Angular Momentum and Angular Impulse Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે: દળ $m = 0.5\, kg$,ત્રિજ્યા $r = 2\, m$,કેન્દ્રગામી બળ $F_c = 9\, N$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{r}$.
કિંમતો મૂકતા: $9 = \frac{0.5 \times v^2}{2}$.
$9 = 0.25 \times v^2 \implies v^2 = \frac{9}{0.25} = 36$.
તેથી,વેગ $v = 6\, m/s$.
કોણીય વેગમાન $L = mvr$.
$L = 0.5 \times 6 \times 2 = 6\, J\cdot s$.

(C) કોણીય વેગમાન $(L)$ માં થતો ફેરફાર એ પરિભ્રમણના બિંદુને અનુલક્ષીને લાગતા કુલ ટોર્ક $(\tau)$ જેટલો હોય છે.
$\frac{dL}{dt} = \tau$
$\Rightarrow dL = \tau dt$
સૌથી નીચેના બિંદુ (જમીન સાથેના સંપર્ક બિંદુ) ને અનુલક્ષીને ટોર્ક લેતા,બળ $F$ ની કાર્યરેખાનું સૌથી નીચેના બિંદુથી લંબ અંતર $(R + r)$ છે.
$\tau = F \times (R + r) = 2t(R + r)$
આ કિંમતને કોણીય વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$dL = 2t(R + r) dt$
$t = 0$ થી $t$ સુધી સંકલન કરતા (ધારો કે પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન શૂન્ય છે):
$L = \int_{0}^{t} 2t(R + r) dt$
$L = 2(R + r) \int_{0}^{t} t dt$
$L = 2(R + r) \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{t}$
$L = (R + r)t^2$

(B) બિંદુ $P$ ની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L = r \times p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ સ્થાન સદિશ છે અને $p$ એ રેખીય વેગમાન છે.
ક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે $v$ વેગથી ગતિ કરતા કણ માટે,બિંદુ $P$ થી ગતિની રેખાનું લંબ અંતર $d \cos \theta$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = m v (d \cos \theta)$ (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં).
અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,દડો તે જ ઝડપ $v$ સાથે અને ક્ષિતિજ સાથે તે જ ખૂણે $\theta$ પર પાછો ફરે છે.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = -m v (d \cos \theta)$ (ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં).
કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L_f - L_i = -m v d \cos \theta - (m v d \cos \theta) = -2m v d \cos \theta$.
કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $2mvd \cos \theta$ છે.

(B) ધારો કે સળિયાના એક છેડે આઘાત $J$ લગાડવામાં આવે છે. આ આઘાત રેખીય વેગમાન અને કોણીય વેગમાનમાં ફેરફાર કરે છે.
રેખીય આઘાત: $J = M v_{cm}$,જ્યાં $v_{cm}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે કોણીય આઘાત: $J \times \frac{L}{2} = I_{cm} \omega = \left(\frac{ML^2}{12}\right) \omega$.
આના પરથી,$\omega = \frac{6J}{ML}$.
બીજા છેડાનો વેગ $V = v_{cm} - \omega \frac{L}{2}$ છે (કારણ કે પરિભ્રમણ બીજા છેડા પર રેખીય ગતિનો વિરોધ કરે છે).
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{J}{M} - \left(\frac{6J}{ML}\right) \frac{L}{2} = \frac{J}{M} - \frac{3J}{M} = -\frac{2J}{M}$.
મૂલ્ય લેતા: $V = \frac{2J}{M} \Rightarrow J = \frac{MV}{2}$.

(C) અથડામણ દરમિયાન મધ્યબિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે તંત્રનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે કારણ કે બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી.
અથડામણ પહેલાં,સળિયો સ્થિર છે,તેથી તેનું કોણીય વેગમાન શૂન્ય છે.
$v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $m$ દળના માટીના ગોળાનું મધ્યબિંદુ $A$ થી $L/2$ અંતરે કોણીય વેગમાન $L = r \times p = (L/2) \times (mv) = \frac{mvL}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A$ ની સાપેક્ષે બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોવાથી,તંત્રનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
તેથી,અથડામણ પછી $A$ ની સાપેક્ષે માટી-સળિયા તંત્રનું કોણીય વેગમાન એ અથડામણ પહેલાંના માટીના ગોળાના કોણીય વેગમાન જેટલું જ એટલે કે $\frac{mvL}{2}$ થાય છે.

(B) ગોળા પર લાગતા બળો દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ અને નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ છે.
નિલંબન બિંદુને ઉગમબિંદુ તરીકે લેતા,ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{r} \times m\vec{g}$ છે.
આ ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = mg \ell \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ દોરી અને ઉભી અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આ ટોર્ક હંમેશા સમક્ષિતિજ દિશામાં હોય છે,જે દોરી અને ઉભી અક્ષ ધરાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
કોણીય વેગમાનના ફેરફારનો દર $\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}$ હોવાથી,ટોર્કને કારણે કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec{L}$ ની દિશા સતત બદલાતી રહે છે કારણ કે તે ઉભી અક્ષની આસપાસ પ્રિસેસન કરે છે.
જોકે,ટોર્ક હંમેશા કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec{L}$ ને લંબ હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય અચળ રહે છે.
તેથી,કોણીય વેગમાનની દિશા બદલાય છે પરંતુ મૂલ્ય બદલાતું નથી.

(C) ધારો કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો અંતિમ વેગ $V$ છે અને સળિયા દ્વારા પ્રાપ્ત કોણીય વેગ $\omega$ છે.
રેખીય ગતિ માટે આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ: $J = m(V - u) \quad ...(1)$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ કોણીય આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ: $J \cdot \frac{l}{4} = I \omega = \left(\frac{ml^2}{12}\right) \omega \quad ...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે: $m(V - u) \cdot \frac{l}{4} = \frac{ml^2}{12} \omega \implies V - u = \frac{l}{3} \omega \implies V = u + \frac{l}{3} \omega \quad ...(3)$
કેન્દ્રથી $l/4$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ નો વેગ $V_P = V + \omega \cdot \frac{l}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V_P = 2u$,તેથી $2u = V + \frac{l}{4} \omega \quad ...(4)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $V$ ની કિંમત $(4)$ માં મૂકતા: $2u = (u + \frac{l}{3} \omega) + \frac{l}{4} \omega$
$u = \omega l \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = \omega l \left(\frac{7}{12}\right) \implies \omega l = \frac{12}{7} u$
હવે,$\omega l$ ની કિંમત $V$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $V = u + \frac{1}{3} \left(\frac{12}{7} u\right) = u + \frac{4}{7} u = \frac{11}{7} u$.

(A) કણનું વેગમાન $p = m \times V = 5 \times 3 \sqrt{2} = 15 \sqrt{2} \text{ units}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ $Y = X + 4$ રેખા પર ગતિ કરે છે,જેને $X - Y + 4 = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી $AX + BY + C = 0$ રેખા સુધીનું લંબ અંતર $r_{\perp} = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$A = 1, B = -1, C = 4$ કિંમતો મૂકતા,આપણને $r_{\perp} = \frac{|4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2} \text{ units}$ મળે છે.
ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $L$ નું મૂલ્ય $L = p \times r_{\perp}$ છે.
$L = (15 \sqrt{2}) \times (2 \sqrt{2}) = 15 \times 2 \times 2 = 60 \text{ units}$.

(B) રેખાનું સમીકરણ $Y = X + 4$ છે,જેને $X - Y + 4 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $d$ એ સૂત્ર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$d = \frac{|1(0) - 1(0) + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$.
ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = mvd$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો $m = 5$,$v = 3\sqrt{2}$,અને $d = \frac{4}{\sqrt{2}}$ મૂકતા:
$L = 5 \times 3\sqrt{2} \times \frac{4}{\sqrt{2}} = 5 \times 3 \times 4 = 60$ એકમ.

(D) કોઈ બિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ સીધી રેખામાં ગતિ કરતો હોવાથી અને નિશ્ચિત બિંદુ તે જ રેખા પર હોવાથી,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને વેગ સદિશ $\vec{v}$ હંમેશા એકરેખસ્થ (સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર) હોય છે.
$\vec{r}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ કાં તો $0^\circ$ અથવા $180^\circ$ હોય છે.
તેથી,કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = |\vec{r}| |m\vec{v}| \sin(\theta) = 0$ થાય છે,કારણ કે $\sin(0^\circ) = 0$ અને $\sin(180^\circ) = 0$ છે.
આમ,ગતિ દરમિયાન કોણીય વેગમાન શૂન્ય રહે છે.

(C) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મૂલ્યમાં,$L = mvr \sin \theta$,જ્યાં $\theta$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને વેગ સદિશ $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ગતિની ભૂમિતિ પરથી,$r \sin \theta = h$,જ્યાં $h$ એ ઉગમબિંદુથી ગતિની રેખાનું લંબ અંતર છે.
કણ $x-$ અક્ષને સમાંતર સુરેખ રેખા પર અચળ વેગ $v$ થી ગતિ કરતો હોવાથી,ગતિ દરમિયાન $v$ અને $h$ બંને અચળ રહે છે.
તેથી,$L = mvh = \text{અચળ}$.
આમ,ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.

(A) ભ્રમણ કરતી વસ્તુનું કોણીય વેગમાન $L$ એ સૂત્ર $L = I\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
આપેલ છે:
$I = 0.6 \,kg \cdot m^2$
આવૃત્તિ $f = 0.5 \,rev/s$
કોણીય વેગ $\omega$ એ આવૃત્તિ સાથે $\omega = 2\pi f$ દ્વારા સંબંધિત છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\omega = 2 \times \pi \times 0.5 = \pi \,rad/s$.
હવે,કોણીય વેગમાનની ગણતરી કરતા:
$L = 0.6 \times \pi = 0.6\pi \,kg \cdot m^2/s$.

(B) કોઈ બિંદુ $O$ ને અનુલક્ષીને કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,કણ $r = 0.6\, m$ ત્રિજ્યાના સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં જમીનથી $h = 0.8\, m$ ઊંચાઈ પર ગતિ કરે છે.
ધારો કે વર્તુળના કેન્દ્રની બરાબર નીચે જમીન પરનું બિંદુ $O'$ છે. $O'$ ની સાપેક્ષમાં કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક $r = 0.6\, m$ અને શિરોલંબ ઘટક $h = 0.8\, m$ છે.
કણનો વેગ $\vec{v}$ છે,જે વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શક છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $v = r\omega = 0.6 \times 12 = 7.2\, m/s$ છે.
$O'$ ને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાન $L = |\vec{r} \times m\vec{v}| = mvr_{\perp}$ છે,જ્યાં $r_{\perp}$ એ $O'$ માંથી પસાર થતી પરિભ્રમણની ધરીથી વેગ સદિશનું લંબ અંતર છે. વેગ સમક્ષિતિજ હોવાથી અને બિંદુ $O'$ શિરોલંબ ધરી પર હોવાથી,વેગની રેખાથી બિંદુ $O'$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = 0.6\, m$ જેટલું થાય છે.
આમ,$L = mvr = (2\, kg) \times (7.2\, m/s) \times (0.6\, m) = 8.64\, kg\, m^2\, s^{-1}$.

(A) કોઈ બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L = m(\vec{r} \times \vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $m$ દળ ધરાવતા કણ માટે જે $v$ ઝડપથી ગતિ કરે છે,તેનું મૂલ્ય $L = mvr_{\perp}$ છે,જ્યાં $r_{\perp}$ એ ઉગમબિંદુ $O$ થી વેગની દિશા સુધીનું લંબ અંતર છે.
વર્તુળની ભૂમિતિ પરથી,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ એ $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ કણના સ્થાન પર વર્તુળને સ્પર્શક છે. સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને વેગ સદિશ $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $(90^\circ + \theta)$ છે.
ઉગમબિંદુ $O$ થી કણનું અંતર $r = 2a \cos \theta$ છે.
કોણીય વેગમાન $L = mvr \sin(90^\circ + \theta) = mvr \cos \theta$ થાય.
$r = 2a \cos \theta$ મૂકતા,આપણને $L = mv(2a \cos \theta) \cos \theta = 2mva \cos^2 \theta$ મળે છે.
નિત્યસમ $2 \cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$L = mva(1 + \cos 2\theta)$ મળે છે.
એકમ દળ $(m=1)$ ધારતા,કોણીય વેગમાન $va(1 + \cos 2\theta)$ થાય.

(A) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં દળ $m = 2\, kg$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}(t) = 5\hat{i} - 2t^2\hat{j}$ છે.
વેગ સદિશ $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(5\hat{i} - 2t^2\hat{j}) = -4t\hat{j}$.
$t = 2\, s$ સમયે:
સ્થાન $\vec{r}(2) = 5\hat{i} - 2(2)^2\hat{j} = 5\hat{i} - 8\hat{j}$.
વેગ $\vec{v}(2) = -4(2)\hat{j} = -8\hat{j}$.
કોણીય વેગમાન $\vec{L} = m(\vec{r} \times \vec{v}) = 2 \times [(5\hat{i} - 8\hat{j}) \times (-8\hat{j})]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ અને $\hat{j} \times \hat{j} = 0$:
$\vec{L} = 2 \times [5\hat{i} \times (-8\hat{j}) - 8\hat{j} \times (-8\hat{j})] = 2 \times [-40\hat{k} - 0] = -80\hat{k}\, kg\, m^2\, s^{-1}$.

(A) આપેલ છે: $\vec r(t) = 2t \hat i - 3t^2 \hat j$ અને $m = 2 \ kg$.
વેગ $\vec v = \frac{d\vec r}{dt} = 2 \hat i - 6t \hat j$.
$t = 2 \ s$ સમયે,સ્થાન $\vec r = 2(2) \hat i - 3(2)^2 \hat j = 4 \hat i - 12 \hat j$.
$t = 2 \ s$ સમયે,વેગ $\vec v = 2 \hat i - 6(2) \hat j = 2 \hat i - 12 \hat j$.
વેગમાન $\vec p = m \vec v = 2(2 \hat i - 12 \hat j) = 4 \hat i - 24 \hat j$.
કોણીય વેગમાન $\vec L = \vec r \times \vec p = (4 \hat i - 12 \hat j) \times (4 \hat i - 24 \hat j)$.
સદિશ ગુણાકારનો ઉપયોગ કરતા: $\vec L = [4(-24) - (-12)(4)] \hat k = (-96 + 48) \hat k = -48 \hat k$.

(B) સદિશ રાશિ એ એવી ભૌતિક રાશિ છે જે મૂલ્ય અને દિશા બંને ધરાવે છે.
અંતર,ઉષ્મા અને ઉર્જા એ અદિશ રાશિઓ છે કારણ કે તેઓ માત્ર મૂલ્ય ધરાવે છે.
કોણીય વેગમાનને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને રેખીય વેગમાન $\vec{p}$ ના સદિશ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ દ્વારા દર્શાવાય છે.
તે સદિશ ગુણાકાર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોવાથી અને ચોક્કસ દિશા (જમણા હાથના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે) ધરાવતું હોવાથી,કોણીય વેગમાન એ સદિશ રાશિ છે.

(D) ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,કણ ઉગમબિંદુ $O$ થી $a$ જેટલા અચળ લંબ અંતરે $X$-અક્ષને સમાંતર ગતિ કરે છે.
કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $|L| = m v a \sin(\theta)$ છે,જ્યાં $\theta$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને વેગ સદિશ $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$a = r \sin(\theta)$ હોવાથી,આપણને $|L| = m v a$ મળે છે.
અહીં $m$,$v$,અને $a$ ત્રણેય અચળ હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય અચળ રહે છે.
વધુમાં,$\vec{L}$ ની દિશા (જમણા હાથના નિયમ મુજબ) $X-Y$ સમતલને લંબ ( $Z$-અક્ષની દિશામાં) છે અને કણની ગતિ દરમિયાન બદલાતી નથી.
તેથી,કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.

(A) પટ્ટો સરકતો ન હોવાથી,બંને પૈડાંની ધાર પરની રેખીય ઝડપ સમાન હોવી જોઈએ:
$v_A = v_C$
$v = r\omega$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$r_A \omega_A = r_C \omega_C$ --- $(i)$
આપેલ છે કે મોટા પૈડા $(C)$ ની ત્રિજ્યા નાના પૈડા $(A)$ કરતા ત્રણ ગણી છે:
$r_C = 3r_A$
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$r_A \omega_A = (3r_A) \omega_C$
$\omega_A = 3\omega_C$
જો બંને પૈડાંનું કોણીય વેગમાન $(L)$ સમાન હોય:
$L_A = L_C$
$I_A \omega_A = I_C \omega_C$
$\frac{I_C}{I_A} = \frac{\omega_A}{\omega_C}$
$\omega_A = 3\omega_C$ મૂકતા:
$\frac{I_C}{I_A} = \frac{3\omega_C}{\omega_C} = 3$
આમ,મોટા પૈડાની જડત્વની ચાકમાત્રાનો નાના પૈડાંની જડત્વની ચાકમાત્રા સાથેનો ગુણોત્તર $3$ છે.

(D) કક્ષીય ગતિમાં રહેલા કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ તેના સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને તેના રેખીય વેગમાન $\vec{p}$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ છે.
સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,પરિણામી સદિશ $\vec{L}$ હંમેશા $\vec{r}$ અને $\vec{p}$ બંનેને સમાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
સ્થાન સદિશ અને રેખીય વેગમાન સદિશ બંને કક્ષીય સમતલમાં આવેલા હોવાથી,કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec{L}$ કક્ષીય સમતલને લંબ હોવો જોઈએ. આ જમણા હાથના નિયમ સાથે સુસંગત છે,જ્યાં $\vec{L}$ ની દિશા ભ્રમણની ધરી પર હોય છે.

(C) $t$ સમયે કણનો સ્થાન સદિશ નીચે મુજબ છે:
$\vec{r} = (v_0 \cos \theta) t \hat{i} + ((v_0 \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2) \hat{j}$
$t$ સમયે કણનો વેગ સદિશ નીચે મુજબ છે:
$\vec{v} = (v_0 \cos \theta) \hat{i} + (v_0 \sin \theta - gt) \hat{j}$
કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ ની વ્યાખ્યા $\vec{L} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ છે:
$\vec{L} = m [((v_0 \cos \theta) t \hat{i} + ((v_0 \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2) \hat{j}) \times ((v_0 \cos \theta) \hat{i} + (v_0 \sin \theta - gt) \hat{j})]$
ક્રોસ પ્રોડક્ટ કરતા:
$\vec{L} = m [((v_0 \cos \theta) t) (v_0 \sin \theta - gt) (\hat{i} \times \hat{j}) + ((v_0 \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2) (v_0 \cos \theta) (\hat{j} \times \hat{i})]$
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$:
$\vec{L} = m [((v_0^2 \sin \theta \cos \theta) t - v_0 g t^2 \cos \theta) \hat{k} - ((v_0^2 \sin \theta \cos \theta) t - \frac{1}{2} v_0 g t^2 \cos \theta) \hat{k}]$
$\vec{L} = m [v_0^2 \sin \theta \cos \theta t - v_0 g t^2 \cos \theta - v_0^2 \sin \theta \cos \theta t + \frac{1}{2} v_0 g t^2 \cos \theta] \hat{k}$
$\vec{L} = m [-\frac{1}{2} v_0 g t^2 \cos \theta] \hat{k} = -\frac{1}{2} mg v_0 t^2 \cos \theta \hat{k}$

(N/A) ધારો કે $m$ દળ અને $v$ વેગ ધરાવતો કણ કોઈ ક્ષણ $t$ પર બિંદુ $P$ પર છે. આપણે કોઈ યાદચ્છિક બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન ગણવા માંગીએ છીએ.
કોણીય વેગમાન $l = r \times mv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેનું મૂલ્ય $mvr \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $r$ અને $v$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જોકે કણ સમય સાથે તેનું સ્થાન બદલે છે,પરંતુ $v$ ની દિશાની રેખા સમાન રહે છે. $O$ થી કણની ગતિની રેખાનું લંબ અંતર $d = r \sin \theta$ છે,જે અચળ છે.
વધુમાં,$l$ ની દિશા $r$ અને $v$ ધરાવતા સમતલને લંબ છે. આ દિશા સમય સાથે બદલાતી નથી. આમ,$l$ મૂલ્ય અને દિશામાં સમાન રહે છે અને તેથી તે સંરક્ષિત છે.

(A) કોણીય વેગમાન $\vec{l}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને રેખીય વેગમાન સદિશ $\vec{p}$ નો સદિશ ગુણાકાર છે:
$\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p} = (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \times (p_x \hat{i} + p_y \hat{j} + p_z \hat{k})$
નિશ્ચાયક સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{l} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & y & z \\ p_x & p_y & p_z \end{vmatrix} = \hat{i}(y p_z - z p_y) - \hat{j}(x p_z - z p_x) + \hat{k}(x p_y - y p_x)$
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$l_x = y p_z - z p_y$
$l_y = z p_x - x p_z$
$l_z = x p_y - y p_x$
જો કણ માત્ર $x-y$ સમતલમાં ગતિ કરતો હોય,તો $z = 0$ અને $p_z = 0$ થાય. આ કિંમતો સમીકરણોમાં મૂકતા:
$l_x = y(0) - (0)p_y = 0$
$l_y = (0)p_x - x(0) = 0$
$l_z = x p_y - y p_x$
આમ,$l_x = 0$ અને $l_y = 0$ હોવાથી,કોણીય વેગમાન માત્ર $z$-ઘટક ધરાવે છે.

(N/A) ધારો કે કોઈ ચોક્કસ ક્ષણે બે કણો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $P$ અને $Q$ બિંદુઓ પર છે.
બિંદુ $P$ ની સાપેક્ષમાં સિસ્ટમનું કોણીય વેગમાન:
$\vec{L}_{P} = m v \times 0 + m v \times d = m v d$ ... $(i)$
બિંદુ $Q$ ની સાપેક્ષમાં સિસ્ટમનું કોણીય વેગમાન:
$\vec{L}_{Q} = m v \times d + m v \times 0 = m v d$ ... $(ii)$
એક બિંદુ $R$ ધ્યાનમાં લો,જે બિંદુ $Q$ થી $y$ અંતરે છે,એટલે કે $QR = y$ અને $PR = d - y$.
બિંદુ $R$ ની સાપેક્ષમાં સિસ્ટમનું કોણીય વેગમાન:
$\vec{L}_{R} = m v \times (d - y) + m v \times y$
$= m v d - m v y + m v y$
$= m v d$ ... $(iii)$
સમીકરણો $(i)$,$(ii)$,અને $(iii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$\vec{L}_{P} = \vec{L}_{Q} = \vec{L}_{R}$ ... $(iv)$
સમીકરણ $(iv)$ પરથી આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે સમાંતર રેખાઓ પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે કણોની સિસ્ટમનું કોણીય વેગમાન તે બિંદુ પર આધાર રાખતું નથી જેની સાપેક્ષમાં તેની ગણતરી કરવામાં આવે છે.

(N/A) જેમ બળની ચાકમાત્રા એ બળનું ભ્રમણીય સમકક્ષ છે,તેમ કોણીય વેગમાન એ રેખીય વેગમાનનું ભ્રમણીય સમકક્ષ છે.
આકૃતિમાં,$Q$ એ $m$ દળનો કણ છે,જેનો કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં સ્થાન સદિશ $\vec{OQ} = \vec{r}$ છે.
$\vec{v}$ એ કણનો રેખીય વેગ છે. તેથી તેનું રેખીય વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ છે.
અહીં એ જરૂરી નથી કે કણ $Q$ કોઈ દ્રઢ પદાર્થનો ભાગ હોય અથવા તે વક્ર પથ પર ગતિ કરતો હોય.
ધારો કે $\vec{r}$ અને $\vec{p}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
$\vec{r}$ અને $\vec{p}$ ના સદિશ ગુણાકારને બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{l}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\therefore \vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}$
કોણીય વેગમાનનો એકમ $kg \cdot m^2 \cdot s^{-1}$ અથવા $J \cdot s$ છે અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-1}]$ છે.
$\vec{l}$ નું મૂલ્ય સંદર્ભ બિંદુની પસંદગી પર આધાર રાખે છે,તેથી કણના કોણીય વેગમાનને વ્યાખ્યાયિત કરતી વખતે સંદર્ભ બિંદુનો ઉલ્લેખ કરવો જરૂરી છે.
$\vec{l}$ ની દિશા જમણા હાથના સ્ક્રૂના નિયમની મદદથી મેળવી શકાય છે. અહીં $\vec{l}$ એ $OZ$ દિશામાં છે.
હવે,$\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}$.
$\therefore |\vec{l}| = r p \sin \theta = p(r \sin \theta) = p(OR)$.
$\therefore$ કણનું કોણીય વેગમાન = (રેખીય વેગમાનનું મૂલ્ય) $\times$ (સંદર્ભ બિંદુથી રેખીય વેગમાનની કાર્યરેખાનું લંબ અંતર).

(N/A) કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{l}$ એ તેના સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને રેખીય વેગમાન $\vec{p}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}$
કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ અને $\vec{p} = p_x\hat{i} + p_y\hat{j} + p_z\hat{k}$ છે.
નિશ્ચાયક (determinant) સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીને સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\vec{l} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & y & z \\ p_x & p_y & p_z \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{l} = \hat{i}(yp_z - zp_y) + \hat{j}(zp_x - xp_z) + \hat{k}(xp_y - yp_x)$
આને $\vec{l} = l_x\hat{i} + l_y\hat{j} + l_z\hat{k}$ સાથે સરખાવતા,આપણને કાર્તેઝિયન ઘટકો મળે છે:
$l_x = yp_z - zp_y$
$l_y = zp_x - xp_z$
$l_z = xp_y - yp_x$
આ ઘટકો અનુક્રમે $X$,$Y$ અને $Z$ અક્ષની દિશામાં કોણીય વેગમાનના ઘટકો દર્શાવે છે.

કણોની સિસ્ટમનું કુલ કોણીય વેગમાન એ વ્યક્તિગત કણોના કોણીય વેગમાનનો સદિશ સરવાળો છે. $n$ કણોની સિસ્ટમ માટે,
$\overrightarrow{L} = \overrightarrow{l_{1}} + \overrightarrow{l_{2}} + \overrightarrow{l_{3}} + \ldots + \overrightarrow{l_{n}} = \sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{l_{i}}$
જ્યાં $\overrightarrow{l_{i}} = \overrightarrow{r_{i}} \times \overrightarrow{p_{i}}$ એ $i$-માં કણનું કોણીય વેગમાન છે,$\overrightarrow{r_{i}}$ એ તેનો સ્થાન સદિશ છે અને $\overrightarrow{p_{i}}$ એ તેનું રેખીય વેગમાન છે.
કુલ કોણીય વેગમાનનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d\overrightarrow{L}}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \frac{d\overrightarrow{l_{i}}}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{d\overrightarrow{r_{i}}}{dt} \times \overrightarrow{p_{i}} + \overrightarrow{r_{i}} \times \frac{d\overrightarrow{p_{i}}}{dt} \right)$
કારણ કે $\frac{d\overrightarrow{r_{i}}}{dt} = \overrightarrow{v_{i}}$ અને $\overrightarrow{v_{i}} \times \overrightarrow{p_{i}} = \overrightarrow{v_{i}} \times (m\overrightarrow{v_{i}}) = 0$,તેથી સમીકરણ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$\frac{d\overrightarrow{L}}{dt} = \sum_{i=1}^{n} (\overrightarrow{r_{i}} \times \overrightarrow{F_{i}}) = \sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{\tau_{i}} = \overrightarrow{\tau}_{ext} + \overrightarrow{\tau}_{int}$
આંતરિક બળો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી (ન્યૂટનનો ત્રીજો નિયમ),તેમનું કુલ ટોર્ક $\overrightarrow{\tau}_{int} = 0$ થાય છે. આમ,સંબંધ છે:
$\frac{d\overrightarrow{L}}{dt} = \overrightarrow{\tau}_{ext}$

(N/A) કોઈ બિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $(L)$ એ તેના સ્થાન સદિશ $(r)$ અને તેના રેખીય વેગમાન $(p)$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $L = r \times p$.
અહીં $p = mv$ હોવાથી,જ્યાં $m$ એ કણનું દળ અને $v$ એ કણનો વેગ છે,તેથી કોણીય વેગમાનને $L = r \times (mv) = m(r \times v)$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.
કોણીય વેગમાનનો $SI$ એકમ $\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$ અથવા $\text{J} \cdot \text{s}$ છે.

(N/A) કોણીય વેગમાન $(L)$ એ સ્થાન સદિશ $(r)$ અને રેખીય વેગમાન $(p)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જેનું સૂત્ર $L = r \times p$ છે.
કારણ કે $p = mv$,કોણીય વેગમાનનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-1}] \times [L^1] = [M^1 L^2 T^{-1}]$ થાય છે.
દળનો $SI$ એકમ $kg$,વેગનો $m/s$ અને અંતરનો $m$ છે.
તેથી,કોણીય વેગમાનનો $SI$ એકમ $kg \cdot m^2/s$ અથવા $J \cdot s$ છે.

(N/A) સ્થિર $Z$-અક્ષની આસપાસ ફરતા દ્રઢ પદાર્થ માટે,$i$-માં કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{l}_i = \vec{r}_i \times \vec{p}_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રઢ પદાર્થનું કુલ કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ તેના તમામ કણોના કોણીય વેગમાનનો સદિશ સરવાળો છે:
$\vec{L} = \sum_{i=1}^{n} \vec{l}_i = \sum_{i=1}^{n} (\vec{r}_i \times \vec{p}_i)$.
કારણ કે $\vec{p}_i = m_i \vec{v}_i$ અને ભ્રમણીય ગતિ માટે $\vec{v}_i = \vec{\omega} \times \vec{r}_i$,તેથી:
$\vec{L} = \sum_{i=1}^{n} [\vec{r}_i \times (m_i (\vec{\omega} \times \vec{r}_i))]$.
સ્થિર અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ માટે,કોણીય વેગ $\vec{\omega}$ તમામ કણો માટે સમાન રહે છે અને ભ્રમણની અક્ષની દિશામાં હોય છે (ધારો કે તે $Z$-અક્ષ છે,$\vec{\omega} = \omega \hat{k}$).
$Z$-અક્ષની દિશામાં કોણીય વેગમાનનો ઘટક:
$L_Z = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2 \omega = (\sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2) \omega$.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$L_Z = I \omega$.
સદિશ સ્વરૂપમાં,$\vec{L} = I \vec{\omega}$,જે રેખીય ગતિમાં $\vec{p} = m \vec{v}$ ને સમાન છે.

(N/A) નિશ્ચિત અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણ કરતા દ્રઢ પદાર્થ માટે,કુલ કોણીય વેગમાન $L$ એ તે અક્ષને અનુલક્ષીને પદાર્થના જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ અને તેના કોણીય વેગ $\omega$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
સૂત્ર છે: $L = I \omega$
જ્યાં:
$L$ એ કોણીય વેગમાન છે,
$I$ એ પરિભ્રમણની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,
$\omega$ એ પદાર્થનો કોણીય વેગ છે.

(A) સ્થિર અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ ગતિમાં,દ્રઢ પદાર્થનો દરેક કણ ભ્રમણાક્ષને લંબ સમતલમાં વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
ધારો કે ભ્રમણાક્ષ $z$-અક્ષ છે. કણના સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: $\vec{r}_{\parallel}$ ($z$-અક્ષની દિશામાં) અને $\vec{r}_{\perp}$ ($xy$-સમતલમાં).
કોઈપણ કણનો વેગ સદિશ $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $\vec{\omega}$ એ $z$-અક્ષ પર હોવાથી,$\vec{v}$ સંપૂર્ણપણે $xy$-સમતલમાં હોય છે.
કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \sum (\vec{r} \times \vec{p}) = \sum m(\vec{r} \times \vec{v})$ છે.
$\vec{r} = \vec{r}_{\parallel} + \vec{r}_{\perp}$ મૂકતા,આપણને $\vec{L} = \sum m((\vec{r}_{\parallel} + \vec{r}_{\perp}) \times \vec{v})$ મળે છે.
$\vec{r}_{\parallel}$ એ $z$-અક્ષને સમાંતર છે અને $\vec{v}$ એ $xy$-સમતલમાં છે,તેથી તેમનો સદિશ ગુણાકાર $\vec{r}_{\parallel} \times \vec{v}$ એ $z$-અક્ષને લંબ સદિશ આપે છે.
જોકે,સંમિત પદાર્થ માટે અથવા સમગ્ર દ્રઢ પદાર્થ પર સરવાળો લેતી વખતે,ગતિની વર્તુળાકાર સંમિતિને કારણે ભ્રમણાક્ષને લંબ કોણીય વેગમાનના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,અને માત્ર ભ્રમણાક્ષની દિશાનો ઘટક $(L_z)$ બાકી રહે છે.
આમ,અક્ષને લંબ કુલ કોણીય વેગમાન ${L_ \bot }$ શૂન્ય થાય છે.

(A) હા,સુરેખ પથ પર ગતિ કરતા પદાર્થને કોઈ એવા બિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન હોઈ શકે છે જે તેની ગતિની રેખા પર ન હોય. કોણીય વેગમાનનું સૂત્ર $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ છે,જ્યાં $\vec{r}$ એ સંદર્ભ બિંદુથી પદાર્થ સુધીનો સ્થાન સદિશ છે અને $\vec{p}$ એ રેખીય વેગમાન છે. જ્યાં સુધી ગતિની રેખા સંદર્ભ બિંદુમાંથી પસાર ન થાય,ત્યાં સુધી સદિશ ગુણાકાર $\vec{r} \times \vec{p}$ શૂન્યતર રહેશે.

(A) હા,જ્યારે પદાર્થની ભ્રમણાક્ષ બદલાય છે ત્યારે તેનું કોણીય વેગમાન બદલાય છે.
આનું કારણ એ છે કે કોણીય વેગમાનને $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જ્યારે ભ્રમણાક્ષ બદલાય છે,ત્યારે નવી અક્ષની સાપેક્ષમાં સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ બદલાય છે અને કોણીય વેગ સદિશ $\vec{\omega}$ ની દિશા પણ બદલાય છે.
$\vec{L} = I\vec{\omega}$ હોવાથી,ભ્રમણાક્ષમાં ફેરફાર થવાથી જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ અને $\vec{\omega}$ ની દિશા બદલાય છે,જેના પરિણામે કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ માં ફેરફાર થાય છે.

(B) કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\vec{r}$ એ સ્થાન સદિશ છે અને $\vec{p}$ એ રેખીય વેગમાન છે.
કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય શૂન્ય થવા માટે,સદિશ ગુણાકાર $\vec{r} \times \vec{p}$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ એ રેખીય વેગમાન સદિશ $\vec{p}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય,અથવા જ્યારે $\vec{r}$ અથવા $\vec{p}$ માંથી કોઈ એક શૂન્ય હોય.
ભૌમિતિક રીતે,આનો અર્થ એ છે કે રેખીય વેગમાનની કાર્યરેખા ઉદગમ બિંદુ (સ્થાન સદિશ માટેનો સંદર્ભ બિંદુ) માંથી પસાર થાય છે.

(D) કોણીય વેગમાનની વ્યાખ્યા $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ છે.
બિંદુ $A$ (વર્તુળાકાર પથનું કેન્દ્ર) માટે: સ્થાન સદિશ $\vec{r}_A$ વર્તુળના સમતલમાં છે અને વેગ સદિશ $\vec{v}$ વર્તુળને સ્પર્શક છે. સદિશ ગુણાકાર $\vec{r}_A \times \vec{v}$ હંમેશા ધન $z$-દિશામાં (વર્તુળના સમતલને લંબ) હોય છે. ઝડપ $v$ અને ત્રિજ્યા $r$ અચળ હોવાથી,મૂલ્ય $L_A = mvr$ અચળ રહે છે. આમ,$L_A$ મૂલ્ય અને દિશા બંનેમાં અચળ છે.
બિંદુ $B$ (ભ્રમણાક્ષ પર $A$ ની ઉપરનું બિંદુ) માટે: $B$ થી $M$ સુધીનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_B$ જેમ $M$ ફરે છે તેમ તેની દિશા બદલે છે. તેથી,કોણીય વેગમાન $\vec{L}_B = \vec{r}_B \times \vec{p}$ નું મૂલ્ય અચળ રહેશે,પરંતુ તેની દિશા $z$-અક્ષની આસપાસ સતત બદલાતી રહેશે.

(B) કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર $v$ અચળ ઝડપથી ગતિ કરતા કણ માટે,કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = mvr \sin(90^{\circ}) = mvr$ થાય છે,જે અચળ છે.
કોણીય વેગમાનની દિશા જમણા હાથના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે વર્તુળાકાર પથના સમતલને લંબ (ભ્રમણાક્ષની દિશામાં) હોય છે.
ઝડપ અને ત્રિજ્યા અચળ હોવાથી અને ગતિનું સમતલ બદલાતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન સદિશનું મૂલ્ય અને દિશા બંને ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.

(B) સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r} = 10 \alpha t^2 \hat{i} + 5 \beta (t - 5) \hat{j}$ છે.
વેગ સદિશ $\overrightarrow{v} = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = 20 \alpha t \hat{i} + 5 \beta \hat{j}$ છે.
કોણીય વેગમાન $\overrightarrow{L} = m (\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\overrightarrow{L} = m [10 \alpha t^2 \hat{i} + 5 \beta (t - 5) \hat{j}] \times [20 \alpha t \hat{i} + 5 \beta \hat{j}]$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $\overrightarrow{L} = m [ (10 \alpha t^2)(5 \beta) \hat{k} - (5 \beta (t - 5))(20 \alpha t) \hat{k} ]$.
$\overrightarrow{L} = m [ 50 \alpha \beta t^2 - 100 \alpha \beta t (t - 5) ] \hat{k}$.
$t = 0$ સમયે,$\overrightarrow{L} = m [ 0 - 0 ] \hat{k} = 0$.
આપણે $t > 0$ સમયે $\overrightarrow{L} = 0$ જોઈએ છે:
$50 \alpha \beta t^2 - 100 \alpha \beta t (t - 5) = 0$.
$50 \alpha \beta t$ વડે ભાગતા (કારણ કે $t \neq 0$):
$t - 2(t - 5) = 0$.
$t - 2t + 10 = 0 \implies -t = -10 \implies t = 10 \text{ સેકન્ડ}$.

(B) કોણીય વેગમાન $\overrightarrow{L}$ એ સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r}$ અને રેખીય વેગમાન $\overrightarrow{p} = m\overrightarrow{v}$ નો સદિશ ગુણાકાર છે.
અહીં $m = 1\,kg$,$\overrightarrow{r} = (3\hat{i} - \hat{j})\,m$,અને $\overrightarrow{v} = (3\hat{j} + \hat{k})\,m/s$ આપેલ છે.
$\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times (m\overrightarrow{v}) = 1 \cdot [(3\hat{i} - \hat{j}) \times (3\hat{j} + \hat{k})]$.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\overrightarrow{L} = 3\hat{i} \times 3\hat{j} + 3\hat{i} \times \hat{k} - \hat{j} \times 3\hat{j} - \hat{j} \times \hat{k}$.
એકમ સદિશના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા ($\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$,$\hat{j} \times \hat{j} = 0$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$):
$\overrightarrow{L} = 9\hat{k} - 3\hat{j} - 0 - \hat{i} = -\hat{i} - 3\hat{j} + 9\hat{k}$.
તેનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{L}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + (9)^2} = \sqrt{1 + 9 + 81} = \sqrt{91}$.
આમ,$x = 91$ થાય.

(A) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન ઝડપ $v$ સાથે વર્તુળમાં ગતિ કરતા કણ માટે,કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = mvr_{\perp}$ છે,જ્યાં $r_{\perp}$ એ ઉગમબિંદુથી વેગની રેખા સુધીનું લંબ અંતર છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર ન હોવાથી,જેમ કણ વર્તુળ પર ગતિ કરે છે તેમ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ સતત બદલાય છે.
પરિણામે,જેમ કણ ફરે છે તેમ સદિશ ગુણાકાર $\vec{r} \times \vec{v}$ નું મૂલ્ય અને દિશા બંને બદલાય છે. તેથી,કોણીય વેગમાન મૂલ્ય અને દિશા બંનેમાં બદલાતું રહે છે.

(B) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ તેના સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને રેખીય વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ નો સદિશ ગુણાકાર છે.
$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$.
ધારો કે કણનું સ્થાન $\vec{r} = x \hat{i} + b \hat{j}$ છે,જ્યાં $x$ એ $y$-અક્ષથી આડું અંતર છે અને $b$ એ $x$-અક્ષથી અચળ ઊભું અંતર છે.
કણનો વેગ $\vec{v} = v \hat{i}$ છે (કારણ કે તે $x$-અક્ષને સમાંતર ગતિ કરે છે).
તેથી,$\vec{L} = (x \hat{i} + b \hat{j}) \times (m v \hat{i})$.
સદિશ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{L} = (x \hat{i} \times m v \hat{i}) + (b \hat{j} \times m v \hat{i})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,તેથી:
$\vec{L} = 0 + m v b (-\hat{k}) = -m v b \hat{k}$.
આમ,કોણીય વેગમાન $-m v b \hat{k}$ છે.

(C) કોઈ પદાર્થ પર લાગતો કોણીય આઘાત તેના કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે,જે $\tau \Delta t = \Delta L = I \Delta \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પોલા નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે.
આપેલ છે: દળ $M = 2 \,kg$,ત્રિજ્યા $R = 20 \,cm = 0.2 \,m$,કોણીય આઘાત $= 20 \,Nms$.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2 = 2 \times (0.2)^2 = 2 \times 0.04 = 0.08 \,kg \cdot m^2$.
સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $20 = I \Delta \omega = 0.08 \times \Delta \omega$.
$\Delta \omega = \frac{20}{0.08} = \frac{2000}{8} = 250 \,rad/s$.

(A) કોઈ બિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L$ એ તેના સ્થાન સદિશ $r$ અને તેના રેખીય વેગમાન $p = mv$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$L = r \times p$.
કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = m v r_{\perp}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_{\perp}$ એ ઉગમબિંદુ $O$ થી કણની ગતિની રેખાનું લંબ અંતર છે.
આપેલ આકૃતિ પરથી,કણ $x$-અક્ષને સમાંતર $x$-અક્ષથી (અને આમ ઉગમબિંદુ $O$ થી $y$-દિશામાં) $b$ જેટલા અચળ લંબ અંતરે ગતિ કરે છે.
તેથી,લંબ અંતર $r_{\perp} = b$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $L = m v b$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પ્રારંભિક સ્થાન $\vec{r}_0 = 8 \hat{j} \, m$ અને વેગ $\vec{v} = 3 \hat{i} \, m/s$ છે.
$t = 5 \, s$ સમયે કણનું સ્થાન $\vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{v}t = 8 \hat{j} + (3 \hat{i})(5) = 15 \hat{i} + 8 \hat{j} \, m$ થશે.
કણનું વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v} = (1)(3 \hat{i}) = 3 \hat{i} \, kg \cdot m/s$ છે.
હવે,$\vec{L} = (15 \hat{i} + 8 \hat{j}) \times (3 \hat{i}) = 15 \times 3 (\hat{i} \times \hat{i}) + 8 \times 3 (\hat{j} \times \hat{i})$.
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,તેથી $\vec{L} = 0 + 24(-\hat{k}) = -24 \hat{k} \, kg \cdot m^2/s$ મળે છે.

(A) શરૂઆતના વેગના ઘટકો $u_x = u \cos 45^{\circ} = 20 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 20 \,m/s$ અને $u_y = u \sin 45^{\circ} = 20 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 20 \,m/s$ છે.
$t = 2 \,s$ પછી,સ્થાનના યામ:
$x = u_x t = 20 \times 2 = 40 \,m$
$y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2 = 20 \times 2 - \frac{1}{2} \times 10 \times 2^2 = 40 - 20 = 20 \,m$.
$t = 2 \,s$ સમયે વેગના ઘટકો:
$v_x = u_x = 20 \,m/s$
$v_y = u_y - gt = 20 - 10 \times 2 = 0 \,m/s$.
ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{r} = 40 \hat{i} + 20 \hat{j}$ અને $\vec{v} = 20 \hat{i} + 0 \hat{j}$.
$\vec{L} = 1 \times [(40 \hat{i} + 20 \hat{j}) \times (20 \hat{i})] = 1 \times [40 \times 20 (\hat{i} \times \hat{i}) + 20 \times 20 (\hat{j} \times \hat{i})]$.
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,તેથી:
$\vec{L} = 400(-\hat{k}) = -400 \hat{k} \,kg \cdot m^2/s$.

(B) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{r} \times (m\vec{g})$ છે.
અહીં $\vec{g}$ નીચેની તરફ ($-y$ દિશામાં) કાર્ય કરે છે,તેથી $\vec{\tau} = (x\hat{i} + y\hat{j}) \times (-mg\hat{j}) = -xmg\hat{k}$.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = xmg = (v_x t)mg$ છે.
કોણીય વેગમાન શોધવા માટે ટોર્કનું સંકલન કરતા: $L = \int_0^t \tau dt = \int_0^t (v_x t)mg dt = mg v_x \frac{t^2}{2}$.
આપેલ છે: $m = 100\,g = 0.1\,kg$,$v = 20\,ms^{-1}$,$\theta = 45^{\circ}$,$t = 2\,s$,$g = 10\,ms^{-2}$.
$v_x = v \cos 45^{\circ} = 20 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}\,ms^{-1}$.
$L = (0.1)(10)(10\sqrt{2}) \frac{2^2}{2} = 10 \times 10\sqrt{2} \times 2 = 20\sqrt{2} = \sqrt{400 \times 2} = \sqrt{800}$.
તેથી,$K = 800$.

(B) રેખાનું સમીકરણ $x - y + 4 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L = mvd$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$v$ એ ઝડપ છે,અને $d$ એ ગતિની રેખાનું ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી $Ax + By + C = 0$ રેખાનું લંબ અંતર $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં,$A = 1$,$B = -1$,અને $C = 4$. તેથી,$d = \frac{|4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \,m$.
આપેલ દળ $m = 5 \,kg$ અને ઝડપ $v = 3\sqrt{2} \,m/s$ છે.
તેથી,$L = 5 \times (3\sqrt{2}) \times (2\sqrt{2}) = 5 \times 3 \times 2 \times 2 = 60 \,kg \,m^2/s$.

(C) કોઈ બિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $O$ (વર્તુળનું કેન્દ્ર) માટે,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ એ $x-y$ સમતલમાં છે અને વેગ $\vec{v}$ એ વર્તુળને સ્પર્શક છે. કોણીય વેગમાન $\vec{L}_O = \vec{r} \times m\vec{v}$ એ $z$-અક્ષની દિશામાં (ગતિના સમતલને લંબ) હોય છે. ઝડપ અને ત્રિજ્યા અચળ હોવાથી,$\vec{L}_O$ નું મૂલ્ય અને દિશા અચળ રહે છે.
બિંદુ $P$ ($z$-અક્ષ પરનું બિંદુ) માટે,$P$ થી દળ $m$ સુધીનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}'$ જેમ દળ વર્તુળમાં ગતિ કરે છે તેમ તેની દિશા બદલે છે. પરિણામે,સદિશ ગુણાકાર $\vec{L}_P = \vec{r}' \times m\vec{v}$ ની દિશા સતત બદલાતી રહે છે,ભલે તેનું મૂલ્ય અચળ રહે. તેથી,$\vec{L}_P$ સમય સાથે બદલાય છે.
આમ,$\vec{L}_O$ અચળ રહે છે જ્યારે $\vec{L}_P$ સમય સાથે બદલાય છે.

(C) ધારો કે સળિયાનું દળ $m$ છે। બિંદુ $O$ થી સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $r_{cm} = L + L/2 = 3L/2$ છે।
રેખીય આઘાત $P = \Delta p = m v_{cm} = m (\omega r_{cm}) = m \omega (3L/2)$।
તેથી, $P = \frac{3}{2} m \omega L$ --- $(i)$
બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કોણીય આઘાત $J_{\theta} = \int \tau dt = \Delta L_{ang}$ છે।
આઘાત $P$ એ બિંદુ $O$ થી $r = L + L/2 - x = 3L/2 - x$ અંતરે લાગે છે।
$P (3L/2 - x) = I_O \omega$, જ્યાં $I_O$ એ $O$ ની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા છે।
$I_O = I_{cm} + m(r_{cm})^2 = \frac{mL^2}{12} + m(3L/2)^2 = mL^2 (\frac{1}{12} + \frac{9}{4}) = \frac{7}{3} mL^2$।
તેથી, $P (3L/2 - x) = (\frac{7}{3} mL^2) \omega$ --- $(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$3L/2 - x = \frac{14}{9} L$
$x = \frac{3}{2} L - \frac{14}{9} L = \frac{1}{18} L$।
આમ, $n = 18$ મળે છે।

(D) પ્રારંભિક વેગના ઘટકો $v_x = v_0 \cos 45^{\circ} = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$ અને $v_y = v_0 \sin 45^{\circ} = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ પર,શિરોલંબ વેગનો ઘટક શૂન્ય થાય છે અને સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$ રહે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{(v_0/\sqrt{2})^2}{2g} = \frac{v_0^2}{4g}$ દ્વારા મળે છે.
ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,સ્થાન સદિશ $\vec{r} = x\hat{i} + H\hat{j}$ અને વેગ સદિશ $\vec{v} = v_x\hat{i}$ છે.
તેથી,$\vec{L} = m(x\hat{i} + H\hat{j}) \times (v_x\hat{i}) = mH v_x (\hat{j} \times \hat{i}) = -mH v_x \hat{k}$.
કિંમતો મૂકતા: $L = m \left( \frac{v_0^2}{4g} \right) \left( \frac{v_0}{\sqrt{2}} \right) = \frac{m v_0^3}{4 \sqrt{2} g}$.
દિશા ઋણ $z$-અક્ષ $(- \hat{k})$ તરફ છે.