Moment of Inertia and Radius of gyration Questions in Hindi

(C) जड़त्व आघूर्ण $I$ को सूत्र $I = M \times R^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $R$ घूर्णन अक्ष से दूरी है।
$MKS$ (मीटर-किलोग्राम-सेकंड) प्रणाली में,द्रव्यमान $M$ का मात्रक $kg$ है और दूरी $R$ का मात्रक $m$ है।
अतः,जड़त्व आघूर्ण $I$ का मात्रक $kg \times m^2$ है।

(A) डिस्क का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि डिस्क समान पदार्थ और मोटाई $(t)$ की हैं,इसलिए उनके द्रव्यमान $M$ को $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} = \rho \times (\pi R^2 t)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $I$ के सूत्र में रखने पर: $I = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 t) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi t R^4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$,$\pi$ और $t$ दोनों डिस्क के लिए स्थिर हैं,इसलिए $I \propto R^4$ है।
अतः,जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^4$ होगा।
यहाँ $R_1 = 0.2\, m$ और $R_2 = 0.6\, m$ दिया गया है,इसलिए अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{0.2}{0.6} \right)^4 = \left( \frac{1}{3} \right)^4 = \frac{1}{81}$ है।
अतः,अनुपात $1 : 81$ है।

(B) किसी पिंड का अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \int r^2 dm$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $dm$ अक्ष से $r$ दूरी पर स्थित द्रव्यमान तत्व है।
निश्चित कुल द्रव्यमान और त्रिज्या के लिए जड़त्व आघूर्ण को अधिकतम करने के लिए,हमें अक्ष से अधिकतम संभव दूरी $r$ पर अधिक से अधिक द्रव्यमान रखना होगा।
चूंकि लोहे का घनत्व एल्युमिनियम से अधिक होता है,इसलिए लोहे को बाहरी परिधि (आंतरिक भाग के चारों ओर) पर रखने से अधिक त्रिज्या पर द्रव्यमान का वितरण बढ़ जाता है।
इसलिए,आंतरिक भाग में एल्युमिनियम और बाहरी भाग (उसके चारों ओर) में लोहा रखने से अन्य विन्यासों की तुलना में जड़त्व आघूर्ण अधिक प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) अर्धवृत्ताकार वलय पर एक छोटा अवयव (element) लें जिसकी कोणीय चौड़ाई $d\theta$ है और जो क्षैतिज से $\theta$ कोण पर स्थित है।
इस छोटे अवयव का द्रव्यमान $dm = \frac{M}{\pi R} \cdot R d\theta = \frac{M}{\pi} d\theta$ होगा।
केंद्र के परितः इस छोटे अवयव का जड़त्व आघूर्ण $dI = dm \cdot R^2$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I$ ज्ञात करने के लिए,हम $\theta = 0$ से $\theta = \pi$ तक $dI$ का समाकलन (integration) करेंगे:
$I = \int_{0}^{\pi} \frac{M}{\pi} d\theta \cdot R^2 = \frac{MR^2}{\pi} \int_{0}^{\pi} d\theta$.
$I = \frac{MR^2}{\pi} [\theta]_{0}^{\pi} = \frac{MR^2}{\pi} (\pi - 0) = MR^2$.
अतः,जड़त्व आघूर्ण $MR^2$ है।

(A) वर्ग के लंबवत और उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m r^2$ द्वारा दिया जाता है।
वर्ग के केंद्र से प्रत्येक कण की दूरी $r$,विकर्ण की लंबाई की आधी है,$r = \frac{\sqrt{2}l}{2} = \frac{l}{\sqrt{2}}$.
$m$ द्रव्यमान के चार कण होने के कारण,$I = 4 \times m \times (\frac{l}{\sqrt{2}})^2 = 4 \times m \times \frac{l^2}{2} = 2ml^2$.
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 4m$ है।
घूर्णन त्रिज्या $k$ को $k = \sqrt{\frac{I}{M}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
मान रखने पर,$k = \sqrt{\frac{2ml^2}{4m}} = \sqrt{\frac{l^2}{2}} = \frac{l}{\sqrt{2}}$.

(A) कणों के निकाय का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ किसी अक्ष के परितः $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_i$ घूर्णन अक्ष से $i$-वें कण की लंबवत दूरी है।
$1$. अक्ष $m_1$ से होकर गुजरती है और यह समबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब है। इस अक्ष से $m_1$ की लंबवत दूरी $r_1 = 0$ है।
$2$. $a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज में,शीर्षलंब सम्मुख भुजा को समद्विभाजित करता है। अतः,$m_1$ से गुजरने वाले शीर्षलंब से $m_2$ और $m_3$ दोनों की लंबवत दूरी $r_2 = r_3 = \frac{a}{2}$ है।
$3$. कुल जड़त्व आघूर्ण $I$:
$I = m_1(0)^2 + m_2(\frac{a}{2})^2 + m_3(\frac{a}{2})^2$
$I = 0 + m_2 \frac{a^2}{4} + m_3 \frac{a^2}{4}$
$I = (m_2 + m_3) \frac{a^2}{4}$

(D) माना भुजा $AB = B$ और $BC = L = 2B$ है। आयत का द्रव्यमान $M$ है।
द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और भुजाओं के समानांतर अक्ष के लिए:
$I_{EG} = \frac{MB^2}{12}$
$I_{HF} = \frac{ML^2}{12} = \frac{M(2B)^2}{12} = \frac{4MB^2}{12} = \frac{MB^2}{3}$
विकर्ण $BD$ के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I_{BD} = \frac{M B^2 L^2}{6(B^2 + L^2)}$ द्वारा दिया जाता है।
$L = 2B$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I_{BD} = \frac{M B^2 (2B)^2}{6(B^2 + (2B)^2)} = \frac{4MB^4}{6(5B^2)} = \frac{4MB^2}{30} = \frac{2MB^2}{15} \approx 0.133 MB^2$.
मानों की तुलना करने पर:
$I_{EG} = 0.0833 MB^2$
$I_{HF} = 0.333 MB^2$
$I_{BD} = 0.133 MB^2$
अतः,अक्ष $EG$ के परितः जड़त्व आघूर्ण न्यूनतम है।

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ का सूत्र इस प्रकार है:
$I = \frac{2}{5} M R^{2}$
चूंकि द्रव्यमान $M$ स्थिर है,इसलिए समीकरण $I = k R^{2}$ के रूप में हो जाता है,जहाँ $k = \frac{2}{5} M$ एक नियतांक है।
यह समीकरण $y = a x^{2}$ के रूप में है,जो ऊपर की ओर खुलने वाले एक परवलय को दर्शाता है।
अतः,$I$ और $R$ के बीच खींचा गया ग्राफ $I$-अक्ष के सापेक्ष सममित एक परवलय होगा।

(A) घूर्णन करती हुई वस्तु का जड़त्व आघूर्ण $I$ सूत्र $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_i$ घूर्णन अक्ष से द्रव्यमान $m_i$ की दूरी है।
जब उत्तरी ध्रुव पर बर्फ पिघलती है,तो पिघलने से बना पानी घूर्णन अक्ष से दूर चला जाता है और पृथ्वी की सतह पर भूमध्य रेखा की ओर फैल जाता है।
चूंकि द्रव्यमान का वितरण घूर्णन अक्ष से अधिक दूरी वाले क्षेत्रों में हो जाता है (औसत दूरी $r$ बढ़ जाती है),इसलिए पृथ्वी का जड़त्व आघूर्ण बढ़ जाता है।

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल में स्थित अक्ष (व्यास) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diameter} = \frac{1}{4}MR^2$ होता है।
इस प्रश्न में,डिस्क $X-Y$ तल में स्थित है और इसका केंद्र $(a, 0)$ पर स्थित है।
$X$-अक्ष डिस्क के केंद्र से होकर गुजरती है और डिस्क के तल में ही स्थित है।
इसलिए,$X$-अक्ष डिस्क का एक व्यास है।
चूंकि डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $\frac{1}{4}MR^2$ होता है,इसलिए $X$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $\frac{1}{4}MR^2$ या $M\left(\frac{R^2}{4}\right)$ होगा।

(A) मान लीजिए कि पूर्ण वृत्ताकार डिस्क का द्रव्यमान $M_{total}$ है। चूंकि सेक्टर डिस्क का एक चौथाई हिस्सा है,इसलिए इसका द्रव्यमान $M = \frac{M_{total}}{4}$ है,जिसका अर्थ है कि $M_{total} = 4M$ है।
$M_{total}$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पूर्ण समान वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का सूत्र $I_{total} = \frac{1}{2}M_{total}R^2$ है।
सूत्र में $M_{total} = 4M$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I_{total} = \frac{1}{2}(4M)R^2 = 2MR^2$।
सममिति के सिद्धांत के अनुसार,उसी अक्ष के परितः इस चौथाई सेक्टर का जड़त्व आघूर्ण $(I_{sector})$ पूर्ण डिस्क के जड़त्व आघूर्ण का एक चौथाई होता है:
$I_{sector} = \frac{I_{total}}{4} = \frac{2MR^2}{4} = \frac{1}{2}MR^2$।

(B) डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} (V) = \rho \times (\pi R^2 t)$,जहाँ $t$ मोटाई है।
यह दिया गया है कि दोनों डिस्क के लिए $M$ और $t$ समान हैं,इसलिए $M = \rho \pi R^2 t$,जिसका अर्थ है $R^2 = \frac{M}{\pi \rho t}$।
इस मान को $I$ के समीकरण में रखने पर:
$I = \frac{1}{2} M \left( \frac{M}{\pi \rho t} \right) = \frac{M^2}{2 \pi t \rho}$।
चूंकि $M$ और $t$ स्थिर हैं,इसलिए $I \propto \frac{1}{\rho}$ प्राप्त होता है।
अतः,जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{1}{3}$,इसलिए $\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{3}{1}$।
इस प्रकार,जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $3:1$ है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस बेलन का उसकी अपनी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण: $I_{C} = \frac{1}{2} M R^{2} = 0.5 M R^{2}$ होता है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले का उसकी अपनी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण: $I_{S} = \frac{2}{5} M R^{2} = 0.4 M R^{2}$ होता है।
चूंकि त्रिज्या $R$ समान है और घनत्व समान है,इसलिए समान आयतन के लिए द्रव्यमान $M$ भी समान होगा।
तुलना करने पर,$0.5 M R^{2} > 0.4 M R^{2}$,अतः $I_{C} > I_{S}$ प्राप्त होता है।
अतः,ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण ठोस गोले की तुलना में अधिक होगा।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कोणीय गति $\omega$ स्थिर है,इसलिए किया गया कार्य न्यूनतम होगा जब जड़त्व आघूर्ण $I$ न्यूनतम हो।
मान लीजिए कि घूर्णन अक्ष $0.3 \ kg$ के द्रव्यमान से $x$ दूरी पर स्थित एक बिंदु से गुजरती है। तब $0.7 \ kg$ के द्रव्यमान से इसकी दूरी $(1.4 - x)$ होगी।
जड़त्व आघूर्ण $I = 0.3x^2 + 0.7(1.4 - x)^2$ है।
$I$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dI}{dx} = 0.3(2x) + 0.7(2)(1.4 - x)(-1) = 0$
$0.6x - 1.4(1.4 - x) = 0$
$0.6x - 1.96 + 1.4x = 0$
$2.0x = 1.96$
$x = 0.98 \ m$.
अतः,अक्ष को $0.3 \ kg$ के द्रव्यमान से $0.98 \ m$ की दूरी पर गुजरना चाहिए।

(C) वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = \rho \times (\pi R^2 t)$,जहाँ $\rho$ लोहे का घनत्व है।
डिस्क $A$ के लिए:
त्रिज्या $R_A = r$,मोटाई $t_A = t$.
$M_A = \rho \pi r^2 t$.
$I_A = \frac{1}{2} M_A R_A^2 = \frac{1}{2} (\rho \pi r^2 t) r^2 = \frac{1}{2} \rho \pi t r^4$.
डिस्क $B$ के लिए:
त्रिज्या $R_B = 4r$,मोटाई $t_B = t/4$.
$M_B = \rho \pi (4r)^2 (t/4) = \rho \pi (16r^2) (t/4) = 4 \rho \pi r^2 t$.
$I_B = \frac{1}{2} M_B R_B^2 = \frac{1}{2} (4 \rho \pi r^2 t) (4r)^2 = \frac{1}{2} (4 \rho \pi r^2 t) (16r^2) = 32 \rho \pi t r^4$.
दोनों की तुलना करने पर:
$I_A = 0.5 \rho \pi t r^4$
$I_B = 32 \rho \pi t r^4$
स्पष्ट है कि,$I_A < I_B$.

(D) तार के सिरों से गुजरने वाली अक्ष अर्धवृत्त का व्यास है।
मान लीजिए अर्धवृत्त की त्रिज्या $r$ है। तार की लंबाई $l = \pi r$ है,इसलिए $r = \frac{l}{\pi}$।
अर्धवृत्त पर प्रत्येक बिंदु वृत्त के केंद्र से $r$ दूरी पर है।
केंद्र से गुजरने वाली और अर्धवृत्त के तल के लंबवत अक्ष के परितः तार का जड़त्व आघूर्ण $I_z = \int r^2 dm = M r^2$ है।
मान लीजिए $I_x$ और $I_y$ अर्धवृत्त के तल में दो लंबवत अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण हैं,जहाँ एक अक्ष तार के सिरों से गुजरने वाला व्यास है $(I_x = I_d)$।
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_z = I_x + I_y$। चूंकि तार व्यास के सापेक्ष सममित है,इसलिए $I_x = I_y = I_d$।
अतः,$M r^2 = 2 I_d$,जिससे $I_d = \frac{M r^2}{2}$ प्राप्त होता है।
$r = \frac{l}{\pi}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_d = \frac{M}{2} (\frac{l}{\pi})^2 = \frac{Ml^2}{2\pi^2}$ प्राप्त होता है।

(B) द्रव्यमान $M$ और लंबाई $l$ की एक पतली छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{Ml^2}{12}$ होता है।
जब छड़ को $R$ त्रिज्या की वलय में मोड़ा जाता है,तो वलय की परिधि छड़ की लंबाई के बराबर होती है,इसलिए $2\pi R = l$,जिससे $R = \frac{l}{2\pi}$ प्राप्त होता है।
वलय का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = MR^2$ होता है।
$R$ का मान रखने पर,हमें $I_2 = M \left(\frac{l}{2\pi}\right)^2 = \frac{Ml^2}{4\pi^2}$ प्राप्त होता है।
अब,अनुपात $I_1 : I_2$ की गणना करने पर:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{Ml^2/12}{Ml^2/4\pi^2} = \frac{4\pi^2}{12} = \frac{\pi^2}{3}$।
अतः,$I_1 : I_2 = \pi^2 : 3$।

(A) जड़त्व आघूर्ण $I$ का मान $I = \int r^2 dm$ द्वारा दिया जाता है। दिए गए द्रव्यमान $M$ के लिए,जड़त्व आघूर्ण तब अधिक होता है जब द्रव्यमान घूर्णन अक्ष से अधिक दूरी पर वितरित होता है।
समान द्रव्यमान,ऊँचाई और अधिकतम चौड़ाई वाले चार आकारों की तुलना करने पर:
$1$. अंगूठी जैसी संरचना में इसका द्रव्यमान केंद्रीय अक्ष से अधिकतम संभव दूरी पर केंद्रित होता है।
$2$. वर्गाकार प्रिज्म,ठोस बेलन और त्रिकोणीय प्रिज्म में उनका द्रव्यमान अंगूठी की तुलना में केंद्रीय अक्ष के अधिक निकट वितरित होता है।
चूंकि अंगूठी का द्रव्यमान अक्ष से सबसे अधिक दूरी पर स्थित है,इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण सबसे अधिक होगा।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) एक ठोस गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ त्रिज्या है।
इससे,$R^3 \propto V$,जिसका अर्थ है कि $R \propto V^{1/3}$।
गोले का द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = \rho V$ है।
ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} M R^2$ होता है।
सूत्र में $M = \rho V$ और $R \propto V^{1/3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{2}{5} (\rho V) (V^{1/3})^2$
$I = \frac{2}{5} \rho V \cdot V^{2/3}$
$I \propto V^{1 + 2/3}$
$I \propto V^{5/3}$।

(B) छड़ को मध्य बिंदु $O$ पर मोड़ा गया है। इस प्रकार,छड़ दो समान भागों में विभाजित हो जाती है,जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $l = \frac{L}{2}$ और द्रव्यमान $m = \frac{M}{2}$ है।
$m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई की एक समान छड़ का उसके एक सिरे से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3}ml^2$ द्वारा दिया जाता है।
मुड़ी हुई छड़ के प्रत्येक भाग के लिए,$O$ से गुजरने वाली और छड़ के तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$I_{segment} = \frac{1}{3} \left( \frac{M}{2} \right) \left( \frac{L}{2} \right)^2 = \frac{1}{3} \left( \frac{M}{2} \right) \left( \frac{L^2}{4} \right) = \frac{ML^2}{24}$.
चूंकि अक्ष दोनों भागों के लिए सामान्य बिंदु $O$ से गुजरती है,इसलिए मुड़ी हुई छड़ का कुल जड़त्व आघूर्ण दोनों भागों के जड़त्व आघूर्ण का योग है:
$I_{total} = I_{segment} + I_{segment} = \frac{ML^2}{24} + \frac{ML^2}{24} = \frac{2ML^2}{24} = \frac{ML^2}{12}$.

(B) कणों के निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि डिस्क का द्रव्यमान नगण्य है,इसलिए हम केवल किनारे पर जुड़े पाँच कणों पर विचार करेंगे।
प्रत्येक कण का द्रव्यमान $m = 2 \ kg$ है और यह घूर्णन अक्ष से $r = 0.1 \ m$ की दूरी पर है।
अतः,कुल जड़त्व आघूर्ण $I = 5 \times (m \times r^2)$ होगा।
मान रखने पर: $I = 5 \times 2 \times (0.1)^2$.
$I = 10 \times 0.01 = 0.1 \ kg \ m^2$.

(A) एक वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\pi R^2 t) \rho$,जहाँ $t$ मोटाई है और $\rho$ घनत्व है।
सूत्र में $M$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{2}(\pi R^2 t \rho) R^2 = \frac{1}{2} \pi \rho t R^4$.
यह मानते हुए कि घनत्व $\rho$ दोनों डिस्क के लिए समान है,जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_y}{I_x} = \frac{t_y}{t_x} \left( \frac{R_y}{R_x} \right)^4$ होगा।
दिया गया है $R_y = 4R$ और $R_x = R$,इसलिए $\frac{R_y}{R_x} = 4$.
दिया गया है $t_y = \frac{t}{4}$ और $t_x = t$,इसलिए $\frac{t_y}{t_x} = \frac{1}{4}$.
इन मानों को रखने पर: $\frac{I_y}{I_x} = \frac{1}{4} \times (4)^4 = \frac{256}{4} = 64$.
अतः,$I_y = 64I_x$.

(A) एक समान वर्गाकार प्लेट के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल में स्थित किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समान होता है।
मान लीजिए अक्ष $AB$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{AB}$ है। दिया गया है कि $I_{AB} = l$ है।
चूंकि वर्गाकार प्लेट अपने केंद्र से गुजरने वाली और अपने तल में स्थित किसी भी अक्ष के परितः सममित होती है,इसलिए ऐसी किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण स्थिर रहता है।
विशेष रूप से,$a$ भुजा और $M$ द्रव्यमान वाली वर्गाकार प्लेट के लिए,केंद्र से गुजरने वाली और भुजा के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{Ma^2}{12}$ होता है।
चूंकि यह मान वर्ग के तल के भीतर अक्ष के अभिविन्यास से स्वतंत्र है,इसलिए प्लेट के तल में केंद्र से गुजरने वाली किसी भी अक्ष $CD$ के परितः जड़त्व आघूर्ण भी $l$ ही होगा।

(A) $Z$-अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण व्यक्तिगत छड़ों के $Z$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण का योग होता है।
$1$. $X$-अक्ष के अनुदिश छड़ (छड़ $1$) के लिए: $Z$-अक्ष छड़ के सिरे पर लंबवत है। इसलिए,इसका जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{ML^2}{3}$ है।
$2$. $Y$-अक्ष के अनुदिश छड़ (छड़ $2$) के लिए: $Z$-अक्ष छड़ के सिरे पर लंबवत है। इसलिए,इसका जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{ML^2}{3}$ है।
$3$. $Z$-अक्ष के अनुदिश छड़ (छड़ $3$) के लिए: छड़ स्वयं $Z$-अक्ष पर स्थित है। इसलिए,प्रत्येक द्रव्यमान अवयव की $Z$-अक्ष से दूरी शून्य है,अतः $I_3 = 0$ है।
$4$. निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{system}} = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{ML^2}{3} + \frac{ML^2}{3} + 0 = \frac{2ML^2}{3}$ है।

(C) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A, B$ और $C$ हैं। द्रव्यमान $A, B$ और $C$ पर रखे गए हैं। घूर्णन अक्ष भुजा $AB$ से होकर गुजरती है।
$1$. अक्ष $AB$ से $A$ पर स्थित द्रव्यमान की लंबवत दूरी $r_A = 0$ है।
$2$. अक्ष $AB$ से $B$ पर स्थित द्रव्यमान की लंबवत दूरी $r_B = 0$ है।
$3$. अक्ष $AB$ से $C$ पर स्थित द्रव्यमान की लंबवत दूरी समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $x$ है।
ऊँचाई द्वारा निर्मित त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$x^2 + (a/2)^2 = a^2$
$x^2 = a^2 - a^2/4 = 3a^2/4$
$x = \frac{\sqrt{3}}{2}a$
अक्ष $AB$ के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$ इस प्रकार है:
$I = \sum m_i r_i^2 = m(r_A^2) + m(r_B^2) + m(r_C^2)$
$I = m(0)^2 + m(0)^2 + m(x)^2$
$I = m \left( \frac{\sqrt{3}}{2}a \right)^2 = m \left( \frac{3}{4}a^2 \right) = \frac{3}{4}m a^2$

(B) मान लीजिए कि दोनों छड़ें $xy$-समतल में हैं,जिसमें एक छड़ $x$-अक्ष के अनुदिश और दूसरी $y$-अक्ष के अनुदिश है। प्रत्येक छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $\frac{Ml^2}{12}$ है।
निकाय के लिए,$z$-अक्ष (छड़ों के समतल के लंबवत और प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली) के परितः जड़त्व आघूर्ण इस अक्ष के परितः दोनों छड़ों के जड़त्व आघूर्ण का योग है:
$I_z = I_x + I_y = \frac{Ml^2}{12} + \frac{Ml^2}{12} = \frac{Ml^2}{6}$.
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_z = I_{B_1} + I_{B_2}$,जहाँ $B_1$ और $B_2$ द्विभाजक अक्ष हैं। निकाय की सममिति के कारण,$I_{B_1} = I_{B_2}$ है।
इसलिए,$2I_{B_1} = \frac{Ml^2}{6}$,जिससे $I_{B_1} = I_{B_2} = \frac{Ml^2}{12}$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्ताकार फ्रेम द्रव्यमानहीन है,इसलिए हम केवल केंद्र $O$ से $a$ दूरी पर स्थित चार बिंदु द्रव्यमानों के जड़त्व आघूर्ण पर विचार करेंगे।
केंद्र $O$ से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$,प्रत्येक द्रव्यमान के लिए $mr^2$ के योग द्वारा दिया जाता है:
$I = (3m)a^2 + (2m)a^2 + (m)a^2 + (2m)a^2 = 8ma^2$
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 3m + 2m + m + 2m = 8m$ है।
घूर्णन त्रिज्या $k$ की परिभाषा के अनुसार,$I = Mk^2$ होता है।
मान रखने पर:
$8ma^2 = (8m)k^2$
$k^2 = a^2$
$k = a$

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} M R^2$ होता है।
चूंकि गोले का घनत्व $\rho$ है,इसलिए इसका द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right) \rho$ होगा।
$M$ का मान $I$ के सूत्र में रखने पर:
$I = \frac{2}{5} \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right) R^2$
$I = \frac{8}{15} \pi R^5 \rho$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{8}{15} \times \frac{22}{7} \times R^5 \rho = \frac{176}{105} R^5 \rho$.

(C) एक वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसकी सतह के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
चूंकि डिस्क का द्रव्यमान $M = V\rho = \pi R^2 t \rho$ है,जहाँ $t$ मोटाई और $\rho$ घनत्व है,हम $R^2 = \frac{M}{\pi t \rho}$ लिख सकते हैं।
इसे $I$ के व्यंजक में रखने पर,$I = \frac{1}{2} M \left( \frac{M}{\pi t \rho} \right) = \frac{M^2}{2 \pi t \rho}$ प्राप्त होता है।
चूंकि द्रव्यमान $M$ और मोटाई $t$ दोनों डिस्क के लिए समान हैं,इसलिए $I \propto \frac{1}{\rho}$ होगा।
अतः,$\frac{I_A}{I_B} = \frac{d_B}{d_A}$ होगा।
यह दिया गया है कि $d_A > d_B$,इसलिए $I_A < I_B$ होगा।

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
मूल डिस्क के लिए: $M_1 = 9M$,$R_1 = R$. अतः,$I_1 = \frac{1}{2} (9M) R^2 = \frac{9}{2} M R^2$.
हटाई गई डिस्क के लिए: $M_2 = M$,$R_2 = R/3$. अतः,$I_2 = \frac{1}{2} (M) (R/3)^2 = \frac{1}{2} M (R^2/9) = \frac{1}{18} M R^2$.
शेष डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 - I_2$ होगा।
$I = \frac{9}{2} M R^2 - \frac{1}{18} M R^2$.
$I = \frac{81 M R^2 - M R^2}{18} = \frac{80 M R^2}{18} = \frac{40}{9} M R^2$.

(B) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{2}{5} MR^2 = 0.4 MR^2$ होता है।
खोखले बेलन का उसकी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = MR^2 = 1.0 MR^2$ होता है।
वलय (रिंग) का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_3 = MR^2 = 1.0 MR^2$ होता है।
इन मानों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $I_3 = I_2 > I_1$ है। दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही संबंध $I_3 > I_2 > I_1$ है।

(A) किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I$,$I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है।
जब $m$ द्रव्यमान का एक कण फ्लाईव्हील की रिम पर,जो घूर्णन अक्ष से $R$ दूरी पर है,चिपक जाता है,तो नया जड़त्व आघूर्ण $I' = I + mR^2$ हो जाता है।
चूंकि $mR^2 > 0$,इसलिए $I' > I$ होता है।
अतः,निकाय का जड़त्व आघूर्ण बढ़ जाता है।

(D) डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों डिस्क एक ही पदार्थ से बनी हैं,उनका द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = \rho \times (\pi R^2 t)$ है।
डिस्क $X$ के लिए: $M_x = \rho \pi R^2 t$,इसलिए $I_x = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 t) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 t$.
डिस्क $Y$ के लिए: $M_y = \rho \pi (4R)^2 (t/4) = \rho \pi (16R^2) (t/4) = 4 \rho \pi R^2 t$.
जड़त्व आघूर्ण $I_y = \frac{1}{2} M_y (4R)^2 = \frac{1}{2} (4 \rho \pi R^2 t) (16R^2) = 32 \rho \pi R^4 t$.
$I_x$ और $I_y$ की तुलना करने पर: $I_y = 64 \times (\frac{1}{2} \rho \pi R^4 t) = 64 I_x$.

(A) किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I$,$I = \sum mr^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ घूर्णन अक्ष से द्रव्यमान $m$ की लंबवत दूरी है।
जब ध्रुवों पर बर्फ पिघलती है,तो पानी ध्रुवों से पृथ्वी के भूमध्यरेखीय क्षेत्रों की ओर बहता है।
इसके कारण द्रव्यमान घूर्णन अक्ष से अधिक दूरी पर वितरित हो जाता है (अर्थात,$r$ बढ़ जाता है)।
चूंकि द्रव्यमान अब घूर्णन अक्ष से अधिक औसत दूरी पर वितरित है,इसलिए पृथ्वी का जड़त्व आघूर्ण बढ़ जाता है।

(C) भुजा और $M$ द्रव्यमान वाले घन के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और किसी भी फलक के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का मान $I = \frac{1}{6}Ma^2$ होता है।
द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और किनारे के समानांतर अक्ष के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{6}Ma^2 + \frac{1}{6}Ma^2 = \frac{1}{3}Ma^2$ होता है।
घन के विकर्ण से गुजरने वाली अक्ष के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3}Ma^2$ होता है।
इन मानों की तुलना करने पर,द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और किसी भी फलक के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण न्यूनतम होता है,जो कि $\frac{1}{6}Ma^2$ है।

(C) $M'$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली एक पूर्ण वृत्ताकार डिस्क के लिए,उसके तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M' r^2$ होता है।
एक अर्धवृत्ताकार डिस्क,पूर्ण वृत्ताकार डिस्क का ठीक आधा भाग होती है।
यदि अर्धवृत्ताकार डिस्क का द्रव्यमान $M$ है,तो संबंधित पूर्ण वृत्ताकार डिस्क का द्रव्यमान $2M$ होगा।
पूर्ण डिस्क के सूत्र में $M' = 2M$ रखने पर:
$I = \frac{1}{2} (2M) r^2 = M r^2$.
अतः,अर्धवृत्ताकार डिस्क का उसके तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $M r^2$ है।

(C) मान लीजिए कोनों के निर्देशांक $A(0,0)$,$B(\ell, 0)$,$C(\ell, \ell)$ और $D(0, \ell)$ हैं।
विकर्ण $BD$,$(\ell, 0)$ और $(0, \ell)$ को जोड़ता है। $BD$ की ढाल $m_{BD} = \frac{\ell - 0}{0 - \ell} = -1$ है।
अक्ष $A(0,0)$ से गुजरती है और $BD$ के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $y = -x$ या $x + y = 0$ है।
रेखा $Ax + By + C = 0$ से बिंदु $(x, y)$ की लंबवत दूरी $r = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
हमारी अक्ष $x + y = 0$ के लिए,दूरी $r = \frac{|x + y|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|x + y|}{\sqrt{2}}$ होगी।
प्रत्येक द्रव्यमान के लिए दूरी की गणना:
$r_A = \frac{|0 + 0|}{\sqrt{2}} = 0$
$r_B = \frac{|\ell + 0|}{\sqrt{2}} = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$
$r_D = \frac{|0 + \ell|}{\sqrt{2}} = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$
$r_C = \frac{|\ell + \ell|}{\sqrt{2}} = \frac{2\ell}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\ell$
जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2 = m(r_A^2 + r_B^2 + r_C^2 + r_D^2)$ है।
$I = m(0^2 + (\frac{\ell}{\sqrt{2}})^2 + (\sqrt{2}\ell)^2 + (\frac{\ell}{\sqrt{2}})^2) = m(0 + \frac{\ell^2}{2} + 2\ell^2 + \frac{\ell^2}{2}) = m(3\ell^2) = 3\,m\ell^2$.

(B) एक वृत्ताकार छल्ले का उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का सूत्र $I = mR^2$ होता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $R$ त्रिज्या है।
द्रव्यमानों का अनुपात $m_1:m_2 = 1:2$ और त्रिज्याओं का अनुपात $R_1:R_2 = 2:1$ दिया गया है।
जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{m_1 R_1^2}{m_2 R_2^2}$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{2}{1}\right)^2$.
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
अतः,जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $2:1$ है।

(C) डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि डिस्क की मोटाई $t$ है,द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\pi R^2 t) \times d$ होता है।
$I$ के सूत्र में $M$ का मान रखने पर,$I = \frac{1}{2} (\pi R^2 t d) R^2 = \frac{1}{2} \pi t d R^4$ प्राप्त होता है।
दोनों डिस्क के लिए मोटाई $t$ समान है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण $I$,$d R^4$ के समानुपाती है।
दूसरी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण पहली से अधिक होने के लिए $(I_2 > I_1)$,$d_2 R_2^4 > d_1 R_1^4$ होना चाहिए।
यह स्थिति तब संतुष्ट होती है यदि $R_2 > R_1$ और $d_2 > d_1$ हो।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_A = \frac{2}{5} M R^2$ द्वारा दिया जाता है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक खोखले गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_B = \frac{2}{3} M R^2$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,चूंकि दोनों गोलों के लिए $M$ और $R$ समान हैं,हम गुणांकों $\frac{2}{5}$ और $\frac{2}{3}$ की तुलना करते हैं।
चूंकि $\frac{2}{5} = 0.4$ और $\frac{2}{3} \approx 0.67$ है,यह स्पष्ट है कि $\frac{2}{5} < \frac{2}{3}$ है।
अतः,$I_A < I_B$ है।

(B) घूर्णन त्रिज्या $k$ को $I = Mk^2$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ पिंड का कुल द्रव्यमान है।
जब पहिये का कोई टुकड़ा टूटकर अलग हो जाता है,तो पहिये का कुल द्रव्यमान $M$ कम हो जाता है।
चूंकि द्रव्यमान पहिये की परिधि या उसके मुख्य भाग से हटता है,इसलिए घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान का वितरण इस प्रकार बदलता है कि जड़त्व आघूर्ण $I$ काफी कम हो जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $M$ में कमी,द्रव्यमान के वितरण में हुई कमी के समानुपाती होती है,इसलिए $k^2 = I/M$ का मान घट जाता है।
अतः,घूर्णन त्रिज्या $k$ घट जाती है।

(A) किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ सूत्र $I = \sum mr^2$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव्यमान को रिम पर केंद्रित करने से,घूर्णन अक्ष से द्रव्यमान की दूरी $(r)$ अधिकतम हो जाती है।
चूंकि $I \propto r^2$,इसलिए अक्ष से द्रव्यमान की दूरी बढ़ाने से फ्लाईव्हील का जड़त्व आघूर्ण काफी बढ़ जाता है।
उच्च जड़त्व आघूर्ण फ्लाईव्हील को अधिक घूर्णन गतिज ऊर्जा संग्रहीत करने और घूर्णन गति में होने वाले परिवर्तनों का विरोध करने में सक्षम बनाता है।

(D) किसी पिंड का किसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \int r^2 dm$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ द्रव्यमान अवयव $dm$ की अक्ष से लंबवत दूरी है।
दिए गए द्रव्यमान वितरण के लिए,जड़त्व आघूर्ण द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली उस अक्ष के परितः न्यूनतम होता है जो द्रव्यमान के अधिकांश भाग के सबसे करीब होती है।
एक आयताकार प्लेट में,जड़त्व आघूर्ण द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और लंबी भुजा के समानांतर अक्ष के परितः न्यूनतम होता है,क्योंकि यह अक्ष द्रव्यमान अवयवों को औसत न्यूनतम दूरी $r$ पर रखती है।
मान लीजिए प्लेट की लंबाई $L$ और चौड़ाई $W$ है,जहाँ $L > W$ है।
अक्ष $HF$ द्रव्यमान केंद्र से गुजरती है और लंबी भुजा $AB$ (या $CD$) के समानांतर है।
अक्ष $EG$ द्रव्यमान केंद्र से गुजरती है और छोटी भुजा $AD$ (या $BC$) के समानांतर है।
चूंकि $HF$ लंबी भुजा के समानांतर है,इसलिए $EG$ की तुलना में द्रव्यमान इस अक्ष के अधिक करीब वितरित है।
अतः,जड़त्व आघूर्ण $HF$ अक्ष के परितः न्यूनतम होगा।

(B) जड़त्व आघूर्ण का सूत्र $I = M K^2$ है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ द्रव्यमान है और $K$ घूर्णन त्रिज्या है।
दिया गया है: $I = 160 \ kg \ m^2$ और $M = 10 \ kg$.
सूत्र में मान रखने पर:
$160 = 10 \times K^2$
$K^2 = \frac{160}{10} = 16$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$K = \sqrt{16} = 4 \ m$.
अतः,घूर्णन त्रिज्या $4 \ m$ होगी।

(C) जड़त्व आघूर्ण $I$ घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करता है,जिसे $I = \int r^2 dm$ द्वारा दिया जाता है।
आधे उबले अंडे में,जर्दी और सफेद भाग आंशिक रूप से ठोस हो जाते हैं और घूर्णन की केंद्रीय अक्ष के करीब केंद्रित हो जाते हैं।
कच्चे अंडे में,तरल सामग्री पूरे अंडे में वितरित होती है,जिसका अर्थ है कि आधे उबले अंडे की तुलना में अधिक द्रव्यमान केंद्रीय अक्ष से दूर स्थित होता है।
चूंकि कच्चे अंडे में अधिक द्रव्यमान अक्ष से बड़ी दूरी $r$ पर वितरित होता है,इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण आधे उबले अंडे की तुलना में अधिक होता है।
अतः,कच्चे अंडे और आधे उबले अंडे के जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $1$ से अधिक है।

(D) किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I = \sum mr^2$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव्यमान को रिम पर (घूर्णन अक्ष से दूर) केंद्रित करने से,$r$ का मान बढ़ जाता है।
चूंकि $I \propto r^2$,इसलिए अक्ष से द्रव्यमान की दूरी बढ़ाने से जड़त्व आघूर्ण काफी बढ़ जाता है।
अधिक जड़त्व आघूर्ण पहिये को अपनी घूर्णन गति बनाए रखने में मदद करता है और टॉर्क में उतार-चढ़ाव के खिलाफ स्थिरता प्रदान करता है।

(A) एक वृत्ताकार डिस्क का उसकी ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \int r^2 dm$ द्वारा दिया जाता है।
कुल द्रव्यमान निश्चित होने पर जड़त्व आघूर्ण को अधिकतम करने के लिए,हमें घूर्णन अक्ष से अधिकतम संभव दूरी $r$ पर अधिकतम द्रव्यमान रखना होगा।
चूंकि लोहा एल्युमीनियम से अधिक सघन होता है,इसलिए लोहे को बाहरी किनारे (सबसे बड़ी त्रिज्या) पर रखने से अक्ष से अधिक दूरी पर द्रव्यमान का वितरण बढ़ जाता है।
अतः,लोहे को बाहर और एल्युमीनियम को अंदर रखने से जड़त्व आघूर्ण अधिकतम हो जाता है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार मुड़े हुए तार को एक पतली वलय (ring) के रूप में माना जा सकता है।
वलय के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = MR^2$ होता है।
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_z = I_x + I_y$ होता है।
चूंकि वलय सममित है,इसलिए किसी भी व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण समान होता है,अतः $I_x = I_y = I_d$ होगा।
इसलिए,$MR^2 = I_d + I_d = 2I_d$।
अतः,व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = \frac{MR^2}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) किसी पिंड का किसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_i$ घूर्णन अक्ष से द्रव्यमान अवयव $m_i$ की लंबवत दूरी है।
दिए गए द्रव्यमान वितरण के लिए,जड़त्व आघूर्ण तब अधिक होता है जब द्रव्यमान घूर्णन अक्ष से अधिक दूर वितरित होता है।
दी गई त्रिकोणीय फ्रेम में,अक्ष $AC$ सबसे लंबी भुजा (कर्ण) है। $AC$ के परितः घूर्णन करते समय,फ्रेम का द्रव्यमान अन्य दो भुजाओं की तुलना में अक्ष के औसत रूप से अधिक निकट होता है।
इसके विपरीत,अक्ष $AB$ सबसे छोटी भुजा है। $AB$ के परितः घूर्णन करते समय,फ्रेम का द्रव्यमान (विशेष रूप से भुजा $BC$) अक्ष $AB$ से औसत रूप से अधिक दूरी पर वितरित होता है।
चूंकि $AB < BC < AC$ है,इसलिए अन्य अक्षों की तुलना में अक्ष $AB$ से द्रव्यमान सबसे अधिक दूरी पर वितरित है।
अतः,अक्ष $AB$ के परितः जड़त्व आघूर्ण अधिकतम होगा।