Moment of Inertia and Radius of gyration Questions in Gujarati

(C) ધારો કે સળિયાઓનું છેદબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે.
$x$-અક્ષ પર રહેલા સળિયા $AB$ માટે,$x$-અક્ષની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_x = 0$ અને $y$-અક્ષની સાપેક્ષે $I_y = \frac{ML^2}{12}$ છે.
$y$-અક્ષ પર રહેલા સળિયા $CD$ માટે,$x$-અક્ષની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_x = \frac{ML^2}{12}$ અને $y$-અક્ષની સાપેક્ષે $I_y = 0$ છે.
$x$-અક્ષની સાપેક્ષે ક્રોસની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_x = 0 + \frac{ML^2}{12} = \frac{ML^2}{12}$ છે.
$y$-અક્ષની સાપેક્ષે ક્રોસની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_y = \frac{ML^2}{12} + 0 = \frac{ML^2}{12}$ છે.
રેખા $EF$ એ $xy$-સમતલમાં દ્વિભાજક છે,જે બંને અક્ષો સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
સમતલમાં રહેલી અક્ષની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_x \sin^2 \theta + I_y \cos^2 \theta - 2 I_{xy} \sin \theta \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયાઓ અક્ષોની સાપેક્ષે સંમિત હોવાથી,પ્રોડક્ટ ઓફ ઇનર્શિયા $I_{xy} = 0$ થાય છે.
તેથી,$I_{EF} = I_x \sin^2 45^{\circ} + I_y \cos^2 45^{\circ} = \frac{ML^2}{12} \left( \frac{1}{2} \right) + \frac{ML^2}{12} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{ML^2}{12}$.

(A) $M$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = Mr^2$ છે.
રીંગ એક જ વાયરની બનેલી હોવાથી,તેમની રેખીય દળ ઘનતા $\lambda$ અચળ છે.
રીંગનું દળ $M = \lambda \times \text{પરિઘ} = \lambda (2\pi r)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ રીંગ માટે: $M_1 = \lambda (2\pi R)$ અને $r_1 = R$. તેથી,$I_1 = M_1 R^2 = \lambda (2\pi R) R^2 = 2\pi \lambda R^3$.
બીજી રીંગ માટે: $M_2 = \lambda (2\pi nR)$ અને $r_2 = nR$. તેથી,$I_2 = M_2 (nR)^2 = \lambda (2\pi nR) (nR)^2 = 2\pi \lambda n^3 R^3$.
જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{8}$ આપેલ છે.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{2\pi \lambda R^3}{2\pi \lambda n^3 R^3} = \frac{1}{n^3} = \frac{1}{8}$.
તેથી,$n^3 = 8$,જેનો અર્થ છે કે $n = 2$.

(D) નક્કર ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} mr^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાઓ સમાન દ્રવ્ય (લોખંડ) ના બનેલા હોવાથી, તેમની ઘનતા $d$ સમાન છે.
ગોળાનું દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi r^{3} d$ છે.
દળનું સૂત્ર જડત્વની ચાકમાત્રાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = \frac{2}{5} (\frac{4}{3} \pi r^{3} d) r^{2} = \frac{8}{15} \pi d r^{5}$.
આ દર્શાવે છે કે $I \propto r^{5}$.
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $r_{1} : r_{2} = 1 : 2$ આપેલ છે, તેથી તેમની જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_{1}}{I_{2}} = (\frac{r_{1}}{r_{2}})^{5} = (\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{32}$.
તેથી, ગુણોત્તર $1 : 32$ છે.

(B) કોઈ અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણ કરતા બિંદુવત દળોના તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર $I = \sum m_i r_i^2$ છે,જ્યાં $r_i$ એ $i$ મા કણનું પરિભ્રમણ અક્ષથી લંબ અંતર છે.
અહીં,તંત્ર $x-$ અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણ કરે છે. $y$ સ્થાન પર રહેલા કણનું $x-$ અક્ષથી લંબ અંતર $|y|$ થાય.
આપેલ દળ અને તેમના સ્થાન:
$1$. $m_1 = 4 \, kg$,$y_1 = 3 \, m$ પર,તેથી $r_1 = 3 \, m$.
$2$. $m_2 = 2 \, kg$,$y_2 = -2 \, m$ પર,તેથી $r_2 = 2 \, m$.
$3$. $m_3 = 3 \, kg$,$y_3 = -4 \, m$ પર,તેથી $r_3 = 4 \, m$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રાની ગણતરી:
$I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + m_3 r_3^2$
$I = 4(3)^2 + 2(2)^2 + 3(4)^2$
$I = 4(9) + 2(4) + 3(16)$
$I = 36 + 8 + 48$
$I = 92 \, kg \cdot m^2$.

(B) આપેલ પદાર્થો માટે તેમની ભૌમિતિક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ છે:
$1$. ઘન ગોળા માટે: $I_1 = \frac{2}{5}MR^2 = 0.4MR^2$
$2$. પોલા ગોળા માટે: $I_2 = \frac{2}{3}MR^2 \approx 0.67MR^2$
$3$. રીંગ માટે: $I_3 = MR^2 = 1.0MR^2$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $1.0 > 0.67 > 0.4$.
તેથી,$I_3 > I_2 > I_1$.

(B) બિંદુવત દળોના તંત્રની કોઈ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m_i$ એ દળ છે અને $r_i$ એ પરિભ્રમણ અક્ષ $P$ થી લંબ અંતર છે.
આકૃતિ પરથી,અક્ષ $P$ થી દળોના અંતર નીચે મુજબ છે:
- બે $5 \ kg$ ના દળો અક્ષ $P$ થી $0.2 \ m$ ના અંતરે છે.
- બે $2 \ kg$ ના દળો અક્ષ $P$ થી $(0.2 \ m + 0.2 \ m) = 0.4 \ m$ ના અંતરે છે.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_P$ ની ગણતરી:
$I_P = (5 \ kg \times (0.2 \ m)^2) + (5 \ kg \times (0.2 \ m)^2) + (2 \ kg \times (0.4 \ m)^2) + (2 \ kg \times (0.4 \ m)^2)$
$I_P = 2 \times (5 \times 0.04) + 2 \times (2 \times 0.16)$
$I_P = 2 \times (0.2) + 2 \times (0.32)$
$I_P = 0.4 + 0.64$
$I_P = 1.04 \ kg \cdot m^2$.

(C) ધારો કે બંને ગોળાઓનું દળ $M$ છે. ધારો કે પોલા ગોળાની ત્રિજ્યા $R_1$ છે અને નક્કર ગોળાની ત્રિજ્યા $R_2$ છે.
પોલા ગોળા માટે તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{2}{3} M R_1^2$ છે.
નક્કર ગોળા માટે તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{2}{5} M R_2^2$ છે.
આપેલ છે કે જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન છે $(I_1 = I_2)$,તેથી:
$\frac{2}{3} M R_1^2 = \frac{2}{5} M R_2^2$
બંને બાજુથી $M$ અને $2$ ને દૂર કરતા:
$\frac{R_1^2}{3} = \frac{R_2^2}{5}$
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર શોધવા માટે:
$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{3}{5}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{3} : \sqrt{5}$ છે.

(B) $m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી લૂપની તેના કેન્દ્રિય અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mr^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર સમાન હોવાથી,દળ $m$ એ પરિઘના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $m = \lambda (2\pi r)$,જ્યાં $\lambda$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આમ,$I = (\lambda 2\pi r) r^2 = 2\pi\lambda r^3$.
જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર: $\frac{I_2}{I_1} = \frac{2\pi\lambda r_2^3}{2\pi\lambda r_1^3} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3$.
આપણને $\frac{I_2}{I_1} = 4$ આપેલ છે.
તેથી,$\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3 = 4$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને $\frac{r_2}{r_1} = 4^{1/3}$ મળે છે.

(B) દ્રઢ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ ની વ્યાખ્યા $I = \sum m_i r_i^2$ છે,જ્યાં $m_i$ એ $i$-માં કણનું દળ છે અને $r_i$ એ ભ્રમણાક્ષથી તેનું લંબ અંતર છે.
આ વ્યાખ્યા પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે જડત્વની ચાકમાત્રા પદાર્થના દળ,અક્ષની સાપેક્ષે દળનું વિતરણ અને ભ્રમણાક્ષના સ્થાન/દિશા પર આધાર રાખે છે.
તે પદાર્થની ગતિની સ્થિતિ,જેમ કે તેના કોણીય વેગ કે કોણીય પ્રવેગ પર આધાર રાખતી નથી.
તેથી,પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા પદાર્થના કોણીય વેગ પર આધાર રાખતી નથી.

(C) બિંદુવત દળોના તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નું સૂત્ર $I = \sum m_i r_i^2$ છે.
અહીં,$5$ દળ છે,દરેકનું દળ $m = 2\, kg = 2000\, g$ છે.
દરેક દળ પરિભ્રમણની અક્ષથી $r = 10\, cm$ ના અંતરે છે.
બધા દળ સમાન અંતરે હોવાથી,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 5 \times m \times r^2$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $I = 5 \times 2000\, g \times (10\, cm)^2$.
$I = 10000 \times 100 = 10^6\, g\cdot cm^2$.

(A) વર્તુળાકાર તકતીની તેના સમતલને લંબ અને તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{1}{2} M R^2$
આપેલ છે:
દળ $(M)$ = $0.4\, kg$
ત્રિજ્યા $(R)$ = $100\, cm = 1\, m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \times 0.4\, kg \times (1\, m)^2$
$I = 0.2 \times 1 = 0.2\, kg\, m^2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે સળિયો શરૂઆતમાં $x$-અક્ષ પર છે અને તેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે. સળિયો બે અડધા ભાગનો બનેલો છે,જેનું દળ $m = M/2$ અને લંબાઈ $l = L/2$ છે.
જ્યારે સળિયાને કેન્દ્રમાંથી વાળવામાં આવે છે,ત્યારે સળિયાનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર જ રહે છે. ધારો કે પરિભ્રમણની અક્ષ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી $z$-અક્ષ છે.
$m$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા સળિયાની તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને સળિયા સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \int r^2 dm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ અક્ષથી લંબ અંતર છે.
સળિયાના દરેક અડધા ભાગ માટે,કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુનું અક્ષથી અંતર $r = x \sin(\theta)$ છે,જ્યાં $\theta$ એ સળિયા અને પરિભ્રમણની અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો છે. અહીં,અક્ષ મૂળ સળિયાને લંબ છે,તેથી પ્રથમ અડધા ભાગ માટે $\theta = 90^o$ છે,અને બીજા અડધા ભાગ માટે ખૂણો બદલાય છે.
જો કે,એક સરળ અભિગમ: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \int r^2 dm$ છે. જ્યારે સળિયાને તેના કેન્દ્ર પર વાળવામાં આવે છે ત્યારે પરિભ્રમણની અક્ષથી દરેક દળના ઘટક $dm$ નું અંતર $r$ બદલાતું નથી (કેન્દ્રબિંદુ અક્ષ પર છે),તેથી કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન રહે છે.
તેથી,$I = \frac{1}{12} ML^2$.

(A) તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા એ પરિભ્રમણની અક્ષ (સળિયો $B$) ની આસપાસ વ્યક્તિગત સળિયાઓની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે.
$1$. સળિયા $B$ ની જડત્વની ચાકમાત્રા: સળિયો $B$ પોતે જ પરિભ્રમણની અક્ષ હોવાથી,સળિયા $B$ નો દરેક દળ ઘટક અક્ષ પર રહેલો છે. તેથી,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_B = 0$ છે.
$2$. સળિયા $A$ ની જડત્વની ચાકમાત્રા: સળિયો $A$ એ અક્ષ $B$ ને લંબ છે અને તેના કેન્દ્રમાં અક્ષ સાથે જોડાયેલ છે. $M$ દળ અને $L$ લંબાઈના સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષની આસપાસની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_A = \frac{1}{12} M L^2$ છે.
$3$. સળિયા $C$ ની જડત્વની ચાકમાત્રા: તેવી જ રીતે,સળિયો $C$ પણ અક્ષ $B$ ને લંબ છે અને તેના કેન્દ્રમાં જોડાયેલ છે. તેથી,$I_C = \frac{1}{12} M L^2$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_A + I_B + I_C = \frac{1}{12} M L^2 + 0 + \frac{1}{12} M L^2 = \frac{2}{12} M L^2 = \frac{1}{6} M L^2$.

(C) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ ની બાજુની લંબાઈ $l$ છે. દળ $A, B, C, D$ પર છે.
અક્ષ $A$ માંથી પસાર થાય છે અને વિકર્ણ $BD$ ને સમાંતર છે.
અક્ષથી બિંદુ $A$ નું અંતર $0$ છે.
અક્ષથી બિંદુ $B$ નું અંતર $d_B = \frac{l}{\sqrt{2}}$ છે.
અક્ષથી બિંદુ $D$ નું અંતર $d_D = \frac{l}{\sqrt{2}}$ છે.
અક્ષથી બિંદુ $C$ નું અંતર $d_C = l\sqrt{2}$ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I = m(0)^2 + m(l/\sqrt{2})^2 + m(l\sqrt{2})^2 + m(l/\sqrt{2})^2$
$I = 0 + m(l^2/2) + 2ml^2 + m(l^2/2)$
$I = ml^2 + 2ml^2 = 3ml^2$.

(C) તારની લંબાઈ $l$ છે અને તેનું દળ $m$ છે.
જ્યારે તારને $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર રીંગમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે રીંગનો પરિઘ તારની લંબાઈ જેટલો થાય છે.
$2\pi r = l$
તેથી,રીંગની ત્રિજ્યા $r = \frac{l}{2\pi}$ થાય.
$m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગની તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = mr^2$
સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$I = m \left( \frac{l}{2\pi} \right)^2$
$I = m \left( \frac{l^2}{4\pi^2} \right)$
$I = \left( \frac{1}{4\pi^2} \right) ml^2$

(A) ધારો કે સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર તકતીનું દળ $M_{total}$ છે. ચતુર્થાંશ ભાગનું દળ $M$ હોવાથી,સંપૂર્ણ તકતીનું દળ $M_{total} = 4M$ થશે.
$M_{total}$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ સમાન વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = \frac{1}{2} M_{total} R^2$ છે.
$M_{total} = 4M$ મૂકતા,આપણને $I_{total} = \frac{1}{2} (4M) R^2 = 2 M R^2$ મળે છે.
સંમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,તકતીના કોઈપણ ભાગની સમાન અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા તેના દળના પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,ચતુર્થાંશ ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{I_{total}}{4} = \frac{2 M R^2}{4} = \frac{1}{2} M R^2$ થશે.

(B) કણોના તંત્રની જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ ને $I = \sum m_i r_i^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $r_i$ એ $m_i$ દળ ધરાવતા $i$-માં કણનું પરિભ્રમણની અક્ષથી લંબ અંતર છે.
આ વ્યાખ્યા પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $I$ એ પરિભ્રમણની અક્ષના સંદર્ભમાં દળના વિતરણ અને અક્ષના સ્થાન/દિશા પર આધાર રાખે છે. તેથી,$Assertion$ સાચું છે.
જડત્વની આઘૂર્ણને રેખીય ગતિમાં દળના સમકક્ષ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જેમ દળ રેખીય ગતિમાં પદાર્થની જડત્વ દર્શાવે છે (રેખીય વેગમાં ફેરફાર સામે અવરોધ),તેમ જડત્વની આઘૂર્ણ એ પદાર્થની ચાકગતિની જડત્વ દર્શાવે છે (કોણીય વેગમાં ફેરફાર સામે અવરોધ). તેથી,$Reason$ પણ સાચું છે.
જોકે,$Reason$ એ સમજાવે છે કે જડત્વની આઘૂર્ણ શું દર્શાવે છે (ચાકગતિની જડત્વ),પરંતુ તે એ સમજાવતું નથી કે તે પરિભ્રમણની અક્ષ અને દળના વિતરણ પર શા માટે આધાર રાખે છે. તેથી,$Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી નથી. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) કોઈ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_i$ એ પરિભ્રમણની ધરીથી દળના ઘટક $m_i$ નું અંતર છે.
પ્રતિસ્પર્ધીને વાળીને તેમના દળને કમર (પરિભ્રમણની ધરી) ની નજીક લાવવાથી,સરેરાશ અંતર $r$ ઘટે છે.
જેમ કે $I \propto r^2$,પ્રતિસ્પર્ધીની જડત્વની ચાકમાત્રા નોંધપાત્ર રીતે ઘટે છે.
ઓછી જડત્વની ચાકમાત્રા માટે ચોક્કસ કોણીય પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરવા માટે ઓછા ટોર્કની જરૂર પડે છે,જે જુડો ફાઈટર માટે પ્રતિસ્પર્ધીને ફેરવવાનું અને પછાડવાનું સરળ બનાવે છે.
આમ,$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) પદાર્થની ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ ને $K = \sqrt{\frac{\sum m_i r_i^2}{M}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ કુલ દળ છે અને $r_i$ એ પરિભ્રમણની અક્ષથી $i$-માં કણનું અંતર છે.
તે અચળ રાશિ નથી કારણ કે તેનું મૂલ્ય પરિભ્રમણની અક્ષના સ્થાન અને દિશા પર આધાર રાખે છે.
તેથી,$Assertion$ ખોટું છે.
$Reason$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યાને પરિભ્રમણની અક્ષથી કણોના અંતરના વર્ગમૂળના સરેરાશ તરીકે યોગ્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે.
આમ,$Assertion$ ખોટું છે,પરંતુ $Reason$ સાચું છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતી એક પાતળી વર્તુળાકાર રીંગનો વિચાર કરો. આ રીંગનું ક્ષેત્રફળ $dA = 2 \pi r dr$ છે.
આ સૂક્ષ્મ રીંગનું દળ $dm = \sigma(r) dA = (A + Br) (2 \pi r dr)$ છે.
તકતીના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને આ રીંગની જડત્વની ચાકમાત્રા $dI = dm r^{2}$ છે.
$dm$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $dI = (A + Br) (2 \pi r dr) r^{2} = 2 \pi (A r^{3} + B r^{4}) dr$ મળે છે.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ શોધવા માટે,આપણે $r = 0$ થી $r = a$ સુધી $dI$ નું સંકલન કરીએ છીએ:
$I = \int_{0}^{a} 2 \pi (A r^{3} + B r^{4}) dr = 2 \pi \left[ \frac{A r^{4}}{4} + \frac{B r^{5}}{5} \right]_{0}^{a}$.
$I = 2 \pi \left( \frac{A a^{4}}{4} + \frac{B a^{5}}{5} \right) = 2 \pi a^{4} \left( \frac{A}{4} + \frac{aB}{5} \right)$.

(B) $m$ દળ અને $l$ લંબાઈના સમાન સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{ml^2}{12}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,કેન્દ્રથી $d = \frac{l}{4}$ અંતરે આવેલી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + md^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$I = \frac{ml^2}{12} + m(\frac{l}{4})^2 = \frac{ml^2}{12} + \frac{ml^2}{16}$ મળે.
લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી લેતા,$I = \frac{4ml^2 + 3ml^2}{48} = \frac{7ml^2}{48}$ થાય.
ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k$ ને $I = mk^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી $mk^2 = \frac{7ml^2}{48}$.
આમ,$k^2 = \frac{7l^2}{48}$,જેનું સાદું રૂપ $k = \sqrt{\frac{7}{48}} l$ મળે છે.

(N/A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ નિશ્ચિત અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ કરતો હોય,ત્યારે પદાર્થનો દરેક કણ $i$ એ $v_{i} = r_{i} \omega$ રેખીય વેગ સાથે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે,જ્યાં $i = 1, 2, \ldots, n$ છે.
આ કણની ગતિઊર્જા $K_{i} = \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2} = \frac{1}{2} m_{i} r_{i}^{2} \omega^{2}$ છે.
ભ્રમણ કરતા પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા $K$ એ તેના તમામ કણોની ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$K = \sum K_{i} = \sum \frac{1}{2} m_{i} r_{i}^{2} \omega^{2} = \frac{1}{2} \omega^{2} \sum m_{i} r_{i}^{2}$.
આ સમીકરણની સરખામણી સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} M v^{2}$ સાથે કરતા,આપણે જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ને $I = \sum_{i=1}^{n} m_{i} r_{i}^{2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.
વ્યાખ્યા: દ્રઢ પદાર્થની કોઈ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા એટલે પદાર્થના દરેક કણના દળ અને તે કણના ભ્રમણાક્ષથી લંબ અંતરના વર્ગના ગુણાકારનો સરવાળો.
જડત્વની ચાકમાત્રા પર આધાર રાખતા પરિબળો: તે પદાર્થનું દળ,પદાર્થનો આકાર અને કદ,અક્ષની આસપાસ દળનું વિતરણ અને ભ્રમણાક્ષનું સ્થાન તથા દિશા પર આધાર રાખે છે.
એકમ: જડત્વની ચાકમાત્રાનો $SI$ એકમ $\text{kg} \cdot \text{m}^{2}$ છે.
પારિમાણિક સૂત્ર: તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{1} L^{2} T^{0}]$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $M$ દળ ધરાવતી એક સમાન વર્તુળાકાર રીંગનો વિચાર કરો.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ને $I = \sum m_i r_i^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
રીંગ માટે,દરેક દળનો ઘટક $dm$ એ કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને રીંગના સમતલને લંબ અક્ષથી $R$ જેટલા અચળ અંતરે છે.
તેથી,$I = \int R^2 dm$.
અહીં $R$ અચળ હોવાથી,$I = R^2 \int dm$.
જેમ કે $\int dm = M$,તેથી આપણને $I = MR^2$ મળે છે.

(N/A) તંત્ર તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સળિયાને લંબ અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ કરી રહ્યું છે.
ધારો કે $C$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર છે. દરેક નાના દળનું કેન્દ્રથી અંતર $\frac{l}{2}$ છે.
ઉલ્લેખિત અક્ષને અનુલક્ષીને દરેક દળની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_i = m r^2 = \left(\frac{M}{2}\right)\left(\frac{l}{2}\right)^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I = I_1 + I_2 = \left(\frac{M}{2}\right)\left(\frac{l}{2}\right)^{2} + \left(\frac{M}{2}\right)\left(\frac{l}{2}\right)^{2}$
$I = 2 \times \left(\frac{M}{2}\right)\left(\frac{l}{2}\right)^{2}$
$I = M \times \frac{l^2}{4} = \frac{M l^{2}}{4}$

(N/A) પરિભ્રમણ ત્રિજ્યા એ એક એવો પ્રાચલ છે જે વર્ણવે છે કે પરિભ્રમણ કરતા દ્રઢ પદાર્થનું દળ પરિભ્રમણની અક્ષની સાપેક્ષમાં કેવી રીતે વિતરિત થયેલું છે.
તે પદાર્થના જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ અને કુલ દળ $(M)$ સાથે સંબંધિત છે.
ધારો કે એક દ્રઢ પદાર્થ આપેલ અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણ કરે છે,જે $n$ કણોનો બનેલો છે,જેમાં દરેક કણનું દળ $m$ છે. દ્રઢ પદાર્થનું કુલ દળ $M = n m$ છે.
આપેલ અક્ષની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ છે:
$I = m_{1} r_{1}^{2} + m_{2} r_{2}^{2} + \ldots + m_{n} r_{n}^{2}$
બધા કણો માટે $m_{i} = m$ હોવાથી:
$I = m r_{1}^{2} + m r_{2}^{2} + \ldots + m r_{n}^{2} = m (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + \ldots + r_{n}^{2})$
$n$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$I = (m n) \left[ \frac{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + \ldots + r_{n}^{2}}{n} \right]$
આપણે પરિભ્રમણ ત્રિજ્યા $k$ ને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ કે $k^2 = \frac{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + \ldots + r_{n}^{2}}{n}$.
આમ,જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ મળે છે:
$I = M k^{2}$
અહીં,$k$ એ પરિભ્રમણની અક્ષથી કણોના અંતરનું સરેરાશ વર્ગમૂળ (root mean square distance) દર્શાવે છે.

(N/A) જડત્વની ચાકમાત્રાનો વ્યવહારુ ઉપયોગ સ્ટીમ એન્જિન અને ઓટોમોબાઈલ એન્જિન જેવા મશીનોમાં જોવા મળે છે.
આવા મશીનોમાં ખૂબ મોટી જડત્વની ચાકમાત્રા ધરાવતી એક ડિસ્કનો ઉપયોગ થાય છે,જેને ફ્લાય વ્હીલ (flywheel) કહેવામાં આવે છે.
ફ્લાય વ્હીલ વાહનની ઝડપમાં થતા અચાનક વધારા કે ઘટાડાનો વિરોધ કરે છે.
પરિણામે,ગતિમાં આવતા આંચકા (jerks) ઘટે છે,જેનાથી મુસાફરી અથવા મશીનનું સંચાલન સરળ અને સુગમ બને છે.

(N/A) કોઈપણ પરિભ્રમણ અક્ષને અનુલક્ષીને દ્રઢ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ એટલે તે પદાર્થના ઘટક કણોના દળ અને અક્ષથી તેમના લંબ અંતરના વર્ગના ગુણાકારનો સરવાળો. ગાણિતિક રીતે,$I = \sum m_i r_i^2$.
$1$. $SI$ એકમ: જડત્વની ચાકમાત્રાનો $SI$ એકમ $kg \cdot m^2$ છે.
$2$. પારિમાણિક સૂત્ર: $I = M \cdot L^2$ હોવાથી,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^0]$ છે.

(N/A) દ્રઢ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. પદાર્થનું દળ: જડત્વની ચાકમાત્રા પદાર્થના દળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$2$. દળનું વિતરણ: તે પરિભ્રમણની અક્ષની સાપેક્ષમાં દળ કેવી રીતે વિતરિત થયેલું છે તેના પર આધાર રાખે છે. જો વધુ દળ અક્ષથી દૂર કેન્દ્રિત હોય,તો જડત્વની ચાકમાત્રા વધે છે.
$3$. પરિભ્રમણની અક્ષનું સ્થાન અને દિશા: જો પરિભ્રમણની અક્ષ બદલવામાં આવે અથવા પદાર્થની સાપેક્ષમાં તેની દિશા બદલવામાં આવે,તો જડત્વની ચાકમાત્રા બદલાય છે.

(C) ભ્રમણ કરતી દ્રઢ પદાર્થનું કોણીય વેગમાન $L$ એ સંબંધ $L = I\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
આ સંબંધ પરથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = L/\omega$ થાય છે.
જોકે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ ભ્રમણાક્ષની સાપેક્ષમાં પદાર્થના દળના વિતરણનો ગુણધર્મ છે અને તે $I = \sum m_i r_i^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કારણ કે $I$ માત્ર પદાર્થના દળ અને તેની ભૂમિતિ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે કોણીય વેગમાન $L$ અને કોણીય વેગ $\omega$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,કોણીય વેગમાનમાં ફેરફાર થવાથી જડત્વની ચાકમાત્રા બદલાતી નથી.

(A) રેખીય ગતિમાં,પદાર્થની તેની ગતિની સ્થિતિમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરવાની ક્ષમતાને દળ $(m)$ કહેવામાં આવે છે.
ચાકગતિમાં,પદાર્થની તેની ચાકગતિની સ્થિતિમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરવાની ક્ષમતાને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રા એ રેખીય ગતિના દળની ચાકગતિમાં સમકક્ષ રાશિ છે.

(N/A) કોઈ અક્ષને અનુલક્ષીને પદાર્થની પરિભ્રમણ ત્રિજ્યા એટલે પરિભ્રમણ અક્ષથી તે બિંદુ સુધીનું અંતર કે જ્યાં પદાર્થનું સમગ્ર દળ કેન્દ્રિત થયેલું હોય તો તે પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા,વાસ્તવિક પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા જેટલી જ થાય.
ગાણિતિક રીતે,$I = MK^2$,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ કુલ દળ છે અને $K$ એ પરિભ્રમણ ત્રિજ્યા છે.
આમ,$K = \sqrt{I/M}$.
એકમ: પરિભ્રમણ ત્રિજ્યાનો $SI$ એકમ મીટર $(m)$ છે.
પારિમાણિક સૂત્ર: તે અંતર દર્શાવતું હોવાથી,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^1 T^0]$ છે.

(A) હા,એક જ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા જુદી જુદી હોઈ શકે છે. જડત્વની ચાકમાત્રા એ પરિભ્રમણની અક્ષની સાપેક્ષે દ્રવ્યમાનના વિતરણ પર આધાર રાખે છે. જેમ પરિભ્રમણની અક્ષ બદલાય છે,તેમ અક્ષથી દ્રવ્યમાનના ઘટકોનું અંતર બદલાય છે,જેના પરિણામે જડત્વની ચાકમાત્રામાં ફેરફાર થાય છે.

(A) ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $(k)$ એ પરિભ્રમણની અક્ષથી તે બિંદુ સુધીનું અંતર છે જ્યાં પદાર્થનું સમગ્ર દળ કેન્દ્રિત થયેલું હોય તેમ માની શકાય,જેથી તેની જડત્વની ચાકમાત્રામાં કોઈ ફેરફાર ન થાય.
તે અંતર દર્શાવતું હોવાથી,તેનો $SI$ એકમ મીટર $(m)$ છે.

(N/A) કોઈ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m_i$ એ દળનો ઘટક છે અને $r_i$ એ પરિભ્રમણની અક્ષથી તેનું લંબ અંતર છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પોલા નળાકાર માટે,તેનું તમામ દળ સંમિતિની અક્ષથી $R$ અંતરે વિતરિત થયેલું હોય છે. તેથી,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cylinder} = MR^2$ છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળા માટે,દળ તેના સમગ્ર કદમાં વિતરિત થયેલું હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું મોટાભાગનું દળ સંમિતિની અક્ષથી $r < R$ અંતરે આવેલું હોય છે. તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{sphere} = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
કારણ કે $\frac{2}{5}MR^2 < MR^2$,તેથી નક્કર ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા પોલા નળાકાર કરતા ઓછી હોય છે.

(N/A) આપેલ છે કે ચોરસ પ્લેટ $S$ નું ક્ષેત્રફળ લંબચોરસ પ્લેટ $R$ ના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે.
તેથી,$c^2 = a \times b$,જે સૂચવે છે કે $c^2 = ab$.
ધારો કે બંને પ્લેટનું દળ $M$ છે.
$x$-અક્ષ (કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને બાજુ $a$ ને સમાંતર) વિશે $a$ અને $b$ બાજુઓ ધરાવતી લંબચોરસ પ્લેટની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{xR} = \frac{Mb^2}{12}$ છે.
$x$-અક્ષ વિશે $c$ બાજુ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{xS} = \frac{Mc^2}{12}$ છે.
$(i)$ $\frac{I_{xR}}{I_{xS}} = \frac{Mb^2/12}{Mc^2/12} = \frac{b^2}{c^2} = \frac{b^2}{ab} = \frac{b}{a}$. લંબચોરસ માટે $a > b$ હોવાથી,$\frac{b}{a} < 1$,તેથી $\frac{I_{xR}}{I_{xS}} < 1$.
$(ii)$ તેવી જ રીતે,$I_{yR} = \frac{Ma^2}{12}$ અને $I_{yS} = \frac{Mc^2}{12}$.
$\frac{I_{yR}}{I_{yS}} = \frac{a^2}{c^2} = \frac{a^2}{ab} = \frac{a}{b}$. $a > b$ હોવાથી,$\frac{a}{b} > 1$,તેથી $\frac{I_{yR}}{I_{yS}} > 1$.
$(iii)$ લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_z = I_x + I_y$.
$I_{zR} = \frac{M(a^2 + b^2)}{12}$ અને $I_{zS} = \frac{M(c^2 + c^2)}{12} = \frac{2Mc^2}{12}$.
$\frac{I_{zR}}{I_{zS}} = \frac{a^2 + b^2}{2c^2} = \frac{a^2 + b^2}{2ab}$.
$(a - b)^2 > 0$ હોવાથી,આપણી પાસે $a^2 + b^2 > 2ab$ છે,તેથી $\frac{a^2 + b^2}{2ab} > 1$,જે સૂચવે છે કે $\frac{I_{zR}}{I_{zS}} > 1$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $E(0, 0)$,$G(a, 0)$,અને $F(a/2, a\sqrt{3}/2)$ છે.
રેખા $EX$ એ $y$-અક્ષ છે ($E$ આગળ $EG$ ને લંબ).
$y$-અક્ષથી $E, G, F$ પરના કણોના અંતર $r_E = 0$,$r_G = a$,અને $r_F = a/2$ છે.
$y$-અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા મળે છે.
$I = m(0)^2 + m(a)^2 + m(a/2)^2$
$I = 0 + ma^2 + \frac{ma^2}{4} = \frac{5}{4} ma^2$.
આપણને $I = \frac{N}{20} ma^2$ આપેલ છે.
બંને પદોને સરખાવતા: $\frac{5}{4} ma^2 = \frac{N}{20} ma^2$.
$\frac{5}{4} = \frac{N}{20} \implies N = \frac{5 \times 20}{4} = 25$.

(C) આપેલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M \left(\frac{R^2}{4} + \frac{L^2}{12}\right)$ છે.
દળ $M$ અને ઘનતા $\rho$ અચળ હોવાથી,કદ $V = \pi R^2 L$ અચળ રહેશે.
તેથી,$R^2 L = K$ (જ્યાં $K$ અચળાંક છે).
$R$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2RL + R^2 \frac{dL}{dR} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dL}{dR} = -\frac{2L}{R}$.
$I$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,$\frac{dI}{dR} = 0$ લેતા:
$\frac{dI}{dR} = M \left(\frac{2R}{4} + \frac{2L}{12} \frac{dL}{dR}\right) = 0$.
$\frac{R}{2} + \frac{L}{6} \left(-\frac{2L}{R}\right) = 0$.
$\frac{R}{2} - \frac{L^2}{3R} = 0$.
$\frac{R}{2} = \frac{L^2}{3R} \Rightarrow \frac{L^2}{R^2} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$\frac{L}{R} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.

(B) સમાન તક્તિની તેની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તક્તિઓ સમાન દ્રવ્યની બનેલી છે અને સમાન જાડાઈ $t$ ધરાવે છે,તેથી દળ $M$ ને $M = \rho V = \rho (\pi R^{2} t)$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $\rho$ ઘનતા છે.
આ કિંમત $I$ ના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{2} (\rho \pi R^{2} t) R^{2} = \frac{1}{2} \rho \pi t R^{4}$ મળે છે.
અહીં $\rho$,$\pi$,અને $t$ બંને તક્તિઓ માટે અચળ હોવાથી,$I \propto R^{4}$ થાય.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{1}{16}$ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{R_{1}^{4}}{R_{2}^{4}} = \frac{1}{16}$.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા,$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
અહીં $R_{1} = R$ અને $R_{2} = \alpha R$ આપેલ હોવાથી,$\frac{R}{\alpha R} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\alpha} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\alpha = 2$.

(D) જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ મળે છે: $I = \int r^{2} dm = \int_{0}^{L} x^{2} \lambda(x) dx$.
$\lambda(x) = \lambda_{0}(1 + \frac{x}{L})$ મૂકતા:
$I = \int_{0}^{L} x^{2} \lambda_{0}(1 + \frac{x}{L}) dx = \lambda_{0} \int_{0}^{L} (x^{2} + \frac{x^{3}}{L}) dx$
$I = \lambda_{0} [\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{4L}]_{0}^{L} = \lambda_{0} (\frac{L^{3}}{3} + \frac{L^{3}}{4}) = \frac{7}{12} \lambda_{0} L^{3} \quad ...(i)$
હવે,કુલ દળ $M$ ની ગણતરી કરીએ:
$M = \int_{0}^{L} \lambda(x) dx = \int_{0}^{L} \lambda_{0}(1 + \frac{x}{L}) dx = \lambda_{0} [x + \frac{x^{2}}{2L}]_{0}^{L} = \lambda_{0} (L + \frac{L}{2}) = \frac{3}{2} \lambda_{0} L$
આમ,$\lambda_{0} L = \frac{2}{3} M \quad ...(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$I = \frac{7}{12} (\lambda_{0} L) L^{2} = \frac{7}{12} (\frac{2}{3} M) L^{2} = \frac{14}{36} M L^{2} = \frac{7}{18} M L^{2}$
$I \approx 0.388 M L^{2}$.

(A) ધારો કે $M$ દળ,$H$ ઊંચાઈ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતો એક પોલો શંકુ છે. તેની ત્રાંસી ઊંચાઈ $L = \sqrt{R^2 + H^2}$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો છે,તેથી $\tan \theta = R/H$.
અક્ષ પર શિરોબિંદુથી $y$ અંતરે એક પાતળી વર્તુળાકાર રીંગ લો,જેની ત્રાંસી ઊંચાઈ પર જાડાઈ $dy$ છે.
આ રીંગની ત્રિજ્યા $r = y \tan \theta$ છે.
રીંગની ત્રાંસી લંબાઈ $dl = dy / \cos \theta$ છે.
શંકુનું પૃષ્ઠફળ $A = \pi R L = \pi R \sqrt{R^2 + H^2}$ છે.
એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma = M / A = M / (\pi R \sqrt{R^2 + H^2})$ છે.
રીંગનું ક્ષેત્રફળ $dA = 2 \pi r dl = 2 \pi (y \tan \theta) (dy / \cos \theta)$ છે.
રીંગનું દળ $dm = \sigma dA = \frac{M}{\pi R \sqrt{R^2 + H^2}} \cdot 2 \pi (y \tan \theta) \frac{dy}{\cos \theta} = \frac{2M}{R \sqrt{R^2 + H^2}} \cdot \frac{\tan \theta}{\cos \theta} y dy$.
કારણ કે $\tan \theta = R/H$ અને $\cos \theta = H/L = H/\sqrt{R^2 + H^2}$,તેથી $\frac{\tan \theta}{\cos \theta} = \frac{R/H}{H/L} = \frac{RL}{H^2} = \frac{R\sqrt{R^2+H^2}}{H^2}$.
આમ,$dm = \frac{2M}{R\sqrt{R^2+H^2}} \cdot \frac{R\sqrt{R^2+H^2}}{H^2} y dy = \frac{2M}{H^2} y dy$.
આ રીંગની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $dI = dm \cdot r^2 = (\frac{2M}{H^2} y dy) (y \tan \theta)^2 = \frac{2M}{H^2} \tan^2 \theta \cdot y^3 dy$.
$y=0$ થી $y=H$ સુધી સંકલન કરતા:
$I = \int_0^H \frac{2M}{H^2} (R/H)^2 y^3 dy = \frac{2MR^2}{H^4} \int_0^H y^3 dy = \frac{2MR^2}{H^4} [\frac{y^4}{4}]_0^H = \frac{2MR^2}{H^4} \cdot \frac{H^4}{4} = \frac{MR^2}{2}$.

(C) ધારો કે ચોરસના ખૂણાઓ $(0,0)$,$(\ell, 0)$,$(\ell, \ell)$,અને $(0, \ell)$ પર છે. અક્ષ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $(0, \ell)$ તથા $(\ell, 0)$ ને જોડતા વિકર્ણને સમાંતર છે. આ વિકર્ણનું સમીકરણ $x + y = \ell$ છે. રેખા $x + y - \ell = 0$ થી બિંદુ $(x, y)$ નું લંબ અંતર $r = \frac{|x + y - \ell|}{\sqrt{2}}$ છે.
ચાર દળો માટે:
$1$. $(0,0)$ પર: $r_1 = \frac{|0 + 0 - \ell|}{\sqrt{2}} = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$.
$2$. $(\ell, 0)$ પર: $r_2 = \frac{|\ell + 0 - \ell|}{\sqrt{2}} = 0$.
$3$. $(0, \ell)$ પર: $r_3 = \frac{|0 + \ell - \ell|}{\sqrt{2}} = 0$.
$4$. $(\ell, \ell)$ પર: $r_4 = \frac{|\ell + \ell - \ell|}{\sqrt{2}} = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$.
અક્ષની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum mr_i^2 = m \left( \left(\frac{\ell}{\sqrt{2}}\right)^2 + 0^2 + 0^2 + \left(\frac{\ell}{\sqrt{2}}\right)^2 \right) = m \left( \frac{\ell^2}{2} + \frac{\ell^2}{2} \right) = m\ell^2$.
કોણીય વેગમાન $L = I\omega = m\ell^2\omega$. તેથી,ખૂટતી કિંમત $1$ છે.

(C) બિંદુવત દળની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ પરિભ્રમણની અક્ષથી લંબ અંતર છે.
ધારો કે અક્ષ $A$ માંથી પસાર થાય છે અને વિકર્ણ $DB$ ને સમાંતર છે.
આ અક્ષથી ચાર દળોના લંબ અંતર નીચે મુજબ છે:
$1$. $A$ પરના દળ માટે: $r_A = 0$ (કારણ કે અક્ષ $A$ માંથી પસાર થાય છે).
$2$. $B$ પરના દળ માટે: $r_B = l \sin(45^\circ) = l / \sqrt{2}$.
$3$. $D$ પરના દળ માટે: $r_D = l \sin(45^\circ) = l / \sqrt{2}$.
$4$. $C$ પરના દળ માટે: $r_C = l \sin(45^\circ) + l \sin(45^\circ) = l / \sqrt{2} + l / \sqrt{2} = 2l / \sqrt{2} = l \sqrt{2}$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m(r_A^2 + r_B^2 + r_D^2 + r_C^2)$ છે.
$I = m [0^2 + (l / \sqrt{2})^2 + (l / \sqrt{2})^2 + (l \sqrt{2})^2]$
$I = m [0 + l^2/2 + l^2/2 + 2l^2]$
$I = m [l^2 + 2l^2] = 3 m l^2$.

(C) તારની લંબાઈ $L$ છે. જ્યારે તેને $r$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળમાં વાળવામાં આવે,ત્યારે ચાપની લંબાઈ $\pi r = L$ થાય.
આમ,ત્રિજ્યા $r = \frac{L}{\pi}$ મળે.
તારના તમામ બિંદુઓ અર્ધવર્તુળના કેન્દ્રથી સમાન અંતર $r$ પર હોવાથી,કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \int r^2 dm = r^2 \int dm$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\int dm = M$ હોવાથી,$I = Mr^2$ થાય.
$r = \frac{L}{\pi}$ કિંમત મૂકતા,$I = M \left( \frac{L}{\pi} \right)^2 = \frac{ML^2}{\pi^2}$ મળે છે.

(C) દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતી પાતળી વર્તુળાકાર રીંગ માટે,તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{1} = \frac{1}{2} MR^{2}$ છે.
દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતી માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તકતીને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{2} = \frac{1}{2} MR^{2}$ છે.
દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતા નક્કર નળાકાર માટે,તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{3} = \frac{1}{2} MR^{2}$ છે.
દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતા નક્કર ગોળા માટે,તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{4} = \frac{2}{5} MR^{2}$ છે.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $I_{1} = I_{2} = I_{3} = 0.5 MR^{2}$ અને $I_{4} = 0.4 MR^{2}$ છે.
તેથી,$I_{1} = I_{2} = I_{3} > I_{4}$ થાય.

(B) સળિયાની કુલ લંબાઈ $L = 2.4 \,m$ છે. તેને $6$ બાજુઓવાળા ષટ્કોણમાં વાળવામાં આવે છે,તેથી દરેક બાજુની લંબાઈ $\ell = \frac{2.4}{6} = 0.4 \,m$ છે.
કુલ સળિયાનું દળ $M = 6 \,kg$ છે,તેથી દરેક બાજુનું દળ $m = \frac{6}{6} = 1 \,kg$ છે.
નિયમિત ષટ્કોણ માટે,કેન્દ્રથી બાજુના મધ્યબિંદુ સુધીનું અંતર $r = \ell \sin 60^{\circ} = \ell \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
એક બાજુની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{m \ell^2}{12}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,ષટ્કોણના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને એક બાજુની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = I_{cm} + m r^2 = \frac{m \ell^2}{12} + m \left(\frac{\ell \sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{m \ell^2}{12} + \frac{3 m \ell^2}{4} = \frac{m \ell^2 + 9 m \ell^2}{12} = \frac{10 m \ell^2}{12} = \frac{5}{6} m \ell^2$ થાય.
આવી $6$ બાજુઓ હોવાથી,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 6 \times I_1 = 6 \times \frac{5}{6} m \ell^2 = 5 m \ell^2$ થાય.
$m = 1 \,kg$ અને $\ell = 0.4 \,m$ કિંમતો મૂકતા:
$I = 5 \times 1 \times (0.4)^2 = 5 \times 0.16 = 0.8 \,kg \cdot m^2$.
આમ,$I = 8 \times 10^{-1} \,kg \cdot m^2$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: દરેક ગોળાનું દળ $M = 1.5\, {kg}$,ત્રિજ્યા $r = 50\, {cm} = 0.5\, {m}$,અને કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $L = 5\, {m}$.
ભ્રમણાક્ષ સળિયાના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,જે તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પણ છે.
દરેક ગોળાના કેન્દ્રથી ભ્રમણાક્ષનું અંતર $d = L/2 = 5/2 = 2.5\, {m}$ છે.
દરેક ગોળા માટે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,અક્ષને અનુલક્ષીને એક ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{sphere} = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{5}Mr^2 + Md^2$ થાય.
તંત્રમાં બે સમાન ગોળાઓ હોવાથી,તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = 2 \times (\frac{2}{5}Mr^2 + Md^2)$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $I_{total} = 2 \times [\frac{2}{5} \times 1.5 \times (0.5)^2 + 1.5 \times (2.5)^2]$.
$I_{total} = 2 \times [0.4 \times 1.5 \times 0.25 + 1.5 \times 6.25]$.
$I_{total} = 2 \times [0.15 + 9.375] = 2 \times 9.525 = 19.05\, {kgm}^{2}$.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^{2}$ છે.
રીંગ પર દળ સમાન રીતે વહેંચાયેલું હોવાથી,$90^{\circ}$ નો સેક્ટર (જે કુલ પરિઘનો $1/4$ ભાગ છે) દૂર કર્યા પછી બાકી રહેલી રીંગનું દળ $M' = M - \frac{1}{4}M = \frac{3}{4}M$ થશે.
અક્ષથી $R$ અંતરે રહેલા $m$ દળના કણની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mR^{2}$ છે. રીંગનો દરેક બિંદુ કેન્દ્રિય અક્ષથી સમાન અંતર $R$ પર હોવાથી,$M'$ દળ ધરાવતા રીંગના કોઈપણ ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = M'R^{2}$ થશે.
$M' = \frac{3}{4}M$ મૂકતા,આપણને $I' = \frac{3}{4}MR^{2}$ મળે છે.
આને $I' = KMR^{2}$ સાથે સરખાવતા,$K = \frac{3}{4}$ મળે છે.

(B) લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,વર્તુળાકાર તકતી જેવા સમતલીય પદાર્થ માટે,$I_{z} = I_{x} + I_{y}$ થાય છે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K$ એ $I = MK^{2}$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $M$ એ પદાર્થનું દળ છે.
આને પ્રમેયમાં મૂકતા: $MK_{z}^{2} = MK_{x}^{2} + MK_{y}^{2}$,જેનું સાદું રૂપ $K_{z}^{2} = K_{x}^{2} + K_{y}^{2}$ થાય છે.
કારણ કે $K_{z}^{2} = K_{x}^{2} + K_{y}^{2}$,તેથી ત્રણેય અક્ષોને અનુલક્ષીને ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા સમાન હોઈ શકે નહીં. આમ,વિધાન $A$ ખોટું છે.
કારણ $R$ જણાવે છે કે દ્રઢ પદાર્થનું દળ અને આકાર નિશ્ચિત હોય છે,જે ચાકગતિમાં દ્રઢ પદાર્થની સાચી વ્યાખ્યા છે. તેથી,$A$ ખોટું છે પરંતુ $R$ સાચું છે.

(C) ધારો કે $\sigma$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ (પૃષ્ઠ દળ ઘનતા) છે. બંને તક્તિઓ માટે $\sigma$ સમાન હોવાથી:
મોટી તક્તિનું દળ,$M = \sigma \pi R^{2}$
નાની તક્તિનું દળ,$m = \sigma \pi r^{2}$
મોટી તક્તિની અક્ષ $AB$ (કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{1} = \frac{1}{2} MR^{2} = \frac{1}{2} (\sigma \pi R^{2}) R^{2} = \frac{1}{2} \sigma \pi R^{4}$ છે.
નાની તક્તિની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{2} = \frac{1}{4} mr^{2} = \frac{1}{4} (\sigma \pi r^{2}) r^{2} = \frac{1}{4} \sigma \pi r^{4}$ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રાઓનો ગુણોત્તર $\frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{\frac{1}{2} \sigma \pi R^{4}}{\frac{1}{4} \sigma \pi r^{4}} = \frac{1/2}{1/4} \cdot \frac{R^{4}}{r^{4}} = 2 \frac{R^{4}}{r^{4}}$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $2R^{4}:r^{4}$ છે.