Moment of Inertia and Radius of gyration Questions in Gujarati

(A) $1$. રીંગનું દળ $m$ છે અને તેની રેખીય ઘનતા $\rho$ છે. રીંગનો પરિઘ $L = \frac{m}{\rho}$ થાય.
$2$. $L = 2 \pi R$ હોવાથી,રીંગની ત્રિજ્યા $R = \frac{m}{2 \pi \rho}$ મળે.
$3$. રીંગના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diam} = \frac{1}{2} m R^2$ છે.
$4$. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,વ્યાસને સમાંતર સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{diam} + m R^2 = \frac{1}{2} m R^2 + m R^2 = \frac{3}{2} m R^2$ થાય.
$5$. $R = \frac{m}{2 \pi \rho}$ ની કિંમત મૂકતા: $I = \frac{3}{2} m \left( \frac{m}{2 \pi \rho} \right)^2 = \frac{3}{2} m \left( \frac{m^2}{4 \pi^2 \rho^2} \right) = \frac{3 m^3}{8 \pi^2 \rho^2}$.

(A) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા પાતળા સમાન સળિયાની તેની લંબાઈને લંબ અને એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3}ML^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા સાથે $I = MK^2$ દ્વારા સંબંધિત છે.
$I$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $MK^2 = \frac{1}{3}ML^2$ મળે છે.
બંને બાજુથી $M$ ને દૂર કરતા,આપણને $K^2 = \frac{L^2}{3}$ મળે છે.
બંને બાજુનું વર્ગમૂળ લેતા,$K = \frac{L}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $K: L = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અથવા $1: \sqrt{3}$ થાય છે.

(C) $m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} mR^2$ છે.
અહીં રેખીય દળ ઘનતા $\rho = \frac{m}{L}$ છે,જ્યાં $L$ એ લૂપનો પરિઘ છે $(L = 2 \pi R)$.
તેથી,$\rho = \frac{m}{2 \pi R}$,જેનો અર્થ છે કે $R = \frac{m}{2 \pi \rho}$.
$R$ ની કિંમત જડત્વની ચાકમાત્રાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} m \left( \frac{m}{2 \pi \rho} \right)^2$
$I = \frac{1}{2} m \left( \frac{m^2}{4 \pi^2 \rho^2} \right)$
$I = \frac{m^3}{8 \pi^2 \rho^2}$.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} MR^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ગોળાઓ માટે દળ $M$ સમાન હોવાથી,જડત્વની ચાકમાત્રા ત્રિજ્યાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $I \propto R^2$.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{3}$ છે.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $4:9$ છે.

(A) એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $dm = \lambda|x|dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સળિયાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ $AA$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાની ગણતરી કરો:
$I_{AA} = \int x^2 dm = \int_{-L/2}^{L/2} x^2 (\lambda|x|) dx = 2\lambda \int_{0}^{L/2} x^3 dx = 2\lambda \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^{L/2} = \frac{\lambda}{2} \left( \frac{L}{2} \right)^4 = \frac{\lambda L^4}{32}$.
આપેલ છે કે $\lambda = 16 \ kg/m^2$ અને $L = 1 \ m$,તેથી $I_{AA} = \frac{16 \times 1^4}{32} = 0.5 \ kg \cdot m^2$.
હવે,સળિયાનું કુલ દળ $M$ શોધો:
$M = \int_{-L/2}^{L/2} \lambda|x| dx = 2\lambda \int_0^{L/2} x dx = 2\lambda \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{L/2} = \lambda \left( \frac{L}{2} \right)^2 = \frac{\lambda L^2}{4}$.
$\lambda = 16$ અને $L = 1$ લેતા,$M = \frac{16 \times 1^2}{4} = 4 \ kg$.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષ $BB$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધો:
$I_{BB} = I_{CM} + M h^2$,જ્યાં $h = L/2 = 0.5 \ m$.
$I_{BB} = 0.5 + 4 \times (0.5)^2 = 0.5 + 4 \times 0.25 = 0.5 + 1 = 1.5 \ kg \cdot m^2$.

(D) આપેલ છે,ગોળાની ઘનતા,$\rho = A r^\alpha$ (જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યાવર્તી અંતર છે અને $A$ તથા $\alpha$ અચળાંકો છે).
$r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતી એક સૂક્ષ્મ ગોળીય કવચનો વિચાર કરો.
સૂક્ષ્મ ગોળીય કવચનું દળ,$dm = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (4 \pi r^2) dr \cdot A r^\alpha = 4 \pi A r^{2+\alpha} dr$.
સંપૂર્ણ નક્કર ગોળાનું દળ,$M = 4 \pi A \int_0^R r^{2+\alpha} dr = 4 \pi A \left[ \frac{r^{3+\alpha}}{3+\alpha} \right]_0^R = \frac{4 \pi A}{3+\alpha} R^{3+\alpha}$.
સૂક્ષ્મ ગોળીય કવચની જડત્વની ચાકમાત્રા $dI = \frac{2}{3} (dm) r^2 = \frac{2}{3} (4 \pi A r^{2+\alpha} dr) r^2 = \frac{8}{3} \pi A r^{4+\alpha} dr$.
સંપૂર્ણ નક્કર ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા,$I = \int_0^R dI = \frac{8}{3} \pi A \int_0^R r^{4+\alpha} dr = \frac{8}{3} \pi A \left[ \frac{r^{5+\alpha}}{5+\alpha} \right]_0^R = \frac{8 \pi A}{3(5+\alpha)} R^{5+\alpha}$.
$I$ ના સમીકરણમાં $M$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $I = \left( \frac{4 \pi A R^{3+\alpha}}{3+\alpha} \right) \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3+\alpha}{5+\alpha} R^2 = M R^2 \left( \frac{2(3+\alpha)}{3(5+\alpha)} \right)$.
આપેલ છે કે $I = \frac{6}{7} M R^2$,તેથી સરખાવતા: $\frac{2(3+\alpha)}{3(5+\alpha)} = \frac{6}{7}$.
$14(3+\alpha) = 18(5+\alpha) \Rightarrow 42 + 14\alpha = 90 + 18\alpha \Rightarrow -4\alpha = 48 \Rightarrow \alpha = -12$.

(C) ઘન ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $R$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
સ્ટીલની ઘનતા લાકડા કરતા વધારે હોવાથી,સમાન ત્રિજ્યા માટે સ્ટીલના ગોળાનું દળ લાકડાના ગોળા કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,સ્ટીલના ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા લાકડાના ગોળા કરતા વધારે હોય છે. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
જોકે,સૂત્ર $I = \frac{2}{5}MR^2$ સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે કે જડત્વની ચાકમાત્રા પદાર્થના દળ $(M)$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,કારણ $(R)$ ખોટું છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} M R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $M$ એ કદ $V$ અને ઘનતા $\rho$ નો ગુણાકાર હોવાથી,$M = V \rho = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ થાય.
આ કિંમત $I$ ના સૂત્રમાં મૂકતા,$I = \frac{2}{5} (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho) R^2 = \frac{8}{15} \pi R^5 \rho$ મળે છે.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_A}{I_B} = \frac{\frac{8}{15} \pi R^5 \rho_A}{\frac{8}{15} \pi R^5 \rho_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B}$ થાય.

(A) સમાન વર્તુળાકાર તકતીની જડત્વની આઘૂર્ણ $(I)$ નું સૂત્ર $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
અહીં દળ $(M)$ અને જાડાઈ $(t)$ સમાન હોવાથી,આપણે ત્રિજ્યા $(R)$ ને ઘનતા $(\rho)$ ના પદમાં દર્શાવી શકીએ:
$M = \pi R^2 t \rho \Rightarrow R^2 = \frac{M}{\pi t \rho}$.
આ કિંમત $I$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} M \left( \frac{M}{\pi t \rho} \right) = \frac{M^2}{2 \pi t \rho}$.
અહીં $M$,$t$ અને $\pi$ અચળ હોવાથી,$I \propto \frac{1}{\rho}$ થાય.
તેથી,જે તકતી વધારે ઘનતા ધરાવતા દ્રવ્યમાંથી બનેલી હશે,તેની જડત્વની આઘૂર્ણ ઓછી હશે.

(B) આપેલ છે કે બે નક્કર ગોળાઓના દળ સમાન છે,$m_A = m_B$.
દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{4}{3} \pi R_A^3 \rho_A = \frac{4}{3} \pi R_B^3 \rho_B$
$\Rightarrow \frac{R_A^3}{R_B^3} = \frac{\rho_B}{\rho_A} \Rightarrow \frac{R_A}{R_B} = \left(\frac{\rho_B}{\rho_A}\right)^{1/3}$.
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} m R^2$ છે.
$m_A = m_B$ હોવાથી,જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_B}{I_A} = \frac{\frac{2}{5} m_B R_B^2}{\frac{2}{5} m_A R_A^2} = \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2$.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મૂકતા:
$\frac{I_B}{I_A} = \left[ \left( \frac{\rho_A}{\rho_B} \right)^{1/3} \right]^2 = \left( \frac{\rho_A}{\rho_B} \right)^{2/3}$.

(D) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} m R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $m$ અચળ રહેતું હોવાથી,$I \propto R^2$ થાય.
જડત્વની ચાકમાત્રામાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta I}{I} = 2 \frac{\Delta R}{R}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખીય પ્રસરણ $\frac{\Delta R}{R} = \alpha \Delta t$ છે,જ્યાં $\alpha = 10^{-5} /^{\circ} C$ અને $\Delta t = 200^{\circ} C$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta I}{I} = 2 \alpha \Delta t$ મળે છે.
ટકાવારી વધારો શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$\text{ટકાવારી વધારો} = 2 \times 10^{-5} \times 200 \times 100 = 0.4 \%$.

(C) તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
તકતીને ઓગાળીને નક્કર ગોળામાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે,તેથી કદ અચળ રહે છે.
તકતીનું કદ = ગોળાનું કદ
$\pi R^2 \times \frac{R}{6} = \frac{4}{3} \pi R_1^3$
$\frac{R^3}{6} = \frac{4}{3} R_1^3$
$R_1^3 = \frac{R^3}{8} \implies R_1 = \frac{R}{2}$,જ્યાં $R_1$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{2}{5} M R_1^2$ છે.
$R_1 = \frac{R}{2}$ સૂત્રમાં મૂકતા:
$I' = \frac{2}{5} M \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{2}{5} M \left(\frac{R^2}{4}\right) = \frac{1}{5} \left(\frac{1}{2} M R^2\right)$.
આમ,$I = \frac{1}{2} M R^2$ હોવાથી,આપણને $I' = \frac{I}{5}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: કુલ દળ $M = 0.6 \ kg$,લંબાઈ $L = 1 \ m = 100 \ cm$.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = \frac{0.6 \ kg}{100 \ cm} = 0.006 \ kg/cm$.
અક્ષ $20 \ cm$ પર છે. આ સ્કેલને બે ભાગમાં વિભાજિત કરે છે: $AB$ $(20 \ cm)$ અને $BC$ $(80 \ cm)$.
ભાગ $AB$ નું દળ,$m_1 = \lambda \times 20 = 0.006 \times 20 = 0.12 \ kg$.
ભાગ $BC$ નું દળ,$m_2 = \lambda \times 80 = 0.006 \times 80 = 0.48 \ kg$.
એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3} m l^2$ છે.
ભાગ $AB$ માટે (અક્ષ $B$ છેડા પર છે): $I_1 = \frac{1}{3} m_1 (l_1)^2 = \frac{1}{3} \times 0.12 \times (0.2)^2 = 0.04 \times 0.04 = 0.0016 \ kg-m^2$.
ભાગ $BC$ માટે (અક્ષ $B$ છેડા પર છે): $I_2 = \frac{1}{3} m_2 (l_2)^2 = \frac{1}{3} \times 0.48 \times (0.8)^2 = 0.16 \times 0.64 = 0.1024 \ kg-m^2$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 = 0.0016 + 0.1024 = 0.104 \ kg-m^2$.

(D) $m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર લૂપની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mR^2$ છે.
ધારો કે લૂપ $P$ નું દળ $m_P$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_P = r$ છે. લૂપ $Q$ નું દળ $m_Q$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_Q = nr$ છે.
તાર સમાન હોવાથી,દળ પરિઘના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(m \propto 2\pi R)$. તેથી,$m_Q = n m_P$.
$P$ ની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_P = m_P r^2$ છે.
$Q$ ની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_Q = m_Q (nr)^2 = (n m_P) (n^2 r^2) = n^3 m_P r^2$ છે.
આપેલ છે કે $I_Q = 8 I_P$,તેથી $n^3 m_P r^2 = 8 m_P r^2$.
આમ,$n^3 = 8$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $n = 2$ મળે છે.

(D) ધારો કે પરિભ્રમણની ધરી $AX$ રેખા છે,જે શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થાય છે અને $AB$ ને લંબ છે.
તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ ધરી $AX$ ની આસપાસ વ્યક્તિગત કણોની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે.
$I = \sum m_i r_i^2$,જ્યાં $r_i$ એ ધરી $AX$ થી $i$-માં કણનું લંબ અંતર છે.
$1$. શિરોબિંદુ $A$ પરના કણ માટે: અંતર $r_A = 0$,તેથી $I_A = m(0)^2 = 0$.
$2$. શિરોબિંદુ $B$ પરના કણ માટે: અંતર $r_B = a$,તેથી $I_B = m(a)^2 = ma^2$.
$3$. શિરોબિંદુ $C$ પરના કણ માટે: $AX$ થી લંબ અંતર $r_C = a \cos 60^{\circ} = a \times \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$ છે.
તેથી,$I_C = m(\frac{a}{2})^2 = \frac{ma^2}{4}$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_A + I_B + I_C = 0 + ma^2 + \frac{ma^2}{4} = \frac{5ma^2}{4} \text{ } g-cm^2$.

(D) ધારો કે બંને ગોળાઓનું દળ $M$ છે. નક્કર ગોળા માટે: $M = \rho_{1} \frac{4}{3} \pi R^{3}$.
આંતરિક ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા પોલા ગોળા માટે: $M = \rho_{2} \frac{4}{3} \pi (R^{3} - r^{3})$.
દળને સરખાવતા: $\rho_{1} R^{3} = \rho_{2} (R^{3} - r^{3})$.
આનાથી $\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} = 1 - \frac{r^{3}}{R^{3}}$ મળે,તેથી $\frac{r^{3}}{R^{3}} = 1 - \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r}{R} = (1 - \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}})^{1/3}$.
નક્કર ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{S} = \frac{2}{5} M R^{2}$ છે.
પોલા ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{H} = \frac{2}{5} M \frac{R^{5} - r^{5}}{R^{3} - r^{3}}$ છે.
$M = \rho_{2} \frac{4}{3} \pi (R^{3} - r^{3})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I_{H} = \frac{2}{5} (\rho_{2} \frac{4}{3} \pi (R^{3} - r^{3})) \frac{R^{5} - r^{5}}{R^{3} - r^{3}} = \frac{2}{5} \rho_{2} \frac{4}{3} \pi (R^{5} - r^{5})$ મળે.
$M = \rho_{1} \frac{4}{3} \pi R^{3}$ હોવાથી,આપણી પાસે $I_{S} = \frac{2}{5} (\rho_{1} \frac{4}{3} \pi R^{3}) R^{2} = \frac{2}{5} \rho_{1} \frac{4}{3} \pi R^{5}$ છે.
તેથી,$\frac{I_{H}}{I_{S}} = \frac{\rho_{2} (R^{5} - r^{5})}{\rho_{1} R^{5}} = \frac{\rho_{2}}{\rho_{1}} [1 - (\frac{r}{R})^{5}]$.
$\frac{r}{R} = (1 - \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}})^{1/3}$ મૂકતા,આપણને $\frac{I_{H}}{I_{S}} = \frac{\rho_{2}}{\rho_{1}} [1 - (1 - \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}})^{5/3}]$ મળે છે.

(A) ધારો કે લંબચોરસ ફ્રેમના ખૂણાઓ $A, B, C,$ અને $D$ છે,જ્યાં બાજુ $AD = BC = a$ અને બાજુ $AB = CD = b$ છે. દરેક ખૂણા પર $m$ દળ મૂકવામાં આવ્યું છે.
પરિભ્રમણની ધરી $b$ લંબાઈની બાજુ (ધારો કે બાજુ $CD$) માંથી પસાર થાય છે.
કણોના તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_i$ એ $i$-માં દળનું પરિભ્રમણની ધરીથી લંબ અંતર છે.
$1$. $C$ અને $D$ પરના દળો પરિભ્રમણની ધરી પર આવેલા છે,તેથી તેમનું લંબ અંતર $r_C = 0$ અને $r_D = 0$ છે. આમ,જડત્વની ચાકમાત્રામાં તેમનું યોગદાન $m(0)^2 + m(0)^2 = 0$ છે.
$2$. $A$ અને $B$ પરના દળો ધરી $CD$ થી $a$ જેટલા લંબ અંતરે આવેલા છે. આમ,તેમનું યોગદાન $m(a)^2 + m(a)^2 = 2ma^2$ છે.
તેથી,ધરી $CD$ ની આસપાસ તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 0 + 2ma^2 = 2ma^2$ થશે.

(A) નક્કર ગોળાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5} mR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,કેન્દ્રથી $d$ અંતરે રહેલી ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + md^2$ થાય.
$I = \frac{2}{5} mR^2 + md^2$.
વ્યાખ્યા મુજબ,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k$ માટે $I = mk^2$ થાય.
તેથી,$mk^2 = \frac{2}{5} mR^2 + md^2$.
$k^2 = \frac{2}{5} R^2 + d^2$.
અહીં $R = 10 \ cm$ અને $d = 15 \ cm$ આપેલ છે:
$k^2 = \frac{2}{5} (10)^2 + (15)^2$.
$k^2 = \frac{2}{5} (100) + 225 = 40 + 225 = 265$.
ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k = \sqrt{n}$ હોવાથી,$k^2 = n$ થાય.
આમ,$n = 265$.

(A) ધારો કે નળાકારના દ્રવ્યની ઘનતા $\rho$ છે.
મૂળ નળાકારનું દળ $M = \rho \cdot \pi R^2 L$ છે.
તેની અક્ષ પર મૂળ નળાકારની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 L) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 L$ છે.
કાપેલા નળાકારનું દળ $m = \rho \cdot \pi (R/3)^2 \cdot (L/2) = \rho \cdot \pi (R^2/9) \cdot (L/2) = \frac{\rho \pi R^2 L}{18} = \frac{M}{18}$ છે.
તેની અક્ષ પર કાપેલા નળાકારની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{1}{2} m (R/3)^2 = \frac{1}{2} (\frac{M}{18}) (\frac{R^2}{9}) = \frac{1}{324} M R^2$ છે.
હવે,ગુણોત્તર $I_1/I_2$:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{1}{2} M R^2}{\frac{1}{324} M R^2} = \frac{1}{2} \times 324 = 162$.

(C) વર્તુળાકાર ડિસ્કની તેની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડિસ્ક સમાન દ્રવ્યમાંથી બનેલી હોવાથી,તેમની ઘનતા $\rho$ સમાન છે.
ડિસ્કનું દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (\pi R^2 T) \rho$ છે.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} (\pi R^2 T \rho) R^2 = \frac{1}{2} \pi \rho R^4 T$ થાય.
આપેલ છે કે $I_1 = I_2$,તેથી:
$\frac{1}{2} \pi \rho R_1^4 T_1 = \frac{1}{2} \pi \rho R_2^4 T_2$
$R_1^4 T_1 = R_2^4 T_2$
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{R_2^4}{R_1^4} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^4$.
આપેલ છે કે $\frac{R_1}{R_2} = 2$,તેથી $\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{2}$.
$\frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$.
આને $\frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{\alpha}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 16$ મળે છે.

(B) ધારો કે ઉભો સળિયો $1$ છે અને આડો સળિયો $2$ છે.
સળિયા $1$ માટે,તેના છેડા $P$ માંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{ML^2}{3}$ છે.
સળિયા $2$ માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{ML^2}{12}$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_{cm} + Md^2$ થશે,જ્યાં $d = L$ એ $P$ થી સળિયા $2$ ના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
$I_2 = \frac{ML^2}{12} + M(L)^2 = \frac{13ML^2}{12}$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 = \frac{ML^2}{3} + \frac{13ML^2}{12} = \frac{4ML^2 + 13ML^2}{12} = \frac{17ML^2}{12}$ છે.
આને $\frac{x}{12} ML^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 17$ મળે છે.