Circular motion with Friction Questions in Hindi

(A) $m$ द्रव्यमान का एक पिंड जो $r$ त्रिज्या के क्षैतिज वृत्ताकार पथ पर $v$ चाल से गति कर रहा है,उसके लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{r}$ है।
यह अभिकेंद्र बल पिंड और सतह के बीच कार्य करने वाले स्थैतिक घर्षण बल $f_s$ द्वारा प्रदान किया जाता है।
स्थैतिक घर्षण का अधिकतम मान $f_{s,max} = \mu N = \mu mg$ होता है।
पिंड के फिसलने बिना वृत्ताकार पथ पर गति करने के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल का मान अधिकतम उपलब्ध स्थैतिक घर्षण बल से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
अतः,फिसलने से बचने के लिए शर्त $\frac{mv^2}{r} \leq \mu mg$ है।

(D) समतल सड़क पर कार द्वारा सुरक्षित रूप से मोड़ लेने के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
$F_c = F_f$
$\frac{mv^2}{r} = \mu mg$
$\frac{v^2}{r} = \mu g$
त्रिज्या $r$ के लिए सूत्र:
$r = \frac{v^2}{\mu g}$
यहाँ $v = 10\,m/s$,$\mu = 0.5$,और $g = 10\,m/s^2$ लेने पर:
$r = \frac{10^2}{0.5 \times 10} = \frac{100}{5} = 20\,m$.
अतः,मोड़ की न्यूनतम त्रिज्या $20\,m$ है।

(B) समतल वृत्ताकार सड़क पर गति करती कार के लिए,मुड़ने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल टायर और सड़क के बीच के स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
कार के न फिसलने की शर्त यह है कि आवश्यक अभिकेंद्र बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल के बराबर या उससे कम होना चाहिए।
$F_{c} \leq f_{s,max}$
$\frac{mv^{2}}{R} \leq \mu mg$
$v^{2} \leq \mu gR$
$v_{max} = \sqrt{\mu gR}$
दिया गया है: $\mu = 0.2,$ $R = 450\,m,$ और $g = 10\,m/s^{2}$ लेने पर।
$v_{max} = \sqrt{0.2 \times 10 \times 450}$
$v_{max} = \sqrt{2 \times 450}$
$v_{max} = \sqrt{900}$
$v_{max} = 30\,m/s.$

(B) $m$ द्रव्यमान के मोटरसाइकिल सवार के लिए $r$ त्रिज्या के मोड़ को $v$ चाल से सुरक्षित रूप से पार करने के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल टायरों और सड़क के बीच घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{r}$ है।
अधिकतम उपलब्ध घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu mg$ है,जहाँ $\mu$ घर्षण गुणांक है और $N = mg$ अभिलंब बल है।
सुरक्षित रूप से मोड़ पार करने के लिए,घर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र बल के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए:
$f_{max} \geq F_c$
$\mu mg \geq \frac{mv^2}{r}$
$\mu \geq \frac{v^2}{gr}$
अतः,घर्षण गुणांक का न्यूनतम मान $\mu_{min} = \frac{v^2}{gr}$ है।

(C) घूमती हुई मेज पर रखा सिक्का तब फिसलता है जब अभिकेंद्री बल $mr\omega^2$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu mg$ से अधिक या उसके बराबर होता है।
सिक्के के फिसलने की स्थिति इस प्रकार है:
$mr\omega^2 = \mu mg$
इसे सरल करने पर:
$r = \frac{\mu g}{\omega^2}$
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $r \propto \frac{1}{\omega^2}$.
मान लीजिए प्रारंभिक दूरी $r_1 = 4r$ है जब कोणीय गति $\omega_1 = \omega$ है।
मान लीजिए नई दूरी $r_2$ है जब कोणीय गति $\omega_2 = 2\omega$ है।
समानुपात $r_1 \omega_1^2 = r_2 \omega_2^2$ का उपयोग करने पर:
$(4r)(\omega)^2 = r_2 (2\omega)^2$
$4r \cdot \omega^2 = r_2 \cdot 4\omega^2$
$r_2 = r$
अतः,सिक्का केंद्र से $r$ दूरी पर होने पर फिसल जाएगा।

(B) समतल वृत्ताकार वक्र पर फिसलने से बचने के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
$f_{L} \geq \frac{mv^{2}}{r}$
अधिकतम गति $(v_{\max})$ के लिए,सीमांत घर्षण अभिकेंद्र बल के बराबर होता है:
$f_{L} = \frac{mv_{\max}^{2}}{r}$
चूंकि $f_{L} = \mu mg$,इसलिए:
$\mu mg = \frac{mv_{\max}^{2}}{r}$
$v_{\max} = \sqrt{\mu rg}$
यहाँ $\mu = 0.6$,$r = 150\, m$,और $g = 10\, m/s^2$ लेने पर:
$v_{\max} = \sqrt{0.6 \times 150 \times 10}$
$v_{\max} = \sqrt{900}$
$v_{\max} = 30\, m/s$.

(C) ब्लॉक को स्थिर रहने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला घर्षण बल नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
$f_s = mg$
दीवार द्वारा प्रदान किया गया अभिलंब बल $N$ ब्लॉक की वृत्तीय गति के लिए अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है:
$N = mr\omega^2$
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल इस प्रकार है:
$f_{L} = \mu N = \mu mr\omega^2$
ब्लॉक को संतुलन में रखने के लिए,घर्षण बल को वजन के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए:
$f_{L} \geq mg$
$\mu mr\omega^2 \geq mg$
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega^2 \geq \frac{g}{\mu r}$
$\omega \geq \sqrt{\frac{g}{\mu r}}$
दिए गए मानों को रखने पर ($g = 10\; m/s^2$,$\mu = 0.1$,$r = 1\; m$):
$\omega_{\min} = \sqrt{\frac{10}{0.1 \times 1}} = \sqrt{\frac{10}{0.1}} = \sqrt{100} = 10\; rad/s$

(A) बिना ढलान वाली सड़क पर,घर्षण बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है। साइकिल सवार के न फिसलने की शर्त $v^{2} \leq \mu_{s} R g$ है।
दिया गया है: $v = 18 \; km/h = 5 \; m/s$,$R = 3 \; m$,$\mu_{s} = 0.1$,और $g = 9.8 \; m/s^{2}$.
अधिकतम अनुमत गति का वर्ग: $\mu_{s} R g = 0.1 \times 3 \times 9.8 = 2.94 \; m^{2}/s^{2}$.
वास्तविक गति का वर्ग: $v^{2} = (5)^{2} = 25 \; m^{2}/s^{2}$.
चूंकि $v^{2} > \mu_{s} R g$ $(25 > 2.94)$,घर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करने के लिए अपर्याप्त है। इसलिए,साइकिल सवार मोड़ लेते समय फिसल जाएगा।

(A) झुकी हुई सड़क पर,अभिलंब बल का क्षैतिज घटक और घर्षण बल कार को बिना फिसले वृत्ताकार मोड़ पर गतिमान रखने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करते हैं।
$(a)$ इष्टतम गति पर,अभिलंब प्रतिक्रिया का क्षैतिज घटक आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करने के लिए पर्याप्त होता है,और घर्षण बल की आवश्यकता नहीं होती है। इष्टतम गति $v_{o}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$v_{o} = \sqrt{R g \tan \theta}$
यहाँ $R = 300 \; m$,$\theta = 15^{\circ}$,और $g = 9.8 \; m/s^{2}$ है:
$v_{o} = \sqrt{300 \times 9.8 \times \tan(15^{\circ})} = \sqrt{2940 \times 0.2679} \approx 28.1 \; m/s$.
$(b)$ फिसलने से बचने के लिए अधिकतम अनुमेय गति $v_{\max}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$v_{\max} = \sqrt{R g \left( \frac{\mu_{s} + \tan \theta}{1 - \mu_{s} \tan \theta} \right)}$
यहाँ $\mu_{s} = 0.2$ है:
$v_{\max} = \sqrt{300 \times 9.8 \times \left( \frac{0.2 + 0.2679}{1 - (0.2 \times 0.2679)} \right)} = \sqrt{2940 \times \left( \frac{0.4679}{0.9464} \right)} \approx 38.1 \; m/s$.

(A) पत्थर का द्रव्यमान,$m = 0.25 \; kg$.
वृत्त की त्रिज्या,$r = 1.5 \; m$.
परिक्रमण की आवृत्ति,$n = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \; rps$.
कोणीय वेग,$\omega = 2 \pi n = 2 \times 3.1416 \times \frac{2}{3} \approx 4.189 \; rad/s$.
अभिकेंद्र बल डोरी में तनाव $T$ द्वारा प्रदान किया जाता है: $T = m r \omega^2$.
$T = 0.25 \times 1.5 \times (4.189)^2 \approx 6.58 \; N$.
अधिकतम चाल के लिए,$T_{\max} = 200 \; N$.
$T_{\max} = \frac{m v_{\max}^2}{r}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,$v_{\max} = \sqrt{\frac{T_{\max} \times r}{m}}$.
$v_{\max} = \sqrt{\frac{200 \times 1.5}{0.25}} = \sqrt{1200} \approx 34.64 \; m/s$.

(D) वृत्ताकार ट्रैक की त्रिज्या,$r = 30 \; m$.
ट्रेन की गति,$v = 54 \; km/h = 54 \times \frac{5}{18} \; m/s = 15 \; m/s$.
ट्रेन का द्रव्यमान,$m = 10^{6} \; kg$.
अभिकेंद्र बल पटरियों द्वारा ट्रेन के पहियों पर लगाए गए पार्श्व बल (lateral thrust) द्वारा प्रदान किया जाता है। न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,पहिए पटरियों पर समान और विपरीत बल लगाते हैं,जिससे टूट-फूट होती है।
टूट-फूट को रोकने के लिए आवश्यक बैंकिंग कोण $\theta$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$\tan \theta = \frac{v^{2}}{rg}$
मान रखने पर:
$\tan \theta = \frac{(15)^{2}}{30 \times 9.8} = \frac{225}{294} \approx 0.765$
$\theta = \tan^{-1}(0.765) \approx 37.4^{\circ}$.
(नोट: यदि $g = 10 \; m/s^{2}$ लिया जाए,तो $\tan \theta = \frac{225}{300} = 0.75$,इसलिए $\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 36.87^{\circ}$).

(B) सिक्के के डिस्क के साथ घूमने के लिए,घर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र बल से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए: $\mu mg \geq mr\omega^2$,या $\mu g \geq r\omega^2$.
दिया गया है:
आवृत्ति $\nu = 33 \frac{1}{3} \; rev/min = \frac{100}{3 \times 60} = \frac{5}{9} \; rev/s$.
कोणीय वेग $\omega = 2\pi\nu = 2 \times \pi \times \frac{5}{9} = \frac{10\pi}{9} \approx 3.49 \; rad/s$.
घर्षण द्वारा प्रदान किया गया अधिकतम त्वरण $a_{max} = \mu g = 0.15 \times 10 = 1.5 \; m/s^2$.
$r_1 = 4 \; cm = 0.04 \; m$ पर स्थित सिक्के के लिए:
आवश्यक अभिकेंद्र त्वरण $a_1 = r_1\omega^2 = 0.04 \times (3.49)^2 \approx 0.49 \; m/s^2$.
चूंकि $a_1 < a_{max}$ $(0.49 < 1.5)$,इसलिए $4 \; cm$ पर स्थित सिक्का डिस्क के साथ घूमेगा।
$r_2 = 14 \; cm = 0.14 \; m$ पर स्थित सिक्के के लिए:
आवश्यक अभिकेंद्र त्वरण $a_2 = r_2\omega^2 = 0.14 \times (3.49)^2 \approx 1.70 \; m/s^2$.
चूंकि $a_2 > a_{max}$ $(1.70 > 1.5)$,इसलिए $14 \; cm$ पर स्थित सिक्का फिसल जाएगा।

(C) व्यक्ति का द्रव्यमान,$m = 70 \; kg$।
ड्रम की त्रिज्या,$r = 3 \; m$।
घर्षण गुणांक,$\mu = 0.15$।
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \; m/s^2$।
व्यक्ति के दीवार से चिपके रहने के लिए,घर्षण बल $f$ को व्यक्ति के भार $mg$ को संतुलित करना चाहिए।
$f = \mu F_N = mg$,जहाँ $F_N$ दीवार द्वारा लगाया गया अभिलंब बल है।
अभिलंब बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $F_N = mr\omega^2$।
घर्षण समीकरण में $F_N$ का मान रखने पर: $\mu(mr\omega^2) = mg$।
कोणीय वेग $\omega$ के लिए सरल करने पर: $\omega^2 = \frac{g}{\mu r}$।
$\omega = \sqrt{\frac{g}{\mu r}} = \sqrt{\frac{10}{0.15 \times 3}} = \sqrt{\frac{10}{0.45}} = \sqrt{22.22} \approx 4.71 \; rad/s$।

(N/A) मान लीजिए $m$ द्रव्यमान का एक वाहन $R$ त्रिज्या वाली समतल घुमावदार सड़क पर चल रहा है। वाहन पर कार्य करने वाले बल हैं:
$(1)$ गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$(2)$ सड़क की सतह से ऊपर की ओर कार्य करने वाला अभिलंब प्रतिक्रिया बल $(N)$। चूँकि ऊर्ध्वाधर दिशा में कोई गति नहीं है,इसलिए $N = mg$ है।
$(3)$ स्थैतिक घर्षण बल $(f_s)$ जो वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर कार्य करता है,जो आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
सुरक्षित मोड़ के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल स्थैतिक घर्षण द्वारा प्रदान किया जाना चाहिए:
$\frac{mv^2}{R} \leq f_s$
चूँकि स्थैतिक घर्षण का अधिकतम मान $f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s mg$ है,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{mv_{max}^2}{R} = \mu_s mg$
$v_{max}$ के लिए हल करने पर:
$v_{max}^2 = \mu_s Rg$
$v_{max} = \sqrt{\mu_s Rg}$
जहाँ $\mu_s$ वाहन के टायरों और सड़क की सतह के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक है।

(N/A) $m$ द्रव्यमान का वाहन जो $\theta$ कोण पर झुकी हुई और $R$ त्रिज्या वाली सड़क पर चल रहा है,उस पर कार्य करने वाले बल अभिलंब बल $N$,गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ और अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_s = \mu_s N$ हैं।
बलों को ऊर्ध्वाधर दिशा में वियोजित करने पर:
$N \cos \theta = mg + f_s \sin \theta$
$N \cos \theta = mg + \mu_s N \sin \theta$
$N(\cos \theta - \mu_s \sin \theta) = mg$ --- $(1)$
बलों को क्षैतिज दिशा में वियोजित करने पर (अभिकेंद्र बल प्रदान करता है):
$N \sin \theta + f_s \cos \theta = \frac{mv_{max}^2}{R}$
$N \sin \theta + \mu_s N \cos \theta = \frac{mv_{max}^2}{R}$
$N(\sin \theta + \mu_s \cos \theta) = \frac{mv_{max}^2}{R}$ --- $(2)$
$(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sin \theta + \mu_s \cos \theta}{\cos \theta - \mu_s \sin \theta} = \frac{v_{max}^2}{Rg}$
अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\tan \theta + \mu_s}{1 - \mu_s \tan \theta} = \frac{v_{max}^2}{Rg}$
अतः,$v_{max} = \sqrt{Rg \left( \frac{\mu_s + \tan \theta}{1 - \mu_s \tan \theta} \right)}$.

(B) जब कोई वाहन समतल वृत्ताकार पथ पर गति करता है,तो उसे अपनी वृत्ताकार गति बनाए रखने के लिए अभिकेंद्र बल की आवश्यकता होती है।
यह आवश्यक अभिकेंद्र बल वाहन के टायरों और सड़क की सतह के बीच कार्य करने वाले स्थित घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
घर्षण बल वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर कार्य करता है,इस प्रकार यह अभिकेंद्र बल $(F_c = \frac{mv^2}{r})$ की आवश्यकता को पूरा करता है।
यदि आवश्यक अभिकेंद्र बल अधिकतम उपलब्ध स्थित घर्षण $(f_{s,max} = \mu_s N)$ से अधिक हो जाता है,तो वाहन फिसल जाएगा।

(B) समतल गोलाकार सड़क पर अधिकतम सुरक्षित गति $v_{max} = \sqrt{\mu R g}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu$ घर्षण गुणांक है,$R$ त्रिज्या है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
ढलान वाली सड़क ($\theta$ कोण पर झुकी हुई गोलाकार सड़क) पर,अधिकतम गति $v_{max} = \sqrt{Rg \left( \frac{\mu + \tan \theta}{1 - \mu \tan \theta} \right)}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\tan \theta > 0$ है,इसलिए पद $\left( \frac{\mu + \tan \theta}{1 - \mu \tan \theta} \right)$,$\mu$ से बड़ा है।
अतः,समतल गोलाकार सड़क की तुलना में ढलान वाली गोलाकार सड़क (बैंक्ड रोड) अधिक अधिकतम गति की अनुमति देती है।

(C) जब कोई वाहन समतल वृत्ताकार पथ पर मुड़ता है,तो जड़त्व के कारण वह बाहर की ओर फिसलने की प्रवृत्ति रखता है।
इसे रोकने के लिए,टायरों और सड़क की सतह के बीच का स्थैतिक घर्षण बल वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर कार्य करता है।
यह स्थैतिक घर्षण बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
सुरक्षित मोड़ के लिए शर्त $f_s \leq \mu_s N$ है,जहाँ $f_s$ स्थैतिक घर्षण है,$\mu_s$ स्थैतिक घर्षण गुणांक है और $N$ अभिलंब प्रतिक्रिया है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) समतल वक्राकार मार्ग पर गति कर रहे वाहन के लिए,वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल टायर और सड़क के बीच स्थित घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
मान लीजिए वाहन का द्रव्यमान $m$ है,उसका वेग $v$ है,मोड़ की त्रिज्या $r$ है और स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_s$ है।
आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{r}$ है।
अधिकतम उपलब्ध स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s mg$ है।
सुरक्षित मोड़ के लिए,अभिकेंद्र बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से कम या उसके बराबर होना चाहिए: $\frac{mv^2}{r} \leq \mu_s mg$.
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v^2 \leq \mu_s rg$ प्राप्त होता है,जिससे अधिकतम सुरक्षित गति $v_{max} = \sqrt{\mu_s rg}$ प्राप्त होती है।

(A) समतल घुमावदार सड़क पर अधिकतम सुरक्षित गति $v_{max} = \sqrt{\mu_s rg}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu_s$ स्थैतिक घर्षण गुणांक है।
ढलान वाली सड़क पर,जिसका बैंकिंग कोण $\theta$ है,अधिकतम सुरक्षित गति $v_{max} = \sqrt{rg \tan \theta}$ (घर्षण को नगण्य मानते हुए) होती है।
घर्षण की उपस्थिति में भी,बैंकिंग एक अतिरिक्त अभिकेंद्र बल घटक प्रदान करती है,जिससे वाहन को समतल सड़क की तुलना में अधिक गति पर मुड़ने की अनुमति मिलती है,जहाँ वाहन पूरी तरह से केवल घर्षण पर निर्भर करता है।
अतः,ढलान वाली घुमावदार सड़क पर अधिकतम सुरक्षित गति समतल घुमावदार सड़क की तुलना में अधिक होती है।

(B) जब कोई वाहन बैंकिंग वाली सड़क पर इष्टतम गति (जिसे सुरक्षित गति भी कहा जाता है) से चलता है,तो आवश्यक अभिकेंद्र बल पूरी तरह से अभिलंब प्रतिक्रिया बल के क्षैतिज घटक द्वारा प्रदान किया जाता है।
इस स्थिति में,अभिकेंद्र बल प्रदान करने के लिए टायरों और सड़क की सतह के बीच घर्षण बल की कोई आवश्यकता नहीं होती है।
चूंकि घर्षण बल शून्य होता है,इसलिए टायरों का घिसाव न्यूनतम होता है।

(A) बैंकिंग वाली सड़क पर इष्टतम गति $v_0$ का सूत्र $v_0 = \sqrt{rg \tan \theta}$ है।
जब वाहन $v < v_0$ की गति से चलता है,तो सामान्य प्रतिक्रिया द्वारा प्रदान किया गया आवश्यक अभिकेंद्री बल कम होता है,जिससे वाहन के ढलान पर नीचे की ओर फिसलने की प्रवृत्ति होती है।
इस नीचे की ओर फिसलने से रोकने के लिए,स्थैतिक घर्षण बल ढलान के ऊपर की दिशा में कार्य करता है।

(B) क्षैतिज घुमावदार सड़क पर वाहन की अधिकतम सुरक्षित गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\mu r g}$ है।
दिया गया है:
घर्षण गुणांक $\mu = 0.25$
वक्रता त्रिज्या $r = 20 \ m$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \ m/s^2$
मान रखने पर:
$v = \sqrt{0.25 \times 20 \times 9.8}$
$v = \sqrt{5 \times 9.8}$
$v = \sqrt{49}$
$v = 7 \ m/s$.
अतः,वाहन की सुरक्षित गति $7 \ m/s$ है।

(B) घूर्णन निर्देश तंत्र में,मनके पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (नीचे की ओर),अपकेंद्री बल $m x \omega^2$ (बाहर की ओर),और तार द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $N$ हैं।
मनके को बिंदु $P(a, b)$ पर स्थिर रहने के लिए,परवलय की स्पर्शरेखा के अनुदिश कुल बल शून्य होना चाहिए।
परवलय $y = 4Cx^2$ की ढाल $\frac{dy}{dx} = 8Cx$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $P(a, b)$ पर,ढाल $\tan \theta = 8Ca$ है,जहाँ $\theta$ स्पर्शरेखा द्वारा क्षैतिज के साथ बनाया गया कोण है।
स्पर्शरेखा के अनुदिश बलों को वियोजित करने पर,हमें मिलता है: $m x \omega^2 \cos \theta = mg \sin \theta$.
यह सरल होकर $x \omega^2 = g \tan \theta$ हो जाता है।
$x = a$ और $\tan \theta = 8Ca$ रखने पर,हमें $a \omega^2 = g(8Ca)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\omega^2 = 8gC$,जिससे $\omega = \sqrt{8gC} = 2\sqrt{2gC}$ प्राप्त होता है।

(C) घूमती हुई डिस्क पर ब्लॉक को स्थिर रहने के लिए,अभिकेंद्र बल स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाना चाहिए।
मान लीजिए $m$ ब्लॉक का द्रव्यमान है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,और $x$ अक्ष से दूरी है।
बिना फिसलने की शर्त है: $f_s \leq \mu_s N$.
चूंकि $N = mg$ और $f_s = m\omega^2 x$,इसलिए हमारे पास है: $m\omega^2 x \leq \mu_s mg$.
अतः,$x \leq \frac{\mu_s g}{\omega^2}$.
दिया गया है $\mu_s = 0.4$,$g = 10\, m/s^2$,और $\omega = 10\, rad/s$:
$x = \frac{0.4 \times 10}{10^2} = \frac{4}{100}\, m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $x = 0.04\, m \times 100 = 4\, cm$.

(A) समतल ट्रैक पर वृत्ताकार पथ में गति करने वाली कार के लिए,अभिकेंद्र बल स्थैतिक घर्षण बल $f_{s}$ द्वारा प्रदान किया जाता है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = \mu_{s} N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ अभिलंब बल है।
आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_{c} = \frac{mv^{2}}{R}$ है।
अतः,$\mu_{s} N = \frac{mv^{2}}{R}$,जिससे हमें $N = \frac{mv^{2}}{\mu_{s} R}$ प्राप्त होता है।
कार पर कार्य करने वाला अभिलंब बल $N$ उसके भार $mg$ और नीचे की ओर कार्य करने वाले नेगेटिव लिफ्ट बल $F_{L}$ (एरोडायनामिक डाउनफोर्स) का योग है।
इसलिए,$N = mg + F_{L}$।
$N$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{mv^{2}}{\mu_{s} R} = mg + F_{L}$ प्राप्त होता है।
$F_{L}$ के लिए हल करने पर,हमें $F_{L} = \frac{mv^{2}}{\mu_{s} R} - mg = m \left(\frac{v^{2}}{\mu_{s} R} - g\right)$ प्राप्त होता है।

(D) अधिकतम गति $V_{\max}$ पर,घर्षण बल $f$ ढलान के नीचे की दिशा में कार्य करता है और यह सीमांत घर्षण होता है,इसलिए $f = \mu N$।
ऊर्ध्वाधर दिशा में बलों को संतुलित करने पर:
$N \cos 30^{\circ} - mg - f \sin 30^{\circ} = 0$
$f = \mu N$ प्रतिस्थापित करने पर:
$N \cos 30^{\circ} - mg - \mu N \sin 30^{\circ} = 0$
$N (\cos 30^{\circ} - \mu \sin 30^{\circ}) = mg$
यहाँ $m = 800 \, kg$,$g = 10 \, m/s^{2}$,$\cos 30^{\circ} = 0.87$,$\sin 30^{\circ} = 0.5$,और $\mu = 0.2$ है:
$N (0.87 - 0.2 \times 0.5) = 800 \times 10$
$N (0.87 - 0.1) = 8000$
$N (0.77) = 8000$
$N = \frac{8000}{0.77} \approx 10389.6 \, N \approx 10.4 \times 10^{3} \, N$।
नोट: दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $10.2 \times 10^{3} \, N$ है।

(B) बीकर के डिस्क के साथ बिना फिसले घूमने के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाना चाहिए।
आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_{c} = m \omega^{2} R$ है,जहाँ $m$ बीकर का द्रव्यमान है।
अधिकतम उपलब्ध स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = \mu N = \mu mg$ है,जहाँ $N = mg$ अभिलंब बल है।
बीकर के डिस्क के साथ वृत्ताकार पथ में घूमने के लिए,स्थैतिक घर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र बल से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए:
$f_{s} \leq f_{s,max}$
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$m \omega^{2} R \leq \mu mg$
दोनों पक्षों को $m \omega^{2}$ से विभाजित करने पर:
$R \leq \frac{\mu g}{\omega^{2}}$

(A) समतल सड़क पर मुड़ते समय कार की अधिकतम गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\mu Rg}$ है,जहाँ $\mu$ घर्षण गुणांक है,$R$ मोड़ की त्रिज्या है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूँकि $\mu$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए $v \propto \sqrt{R}$ होगा।
अतः,गति का अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{R_2}{R_1}}$ होगा।
दिया गया है: $v_1 = 30 \, m/s$,$R_1 = 75 \, m$,और $R_2 = 48 \, m$।
इन मानों को रखने पर: $\frac{v_2}{30} = \sqrt{\frac{48}{75}}$।
वर्गमूल के अंदर के भिन्न को सरल करने पर: $\frac{48}{75} = \frac{16}{25}$।
अतः,$\frac{v_2}{30} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$।
$v_2 = 30 \times \frac{4}{5} = 6 \times 4 = 24 \, m/s$।

(C) तख्ता पृथ्वी की सतह पर स्थिर है,जो अपनी धुरी के चारों ओर $\omega$ कोणीय वेग से घूम रही है। तख्ता $r = r_e \cos 45^{\circ}$ त्रिज्या के साथ वृत्ताकार गति करता है।
इस वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = m \omega^2 r = m \omega^2 (r_e \cos 45^{\circ})$ है।
यह अभिकेंद्र बल घूर्णन की धुरी की ओर कार्य करता है। $45^{\circ}$ अक्षांश पर क्षैतिज जमीन घूर्णन की धुरी के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है। जमीन के समानांतर कार्य करने वाला अभिकेंद्र बल का घटक तख्ते को जमीन के सापेक्ष स्थिर रखने के लिए आवश्यक घर्षण बल प्रदान करता है।
$f = F_c \sin 45^{\circ} = (m \omega^2 r_e \cos 45^{\circ}) \sin 45^{\circ}$
चूंकि $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$f = m \omega^2 r_e \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{m r_e \omega^2}{2}$

(C) घर्षण वाली बैंकिंग सड़क पर,वाहन पर कार्य करने वाले बल अभिलंब प्रतिक्रिया $R$,घर्षण बल $f = \mu R$,भार $mg$ और अभिकेंद्री बल $\frac{mv^2}{r}$ हैं।
क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में बलों को वियोजित करने पर:
क्षैतिज: $R \sin \theta + f \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$
ऊर्ध्वाधर: $R \cos \theta - f \sin \theta = mg$
क्षैतिज समीकरण को ऊर्ध्वाधर समीकरण से विभाजित करने पर:
$\frac{R \sin \theta + \mu R \cos \theta}{R \cos \theta - \mu R \sin \theta} = \frac{mv^2/r}{mg}$
$\frac{\sin \theta + \mu \cos \theta}{\cos \theta - \mu \sin \theta} = \frac{v^2}{rg}$
अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\tan \theta + \mu}{1 - \mu \tan \theta} = \frac{v^2}{rg}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$rg(\tan \theta + \mu) = v^2(1 - \mu \tan \theta)$
$rg \tan \theta + \mu rg = v^2 - \mu v^2 \tan \theta$
$\tan \theta(rg + \mu v^2) = v^2 - \mu rg$
$\tan \theta = \frac{v^2 - \mu rg}{rg + \mu v^2}$

(B) ब्लॉक के न फिसलने के लिए,आवश्यक अभिकेंद्री बल स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाना चाहिए।
ब्लॉक के न फिसलने की शर्त है:
$f_{s} \leq \mu N$
यहाँ,अभिकेंद्री बल $F_{c} = m \omega^2 x$ है।
क्षैतिज सतह पर अभिलंब बल $N = mg$ है।
इसलिए,अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = \mu mg$ है।
अभिकेंद्री बल को अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल के बराबर रखने पर:
$m \omega^2 x = \mu mg$
दोनों पक्षों को $mx$ से विभाजित करने पर:
$\omega^2 = \frac{\mu g}{x}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें अधिकतम कोणीय गति प्राप्त होती है:
$\omega = \sqrt{\frac{\mu g}{x}}$

(C) वृत्ताकार सड़क पर मुड़ते समय साइकिल चालक का ऊर्ध्वाधर के साथ झुकाव कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई मान हैं: गति $v = 14 \sqrt{3} \, m/s$,त्रिज्या $r = 20 \sqrt{3} \, m$,और गुरुत्वीय त्वरण $g \approx 10 \, m/s^2$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tan \theta = \frac{(14 \sqrt{3})^2}{20 \sqrt{3} \times 10} = \frac{196 \times 3}{200 \sqrt{3}} = \frac{588}{200 \sqrt{3}} = \frac{2.94}{\sqrt{3}} \approx \sqrt{3}$.
चूंकि $\tan \theta = \sqrt{3}$,इसलिए $\theta = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(B) क्षैतिज वृत्ताकार पथ पर गति करती कार के लिए,अभिकेंद्र बल टायरों और सड़क के बीच स्थित घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है।
फिसले बिना सुरक्षित मुड़ने के लिए शर्त है: $F_c \leq f_{max}$.
$\frac{mv^2}{r} \leq \mu mg$.
अतः,अधिकतम चाल $v_{max} = \sqrt{\mu rg}$ होगी।
दिया है: $\mu = 0.45$,$r = 0.2 \, km = 200 \, m$,और $g = 10 \, m/s^2$.
मान रखने पर:
$v_{max} = \sqrt{0.45 \times 200 \times 10}$.
$v_{max} = \sqrt{0.45 \times 2000} = \sqrt{900}$.
$v_{max} = 30 \, m/s$.
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) लड़का प्लेटफॉर्म पर वृत्तीय गति में है। आवश्यक अभिकेंद्री बल लड़के और प्लेटफॉर्म के बीच स्थित घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
लड़के के फिसलने की स्थिति में,अधिकतम स्थित घर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल के बराबर होना चाहिए:
$f_{max} = F_c$
$\mu N = m \omega^2 r$
चूंकि प्लेटफॉर्म क्षैतिज है,इसलिए अभिलंब बल $N = mg$ होगा।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\mu mg = m \omega^2 r$
$\mu = \frac{\omega^2 r}{g}$
दिए गए मान: $\omega = 1 \, rad/s$,$r = 5 \, m$,और $g = 10 \, m/s^2$।
$\mu = \frac{(1)^2 \times 5}{10} = \frac{5}{10} = 0.5$
अतः,घर्षण गुणांक $0.5$ है।

(D) क्षैतिज वृत्ताकार सड़क पर कार के लिए अधिकतम चाल $v_{\text{max}}$ की शर्त यह है कि अभिकेंद्र बल स्थैतिक घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है: $\frac{mv^2}{r} \leq \mu mg$.
अतः,$v^2 \leq \mu rg$.
दिया गया है: त्रिज्या $r = 0.1 \, km = 100 \, m$,घर्षण गुणांक $\mu = 0.4$,और $g = 10 \, m/s^2$.
अधिकतम चाल की गणना: $v_{\text{max}} = \sqrt{\mu rg} = \sqrt{0.4 \times 100 \times 10} = \sqrt{400} = 20 \, m/s$.
चूंकि कार बिना फिसले अधिकतम चाल या उससे कम किसी भी चाल पर चल सकती है,इसलिए चाल $v \leq 20 \, m/s$ हो सकती है।
अतः,$5 \, m/s$,$10 \, m/s$,और $20 \, m/s$ सभी संभावित चालें हैं।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) चरण $1$: ब्लॉक पर कार्य करने वाले बलों की पहचान करें। गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ नीचे की ओर कार्य करता है और अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ सतह के लंबवत गोले के केंद्र की ओर कार्य करता है।
चरण $2$: बलों को ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज घटकों में विभाजित करें। अभिलंब बल $N$ और ऊर्ध्वाधर अक्ष के बीच का कोण $\theta$ है।
ऊर्ध्वाधर संतुलन: $N \cos \theta = mg$ (समीकरण $1$)
क्षैतिज घटक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $N \sin \theta = m \omega^2 R$,जहाँ $R$ ब्लॉक के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है। कटोरे की ज्यामिति से,$R = r \sin \theta$.
अतः,$N \sin \theta = m \omega^2 (r \sin \theta)$ (समीकरण $2$)
चरण $3$: समीकरणों को हल करें। समीकरण $2$ को समीकरण $1$ से विभाजित करने पर:
$\frac{N \sin \theta}{N \cos \theta} = \frac{m \omega^2 r \sin \theta}{mg}$
$\tan \theta = \frac{\omega^2 r \sin \theta}{g}$
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\omega^2 r \sin \theta}{g}$
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{\omega^2 r}{g}$
$\omega^2 = \frac{g}{r \cos \theta}$
$\omega = \sqrt{\frac{g}{r \cos \theta}}$

(C) क्षैतिज घुमावदार सड़क पर चल रही कार के लिए,मुड़ने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल टायरों और सड़क के बीच स्थित घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है।
फिसले बिना सुरक्षित रूप से मुड़ने की शर्त $f_s \leq \mu N$ है,जहाँ $N = mg$ है।
अधिकतम गति $v_{\max}$ तब प्राप्त होती है जब घर्षण बल अपने अधिकतम मान पर होता है:
$\frac{mv_{\max}^2}{r} = \mu mg$
$v_{\max}$ के लिए सरल करने पर:
$v_{\max} = \sqrt{\mu rg}$
दिए गए मान $\mu = 0.34$,$r = 50\,m$,और $g = 10\,ms^{-2}$ हैं।
इन मानों को रखने पर:
$v_{\max} = \sqrt{0.34 \times 50 \times 10}$
$v_{\max} = \sqrt{0.34 \times 500}$
$v_{\max} = \sqrt{170}$
$v_{\max} \approx 13.038\,ms^{-1}$
अतः,अनुमानित अधिकतम गति $13\,ms^{-1}$ है।

(A) क्षैतिज वृत्त में घूमते हुए पत्थर (शंक्वाकार लोलक) के लिए,पत्थर पर कार्य करने वाले बल डोरी में तनाव $T$ और गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ हैं।
तनाव $T$ को घटकों में वियोजित करने पर:
ऊर्ध्वाधर घटक: $T \cos \theta = mg$ $(1)$
अभिकेंद्र बल प्रदान करने वाला क्षैतिज घटक: $T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$,जहाँ $r = l \sin \theta$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।
अतः,$T \sin \theta = \frac{mv^2}{l \sin \theta}$ $(2)$
$(1)$ से,$\cos \theta = \frac{mg}{T} = \frac{1 \times 10}{400} = 0.025$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\sin^2 \theta = 1 - (0.025)^2 = 1 - 0.000625 = 0.999375$.
$(2)$ से,$v^2 = \frac{T l \sin^2 \theta}{m} = \frac{400 \times 1 \times 0.999375}{1} = 399.75$.
वर्गमूल लेने पर,$v = \sqrt{399.75} \approx 19.99 \approx 20\,ms^{-1}$.

(D) घूमती हुई मेज पर सिक्के के फिसलने की स्थिति यह है कि आवश्यक अभिकेंद्र बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
$f_{s,max} = m \omega^2 R$
चूंकि $f_{s,max} = \mu mg$,इसलिए:
$\mu mg = m \omega^2 R$
$R = \frac{\mu g}{\omega^2}$
यह दर्शाता है कि दूरी $R$ कोणीय वेग के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $R \propto \frac{1}{\omega^2}$.
दी गई प्रारंभिक स्थितियाँ: $R_1 = 1\,cm$ और $\omega_1 = \omega$.
नई स्थितियाँ: $\omega_2 = \frac{\omega}{2}$ और $R_2 = ?$.
समानुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{\omega_1}{\omega_2} \right)^2$
$\frac{R_2}{1} = \left( \frac{\omega}{\omega/2} \right)^2 = (2)^2 = 4$
$R_2 = 4\,cm$.
अतः,सिक्का केंद्र से $4\,cm$ की दूरी पर रखे जाने पर फिसल जाएगा।

(C) सिक्के को बिना फिसले डिस्क पर बने रहने के लिए,वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाना चाहिए।
सिक्के पर कार्य करने वाला अभिलंब बल $N = mg$ है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu mg$ है।
$\omega$ कोणीय वेग के साथ $r$ त्रिज्या के वृत्त में गति करने वाले सिक्के के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = m \omega^2 r$ है।
सिक्के के न फिसलने के लिए,अभिकेंद्र बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से कम या उसके बराबर होना चाहिए:
$m \omega^2 r \leq \mu mg$
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega^2 \leq \frac{\mu g}{r}$
अतः,अधिकतम कोणीय वेग $\omega_{max} = \sqrt{\frac{\mu g}{r}}$ है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 800 \,kg$, त्रिज्या $r = 300 \,m$, बैंकिंग कोण $\theta = 30^{\circ}$, स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu = 0.2$, गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$.
घर्षण के साथ बैंकिंग सड़क पर अधिकतम सुरक्षित गति का सूत्र है:
$V_{\max} = \sqrt{rg \left[ \frac{\tan \theta + \mu}{1 - \mu \tan \theta} \right]}$
मान रखने पर:
$V_{\max} = \sqrt{300 \times 10 \times \left[ \frac{\tan 30^{\circ} + 0.2}{1 - 0.2 \times \tan 30^{\circ}} \right]}$
चूंकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$:
$V_{\max} = \sqrt{3000 \times \left[ \frac{0.577 + 0.2}{1 - 0.2 \times 0.577} \right]}$
$V_{\max} = \sqrt{3000 \times \left[ \frac{0.777}{0.8846} \right]}$
$V_{\max} = \sqrt{3000 \times 0.8783} \approx \sqrt{2635} \approx 51.33 \,m/s$
अतः, अधिकतम गति $V_{\max} \approx 51.4 \,m/s$ है।

(C) बैंक्ड सड़क पर अधिकतम गति $v_0$ से चलने वाली कार के लिए,उस पर कार्य करने वाले बल अभिलंब बल $N$,गुरुत्वाकर्षण $mg$ और अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f = \mu N$ हैं,जो बाहर की ओर फिसलने से रोकने के लिए ढलान के नीचे की दिशा में कार्य करता है।
क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में बलों को वियोजित करने पर:
$N \sin \theta + f \cos \theta = \frac{m v_0^2}{r}$
$N \cos \theta - f \sin \theta = m g$
समीकरणों में $f = \mu N$ रखने पर:
$N(\sin \theta + \mu \cos \theta) = \frac{m v_0^2}{r}$
$N(\cos \theta - \mu \sin \theta) = m g$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{\sin \theta + \mu \cos \theta}{\cos \theta - \mu \sin \theta} = \frac{v_0^2}{r g}$
वज्र गुणन करने पर:
$r g \sin \theta + \mu r g \cos \theta = v_0^2 \cos \theta - \mu v_0^2 \sin \theta$
$\mu$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\mu(r g \cos \theta + v_0^2 \sin \theta) = v_0^2 \cos \theta - r g \sin \theta$
$\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$\mu(r g + v_0^2 \tan \theta) = v_0^2 - r g \tan \theta$
$\mu = \frac{v_0^2 - r g \tan \theta}{r g + v_0^2 \tan \theta}$

(B) डोरी द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम तनाव $T_{\max} = mg = 50 \times 10 = 500 \ N$ है।
कोणीय वेग $\omega$ के साथ $r$ त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त में घूमने वाले $m$ द्रव्यमान के लिए,तनाव $T = m \omega^2 r$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,डोरी की लंबाई $L = 10 \ m$ त्रिज्या $r$ के रूप में कार्य करती है (यह मानते हुए कि अधिकतम गति के लिए डोरी क्षैतिज रहती है)।
$\omega = 2 \pi n$ प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $n$ प्रति सेकंड चक्कर (rps) में आवृत्ति है:
$T_{\max} = m (2 \pi n_{\max})^2 L$
$500 = 1 \times (2 \pi n_{\max})^2 \times 10$
$50 = (2 \pi n_{\max})^2$
$2 \pi n_{\max} = \sqrt{50}$
$n_{\max} = \frac{\sqrt{50}}{2 \pi} \text{ rps}$.

(B) बेलनाकार दीवार के अंदर क्षैतिज वृत्त में गति कर रहे मोटरसाइकिल सवार पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$1$. नीचे की ओर कार्य करने वाला भार $(mg)$।
$2$. दीवार द्वारा केंद्र की ओर लगाया गया अभिलंब बल $(N)$,जो आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $N = \frac{mv^2}{R}$।
$3$. भार को संतुलित करने के लिए ऊपर की ओर कार्य करने वाला घर्षण बल $(f)$: $f = mg$।
मोटरसाइकिल सवार के नीचे न फिसलने के लिए,घर्षण बल सीमांत घर्षण से कम या उसके बराबर होना चाहिए: $f \leq \mu_{s} N$।
मान रखने पर: $mg \leq \mu_{s} \left( \frac{mv^2}{R} \right)$।
$g \leq \frac{\mu_{s} v^2}{R}$।
$v^2 \geq \frac{Rg}{\mu_{s}}$।
अतः,आवश्यक न्यूनतम गति $v_{min} = \sqrt{\frac{Rg}{\mu_{s}}}$ है।

(B) $r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ पर वाहन की अधिकतम सुरक्षित गति $V = \sqrt{\mu rg}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu$ घर्षण गुणांक है।
सूखी सड़क के लिए: $V = \sqrt{\mu rg}$ $(i)$
गीली सड़क के लिए,मान लीजिए नया घर्षण गुणांक $\mu^{\prime}$ है। नई गति $\frac{V}{2} = \sqrt{\mu^{\prime} rg}$ (ii) है।
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{V}{V/2} = \frac{\sqrt{\mu rg}}{\sqrt{\mu^{\prime} rg}}$
$2 = \sqrt{\frac{\mu}{\mu^{\prime}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4 = \frac{\mu}{\mu^{\prime}}$
$\therefore \mu^{\prime} = \frac{\mu}{4}$

(D) बेलनाकार दीवार के अंदर एक क्षैतिज वृत्त में गति कर रहे मोटरसाइकिल सवार पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$1$. नीचे की ओर कार्य करने वाला भार $(mg)$।
$2$. केंद्र की ओर क्षैतिज रूप से कार्य करने वाला अभिलंब बल $(N)$,जो आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $N = \frac{mv^2}{r}$।
$3$. ऊपर की ओर कार्य करने वाला घर्षण बल $(f)$,जो फिसलने से रोकने के लिए भार को संतुलित करता है: $f = mg$।
मोटरसाइकिल सवार के फिसलने से बचने के लिए,घर्षण बल सीमांत घर्षण बल से कम या उसके बराबर होना चाहिए: $f \le \mu N$।
मान रखने पर: $mg \le \mu \left(\frac{mv^2}{r}\right)$।
$g \le \frac{\mu v^2}{r}$।
$v^2 \ge \frac{rg}{\mu}$।
अतः,न्यूनतम गति $v_{min} = \sqrt{\frac{rg}{\mu}}$ है।

(C) बच्चा स्थिर अवस्था से अचर स्पर्शरेखीय त्वरण $a$ के साथ दौड़ना शुरू करता है। $t$ समय बाद,स्पर्शरेखीय वेग $v = at$ होता है।
त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण $a_r = \frac{v^2}{r} = \frac{(at)^2}{r} = \frac{a^2 t^2}{r}$ है।
बच्चे द्वारा अनुभव किया गया कुल त्वरण $a_{net}$ स्पर्शरेखीय और त्रिज्यीय त्वरण का सदिश योग है: $a_{net} = \sqrt{a_t^2 + a_r^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a^2 t^2}{r}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^4 t^4}{r^2}}$.
फिसलना तब शुरू होता है जब आवश्यक घर्षण बल सीमांत घर्षण के बराबर हो जाता है,अर्थात $F_{net} = m a_{net} = \mu m g$.
अतः,$\mu g = \sqrt{a^2 + \frac{a^4 t^4}{r^2}} = \sqrt{\frac{a^2 r^2 + a^4 t^4}{r^2}} = \frac{1}{r} \sqrt{a^2 r^2 + a^4 t^4}$.
इसलिए,$\mu = \frac{[a^4 t^4 + a^2 r^2]^{1/2}}{r g}$.

(C) बैंक्ड सड़क पर अधिकतम सुरक्षित गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{rg(\tan \theta + \mu) / (1 - \mu \tan \theta)}$ है।
यह मानते हुए कि घर्षण गुणांक $\mu$ और बैंकिंग कोण $\theta$ स्थिर रहते हैं,गति $v$ त्रिज्या $r$ के वर्गमूल के समानुपाती होती है,अर्थात $v \propto \sqrt{r}$।
मान लीजिए प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = 20 \ m$ है और प्रारंभिक गति $v_1$ है। नई गति $v_2 = v_1 + 0.20v_1 = 1.2v_1$ है।
चूंकि $v \propto \sqrt{r}$,इसलिए $v_2 / v_1 = \sqrt{r_2 / r_1}$ होगा।
मान रखने पर: $1.2 = \sqrt{r_2 / 20}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1.44 = r_2 / 20$।
$r_2 = 1.44 \times 20 = 28.8 \ m$।
वक्रता त्रिज्या में वृद्धि $\Delta r = r_2 - r_1 = 28.8 \ m - 20 \ m = 8.8 \ m$ होगी।

(A) $V$ वेग के साथ $R$ त्रिज्या वाली घुमावदार सड़क पर कार के सुरक्षित रूप से गुजरने के लिए,सड़क को $\theta$ कोण पर झुकाया (banked) जाता है।
सड़क के बैंकिंग के सिद्धांत के अनुसार,सुरक्षित मोड़ के लिए शर्त $\tan \theta = \frac{V^2}{Rg}$ है।
छोटे कोण $\theta$ के लिए,$\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{h}{b}$,जहाँ $h$ बाहरी किनारे की ऊँचाई है और $b$ सड़क की चौड़ाई है।
$\tan \theta$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{h}{b} = \frac{V^2}{Rg}$ प्राप्त होता है।
अतः,$h$ का मान $h = \frac{V^2 b}{Rg}$ है।