Angular Momentum and Angular Impulse Questions in Hindi

(C) कोणीय संवेग को स्थिति सदिश $\vec{r}$ और रैखिक संवेग $\vec{p}$ के सदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ द्वारा दिया जाता है।
अक्षीय सदिश वे सदिश होते हैं जो घूर्णन प्रभावों का प्रतिनिधित्व करते हैं और उनकी दिशा दाएं हाथ के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है,जो घूर्णन के तल के लंबवत होती है।
चूंकि कोणीय संवेग घूर्णन गति का वर्णन करता है,इसलिए इसे एक अक्षीय सदिश (या स्यूडोवेक्टर) के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) हम जानते हैं कि कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ द्वारा दिया जाता है।
घटकों के रूप में,यह है:
$\vec{L} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & y & z \\ p_x & p_y & p_z \end{vmatrix}$
चूंकि गति $x-y$ तल में है,इसलिए $z = 0$ और $p_z = 0$ है। अतः,$\vec{L} = \hat{k}(x p_y - y p_x)$।
यह दिया गया है कि कण $X$-अक्ष के समानांतर $b$ दूरी पर गति कर रहा है,इसलिए इसकी स्थिति $(x, y) = (vt, b)$ है और इसका संवेग $\vec{p} = (mv, 0)$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{L} = \hat{k}(vt \cdot 0 - b \cdot mv) = -mvb\,\hat{k}$।

(A) कोणीय संवेग $\vec L$ स्थिति सदिश $\vec r$ और संवेग सदिश $\vec p$ के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec L = \vec r \times \vec p = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat i(2(-2) - (-1)(4)) - \hat j(1(-2) - (-1)(3)) + \hat k(1(4) - 2(3))$
$= \hat i(-4 + 4) - \hat j(-2 + 3) + \hat k(4 - 6)$
$= 0\hat i - 1\hat j - 2\hat k$
$= -\hat j - 2\hat k$
चूंकि कोणीय संवेग सदिश $\vec L = 0\hat i - 1\hat j - 2\hat k$ में $x$-अक्ष की दिशा में कोई घटक नहीं है ($\hat i$ का गुणांक $0$ है),इसलिए सदिश $\vec L$,$yz$-समतल में स्थित है।
अतः,कोणीय संवेग $x$-अक्ष के लंबवत है।

(B) स्थिति सदिश $\vec{r}$ दो बिंदुओं के बीच का विस्थापन है: $\vec{r} = \vec{r_2} - \vec{r_1} = (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) - (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -4\hat{j}$.
रैखिक संवेग $\vec{p} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$.
कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$.
$\vec{L} = (-4\hat{j}) \times (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -4 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$.
सारणिक की गणना करने पर: $\vec{L} = \hat{i}((-4)(-1) - (0)(3)) - \hat{j}((0)(-1) - (0)(2)) + \hat{k}((0)(3) - (-4)(2))$.
$\vec{L} = \hat{i}(4) - \hat{j}(0) + \hat{k}(8) = 4\hat{i} + 8\hat{k}$.
विकल्पों के अनुसार,यदि हम $\vec{r} = \vec{r_1} - \vec{r_2} = 4\hat{j}$ लेते हैं,तो $\vec{L} = (4\hat{j}) \times (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) = 4\hat{i} - 8\hat{k}$ प्राप्त होता है।

(B) कोणीय संवेग $L$ का सूत्र $L = r \times p$ है,जहाँ $r$ स्थिति सदिश है और $p$ रैखिक संवेग है।
विमीय विश्लेषण के अनुसार: $L = [L] \times [M L T^{-1}] = [M L^2 T^{-1}]$.
$SI$ मात्रकों में,यह $kg \cdot m^2/s$ के बराबर है।
चूँकि $1 \text{ Joule} = 1 \text{ kg} \cdot m^2/s^2$,हम लिख सकते हैं कि $1 \text{ Joule} \cdot s = (1 \text{ kg} \cdot m^2/s^2) \times s = 1 \text{ kg} \cdot m^2/s$.
अतः,कोणीय संवेग का मात्रक $Joule \cdot s$ है।

(D) कोणीय संवेग $\vec L$ को $\vec L = \vec r \times \vec p$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
वृत्ताकार पथ पर गति कर रहे कण के लिए,स्थिति सदिश $\vec r$ और रैखिक संवेग $\vec p$ वृत्त के तल में होते हैं।
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,$\vec L$ की दिशा घूर्णन के तल के लंबवत होती है।
चूंकि कण उसी वृत्ताकार पथ पर गति करना जारी रखता है,इसलिए घूर्णन का तल नहीं बदलता है।
अतः,कोणीय संवेग सदिश की दिशा नियत रहती है,भले ही कण की घटती चाल के कारण इसका परिमाण बदल जाए।
इस प्रकार,विकल्प $(D)$ सही है।

(B) बिंदु $O$ के परितः किसी कण का कोणीय संवेग $L_{ang}$ उसके स्थिति सदिश $\vec{r}$ और उसके रैखिक संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ के सदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$L_{ang} = |\vec{r} \times \vec{p}| = |\vec{r} \times m\vec{v}| = m v r \sin(\theta)$ होता है।
यहाँ,$r \sin(\theta)$ बिंदु $O$ से कण की गति की रेखा तक की लंबवत दूरी को दर्शाता है,जिसे चित्र में $l$ के रूप में दिया गया है।
अतः,कोणीय संवेग $L_{ang} = m v l$ होगा।

(C) घूर्णन गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{L^2}{2I}$ है,जहाँ $L = I \omega$ कोणीय संवेग है।
इससे,हम कोणीय संवेग को $L^2 = 2EI$ या $L = \sqrt{2EI}$ के रूप में लिख सकते हैं।
पिंड $A$ के लिए,$L_A = \sqrt{2 E_A I_A}$.
पिंड $B$ के लिए,$L_B = \sqrt{2 E_B I_B}$.
कोणीय संवेग का अनुपात $\frac{L_A}{L_B} = \sqrt{\frac{2 E_A I_A}{2 E_B I_B}} = \sqrt{\frac{E_A}{E_B} \cdot \frac{I_A}{I_B}}$ होगा।
दिया गया है कि $I_A = I_B/4$,इसलिए $\frac{I_A}{I_B} = \frac{1}{4}$ है।
दिया गया है कि $E_A = 100 E_B$,इसलिए $\frac{E_A}{E_B} = 100$ है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{L_A}{L_B} = \sqrt{100 \cdot \frac{1}{4}} = \sqrt{25} = 5$।

(C) कीलकित बिंदु के परितः निकाय का प्रारंभिक कोणीय संवेग गोली के कारण है: $L_i = Mv(L/2)$.
टक्कर के बाद,गोली छड़ में धंस जाती है,इसलिए निकाय $\omega$ कोणीय वेग के साथ घूमता है। निकाय का अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_f = I_{\text{rod}} + I_{\text{bullet}} = \frac{ML^2}{12} + M(L/2)^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{4} = \frac{ML^2 + 3ML^2}{12} = \frac{4ML^2}{12} = \frac{ML^2}{3}$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,$L_i = L_f$,इसलिए $Mv(L/2) = I_f \omega$.
मान रखने पर: $\frac{MvL}{2} = \left(\frac{ML^2}{3}\right) \omega$.
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega = \frac{MvL}{2} \cdot \frac{3}{ML^2} = \frac{3v}{2L}$.

(A) घूर्णन करती हुई वस्तु का कोणीय संवेग $L$ सूत्र $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
अपनी अक्ष के परितः घूमते हुए एक ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
दिया गया है: द्रव्यमान $M = 2\ kg$,त्रिज्या $R = 0.2\ m$,कोणीय वेग $\omega = 3\ rad/s$.
मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \times 2\ kg \times (0.2\ m)^2 = 1 \times 0.04 = 0.04\ kg\cdot m^2$.
अब,कोणीय संवेग की गणना करते हैं:
$L = I\omega = 0.04\ kg\cdot m^2 \times 3\ rad/s = 0.12\ J-s$.
अतः,टक्कर से पहले बेलन का कोणीय संवेग $0.12\ J-s$ है।

(B) किसी वस्तु की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K$ का उसके कोणीय संवेग $L$ और जड़त्व आघूर्ण $I$ के साथ संबंध $K = \frac{L^2}{2I}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि दोनों वस्तुओं के लिए कोणीय संवेग $L$ समान है,इसलिए गतिज ऊर्जा जड़त्व आघूर्ण के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $K \propto \frac{1}{I}$।
चूंकि $I_1 > I_2$ है,इसलिए $K_1 < K_2$ होगा।
अतः,दूसरी वस्तु (जिसका जड़त्व आघूर्ण कम है) की गतिज ऊर्जा अधिक होगी।

(A) एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन कर रहे एक दृढ़ पिंड का कोणीय संवेग $L$,संबंध $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ घूर्णन अक्ष के परितः पिंड का जड़त्व आघूर्ण है।
एक दृढ़ पिंड के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I$ स्थिर रहता है।
इसलिए,$L \propto \omega$।
यह रैखिक संबंध दर्शाता है कि $L$ और $\omega$ के बीच का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी,जिसका ढाल जड़त्व आघूर्ण $I$ के बराबर होता है।

(D) मूल बिंदु $O$ के परितः एक कण का कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ द्वारा दिया जाता है। इसका परिमाण $L = mvr \sin \theta = mv d$ है,जहाँ $d$ मूल बिंदु से गति की रेखा की लंबवत दूरी है।
$1$. $OA$ के अनुदिश गति के लिए,गति की रेखा मूल बिंदु $O$ से होकर गुजरती है,इसलिए $d = 0$ और $L = 0$ है। कथन $A$ सही है।
$2$. $DE$ रेखा के लिए,$O$ से $DE$ रेखा की लंबवत दूरी नियत $(1 \ m)$ है। अतः,$DE$ पर सभी बिंदुओं पर $L$ नियत है। कथन $B$ सही है।
$3$. $B$ पर,लंबवत दूरी $1 \ m$ है और वेग $+y$ दिशा में है। $D$ पर,लंबवत दूरी $1 \ m$ है और वेग $+x$ दिशा में है। कोणीय संवेग एक सदिश राशि है। $B$ पर $\vec{L}$ की दिशा $\vec{r} \times \vec{v} = (1\hat{i}) \times (v\hat{j}) = mv\hat{k}$ है। $D$ पर $\vec{L}$ की दिशा $\vec{r} \times \vec{v} = (1\hat{j}) \times (v\hat{i}) = -mv\hat{k}$ है। इस प्रकार,इनका परिमाण समान है लेकिन दिशा विपरीत है। कथन $C$ सही है।
$4$. जैसे-जैसे कण $BC$ रेखा की ओर बढ़ता है,मूल बिंदु $O$ से गति की रेखा की लंबवत दूरी $d$ नियत रहती है। इसलिए,कोणीय संवेग नहीं बदलता है। कथन $D$ गलत है।

(D) $O$ बिंदु के परितः किसी कण का कोणीय संवेग $\vec{L}$,उसके स्थिति सदिश $\vec{r}$ और रैखिक संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ के सदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
गणितीय रूप से,$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v}) = m(\vec{r} \times \vec{v})$.
कोणीय संवेग का परिमाण $L = mrv \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ और वेग सदिश $\vec{v}$ के बीच का कोण है।
चित्र की ज्यामिति से,मूल बिंदु $O$ से गति की रेखा $PC$ तक की लंबवत दूरी $\ell$ है।
अतः,$O$ के परितः कोणीय संवेग का परिमाण $L = mv\ell$ होगा।

(C) मूल बिंदु के सापेक्ष कण का कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{p} = M\vec{v}$ है।
चूंकि कण $X$-अक्ष के समानांतर एकसमान वेग $\vec{v} = v\hat{i}$ से गति कर रहा है,इसका स्थिति सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j}$ है।
अतः,$\vec{L} = (x\hat{i} + y\hat{j}) \times (Mv\hat{i}) = Mv(x(\hat{i} \times \hat{i}) + y(\hat{j} \times \hat{i}))$ होगा।
हम जानते हैं कि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ होता है,इसलिए $\vec{L} = -Mvy\hat{k}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $M$,$v$ और $y$ ($X$-अक्ष से लंबवत दूरी) तीनों स्थिर हैं।
इसलिए,कोणीय संवेग $\vec{L}$ स्थिर रहता है।

(D) किसी कण का कोणीय संवेग $\vec{L}$,सदिश गुणनफल $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ द्वारा परिभाषित होता है।
चूंकि स्थिति सदिश $\vec{r}$ घूर्णन के तल में स्थित है और रैखिक वेग सदिश $\vec{v}$ वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखीय (यह भी घूर्णन के तल में) है,इसलिए $\vec{r} \times \vec{v}$ का सदिश गुणनफल $\vec{r}$ और $\vec{v}$ दोनों के लंबवत दिशा में प्राप्त होता है।
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,यह दिशा घूर्णन के तल के लंबवत होती है,जो घूर्णन अक्ष की दिशा के अनुरूप है।

(C) मूल बिंदु के परितः किसी कण का कोणीय संवेग $L$ सूत्र $L = |\vec{r} \times \vec{p}| = r p \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
गति की ज्यामिति से,मूल बिंदु से गति की रेखा की लंबवत दूरी $d = r \sin \theta$ है।
इसलिए,कोणीय संवेग को $L = p \cdot d = (mv) \cdot d$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ kg$,वेग $v = 2 \ ms^{-1}$,और लंबवत दूरी $d = 12 \ cm = 0.12 \ m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$L = (1 \ kg) \times (2 \ ms^{-1}) \times (0.12 \ m) = 0.24 \ kg \cdot m^2s^{-1}$ (या $Js$)।
अतः,कोणीय संवेग $0.24 \ Js$ है।

(D) रैखिक संवेग $\vec{p}$ इस प्रकार है: $\vec{p} = m\vec{v} = 0.01 \ kg \times 5\hat{i} \ m/s = 0.05\hat{i} \ kg \cdot m/s$.
मूल बिंदु के परितः कोणीय संवेग $\vec{L}$ को सदिश गुणनफल $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
मान रखने पर: $\vec{L} = (10\hat{i} + 6\hat{j}) \times (0.05\hat{i})$.
सदिश गुणनफल के वितरण नियम का उपयोग करने पर: $\vec{L} = (10\hat{i} \times 0.05\hat{i}) + (6\hat{j} \times 0.05\hat{i})$.
चूंकि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{L} = 0 + 6 \times 0.05 \times (-\hat{k}) = 0.3 \times (-\hat{k}) = -0.3\hat{k} \ J \cdot s$.

(D) अभिकेंद्र बल $F$ का सूत्र $F = \frac{mv^2}{r}$ है।
चूंकि कोणीय संवेग $L = mvr$ होता है,इसलिए हम $v = \frac{L}{mr}$ लिख सकते हैं।
इस मान को बल के समीकरण में रखने पर:
$F = \frac{m}{r} \left( \frac{L}{mr} \right)^2 = \frac{m}{r} \cdot \frac{L^2}{m^2 r^2} = \frac{L^2}{mr^3}$.
$L^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$L^2 = F \cdot m \cdot r^3$.
यहाँ $m = 2 \ kg$,$r = 2 \ m$,और $F = 100 \ N$ दिया गया है:
$L^2 = 100 \times 2 \times (2)^3 = 100 \times 2 \times 8 = 1600$.
वर्गमूल लेने पर:
$L = \sqrt{1600} = 40 \ J \cdot s$.

(C) सतह पर लुढ़कती हुई वस्तु का किसी बिंदु के परितः कोणीय संवेग,स्थानांतरण के कारण कोणीय संवेग और उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन के कारण कोणीय संवेग का योग होता है।
$L = L_{\text{translation}} + L_{\text{rotation}}$
$L = MvR + I_c\omega$
चूंकि डिस्क बिना फिसले लुढ़क रही है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का रैखिक वेग $v = R\omega$ है।
डिस्क का उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_c = \frac{1}{2}MR^2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$L = M(R\omega)R + (\frac{1}{2}MR^2)\omega$
$L = MR^2\omega + \frac{1}{2}MR^2\omega$
$L = \frac{3}{2}MR^2\omega$

(A) अपनी अक्ष के परितः बेलन का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times (0.3)^2 = 0.225 \ kg \ m^2$ है।
$t = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 \ s$ पर $J = 3 \ kg \ m^2 s^{-1}$ का कोणीय आवेग लगाया जाता है।
$30 \ s$ तक लगाए गए कुल आवेगों की संख्या $8$ है ($t = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28$ पर)।
कुल कोणीय संवेग $L = \sum J = 8 \times 3 = 24 \ kg \ m^2 s^{-1}$ है।
चूंकि $L = I\omega$,कोणीय चाल $\omega = \frac{L}{I} = \frac{24}{0.225} = 106.67 \ rad/s \approx 106.7 \ rad/s$ होगी।

(C) ठोस बेलन का उसकी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण निम्न प्रकार दिया जाता है:
$I = \frac{1}{2} M R^2$
दिए गए मानों को रखने पर ($M = 20 \ kg$,$R = 0.25 \ m$):
$I = \frac{1}{2} \times 20 \times (0.25)^2 = 10 \times 0.0625 = 0.625 \ kg \cdot m^2$
कोणीय संवेग $L$,जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग $(\omega)$ का गुणनफल होता है:
$L = I \omega$
यहाँ $\omega = 100 \ rad \cdot s^{-1}$ दिया गया है:
$L = 0.625 \times 100 = 62.5 \ J \cdot s$

(A) कोणीय संवेग $\vec{L}$,स्थिति सदिश $\vec{r}$ और संवेग सदिश $\vec{p}$ का सदिश गुणनफल (cross product) है।
$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \end{vmatrix}$
$\vec{L} = \hat{i}(2(-2) - (-1)(4)) - \hat{j}(1(-2) - (-1)(3)) + \hat{k}(1(4) - 2(3))$
$\vec{L} = \hat{i}(-4 + 4) - \hat{j}(-2 + 3) + \hat{k}(4 - 6)$
$\vec{L} = 0\hat{i} - 1\hat{j} - 2\hat{k} = -\hat{j} - 2\hat{k}$.
किसी सदिश के किसी अक्ष के लंबवत होने के लिए,उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए।
$X$-अक्ष को इकाई सदिश $\hat{i} = (1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k})$ द्वारा दर्शाया जा सकता है।
$\vec{L}$ और $\hat{i}$ का अदिश गुणनफल: $(0)(1) + (-1)(0) + (-2)(0) = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल शून्य है,इसलिए कोणीय संवेग $X$-अक्ष के लंबवत है।

(B) छड़ के द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = (2m)(v)(a) + (m)(2v)(2a) = 2mav + 4mav = 6mav$.
अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_f = I_{rod} + I_{mass1} + I_{mass2} = \frac{(8m)(6a)^2}{12} + (2m)(a)^2 + (m)(2a)^2$.
$I_f = \frac{8m \cdot 36a^2}{12} + 2ma^2 + 4ma^2 = 24ma^2 + 2ma^2 + 4ma^2 = 30ma^2$.
$L_i = I_f \omega$ का उपयोग करते हुए:
$6mav = 30ma^2 \omega$.
$\omega = \frac{6mav}{30ma^2} = \frac{v}{5a}$.

(D) किसी बिंदु $P$ के सापेक्ष कण का कोणीय संवेग $L$,स्थिति सदिश $\vec{r}$ और रैखिक संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ के सदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
गणितीय रूप से,$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ है।
इसका परिमाण $L = r p \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ और वेग सदिश $\vec{v}$ के बीच का कोण है।
इस मामले में,कण $PC$ रेखा पर गति कर रहा है और बिंदु $P$ उसी रेखा पर स्थित है।
इसलिए,बिंदु $P$ के सापेक्ष कण का स्थिति सदिश,वेग सदिश $\vec{v}$ के साथ संरेख (collinear) है।
इसका अर्थ है कि स्थिति सदिश और वेग सदिश के बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ (या $180^\circ$) है।
चूंकि $\sin(0^\circ) = 0$ होता है,इसलिए कोणीय संवेग $L = mvr \sin(0^\circ) = 0$ होगा।

(B) मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष किसी कण का कोणीय संवेग $L$,उसके स्थिति सदिश $\vec{r}$ और रैखिक संवेग $\vec{p}$ के सदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है,अर्थात $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$।
कोणीय संवेग का परिमाण $L = p \cdot d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p$ रैखिक संवेग का परिमाण है और $d$ मूल बिंदु $O$ से कण की गति की रेखा तक की लंबवत दूरी है।
चूंकि कण एक सीधी रेखा $AB$ के अनुदिश गति कर रहा है,इसलिए मूल बिंदु $O$ से रेखा $AB$ तक की लंबवत दूरी $d$ रेखा पर स्थित सभी बिंदुओं के लिए समान रहती है।
यदि कण एक नियत वेग $v$ से गति करता है,तो उसका रैखिक संवेग $p = mv$ पूरी गति के दौरान नियत रहता है।
इसलिए,रेखा $AB$ पर किसी भी बिंदु पर,कोणीय संवेग $L = mv \cdot d$ नियत रहता है।
अतः,$L_A = L_B$।

(B) रिंग का द्रव्यमान $m = 10 \ kg$ है और त्रिज्या $r = \text{व्यास}/2 = 0.4/2 = 0.2 \ m$ है।
अपनी अक्ष के परितः रिंग का जड़त्व आघूर्ण $I = mr^2 = 10 \times (0.2)^2 = 10 \times 0.04 = 0.4 \ kg \cdot m^2$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ प्रति सेकंड चक्करों की संख्या है।
दिया गया है $n = 2100 \ \text{rpm} = 2100/60 \ \text{rev/s} = 35 \ \text{rev/s}$।
अतः,$\omega = 2 \times \pi \times 35 = 70\pi \ \text{rad/s}$।
कोणीय संवेग $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है।
$L = 0.4 \times 70\pi = 28\pi \ \text{kg} \cdot m^2/s$।
$\pi \approx 22/7$ का उपयोग करने पर,$L = 28 \times (22/7) = 4 \times 22 = 88 \ \text{kg} \cdot m^2/s$।

(D) बिंदु द्रव्यमान पर डोरी के कारण लगने वाला बल त्रिज्यीय है,इसलिए डोरी को छोटा करने पर भी कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
मान लीजिए कण का द्रव्यमान $m$,प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = 2 \ m$,प्रारंभिक रैखिक वेग $v_1 = 4 \ m/s$ और प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = v_1 / r_1 = 4 / 2 = 2 \ rad/s$ है।
मान लीजिए अंतिम त्रिज्या $r_2 = 1 \ m$,अंतिम रैखिक वेग $v_2$ और अंतिम कोणीय वेग $\omega_2$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
$L_1 = L_2$
$m r_1 v_1 = m r_2 v_2$
$r_1 v_1 = r_2 v_2$
मान रखने पर:
$2 \times 4 = 1 \times v_2$
$v_2 = 8 \ m/s$
नया कोणीय वेग:
$\omega_2 = v_2 / r_2 = 8 / 1 = 8 \ rad/s$
अंतिम गतिज ऊर्जा $(K_2)$ और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K_1)$ का अनुपात:
$K_2 / K_1 = (\frac{1}{2} m v_2^2) / (\frac{1}{2} m v_1^2)$
$K_2 / K_1 = v_2^2 / v_1^2$
$K_2 / K_1 = (8)^2 / (4)^2 = 64 / 16 = 4$
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(B) मूल बिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग $L = mvd$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$v$ वेग है,और $d$ मूल बिंदु से गति की रेखा की लंबवत दूरी है।
रेखा का समीकरण $2x - y + 4 = 0$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से $Ax + By + C = 0$ रेखा की लंबवत दूरी $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 2$,$B = -1$,और $C = 4$ है।
$d = \frac{|4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \ m$.
दिया गया द्रव्यमान $m = 5 \ kg$ और वेग $v = 3\sqrt{5} \ m/s$ है।
$L = mvd = 5 \times (3\sqrt{5}) \times \left(\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$.
$L = 5 \times 3 \times 4 = 60 \ kg \ m^2 \ s^{-1}$.

(C) प्रक्षेप्य पर कार्य करने वाला एकमात्र बल इसका भार $mg$ है जो नीचे की ओर कार्य करता है।
बिंदु $P$ को मूल बिंदु मानते हुए,किसी भी समय $t$ पर गुरुत्वाकर्षण के कारण टॉर्क $\tau = \vec{r} \times \vec{F} = x(t) \cdot mg$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x(t) = (v_0 \cos 45^{\circ})t = \frac{v_0}{\sqrt{2}}t$ है।
अतः,$\tau = mg \cdot \frac{v_0}{\sqrt{2}}t$ है।
कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L$ कोणीय आवेग के बराबर होता है:
$\Delta L = \int_{0}^{t} \tau \, dt = \int_{0}^{t} \frac{mgv_0}{\sqrt{2}} t \, dt = \frac{mgv_0}{\sqrt{2}} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{t} = \frac{mgv_0 t^2}{2\sqrt{2}}$ है।
चूंकि $P$ पर प्रारंभिक कोणीय संवेग शून्य है (प्रारंभिक वेग की कार्य रेखा $P$ से गुजरती है),इसलिए $t = \frac{v_0}{g}$ समय पर कोणीय संवेग होगा:
$L = \frac{mgv_0}{2\sqrt{2}} \left( \frac{v_0}{g} \right)^2 = \frac{mgv_0^3}{2\sqrt{2}g^2} = \frac{mv_0^3}{2\sqrt{2}g}$।

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल कोणीय संवेग,टक्कर के बाद के कुल कोणीय संवेग के बराबर होता है।
बेलन का प्रारंभिक कोणीय संवेग = $I\omega$
बेलन की अक्ष के परितः कण का प्रारंभिक कोणीय संवेग = $mvR$
कुल प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_1 = I\omega + mvR$
जब कण रिम पर चिपक जाता है,तो निकाय का नया जड़त्व आघूर्ण $I' = I + mR^2$ हो जाता है।
मान लीजिए कि नया कोणीय वेग $\omega'$ है।
कुल अंतिम कोणीय संवेग $L_2 = (I + mR^2)\omega'$
$L_1 = L_2$ को बराबर करने पर:
$I\omega + mvR = (I + mR^2)\omega'$
$\omega' = \frac{I\omega + mvR}{I + mR^2}$

(A) मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष एक कण का कोणीय संवेग $L$ सूत्र $L = r \times p = r \times (mv)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ कण का स्थिति सदिश है और $p$ इसका रैखिक संवेग है।
इसे $L = m v d$ के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $d$ मूल बिंदु $O$ से कण की गति की रेखा तक की लंबवत दूरी है।
चूंकि कण एक सीधी रेखा $AB$ के अनुदिश गति कर रहा है,इसलिए मूल बिंदु $O$ से इस रेखा तक की लंबवत दूरी $d$ रेखा के सभी बिंदुओं पर स्थिर रहती है।
इसलिए,रेखा $AB$ पर सभी बिंदुओं के लिए कोणीय संवेग $L$ स्थिर रहता है।
अतः,$L_A = L_B$.

(A) एक कण का कोणीय संवेग $\vec{L}$ उसके स्थिति सदिश $\vec{r}$ और उसके रेखीय संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ के क्रॉस गुणनफल द्वारा परिभाषित होता है,जो $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ है।
चूंकि $\vec{r}$ और $\vec{v}$ दोनों घूर्णन के तल में स्थित हैं,इसलिए दाहिने हाथ के नियम के अनुसार उनका क्रॉस गुणनफल $\vec{L}$,$\vec{r}$ और $\vec{v}$ दोनों के लंबवत होना चाहिए।
अतः,कोणीय संवेग सदिश घूर्णन के तल के लंबवत एक रेखा की दिशा में होता है।

(A) कोणीय संवेग को स्थिति सदिश और रैखिक संवेग के सदिश गुणनफल द्वारा परिभाषित किया जाता है: $\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p}$.
चूंकि यह दो सदिशों के सदिश गुणनफल द्वारा परिभाषित है और इसकी दिशा घूर्णन अक्ष के अनुदिश होती है,इसलिए इसे अक्षीय सदिश के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

(B) कोणीय संवेग के सिद्धांत के अनुसार, किसी निकाय के कोणीय संवेग $(\vec{L})$ के परिवर्तन की दर उस पर कार्य करने वाले कुल बाह्य बल आघूर्ण $(\vec{\tau}_{ext})$ के बराबर होती है。
गणितीय रूप से, $\vec{\tau}_{ext} = \frac{d\vec{L}}{dt}$。
यदि $\vec{\tau}_{ext} = 0$ है, तो $\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ होगा, जिसका अर्थ है कि $\vec{L}$ नियत है。
अतः, निकाय का कोणीय संवेग तभी परिवर्तित होता है जब निकाय पर कोई अशून्य कुल बाह्य बल आघूर्ण कार्य करता है।

(D) किसी बिंदु के परितः रेखीय संवेग $\vec{p}$ के आघूर्ण को स्थिति सदिश $\vec{r}$ और रेखीय संवेग $\vec{p}$ के सदिश गुणनफल (cross product) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप में,इसे $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
इस राशि को कोणीय संवेग कहा जाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) किसी कण का कोणीय संवेग $\vec{L}$ उसके स्थिति सदिश $\vec{r}$ और रैखिक संवेग $\vec{p}$ के सदिश गुणनफल द्वारा परिभाषित होता है,जो $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ है।
सदिश गुणनफल के लिए दाएं हाथ के नियम के अनुसार,सदिश $\vec{L}$,$\vec{r}$ और $\vec{p}$ दोनों के लंबवत होता है।
चूंकि $\vec{r}$ और $\vec{p}$ दोनों घूर्णन के तल में स्थित हैं,इसलिए उनका सदिश गुणनफल $\vec{L}$ घूर्णन के तल के लंबवत होना चाहिए।
निश्चित बिंदु से गुजरने वाली और घूर्णन के तल के लंबवत रेखा घूर्णन अक्ष होती है।
अतः,कोणीय संवेग की दिशा घूर्णन अक्ष के अनुदिश होती है।

(D) किसी घूर्णन करते हुए पिण्ड का कोणीय संवेग $(L)$,उसके जड़त्व आघूर्ण $(I)$ और उसके कोणीय वेग $(\omega)$ का गुणनफल होता है।
गणितीय रूप में,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$L = I \omega$
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(B) एक छल्ले का उसकी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = mR^2$ होता है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 10 \ kg$ और व्यास $d = 0.4 \ m$ है,इसलिए त्रिज्या $R = d/2 = 0.2 \ m$ होगी।
अतः,$I = 10 \times (0.2)^2 = 10 \times 0.04 = 0.4 \ kg \cdot m^2$।
कोणीय वेग $\omega$ ($rad/s$ में) $\omega = 2\pi n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ आवृत्ति ($rev/s$ में) है।
दिया गया है $n = 2100 \ rpm = 2100/60 \ rev/s = 35 \ rev/s$।
अतः,$\omega = 2 \times \pi \times 35 = 70\pi \ rad/s$।
कोणीय संवेग $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है।
$L = 0.4 \times 70\pi = 28\pi \ kg \cdot m^2/s$।
$\pi \approx 22/7$ का उपयोग करने पर,$L = 28 \times (22/7) = 4 \times 22 = 88 \ kg \cdot m^2/s$।

(D) कोणीय संवेग $L$ को स्थिति सदिश $r$ और रेखीय संवेग सदिश $p$ के सदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $L = r \times p$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार,परिणामी सदिश $L$ हमेशा उस तल के लम्बवत् होता है जिसमें सदिश $r$ और $p$ दोनों स्थित होते हैं।
चूंकि स्थिति सदिश $r$ और रेखीय संवेग सदिश $p$ दोनों कक्षीय तल में स्थित होते हैं,इसलिए कोणीय संवेग सदिश $L$ कक्षीय तल के लम्बवत् होगा।

(A) घूर्णन गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{L^2}{2I}$ है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है और $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
$L$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$L = \sqrt{2EI}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $E = 10 \ J$ और $I = 8 \times 10^{-7} \ kg \ m^2$ दिया गया है।
मान रखने पर: $L = \sqrt{2 \times 10 \times 8 \times 10^{-7}}$.
$L = \sqrt{160 \times 10^{-7}} = \sqrt{16 \times 10^{-6}}$.
$L = 4 \times 10^{-3} \ kg \ m^2/s$.

(C) घूर्णन करती हुई वस्तु का कोणीय संवेग $L$,उसके जड़त्व आघूर्ण $I$ और कोणीय वेग $\omega$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$L = I \omega$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) घूर्णन करते हुए पिंड का कोणीय संवेग $L = I \omega$ द्वारा दिया जाता है।
अपनी अक्ष पर घूर्णन कर रहे ठोस गोले (पृथ्वी) के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} M R^2$ होता है।
समयांतराल $T$ के पदों में कोणीय वेग $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ होता है।
इन मानों को कोणीय संवेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \left( \frac{2}{5} M R^2 \right) \times \left( \frac{2 \pi}{T} \right) = \frac{4 \pi M R^2}{5 T}$.

(A) किसी कण का कोणीय संवेग $\vec{L}$,उसके स्थिति सदिश $\vec{r}$ और रैखिक संवेग $\vec{p}$ के सदिश गुणनफल (cross product) के रूप में परिभाषित होता है,जिसे $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार,परिणामी सदिश $\vec{L}$ हमेशा उस तल के लंबवत होता है जिसमें सदिश $\vec{r}$ और $\vec{p}$ स्थित होते हैं।
चूंकि कण घूर्णन तल में गति करता है,इसलिए $\vec{r}$ और $\vec{p}$ दोनों इसी तल में स्थित होते हैं।
अतः,कोणीय संवेग सदिश $\vec{L}$ हमेशा घूर्णन तल के लंबवत होता है।

(A) आवेग $J = Mv$ छड़ के एक सिरे पर लगाया जाता है। यह आवेग निकाय के द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ के परितः कोणीय संवेग प्रदान करता है।
दो गेंदों वाले निकाय का द्रव्यमान केंद्र छड़ के मध्य बिंदु पर होता है।
आवेग $J$ द्वारा द्रव्यमान केंद्र के परितः प्रदान किया गया कोणीय संवेग $L_{CM} = J \times r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = L/2$ द्रव्यमान केंद्र से आवेग के अनुप्रयोग बिंदु तक की दूरी है।
$L_{CM} = (Mv) \times (L/2) = \frac{MvL}{2}$.
द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और छड़ के लंबवत अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = M(L/2)^2 + M(L/2)^2 = 2M(L^2/4) = \frac{ML^2}{2}$ है।
संबंध $L_{CM} = I\omega$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{MvL}{2} = \left( \frac{ML^2}{2} \right) \omega$.
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega = \frac{MvL/2}{ML^2/2} = \frac{v}{L}$.

(B) मूलबिन्दु के परित: कण का कोणीय संवेग $L = r \times p$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ स्थिति सदिश है और $p$ रेखीय संवेग है।
वैकल्पिक रूप से,कोणीय संवेग का परिमाण $L = p \times d$ होता है,जहाँ $d$ मूलबिन्दु से गति की रेखा की लम्बवत् दूरी है।
यहाँ,द्रव्यमान $m$ अचर वेग $v$ से गति कर रहा है,इसलिए रेखीय संवेग $p = mv$ अचर है।
मूलबिन्दु से गति की रेखा की लम्बवत् दूरी $d$ अचर है और यह $a$ के बराबर है।
अतः,कोणीय संवेग $L = mv \times a = mva$,जो कि एक अचर मान है।

(B) मूल बिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग $L = p \times d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p = mv$ रैखिक संवेग है और $d$ मूल बिंदु से गति की रेखा की लंबवत दूरी है।
गति की रेखा $Y = X + 4$ है,जिसे $X - Y + 4 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $X - Y + 4 = 0$ की लंबवत दूरी $d$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$d = \frac{|(1)(0) - (1)(0) + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ इकाई।
रैखिक संवेग $p = mv = 5 \times 3\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$ इकाई।
अतः,कोणीय संवेग का परिमाण:
$L = p \times d = (15\sqrt{2}) \times (2\sqrt{2}) = 15 \times 2 \times 2 = 60$ इकाई।

(C) किसी पिंड पर कार्य करने वाला औसत टॉर्क $\bar{\tau}$,कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है: $\bar{\tau} = \frac{\Delta L}{\Delta t}$.
दिया गया है:
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = 30\, kg\, m^2/s$
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = 20\, kg\, m^2/s$
समय अंतराल $\Delta t = 2\, s$
कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L = L_f - L_i = 20 - 30 = -10\, kg\, m^2/s$.
औसत टॉर्क का परिमाण $|\bar{\tau}| = |\frac{-10}{2}| = 5\, N\, m$ है।

(D) मूल बिंदु के परितः कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m\vec{v}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $\vec{r} = (1\hat{i} + 1\hat{j}) \ m$,$m = 2 \ kg$,और $\vec{v} = 2(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \ m/s$.
अतः,$\vec{p} = m\vec{v} = 2 \times 2(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 4(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \ kg \cdot m/s$.
सदिश गुणनफल $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ की गणना करने पर:
$\vec{L} = (\hat{i} + \hat{j}) \times 4(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$
$\vec{L} = 4 [(\hat{i} \times \hat{i}) - (\hat{i} \times \hat{j}) + (\hat{i} \times \hat{k}) + (\hat{j} \times \hat{i}) - (\hat{j} \times \hat{j}) + (\hat{j} \times \hat{k})]$
सदिश गुणनफल के नियमों के अनुसार: $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$,$\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{j} = 0$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$.
$\vec{L} = 4 [0 - \hat{k} - \hat{j} - \hat{k} - 0 + \hat{i}]$
$\vec{L} = 4(\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) = 4\hat{i} - 4\hat{j} - 8\hat{k}$.
$z$-अक्ष के परितः कोणीय संवेग $\vec{L}$ का $z$-घटक है,जो $L_z = -8 \ kg \cdot m^2/s$ है।