pi}$ મૂકતા: $I_1 = \frac{1}{2}M(\frac{L}{2\pi})^2 = \frac{1}{2}M(\frac{L^2}{4\pi^2}) = \frac{ML^2}{8\pi^2}$.
$5$. આપેલ છે કે $I_1 = xI$,તેથી $\frac{ML^2}{8\pi^2} = x(\frac{ML^2}{12})$.
$6$. $x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{12}{8\pi^2} = \frac{3}{2\pi^2}$.

(C) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{s} = \frac{2}{5}MR^{2}$ છે.
પાતળી દીવાલવાળા પોલા ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{h} = \frac{2}{3}MR^{2}$ છે.
બંને ગોળાઓ સમાન દળ $M$ ધરાવતા હોવાથી,પોલા ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રાનું સૂત્ર નક્કર ગોળા કરતા મોટું છે કારણ કે $\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$.
આમ,$I_{h} > I_{s}$ થાય છે.

(C) $1$. તારની લંબાઈ $L$ છે. તેને અર્ધવર્તુળાકાર રીંગમાં વાળવામાં આવે છે,તેથી અર્ધવર્તુળની ચાપની લંબાઈ $\pi R = L$ થશે,જ્યાં $R$ એ ત્રિજ્યા છે. તેથી,$R = \frac{L}{\pi}$.
$2$. $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અર્ધવર્તુળાકાર રીંગ માટે,તેના વ્યાસ (જે તેના છેડાઓમાંથી પસાર થાય છે) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ થાય છે.
$3$. હવે,$R = \frac{L}{\pi}$ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,$I = \frac{1}{2} M \left(\frac{L}{\pi}\right)^2 = \frac{M L^2}{2 \pi^2}$ મળે છે.

(B) કોઈ અક્ષને અનુલક્ષીને કણોના તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L$ બાજુવાળા ચોરસ માટે,દરેક ખૂણાનું કેન્દ્રથી અંતર $r = \frac{L}{\sqrt{2}}$ છે.
અહીં $M$ દળના ચાર કણો હોવાથી,સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 4 \times M \times r^2 = 4 \times M \times (\frac{L}{\sqrt{2}})^2 = 4 \times M \times \frac{L^2}{2} = 2ML^2$ થાય.
ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k$ ને $I = M_{total} k^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $M_{total} = 4M$ છે.
તેથી,$2ML^2 = (4M)k^2$.
$k^2 = \frac{2ML^2}{4M} = \frac{L^2}{2}$.
$k = \frac{L}{\sqrt{2}}$.

(B) ધારો કે સળિયાનું દળ $M$ અને તેની લંબાઈ $L$ છે. સળિયાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_1 = \frac{ML^2}{12}$ છે.
જ્યારે સળિયાને $R$ ત્રિજ્યાની રીંગમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે રીંગનો પરિઘ સળિયાની લંબાઈ જેટલો થાય છે,તેથી $2\pi R = L$,જેનો અર્થ છે કે $R = \frac{L}{2\pi}$.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_2 = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
$I_2$ ના સમીકરણમાં $R = \frac{L}{2\pi}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $I_2 = \frac{1}{2}M(\frac{L}{2\pi})^2 = \frac{1}{2}M(\frac{L^2}{4\pi^2}) = \frac{ML^2}{8\pi^2}$.
હવે,ગુણોત્તર $I_1 / I_2 = \frac{ML^2/12}{ML^2/8\pi^2} = \frac{8\pi^2}{12} = \frac{2\pi^2}{3}$ થાય છે.

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
ધારો કે મોટા ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ અને દળ $M$ છે.
જ્યારે તેને $r$ ત્રિજ્યાના $27$ નાના ગોળાઓમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3}\pi r^3$.
આનો અર્થ એ છે કે $R^3 = 27r^3$,તેથી $R = 3r$ અથવા $r = \frac{R}{3}$.
દરેક નાના ગોળાનું દળ $m = \frac{M}{27}$ થાય.
દરેક નાના ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I' = \frac{2}{5}mr^2$ છે.
$m = \frac{M}{27}$ અને $r = \frac{R}{3}$ મૂકતા:
$I' = \frac{2}{5} \left( \frac{M}{27} \right) \left( \frac{R}{3} \right)^2 = \frac{2}{5} \left( \frac{M}{27} \right) \left( \frac{R^2}{9} \right) = \frac{1}{243} \left( \frac{2}{5}MR^2 \right)$.
કારણ કે $I = \frac{2}{5}MR^2$,તેથી $I' = \frac{I}{243}$.

(A) $1$. તારનું કુલ દળ $M = \lambda L$ છે.
$2$. રીંગનો પરિઘ $2 \pi R = L$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $R = \frac{L}{2 \pi}$ થાય.
$3$. રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = MR^2$ છે.
$4$. લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diameter} = \frac{1}{2} MR^2$ થાય.
$5$. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સમતલમાં રહેલી સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{diameter} + MR^2$ થાય.
$6$. $I = \frac{1}{2} MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$.
$7$. $M = \lambda L$ અને $R = \frac{L}{2 \pi}$ કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{3}{2} (\lambda L) (\frac{L}{2 \pi})^2 = \frac{3}{2} \lambda L \cdot \frac{L^2}{4 \pi^2} = \frac{3 \lambda L^3}{8 \pi^2}$.

(B) વલયાકાર રિંગ (અથવા પોલા ડિસ્ક) માટે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{1}{2} M(R_1^2 + R_2^2)$
જ્યાં $M$ એ દળ છે,$R_1$ એ આંતરિક ત્રિજ્યા છે અને $R_2$ એ બાહ્ય ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે:
$M = 10 \ kg$
$R_1 = 5 \ m$
$R_2 = 10 \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \times 10 \times (5^2 + 10^2)$
$I = 5 \times (25 + 100)$
$I = 5 \times 125 = 625 \ kg \cdot m^2$

(B) બંને લૂપ એક જ સમાન તારમાંથી બનાવવામાં આવ્યા છે,તેથી રેખીય દળ ઘનતા $\lambda$ અચળ રહેશે.
લૂપ $P$ નું દળ $M_P = \lambda \times (2\pi r) = 2\pi r\lambda$ છે.
લૂપ $Q$ નું દળ $M_Q = \lambda \times (2\pi nr) = 2\pi nr\lambda$ છે.
વર્તુળાકાર લૂપની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = Mr^2$ છે.
લૂપ $P$ માટે,$I_P = M_P r^2 = (2\pi r\lambda) r^2 = 2\pi r^3 \lambda$.
લૂપ $Q$ માટે,$I_Q = M_Q (nr)^2 = (2\pi nr\lambda) (nr)^2 = 2\pi n^3 r^3 \lambda$.
આપેલ છે કે $I_Q = 4 I_P$,તેથી:
$2\pi n^3 r^3 \lambda = 4 \times (2\pi r^3 \lambda)$.
$n^3 = 4$.
$n = (4)^{1/3} = (2^2)^{1/3} = (2)^{2/3}$.

(A) ધારો કે વર્તુળાકાર તકતી અને વર્તુળાકાર રીંગ બંનેનું દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે.
વર્તુળાકાર તકતી માટે,તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_d = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
જો $K_d$ એ તકતીની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા હોય,તો $I_d = MK_d^2$.
બંનેને સરખાવતા,$MK_d^2 = \frac{1}{2} MR^2$,જેનું સાદું રૂપ $K_d = \frac{R}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
વર્તુળાકાર રીંગ માટે,તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_r = MR^2$ છે.
જો $K_r$ એ રીંગની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા હોય,તો $I_r = MK_r^2$.
બંનેને સરખાવતા,$MK_r^2 = MR^2$,જેનું સાદું રૂપ $K_r = R$ મળે છે.
તકતી અને રીંગની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{K_d}{K_r} = \frac{R/\sqrt{2}}{R} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $1 : \sqrt{2}$ છે.

(C) લૂપ (રિંગ) ની તેના કેન્દ્રિય અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$I_A = M_1 R_1^2$ અને $I_B = M_2 R_2^2$ ... $(i)$
વાયર સમાન હોવાથી,દળ $M$ એ પરિઘ $(2 \pi R)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે. તો $M_1 = 2 \pi R_1 m$ અને $M_2 = 2 \pi R_2 m$.
તેથી,$\frac{M_1}{M_2} = \frac{R_1}{R_2}$ ... (ii)
જડત્વની ચાકમાત્રાના ગુણોત્તરમાં (ii) મૂકતા:
$\frac{I_A}{I_B} = \frac{M_1 R_1^2}{M_2 R_2^2} = \left(\frac{M_1}{M_2}\right) \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \left(\frac{R_1}{R_2}\right) \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$.
આપેલ છે કે $\frac{I_A}{I_B} = 27$,તેથી $\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 = 27$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$\frac{R_1}{R_2} = 3$.
તેથી,$\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{3}$.

(B) દળ $=$ કદ $\times$ ઘનતા.
ધારો કે દળ $M_A$ અને $M_B$ છે,અને ત્રિજ્યા $R_A$ અને $R_B$ છે.
$M_A = M_B = M$ હોવાથી,
$M = \frac{4}{3} \pi R_A^3 \rho_A = \frac{4}{3} \pi R_B^3 \rho_B$.
આથી,$\frac{R_B^3}{R_A^3} = \frac{\rho_A}{\rho_B}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{R_B}{R_A} = (\frac{\rho_A}{\rho_B})^{1/3}$.
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
તેથી,$\frac{I_B}{I_A} = \frac{\frac{2}{5} M R_B^2}{\frac{2}{5} M R_A^2} = \frac{R_B^2}{R_A^2}$.
ત્રિજ્યાના ગુણોત્તરને મૂકતા:
$\frac{I_B}{I_A} = ((\frac{\rho_A}{\rho_B})^{1/3})^2 = (\frac{\rho_A}{\rho_B})^{2/3}$.