અ Gujarati
Moment of Inertia and Radius of gyration Questions in Gujarati
Class 11 Physics · System of Particles and Rotational Motion · Moment of Inertia and Radius of gyration
371+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 371 questions in Gujarati
151
DifficultMCQ
એક દ્રઢ પદાર્થને $x$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુએ મિજાગરા (hinge) વડે લટકાવી શકાય છે. જ્યારે તેને એવી રીતે લટકાવવામાં આવે છે કે મિજાગરો $x$ પર હોય,ત્યારે જડત્વની આઘૂર્ણ $I = 2x^2 - 12x + 27$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ કેટલો હશે?
A
$x = 2$
B
$x = 0$
C
$x = 1$
D
$x = 3$
Solution
(D) સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$x$ સ્થાન પરની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I = I_{CM} + M(x - x_{CM})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x_{CM}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે $I = M x^2 - 2 M x_{CM} x + (I_{CM} + M x_{CM}^2)$.
આ સમીકરણની સરખામણી આપેલ સમીકરણ $I = 2x^2 - 12x + 27$ સાથે કરતા:
$x^2$ નો સહગુણક: $M = 2$.
$x$ નો સહગુણક: $-2 M x_{CM} = -12$.
બીજા સમીકરણમાં $M = 2$ મૂકતા: $-2(2)x_{CM} = -12 \implies -4 x_{CM} = -12 \implies x_{CM} = 3$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ $3$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે $I = M x^2 - 2 M x_{CM} x + (I_{CM} + M x_{CM}^2)$.
આ સમીકરણની સરખામણી આપેલ સમીકરણ $I = 2x^2 - 12x + 27$ સાથે કરતા:
$x^2$ નો સહગુણક: $M = 2$.
$x$ નો સહગુણક: $-2 M x_{CM} = -12$.
બીજા સમીકરણમાં $M = 2$ મૂકતા: $-2(2)x_{CM} = -12 \implies -4 x_{CM} = -12 \implies x_{CM} = 3$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ $3$ છે.
0 likes
View Solution152
MediumMCQ
$M$ દળ અને $L$ લંબાઈના તારને વાળીને એક વર્તુળાકાર રીંગ બનાવવામાં આવે છે. તેની અક્ષને અનુલક્ષીને રીંગની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થાય?
A
$\left( \frac{1}{8\pi^2} \right) ML^2$
B
$(8\pi^2) ML^2$
C
$\left( \frac{1}{4\pi^2} \right) ML^2$
D
$(4\pi^2) ML^2$
Solution
(C) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈના તારને વાળીને $R$ ત્રિજ્યાની રીંગ બનાવવામાં આવે છે.
તારની લંબાઈ એ રીંગના પરિઘ જેટલી હોવાથી:
$L = 2\pi R$
તેથી,રીંગની ત્રિજ્યા $R = \frac{L}{2\pi}$ થાય.
રીંગની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નું સૂત્ર:
$I = MR^2$
$R$ ની કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = M \left( \frac{L}{2\pi} \right)^2$
$I = M \left( \frac{L^2}{4\pi^2} \right)$
$I = \left( \frac{1}{4\pi^2} \right) ML^2$
તારની લંબાઈ એ રીંગના પરિઘ જેટલી હોવાથી:
$L = 2\pi R$
તેથી,રીંગની ત્રિજ્યા $R = \frac{L}{2\pi}$ થાય.
રીંગની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નું સૂત્ર:
$I = MR^2$
$R$ ની કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = M \left( \frac{L}{2\pi} \right)^2$
$I = M \left( \frac{L^2}{4\pi^2} \right)$
$I = \left( \frac{1}{4\pi^2} \right) ML^2$
0 likes
View Solution153
MediumMCQ
આકૃતિમાં $L$ લંબાઈ અને $M$ દળનો એક સમાન સળિયો $x$-અક્ષ પર દર્શાવેલ છે,જેનો એક છેડો ઉગમબિંદુ $O$ પર છે. $xy$-સમતલમાં આવેલા તે તમામ બિંદુઓ $(x, y)$ નો બિંદુપથ,જેની આસપાસ સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $O$ ની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા જેટલી જ હોય,તે છે:
A
એક ઉપવલય
B
એક વર્તુળ
C
એક પરવલય
D
એક સીધી રેખા
Solution
(B) ધારો કે સળિયાનું દળ $M$ અને લંબાઈ $L$ છે. ઉગમબિંદુ $O$ માંથી પસાર થતી અને સળિયાને લંબ અક્ષ (z-અક્ષ) ની સાપેક્ષે સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_O = \frac{1}{3}ML^2$ છે.
$xy$-સમતલમાં એક બિંદુ $P(x, y)$ ધ્યાનમાં લો. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$P$ માંથી પસાર થતી અને $xy$-સમતલને લંબ અક્ષની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_P = I_{CM} + Md^2$ છે,જ્યાં $d$ એ સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી બિંદુ $P$ સુધીનું અંતર છે.
સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(L/2, 0)$ પર છે. $(L/2, 0)$ થી $(x, y)$ સુધીનું અંતર $d^2 = (x - L/2)^2 + y^2$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = \frac{1}{12}ML^2$ છે.
તેથી,$I_P = \frac{1}{12}ML^2 + M((x - L/2)^2 + y^2)$.
$I_P = I_O$ લેતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{12}ML^2 + M((x - L/2)^2 + y^2) = \frac{1}{3}ML^2$.
$(x - L/2)^2 + y^2 = \frac{1}{3}L^2 - \frac{1}{12}L^2 = \frac{1}{4}L^2$.
આ $(L/2, 0)$ કેન્દ્ર અને $L/2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે.
$xy$-સમતલમાં એક બિંદુ $P(x, y)$ ધ્યાનમાં લો. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$P$ માંથી પસાર થતી અને $xy$-સમતલને લંબ અક્ષની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_P = I_{CM} + Md^2$ છે,જ્યાં $d$ એ સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી બિંદુ $P$ સુધીનું અંતર છે.
સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(L/2, 0)$ પર છે. $(L/2, 0)$ થી $(x, y)$ સુધીનું અંતર $d^2 = (x - L/2)^2 + y^2$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = \frac{1}{12}ML^2$ છે.
તેથી,$I_P = \frac{1}{12}ML^2 + M((x - L/2)^2 + y^2)$.
$I_P = I_O$ લેતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{12}ML^2 + M((x - L/2)^2 + y^2) = \frac{1}{3}ML^2$.
$(x - L/2)^2 + y^2 = \frac{1}{3}L^2 - \frac{1}{12}L^2 = \frac{1}{4}L^2$.
આ $(L/2, 0)$ કેન્દ્ર અને $L/2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે.
0 likes
View Solution154
MediumMCQ
નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
વિધાન $(A)$: જ્યારે પરિભ્રમણની ધરી પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે દ્રઢ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા અન્ય કોઈપણ સમાંતર ધરીની તુલનામાં તેના લઘુત્તમ મૂલ્ય સુધી ઘટે છે.
કારણ $(R)$: સમાન ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં દ્રઢ પદાર્થનું વજન હંમેશા તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી કાર્ય કરે છે.
આ વિધાનોમાંથી:
વિધાન $(A)$: જ્યારે પરિભ્રમણની ધરી પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે દ્રઢ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા અન્ય કોઈપણ સમાંતર ધરીની તુલનામાં તેના લઘુત્તમ મૂલ્ય સુધી ઘટે છે.
કારણ $(R)$: સમાન ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં દ્રઢ પદાર્થનું વજન હંમેશા તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી કાર્ય કરે છે.
આ વિધાનોમાંથી:
A
$A$ અને $R$ બંને સાચા છે અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.
B
$A$ અને $R$ બંને સાચા છે પરંતુ $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.
C
$A$ સાચું છે પરંતુ $R$ ખોટું છે.
D
$A$ ખોટું છે પરંતુ $R$ સાચું છે.
Solution
(B) સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + Md^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_{cm}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ પદાર્થનું દ્રવ્યમાન છે,અને $d$ એ બે અક્ષો વચ્ચેનું લંબ અંતર છે.
$Md^2$ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,જ્યારે $d = 0$ હોય ત્યારે $I$ લઘુત્તમ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે અક્ષ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
સમાન ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં,પદાર્થનું વજન તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી કાર્ય કરે છે. આમ,કારણ $(R)$ સાચું છે.
જો કે,વજન દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી કાર્ય કરે છે તે હકીકત ગુરુત્વાકર્ષણ સાથે સંબંધિત ગુણધર્મ છે અને તે એ સમજાવતું નથી કે જડત્વની ચાકમાત્રા દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની અક્ષને અનુલક્ષીને લઘુત્તમ કેમ હોય છે (જે સમાંતર અક્ષના પ્રમેય પરથી મેળવેલ ભૌમિતિક ગુણધર્મ છે). તેથી,$R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.
$Md^2$ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,જ્યારે $d = 0$ હોય ત્યારે $I$ લઘુત્તમ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે અક્ષ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
સમાન ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં,પદાર્થનું વજન તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી કાર્ય કરે છે. આમ,કારણ $(R)$ સાચું છે.
જો કે,વજન દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી કાર્ય કરે છે તે હકીકત ગુરુત્વાકર્ષણ સાથે સંબંધિત ગુણધર્મ છે અને તે એ સમજાવતું નથી કે જડત્વની ચાકમાત્રા દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની અક્ષને અનુલક્ષીને લઘુત્તમ કેમ હોય છે (જે સમાંતર અક્ષના પ્રમેય પરથી મેળવેલ ભૌમિતિક ગુણધર્મ છે). તેથી,$R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.
0 likes
View Solution155
DifficultMCQ
આકૃતિમાં $M$ દળ અને $L$ પાયા ધરાવતી સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણાકાર પ્લેટ દર્શાવેલ છે. શિરોબિંદુ પાસેનો ખૂણો $90^o$ છે. શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ પર છે અને પાયો $X$-અક્ષને સમાંતર છે. $z$-અક્ષને અનુલક્ષીને પ્લેટની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી છે?
A
$\frac{ML^2}{12}$
B
$\frac{ML^2}{24}$
C
$\frac{ML^2}{6}$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(C) ધારો કે ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h$ છે. શિરોબિંદુનો ખૂણો $90^o$ હોવાથી અને ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,ઊંચાઈ $h$ પાયા $L$ ને દુભાગે છે. તેથી,$h = L/2$.
ક્ષેત્રફળ ઘનતા $\sigma = M / (0.5 \times L \times h) = M / (0.5 \times L \times L/2) = 4M/L^2$.
શિરોબિંદુથી $y$ અંતરે $dy$ જાડાઈની એક પટ્ટી લો. પટ્ટીની લંબાઈ $l(y) = 2y$ થશે (ખૂણો $90^o$ હોવાથી,બાજુઓ $y=x$ અને $y=-x$ છે).
પટ્ટીનું દળ $dm = \sigma \times l(y) \times dy = (4M/L^2) \times (2y) \times dy = (8M/L^2) y dy$.
$z$-અક્ષને અનુલક્ષીને આ પટ્ટીની જડત્વની ચાકમાત્રા $dI_z = dI_{cm} + dm \times y^2 = (dm \times l(y)^2 / 12) + dm \times y^2 = (dm \times (2y)^2 / 12) + dm \times y^2 = (dm \times y^2 / 3) + dm \times y^2 = (4/3) dm \times y^2$.
$dm$ ની કિંમત મુકતા: $dI_z = (4/3) \times (8M/L^2) y^2 \times y dy = (32M / 3L^2) y^3 dy$.
$y=0$ થી $y=h=L/2$ સુધી સંકલન કરતા: $I_z = \int_0^{L/2} (32M / 3L^2) y^3 dy = (32M / 3L^2) [y^4 / 4]_0^{L/2} = (8M / 3L^2) (L/2)^4 = (8M / 3L^2) (L^4 / 16) = ML^2 / 6$.
ક્ષેત્રફળ ઘનતા $\sigma = M / (0.5 \times L \times h) = M / (0.5 \times L \times L/2) = 4M/L^2$.
શિરોબિંદુથી $y$ અંતરે $dy$ જાડાઈની એક પટ્ટી લો. પટ્ટીની લંબાઈ $l(y) = 2y$ થશે (ખૂણો $90^o$ હોવાથી,બાજુઓ $y=x$ અને $y=-x$ છે).
પટ્ટીનું દળ $dm = \sigma \times l(y) \times dy = (4M/L^2) \times (2y) \times dy = (8M/L^2) y dy$.
$z$-અક્ષને અનુલક્ષીને આ પટ્ટીની જડત્વની ચાકમાત્રા $dI_z = dI_{cm} + dm \times y^2 = (dm \times l(y)^2 / 12) + dm \times y^2 = (dm \times (2y)^2 / 12) + dm \times y^2 = (dm \times y^2 / 3) + dm \times y^2 = (4/3) dm \times y^2$.
$dm$ ની કિંમત મુકતા: $dI_z = (4/3) \times (8M/L^2) y^2 \times y dy = (32M / 3L^2) y^3 dy$.
$y=0$ થી $y=h=L/2$ સુધી સંકલન કરતા: $I_z = \int_0^{L/2} (32M / 3L^2) y^3 dy = (32M / 3L^2) [y^4 / 4]_0^{L/2} = (8M / 3L^2) (L/2)^4 = (8M / 3L^2) (L^4 / 16) = ML^2 / 6$.
0 likes
View Solution156
DifficultMCQ
આકૃતિમાં $M$ દળ અને $L$ પાયા ધરાવતી સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણાકાર પ્લેટ દર્શાવેલ છે. શિરોબિંદુ પાસેનો ખૂણો $90^o$ છે. શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ પર છે અને પાયો $X$-અક્ષને સમાંતર છે. $X$-અક્ષને અનુલક્ષીને પ્લેટની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થશે?
A
$\frac{ML^2}{8}$
B
$\frac{ML^2}{32}$
C
$\frac{ML^2}{24}$
D
$\frac{ML^2}{6}$
Solution
(A) ધારો કે ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h$ છે. શિરોબિંદુનો ખૂણો $90^o$ હોવાથી અને ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,ઊંચાઈ $h$ એ પાયાની લંબાઈ $L$ કરતા અડધી છે. તેથી,$h = L/2$ થાય.
પ્લેટની પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma = \frac{M}{\text{Area}} = \frac{M}{\frac{1}{2} \times L \times h} = \frac{M}{\frac{1}{2} \times L \times (L/2)} = \frac{4M}{L^2}$ છે.
$X$-અક્ષથી $y$ અંતરે $dy$ જાડાઈની એક પાતળી પટ્ટી લો. આ પટ્ટીની લંબાઈ $l(y)$ શિરોબિંદુ $(y=0)$ પર $0$ થી પાયા $(y=h)$ પર $L$ સુધી રેખીય રીતે બદલાય છે.
સમરૂપ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરતા,$l(y) = \frac{L}{h} y = \frac{L}{L/2} y = 2y$ મળે.
આ પટ્ટીનું દળ $dm = \sigma \times l(y) \times dy = \left(\frac{4M}{L^2}\right) \times (2y) \times dy = \frac{8M}{L^2} y dy$ છે.
$X$-અક્ષને અનુલક્ષીને આ પટ્ટીની જડત્વની ચાકમાત્રા $dI = dm \times y^2 = \left(\frac{8M}{L^2} y dy\right) y^2 = \frac{8M}{L^2} y^3 dy$ છે.
$y=0$ થી $y=h=L/2$ સુધી સંકલન કરતા:
$I = \int_0^{L/2} \frac{8M}{L^2} y^3 dy = \frac{8M}{L^2} \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^{L/2} = \frac{8M}{L^2} \times \frac{1}{4} \times \left(\frac{L}{2}\right)^4 = \frac{2M}{L^2} \times \frac{L^4}{16} = \frac{ML^2}{8}$.
પ્લેટની પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma = \frac{M}{\text{Area}} = \frac{M}{\frac{1}{2} \times L \times h} = \frac{M}{\frac{1}{2} \times L \times (L/2)} = \frac{4M}{L^2}$ છે.
$X$-અક્ષથી $y$ અંતરે $dy$ જાડાઈની એક પાતળી પટ્ટી લો. આ પટ્ટીની લંબાઈ $l(y)$ શિરોબિંદુ $(y=0)$ પર $0$ થી પાયા $(y=h)$ પર $L$ સુધી રેખીય રીતે બદલાય છે.
સમરૂપ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરતા,$l(y) = \frac{L}{h} y = \frac{L}{L/2} y = 2y$ મળે.
આ પટ્ટીનું દળ $dm = \sigma \times l(y) \times dy = \left(\frac{4M}{L^2}\right) \times (2y) \times dy = \frac{8M}{L^2} y dy$ છે.
$X$-અક્ષને અનુલક્ષીને આ પટ્ટીની જડત્વની ચાકમાત્રા $dI = dm \times y^2 = \left(\frac{8M}{L^2} y dy\right) y^2 = \frac{8M}{L^2} y^3 dy$ છે.
$y=0$ થી $y=h=L/2$ સુધી સંકલન કરતા:
$I = \int_0^{L/2} \frac{8M}{L^2} y^3 dy = \frac{8M}{L^2} \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^{L/2} = \frac{8M}{L^2} \times \frac{1}{4} \times \left(\frac{L}{2}\right)^4 = \frac{2M}{L^2} \times \frac{L^4}{16} = \frac{ML^2}{8}$.
0 likes
View Solution157
DifficultMCQ
આકૃતિમાં $M$ દળ અને $L$ પાયા ધરાવતી સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણાકાર પ્લેટ દર્શાવેલ છે. શિરોબિંદુ પાસેનો ખૂણો $90^o$ છે. શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ પર છે અને પાયો $X$-અક્ષને સમાંતર છે. $y$-અક્ષને અનુલક્ષીને પ્લેટની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થશે?
A
$\frac{ML^2}{6}$
B
$\frac{ML^2}{8}$
C
$\frac{ML^2}{24}$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(C) ધારો કે ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h$ છે. શિરોબિંદુનો ખૂણો $90^o$ હોવાથી અને તે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,ઊંચાઈ $h$ એ પાયા $L$ ને દુભાગે છે. તેથી,ત્રિકોણ $L/2$ પાયા અને $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા બે કાટકોણ ત્રિકોણનો બનેલો છે. ભૂમિતિ પરથી,$h = L/2$.
શિરોબિંદુથી $y$ અંતરે $dy$ જાડાઈની એક પાતળી પટ્ટી લો. આ પટ્ટીની લંબાઈ $l(y)$ સમાન ત્રિકોણના ગુણધર્મથી શોધી શકાય છે: $l(y)/y = L/h = L/(L/2) = 2$. તેથી,$l(y) = 2y$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times L \times h = \frac{1}{2} \times L \times \frac{L}{2} = \frac{L^2}{4}$.
એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma = \frac{M}{A} = \frac{4M}{L^2}$.
પટ્ટીનું દળ $dm = \sigma \times l(y) \times dy = \frac{4M}{L^2} \times 2y \times dy = \frac{8M}{L^2} y dy$.
$y$-અક્ષને અનુલક્ષીને આ પટ્ટીની જડત્વની ચાકમાત્રા $dI_y = \frac{dm \times l(y)^2}{12} = \frac{1}{12} \times \left( \frac{8M}{L^2} y dy \right) \times (2y)^2 = \frac{1}{12} \times \frac{8M}{L^2} y dy \times 4y^2 = \frac{8M}{3L^2} y^3 dy$.
$y=0$ થી $y=h=L/2$ સુધી સંકલન કરતા:
$I_y = \int_0^{L/2} \frac{8M}{3L^2} y^3 dy = \frac{8M}{3L^2} \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^{L/2} = \frac{8M}{3L^2} \times \frac{1}{4} \times \left( \frac{L}{2} \right)^4 = \frac{2M}{3L^2} \times \frac{L^4}{16} = \frac{ML^2}{24}$.
શિરોબિંદુથી $y$ અંતરે $dy$ જાડાઈની એક પાતળી પટ્ટી લો. આ પટ્ટીની લંબાઈ $l(y)$ સમાન ત્રિકોણના ગુણધર્મથી શોધી શકાય છે: $l(y)/y = L/h = L/(L/2) = 2$. તેથી,$l(y) = 2y$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times L \times h = \frac{1}{2} \times L \times \frac{L}{2} = \frac{L^2}{4}$.
એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma = \frac{M}{A} = \frac{4M}{L^2}$.
પટ્ટીનું દળ $dm = \sigma \times l(y) \times dy = \frac{4M}{L^2} \times 2y \times dy = \frac{8M}{L^2} y dy$.
$y$-અક્ષને અનુલક્ષીને આ પટ્ટીની જડત્વની ચાકમાત્રા $dI_y = \frac{dm \times l(y)^2}{12} = \frac{1}{12} \times \left( \frac{8M}{L^2} y dy \right) \times (2y)^2 = \frac{1}{12} \times \frac{8M}{L^2} y dy \times 4y^2 = \frac{8M}{3L^2} y^3 dy$.
$y=0$ થી $y=h=L/2$ સુધી સંકલન કરતા:
$I_y = \int_0^{L/2} \frac{8M}{3L^2} y^3 dy = \frac{8M}{3L^2} \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^{L/2} = \frac{8M}{3L^2} \times \frac{1}{4} \times \left( \frac{L}{2} \right)^4 = \frac{2M}{3L^2} \times \frac{L^4}{16} = \frac{ML^2}{24}$.
0 likes
View Solution158
MediumMCQ
બાજુમાં આપેલ આકૃતિ માટે,$I_{1}, I_{2}$ અને $I_{3}$ વચ્ચેનો ખોટો સંબંધ કયો છે? ($I$ = જડત્વની ચાકમાત્રા)
A
$I_{2} > I_{1}$
B
$I_{3} > I_{1}$
C
$I_{1} > I_{2}$
D
$I_{3} > I_{2}$
Solution
(C) કોઈપણ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ તેના દળના પરિભ્રમણ અક્ષની સાપેક્ષ વિતરણ પર આધાર રાખે છે. દળ અક્ષથી જેટલું દૂર હશે,તેટલી જડત્વની ચાકમાત્રા વધારે હશે.
આપેલ કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં બાજુઓ $AB=4$,$BC=3$ અને $AC=5$ છે.
$I_{1}$ એ બાજુ $AB$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$I_{3}$ એ બાજુ $BC$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$I_{2}$ એ બાજુ $AC$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
દળના વિતરણના અંતરની સરખામણી કરતા,આપણને $I_{1} < I_{3} < I_{2}$ મળે છે.
તેથી,સંબંધ $I_{1} > I_{2}$ ખોટો છે.
આપેલ કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં બાજુઓ $AB=4$,$BC=3$ અને $AC=5$ છે.
$I_{1}$ એ બાજુ $AB$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$I_{3}$ એ બાજુ $BC$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$I_{2}$ એ બાજુ $AC$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
દળના વિતરણના અંતરની સરખામણી કરતા,આપણને $I_{1} < I_{3} < I_{2}$ મળે છે.
તેથી,સંબંધ $I_{1} > I_{2}$ ખોટો છે.
0 likes
View Solution159
MediumMCQ
જો એક વ્યક્તિ ફરતી સ્ટૂલ પર હાથ ફેલાવીને બેઠી હોય અને અચાનક તેના હાથ નીચે કરે, તો તેનું
A
ગતિ ઉર્જા ઘટશે
B
જડત્વની ચાકમાત્રા ઘટશે
C
કોણીય વેગમાન વધશે
D
કોણીય વેગ અચળ રહેશે
Solution
(B) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ, જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોય, તો કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ અચળ રહે છે.
જ્યારે વ્યક્તિ તેના હાથ નીચે કરે છે, ત્યારે દળનું વિતરણ પરિભ્રમણની ધરીની નજીક આવે છે, જેના કારણે જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ઘટે છે.
કારણ કે $L = I\omega$ અચળ છે, તેથી $I$ માં ઘટાડો થવાથી કોણીય વેગ $\omega$ માં વધારો થાય છે.
વધુમાં, પરિભ્રમણીય ગતિ ઉર્જા $K = \frac{L^2}{2I}$ વધશે કારણ કે $I$ ઘટે છે જ્યારે $L$ અચળ રહે છે.
તેથી, સાચું વિધાન એ છે કે જડત્વની ચાકમાત્રા ઘટશે.
જ્યારે વ્યક્તિ તેના હાથ નીચે કરે છે, ત્યારે દળનું વિતરણ પરિભ્રમણની ધરીની નજીક આવે છે, જેના કારણે જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ઘટે છે.
કારણ કે $L = I\omega$ અચળ છે, તેથી $I$ માં ઘટાડો થવાથી કોણીય વેગ $\omega$ માં વધારો થાય છે.
વધુમાં, પરિભ્રમણીય ગતિ ઉર્જા $K = \frac{L^2}{2I}$ વધશે કારણ કે $I$ ઘટે છે જ્યારે $L$ અચળ રહે છે.
તેથી, સાચું વિધાન એ છે કે જડત્વની ચાકમાત્રા ઘટશે.
0 likes
View Solution160
DifficultMCQ
$l$ લંબાઈ અને $M$ દળ ધરાવતા ત્રણ સમાન સળિયાઓને જોડીને એક દ્રઢ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવવામાં આવે છે. ત્રિકોણના સમતલને લંબ અને એક ખૂણામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને તેની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા કેટલી થાય?
A
$l$
B
$\frac{l}{\sqrt{2}}$
C
$\frac{l}{2}$
D
$\frac{l}{3}$
Solution
(B) ધારો કે ત્રણ સળિયાઓ $AB$,$BC$ અને $CA$ છે. આપણે શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ શોધવી છે.
$1$. સળિયા $AB$ માટે: અક્ષ સળિયાના એક છેડામાંથી પસાર થાય છે અને તેની લંબાઈને લંબ છે. $I_1 = \frac{Ml^2}{3}$.
$2$. સળિયા $AC$ માટે: અક્ષ સળિયાના એક છેડામાંથી પસાર થાય છે અને તેની લંબાઈને લંબ છે. $I_2 = \frac{Ml^2}{3}$.
$3$. સળિયા $BC$ માટે: અક્ષ એ સળિયા $BC$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને સમાંતર છે. શિરોબિંદુ $A$ થી $BC$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $d = l \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}l}{2}$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $I_3 = I_{cm} + Md^2 = \frac{Ml^2}{12} + M\left(\frac{\sqrt{3}l}{2}\right)^2 = \frac{Ml^2}{12} + \frac{3Ml^2}{4} = \frac{Ml^2 + 9Ml^2}{12} = \frac{10Ml^2}{12} = \frac{5Ml^2}{6}$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{Ml^2}{3} + \frac{Ml^2}{3} + \frac{5Ml^2}{6} = \frac{2Ml^2}{3} + \frac{5Ml^2}{6} = \frac{4Ml^2 + 5Ml^2}{6} = \frac{9Ml^2}{6} = \frac{3}{2}Ml^2$.
તંત્રનું કુલ દળ $3M$ છે. ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ એ $I = (3M)k^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\frac{3}{2}Ml^2 = 3Mk^2 \implies k^2 = \frac{l^2}{2} \implies k = \frac{l}{\sqrt{2}}$.
$1$. સળિયા $AB$ માટે: અક્ષ સળિયાના એક છેડામાંથી પસાર થાય છે અને તેની લંબાઈને લંબ છે. $I_1 = \frac{Ml^2}{3}$.
$2$. સળિયા $AC$ માટે: અક્ષ સળિયાના એક છેડામાંથી પસાર થાય છે અને તેની લંબાઈને લંબ છે. $I_2 = \frac{Ml^2}{3}$.
$3$. સળિયા $BC$ માટે: અક્ષ એ સળિયા $BC$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને સમાંતર છે. શિરોબિંદુ $A$ થી $BC$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $d = l \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}l}{2}$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $I_3 = I_{cm} + Md^2 = \frac{Ml^2}{12} + M\left(\frac{\sqrt{3}l}{2}\right)^2 = \frac{Ml^2}{12} + \frac{3Ml^2}{4} = \frac{Ml^2 + 9Ml^2}{12} = \frac{10Ml^2}{12} = \frac{5Ml^2}{6}$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{Ml^2}{3} + \frac{Ml^2}{3} + \frac{5Ml^2}{6} = \frac{2Ml^2}{3} + \frac{5Ml^2}{6} = \frac{4Ml^2 + 5Ml^2}{6} = \frac{9Ml^2}{6} = \frac{3}{2}Ml^2$.
તંત્રનું કુલ દળ $3M$ છે. ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ એ $I = (3M)k^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\frac{3}{2}Ml^2 = 3Mk^2 \implies k^2 = \frac{l^2}{2} \implies k = \frac{l}{\sqrt{2}}$.
0 likes
View Solution161
DifficultMCQ
એક સમાન ચોરસ પ્લેટ $S$ (બાજુ $c$) અને એક સમાન લંબચોરસ પ્લેટ $R$ (બાજુઓ $b$,$a$) $(a > b)$ ના ક્ષેત્રફળ અને દળ સમાન છે. આકૃતિના આધારે,નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(a)\ I_{xR}/I_{xS} < 1$
$(b)\ I_{yR}/I_{yS} > 1$
$(c)\ I_{zR}/I_{zS} > 1$
$(a)\ I_{xR}/I_{xS} < 1$
$(b)\ I_{yR}/I_{yS} > 1$
$(c)\ I_{zR}/I_{zS} > 1$
A
$(a)$ અને $(b)$
B
$(b)$ અને $(c)$
C
$(a)$,$(b)$,અને $(c)$
D
એક પણ નહીં
Solution
(C) આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ સમાન છે,તેથી $ab = c^2$. કારણ કે $a > b$,તેથી $a > c > b$ થાય.
લંબચોરસ પ્લેટ $R$ માટે: $I_{xR} = \frac{Mb^2}{12}$,$I_{yR} = \frac{Ma^2}{12}$,$I_{zR} = \frac{M(a^2 + b^2)}{12}$.
ચોરસ પ્લેટ $S$ માટે: $I_{xS} = \frac{Mc^2}{12}$,$I_{yS} = \frac{Mc^2}{12}$,$I_{zS} = \frac{Mc^2}{6}$.
$(a)$ ચકાસો: $I_{xR}/I_{xS} = b^2/c^2$. કારણ કે $b < c$,તેથી $b^2/c^2 < 1$. આમ,$(a)$ સાચું છે.
$(b)$ ચકાસો: $I_{yR}/I_{yS} = a^2/c^2$. કારણ કે $a > c$,તેથી $a^2/c^2 > 1$. આમ,$(b)$ સાચું છે.
$(c)$ ચકાસો: $I_{zR}/I_{zS} = \frac{M(a^2 + b^2)/12}{Mc^2/6} = \frac{a^2 + b^2}{2c^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} \right)$.
$ab = c^2$ હોવાથી,$b^2/c^2 = c^2/a^2$ થાય. તેથી,$I_{zR}/I_{zS} = \frac{1}{2} \left( \frac{a^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2} \right)$.
$x > 0$ માટે $x + 1/x > 2$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા (જ્યાં $x = a^2/c^2$),તે સાબિત થાય છે કે $I_{zR}/I_{zS} > 1$. આમ,$(c)$ સાચું છે.
તેથી,તમામ વિધાનો $(a)$,$(b)$,અને $(c)$ સાચા છે.
લંબચોરસ પ્લેટ $R$ માટે: $I_{xR} = \frac{Mb^2}{12}$,$I_{yR} = \frac{Ma^2}{12}$,$I_{zR} = \frac{M(a^2 + b^2)}{12}$.
ચોરસ પ્લેટ $S$ માટે: $I_{xS} = \frac{Mc^2}{12}$,$I_{yS} = \frac{Mc^2}{12}$,$I_{zS} = \frac{Mc^2}{6}$.
$(a)$ ચકાસો: $I_{xR}/I_{xS} = b^2/c^2$. કારણ કે $b < c$,તેથી $b^2/c^2 < 1$. આમ,$(a)$ સાચું છે.
$(b)$ ચકાસો: $I_{yR}/I_{yS} = a^2/c^2$. કારણ કે $a > c$,તેથી $a^2/c^2 > 1$. આમ,$(b)$ સાચું છે.
$(c)$ ચકાસો: $I_{zR}/I_{zS} = \frac{M(a^2 + b^2)/12}{Mc^2/6} = \frac{a^2 + b^2}{2c^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} \right)$.
$ab = c^2$ હોવાથી,$b^2/c^2 = c^2/a^2$ થાય. તેથી,$I_{zR}/I_{zS} = \frac{1}{2} \left( \frac{a^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2} \right)$.
$x > 0$ માટે $x + 1/x > 2$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા (જ્યાં $x = a^2/c^2$),તે સાબિત થાય છે કે $I_{zR}/I_{zS} > 1$. આમ,$(c)$ સાચું છે.
તેથી,તમામ વિધાનો $(a)$,$(b)$,અને $(c)$ સાચા છે.
0 likes
View Solution162
MediumMCQ
બે અર્ધ-વલયો (half rings) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ જોડાયેલા છે. દરેક અર્ધ-વલયની ત્રિજ્યા $R$ અને દળ $M$ છે. $XX'$ અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થશે?
A
$MR^2$
B
$\frac{1}{2}MR^2$
C
$\frac{3}{2}MR^2$
D
$\frac{1}{2}MR^2 - \frac{4MR^2}{\pi^2}$
Solution
(A) $2M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ વલયની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}(2M)R^2 = MR^2$ થાય છે.
અહીં તંત્રમાં $M$ દળ ધરાવતી બે અર્ધ-વલયો છે,જે એવી રીતે જોડાયેલી છે કે $XX'$ અક્ષ તેમના સામાન્ય વ્યાસમાંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે આ તંત્રને $2M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક સંપૂર્ણ વલય તરીકે ગણી શકીએ જે તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને ફરે છે.
$m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી પાતળી વલયની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $\frac{1}{2}mR^2$ હોય છે.
પ્રથમ અર્ધ-વલય (દળ $M$) માટે,$XX'$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
બીજી અર્ધ-વલય (દળ $M$) માટે,$XX'$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 = \frac{1}{2}MR^2 + \frac{1}{2}MR^2 = MR^2$ થાય છે.
અહીં તંત્રમાં $M$ દળ ધરાવતી બે અર્ધ-વલયો છે,જે એવી રીતે જોડાયેલી છે કે $XX'$ અક્ષ તેમના સામાન્ય વ્યાસમાંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે આ તંત્રને $2M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક સંપૂર્ણ વલય તરીકે ગણી શકીએ જે તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને ફરે છે.
$m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી પાતળી વલયની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $\frac{1}{2}mR^2$ હોય છે.
પ્રથમ અર્ધ-વલય (દળ $M$) માટે,$XX'$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
બીજી અર્ધ-વલય (દળ $M$) માટે,$XX'$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 = \frac{1}{2}MR^2 + \frac{1}{2}MR^2 = MR^2$ થાય છે.
0 likes
View Solution163
DifficultMCQ
$M$ દળ અને $L$ લંબાઈનો એક પાતળો સળિયો એક છેડેથી મિજાગરા (hinge) પર એવી રીતે લટકાવેલ છે કે તે શિરોલંબ સમતલમાં મુક્તપણે દોલન કરી શકે. તેની ઘનતા અસમાન છે અને મિજાગરાવાળા છેડાથી મુક્ત છેડા સુધી રેખીય રીતે બદલાય છે અને તેનું મૂલ્ય બમણું થાય છે. મિજાગરાના બિંદુમાંથી પસાર થતી પરિભ્રમણ અક્ષને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા (moment of inertia) કેટલી હશે?
A
$\frac{2ML^2}{9}$
B
$\frac{3ML^2}{16}$
C
$\frac{7ML^2}{18}$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(C) ધારો કે $S$ એ સળિયાના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\lambda(x)$ એ $x=0$ આગળ $\rho_0$ થી $x=L$ આગળ $2\rho_0$ સુધી રેખીય રીતે બદલાય છે.
તેથી,$\lambda(x) = S \cdot \rho(x) = S \left( \rho_0 + \frac{2\rho_0 - \rho_0}{L} x \right) = S \left( \rho_0 + \frac{\rho_0}{L} x \right)$.
કુલ દળ $M$ નીચે મુજબ મળે છે:
$M = \int_{0}^{L} \lambda(x) dx = S \int_{0}^{L} \left( \rho_0 + \frac{\rho_0}{L} x \right) dx = S \rho_0 \left[ x + \frac{x^2}{2L} \right]_{0}^{L} = S \rho_0 \left( L + \frac{L}{2} \right) = \frac{3}{2} S \rho_0 L$.
તેથી,$S \rho_0 = \frac{2M}{3L}$.
મિજાગરાને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$:
$I = \int_{0}^{L} x^2 dm = \int_{0}^{L} x^2 \lambda(x) dx = S \int_{0}^{L} x^2 \left( \rho_0 + \frac{\rho_0}{L} x \right) dx$.
$I = S \rho_0 \int_{0}^{L} \left( x^2 + \frac{x^3}{L} \right) dx = S \rho_0 \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4L} \right]_{0}^{L} = S \rho_0 \left( \frac{L^3}{3} + \frac{L^3}{4} \right) = S \rho_0 \left( \frac{7L^3}{12} \right)$.
$S \rho_0 = \frac{2M}{3L}$ કિંમત મૂકતા:
$I = \left( \frac{2M}{3L} \right) \left( \frac{7L^3}{12} \right) = \frac{14ML^2}{36} = \frac{7ML^2}{18}$.
રેખીય દળ ઘનતા $\lambda(x)$ એ $x=0$ આગળ $\rho_0$ થી $x=L$ આગળ $2\rho_0$ સુધી રેખીય રીતે બદલાય છે.
તેથી,$\lambda(x) = S \cdot \rho(x) = S \left( \rho_0 + \frac{2\rho_0 - \rho_0}{L} x \right) = S \left( \rho_0 + \frac{\rho_0}{L} x \right)$.
કુલ દળ $M$ નીચે મુજબ મળે છે:
$M = \int_{0}^{L} \lambda(x) dx = S \int_{0}^{L} \left( \rho_0 + \frac{\rho_0}{L} x \right) dx = S \rho_0 \left[ x + \frac{x^2}{2L} \right]_{0}^{L} = S \rho_0 \left( L + \frac{L}{2} \right) = \frac{3}{2} S \rho_0 L$.
તેથી,$S \rho_0 = \frac{2M}{3L}$.
મિજાગરાને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$:
$I = \int_{0}^{L} x^2 dm = \int_{0}^{L} x^2 \lambda(x) dx = S \int_{0}^{L} x^2 \left( \rho_0 + \frac{\rho_0}{L} x \right) dx$.
$I = S \rho_0 \int_{0}^{L} \left( x^2 + \frac{x^3}{L} \right) dx = S \rho_0 \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4L} \right]_{0}^{L} = S \rho_0 \left( \frac{L^3}{3} + \frac{L^3}{4} \right) = S \rho_0 \left( \frac{7L^3}{12} \right)$.
$S \rho_0 = \frac{2M}{3L}$ કિંમત મૂકતા:
$I = \left( \frac{2M}{3L} \right) \left( \frac{7L^3}{12} \right) = \frac{14ML^2}{36} = \frac{7ML^2}{18}$.
0 likes
View Solution164
DifficultMCQ
બિંદુ $O$ માંથી પસાર થતી અક્ષ $OA$ ને અનુલક્ષીને કણોના તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા શોધો.
A
$\frac{m{l^2}}{6}$
B
$\frac{m{l^2}}{6}n(n + 1)(2n + 1)$
C
શૂન્ય
D
$m{l^2}\frac{n(n + 1)}{2}$
Solution
(B) અક્ષને અનુલક્ષીને કણોના તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ દરેક કણના દળ અને અક્ષથી તેના લંબ અંતરના વર્ગના ગુણાકારના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I = \sum m_i r_i^2$।
અહીં,આપણી પાસે $n$ કણો છે,જે દરેકનું દળ $m$ છે અને તે અક્ષ $OA$ થી $\ell, 2\ell, 3\ell, \dots, n\ell$ અંતરે આવેલા છે.
તેથી,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I = m(\ell)^2 + m(2\ell)^2 + m(3\ell)^2 + \dots + m(n\ell)^2$
$I = m\ell^2 (1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2)$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળા માટેના પ્રમાણિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,આપણને મળે છે:
$I = m\ell^2 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right]$
$I = \frac{m\ell^2}{6} n(n+1)(2n+1)$
અહીં,આપણી પાસે $n$ કણો છે,જે દરેકનું દળ $m$ છે અને તે અક્ષ $OA$ થી $\ell, 2\ell, 3\ell, \dots, n\ell$ અંતરે આવેલા છે.
તેથી,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I = m(\ell)^2 + m(2\ell)^2 + m(3\ell)^2 + \dots + m(n\ell)^2$
$I = m\ell^2 (1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2)$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળા માટેના પ્રમાણિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,આપણને મળે છે:
$I = m\ell^2 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right]$
$I = \frac{m\ell^2}{6} n(n+1)(2n+1)$
0 likes
View Solution165
DifficultMCQ
આકૃતિ એક સમાન સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રામાં થતા ફેરફારને દર્શાવે છે,જે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સળિયાની લંબાઈ સાથે $\theta$ ખૂણે નમેલી અક્ષને અનુલક્ષીને છે. સળિયાના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને સળિયા સાથે $\theta = \frac{\pi}{3}$ ખૂણો બનાવતી અક્ષને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા ........ $kg-m^2$ થશે.
A
$0.45$
B
$1.8$
C
$2.4$
D
$1.5$
Solution
(B) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા સમાન સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સળિયા સાથે $\theta$ ખૂણે નમેલી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{centre} = \frac{ML^2}{12} \sin^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આલેખ પરથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$ પર $I$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $0.6 \ kg-m^2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $0.6 = \frac{ML^2}{12} \sin^2(\frac{\pi}{2}) = \frac{ML^2}{12} \Rightarrow ML^2 = 7.2 \ kg-m^2$.
સળિયાના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને સળિયા સાથે $\theta$ ખૂણે નમેલી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{end} = \frac{ML^2}{3} \sin^2 \theta$ છે.
$\theta = \frac{\pi}{3}$ માટે,$I_{end} = \frac{ML^2}{3} \sin^2(\frac{\pi}{3}) = \frac{ML^2}{3} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{ML^2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{ML^2}{4}$.
$ML^2 = 7.2$ મૂકતા,આપણને $I_{end} = \frac{7.2}{4} = 1.8 \ kg-m^2$ મળે છે.
આલેખ પરથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$ પર $I$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $0.6 \ kg-m^2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $0.6 = \frac{ML^2}{12} \sin^2(\frac{\pi}{2}) = \frac{ML^2}{12} \Rightarrow ML^2 = 7.2 \ kg-m^2$.
સળિયાના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને સળિયા સાથે $\theta$ ખૂણે નમેલી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{end} = \frac{ML^2}{3} \sin^2 \theta$ છે.
$\theta = \frac{\pi}{3}$ માટે,$I_{end} = \frac{ML^2}{3} \sin^2(\frac{\pi}{3}) = \frac{ML^2}{3} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{ML^2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{ML^2}{4}$.
$ML^2 = 7.2$ મૂકતા,આપણને $I_{end} = \frac{7.2}{4} = 1.8 \ kg-m^2$ મળે છે.
0 likes
View Solution166
DifficultMCQ
$L$ લંબાઈ અને $m$ દળ ધરાવતા ત્રણ સમાન સળિયાઓને જોડીને એક સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવવામાં આવે છે. ત્રિકોણના સમતલને લંબ અને એક ખૂણામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા શોધો.
A
$\frac{1}{2}$
B
$\sqrt{\frac{3}{2}}L$
C
$\frac{L}{\sqrt{2}}$
D
$\frac{L}{\sqrt{3}}$
Solution
(C) ધારો કે ત્રણ સળિયા $A$,$B$ અને $C$ છે. અક્ષ ઉપરના શિરોબિંદુમાંથી સમતલને લંબ પસાર થાય છે.
સળિયા $A$ અને $B$ માટે,અક્ષ એક છેડામાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_A = I_B = \frac{mL^2}{3}$ છે.
સળિયા $C$ માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અક્ષથી અંતર $d = L \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}L}{2}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,અક્ષને અનુલક્ષીને સળિયા $C$ ની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_C = I_{cm} + md^2 = \frac{mL^2}{12} + m\left(\frac{\sqrt{3}L}{2}\right)^2 = \frac{mL^2}{12} + \frac{3mL^2}{4} = \frac{mL^2 + 9mL^2}{12} = \frac{10mL^2}{12} = \frac{5mL^2}{6}$ છે.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = I_A + I_B + I_C = \frac{mL^2}{3} + \frac{mL^2}{3} + \frac{5mL^2}{6} = \frac{2mL^2 + 2mL^2 + 5mL^2}{6} = \frac{9mL^2}{6} = \frac{3mL^2}{2}$ છે.
તંત્રનું કુલ દળ $M = 3m$ છે. ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K$ એ $I_{total} = MK^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\frac{3mL^2}{2} = (3m)K^2 \implies K^2 = \frac{L^2}{2} \implies K = \frac{L}{\sqrt{2}}$.
સળિયા $A$ અને $B$ માટે,અક્ષ એક છેડામાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_A = I_B = \frac{mL^2}{3}$ છે.
સળિયા $C$ માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અક્ષથી અંતર $d = L \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}L}{2}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,અક્ષને અનુલક્ષીને સળિયા $C$ ની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_C = I_{cm} + md^2 = \frac{mL^2}{12} + m\left(\frac{\sqrt{3}L}{2}\right)^2 = \frac{mL^2}{12} + \frac{3mL^2}{4} = \frac{mL^2 + 9mL^2}{12} = \frac{10mL^2}{12} = \frac{5mL^2}{6}$ છે.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = I_A + I_B + I_C = \frac{mL^2}{3} + \frac{mL^2}{3} + \frac{5mL^2}{6} = \frac{2mL^2 + 2mL^2 + 5mL^2}{6} = \frac{9mL^2}{6} = \frac{3mL^2}{2}$ છે.
તંત્રનું કુલ દળ $M = 3m$ છે. ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K$ એ $I_{total} = MK^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\frac{3mL^2}{2} = (3m)K^2 \implies K^2 = \frac{L^2}{2} \implies K = \frac{L}{\sqrt{2}}$.
0 likes
View Solution167
DifficultMCQ
એક અસમાન સળિયો $OM$ (લંબાઈ $l$) $x$-અક્ષ પર રાખેલ છે અને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સળિયાને લંબ એવી $AB$ અક્ષની આસપાસ ફરે છે. સળિયાની રેખીય દળ ઘનતા સળિયાના ડાબા છેડા $O$ થી અંતર $r$ સાથે $\lambda = \lambda_0 \left( \frac{r^3}{l^3} \right)$ મુજબ બદલાય છે,જ્યાં $\lambda_0$ અચળાંક છે. જો અક્ષ $AB$ છેડા $O$ થી $x$ અંતરે હોય,તો $x$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે જેથી અક્ષ $AB$ ની આસપાસ સળિયાની જડત્વની માત્રા $(I_{AB})$ ન્યૂનતમ થાય?
A
$\frac{7l}{15}$
B
$\frac{2l}{5}$
C
$\frac{8l}{15}$
D
$\frac{4l}{5}$
Solution
(D) ધારો કે સળિયો $r=0$ થી $r=l$ સુધી $x$-અક્ષ પર છે. અક્ષ $AB$ એ $r=x$ પર છે. અક્ષ $AB$ થી $r$ સ્થાન પર રહેલા નાના ઘટક $dr$ નું અંતર $|r-x|$ છે.
ઘટકનું દળ $dm = \lambda dr = \lambda_0 \frac{r^3}{l^3} dr$ છે.
અક્ષ $AB$ ની આસપાસ જડત્વની માત્રા $I_{AB} = \int_0^l (r-x)^2 dm = \int_0^l (r-x)^2 \frac{\lambda_0}{l^3} r^3 dr$ છે.
$I_{AB} = \frac{\lambda_0}{l^3} \int_0^l (r^2 - 2rx + x^2) r^3 dr = \frac{\lambda_0}{l^3} \int_0^l (r^5 - 2xr^4 + x^2r^3) dr$.
$I_{AB} = \frac{\lambda_0}{l^3} \left[ \frac{r^6}{6} - \frac{2xr^5}{5} + \frac{x^2r^4}{4} \right]_0^l = \frac{\lambda_0}{l^3} \left( \frac{l^6}{6} - \frac{2xl^5}{5} + \frac{x^2l^4}{4} \right) = \lambda_0 \left( \frac{l^3}{6} - \frac{2xl^2}{5} + \frac{x^2l}{4} \right)$.
$I_{AB}$ ન્યૂનતમ થાય તે માટે,$\frac{dI_{AB}}{dx} = 0$ હોવું જોઈએ.
$\frac{d}{dx} \left( \lambda_0 (\frac{l^3}{6} - \frac{2xl^2}{5} + \frac{x^2l}{4}) \right) = \lambda_0 (0 - \frac{2l^2}{5} + \frac{2xl}{4}) = 0$.
$\frac{xl}{2} = \frac{2l^2}{5} \Rightarrow x = \frac{4l}{5}$.
ઘટકનું દળ $dm = \lambda dr = \lambda_0 \frac{r^3}{l^3} dr$ છે.
અક્ષ $AB$ ની આસપાસ જડત્વની માત્રા $I_{AB} = \int_0^l (r-x)^2 dm = \int_0^l (r-x)^2 \frac{\lambda_0}{l^3} r^3 dr$ છે.
$I_{AB} = \frac{\lambda_0}{l^3} \int_0^l (r^2 - 2rx + x^2) r^3 dr = \frac{\lambda_0}{l^3} \int_0^l (r^5 - 2xr^4 + x^2r^3) dr$.
$I_{AB} = \frac{\lambda_0}{l^3} \left[ \frac{r^6}{6} - \frac{2xr^5}{5} + \frac{x^2r^4}{4} \right]_0^l = \frac{\lambda_0}{l^3} \left( \frac{l^6}{6} - \frac{2xl^5}{5} + \frac{x^2l^4}{4} \right) = \lambda_0 \left( \frac{l^3}{6} - \frac{2xl^2}{5} + \frac{x^2l}{4} \right)$.
$I_{AB}$ ન્યૂનતમ થાય તે માટે,$\frac{dI_{AB}}{dx} = 0$ હોવું જોઈએ.
$\frac{d}{dx} \left( \lambda_0 (\frac{l^3}{6} - \frac{2xl^2}{5} + \frac{x^2l}{4}) \right) = \lambda_0 (0 - \frac{2l^2}{5} + \frac{2xl}{4}) = 0$.
$\frac{xl}{2} = \frac{2l^2}{5} \Rightarrow x = \frac{4l}{5}$.
0 likes
View Solution168
DifficultMCQ
એક ગોલીય કવચનું દળ એક નક્કર ગોળાના દળ કરતાં ચોથા ભાગનું છે અને બંનેની તેમના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(M.I.)$ સમાન છે. તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર કેટલો હશે?
A
$1 : 2$
B
$\sqrt{12} : \sqrt{5}$
C
$\sqrt{3} : \sqrt{20}$
D
$\sqrt{5} : \sqrt{20}$
Solution
(B) ધારો કે નક્કર ગોળાનું દળ $M$ અને તેની ત્રિજ્યા $R_S$ છે.
ધારો કે ગોલીય કવચનું દળ $M_H = \frac{M}{4}$ અને તેની ત્રિજ્યા $R_H$ છે.
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{SS} = \frac{2}{5} M R_S^2$ છે.
ગોલીય કવચની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{HS} = \frac{2}{3} M_H R_H^2 = \frac{2}{3} (\frac{M}{4}) R_H^2 = \frac{1}{6} M R_H^2$ છે.
આપેલ છે કે $I_{HS} = I_{SS}$,તેથી:
$\frac{1}{6} M R_H^2 = \frac{2}{5} M R_S^2$
$\frac{R_H^2}{R_S^2} = \frac{2}{5} \times 6 = \frac{12}{5}$
$\frac{R_H}{R_S} = \sqrt{\frac{12}{5}} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$
આમ,તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $R_H : R_S$ એ $\sqrt{12} : \sqrt{5}$ છે.
ધારો કે ગોલીય કવચનું દળ $M_H = \frac{M}{4}$ અને તેની ત્રિજ્યા $R_H$ છે.
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{SS} = \frac{2}{5} M R_S^2$ છે.
ગોલીય કવચની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{HS} = \frac{2}{3} M_H R_H^2 = \frac{2}{3} (\frac{M}{4}) R_H^2 = \frac{1}{6} M R_H^2$ છે.
આપેલ છે કે $I_{HS} = I_{SS}$,તેથી:
$\frac{1}{6} M R_H^2 = \frac{2}{5} M R_S^2$
$\frac{R_H^2}{R_S^2} = \frac{2}{5} \times 6 = \frac{12}{5}$
$\frac{R_H}{R_S} = \sqrt{\frac{12}{5}} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$
આમ,તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $R_H : R_S$ એ $\sqrt{12} : \sqrt{5}$ છે.
0 likes
View Solution169
MediumMCQ
$100 \, g$ દળ ધરાવતી એક સમાન વલયાકાર તકતી (annular disc) કે જેની આંતરિક ત્રિજ્યા $10 \, cm$ અને બાહ્ય ત્રિજ્યા $20 \, cm$ છે,તેની કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધો.
A
$2.5 \times 10^{-3} \, kg \cdot m^2$
B
$1.5 \times 10^{-3} \, kg \cdot m^2$
C
$5 \times 10^{-3} \, kg \cdot m^2$
D
$6 \times 10^{-3} \, kg \cdot m^2$
Solution
(A) વલયાકાર તકતી માટે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = M \left[ \frac{R_1^2 + R_2^2}{2} \right]$
આપેલ છે:
દળ $M = 100 \, g = 0.1 \, kg$
આંતરિક ત્રિજ્યા $R_1 = 10 \, cm = 0.1 \, m$
બાહ્ય ત્રિજ્યા $R_2 = 20 \, cm = 0.2 \, m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = 0.1 \left[ \frac{(0.1)^2 + (0.2)^2}{2} \right]$
$I = 0.1 \left[ \frac{0.01 + 0.04}{2} \right]$
$I = 0.1 \left[ \frac{0.05}{2} \right]$
$I = 0.1 \times 0.025 = 0.0025 \, kg \cdot m^2$
$I = 2.5 \times 10^{-3} \, kg \cdot m^2$
$I = M \left[ \frac{R_1^2 + R_2^2}{2} \right]$
આપેલ છે:
દળ $M = 100 \, g = 0.1 \, kg$
આંતરિક ત્રિજ્યા $R_1 = 10 \, cm = 0.1 \, m$
બાહ્ય ત્રિજ્યા $R_2 = 20 \, cm = 0.2 \, m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = 0.1 \left[ \frac{(0.1)^2 + (0.2)^2}{2} \right]$
$I = 0.1 \left[ \frac{0.01 + 0.04}{2} \right]$
$I = 0.1 \left[ \frac{0.05}{2} \right]$
$I = 0.1 \times 0.025 = 0.0025 \, kg \cdot m^2$
$I = 2.5 \times 10^{-3} \, kg \cdot m^2$
0 likes
View Solution170
DifficultMCQ
$2l$ લંબાઈ અને $m$ દળ ધરાવતા એક સમાન સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને $\alpha$ ખૂણે નમેલી અક્ષ $xx'$ વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થાય?
A
$\frac{m l^2}{3} \sin^2 \alpha$
B
$\frac{m l^2}{12} \sin^2 \alpha$
C
$\frac{m l^2}{6} \cos^2 \alpha$
D
$\frac{m l^2}{2} \cos^2 \alpha$
Solution
(A) ધારો કે સળિયો $x$-અક્ષ પર છે અને તેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે. સળિયાની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = \frac{m}{2l}$ છે.
કેન્દ્રથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો. આ ઘટકનું દળ $dm = \lambda dx = \frac{m}{2l} dx$ છે.
આ ઘટકનું અક્ષ $xx'$ થી લંબ અંતર $r = x \sin \alpha$ છે.
આ ઘટકની અક્ષ $xx'$ વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા $dI = (dm) r^2 = \left(\frac{m}{2l} dx\right) (x \sin \alpha)^2$ છે.
આનું $x = -l$ થી $x = +l$ સુધી સંકલન કરતા:
$I = \int_{-l}^{l} \frac{m}{2l} x^2 \sin^2 \alpha dx = \frac{m \sin^2 \alpha}{2l} \int_{-l}^{l} x^2 dx$.
$I = \frac{m \sin^2 \alpha}{2l} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-l}^{l} = \frac{m \sin^2 \alpha}{2l} \left( \frac{l^3}{3} - \frac{(-l)^3}{3} \right) = \frac{m \sin^2 \alpha}{2l} \left( \frac{2l^3}{3} \right) = \frac{1}{3} m l^2 \sin^2 \alpha$.
કેન્દ્રથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો. આ ઘટકનું દળ $dm = \lambda dx = \frac{m}{2l} dx$ છે.
આ ઘટકનું અક્ષ $xx'$ થી લંબ અંતર $r = x \sin \alpha$ છે.
આ ઘટકની અક્ષ $xx'$ વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા $dI = (dm) r^2 = \left(\frac{m}{2l} dx\right) (x \sin \alpha)^2$ છે.
આનું $x = -l$ થી $x = +l$ સુધી સંકલન કરતા:
$I = \int_{-l}^{l} \frac{m}{2l} x^2 \sin^2 \alpha dx = \frac{m \sin^2 \alpha}{2l} \int_{-l}^{l} x^2 dx$.
$I = \frac{m \sin^2 \alpha}{2l} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-l}^{l} = \frac{m \sin^2 \alpha}{2l} \left( \frac{l^3}{3} - \frac{(-l)^3}{3} \right) = \frac{m \sin^2 \alpha}{2l} \left( \frac{2l^3}{3} \right) = \frac{1}{3} m l^2 \sin^2 \alpha$.
0 likes
View Solution171
MediumMCQ
$l$ લંબાઈના એક સમાન સળિયાની તેની એક છેડામાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા કેટલી થાય?
A
$l/\sqrt{2}$
B
$l/3$
C
$l/\sqrt{3}$
D
$l/2$
Solution
(C) $M$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા સમાન સળિયાની તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{1}{3} M l^2$
ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k$ ને $I = M k^2$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$I$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$M k^2 = \frac{1}{3} M l^2$
બંને બાજુ $M$ વડે ભાગતા:
$k^2 = \frac{l^2}{3}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$k = \frac{l}{\sqrt{3}}$
$I = \frac{1}{3} M l^2$
ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k$ ને $I = M k^2$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$I$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$M k^2 = \frac{1}{3} M l^2$
બંને બાજુ $M$ વડે ભાગતા:
$k^2 = \frac{l^2}{3}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$k = \frac{l}{\sqrt{3}}$
0 likes
View Solution172
MediumMCQ
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર તારની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થાય?
A
$M R^{2}$
B
$M R^{2} / 2$
C
$2 M R^{2}$
D
$M R^{2} / 4$
Solution
(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર રિંગ (અથવા તાર) માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{z} = M R^{2}$ છે.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_{z} = I_{x} + I_{y}$,જ્યાં $I_{x}$ અને $I_{y}$ એ પરસ્પર લંબ બે વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
રિંગ સંમિત હોવાથી,$I_{x} = I_{y} = I_{diameter}$ થાય.
તેથી,$I_{z} = 2 I_{diameter}$.
$I_{z}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $M R^{2} = 2 I_{diameter}$ મળે છે.
આમ,$I_{diameter} = M R^{2} / 2$.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_{z} = I_{x} + I_{y}$,જ્યાં $I_{x}$ અને $I_{y}$ એ પરસ્પર લંબ બે વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
રિંગ સંમિત હોવાથી,$I_{x} = I_{y} = I_{diameter}$ થાય.
તેથી,$I_{z} = 2 I_{diameter}$.
$I_{z}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $M R^{2} = 2 I_{diameter}$ મળે છે.
આમ,$I_{diameter} = M R^{2} / 2$.
0 likes
View Solution173
MediumMCQ
એક વર્તુળાકાર રીંગ અને એક વર્તુળાકાર તકતી (ડિસ્ક),બંને સમાન દળ અને ત્રિજ્યા ધરાવે છે. તેમના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેમના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને તેમની જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર કેટલો થશે?
A
$1 : 1$
B
$2 : 1$
C
$1 : 2$
D
$4 : 1$
Solution
(B) વર્તુળાકાર રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{Ring} = MR^2$ છે.
વર્તુળાકાર તકતી (ડિસ્ક) ની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{Disc} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
આપેલ છે કે બંનેનું દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ સમાન છે,તેથી તેમની જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_{Ring}}{I_{Disc}} = \frac{MR^2}{\frac{1}{2}MR^2} = \frac{1}{1/2} = \frac{2}{1}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.
વર્તુળાકાર તકતી (ડિસ્ક) ની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{Disc} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
આપેલ છે કે બંનેનું દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ સમાન છે,તેથી તેમની જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_{Ring}}{I_{Disc}} = \frac{MR^2}{\frac{1}{2}MR^2} = \frac{1}{1/2} = \frac{2}{1}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.
0 likes
View Solution174
DifficultMCQ
$l$ લંબાઈ અને $m$ દળ ધરાવતા તારને $ABCD$ લંબચોરસના સ્વરૂપમાં વાળવામાં આવે છે,જેમાં $(AB/BC) = 2$ છે. $BC$ બાજુને અનુલક્ષીને આ તારની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થાય?
A
$\frac{11}{252} ml^2$
B
$\frac{8}{203} ml^2$
C
$\frac{5}{136} ml^2$
D
$\frac{7}{162} ml^2$
Solution
(D) લંબચોરસની પરિમિતિ $l = 2(AB + BC)$ છે.
આપેલ છે કે $AB/BC = 2$,તેથી $AB = 2BC$.
આ કિંમત મૂકતા,$l = 2(2BC + BC) = 6BC$,જે દર્શાવે છે કે $BC = AD = l/6$ અને $AB = DC = l/3$.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = m/l$ છે.
$AB$ અને $DC$ બાજુઓનું દળ $m_{AB} = m_{DC} = \lambda(l/3) = m/3$ છે.
$BC$ અને $AD$ બાજુઓનું દળ $m_{BC} = m_{AD} = \lambda(l/6) = m/6$ છે.
$BC$ બાજુને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{BC} = I_{BC(BC)} + I_{BC(AB)} + I_{BC(DC)} + I_{BC(AD)}$.
$I_{BC(BC)} = 0$ (કારણ કે તે અક્ષ પર છે).
$I_{BC(AB)} = m_{AB} \cdot (AB)^2 = (m/3) \cdot (l/3)^2 = ml^2/27$.
$I_{BC(DC)} = m_{DC} \cdot (DC)^2 = (m/3) \cdot (l/3)^2 = ml^2/27$.
$I_{BC(AD)} = m_{AD} \cdot (BC)^2 = (m/6) \cdot (l/6)^2 = ml^2/216$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 7/162 ml^2$ થાય છે.
આપેલ છે કે $AB/BC = 2$,તેથી $AB = 2BC$.
આ કિંમત મૂકતા,$l = 2(2BC + BC) = 6BC$,જે દર્શાવે છે કે $BC = AD = l/6$ અને $AB = DC = l/3$.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = m/l$ છે.
$AB$ અને $DC$ બાજુઓનું દળ $m_{AB} = m_{DC} = \lambda(l/3) = m/3$ છે.
$BC$ અને $AD$ બાજુઓનું દળ $m_{BC} = m_{AD} = \lambda(l/6) = m/6$ છે.
$BC$ બાજુને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{BC} = I_{BC(BC)} + I_{BC(AB)} + I_{BC(DC)} + I_{BC(AD)}$.
$I_{BC(BC)} = 0$ (કારણ કે તે અક્ષ પર છે).
$I_{BC(AB)} = m_{AB} \cdot (AB)^2 = (m/3) \cdot (l/3)^2 = ml^2/27$.
$I_{BC(DC)} = m_{DC} \cdot (DC)^2 = (m/3) \cdot (l/3)^2 = ml^2/27$.
$I_{BC(AD)} = m_{AD} \cdot (BC)^2 = (m/6) \cdot (l/6)^2 = ml^2/216$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 7/162 ml^2$ થાય છે.
0 likes
View Solution175
MediumMCQ
$1\, kg$ દળ અને $R = 10\, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ચાર પોલા ગોળાઓને $L = 50\, cm$ બાજુવાળા ચોરસ બનાવવા માટે દળરહિત સળિયા વડે જોડવામાં આવ્યા છે. કિસ્સા-$1$ માં,દળ ચોરસની બે બાજુઓને દુભાગતી અક્ષ પર ફરે છે. કિસ્સા-$2$ માં,દળ ચોરસના વિકર્ણમાંથી પસાર થતી અક્ષ પર ફરે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. બંને કિસ્સાઓ માટે જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $I_1/I_2$ શોધો.
A
$I_1/I_2 = 8$
B
$I_1/I_2 = 4$
C
$I_1/I_2 = 2$
D
$I_1/I_2 = 1$
Solution
(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પોલા ગોળા માટે,તેના કેન્દ્રની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{3} MR^2$ છે. જોકે,પ્રશ્નમાં આપેલી ગણતરી $\frac{2}{5} MR^2$ (જે નક્કર ગોળા માટે છે) નો ઉપયોગ કરે છે,તેથી આપણે તે મુજબ ગણતરી કરીશું.
કિસ્સા-$1$: અક્ષ બે બાજુઓને દુભાગે છે. દરેક ગોળાનું અક્ષથી અંતર $L/2$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_1 = 4 \times (I_{cm} + M(L/2)^2) = 4 \times (\frac{2}{5} MR^2 + \frac{ML^2}{4}) = \frac{8}{5} MR^2 + ML^2$.
કિસ્સા-$2$: અક્ષ વિકર્ણમાંથી પસાર થાય છે. બે ગોળાઓ અક્ષ પર છે,તેથી તેમનું અંતર $0$ છે. અન્ય બે ગોળાઓ વિકર્ણથી $d = \frac{L}{\sqrt{2}}$ અંતરે છે. આમ,$I_2 = 2 \times I_{cm} + 2 \times (I_{cm} + M(\frac{L}{\sqrt{2}})^2) = 4 \times I_{cm} + 2 \times M \times \frac{L^2}{2} = 4 \times \frac{2}{5} MR^2 + ML^2 = \frac{8}{5} MR^2 + ML^2$.
$I_1$ અને $I_2$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $I_1 = I_2$ મળે છે. તેથી,ગુણોત્તર $I_1/I_2 = 1$ થાય છે.
કિસ્સા-$1$: અક્ષ બે બાજુઓને દુભાગે છે. દરેક ગોળાનું અક્ષથી અંતર $L/2$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_1 = 4 \times (I_{cm} + M(L/2)^2) = 4 \times (\frac{2}{5} MR^2 + \frac{ML^2}{4}) = \frac{8}{5} MR^2 + ML^2$.
કિસ્સા-$2$: અક્ષ વિકર્ણમાંથી પસાર થાય છે. બે ગોળાઓ અક્ષ પર છે,તેથી તેમનું અંતર $0$ છે. અન્ય બે ગોળાઓ વિકર્ણથી $d = \frac{L}{\sqrt{2}}$ અંતરે છે. આમ,$I_2 = 2 \times I_{cm} + 2 \times (I_{cm} + M(\frac{L}{\sqrt{2}})^2) = 4 \times I_{cm} + 2 \times M \times \frac{L^2}{2} = 4 \times \frac{2}{5} MR^2 + ML^2 = \frac{8}{5} MR^2 + ML^2$.
$I_1$ અને $I_2$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $I_1 = I_2$ મળે છે. તેથી,ગુણોત્તર $I_1/I_2 = 1$ થાય છે.
0 likes
View Solution176
DifficultMCQ
બે વર્તુળાકાર રીંગના દળ અને ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર અનુક્રમે $1 : 2$ અને $2 : 1$ છે,તો તેમની જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર કેટલો થશે?
A
$1 : 4$
B
$2 : 1$
C
$4 : 1$
D
$1 : 2$
Solution
(B) વર્તુળાકાર રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનું સૂત્ર $I = MR^2$ છે,જ્યાં $M$ એ દળ અને $R$ એ રીંગની ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે દળ $M_1$ અને $M_2$ છે,અને ત્રિજ્યા $R_1$ અને $R_2$ છે.
આપેલ છે: $\frac{M_1}{M_2} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{1}$.
જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{M_1 R_1^2}{M_2 R_2^2}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{M_1}{M_2} \right) \times \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^2$.
$\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{1}{2} \right) \times \left( \frac{2}{1} \right)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.
ધારો કે દળ $M_1$ અને $M_2$ છે,અને ત્રિજ્યા $R_1$ અને $R_2$ છે.
આપેલ છે: $\frac{M_1}{M_2} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{1}$.
જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{M_1 R_1^2}{M_2 R_2^2}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{M_1}{M_2} \right) \times \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^2$.
$\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{1}{2} \right) \times \left( \frac{2}{1} \right)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.
0 likes
View Solution177
DifficultMCQ
આપણી પાસે બે ગોળાઓ છે,જેમાંથી એક પોલો ગોળો (shell) છે અને બીજો નક્કર છે. તેમના દળ સમાન છે અને તેમના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા (moment of inertia) પણ સમાન છે. તેમની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?
A
$5 : 7$
B
$3 : 5$
C
$\sqrt{5} : \sqrt{3}$
D
$\sqrt{3} : \sqrt{7}$
Solution
(C) ધારો કે બંને ગોળાઓનું દળ $m$ છે. ધારો કે નક્કર ગોળાની ત્રિજ્યા $r_1$ છે અને પોલા ગોળાની ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{2}{5} m r_1^2$ છે.
પોલા ગોળા (shell) ની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{2}{3} m r_2^2$ છે.
આપેલ છે કે જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન છે,તેથી $I_1 = I_2$.
તેથી,$\frac{2}{5} m r_1^2 = \frac{2}{3} m r_2^2$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{r_1^2}{5} = \frac{r_2^2}{3}$ મળે છે.
ત્રિજ્યાના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા,$\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{5}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{5}{3}} = \sqrt{5} : \sqrt{3}$.
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{2}{5} m r_1^2$ છે.
પોલા ગોળા (shell) ની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{2}{3} m r_2^2$ છે.
આપેલ છે કે જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન છે,તેથી $I_1 = I_2$.
તેથી,$\frac{2}{5} m r_1^2 = \frac{2}{3} m r_2^2$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{r_1^2}{5} = \frac{r_2^2}{3}$ મળે છે.
ત્રિજ્યાના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા,$\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{5}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{5}{3}} = \sqrt{5} : \sqrt{3}$.
0 likes
View Solution178
DifficultMCQ
$2a$ વ્યાસ અને $M$ દળ ધરાવતા ચાર ગોળાઓને $b$ બાજુવાળા ચોરસના ચાર ખૂણાઓ પર તેમના કેન્દ્રો રહે તે રીતે મૂકવામાં આવ્યા છે. ચોરસની એક બાજુ પરની અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની આઘૂર્ણ કેટલી થશે?
A
$\frac{4}{5}Ma^2 + 2Mb^2$
B
$\frac{8}{5}Ma^2 + 2Mb^2$
C
$\frac{8}{5}Ma^2$
D
$\frac{4}{5}Ma^2 + 4Mb^2$
Solution
(B) ધારો કે પરિભ્રમણની અક્ષ ગોળાઓ $A$ અને $B$ ના કેન્દ્રોને જોડતી બાજુ પર છે.
$1$. ગોળાઓ $A$ અને $B$ માટે,પરિભ્રમણની અક્ષ તેમના કેન્દ્રોમાંથી પસાર થાય છે. નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{cm} = \frac{2}{5}Ma^2$ છે. તેથી,$I_A = I_B = \frac{2}{5}Ma^2$.
$2$. ગોળાઓ $C$ અને $D$ માટે,પરિભ્રમણની અક્ષ તેમના કેન્દ્રોથી $b$ લંબ અંતરે છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $d = b$. તેથી,$I_C = I_D = \frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2$.
$3$. તંત્રની કુલ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{total} = I_A + I_B + I_C + I_D$ છે.
$I_{total} = \frac{2}{5}Ma^2 + \frac{2}{5}Ma^2 + (\frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2) + (\frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2) = \frac{8}{5}Ma^2 + 2Mb^2$.
$1$. ગોળાઓ $A$ અને $B$ માટે,પરિભ્રમણની અક્ષ તેમના કેન્દ્રોમાંથી પસાર થાય છે. નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{cm} = \frac{2}{5}Ma^2$ છે. તેથી,$I_A = I_B = \frac{2}{5}Ma^2$.
$2$. ગોળાઓ $C$ અને $D$ માટે,પરિભ્રમણની અક્ષ તેમના કેન્દ્રોથી $b$ લંબ અંતરે છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $d = b$. તેથી,$I_C = I_D = \frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2$.
$3$. તંત્રની કુલ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{total} = I_A + I_B + I_C + I_D$ છે.
$I_{total} = \frac{2}{5}Ma^2 + \frac{2}{5}Ma^2 + (\frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2) + (\frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2) = \frac{8}{5}Ma^2 + 2Mb^2$.
0 likes
View Solution179
MediumMCQ
$ABC$ સમાન જાડાઈની ત્રિકોણાકાર પ્લેટ છે. બાજુઓ આકૃતિમાં દર્શાવેલ ગુણોત્તરમાં છે. $I_{AB}, I_{BC}, I_{CA}$ એ અનુક્રમે $AB, BC$ અને $CA$ અક્ષોને અનુલક્ષીને પ્લેટની જડત્વની ચાકમાત્રા (moment of inertia) છે. નીચેનામાંથી કયો સંબંધ સાચો છે?
A
$I_{CA}$ મહત્તમ છે
B
$I_{AB} > I_{BC}$
C
$I_{BC} > I_{AB}$
D
$I_{AB} + I_{BC} = I_{CA}$
Solution
(C) પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ તેના દળના પરિભ્રમણ અક્ષની સાપેક્ષ વિતરણ પર આધાર રાખે છે. દળ અક્ષથી જેટલું દૂર હોય,તેટલી જડત્વની ચાકમાત્રા વધારે હોય છે.
$M$ દળ અને પાયા $b$ ની સાપેક્ષ $h$ ઊંચાઈ ધરાવતી ત્રિકોણાકાર પ્લેટ માટે,પાયાને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{Mh^2}{6}$ છે.
ધારો કે બાજુઓ $AB = 4k$,$BC = 3k$,અને $AC = 5k$ છે. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times 4k \times 3k = 6k^2$ છે.
$1$. $AB$ અક્ષ માટે (પાયો $4k$,ઊંચાઈ $3k$): $I_{AB} = \frac{M(3k)^2}{6} = 1.5 Mk^2$.
$2$. $BC$ અક્ષ માટે (પાયો $3k$,ઊંચાઈ $4k$): $I_{BC} = \frac{M(4k)^2}{6} = 2.67 Mk^2$.
$3$. $AC$ અક્ષ માટે (પાયો $5k$,ઊંચાઈ $h'$): ઊંચાઈ $h'$ શોધવા માટે $A = \frac{1}{2} \times 5k \times h' = 6k^2$,તેથી $h' = 2.4k$. આમ,$I_{AC} = \frac{M(2.4k)^2}{6} = 0.96 Mk^2$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $I_{BC} (2.67 Mk^2) > I_{AB} (1.5 Mk^2) > I_{AC} (0.96 Mk^2)$.
તેથી,$I_{BC} > I_{AB}$ એ સાચો સંબંધ છે.
$M$ દળ અને પાયા $b$ ની સાપેક્ષ $h$ ઊંચાઈ ધરાવતી ત્રિકોણાકાર પ્લેટ માટે,પાયાને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{Mh^2}{6}$ છે.
ધારો કે બાજુઓ $AB = 4k$,$BC = 3k$,અને $AC = 5k$ છે. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times 4k \times 3k = 6k^2$ છે.
$1$. $AB$ અક્ષ માટે (પાયો $4k$,ઊંચાઈ $3k$): $I_{AB} = \frac{M(3k)^2}{6} = 1.5 Mk^2$.
$2$. $BC$ અક્ષ માટે (પાયો $3k$,ઊંચાઈ $4k$): $I_{BC} = \frac{M(4k)^2}{6} = 2.67 Mk^2$.
$3$. $AC$ અક્ષ માટે (પાયો $5k$,ઊંચાઈ $h'$): ઊંચાઈ $h'$ શોધવા માટે $A = \frac{1}{2} \times 5k \times h' = 6k^2$,તેથી $h' = 2.4k$. આમ,$I_{AC} = \frac{M(2.4k)^2}{6} = 0.96 Mk^2$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $I_{BC} (2.67 Mk^2) > I_{AB} (1.5 Mk^2) > I_{AC} (0.96 Mk^2)$.
તેથી,$I_{BC} > I_{AB}$ એ સાચો સંબંધ છે.
1 likes
View Solution180
DifficultMCQ
$L$ લંબાઈ અને $M$ દળ ધરાવતા એક સમાન પાતળા સળિયાની,તેના એક છેડાથી $\frac{L}{3}$ અંતરે આવેલા અને સળિયાને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થાય?
A
$\frac{7ML^2}{48}$
B
$\frac{ML^2}{9}$
C
$\frac{ML^2}{12}$
D
$\frac{ML^2}{3}$
Solution
(B) $L$ લંબાઈ અને $M$ દળ ધરાવતા સમાન પાતળા સળિયાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સળિયાને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{ML^2}{12}$ છે.
આપણે એક છેડાથી $d = \frac{L}{3}$ અંતરે આવેલી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવાની છે.
આ અક્ષનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી અંતર $a = \frac{L}{2} - \frac{L}{3} = \frac{L}{6}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + Ma^2$.
કિંમતો મૂકતા,$I = \frac{ML^2}{12} + M\left(\frac{L}{6}\right)^2$.
$I = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{36} = \frac{3ML^2 + ML^2}{36} = \frac{4ML^2}{36} = \frac{ML^2}{9}$.
આપણે એક છેડાથી $d = \frac{L}{3}$ અંતરે આવેલી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવાની છે.
આ અક્ષનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી અંતર $a = \frac{L}{2} - \frac{L}{3} = \frac{L}{6}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + Ma^2$.
કિંમતો મૂકતા,$I = \frac{ML^2}{12} + M\left(\frac{L}{6}\right)^2$.
$I = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{36} = \frac{3ML^2 + ML^2}{36} = \frac{4ML^2}{36} = \frac{ML^2}{9}$.
0 likes
View Solution181
DifficultMCQ
$1\,kg$ દળ અને $0.2\,m$ વ્યાસ ધરાવતી પાતળી વર્તુળાકાર તકતીની તેના કોઈ એક વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થાય?
A
$5 \times 10^{-3}\,kg\cdot m^2$
B
$2.5 \times 10^{-3}\,kg\cdot m^2$
C
$4 \times 10^{-2}\,kg\cdot m^2$
D
$0.2\,kg\cdot m^2$
Solution
(B) આપેલ છે:
દળ $M = 1\,kg$
વ્યાસ $D = 0.2\,m$,તેથી ત્રિજ્યા $R = \frac{D}{2} = 0.1\,m$
વર્તુળાકાર તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{MR^2}{4}$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1 \times (0.1)^2}{4}$
$I = \frac{1 \times 0.01}{4}$
$I = \frac{0.01}{4} = 0.0025\,kg\cdot m^2$
$I = 2.5 \times 10^{-3}\,kg\cdot m^2$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
દળ $M = 1\,kg$
વ્યાસ $D = 0.2\,m$,તેથી ત્રિજ્યા $R = \frac{D}{2} = 0.1\,m$
વર્તુળાકાર તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{MR^2}{4}$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1 \times (0.1)^2}{4}$
$I = \frac{1 \times 0.01}{4}$
$I = \frac{0.01}{4} = 0.0025\,kg\cdot m^2$
$I = 2.5 \times 10^{-3}\,kg\cdot m^2$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
0 likes
View Solution182
MediumMCQ
$L$ લંબાઈના એક સમાન પાતળા સળિયાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સળિયાને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા કેટલી થાય?
A
$\frac{L}{\sqrt{12}}$
B
$\frac{L}{12}$
C
$\sqrt{12} \, L$
D
$12 \, L$
Solution
(A) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા એક સમાન પાતળા સળિયાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર $I = \frac{ML^2}{12}$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $(K)$ અને જડત્વની ચાકમાત્રા વચ્ચેનો સંબંધ $I = MK^2$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $MK^2 = \frac{ML^2}{12}$.
બંને બાજુથી $M$ દૂર કરતા,આપણને $K^2 = \frac{L^2}{12}$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$K = \frac{L}{\sqrt{12}}$ મળે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $(K)$ અને જડત્વની ચાકમાત્રા વચ્ચેનો સંબંધ $I = MK^2$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $MK^2 = \frac{ML^2}{12}$.
બંને બાજુથી $M$ દૂર કરતા,આપણને $K^2 = \frac{L^2}{12}$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$K = \frac{L}{\sqrt{12}}$ મળે છે.
0 likes
View Solution183
MediumMCQ
પદાર્થની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા (Radius of gyration) શેના પર આધાર રાખે છે?
A
પદાર્થનું દળ અને કદ
B
દળનું વિતરણ અને પરિભ્રમણની ધરી
C
પદાર્થનું કદ
D
પદાર્થનું દળ
Solution
(B) ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ ને $I = Mk^2$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ પદાર્થનું કુલ દળ છે.
આના પરથી,$k = \sqrt{I/M}$ મળે છે.
કોઈ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ પરિભ્રમણની ધરીની સાપેક્ષે દળના વિતરણ અને પરિભ્રમણની ધરીના સ્થાન પર આધાર રાખે છે.
આપેલ પદાર્થ માટે $M$ અચળ હોવાથી,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ એ દળના વિતરણ અને પરિભ્રમણની ધરી પર આધાર રાખે છે.
આના પરથી,$k = \sqrt{I/M}$ મળે છે.
કોઈ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ પરિભ્રમણની ધરીની સાપેક્ષે દળના વિતરણ અને પરિભ્રમણની ધરીના સ્થાન પર આધાર રાખે છે.
આપેલ પદાર્થ માટે $M$ અચળ હોવાથી,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ એ દળના વિતરણ અને પરિભ્રમણની ધરી પર આધાર રાખે છે.
0 likes
View Solution184
DifficultMCQ
જો એક નક્કર ગોળાની ત્રિજ્યા $35\,cm$ હોય,તો જ્યારે અક્ષ સ્પર્શક પર હોય ત્યારે ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા (radius of gyration) ગણો.
A
$7\sqrt{10}\,cm$
B
$7\sqrt{35}\,cm$
C
$\frac{7}{5}\,cm$
D
$\frac{2}{5}\,cm$
Solution
(B) નક્કર ગોળાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{tan} = I_{cm} + MR^2$ છે.
$I_{cm}$ ની કિંમત મૂકતા,$I_{tan} = \frac{2}{5}MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5}MR^2$ મળે છે.
ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k$ એ $I = Mk^2$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,$Mk^2 = \frac{7}{5}MR^2$.
$k = \sqrt{\frac{7}{5}}R$.
અહીં $R = 35\,cm$ આપેલ છે,તેથી $k = \sqrt{\frac{7}{5}} \times 35 = \sqrt{\frac{7}{5} \times 1225} = \sqrt{7 \times 245} = \sqrt{1715} = 7\sqrt{35}\,cm$.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{tan} = I_{cm} + MR^2$ છે.
$I_{cm}$ ની કિંમત મૂકતા,$I_{tan} = \frac{2}{5}MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5}MR^2$ મળે છે.
ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k$ એ $I = Mk^2$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,$Mk^2 = \frac{7}{5}MR^2$.
$k = \sqrt{\frac{7}{5}}R$.
અહીં $R = 35\,cm$ આપેલ છે,તેથી $k = \sqrt{\frac{7}{5}} \times 35 = \sqrt{\frac{7}{5} \times 1225} = \sqrt{7 \times 245} = \sqrt{1715} = 7\sqrt{35}\,cm$.
0 likes
View Solution185
MediumMCQ
$L$ લંબાઈ અને $M$ દળ ધરાવતા ત્રણ પાતળા સળિયાઓને $x, y$ અને $z-$ અક્ષ પર એવી રીતે મૂકવામાં આવ્યા છે કે દરેક સળિયાનો એક છેડો ઉગમબિંદુ પર હોય. $z-$ અક્ષને અનુલક્ષીને આ તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થશે?
A
$\frac{2ML^2}{3}$
B
$\frac{4ML^2}{3}$
C
$\frac{5ML^2}{3}$
D
$\frac{ML^2}{3}$
Solution
(A) ધારો કે ત્રણ સળિયાઓ $R_1, R_2$ અને $R_3$ અનુક્રમે $x, y$ અને $z-$ અક્ષ પર છે.
$1$. સળિયા $R_1$ માટે ($x-$ અક્ષ પર): $z-$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા એ $y-$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા જેટલી જ હોય છે,જે $I_1 = \frac{ML^2}{3}$ છે.
$2$. સળિયા $R_2$ માટે ($y-$ અક્ષ પર): $z-$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા એ $x-$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા જેટલી જ હોય છે,જે $I_2 = \frac{ML^2}{3}$ છે.
$3$. સળિયા $R_3$ માટે ($z-$ અક્ષ પર): સળિયો પરિભ્રમણની અક્ષ ($z-$ અક્ષ) પર જ આવેલો હોવાથી,સળિયાનો દરેક બિંદુ અક્ષથી $r = 0$ અંતરે છે. તેથી,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_3 = 0$ થાય.
$4$. $z-$ અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{ML^2}{3} + \frac{ML^2}{3} + 0 = \frac{2ML^2}{3}$ થાય.
$1$. સળિયા $R_1$ માટે ($x-$ અક્ષ પર): $z-$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા એ $y-$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા જેટલી જ હોય છે,જે $I_1 = \frac{ML^2}{3}$ છે.
$2$. સળિયા $R_2$ માટે ($y-$ અક્ષ પર): $z-$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા એ $x-$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા જેટલી જ હોય છે,જે $I_2 = \frac{ML^2}{3}$ છે.
$3$. સળિયા $R_3$ માટે ($z-$ અક્ષ પર): સળિયો પરિભ્રમણની અક્ષ ($z-$ અક્ષ) પર જ આવેલો હોવાથી,સળિયાનો દરેક બિંદુ અક્ષથી $r = 0$ અંતરે છે. તેથી,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_3 = 0$ થાય.
$4$. $z-$ અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{ML^2}{3} + \frac{ML^2}{3} + 0 = \frac{2ML^2}{3}$ થાય.
0 likes
View Solution186
DifficultMCQ
$30\, cm$ લંબાઈ ધરાવતા એક પોલા નળાકાર (આંતરિક ત્રિજ્યા $r = 10\, cm$ અને બાહ્ય ત્રિજ્યા $R = 20\, cm$) ની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે. સમાન દળ ધરાવતા એક પાતળા નળાકારની ત્રિજ્યા શોધો કે જેથી તેની અક્ષને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રા પણ $I$ થાય. તે ......... $cm$ છે.
A
$12$
B
$16$
C
$14$
D
$18$
Solution
(B) પોલા નળાકારની તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{1}{2} M (R^2 + r^2)$
જ્યાં $M$ એ દળ છે,$R$ એ બાહ્ય ત્રિજ્યા છે અને $r$ એ આંતરિક ત્રિજ્યા છે.
અહીં $r = 10\, cm$ અને $R = 20\, cm$ આપેલ છે,તેથી:
$I = \frac{1}{2} M (20^2 + 10^2) = \frac{1}{2} M (400 + 100) = \frac{1}{2} M (500) = 250 M$
સમાન દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $r_0$ ધરાવતા પાતળા નળાકાર (રિંગ) માટે,તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I = M r_0^2$
$I$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$M r_0^2 = 250 M$
$r_0^2 = 250$
$r_0 = \sqrt{250} \approx 15.81\, cm \approx 16\, cm$
આમ,પાતળા નળાકારની ત્રિજ્યા આશરે $16\, cm$ છે.
$I = \frac{1}{2} M (R^2 + r^2)$
જ્યાં $M$ એ દળ છે,$R$ એ બાહ્ય ત્રિજ્યા છે અને $r$ એ આંતરિક ત્રિજ્યા છે.
અહીં $r = 10\, cm$ અને $R = 20\, cm$ આપેલ છે,તેથી:
$I = \frac{1}{2} M (20^2 + 10^2) = \frac{1}{2} M (400 + 100) = \frac{1}{2} M (500) = 250 M$
સમાન દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $r_0$ ધરાવતા પાતળા નળાકાર (રિંગ) માટે,તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I = M r_0^2$
$I$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$M r_0^2 = 250 M$
$r_0^2 = 250$
$r_0 = \sqrt{250} \approx 15.81\, cm \approx 16\, cm$
આમ,પાતળા નળાકારની ત્રિજ્યા આશરે $16\, cm$ છે.
0 likes
View Solution187
DifficultMCQ
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક પાતળી તકતીનું એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma (r) = kr^2$ છે,જ્યાં $r$ એ તેના કેન્દ્રથી અંતર છે. તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થાય?
A
$\frac{MR^2}{2}$
B
$\frac{MR^2}{3}$
C
$\frac{MR^2}{6}$
D
$\frac{2MR^2}{3}$
Solution
(D) સૌ પ્રથમ,આપણે તકતીનું કુલ દળ $M$ શોધીએ:
$M = \int_0^R \sigma(r) \cdot 2\pi r \, dr = \int_0^R (kr^2) \cdot 2\pi r \, dr = 2\pi k \int_0^R r^3 \, dr = 2\pi k \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^R = \frac{\pi k R^4}{2}$
આના પરથી,આપણને $k = \frac{2M}{\pi R^4}$ મળે છે.
હવે,કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ની ગણતરી કરીએ:
$I = \int_0^R (dm) r^2 = \int_0^R (\sigma(r) \cdot 2\pi r \, dr) r^2 = \int_0^R (kr^2) \cdot 2\pi r^3 \, dr = 2\pi k \int_0^R r^5 \, dr$
$I = 2\pi k \left[ \frac{r^6}{6} \right]_0^R = 2\pi k \frac{R^6}{6} = \frac{\pi k R^6}{3}$
$I$ ના સમીકરણમાં $k = \frac{2M}{\pi R^4}$ મૂકતા:
$I = \frac{\pi}{3} \left( \frac{2M}{\pi R^4} \right) R^6 = \frac{2}{3} MR^2$
$M = \int_0^R \sigma(r) \cdot 2\pi r \, dr = \int_0^R (kr^2) \cdot 2\pi r \, dr = 2\pi k \int_0^R r^3 \, dr = 2\pi k \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^R = \frac{\pi k R^4}{2}$
આના પરથી,આપણને $k = \frac{2M}{\pi R^4}$ મળે છે.
હવે,કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ની ગણતરી કરીએ:
$I = \int_0^R (dm) r^2 = \int_0^R (\sigma(r) \cdot 2\pi r \, dr) r^2 = \int_0^R (kr^2) \cdot 2\pi r^3 \, dr = 2\pi k \int_0^R r^5 \, dr$
$I = 2\pi k \left[ \frac{r^6}{6} \right]_0^R = 2\pi k \frac{R^6}{6} = \frac{\pi k R^6}{3}$
$I$ ના સમીકરણમાં $k = \frac{2M}{\pi R^4}$ મૂકતા:
$I = \frac{\pi}{3} \left( \frac{2M}{\pi R^4} \right) R^6 = \frac{2}{3} MR^2$
0 likes
View Solution188
DifficultMCQ
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક નક્કર ગોળાને બે અસમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. પ્રથમ ભાગનું દળ $\frac{7M}{8}$ છે અને તેને $2R$ ત્રિજ્યાની સમાન તકતીમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. બીજા ભાગને એક સમાન નક્કર ગોળામાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. ધારો કે $I_1$ એ તકતીની તેની અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $I_2$ એ નવા ગોળાની તેની અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા છે. $I_1/I_2$ નો ગુણોત્તર કેટલો થાય?
A
$285$
B
$185$
C
$65$
D
$140$
Solution
(D) પ્રથમ ભાગનું દળ $M_1 = \frac{7M}{8}$ છે અને તેને $R_1 = 2R$ ત્રિજ્યાની તકતીમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે.
તકતીની તેની કેન્દ્રીય અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} M_1 R_1^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{7M}{8} \right) (2R)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{7M}{8} \times 4R^2 = \frac{7MR^2}{4}$.
બીજા ભાગનું દળ $M_2 = M - \frac{7M}{8} = \frac{M}{8}$ છે.
ઘનતા સમાન રહેતી હોવાથી,કદ $V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3 = \frac{1}{8} V_{total} = \frac{1}{8} (\frac{4}{3} \pi R^3)$,જે સૂચવે છે કે $R_2^3 = \frac{R^3}{8}$,તેથી $R_2 = \frac{R}{2}$.
નક્કર ગોળાની તેની અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{2}{5} M_2 R_2^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_2 = \frac{2}{5} \left( \frac{M}{8} \right) \left( \frac{R}{2} \right)^2 = \frac{2}{5} \times \frac{M}{8} \times \frac{R^2}{4} = \frac{MR^2}{80}$.
અંતે,ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{7MR^2 / 4}{MR^2 / 80} = \frac{7}{4} \times 80 = 7 \times 20 = 140$ થાય.
તકતીની તેની કેન્દ્રીય અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} M_1 R_1^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{7M}{8} \right) (2R)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{7M}{8} \times 4R^2 = \frac{7MR^2}{4}$.
બીજા ભાગનું દળ $M_2 = M - \frac{7M}{8} = \frac{M}{8}$ છે.
ઘનતા સમાન રહેતી હોવાથી,કદ $V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3 = \frac{1}{8} V_{total} = \frac{1}{8} (\frac{4}{3} \pi R^3)$,જે સૂચવે છે કે $R_2^3 = \frac{R^3}{8}$,તેથી $R_2 = \frac{R}{2}$.
નક્કર ગોળાની તેની અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{2}{5} M_2 R_2^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_2 = \frac{2}{5} \left( \frac{M}{8} \right) \left( \frac{R}{2} \right)^2 = \frac{2}{5} \times \frac{M}{8} \times \frac{R^2}{4} = \frac{MR^2}{80}$.
અંતે,ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{7MR^2 / 4}{MR^2 / 80} = \frac{7}{4} \times 80 = 7 \times 20 = 140$ થાય.
0 likes
View Solution189
DifficultMCQ
$b$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક વર્તુળાકાર તકતીના કેન્દ્રમાં $a$ ત્રિજ્યાનું કાણું છે (આકૃતિ જુઓ). જો તકતીનું એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma(r) = \frac{\sigma_0}{r}$ મુજબ બદલાતું હોય,તો કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને તકતીની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા (radius of gyration) શોધો.
A
$\frac{a + b}{3}$
B
$\sqrt{\frac{a^2 + b^2 + ab}{3}}$
C
$\frac{a + b}{2}$
D
$\sqrt{\frac{a^2 + b^2 + ab}{2}}$
Solution
(B) $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતી એક પાતળી રીંગનો વિચાર કરો. આ રીંગનું ક્ષેત્રફળ $dA = 2\pi r dr$ છે. આ ઘટકનું દળ $dm = \sigma(r) dA = \left(\frac{\sigma_0}{r}\right) (2\pi r dr) = 2\pi \sigma_0 dr$ છે.
તકતીનું કુલ દળ $M = \int_a^b dm = \int_a^b 2\pi \sigma_0 dr = 2\pi \sigma_0 (b - a)$ છે.
કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \int_a^b r^2 dm = \int_a^b r^2 (2\pi \sigma_0 dr) = 2\pi \sigma_0 \int_a^b r^2 dr = 2\pi \sigma_0 \left(\frac{b^3 - a^3}{3}\right)$ છે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ એ $I = Mk^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,તેથી $k^2 = \frac{I}{M}$.
$k^2 = \frac{2\pi \sigma_0 (b^3 - a^3) / 3}{2\pi \sigma_0 (b - a)} = \frac{b^3 - a^3}{3(b - a)}$.
નિત્યસમ $b^3 - a^3 = (b - a)(b^2 + a^2 + ab)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $k^2 = \frac{(b - a)(b^2 + a^2 + ab)}{3(b - a)} = \frac{a^2 + b^2 + ab}{3}$ મળે છે.
તેથી,$k = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + ab}{3}}$.
તકતીનું કુલ દળ $M = \int_a^b dm = \int_a^b 2\pi \sigma_0 dr = 2\pi \sigma_0 (b - a)$ છે.
કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \int_a^b r^2 dm = \int_a^b r^2 (2\pi \sigma_0 dr) = 2\pi \sigma_0 \int_a^b r^2 dr = 2\pi \sigma_0 \left(\frac{b^3 - a^3}{3}\right)$ છે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ એ $I = Mk^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,તેથી $k^2 = \frac{I}{M}$.
$k^2 = \frac{2\pi \sigma_0 (b^3 - a^3) / 3}{2\pi \sigma_0 (b - a)} = \frac{b^3 - a^3}{3(b - a)}$.
નિત્યસમ $b^3 - a^3 = (b - a)(b^2 + a^2 + ab)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $k^2 = \frac{(b - a)(b^2 + a^2 + ab)}{3(b - a)} = \frac{a^2 + b^2 + ab}{3}$ મળે છે.
તેથી,$k = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + ab}{3}}$.
0 likes
View Solution190
DifficultMCQ
આકૃતિ એક પાતળી ધાતુની ત્રિકોણાકાર શીટ $ABC$ દર્શાવે છે. શીટનું દળ $M$ છે. બાજુ $AC$ ને અનુલક્ષીને શીટની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થાય?
A
$\frac{Ml^2}{18}$
B
$\frac{Ml^2}{12}$
C
$\frac{Ml^2}{6}$
D
$\frac{Ml^2}{4}$
Solution
(B) $l$ બાજુ અને $2M$ દળ ધરાવતી એક ચોરસ પ્લેટનો વિચાર કરો જે આવી બે ત્રિકોણાકાર શીટ $ABC$ ને કર્ણ $AC$ પર જોડીને બનાવવામાં આવી છે.
ધારો કે ચોરસ $PQRS$ છે જ્યાં $AC$ એ વિકર્ણ છે.
$M_{total} = 2M$ દળ અને $l$ બાજુ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટની તેના વિકર્ણ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diagonal} = \frac{1}{12} M_{total} l^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M_{total} = 2M$ મૂકતા,આપણને $I_{diagonal} = \frac{1}{12} (2M) l^2 = \frac{Ml^2}{6}$ મળે છે.
ચોરસ એ $M$ દળ ધરાવતી બે સમાન ત્રિકોણાકાર શીટ $ABC$ થી બનેલો હોવાથી,એક ત્રિકોણાકાર શીટની વિકર્ણ $AC$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા એ ચોરસની વિકર્ણ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$I_{AC} = \frac{1}{2} \times I_{diagonal} = \frac{1}{2} \times \frac{Ml^2}{6} = \frac{Ml^2}{12}.$
ધારો કે ચોરસ $PQRS$ છે જ્યાં $AC$ એ વિકર્ણ છે.
$M_{total} = 2M$ દળ અને $l$ બાજુ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટની તેના વિકર્ણ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diagonal} = \frac{1}{12} M_{total} l^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M_{total} = 2M$ મૂકતા,આપણને $I_{diagonal} = \frac{1}{12} (2M) l^2 = \frac{Ml^2}{6}$ મળે છે.
ચોરસ એ $M$ દળ ધરાવતી બે સમાન ત્રિકોણાકાર શીટ $ABC$ થી બનેલો હોવાથી,એક ત્રિકોણાકાર શીટની વિકર્ણ $AC$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા એ ચોરસની વિકર્ણ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$I_{AC} = \frac{1}{2} \times I_{diagonal} = \frac{1}{2} \times \frac{Ml^2}{6} = \frac{Ml^2}{12}.$
0 likes
View Solution191
MediumMCQ
આપેલ આકૃતિમાં $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક તકતી (disc) $x-y$ સમતલમાં છે,જેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુથી $a$ અંતરે $x$-અક્ષ પર આવેલું છે. તો $x$-અક્ષને અનુલક્ષીને તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થાય?
A
$M\left( \frac{R^2}{2} \right)$
B
$M\left( \frac{R^2}{4} \right)$
C
$M\left( \frac{R^2}{4} + a^2 \right)$
D
$M\left( \frac{R^2}{2} + a^2 \right)$
Solution
(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diameter} = \frac{MR^2}{4}$ છે.
આપેલ આકૃતિમાં,તકતી $x-y$ સમતલમાં છે અને તેનું કેન્દ્ર $(a, 0)$ પર છે.
$x$-અક્ષ એ તકતીના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને તે તકતીના સમતલમાં જ છે.
તેથી,$x$-અક્ષ એ તકતી માટે વ્યાસ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તકતીના કોઈપણ વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $\frac{MR^2}{4}$ હોવાથી,$x$-અક્ષને અનુલક્ષીને તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $\frac{MR^2}{4}$ થશે.
આપેલ આકૃતિમાં,તકતી $x-y$ સમતલમાં છે અને તેનું કેન્દ્ર $(a, 0)$ પર છે.
$x$-અક્ષ એ તકતીના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને તે તકતીના સમતલમાં જ છે.
તેથી,$x$-અક્ષ એ તકતી માટે વ્યાસ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તકતીના કોઈપણ વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $\frac{MR^2}{4}$ હોવાથી,$x$-અક્ષને અનુલક્ષીને તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $\frac{MR^2}{4}$ થશે.
0 likes
View Solution192
DifficultMCQ
બે ડિસ્ક,જેમાંથી એકની ઘનતા $7.2 \, g/cm^3$ અને બીજીની ઘનતા $8.9 \, g/cm^3$ છે,સમાન દળ અને જાડાઈ ધરાવે છે. તેમની જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર કેટલો હશે?
A
$\frac{8.9}{7.2}$
B
$\frac{7.2}{8.9}$
C
$(8.9 \times 7.2) : 1$
D
$1 : (8.9 \times 7.2)$
Solution
(A) ડિસ્કની તેની કેન્દ્રીય અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ડિસ્ક માટે દળ $M$ અને જાડાઈ $t$ સમાન હોવાથી,આપણે દળને ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $r$ સાથે $M = \rho \cdot V = \rho \cdot (\pi r^2 t)$ તરીકે સંબંધિત કરીએ છીએ.
$M$ અને $t$ અચળ હોવાથી,$\rho_1 r_1^2 = \rho_2 r_2^2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$.
જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{1}{2} M r_1^2}{\frac{1}{2} M r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ છે.
ઘનતાનો ગુણોત્તર મૂકતા,આપણને $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{8.9}{7.2}$ મળે છે.
બંને ડિસ્ક માટે દળ $M$ અને જાડાઈ $t$ સમાન હોવાથી,આપણે દળને ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $r$ સાથે $M = \rho \cdot V = \rho \cdot (\pi r^2 t)$ તરીકે સંબંધિત કરીએ છીએ.
$M$ અને $t$ અચળ હોવાથી,$\rho_1 r_1^2 = \rho_2 r_2^2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$.
જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{1}{2} M r_1^2}{\frac{1}{2} M r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ છે.
ઘનતાનો ગુણોત્તર મૂકતા,આપણને $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{8.9}{7.2}$ મળે છે.
0 likes
View Solution193
MediumMCQ
$10 \ kg$ દળ ધરાવતા એક પૈડાંની તેની પોતાની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $160 \ kg \cdot m^2$ છે. તેની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા ........ $m$ છે.
A
$10$
B
$4$
C
$5$
D
$6$
Solution
(B) આપેલ છે:
પૈડાંનું દળ,$M = 10 \ kg$
જડત્વની ચાકમાત્રા,$I = 160 \ kg \cdot m^2$
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K$ ના સ્વરૂપમાં જડત્વની ચાકમાત્રાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = M K^2$
આ સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$160 = 10 \times K^2$
$K^2$ માટે ઉકેલતા:
$K^2 = \frac{160}{10} = 16$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$K = \sqrt{16} = 4 \ m$
તેથી,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $4 \ m$ છે.
પૈડાંનું દળ,$M = 10 \ kg$
જડત્વની ચાકમાત્રા,$I = 160 \ kg \cdot m^2$
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K$ ના સ્વરૂપમાં જડત્વની ચાકમાત્રાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = M K^2$
આ સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$160 = 10 \times K^2$
$K^2$ માટે ઉકેલતા:
$K^2 = \frac{160}{10} = 16$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$K = \sqrt{16} = 4 \ m$
તેથી,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $4 \ m$ છે.
0 likes
View Solution194
DifficultMCQ
$2\, kg$ ના પાંચ દળ એક સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર ડિસ્ક પર મૂકવામાં આવ્યા છે,જે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી શિરોલંબ ધરી પર ફરી શકે છે. બધા દળ ધરીથી $10\, cm$ ના સમાન અંતરે છે. સમગ્ર તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા ($gm-cm^2$ માં) શોધો. (ધારો કે ડિસ્કનું દળ અવગણ્ય છે.)
A
$10^5$
B
$10^4$
C
$10^6$
D
$10^8$
Solution
(C) બિંદુવત દળોના તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ સરવાળા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $5$ દળ છે,દરેકનું દળ $m = 2\, kg = 2000\, g$ છે અને દરેક પરિભ્રમણની ધરીથી $r = 10\, cm$ અંતરે છે:
$I = 5 \times (m \times r^2)$
$I = 5 \times (2000\, g) \times (10\, cm)^2$
$I = 5 \times 2000 \times 100\, gm-cm^2$
$I = 1,000,000\, gm-cm^2 = 10^6\, gm-cm^2$.
અહીં $5$ દળ છે,દરેકનું દળ $m = 2\, kg = 2000\, g$ છે અને દરેક પરિભ્રમણની ધરીથી $r = 10\, cm$ અંતરે છે:
$I = 5 \times (m \times r^2)$
$I = 5 \times (2000\, g) \times (10\, cm)^2$
$I = 5 \times 2000 \times 100\, gm-cm^2$
$I = 1,000,000\, gm-cm^2 = 10^6\, gm-cm^2$.
0 likes
View Solution195
DifficultMCQ
$R$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા (moment of inertia) કેટલી થાય?
A
$\frac{8}{3} \pi R^3 \rho$
B
$\frac{8}{15} \pi R^5 \rho$
C
$\frac{8}{3} \pi R^5 \rho$
D
$\frac{15}{8} \pi R^3 \rho^2$
Solution
(B) નક્કર ગોળાનું દળ $M$ એ તેના કદ અને ઘનતાના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $M = V \cdot \rho = (\frac{4}{3} \pi R^3) \rho$.
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નું સૂત્ર $I = \frac{2}{5} M R^2$ છે.
$M$ ની કિંમત $I$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = \frac{2}{5} (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho) R^2$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$I = \frac{8}{15} \pi R^5 \rho$.
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નું સૂત્ર $I = \frac{2}{5} M R^2$ છે.
$M$ ની કિંમત $I$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = \frac{2}{5} (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho) R^2$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$I = \frac{8}{15} \pi R^5 \rho$.
0 likes
View Solution196
DifficultMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક દળરહિત સળિયા પર ચાર દળ જડિત કરેલા છે. $PQ$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા આશરે ..... $kg-m^2$ છે.
A
$2$
B
$1.04$
C
$0.5$
D
$0.3$
Solution
(B) કણોના તંત્રની કોઈ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m_i$ એ $i$-માં કણનું દળ છે અને $r_i$ એ પરિભ્રમણની અક્ષથી તેનું લંબ અંતર છે.
આકૃતિ પરથી,$PQ$ અક્ષ સળિયાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
અક્ષ $PQ$ થી $0.2 \ m$ અંતરે $5 \ kg$ ના બે દળ આવેલા છે.
અક્ષ $PQ$ થી $(0.2 + 0.2) = 0.4 \ m$ અંતરે $2 \ kg$ ના બે દળ આવેલા છે.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રાની ગણતરી:
$I = 2 \times (5 \ kg) \times (0.2 \ m)^2 + 2 \times (2 \ kg) \times (0.4 \ m)^2$
$I = 2 \times 5 \times 0.04 + 2 \times 2 \times 0.16$
$I = 10 \times 0.04 + 4 \times 0.16$
$I = 0.4 + 0.64 = 1.04 \ kg-m^2$.
આકૃતિ પરથી,$PQ$ અક્ષ સળિયાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
અક્ષ $PQ$ થી $0.2 \ m$ અંતરે $5 \ kg$ ના બે દળ આવેલા છે.
અક્ષ $PQ$ થી $(0.2 + 0.2) = 0.4 \ m$ અંતરે $2 \ kg$ ના બે દળ આવેલા છે.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રાની ગણતરી:
$I = 2 \times (5 \ kg) \times (0.2 \ m)^2 + 2 \times (2 \ kg) \times (0.4 \ m)^2$
$I = 2 \times 5 \times 0.04 + 2 \times 2 \times 0.16$
$I = 10 \times 0.04 + 4 \times 0.16$
$I = 0.4 + 0.64 = 1.04 \ kg-m^2$.
0 likes
View Solution197
DifficultMCQ
આંતરિક ત્રિજ્યા $r$,બાહ્ય ત્રિજ્યા $R$ અને દળ $M$ ધરાવતી એક સમાન વલયાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી છે?
A
$\frac{1}{2}M(R^2 - r^2)$
B
$\frac{1}{2}M(R^2 + r^2)$
C
$\frac{M(R^4 + r^4)}{2(R^2 + r^2)}$
D
$\frac{M(R^4 + r^4)}{2(R^2 - r^2)}$
Solution
(B) ધારો કે $M$ એ $R$ બાહ્ય ત્રિજ્યા અને $r$ આંતરિક ત્રિજ્યા ધરાવતી વલયાકાર તકતીનું દળ છે.
પૃષ્ઠ દળ ઘનતા $\sigma = \frac{M}{\pi(R^2 - r^2)}$ છે.
$x$ ત્રિજ્યા અને $dx$ જાડાઈ ધરાવતી એક પ્રાથમિક રીંગનો વિચાર કરો. આ રીંગનું દળ $dm = \sigma \times (2\pi x dx) = \frac{M}{\pi(R^2 - r^2)} \times 2\pi x dx = \frac{2Mx dx}{R^2 - r^2}$ થાય.
આ પ્રાથમિક રીંગની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $dI = (dm)x^2 = \frac{2Mx^3 dx}{R^2 - r^2}$ છે.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ મેળવવા માટે,આપણે $x = r$ થી $x = R$ સુધી સંકલન કરીશું:
$I = \int_{r}^{R} \frac{2Mx^3 dx}{R^2 - r^2} = \frac{2M}{R^2 - r^2} \int_{r}^{R} x^3 dx$.
સંકલન કરતા: $I = \frac{2M}{R^2 - r^2} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{r}^{R} = \frac{2M}{R^2 - r^2} \left( \frac{R^4 - r^4}{4} \right)$.
અહીં $R^4 - r^4 = (R^2 - r^2)(R^2 + r^2)$ હોવાથી,$I = \frac{2M}{R^2 - r^2} \times \frac{(R^2 - r^2)(R^2 + r^2)}{4} = \frac{1}{2}M(R^2 + r^2)$ મળે છે.
પૃષ્ઠ દળ ઘનતા $\sigma = \frac{M}{\pi(R^2 - r^2)}$ છે.
$x$ ત્રિજ્યા અને $dx$ જાડાઈ ધરાવતી એક પ્રાથમિક રીંગનો વિચાર કરો. આ રીંગનું દળ $dm = \sigma \times (2\pi x dx) = \frac{M}{\pi(R^2 - r^2)} \times 2\pi x dx = \frac{2Mx dx}{R^2 - r^2}$ થાય.
આ પ્રાથમિક રીંગની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $dI = (dm)x^2 = \frac{2Mx^3 dx}{R^2 - r^2}$ છે.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ મેળવવા માટે,આપણે $x = r$ થી $x = R$ સુધી સંકલન કરીશું:
$I = \int_{r}^{R} \frac{2Mx^3 dx}{R^2 - r^2} = \frac{2M}{R^2 - r^2} \int_{r}^{R} x^3 dx$.
સંકલન કરતા: $I = \frac{2M}{R^2 - r^2} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{r}^{R} = \frac{2M}{R^2 - r^2} \left( \frac{R^4 - r^4}{4} \right)$.
અહીં $R^4 - r^4 = (R^2 - r^2)(R^2 + r^2)$ હોવાથી,$I = \frac{2M}{R^2 - r^2} \times \frac{(R^2 - r^2)(R^2 + r^2)}{4} = \frac{1}{2}M(R^2 + r^2)$ મળે છે.
0 likes
View Solution198
MediumMCQ
$R$ ત્રિજ્યાની એક વર્તુળાકાર તકતી $X$ એ $t$ જાડાઈની લોખંડની પ્લેટમાંથી બનાવવામાં આવી છે,અને $4R$ ત્રિજ્યાની બીજી તકતી $Y$ એ $\frac{t}{4}$ જાડાઈની લોખંડની પ્લેટમાંથી બનાવવામાં આવી છે. જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_Y}{I_X}$ કેટલો થાય?
A
$32$
B
$16$
C
$1$
D
$64$
Solution
(D) વર્તુળાકાર તકતીની તેની કેન્દ્રિય અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V) = \rho (\pi R^2 t)$ હોવાથી,$I = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 t) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 t$ થાય.
તકતી $X$ માટે: $I_X = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 t$.
તકતી $Y$ માટે: $I_Y = \frac{1}{2} \rho \pi (4R)^4 (\frac{t}{4}) = \frac{1}{2} \rho \pi (256 R^4) (\frac{t}{4}) = \frac{1}{2} \rho \pi (64 R^4 t) = 64 \times (\frac{1}{2} \rho \pi R^4 t)$.
તેથી,$\frac{I_Y}{I_X} = \frac{64 I_X}{I_X} = 64$.
દળ $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V) = \rho (\pi R^2 t)$ હોવાથી,$I = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 t) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 t$ થાય.
તકતી $X$ માટે: $I_X = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 t$.
તકતી $Y$ માટે: $I_Y = \frac{1}{2} \rho \pi (4R)^4 (\frac{t}{4}) = \frac{1}{2} \rho \pi (256 R^4) (\frac{t}{4}) = \frac{1}{2} \rho \pi (64 R^4 t) = 64 \times (\frac{1}{2} \rho \pi R^4 t)$.
તેથી,$\frac{I_Y}{I_X} = \frac{64 I_X}{I_X} = 64$.
0 likes
View Solution199
EasyMCQ
પદાર્થની ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા (radius of gyration) શેના પર આધાર રાખે છે?
A
પદાર્થનો આકાર અને કદ
B
પદાર્થમાં દળના વિતરણની પ્રકૃતિ
C
ભ્રમણાક્ષની પસંદગી
D
આ તમામ
Solution
(D) ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $(k)$ ને $I = Mk^2$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ પદાર્થનું કુલ દળ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ પદાર્થના આકાર અને કદ,અક્ષની સાપેક્ષે દળના વિતરણ અને ભ્રમણાક્ષની પસંદગી પર આધાર રાખતી હોવાથી,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $(k = \sqrt{I/M})$ પણ આ પરિબળો પર આધાર રાખે છે.
તેથી,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા પદાર્થના આકાર,કદ,દળના વિતરણ અને ભ્રમણાક્ષ પર આધાર રાખે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ પદાર્થના આકાર અને કદ,અક્ષની સાપેક્ષે દળના વિતરણ અને ભ્રમણાક્ષની પસંદગી પર આધાર રાખતી હોવાથી,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $(k = \sqrt{I/M})$ પણ આ પરિબળો પર આધાર રાખે છે.
તેથી,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા પદાર્થના આકાર,કદ,દળના વિતરણ અને ભ્રમણાક્ષ પર આધાર રાખે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
0 likes
View Solution200
DifficultMCQ
$2a$ વ્યાસ અને $M$ દળ ધરાવતા ચાર ગોળાઓને $b$ બાજુવાળા ચોરસના ચાર ખૂણાઓ પર તેમના કેન્દ્રો રહે તે રીતે મૂકવામાં આવ્યા છે. તો ચોરસની એક બાજુ પરની અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થાય?
A
$\frac{4}{5}Ma^2 + 2Mb^2$
B
$\frac{8}{5}Ma^2 + 2Mb^2$
C
$\frac{8}{5}Ma^2$
D
$\frac{4}{5}Ma^2 + 4Mb^2$
Solution
(B) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને નક્કર ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_{cm})$ નું સૂત્ર $I_{cm} = \frac{2}{5}Ma^2$ છે.
ધારો કે પરિભ્રમણ અક્ષ ચોરસની એક બાજુ પર છે. બે ગોળાઓના કેન્દ્રો આ અક્ષ પર જ આવેલા છે,તેથી અક્ષથી તેમનું અંતર $0$ છે. બાકીના બે ગોળાઓના કેન્દ્રો અક્ષથી $b$ અંતરે આવેલા છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $d$ એ અક્ષથી અંતર છે.
અક્ષ પર રહેલા બે ગોળાઓ માટે: $I_1 = 2 \times (\frac{2}{5}Ma^2 + M(0)^2) = \frac{4}{5}Ma^2$.
અક્ષથી $b$ અંતરે રહેલા બે ગોળાઓ માટે: $I_2 = 2 \times (\frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2) = \frac{4}{5}Ma^2 + 2Mb^2$.
તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 = \frac{4}{5}Ma^2 + \frac{4}{5}Ma^2 + 2Mb^2 = \frac{8}{5}Ma^2 + 2Mb^2$ થાય.
ધારો કે પરિભ્રમણ અક્ષ ચોરસની એક બાજુ પર છે. બે ગોળાઓના કેન્દ્રો આ અક્ષ પર જ આવેલા છે,તેથી અક્ષથી તેમનું અંતર $0$ છે. બાકીના બે ગોળાઓના કેન્દ્રો અક્ષથી $b$ અંતરે આવેલા છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $d$ એ અક્ષથી અંતર છે.
અક્ષ પર રહેલા બે ગોળાઓ માટે: $I_1 = 2 \times (\frac{2}{5}Ma^2 + M(0)^2) = \frac{4}{5}Ma^2$.
અક્ષથી $b$ અંતરે રહેલા બે ગોળાઓ માટે: $I_2 = 2 \times (\frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2) = \frac{4}{5}Ma^2 + 2Mb^2$.
તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 = \frac{4}{5}Ma^2 + \frac{4}{5}Ma^2 + 2Mb^2 = \frac{8}{5}Ma^2 + 2Mb^2$ થાય.
0 likes
View SolutionSystem of Particles and Rotational Motion — Moment of Inertia and Radius of gyration · Frequently Asked Questions
1Are these System of Particles and Rotational Motion questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a System of Particles and Rotational Motion Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.