Angular Momentum and Angular Impulse Questions in Gujarati

(C) કોઈ બિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક દળ માટે,સમબાજુ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રથી વેગ સદિશ (જે બાજુ પર રહેલો છે) સુધીનું લંબ અંતર $r_{\perp}$ એ મધ્યકેન્દ્રથી બાજુ સુધીનું અંતર છે.
$a$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણમાં,મધ્યકેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું અંતર $r_{\perp} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ છે.
દરેક દળનો વેગ $V_0$ છે જે ત્રિકોણની બાજુઓ પર નિર્દેશિત છે.
મધ્યકેન્દ્રની સાપેક્ષે એક દળનું કોણીય વેગમાન $L_1 = m V_0 r_{\perp} = m V_0 \left( \frac{a}{2\sqrt{3}} \right)$ છે.
જેમ કે વેગ એવી રીતે નિર્દેશિત છે કે ત્રણેય દળો સમાન પરિભ્રમણની દિશામાં (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અથવા તેની વિરુદ્ધ) કોણીય વેગમાનમાં ફાળો આપે છે,તેથી કુલ કોણીય વેગમાન $L = 3 \times L_1$ થશે.
$L = 3 \times m V_0 \left( \frac{a}{2\sqrt{3}} \right) = \frac{3}{2\sqrt{3}} m V_0 a = \frac{\sqrt{3}}{2} m V_0 a$.

(A) કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = (1 \hat{i} + 1 \hat{j} + 0 \hat{k}) \ m$ છે.
વેગ સદિશ $\vec{v} = (4 \hat{i} + 2 \hat{j}) \ m/s$ અને દળ $m = 4 \ kg$ છે.
કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m \vec{v})$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{L} = (\hat{i} + \hat{j}) \times [4 \times (4 \hat{i} + 2 \hat{j})]$.
$\vec{L} = (\hat{i} + \hat{j}) \times (16 \hat{i} + 8 \hat{j})$.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{L} = 16(\hat{i} \times \hat{i}) + 8(\hat{i} \times \hat{j}) + 16(\hat{j} \times \hat{i}) + 8(\hat{j} \times \hat{j})$.
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{j} \times \hat{j} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$.
$\vec{L} = 0 + 8(\hat{k}) + 16(-\hat{k}) + 0 = 8 \hat{k} - 16 \hat{k} = -8 \hat{k} \ kg \cdot m^2/s$.

(C) વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા કણ માટે,કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને રેખીય વેગમાન સદિશ $\vec{p}$ બંને વર્તુળાકાર ગતિના સમતલમાં આવેલા હોય છે.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec{L}$ ની દિશા ગતિના સમતલને લંબ હોય છે.
કણ એક નિશ્ચિત વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરવા માટે બંધાયેલ હોવાથી,ગતિનું સમતલ બદલાતું નથી.
તેથી,ઝડપમાં ફેરફાર થવા છતાં,સમગ્ર ગતિ દરમિયાન કોણીય વેગમાન સદિશની દિશા અચળ રહે છે.

(B) કોણીય વેગમાન $L$ એ સૂત્ર $L = I \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
ઘન ગોળા માટે,તેની પરિભ્રમણ ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
પરિભ્રમણ સમયગાળા $T$ ના સંદર્ભમાં કોણીય વેગ $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતોને કોણીય વેગમાનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = I \omega = \left( \frac{2}{5} MR^2 \right) \left( \frac{2 \pi}{T} \right)$.
તેથી,$L = \frac{4 \pi MR^2}{5 T}$.

(A) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L$ એ તેના સ્થાન સદિશ $r$ અને રેખીય વેગમાન $p = Mv$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L = r \times (Mv)$
જ્યારે દળ $M$ એ $X$-અક્ષને સમાંતર અચળ વેગ $v$ થી ગતિ કરતું હોય, ત્યારે તેનું સ્થાન $r = xi + yj$ તરીકે લખી શકાય, જ્યાં $y$ એ $X$-અક્ષથી લંબ અંતર છે જે અચળ રહે છે.
વેગ સદિશ $v = vi$ છે.
કોણીય વેગમાન $L = (xi + yj) \times (Mvi) = Mv(xi \times i) + Mv(yj \times i)$ થશે.
કારણ કે $i \times i = 0$ અને $j \times i = -k$, તેથી $L = -Mvyk$ મળે છે.
અહીં $M$, $v$, અને $y$ બધા અચળ હોવાથી, કોણીય વેગમાન $L$ નું મૂલ્ય અને દિશા સમય સાથે અચળ રહે છે.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
ખ્યાલ: $m$ દળ ધરાવતા કણનું કોણીય વેગમાન $L$,જે $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ગતિ કરે છે,તે $L = I\omega = mr^2\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં દળ $m$ અને કોણીય વેગ $\omega$ અચળ રહે છે.
શરૂઆતમાં,$L = m\omega r^2$.
જ્યારે દોરીની લંબાઈ અડધી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r' = \frac{r}{2}$ થાય છે.
નવું કોણીય વેગમાન $L'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$L' = m\omega(r')^2 = m\omega\left(\frac{r}{2}\right)^2$
$L' = m\omega\left(\frac{r^2}{4}\right) = \frac{1}{4}(mr^2\omega)$
$L' = \frac{L}{4}$.

(A) ખ્યાલ: સળિયા પર લાગતો કોણીય આઘાત તેના કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ ની સાપેક્ષે કોણીય આઘાત $J_{\theta} = P \cdot \frac{l}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $L = I \omega$ છે,જ્યાં $I = \frac{m l^2}{12}$ એ સળિયાની તેના કેન્દ્રની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
કોણીય આઘાતને કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$P \cdot \frac{l}{2} = I \omega$
$P \cdot \frac{l}{2} = \left( \frac{m l^2}{12} \right) \omega$
કોણીય વેગ $\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega = \frac{P \cdot l}{2} \cdot \frac{12}{m l^2} = \frac{6 P}{m l}$
સળિયો અચળ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ફરે છે. $\Delta \theta = \frac{\pi}{2}$ જેટલા ખૂણે ફરવા માટે લાગતો સમય $\Delta t$:
$\Delta t = \frac{\Delta \theta}{\omega} = \frac{\pi / 2}{6 P / (m l)} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{m l}{6 P} = \frac{\pi m l}{12 P}$

(B) ચાકગતિ ઉર્જા $E$ ને $E = \frac{L^2}{2I}$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ $L = \sqrt{2IE}$.
આપેલ છે કે $I_1 = \frac{I_2}{3} \implies I_2 = 3I_1$ અને $E_1 = 27E_2$.
કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2} = \frac{\sqrt{2I_1E_1}}{\sqrt{2I_2E_2}}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{L_1}{L_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2} \cdot \frac{E_1}{E_2}} = \sqrt{\frac{I_1}{3I_1} \cdot \frac{27E_2}{E_2}}$.
$\frac{L_1}{L_2} = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot 27} = \sqrt{9} = 3$.
આમ,$L_1 : L_2$ નો ગુણોત્તર $3: 1$ છે.

(B) કણનું કોણીય વેગમાન તેના સ્થાન સદિશ અને રેખીય વેગમાનના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p}$.
સદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મો મુજબ,સદિશ $\overrightarrow{L}$ એ $\overrightarrow{r}$ અને $\overrightarrow{p}$ બંનેને લંબ હોય છે.
કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = rp \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ $\overrightarrow{r}$ અને $\overrightarrow{p}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
મૂલ્ય $L$ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin \theta$ મહત્તમ હોવું જોઈએ,જે $\theta = 90^{\circ}$ હોય ત્યારે થાય છે.
તેથી,જ્યારે $\overrightarrow{p}$ એ $\overrightarrow{r}$ ને લંબ હોય ત્યારે $\overrightarrow{L}$ મહત્તમ હોય છે.

(A) ટોર્ક $(\tau)$ અને કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર $(\Delta L)$ વચ્ચેનો સંબંધ કોણીય આઘાત-વેગમાન પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta L = \int \tau dt$.
અહીં ટોર્ક અચળ હોવાથી, કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ ટોર્ક અને સમયનો ગુણાકાર છે: $\Delta L = \tau \times \Delta t$.
આપેલ છે:
ટોર્ક $(\tau)$ = $200 \, N-m$
સમય $(\Delta t)$ = $4 \, s$
ગણતરી:
$\Delta L = 200 \, N-m \times 4 \, s = 800 \, kg-m^{2}/s$.
તેથી, કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $800 \, kg-m^{2}/s$ છે.

(A) ટોર્ક $\tau$ અને કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર $\Delta L$ વચ્ચેનો સંબંધ પરિભ્રમણ માટેના આઘાત-વેગમાન પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta L = \int \tau \ dt$.
અહીં ટોર્ક $\tau = 50 \ Nm$ અચળ છે અને તે $8 \ s$ ના સમયગાળા માટે લાગે છે,તેથી કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર:
$\Delta L = \tau \times \Delta t$
$\Delta L = 50 \ Nm \times 8 \ s$
$\Delta L = 400 \ kg \cdot m^2/s$.
આમ,કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $400 \ kg \cdot m^2/s$ છે.

(A) કોઈ બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L$ એ સદિશ ગુણાકાર $L = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = mvr \sin(\theta)$ છે,જ્યાં $r$ એ ઉગમબિંદુ $O$ થી કણનો સ્થાન સદિશ છે,$v$ એ વેગ છે,અને $\theta$ એ $\vec{r}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આને $L = mv d$ તરીકે પણ લખી શકાય છે,જ્યાં $d = r \sin(\theta)$ એ ઉગમબિંદુ $O$ થી કણની ગતિની રેખાનું લંબ અંતર છે.
કણ સીધી રેખામાં ગતિ કરતો હોવાથી,ઉગમબિંદુ $O$ થી ગતિની રેખાનું લંબ અંતર $d$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
દળ $m$ અને ઝડપ $v$ પણ અચળ હોવાથી (સમાન ગતિ),ગુણાકાર $mvd$ અચળ રહે છે.
તેથી,$A$ થી $B$ સુધીની ગતિ દરમિયાન $O$ ની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $y = x + a$ છે. તેને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m_{slope} = 1$ મળે છે. $\tan \theta = m_{slope} = 1$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ થાય.
વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ ધન $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી,$\vec{v} = v \cos 45^{\circ} \hat{i} + v \sin 45^{\circ} \hat{j} = \frac{v}{\sqrt{2}} (\hat{i} + \hat{j})$.
ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m (\vec{r} \times \vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $x - y + a = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|(1)(0) - (1)(0) + a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = mvd = m v \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right) = \frac{mva}{\sqrt{2}}$ થાય.

(B) આપેલ છે: વ્યાસ $D = 1 \,m$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.5 \,m$. દળ $m = 20 \,kg$. આવૃત્તિ $n = 120$ પરિભ્રમણ પ્રતિ મિનિટ $= 2$ પરિભ્રમણ પ્રતિ સેકન્ડ.
ફ્લાયવ્હીલ (તકતી) ની તેની ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mr^2$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi n = 2 \times 3.14 \times 2 = 12.56 \,rad/s$.
કોણીય વેગમાન $L = I\omega = (\frac{1}{2}mr^2) \times (2\pi n)$.
કિંમતો મૂકતા: $L = \frac{20 \times (0.5)^2}{2} \times 2 \times 3.14 \times 2$.
$L = 5 \times 3.14 \times 2 = 31.4 \,kg-m^2/s$.

(C) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ પર,કણનો વેગ સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ હોય છે,જે $v_x = u \cos \theta$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ પર કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = x \hat{i} + h_{\max} \hat{j}$ છે,જ્યાં $h_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
વેગમાન $\vec{p} = m v_x \hat{i} = m u \cos \theta \hat{i}$ છે.
કોણીય વેગમાન $\vec{L} = (x \hat{i} + h_{\max} \hat{j}) \times (m u \cos \theta \hat{i}) = -m u \cos \theta h_{\max} \hat{k}$ થાય.
તેનું મૂલ્ય $L = m u \cos \theta \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right) = \frac{m u^3 \sin^2 \theta \cos \theta}{2g}$ છે.
આમ,$L \propto u^3$ થાય.

(A) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\vec{r} = x(t) \hat{i} + b \hat{j}$ અને $\vec{v} = v \hat{i}$ આપેલ છે.
$\vec{L} = (x(t) \hat{i} + b \hat{j}) \times (m v \hat{i}) = x(t) m v (\hat{i} \times \hat{i}) + b m v (\hat{j} \times \hat{i})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,તેથી $\vec{L} = -b m v \hat{k}$ મળે છે.
કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $|\vec{L}| = | -b m v | = b m v$ થાય.
અહીં $b$,$m$,અને $v$ ત્રણેય અચળ હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $|\vec{L}|$ અચળ રહે છે અને તે ખૂણા $\theta$ પર આધારિત નથી.
તેથી,$|\vec{L}|$ વિરુદ્ધ $\theta$ નો આલેખ એક આડી સીધી રેખા મળશે.

(A) બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેનું મૂલ્ય $L = mvr \sin \theta$ છે,જ્યાં $r \sin \theta$ એ $O$ થી ગતિની રેખાનું લંબ અંતર છે.
કણ $A$ માટે: $m_A = 6.5 \ kg$,$v_A = 2.2 \ m/s$,અને લંબ અંતર $r_A = 1.5 \ m$. ગતિ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં છે,તેથી $L_A = -m_A v_A r_A = -(6.5 \times 2.2 \times 1.5) = -21.45 \ kg \ m^2/s$.
કણ $B$ માટે: $m_B = 3.1 \ kg$,$v_B = 3.6 \ m/s$,અને લંબ અંતર $r_B = 2.8 \ m$. ગતિ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે,તેથી $L_B = +m_B v_B r_B = +(3.1 \times 3.6 \times 2.8) = +31.248 \ kg \ m^2/s$.
કુલ કોણીય વેગમાન $L = L_A + L_B = -21.45 + 31.248 = 9.798 \ kg \ m^2/s \approx 9.8 \ kg \ m^2/s$ થાય.

(D) સ્થાન સદિશ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $\vec{r} \rightarrow -\vec{r}$ થાય,ત્યારે વેગ સદિશ $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$ પણ તેની નિશાની બદલીને $-\vec{v}$ થાય છે.
રેખીય વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ તેની નિશાની બદલીને $-m\vec{v} = -\vec{p}$ થાય છે.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$ તેની નિશાની બદલીને $-\vec{a}$ થાય છે.
કોણીય વેગમાનને $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જ્યારે $\vec{r} \rightarrow -\vec{r}$ અને $\vec{v} \rightarrow -\vec{v}$ થાય,ત્યારે નવું કોણીય વેગમાન $\vec{L}' = (-\vec{r}) \times (-m\vec{v}) = (-1)(-1)(\vec{r} \times m\vec{v}) = \vec{L}$ થાય છે.
આમ,કોણીય વેગમાન તેની નિશાની બદલતું નથી.

(B) એક કણનું બીજા કણની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગમાન $L = m \cdot v_{\text{rel}} \cdot r_{\perp}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,કાર $A$ નું દળ $m = 10^3 \text{ kg}$ છે.
કાર $B$ ની સાપેક્ષમાં કાર $A$ નો સાપેક્ષ વેગ $v_{\text{rel}} = v_A - v_B = 72 \text{ km/h} - 36 \text{ km/h} = 36 \text{ km/h}$ છે.
સાપેક્ષ વેગને $SI$ એકમોમાં ફેરવતા: $v_{\text{rel}} = 36 \times \frac{5}{18} \text{ m/s} = 10 \text{ m/s}$.
ટ્રેક વચ્ચેનું લંબ અંતર $r_{\perp} = 10 \text{ m}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $L = 1000 \times 10 \times 10 = 10^5 \text{ kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$ (અથવા $\text{J} \cdot \text{s}$).