Moment of Inertia and Radius of gyration Questions in Gujarati

(C) તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R_d^2$ છે.
દળ $M$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે કદને સરખાવીએ:
$V_{\text{disc}} = V_{\text{sphere}}$
$\pi R_d^2 \times (R_d/8) = \frac{4}{3} \pi R_s^3$
$\frac{R_d^3}{8} = \frac{4}{3} R_s^3 \implies R_s^3 = \frac{3}{32} R_d^3 \implies R_s^2 = \left(\frac{3}{32}\right)^{2/3} R_d^2$.
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M R_s^2$ છે.
$R_s^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M \left(\frac{3}{32}\right)^{2/3} R_d^2$.
$M R_d^2 = 2I$ હોવાથી:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} (2I) \left(\frac{3}{32}\right)^{2/3} = \frac{4I}{5} \left(\frac{9}{1024}\right)^{1/3} \approx \frac{I}{5}$.

(A) $x$-અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા એ ત્રણેય સળિયાઓની $x$-અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે: $I_{\text{total}} = I_x + I_y + I_z$.
$m$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા પાતળા સળિયા માટે,જ્યારે અક્ષ તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી હોય અને સળિયાને લંબ હોય,ત્યારે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{mL^2}{3}$ થાય છે.
$1$. $x$-અક્ષ પરના સળિયા માટે: સળિયો પોતે $x$-અક્ષ પર હોવાથી,$x$-અક્ષથી તેનું અંતર શૂન્ય છે. તેથી,$I_x = 0$.
$2$. $y$-અક્ષ પરના સળિયા માટે: પરિભ્રમણની અક્ષ ($x$-અક્ષ) સળિયાને લંબ છે અને એક છેડામાંથી પસાર થાય છે. અહીં $m = 2M$ હોવાથી,$I_y = \frac{(2M)L^2}{3} = \frac{2ML^2}{3}$.
$3$. $z$-અક્ષ પરના સળિયા માટે: તેવી જ રીતે,$x$-અક્ષ આ સળિયાને લંબ છે અને એક છેડામાંથી પસાર થાય છે. અહીં $m = 2M$ હોવાથી,$I_z = \frac{(2M)L^2}{3} = \frac{2ML^2}{3}$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા: $I_{\text{total}} = 0 + \frac{2ML^2}{3} + \frac{2ML^2}{3} = \frac{4ML^2}{3}$.

(C) ધારો કે ત્રણ સળિયા $1$,$2$ અને $3$ ને અનુક્રમે $X$,$Y$ અને $Z$ અક્ષ પર મૂકવામાં આવ્યા છે.
$1$. $X$ અક્ષ પરના સળિયા $1$ ની $Z$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા: સળિયો $X$ અક્ષ પર હોવાથી,$Z$ અક્ષથી તેનું અંતર $0$ થી $L$ સુધી બદલાય છે. એક છેડામાંથી પસાર થતી અને સળિયાને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને $M$ દળ અને $L$ લંબાઈના સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ML^2}{3}$ છે. તેથી,$I_1 = \frac{ML^2}{3}$.
$2$. $Y$ અક્ષ પરના સળિયા $2$ ની $Z$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા: તેવી જ રીતે,સળિયો $Y$ અક્ષ પર છે અને $Z$ અક્ષ ઉગમબિંદુ પર તેને લંબ છે. તેથી,$I_2 = \frac{ML^2}{3}$.
$3$. $Z$ અક્ષ પરના સળિયા $3$ ની $Z$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા: સળિયો પોતે $Z$ અક્ષ પર જ છે. તેથી,સળિયાનો દરેક દળનો ઘટક $Z$ અક્ષથી $0$ અંતરે છે. તેથી,$I_3 = 0$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{ML^2}{3} + \frac{ML^2}{3} + 0 = \frac{2 ML^2}{3}$.

(C) $m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર: $I = \frac{1}{4} m R^2$ છે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $(k)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $I = m k^2$,તેથી $k = \sqrt{\frac{I}{m}}$.
$I$ ની કિંમત મૂકતા: $k = \sqrt{\frac{\frac{1}{4} m R^2}{m}} = \sqrt{\frac{R^2}{4}} = \frac{R}{2}$.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા લૂપની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપ સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,ધારો કે $\lambda$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
લૂપનું દળ $M = \lambda \cdot (2\pi R)$ થાય.
આ કિંમત $I$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = (\lambda \cdot 2\pi R) \cdot R^2 = 2\pi\lambda R^3$.
આમ,$I \propto R^3$.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_P}{I_Q} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$.
આપેલ છે કે $\frac{I_P}{I_Q} = 27$,તેથી:
$27 = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt[3]{27} = 3$.
આમ,ગુણોત્તર $R_1 / R_2$ એ $3:1$ છે.

(B) ધારો કે પાતળા ગોલીય કવચ અને નક્કર ગોળાની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $R_1$ અને $R_2$ છે.
પાતળા ગોલીય કવચની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{\text{shell}} = \frac{2}{3} MR_1^2$ ... $(i)$
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} MR_2^2$ ... (ii)
આપેલ છે કે બંને પદાર્થોના દળ $(M)$ અને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ સમાન છે,તેથી સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા:
$\frac{2}{3} MR_1^2 = \frac{2}{5} MR_2^2$
બંને બાજુ $M$ વડે ભાગતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{3}{5}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
આમ,તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\sqrt{3}: \sqrt{5}$ છે.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ છે,દરેકનું દળ $m$ છે. અક્ષ શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થાય છે અને બાજુ $BC$ ને સમાંતર છે.
કણોના તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ $I = \sum mr^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ અક્ષથી દરેક દળનું લંબ અંતર છે.
$1$. શિરોબિંદુ $A$ પરનું દળ અક્ષ પર જ છે,તેથી તેનું લંબ અંતર $r_A = 0$ છે. આમ,જડત્વની ચાકમાત્રામાં તેનું યોગદાન $m(0)^2 = 0$ છે.
$2$. શિરોબિંદુઓ $B$ અને $C$ પરના દળો અક્ષથી $h$ જેટલા લંબ અંતરે છે. $L$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણમાં,ઊંચાઈ $h = L \sin 60^{\circ} = L \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય છે.
$3$. કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ ત્રણેય દળોની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે:
$I = m(r_A)^2 + m(r_B)^2 + m(r_C)^2$
$I = 0 + m(h)^2 + m(h)^2 = 2mh^2$
$h$ ની કિંમત મૂકતા:
$I = 2m \left( L \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2$
$I = 2m \left( \frac{3L^2}{4} \right)$
$I = \frac{3mL^2}{2}$

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
બંને તકતીઓ માટે દળ $M$ સમાન હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_1^2}{R_2^2}$ થાય.
તકતીનું દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (\pi R^2 t) d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $M$ અને $t$ અચળ હોવાથી,$R^2 \propto \frac{1}{d}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $R^2 d = \text{અચળ}$.
તેથી,$R_1^2 d_1 = R_2^2 d_2$,જે આપણને $\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{d_2}{d_1}$ આપે છે.
આ કિંમત જડત્વની ચાકમાત્રાના ગુણોત્તરમાં મૂકતા,આપણને $\frac{I_1}{I_2} = \frac{d_2}{d_1}$ મળે છે.

(A) ધારો કે તકતીનું દળ $M$ અને તેની ત્રિજ્યા $R$ છે.
તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_c = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K_c$ માટે $I_c = MK_c^2$ લેતા,$MK_c^2 = \frac{1}{2}MR^2$,તેથી $K_c = \frac{R}{\sqrt{2}}$.
તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_d = \frac{1}{4}MR^2$ છે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K_d$ માટે $I_d = MK_d^2$ લેતા,$MK_d^2 = \frac{1}{4}MR^2$,તેથી $K_d = \frac{R}{2}$.
હવે ગુણોત્તર $K_c : K_d = \frac{R/\sqrt{2}}{R/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} : 1$ થાય.

(C) નક્કર ગોળાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પ્રશ્નમાં,દરેક ગોળા માટે પરિભ્રમણની અક્ષ તેના પોતાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને ગોળાઓના સમતલને લંબ છે.
બધા ચાર ગોળાઓ સમાન હોવાથી (સમાન દળ '$M$' અને ત્રિજ્યા '$R$') અને દરેક ગોળા માટે પરિભ્રમણની અક્ષ સમાન હોવાથી (તેના પોતાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે),દરેક ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા અન્ય ગોળાઓના સ્થાનથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,$I_{A} = I_{B} = I_{C} = I_{D} = \frac{2}{5}MR^2$.

(D) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5} m r^2$ છે.
જે ત્રણ ગોળાઓના કેન્દ્રો પરિભ્રમણની ધરી $A-A'$ પર આવેલા છે,તે દરેક માટે આ ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{2}{5} m r^2$ થશે.
જે બે ગોળાઓના કેન્દ્રો પરિભ્રમણની ધરી $A-A'$ થી $r$ અંતરે આવેલા છે,તેમના માટે આપણે સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $I = I_{cm} + m d^2$,જ્યાં $d = r$.
તેથી,$I_2 = \frac{2}{5} m r^2 + m r^2 = \frac{7}{5} m r^2$.
તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = 3 \times I_1 + 2 \times I_2$ છે.
$I_{total} = 3 \left( \frac{2}{5} m r^2 \right) + 2 \left( \frac{7}{5} m r^2 \right) = \frac{6}{5} m r^2 + \frac{14}{5} m r^2 = \frac{20}{5} m r^2 = 4 m r^2$.

(A) ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ સાથે $I = mk^2$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે.
દરેક કિસ્સા માટે:
$(A)$ તેના સ્પર્શક પર ફરતો નક્કર ગોળો: $I = \frac{2}{5}mR^2 + mR^2 = \frac{7}{5}mR^2$. તેથી,$k = \sqrt{\frac{7}{5}}R$. જે $(R)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(B)$ તેના સમતલને લંબ સ્પર્શક પર ફરતી રીંગ: $I = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$. તેથી,$k = \sqrt{2}R$. જે $(P)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(C)$ તેની મધ્ય અક્ષ પર ફરતો સમાન નક્કર લંબવૃત્તીય શંકુ: $I = \frac{3}{10}mR^2$. તેથી,$k = \sqrt{\frac{3}{10}}R$. જે $(S)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(D)$ તેના વ્યાસ પર ફરતી સમાન તકતી: $I = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2) = \frac{1}{4}mR^2$. તેથી,$k = \frac{R}{2}$. જે $(Q)$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચી જોડ $(A)-(R), (B)-(P), (C)-(S), (D)-(Q)$ છે.

(A) ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K$ નું સૂત્ર $K = \sqrt{\frac{I}{m}}$ છે.
$m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ માટે,તેના સમતલને લંબ કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{ring, center}} = mR^2$ છે.
$m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ડિસ્ક માટે,તેના સમતલને લંબ કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{disc, center}} = \frac{1}{2}mR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સમતલને લંબ સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = I_{\text{center}} + mR^2$ થાય.
રીંગ માટે: $I'_{\text{ring}} = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$. તેથી,$K_{\text{ring}} = \sqrt{\frac{2mR^2}{m}} = \sqrt{2}R$.
ડિસ્ક માટે: $I'_{\text{disc}} = \frac{1}{2}mR^2 + mR^2 = \frac{3}{2}mR^2$. તેથી,$K_{\text{disc}} = \sqrt{\frac{3}{2}}R$.
રીંગ અને ડિસ્કની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{\text{ring}}}{K_{\text{disc}}} = \frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{3/2}R} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}/\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ થાય.

(A) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા પાતળા સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{12} M L^2$ છે.
જ્યારે સળિયાને ચાર સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનું દળ $M' = \frac{M}{4}$ અને લંબાઈ $L' = \frac{L}{4}$ થાય છે.
દરેક ભાગની તેના પોતાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I'$ નીચે મુજબ છે:
$I' = \frac{1}{12} M' (L')^2$
$M'$ અને $L'$ ની કિંમતો મૂકતા:
$I' = \frac{1}{12} \left( \frac{M}{4} \right) \left( \frac{L}{4} \right)^2$
$I' = \frac{1}{12} \left( \frac{M}{4} \right) \left( \frac{L^2}{16} \right)$
$I' = \frac{1}{64} \left( \frac{1}{12} M L^2 \right)$
$I = \frac{1}{12} M L^2$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$I' = \frac{I}{64}$

(C) તેમની કેન્દ્રીય અક્ષો પર જડત્વની આઘૂર્ણ માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$I_{\text{Ring}} = M R^2 = 1.0 M R^2$
$I_{\text{Sphere}} = \frac{2}{5} M R^2 = 0.4 M R^2$
$I_{\text{Disc}} = \frac{1}{2} M R^2 = 0.5 M R^2$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $1.0 > 0.5 > 0.4$.
તેથી,રીંગની જડત્વની આઘૂર્ણ સૌથી વધુ છે કારણ કે તેનું દળ પરિભ્રમણની અક્ષથી મહત્તમ અંતર $(R)$ પર વિતરિત થયેલું છે.

(C) ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K$ ને $I = MK^2$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ દળ છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર રીંગ માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{r} = MR^2$ છે.
તેથી,$MR^2 = MK_{r}^2$,જે આપણને $K_{r} = R$ આપે છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતી માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{d} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
તેથી,$\frac{1}{2}MR^2 = MK_{d}^2$,જે આપણને $K_{d} = \frac{R}{\sqrt{2}}$ આપે છે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{r}}{K_{d}} = \frac{R}{R/\sqrt{2}} = \sqrt{2} : 1$ થાય છે.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda$ આપેલ છે. પ્રથમ રીંગનું દળ $M_1 = \lambda(2\pi R)$ અને તેની ત્રિજ્યા $R_1 = R$ છે.
તેથી,$I_1 = M_1 R_1^2 = (2\pi R \lambda) R^2 = 2\pi \lambda R^3$.
બીજી રીંગનું દળ $M_2 = \lambda(2\pi nR)$ અને તેની ત્રિજ્યા $R_2 = nR$ છે.
તેથી,$I_2 = M_2 R_2^2 = (2\pi nR \lambda) (nR)^2 = 2\pi \lambda n^3 R^3$.
ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{8}$ આપેલ છે.
પદો મૂકતા: $\frac{2\pi \lambda R^3}{2\pi \lambda n^3 R^3} = \frac{1}{n^3} = \frac{1}{8}$.
તેથી,$n^3 = 8$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $n = 2$ મળે છે.

(A) પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ તેના દળ $m$ અને ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ ના પદમાં $I = mK^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાન $L$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ અને કોણીય વેગ $\omega$ સાથે $L = I\omega$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$I$ માટેનું સૂત્ર કોણીય વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $L = (mK^2)\omega$ મળે છે.
કોણીય વેગ $\omega$ શોધવા માટે આ સમીકરણને ગોઠવતા,$\omega = \frac{L}{mK^2}$ મળે છે.

(C) કોઈ પદાર્થની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_i$ એ પરિભ્રમણની અક્ષથી $i$-મા કણનું લંબ અંતર છે.
આપેલ દળના વિતરણ માટે,જો દળ પરિભ્રમણની અક્ષથી સરેરાશ વધુ અંતરે વિતરિત થયેલું હોય,તો જડત્વની ચાકમાત્રા વધુ હોય છે.
આપેલ ત્રિકોણીય લેમિના $PQR$ માં,અક્ષ $QR$ એ ત્રિકોણની બાજુ છે. લેમિનાનું સમગ્ર દળ એવી રીતે વિતરિત થયેલું છે કે મોટાભાગનું ક્ષેત્રફળ (અને તેથી દળ) અક્ષ $PQ$ અથવા $PR$ ની તુલનામાં અક્ષ $QR$ થી વધુ સરેરાશ અંતરે રહેલું છે.
તેથી,અક્ષ $QR$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા મહત્તમ હશે.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપની તેની કેન્દ્રીય અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે.
ધારો કે તારની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $m$ છે. તો લૂપના દળ $M_P = 2\pi R_1 m$ અને $M_Q = 2\pi R_2 m$ થશે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I_P = M_P R_1^2 = (2\pi R_1 m) R_1^2 = 2\pi m R_1^3$ અને $I_Q = M_Q R_2^2 = (2\pi R_2 m) R_2^2 = 2\pi m R_2^3$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{I_P}{I_Q} = \frac{2\pi m R_1^3}{2\pi m R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$.
આપેલ છે કે $\frac{I_P}{I_Q} = \frac{1}{8}$,તેથી $\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\frac{R_2}{R_1} = 2$.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ગોળાનું કદ $27$ નાના ગોળાઓના કદના સરવાળા જેટલું થાય: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,જ્યાં $r$ એ દરેક નાના ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
આથી $R^3 = 27r^3$,એટલે કે $R = 3r$ અથવા $r = R/3$.
ઘનતા સમાન હોવાથી દરેક નાના ગોળાનું દળ $m = M/27$ થશે.
દરેક નાના ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{2}{5}mr^2$ છે.
$m = M/27$ અને $r = R/3$ મૂકતા:
$I' = \frac{2}{5} \times (M/27) \times (R/3)^2 = \frac{2}{5} \times \frac{M}{27} \times \frac{R^2}{9} = \frac{2}{5}MR^2 \times \frac{1}{243} = \frac{I}{243}$.

(A) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા પાતળા સમાન સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{ML^2}{12}$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$I_1 = MK_1^2$,જ્યાં $K_1$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$MK_1^2 = \frac{ML^2}{12} \implies K_1 = \frac{L}{\sqrt{12}} = \frac{L}{2\sqrt{3}}$.
એક છેડામાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{ML^2}{3}$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$I_2 = MK_2^2$,જ્યાં $K_2$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$MK_2^2 = \frac{ML^2}{3} \implies K_2 = \frac{L}{\sqrt{3}}$.
પ્રથમ કિસ્સામાં અને બીજા કિસ્સામાં ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{L / (2\sqrt{3})}{L / \sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(A) ધારો કે સળિયાનું દળ $M$ છે અને તેની લંબાઈ $L$ છે. સળિયાના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ML^2}{3}$ છે.
જ્યારે સળિયાને $r$ ત્રિજ્યાની રીંગમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે રીંગનો પરિઘ સળિયાની લંબાઈ જેટલો થાય છે: $2\pi r = L$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{L}{2\pi}$.
રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{1} = \frac{Mr^2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા: $I_{1} = \frac{M}{2} \left( \frac{L}{2\pi} \right)^2 = \frac{M}{2} \cdot \frac{L^2}{4\pi^2} = \frac{ML^2}{8\pi^2}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{I}{I_{1}}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{I}{I_{1}} = \frac{ML^2/3}{ML^2/8\pi^2} = \frac{ML^2}{3} \cdot \frac{8\pi^2}{ML^2} = \frac{8\pi^2}{3}$.

(A) સળિયાને મધ્યબિંદુ $O$ આગળ બે ભાગમાં વાળવામાં આવે છે,જેમાંથી દરેકની લંબાઈ $l = \frac{L}{2}$ અને દળ $m = \frac{M}{2}$ છે.
દરેક ભાગ $l$ લંબાઈના સળિયા તરીકે વર્તે છે જે તેના એક છેડાને અનુલક્ષીને ફરે છે.
$m$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા સમાન સળિયાની તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ml^2}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક ભાગ માટે,$m = \frac{M}{2}$ અને $l = \frac{L}{2}$ છે.
તેથી,બિંદુ $O$ ને અનુલક્ષીને એક ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_1 = \frac{(\frac{M}{2})(\frac{L}{2})^2}{3} = \frac{(\frac{M}{2})(\frac{L^2}{4})}{3} = \frac{ML^2}{24}$.
તંત્ર આવા બે ભાગોનું બનેલું હોવાથી,$O$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$:
$I = I_1 + I_1 = 2 \times \frac{ML^2}{24} = \frac{ML^2}{12}$.

(A) ધારો કે બે રીંગ $Ring_1$ અને $Ring_2$ છે.
$Ring_1$ માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષ એ તેની કેન્દ્રીય અક્ષ છે. તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = MR^2$ છે.
$Ring_2$ માટે,સામાન્ય કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને $Ring_1$ ને લંબ અક્ષ એ $Ring_2$ ના સમતલમાં આવેલી છે. આ અક્ષ $Ring_2$ નો વ્યાસ છે. તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{MR^2}{2}$ છે.
આ અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 = MR^2 + \frac{MR^2}{2} = \frac{3 MR^2}{2}$ થશે.

(A) કોઈપણ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = Mk^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ માટે તેના સમતલને લંબ સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને,સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ: $I_{\text{ring}} = I_{\text{cm}} + MR^2 = MR^2 + MR^2 = 2MR^2$.
તેથી,$Mk_{\text{ring}}^2 = 2MR^2 \implies k_{\text{ring}} = \sqrt{2}R$.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ડિસ્ક માટે તેના સમતલને લંબ સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને,સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ: $I_{\text{disc}} = I_{\text{cm}} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
તેથી,$Mk_{\text{disc}}^2 = \frac{3}{2}MR^2 \implies k_{\text{disc}} = \sqrt{\frac{3}{2}}R$.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{k_{\text{ring}}}{k_{\text{disc}}} = \frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{3/2}R} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}/\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ થાય.

(D) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈના સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ML^2}{12}$ છે.
જ્યારે સળિયાને $4$ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનું દળ $M' = \frac{M}{4}$ અને લંબાઈ $L' = \frac{L}{4}$ થાય છે.
દરેક નાના ભાગની તેના પોતાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{M'(L')^2}{12}$ છે.
$M'$ અને $L'$ ની કિંમતો મૂકતા: $I' = \frac{(\frac{M}{4}) \cdot (\frac{L}{4})^2}{12} = \frac{M \cdot \frac{L^2}{16}}{4 \cdot 12} = \frac{ML^2}{12 \cdot 64}$.
કારણ કે $I = \frac{ML^2}{12}$,તેથી $I' = \frac{I}{64}$ મળે છે.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ છે. ધારો કે અક્ષ શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થાય છે અને બાજુ $BC$ ને સમાંતર છે.
શિરોબિંદુ $A$ પરનું દળ અક્ષ પર જ આવેલું છે,તેથી અક્ષથી તેનું લંબ અંતર $0$ છે. જડત્વની ચાકમાત્રામાં તેનું યોગદાન $m(0)^2 = 0$ છે.
શિરોબિંદુ $B$ અને $C$ પરના દળો અક્ષથી $h$ જેટલા લંબ અંતરે છે,જ્યાં $h$ એ સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ છે.
ઊંચાઈ $h$ નું મૂલ્ય $h = \ell \sin 60^{\circ} = \ell \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ વ્યક્તિગત દળોની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે:
$I = m(0)^2 + m(h)^2 + m(h)^2 = 2mh^2$.
$h$ ની કિંમત મૂકતા:
$I = 2m \left( \ell \times \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 2m \left( \frac{3}{4} \ell^2 \right) = \frac{3}{2} m \ell^2$.

(B) ધારો કે તારની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $m$ છે.
લૂપ $A$ નું દળ $M_A = (2 \pi R)m$ છે.
લૂપ $B$ નું દળ $M_B = (2 \pi NR)m$ છે.
તેથી,દળનો ગુણોત્તર $\frac{M_B}{M_A} = \frac{2 \pi NRm}{2 \pi Rm} = N$ થાય.
વર્તુળાકાર લૂપની તેની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે.
તેથી,$I_A = M_A R^2$ અને $I_B = M_B (NR)^2 = M_B N^2 R^2$ થાય.
$M_B = N M_A$ મૂકતા,આપણને $I_B = (N M_A) N^2 R^2 = N^3 M_A R^2 = N^3 I_A$ મળે છે.
આપેલ છે કે $I_B = 3 I_A$,તેથી $N^3 = 3$ થાય.
તેથી,$N = (3)^{1/3}$ મળે.

(D) $m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mr^2$ છે.
બંને રીંગ એક જ તારમાંથી બનેલી હોવાથી,દળ $m$ એ પરિઘ $(2 \pi r)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $m \propto r$.
તેથી,$m_A = k(2 \pi nR)$ અને $m_B = k(2 \pi R)$,જ્યાં $k$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
આમ,$\frac{m_A}{m_B} = \frac{nR}{R} = n$.
રીંગ $A$ ની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_A = m_A (nR)^2 = (n m_B) (n^2 R^2) = n^3 (m_B R^2)$ છે.
કારણ કે $I_B = m_B R^2$,તેથી $I_A = n^3 I_B$ મળે.
આપેલ છે કે $I_A = 64 I_B$,તેથી $n^3 = 64$.
તેથી,$n = \sqrt[3]{64} = 4$.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ છે. ધારો કે પરિભ્રમણની અક્ષ બાજુ $BC$ પર છે.
$B$ અને $C$ પરના દ્રવ્યમાન પરિભ્રમણની અક્ષ પર આવેલા છે,તેથી અક્ષથી તેમનું લંબ અંતર $0$ છે. આમ,તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{B} = m(0)^{2} = 0$ અને $I_{C} = m(0)^{2} = 0$ થાય.
$A$ પરનું દ્રવ્યમાન બાજુ $BC$ થી $h$ જેટલા લંબ અંતરે છે. $\ell$ બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણમાં,ઊંચાઈ $h = \ell \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \ell$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અક્ષ $BC$ ને અનુલક્ષીને $A$ પરના દ્રવ્યમાનની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{A} = m h^{2} = m \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \ell \right)^{2} = m \left( \frac{3}{4} \ell^{2} \right) = \frac{3}{4} m \ell^{2}$ થાય.
તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{A} + I_{B} + I_{C} = \frac{3}{4} m \ell^{2} + 0 + 0 = \frac{3}{4} m \ell^{2}$ થાય.

(A) ડિસ્કની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ડિસ્કનું દળ $M$ સમાન હોવાથી,$I_1 = \frac{1}{2} M R_1^2$ અને $I_2 = \frac{1}{2} M R_2^2$ મળે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_1^2}{R_2^2}$ થાય.
બંને ડિસ્ક સમાન દ્રવ્યની બનેલી હોવાથી,તેમની ઘનતા $\rho$ સમાન છે. દળ $M = \text{કદ} \times \rho = (\pi R^2 t) \rho$ દ્વારા મળે છે.
બંને માટે $M$ અને $\rho$ સમાન હોવાથી,$\pi R_1^2 t_1 \rho = \pi R_2^2 t_2 \rho$,જેનું સાદું રૂપ $R_1^2 t_1 = R_2^2 t_2$ થાય છે.
આના પરથી,$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{t_2}{t_1}$ મળે.
આ કિંમત જડત્વની ચાકમાત્રાના ગુણોત્તરમાં મૂકતા,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{t_2}{t_1}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $I_1 t_1 = I_2 t_2$ મળે છે.

(B) ઘન ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} MR^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{1} = \frac{2}{5} MR^{2}$ છે.
ગ્રહ અડધા કદમાં સંકોચાયા પછી,નવી ત્રિજ્યા $R' = \frac{R}{2}$ અને નવું દળ $M' = \frac{M}{2}$ થાય છે.
નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{2}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$I_{2} = \frac{2}{5} M' (R')^{2}$
$I_{2} = \frac{2}{5} \left(\frac{M}{2}\right) \left(\frac{R}{2}\right)^{2}$
$I_{2} = \frac{2}{5} \times \frac{M}{2} \times \frac{R^{2}}{4}$
$I_{2} = \frac{2}{40} MR^{2} = \frac{MR^{2}}{20}$.

(D) ધારો કે ત્રણ સળિયા $R_1$,$R_2$,અને $R_3$ છે જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે. આપણે સળિયા $R_1$ ને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રાની ગણતરી કરવી છે.
$1$. સળિયા $R_1$ માટે: પરિભ્રમણની ધરી સળિયા પર જ હોવાથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = 0$ થાય.
$2$. સળિયા $R_2$ માટે: આ સળિયો પરિભ્રમણની ધરી $R_1$ ને લંબ છે અને તેના એક છેડે જોડાયેલ છે. તેના છેડામાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ ધરીને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{M L^2}{3}$ થાય.
$3$. સળિયા $R_3$ માટે: આ સળિયો પરિભ્રમણની ધરી $R_1$ ને સમાંતર છે અને $L$ અંતરે છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_3 = I_{CM} + M d^2$. અહીં અક્ષ $R_3$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે (જે $R_1$ થી $L$ અંતરે છે),તેથી $I_{CM} = 0$ થાય. આમ,$I_3 = 0 + M L^2 = M L^2$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 = 0 + \frac{M L^2}{3} + M L^2 = \frac{4 M L^2}{3}$.

(D) ઘન ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર $I = \frac{2}{5} m R^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $R$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $R_1 = R$ છે અને અંતિમ ત્રિજ્યા $R_2 = 2R$ છે. દળ $m$ અચળ રહે છે.
પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{2}{5} m R^2$ છે.
અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{2}{5} m (2R)^2 = \frac{2}{5} m (4R^2) = 4 \times (\frac{2}{5} m R^2) = 4 I_1$ થાય.
તેથી,પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા અને અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_1}{4 I_1} = \frac{1}{4}$ થાય.

(B) પાતળા સમાન સળિયાની જડત્વની આઘૂર્ણ $(I)$ જ્યારે તે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ ધરી પર ફરે છે,ત્યારે $I_1 = \frac{ML^2}{12}$ થાય છે.
જડત્વની આઘૂર્ણ $I = MK^2$ હોવાથી,જ્યાં $K$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે,આપણને $MK_1^2 = \frac{ML^2}{12}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $K_1 = \frac{L}{\sqrt{12}} = \frac{L}{2\sqrt{3}}$.
બીજા કિસ્સામાં,પરિભ્રમણની ધરી સળિયાના એક છેડામાંથી પસાર થાય છે અને લંબાઈને લંબ છે. આ કિસ્સામાં જડત્વની આઘૂર્ણ $I_2 = \frac{ML^2}{3}$ છે.
$MK_2^2 = \frac{ML^2}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $K_2 = \frac{L}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં અને બીજા કિસ્સામાં ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{L / (2\sqrt{3})}{L / \sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(B) કોઈપણ પદાર્થની ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m_i$ એ ધરીથી $r_i$ અંતરે રહેલું દળ છે.
આપેલ દળ માટે જડત્વની ચાકમાત્રા વધારવા માટે,દળને પરિભ્રમણની ધરીથી શક્ય તેટલું દૂર રાખવું જોઈએ.
લોખંડ એ એલ્યુમિનિયમ કરતા વધુ ઘનતા ધરાવતું હોવાથી,વધુ ઘનતા ધરાવતા પદાર્થ (લોખંડ) ને પરિઘ પર (અંદરના ભાગની આસપાસ) રાખવાથી જડત્વની ચાકમાત્રામાં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે.
તેથી,અંદરના ભાગમાં એલ્યુમિનિયમ અને તેની આસપાસ લોખંડ રાખવાથી મહત્તમ જડત્વની ચાકમાત્રા પ્રાપ્ત કરી શકાય છે.

(A) ઘન ગોળા (મોટા ટીપા) ની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} M R^{2}$ છે.
જ્યારે મોટા ટીપાને $n = 8$ નાના ટીપામાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ કદ અચળ રહે છે.
$n \left( \frac{4}{3} \pi r^{3} \right) = \frac{4}{3} \pi R^{3}$
$8 r^{3} = R^{3} \Rightarrow 2r = R \Rightarrow r = \frac{R}{2}$.
દરેક નાના ટીપાનું દળ $m = \frac{M}{n} = \frac{M}{8}$ છે.
દરેક નાના ટીપાની જડત્વની ચાકમાત્રા $i$ નીચે મુજબ છે:
$i = \frac{2}{5} m r^{2}$
$i = \frac{2}{5} \left( \frac{M}{8} \right) \left( \frac{R}{2} \right)^{2}$
$i = \frac{1}{8} \times \frac{1}{4} \times \left( \frac{2}{5} M R^{2} \right)$
$i = \frac{I}{32}$.

(C) દ્રઢ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ ને $I = \sum m_i r_i^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તે નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. પદાર્થનું દળ.
$2$. ભ્રમણાક્ષની સાપેક્ષમાં દળનું વિતરણ.
$3$. ભ્રમણાક્ષનું સ્થાન અને દિશા.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રા એ પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ નથી,પરંતુ તે પસંદ કરેલી ભ્રમણાક્ષ પર આધાર રાખે છે.

(A) આપેલ છે: પ્લેટનું દળ,$M = 2 \, kg$.
$x$-અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા,$I_{x} = 0.2 \, kg \cdot m^{2}$.
$y$-અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા,$I_{y} = 0.3 \, kg \cdot m^{2}$.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,સમતલીય પદાર્થ માટે તેના સમતલને લંબ (ઉગમબિંદુ $O$ માંથી પસાર થતી) અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{z}$ નીચે મુજબ મળે:
$I_{z} = I_{x} + I_{y}$
$I_{z} = 0.2 + 0.3 = 0.5 \, kg \cdot m^{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જડત્વની ચાકમાત્રા અને ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$I = M k^{2}$
કિંમતો મૂકતા:
$0.5 = 2 \cdot k^{2}$
$k^{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 \, m^{2}$
$k = \sqrt{0.25} = 0.5 \, m$.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા:
$k = 0.5 \times 100 \, cm = 50 \, cm$.
આમ,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $50 \, cm$ છે।

(C) $M$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{z} = Mr^{2}$ છે.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_{z} = I_{x} + I_{y}$.
રીંગ તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને સંમિત હોવાથી,$I_{x} = I_{y} = I_{diameter}$ થાય.
તેથી,$Mr^{2} = 2I_{diameter}$.
$I_{diameter} = \frac{Mr^{2}}{2}$.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી પાતળી વર્તુળાકાર રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_z = MR^2$ છે। ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k_z$ એ $I_z = Mk_z^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તેથી $k_z = R = 10 \sqrt{2} \,cm$ થાય.
રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_d = \frac{1}{2} MR^2$ છે। વ્યાસને અનુલક્ષીને ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k_d$ એ $I_d = Mk_d^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ, $Mk_d^2 = \frac{1}{2} MR^2$, જેનો અર્થ છે કે $k_d = \frac{R}{\sqrt{2}}$.
$R = 10 \sqrt{2} \,cm$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $k_d = \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 10 \,cm$ મળે છે.

(B) આ સિસ્ટમ $x$,$y$ અને $z$ અક્ષ પર મૂકવામાં આવેલા ત્રણ સળિયાઓની બનેલી છે.
ધારો કે $I_x$,$I_y$ અને $I_z$ એ $z$-અક્ષને અનુલક્ષીને વ્યક્તિગત સળિયાઓની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$1$. $z$-અક્ષ પરના સળિયા માટે: સળિયો પરિભ્રમણની અક્ષ પર જ છે,તેથી $z$-અક્ષને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = 0$ થશે.
$2$. $x$-અક્ષ પરના સળિયા માટે: સળિયો એક છેડે $z$-અક્ષને લંબ છે. $M$ દળ અને $L$ લંબાઈના સળિયાની તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને સળિયાને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{ML^2}{3}$ છે.
$3$. $y$-અક્ષ પરના સળિયા માટે: તેવી જ રીતે,સળિયો એક છેડે $z$-અક્ષને લંબ છે. તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_3 = \frac{ML^2}{3}$ છે.
$z$-અક્ષને અનુલક્ષીને સિસ્ટમની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 = 0 + \frac{ML^2}{3} + \frac{ML^2}{3} = \frac{2ML^2}{3}$ થશે.

(A) '$M$' દળ અને '$L$' લંબાઈના પાતળા સમાન સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર: $I = \frac{ML^2}{12}$ છે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $(k)$ ને $I = Mk^2$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$I$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$Mk^2 = \frac{ML^2}{12}$
બંને બાજુ '$M$' વડે ભાગતા:
$k^2 = \frac{L^2}{12}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$k = \sqrt{\frac{L^2}{12}} = \frac{L}{\sqrt{12}}$
તેથી,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $\frac{L}{\sqrt{12}}$ થાય છે.

(C) નક્કર નળાકારની તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નું સૂત્ર $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
આપેલ છે:
દળ $M = 2.5 \ kg$
ત્રિજ્યા $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \times 2.5 \times (0.1)^2$
$I = 1.25 \times 0.01$
$I = 0.0125 \ kg \ m^2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{sphere} = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર નળાકારની તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cylinder} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
નક્કર ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા અને નક્કર નળાકારની જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_{sphere}}{I_{cylinder}} = \frac{\frac{2}{5}MR^2}{\frac{1}{2}MR^2} = \frac{2}{5} \times \frac{2}{1} = \frac{4}{5}$.
આમ,ગુણોત્તર $4: 5$ છે.

(B) તકતીનો વ્યાસ $D = 0.5 \ m$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R = 0.25 \ m$ થાય.
સળિયો તકતીના સમતલમાં સ્પર્શક તરીકે રહેલો છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,તકતીના સમતલમાં રહેલી સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + MR^2$ થાય.
તકતી માટે વ્યાસને અનુલક્ષીને $I_{cm} = \frac{1}{4} MR^2$ હોવાથી,સ્પર્શક અક્ષ માટે $I = \frac{1}{4} MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4} MR^2$ મળે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K = \sqrt{\frac{I}{M}}$ છે.
તેથી,$K = \sqrt{\frac{5}{4} R^2} = \frac{\sqrt{5}}{2} R$ મળે.
જો $R = 0.5 \ m$ લઈએ,તો $K = \frac{\sqrt{5}}{2} \times 0.5 = \frac{\sqrt{5}}{4} \ m$ થાય.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી પાતળી વર્તુળાકાર રીંગ માટે,તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,તેના સમતલમાં સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{ring} = I_{diam} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ થાય. ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k_{ring}$ એ $Mk_{ring}^2 = \frac{3}{2}MR^2$ દ્વારા મળે છે,તેથી $k_{ring} = R\sqrt{\frac{3}{2}}$.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતી માટે,તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{diam} = \frac{1}{4}MR^2$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,તેના સમતલમાં સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{disc} = I_{diam} + MR^2 = \frac{1}{4}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4}MR^2$ થાય. ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k_{disc}$ એ $Mk_{disc}^2 = \frac{5}{4}MR^2$ દ્વારા મળે છે,તેથી $k_{disc} = R\sqrt{\frac{5}{4}}$.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{k_{ring}}{k_{disc}} = \frac{R\sqrt{3/2}}{R\sqrt{5/4}} = \sqrt{\frac{3}{2} \times \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{12}{10}} = \sqrt{\frac{6}{5}}$ છે.
$\sqrt{12}:\sqrt{K}$ સ્વરૂપ મેળવવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણીએ: $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{10}}$. આમ,$K = 10$ થાય.