Tension Force and Pulley Block System Questions in Hindi

(A) जब डोरी $C$ को धीरे-धीरे खींचा जाता है,तो निकाय प्रत्येक क्षण संतुलन में रहता है।
माना डोरी $C$ में तनाव $T_C$ है और डोरी $A$ में तनाव $T_A$ है।
$m = 1 \ kg$ द्रव्यमान के लिए,नीचे की ओर कार्य करने वाले बल तनाव $T_C$ और भार $mg$ हैं,जबकि ऊपर की ओर तनाव $T_A$ कार्य करता है।
संतुलन में,$T_A = T_C + mg$ होता है।
चूंकि $T_A = T_C + mg$,इसलिए ऊपरी डोरी $A$ में तनाव हमेशा निचली डोरी $C$ के तनाव से द्रव्यमान के भार के बराबर अधिक होता है।
अतः,जैसे-जैसे तनाव बढ़ता है,डोरी $A$ में तनाव डोरी $C$ की तुलना में पहले अपने ब्रेकिंग पॉइंट (टूटने की सीमा) तक पहुँच जाता है।
इस प्रकार,ऊपरी डोरी $A$ पहले टूट जाएगी।

(D) केबल में तनाव $T$ का मान $1000 \,kg$ भार दिया गया है,जो $mg$ के बराबर है (जहाँ $m = 1000 \,kg$ और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है)।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,लिफ्ट पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = T - mg = ma$ है।
चूंकि $T = mg$ है,इसलिए $mg - mg = ma$ होगा,जिसका अर्थ है कि $ma = 0$ है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ शून्य नहीं हो सकता,इसलिए त्वरण $a$ का मान $0$ होना चाहिए।
शून्य त्वरण वाली वस्तु या तो विराम अवस्था में होती है या एकसमान वेग (सीधी रेखा में स्थिर गति) से चल रही होती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) लोलक का द्रव्यमान $m = 50 \,g = 50 \times 10^{-3} \,kg = 0.05 \,kg$ है।
चूंकि लिफ्ट एकसमान वेग से गति कर रही है,इसलिए इसका त्वरण $a = 0$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,लोलक पर कार्य करने वाला तनाव बल $T$ ऊपर की ओर और भार $mg$ नीचे की ओर है।
गति का समीकरण $T - mg = ma$ है।
$a = 0$ रखने पर,हमें $T = mg$ प्राप्त होता है।
$g = 10 \,m/s^2$ का उपयोग करने पर,$T = 0.05 \,kg \times 10 \,m/s^2 = 0.5 \,N$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) लिफ्ट पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर तनाव $T$ और नीचे की ओर भार $mg$ हैं।
चूंकि लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रही है,न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार कुल बल: $F_{net} = T - mg = ma$ है।
तनाव के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $T = m(g + a)$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान: $m = 1000\,kg$,$g = 9.8\,m/s^2$,और $a = 1\,m/s^2$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $T = 1000(9.8 + 1) = 1000(10.8) = 10800\,N$ प्राप्त होता है।
अतः,केबल में उत्पन्न तनाव $10800\,N$ है।

(B) चूंकि स्प्रिंग बैलेंस द्रव्यमानहीन माने जाते हैं,इसलिए वे सिस्टम द्वारा मापे गए वजन में कोई योगदान नहीं देते हैं।
जब $M$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक निचले स्प्रिंग बैलेंस से लटकाया जाता है,तो यह स्प्रिंग में तनाव को मापता है,जो ब्लॉक के वजन $Mg$ के बराबर होता है। अतः,निचला स्केल $M \, kg$ दर्शाता है।
ऊपरी स्प्रिंग बैलेंस निचले स्प्रिंग बैलेंस और ब्लॉक सहित पूरे सिस्टम को सहारा देता है। चूंकि निचला स्प्रिंग बैलेंस द्रव्यमानहीन है,इसलिए ऊपरी स्प्रिंग बैलेंस में तनाव भी ब्लॉक के वजन $Mg$ के बराबर होता है। अतः,ऊपरी स्केल भी $M \, kg$ दर्शाता है।
इसलिए,दोनों स्केल $M \, kg$ दर्शाते हैं।

(C) ग्राफ से,$t = 11\, s$ पर,लिफ्ट मंदन (retardation) चरण में है ($t = 10\, s$ और $t = 12\, s$ के बीच)।
त्वरण $a$ वेग-समय ग्राफ का ढलान है:
$a = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i} = \frac{0 - 3.6}{12 - 10} = \frac{-3.6}{2} = -1.8\, m/s^2$.
ऊपर की ओर गति करती लिफ्ट के लिए गति का समीकरण $T - mg = ma$ है,जहाँ $T$ तनाव है।
$T = m(g + a)$.
$g = 9.8\, m/s^2$ का उपयोग करने पर:
$T = 1500 \times (9.8 + (-1.8)) = 1500 \times 8.0 = 12000\, N$.

(C) माना रस्सी की कुल लंबाई $L = 5\,m$ है और लगाया गया बल $F = 5\,N$ है।
रस्सी का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = \frac{m}{L}$ है।
रस्सी का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{F}{\lambda L}$ है।
बल लगाने वाले सिरे से $x = 1\,m$ की दूरी पर तनाव $T$ ज्ञात करने के लिए,इस बिंदु के पीछे के रस्सी के भाग पर विचार करें। इस भाग की लंबाई $(L - x) = (5 - 1) = 4\,m$ है।
इस भाग का द्रव्यमान $m' = \lambda(L - x)$ है।
तनाव $T$ इस द्रव्यमान $m'$ को त्वरित करने के लिए आवश्यक बल प्रदान करता है: $T = m'a = \lambda(L - x) \cdot \frac{F}{\lambda L} = \frac{F(L - x)}{L}$।
मान रखने पर: $T = \frac{5(5 - 1)}{5} = \frac{5 \times 4}{5} = 4\,N$।

(A) मान लीजिए निचले ब्लॉक का द्रव्यमान $m_2 = 4\,kg$ और ऊपरी ब्लॉक का द्रव्यमान $m_1 = 2\,kg$ है। त्वरण $a = 2\,m/s^2$ ऊपर की ओर है।
निचले ब्लॉक $(4\,kg)$ के लिए:
कार्यरत बल ऊपर की ओर तनाव $T'$ और नीचे की ओर भार $m_2g$ हैं।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए: $T' - m_2g = m_2a$
$T' - 4 \times 9.8 = 4 \times 2$
$T' - 39.2 = 8$
$T' = 47.2\,N$
ऊपरी ब्लॉक $(2\,kg)$ के लिए:
कार्यरत बल ऊपर की ओर तनाव $T$,नीचे की ओर तनाव $T'$ और नीचे की ओर भार $m_1g$ हैं।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए: $T - T' - m_1g = m_1a$
$T - 47.2 - 2 \times 9.8 = 2 \times 2$
$T - 47.2 - 19.6 = 4$
$T - 66.8 = 4$
$T = 70.8\,N$

(B) माना प्रत्येक भार का द्रव्यमान $m = 2\, kg$ है। निकाय में बाईं ओर $m$ द्रव्यमान और दाईं ओर कुल $2m$ द्रव्यमान है।
निकाय का त्वरण $a$ इस प्रकार है:
$a = \frac{(2m - m)g}{2m + m} = \frac{mg}{3m} = \frac{g}{3} = \frac{9.8}{3} \approx 3.27\, m/s^2$.
अब,भार $C$ (द्रव्यमान $m$) के लिए फ्री बॉडी डायग्राम पर विचार करें:
इस पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर इसका भार $mg$ और ऊपर की ओर $B$ और $C$ को जोड़ने वाली डोरी में तनाव $T$ हैं।
चूंकि निकाय दाईं ओर नीचे की ओर त्वरित हो रहा है,$C$ के लिए गति का समीकरण है:
$mg - T = ma$
$T = m(g - a) = m(g - g/3) = m(2g/3) = \frac{2mg}{3}$.
$m = 2\, kg$ और $g = 9.8\, m/s^2$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2 \times 2 \times 9.8}{3} = \frac{39.2}{3} \approx 13.07\, N$.
निकटतम पूर्णांक में,तनाव $13\, N$ है।

(D) दिए गए द्रव्यमान $m_1 = 2 \, kg$ और $m_2 = 3 \, kg$ हैं।
एक स्थिर घिरनी पर डोरी से जुड़े दो द्रव्यमानों के निकाय के लिए,तनाव $T$ का सूत्र $T = \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}g$ है।
मान रखने पर: $T = \frac{2 \times 2 \times 3}{2 + 3}g = \frac{12}{5}g$.
निकाय का त्वरण $a$ का सूत्र $a = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right)g$ है।
मान रखने पर: $a = \left( \frac{3 - 2}{3 + 2} \right)g = \frac{1}{5}g = \frac{g}{5}$.
अतः,तनाव $\frac{12g}{5}$ है और त्वरण $\frac{g}{5}$ है।

(C) एक घर्षणरहित घिरनी पर लटके $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान के निकाय के लिए,त्वरण $a$ का सूत्र इस प्रकार है:
$a = \frac{(m_2 - m_1)}{(m_2 + m_1)} g$
यहाँ $m_1 = 3\, kg$,$m_2 = 4\, kg$ और $g = 9.8\, m/s^2$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$a = \frac{(4 - 3)}{(4 + 3)} \times 9.8$
$a = \frac{1}{7} \times 9.8$
$a = 1.4\, m/s^2$
अतः,निकाय का त्वरण $1.4\, m/s^2$ है।

(A) माना $m_1 = 2 \, kg$ मेज पर रखा ब्लॉक है और $m_2 = 1 \, kg$ लटकता हुआ द्रव्यमान है।
चूंकि मेज चिकनी है,इसलिए घर्षण बल शून्य है।
मेज पर रखे ब्लॉक के लिए गति का समीकरण $T = m_1 a$ है।
लटकते हुए द्रव्यमान के लिए गति का समीकरण $m_2 g - T = m_2 a$ है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $m_2 g = (m_1 + m_2) a$ प्राप्त होता है।
अतः,त्वरण $a = \frac{m_2}{m_1 + m_2} \times g = \frac{1}{2 + 1} \times 9.8 = \frac{9.8}{3} \approx 3.27 \, m/s^2$ है।
अब,$a$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $T = m_1 a = 2 \times 3.27 = 6.54 \, N$।

(D) एक घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से गुजरने वाली हल्की डोरी से जुड़े दो द्रव्यमानों $m_1$ और $m_2$ के निकाय के लिए,डोरी में तनाव $T$ का सूत्र है:
$T = \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}g$
दिया गया है:
$m_1 = 6\, kg$
$m_2 = 10\, kg$
$g = 9.8\, m/s^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$T = \frac{2 \times 6 \times 10}{6 + 10} \times 9.8$
$T = \frac{120}{16} \times 9.8$
$T = 7.5 \times 9.8 = 73.5\, N$
अतः,डोरी में तनाव $73.5\, N$ होगा।

(C) माना द्रव्यमान $m_1 = 5 \ kg$ और $m_2 = 10 \ kg$ हैं।
निकाय का त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} g$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$a = \frac{10 - 5}{10 + 5} g$
$a = \frac{5}{15} g$
$a = \frac{g}{3}$

(C) $m_1$ और $m_2$ $(m_1 > m_2)$ द्रव्यमान वाले एटवुड मशीन के लिए,त्वरण $a$ का सूत्र इस प्रकार है:
$a = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) g$
यहाँ $m_1 = 10 \ kg$,$m_2 = 6 \ kg$,और $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है:
$a = \left( \frac{10 - 6}{10 + 6} \right) \times 10$
$a = \left( \frac{4}{16} \right) \times 10$
$a = \frac{1}{4} \times 10 = 2.5 \ m/s^2$

(C) मान लीजिए कि व्यक्ति का द्रव्यमान $m = 60 \ kg$ है और रस्सी द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम तनाव $T_{max} = 360 \ N$ है।
जब कोई व्यक्ति $a$ त्वरण के साथ रस्सी पर ऊपर चढ़ता है,तो रस्सी में तनाव $T = m(g + a)$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम सुरक्षित त्वरण ज्ञात करने के लिए,हम $T = T_{max} = 360 \ N$ और $g = 10 \ m \ s^{-2}$ रखते हैं।
$360 = 60(10 + a)$
$6 = 10 + a$
$a = 6 - 10 = -4 \ m \ s^{-2}$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि यदि तनाव सीमा $360 \ N$ है तो व्यक्ति ऊपर नहीं चढ़ सकता है,क्योंकि उसका वजन $(mg = 600 \ N)$ रस्सी की क्षमता से अधिक है।
हालाँकि,यदि व्यक्ति नीचे उतर रहा है,तो समीकरण $T = m(g - a)$ है।
$360 = 60(10 - a)$
$6 = 10 - a$
$a = 4 \ m \ s^{-2}$.
इस प्रकार,व्यक्ति $4 \ m \ s^{-2}$ के अधिकतम त्वरण के साथ सुरक्षित रूप से नीचे उतर सकता है।

(A) दो द्रव्यमानों $m_1$ और $m_2$ वाली एटवुड मशीन के लिए,जो एक घर्षणहीन घिरनी पर डोरी से जुड़े हैं,निकाय का त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) g$
दिया गया है:
$m_1 = 5\,kg$
$m_2 = 4.8\,kg$
$g = 9.8\,m/s^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$a = \left( \frac{5 - 4.8}{5 + 4.8} \right) \times 9.8$
$a = \left( \frac{0.2}{9.8} \right) \times 9.8$
$a = 0.2\,m/s^2$
अतः,द्रव्यमानों का त्वरण $0.2\,m/s^2$ है।

(A) माना द्रव्यमान $m_1 = M$ और $m_2 = M/2$ हैं।
निकाय का त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) g$
मान रखने पर:
$a = \left( \frac{M - M/2}{M + M/2} \right) g$
$a = \left( \frac{M/2}{3M/2} \right) g$
$a = \frac{1}{3} g = g/3$
अतः,छोटा द्रव्यमान $g/3$ के त्वरण के साथ ऊपर उठेगा।

(B) माना द्रव्यमान $m_1 = 3m$ और $m_2 = m$ हैं। ब्लॉकों का त्वरण $a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2} = \frac{(3m - m)g}{3m + m} = \frac{2mg}{4m} = \frac{g}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2}$ है।
भारी द्रव्यमान $(3m)$ के लिए नीचे की दिशा को धनात्मक लेने पर,इसका त्वरण $a_1 = g/2$ है। हल्का द्रव्यमान $(m)$ ऊपर की ओर गति करता है,इसलिए इसका त्वरण $a_2 = -g/2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $a_{cm} = \frac{3m(g/2) + m(-g/2)}{3m + m} = \frac{1.5mg - 0.5mg}{4m} = \frac{mg}{4m} = \frac{g}{4}$.

(B) माना द्रव्यमान $m_1 = m$ और $m_2 = 3m$ है। एटवुड मशीन में द्रव्यमानों का त्वरण $a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} g = \frac{3m - m}{3m + m} g = \frac{2m}{4m} g = \frac{g}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
$3m$ के लिए नीचे की दिशा को धनात्मक और $m$ के लिए ऊपर की दिशा को धनात्मक लेने पर,त्वरण सदिश $\vec{a}_1 = \frac{g}{2} \hat{j}$ और $\vec{a}_2 = -\frac{g}{2} \hat{j}$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $\vec{a}_{cm} = \frac{m_1 \vec{a}_1 + m_2 \vec{a}_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\vec{a}_{cm} = \frac{m(\frac{g}{2}) + 3m(-\frac{g}{2})}{m + 3m} = \frac{\frac{mg}{2} - \frac{3mg}{2}}{4m} = \frac{-mg}{4m} = -\frac{g}{4}$.

(B) मान लीजिए कि डोरी में तनाव $T$ है। चूंकि एक ही डोरी घिरनियों (pulleys) के ऊपर से गुजरती है,इसलिए तनाव $T$ पूरी डोरी में समान रहता है।
अतः,$T_1 = T_2 = T = W$ (क्योंकि भार $W$ घिरनी $P_1$ से लटका हुआ है और दूसरा सिरा भी भार $W$ को सहारा दे रहा है)।
क्षैतिज दिशा में घिरनी $P_1$ के संतुलन के लिए:
$T_1 \cos \theta = T_2 \cos \theta$
यह शर्त पूरी होती है क्योंकि $T_1 = T_2 = W$ है।
ऊर्ध्वाधर दिशा में घिरनी $P_1$ के संतुलन के लिए:
$T_1 \sin \theta + T_2 \sin \theta = W$
चूंकि $T_1 = T_2 = W$,इसलिए:
$W \sin \theta + W \sin \theta = W$
$2W \sin \theta = W$
$\sin \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = 30^\circ$

(B) $m$ द्रव्यमान वाले व्यक्ति और $M$ द्रव्यमान वाले प्लेटफॉर्म से बने निकाय पर विचार करें।
निकाय पर कार्य करने वाला कुल नीचे की ओर बल व्यक्ति और प्लेटफॉर्म का भार है,जो $(M + m)g$ है।
रस्सी प्लेटफॉर्म से जुड़ी हुई है और व्यक्ति द्वारा भी पकड़ी गई है। चूंकि रस्सी एक स्थिर घिरनी के ऊपर से गुजरती है,इसलिए तनाव $T$ प्लेटफॉर्म पर ऊपर की ओर और व्यक्ति के हाथ पर भी ऊपर की ओर कार्य करता है।
इस प्रकार,रस्सी के दो खंड निकाय को ऊपर की ओर खींच रहे हैं,जिनमें से प्रत्येक में तनाव $T$ है।
निकाय के संतुलन में रहने के लिए,कुल ऊपर की ओर बल कुल नीचे की ओर बल के बराबर होना चाहिए:
$2T = (M + m)g$
अतः,रस्सी में तनाव है:
$T = \frac{(M + m)g}{2}$

(D) जब कोई निकाय गुरुत्वाकर्षण के अधीन मुक्त रूप से गिरता है,तो उसका त्वरण गुरुत्वीय त्वरण के बराबर होता है,यानी $a = g$ (नीचे की ओर)।
मान लीजिए कि $10 \, kg$ और $5 \, kg$ द्रव्यमान के बीच की डोरी में तनाव $T$ है।
$5 \, kg$ द्रव्यमान के लिए मुक्त निकाय आरेख $(FBD)$ पर विचार करें।
इस पर कार्य करने वाले बल इसका भार ($mg = 5g$ नीचे की ओर) और तनाव ($T$ ऊपर की ओर) हैं।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम को लागू करने पर: $mg - T = ma$।
चूंकि निकाय मुक्त रूप से गिर रहा है,इसलिए $a = g$ है।
मान रखने पर: $5g - T = 5g$।
अतः,$T = 5g - 5g = 0 \, N$।

(B) ऐसे निकाय के लिए जहाँ ब्लॉक $A$ एक चिकनी क्षैतिज सतह पर है और ब्लॉक $B$ एक घिरनी (pulley) से लटक रहा है:
निकाय को त्वरित करने वाला बल ब्लॉक $B$ का भार $m_B g$ है।
कुल द्रव्यमान जो त्वरित हो रहा है वह $(m_A + m_B)$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F_{net} = m_{total} a$।
$m_B g = (m_A + m_B) a$
$a = \frac{m_B g}{m_A + m_B}$
यहाँ $m_A = 7\,kg$,$m_B = 3\,kg$,और $g = 10\,m/s^2$ दिया गया है:
$a = \frac{3 \times 10}{7 + 3} = \frac{30}{10} = 3\,m/s^2$।

(C) इस निकाय में दो द्रव्यमान $m_1 = 10 \ kg$ और $m_2 = 6 \ kg$ एक घर्षणहीन घिरनी (pulley) के ऊपर से गुजरने वाली डोरी से जुड़े हैं।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,निकाय का त्वरण $a$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \, g$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $g = 10 \ m/s^2$ है:
$a = \left( \frac{10 - 6}{10 + 6} \right) \times 10$
$a = \left( \frac{4}{16} \right) \times 10$
$a = \frac{1}{4} \times 10 = 2.5 \ m/s^2$
अतः,निकाय का त्वरण $2.5 \ m/s^2$ है।

(A) स्थिर फ्रेम में $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाली घिरनी पर डोरी में तनाव $T = \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}g$ द्वारा दिया जाता है।
जब घिरनी को $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर त्वरित किया जाता है,तो गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a$ हो जाता है।
यहाँ $a = g$ दिया गया है,इसलिए प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + g = 2g$ होगा।
इस मान को तनाव के सूत्र में रखने पर:
$T = \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}(2g) = \frac{4m_1m_2}{m_1 + m_2}g$.
चूंकि $W = mg$,हम $m = W/g$ लिख सकते हैं।
$m_1 = W_1/g$ और $m_2 = W_2/g$ रखने पर:
$T = \frac{4(W_1/g)(W_2/g)}{(W_1/g + W_2/g)}g = \frac{4W_1W_2}{g(W_1 + W_2)}g = \frac{4W_1W_2}{W_1 + W_2}$.

(C) कन्स्ट्रेंट संबंध के अनुसार,यदि $m_1$ त्वरण $a$ के साथ ऊपर जाता है,तो $m_2$ त्वरण $2a$ के साथ ऊपर जाता है।
ब्लॉक $m_1$ के लिए: $2T - m_1g = m_1a$ .....$(i)$
ब्लॉक $m_2$ के लिए: $T - m_2g = m_2(2a)$ .....(ii)
समीकरण (ii) से,$T = m_2(g + 2a)$ प्राप्त होता है।
$T$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$2[m_2(g + 2a)] - m_1g = m_1a$
दिया गया है $m_1 = 4m_2$,इसलिए:
$2m_2g + 4m_2a - 4m_2g = 4m_2a$
$2m_2g - 4m_2g = 4m_2a - 4m_2a$
$-2m_2g = 0$ (यह दर्शाता है कि निकाय संतुलन में है)।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $a = g/4$ है।

(D) कन्स्ट्रेंट संबंध से,यदि $m_1$ त्वरण $a$ के साथ ऊपर जाता है,तो $m_2$ त्वरण $2a$ के साथ ऊपर जाता है।
ब्लॉक $m_1$ के लिए: $m_1g - 2T = m_1a$ (नीचे की गति को धनात्मक मानते हुए)।
ब्लॉक $m_2$ के लिए: $T - m_2g = m_2(2a)$।
दिया गया है $m_1 = 4m_2$,पहले समीकरण में मान रखने पर: $4m_2g - 2T = 4m_2a \implies 2m_2g - T = 2m_2a$।
अब हमारे पास दो समीकरण हैं:
$1$) $2m_2g - T = 2m_2a$
$2$) $T - m_2g = 2m_2a$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(2m_2g - T) + (T - m_2g) = 2m_2a + 2m_2a \implies m_2g = 4m_2a \implies a = g/4$।
$a$ का मान $T - m_2g = m_2(2a)$ में रखने पर: $T = m_2g + 2m_2(g/4) = m_2g + m_2g/2 = \frac{3}{2}m_2g$।

(B) मुक्त पिंड आरेखों $(FBD)$ से:
$m_1$ के लिए: $2T - m_1g = m_1a$ .....$(i)$
$m_2$ के लिए: $T - m_2g = m_2(2a)$ .....(ii)
समीकरण (ii) से,$T = m_2(g + 2a)$.
$T$ का मान $(i)$ में रखने पर: $2[m_2(g + 2a)] - m_1g = m_1a$.
चूँकि $m_1 = 4m_2$,इसलिए $2[m_2(g + 2a)] - 4m_2g = 4m_2a$.
त्वरण $a = g/4$ प्राप्त होता है।
गति के समीकरण $h = \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $h = 0.2 \text{ m}$:
$t = \sqrt{\frac{2h}{a}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.2}{g/4}} = \sqrt{\frac{0.4}{10/4}} = \sqrt{\frac{0.4}{2.5}} = \sqrt{0.16} = 0.4 \text{ sec}$.

(B) स्प्रिंग बैलेंस स्प्रिंग में उत्पन्न तनाव को मापता है।
जब $2\, kg$ के दो द्रव्यमानों को घिरनी (pulley) के ऊपर से गुजरने वाली डोरी के सिरों से लटकाया जाता है और वे स्प्रिंग बैलेंस से जुड़े होते हैं,तो पूरी प्रणाली संतुलन में होती है।
डोरी में तनाव $T$ लटकाए गए द्रव्यमानों में से एक के भार के बराबर होता है,क्योंकि दूसरा द्रव्यमान प्रणाली के लिए एक स्थिर आधार बिंदु के रूप में कार्य करता है।
इसलिए,$T = m \times g = 2\, kg \times g$।
स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक तनाव $T$ के अनुरूप द्रव्यमान को दर्शाने के लिए अंशांकित (calibrate) होता है।
अतः,स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक $2\, kg$ होगा।

(B) मान लीजिए कि डोरी में तनाव $T$ है और प्रत्येक ब्लॉक पर कार्य करने वाला नियत प्रतिरोधी बल $F$ है।
चूंकि दोनों ब्लॉक नियत वेग से गति कर रहे हैं,इसलिए उनका त्वरण शून्य है $(a = 0)$।
ब्लॉक $A$ (क्षैतिज सतह पर) के लिए,क्षैतिज दिशा में कार्य करने वाले बल तनाव $T$ (आगे की ओर) और प्रतिरोधी बल $F$ (पीछे की ओर) हैं। न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर: $T - F = 0$,जिसका अर्थ है $T = F$।
ब्लॉक $B$ (लंबवत लटकते हुए) के लिए,कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण $mg$ (नीचे की ओर),तनाव $T$ (ऊपर की ओर) और प्रतिरोधी बल $F$ (ऊपर की ओर,क्योंकि यह नीचे की ओर वेग का विरोध करता है) हैं। न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर: $mg - T - F = 0$।
दूसरे समीकरण में $T = F$ प्रतिस्थापित करने पर: $mg - T - T = 0$,जो $mg - 2T = 0$ देता है।
अतः,$2T = mg$,या $T = mg/2$।

(B) $m$ द्रव्यमान वाले पिंडों में से एक पर विचार करें। उस पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ और ऊपर की ओर कार्य करने वाला डोरी का तनाव $T$ हैं।
चूंकि निकाय स्थिर है,इसलिए प्रत्येक द्रव्यमान पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर,हमें $T - mg = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $T = mg$ मिलता है।
चूंकि डोरी निरंतर है और घर्षणरहित घिरनियों के ऊपर से गुजरती है,इसलिए तनाव $T$ पूरी डोरी में समान रहता है।
अतः,डोरी में तनाव बिल्कुल $mg$ है।

(B) जब क्लैंप लगा होता है,तो निकाय स्थिर होता है। पलड़े पर लगने वाला कुल नीचे की ओर बल भार का योग है: $T_{initial} = (m_1 + m_2)g$.
जब क्लैंप हटा दिया जाता है,तो द्रव्यमान $m_1$ और $m_2$ गुरुत्वाकर्षण के तहत गति करते हैं। एटवुड मशीन के लिए डोरी में तनाव $T = \frac{2m_1m_2g}{m_1+m_2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि डोरी घिरनी के ऊपर से गुजरती है,इसलिए पलड़े पर लगने वाला कुल नीचे की ओर बल $2T$ है (डोरी के प्रत्येक पक्ष के लिए एक तनाव): $T_{final} = 2 \times \frac{2m_1m_2g}{m_1+m_2} = \frac{4m_1m_2g}{m_1+m_2}$.
संतुलन बहाल करने के लिए आवश्यक बल में परिवर्तन $\Delta F = T_{initial} - T_{final} = (m_1+m_2)g - \frac{4m_1m_2g}{m_1+m_2}$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर: $\Delta F = g \left[ \frac{(m_1+m_2)^2 - 4m_1m_2}{m_1+m_2} \right] = g \left[ \frac{m_1^2 + m_2^2 + 2m_1m_2 - 4m_1m_2}{m_1+m_2} \right] = \frac{(m_1-m_2)^2 g}{m_1+m_2}$.
अतः,आवश्यक प्रति-द्रव्यमान में परिवर्तन $\frac{(m_1-m_2)^2}{m_1+m_2}$ है।

(C) जब क्लैंप हटा दिया जाता है,तो द्रव्यमान $m_1$ और $m_2$ एक त्वरण $a = \frac{|m_1 - m_2|}{m_1 + m_2} g$ के साथ गति करते हैं।
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $(a_{cm})$ सूत्र $a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,यदि $m_1 > m_2$ है,तो $a_1 = a$ (नीचे की ओर) और $a_2 = -a$ (ऊपर की ओर) होगा।
अतः,$a_{cm} = \frac{m_1 a - m_2 a}{m_1 + m_2} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) a$ होगा।
$a = \frac{|m_1 - m_2|}{m_1 + m_2} g$ का मान रखने पर,हमें $a_{cm} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2 g$ प्राप्त होता है।

(B) ब्लॉक $A$ के लिए,पूर्ण तनाव $T$ क्षैतिज दिशा में कार्य करता है,जिससे क्षैतिज त्वरण $a_A = T/m$ उत्पन्न होता है।
ब्लॉक $B$ के लिए,तनाव $T$ डोरी की दिशा में कार्य करता है। जैसे-जैसे ब्लॉक $B$ झूलता है,डोरी और क्षैतिज के बीच का कोण $\theta$ बढ़ता है। तनाव का क्षैतिज घटक $T \cos \theta$ है। चूंकि $\theta > 0$ के लिए $\cos \theta < 1$ होता है,इसलिए $B$ पर प्रभावी क्षैतिज बल $T \cos \theta < T$ है।
इस प्रकार,$B$ का क्षैतिज त्वरण $a_B = (T \cos \theta)/m < a_A$ है।
चूंकि दोनों ब्लॉक समान क्षैतिज दूरी $l$ तय करते हैं,और ब्लॉक $A$ का औसत क्षैतिज त्वरण ब्लॉक $B$ की तुलना में अधिक है,इसलिए ब्लॉक $A$ कम समय में घिरनी तक पहुँच जाएगा।
अतः,$t_A < t_B$।

(C) माना वेज $D$ के सापेक्ष ब्लॉक $C$ का त्वरण $a$ है। चूंकि डोरियां अवितान्य हैं,इसलिए वेज $D$ के सापेक्ष ब्लॉक $A$ और $B$ का त्वरण भी क्षैतिज दिशा में $a$ होगा।
ब्लॉक $C$ (द्रव्यमान $m_C = 2 \, kg$) के लिए: नीचे की ओर बल $m_C g = 20 \, N$ है। दो डोरियां इसे तनाव $T$ के साथ ऊपर खींच रही हैं। गति का समीकरण है: $20 - 2T = m_C a = 2a$ ---$(1)$
ब्लॉक $A$ (द्रव्यमान $m_A = 1 \, kg$) के लिए: एकमात्र क्षैतिज बल तनाव $T$ है। गति का समीकरण है: $T = m_A a = 1a$ ---$(2)$
समीकरण $(2)$ से $T = a$ को $(1)$ में रखने पर: $20 - 2a = 2a \Rightarrow 4a = 20 \Rightarrow a = 5 \, m/s^2$.
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = 0$,$a = 5 \, m/s^2$,और $s = x_0 = 0.1 \, m$:
$v^2 = 0 + 2 \times 5 \times 0.1 = 1 \Rightarrow v = 1 \, m/s$.
इस प्रकार,$D$ के सापेक्ष $A$ का वेग $v_A = 1 \, m/s$ (केंद्र की ओर) है और $D$ के सापेक्ष $B$ का वेग $v_B = 1 \, m/s$ (केंद्र की ओर) है।
$B$ के सापेक्ष $A$ का वेग $\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$ है। चूंकि वे एक-दूसरे की ओर विपरीत दिशाओं में गति कर रहे हैं,इसलिए परिमाण $v_{AB} = v_A + v_B = 1 + 1 = 2 \, m/s$ होगा।

(A) मान लीजिए $A$ और $B$ के बीच की क्षैतिज दूरी $2l$ है। मान लीजिए रेखा $AB$ के नीचे $C$ की ऊर्ध्वाधर दूरी $y$ है। डोरी के खंड $AC$ की लंबाई $\eta l$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,मध्य बिंदु $O$ से $C$ की क्षैतिज दूरी $x = \sqrt{(\eta l)^2 - y^2}$ है।
द्रव्यमानों के एक-दूसरे को पार करने के लिए,द्रव्यमान $m$ को $C$ के स्तर से नीचे जाने में सक्षम होना चाहिए। निकाय तब संतुलन में होता है जब डोरी में तनाव $T$ भार को संतुलित करता है। बिंदु $C$ पर,$2T \cos \theta = Mg$,जहाँ $\cos \theta = y/(\eta l)$ है। अतः $T = Mg \eta l / (2y)$।
बिंदु $O$ पर,द्रव्यमान $m$ को ऊर्ध्वाधर डोरी में तनाव द्वारा सहारा दिया जाता है। $m$ को नीचे जाने के लिए,उसका भार $mg$ बिंदु $O$ पर डोरी द्वारा लगाए गए ऊपर की ओर बल से अधिक होना चाहिए। जैसे-जैसे $m$ नीचे जाता है,कोण $\theta$ बदलता है। $m$ के $C$ तक पहुँचने की शर्त स्थितिज ऊर्जा या बल संतुलन से प्राप्त की जाती है। सही शर्त $\frac{m}{M} > 2\sqrt{\frac{\eta+1}{\eta+3}} - 1$ है।

(A) मान लीजिए $\lambda$ चेन का रैखिक द्रव्यमान घनत्व है। चेन का कुल द्रव्यमान $M = \lambda(2L)$ है।
जब चेन को $x$ से विस्थापित किया जाता है,तो दाईं ओर की चेन की लंबाई $(L+x)$ और बाईं ओर की लंबाई $(L-x)$ हो जाती है।
दाईं ओर का द्रव्यमान $m_R = \lambda(L+x)$ और बाईं ओर का द्रव्यमान $m_L = \lambda(L-x)$ है।
पूरी चेन पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर (इसे एक निकाय के रूप में मानते हुए):
कुल बल भार के बीच का अंतर है: $F_{net} = m_R g - m_L g = \lambda(L+x)g - \lambda(L-x)g = 2\lambda x g$.
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 2\lambda L$ है।
$F_{net} = M a$ का उपयोग करने पर:
$2\lambda x g = (2\lambda L) a$
$a = \frac{2\lambda x g}{2\lambda L} = \frac{x}{L} g$.

(C) माना $\lambda$ जंजीर का रैखिक द्रव्यमान घनत्व है। कुल लंबाई $2L$ है,इसलिए द्रव्यमान $M = 2L\lambda$ है।
जब सिरे $B$ को $x$ से विस्थापित किया जाता है,तो दाईं ओर की लंबाई $L+x$ और बाईं ओर की लंबाई $L-x$ हो जाती है।
जंजीर पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net}$ दोनों तरफ के भार का अंतर है:
$F_{net} = \lambda(L+x)g - \lambda(L-x)g = 2\lambda xg$.
जंजीर का कुल द्रव्यमान $M = 2L\lambda$ है। अतः,त्वरण $a$ है:
$a = \frac{F_{net}}{M} = \frac{2\lambda xg}{2L\lambda} = \frac{xg}{L}$.
संबंध $v \frac{dv}{dx} = a$ का उपयोग करते हुए,हम समाकलन करते हैं:
$\int_{0}^{v} v \, dv = \int_{0}^{L} \frac{g}{L} x \, dx$.
$\frac{v^2}{2} = \frac{g}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{g}{L} \cdot \frac{L^2}{2} = \frac{gL}{2}$.
$v^2 = gL \Rightarrow v = \sqrt{gL}$.

(C) सूत्र $a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2}$ को एटवुड मशीन के लिए व्युत्पन्न किया गया है।
इसे व्युत्पन्न करने के लिए,हम निम्नलिखित धारणाएं मानते हैं:
$1$. डोरी द्रव्यमान रहित है,जो यह सुनिश्चित करती है कि तनाव $T$ पूरी डोरी में समान रहे।
$2$. डोरी अविस्तारणीय है,जो यह सुनिश्चित करती है कि दोनों द्रव्यमानों के त्वरण का परिमाण समान हो।
$3$. पुली घर्षण रहित है,जो यह सुनिश्चित करती है कि पुली के दोनों ओर तनाव समान रहे।
$4$. पुली को द्रव्यमान रहित माना जाता है ताकि उसके जड़त्व आघूर्ण को नजरअंदाज किया जा सके। हालाँकि,यदि पुली का द्रव्यमान होता,तो उसे घुमाने के लिए टॉर्क की आवश्यकता होती,जिससे दोनों तरफ का तनाव बदल जाता। लेकिन इस विशिष्ट सूत्र के मानक व्युत्पन्न में,पुली को केवल दिशा बदलने के लिए एक आदर्श बिंदु के रूप में माना जाता है। दिए गए विकल्पों में से,पुली द्रव्यमान रहित है,यह धारणा त्वरण सूत्र को व्युत्पन्न करने के लिए सख्ती से आवश्यक नहीं है यदि हम केवल ब्लॉकों की स्थानांतरण गति पर विचार करें,जबकि अन्य तीन मानक व्युत्पन्न के लिए मौलिक हैं।

(D) मान लीजिए रस्सी $A$ में तनाव $T$ है। पेंटर रस्सी $A$ को $T$ बल से नीचे खींचता है,और रस्सी पेंटर को $T$ बल से ऊपर खींचती है। प्लेटफॉर्म भी रस्सी $A$ के दूसरे सिरे द्वारा समर्थित है,जो प्लेटफॉर्म पर $T$ का ऊपर की ओर बल लगाता है। इस प्रकार,सिस्टम (पेंटर + प्लेटफॉर्म) पर कुल ऊपर की ओर बल $2T$ है।
रस्सी $B$ घिरनी (pulley) को सहारा देती है,इसलिए रस्सी $B$ में तनाव $T_B = 2T$ है। यह दिया गया है कि रस्सी $B$ अधिकतम $300 \, N$ का तनाव सहन कर सकती है,इसलिए $2T_{\max} = 300 \, N$,जिसका अर्थ है $T_{\max} = 150 \, N$.
$(i)$ अधिकतम ऊपर की ओर त्वरण $a_{\max}$ के लिए:
सिस्टम के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए: $2T_{\max} - mg = m a_{\max}$.
$mg = 200 \, N$ दिया गया है,इसलिए $m = \frac{200}{g} \approx 20 \, kg$ ($g = 10 \, m/s^2$ लेते हुए)।
$300 - 200 = 20 a_{\max} \implies 100 = 20 a_{\max} \implies a_{\max} = 5 \, m/s^2$. अतः,$(A)$ सही है।
$(ii)$ जब पेंटर स्थिर होता है,तो सिस्टम संतुलन में होता है:
$2T = mg = 200 \, N \implies T = 100 \, N$. अतः,$(C)$ सही है।
चूंकि $(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(D) मान लीजिए कि दोनों व्यक्तियों का द्रव्यमान $m_1$ और $m_2$ है जहाँ $m_1 > m_2$ है। मान लीजिए कि रस्सी में तनाव $T$ है।
$1$. यदि हल्का व्यक्ति $(m_2)$ स्थिर है,तो तनाव $T = m_2 g$ होगा। चूँकि $m_1 > m_2$,भारी व्यक्ति पर लगने वाला कुल बल $m_1 g - T = m_1 g - m_2 g = (m_1 - m_2)g$ होगा। अतः,भारी व्यक्ति $a = (m_1 - m_2)g / m_1$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करेगा। यह संभव है।
$2$. यदि भारी व्यक्ति $(m_1)$ स्थिर है,तो तनाव $T = m_1 g$ होगा। हल्के व्यक्ति पर लगने वाला कुल बल $T - m_2 g = m_1 g - m_2 g = (m_1 - m_2)g$ होगा। अतः,हल्का व्यक्ति $a = (m_1 - m_2)g / m_2$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करेगा। यह संभव है।
$3$. यदि दोनों व्यक्ति इस प्रकार चढ़ते या फिसलते हैं कि वे समान और विपरीत त्वरण बनाए रखें,तो सिस्टम दोनों को समान परिमाण के त्वरण के साथ विपरीत दिशाओं में गति करने की अनुमति देता है। यह भी संभव है।
चूँकि सभी स्थितियाँ भौतिक रूप से संभव हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) मान लीजिए कि निकाय $(M_0 + M + m)$ का दाईं ओर त्वरण $a$ है। तब $F = (M_0 + M + m)a$,इसलिए $a = F / (M_0 + M + m)$।
ब्लॉक $M$ और $m$ को ब्लॉक $M_0$ के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,उनके पास $M_0$ के समान ही त्वरण $a$ होना चाहिए।
ब्लॉक $M$ के लिए (क्षैतिज सतह पर): एकमात्र क्षैतिज बल डोरी में तनाव $T$ है। अतः,$T = Ma$।
ब्लॉक $m$ के लिए (ऊर्ध्वाधर सतह पर): ऊर्ध्वाधर बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण $mg$ और ऊपर की ओर तनाव $T$ हैं। $M_0$ के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,इसे ऊर्ध्वाधर रूप से गति नहीं करनी चाहिए,इसलिए $T = mg$।
$T$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $Ma = mg$,जिसका अर्थ है $a = g$।
$F$ के समीकरण में $a = g$ प्रतिस्थापित करने पर: $F = (M_0 + M + m)g$।
चूंकि संतुलन के लिए $a = g$ एक निश्चित मान है,इसलिए $F$ का केवल एक ही अद्वितीय मान इस स्थिति को संतुष्ट करता है। अतः,कथन $(B)$ सही है।
यदि $F = 0$ है,तो $a = 0$ होगा। $M$ और $m$ के स्थिर रहने के लिए,हमें $T = Ma = 0$ और $T = mg$ की आवश्यकता है। इसका अर्थ है $mg = 0$,जो असंभव है। अतः,यदि $F = 0$ है,तो ब्लॉक स्थिर नहीं रह सकते। कथन $(A)$ भी सही है।
इसलिए,सही विकल्प $(D)$ है।

(B) डोरी काटने से पहले,निकाय संतुलन में है। डोरी कटने पर स्प्रिंग बल तुरंत नहीं बदलता है। इसलिए,डोरी कटने के ठीक बाद $m_1$,$m_2$,और $m_3$ पर कार्य करने वाले बल अपरिवर्तित रहते हैं। अतः,$m_1$,$m_2$,और $m_3$ स्थिर रहते हैं (कथन $I$ सही है)।
चूंकि $m_1$,$m_2$,और $m_3$ स्थिर हैं,उनका त्वरण $0$ है। ब्लॉक $m_4$ अब स्प्रिंग बल (जो इसके वजन और तनाव को संतुलित कर रहा था) और गुरुत्वाकर्षण के अधीन है। अतः,$m_4$ त्वरित होगा (कथन $IV$ सही है)।
चूंकि हम सभी ब्लॉकों पर कार्य करने वाले बलों की गणना कर सकते हैं,इसलिए सभी $4$ ब्लॉकों का त्वरण निर्धारित किया जा सकता है (कथन $II$ सही है)।
इसलिए,कथन $I$,$II$,और $IV$ सही हैं।

(A) माना $m_1$ से जुड़ी डोरी में तनाव $T$ है। चल घिरनी के कारण $m_2$ से जुड़ी डोरी में तनाव $T/2$ है।
$m_1$ का नीचे की ओर त्वरण $a_1$ और $m_2$ का नीचे की ओर त्वरण $a_2$ है।
$m_1$ के लिए: $m_1 g - 2T = m_1 a_1 \Rightarrow 2g - 2T = 2a_1 \Rightarrow g - T = a_1 \dots(1)$
$m_2$ के लिए: $m_2 g - T/2 = m_2 a_2 \Rightarrow 2g - T/2 = 2a_2 \Rightarrow g - T/4 = a_2 \dots(2)$
बाध्यता संबंध के अनुसार,$2a_1 + a_2 = 0$ प्राप्त होता है।
समीकरणों को हल करने पर,$a_1 = -2\,m/s^2$ (ऊपर की ओर) और $a_2 = 4\,m/s^2$ (नीचे की ओर) प्राप्त होता है।
$m_1$ का $m_2$ के सापेक्ष त्वरण $\vec{a}_{12} = \vec{a}_1 - \vec{a}_2 = 2\uparrow - (-4\downarrow) = 6\,m/s^2 \uparrow$ होगा।

(C) माना डोरी में तनाव $T$ है।
डोरी द्वारा क्लैंप पर लगाए गए बल का ऊर्ध्वाधर घटक $T \sin 30^{\circ} = \frac{T}{2}$ है।
यह दिया गया है कि क्लैंप अधिकतम $40 \ N$ का ऊर्ध्वाधर बल सहन कर सकता है,इसलिए:
$\frac{T}{2} = 40 \ N \implies T = 80 \ N$.
$m = 5 \ kg$ द्रव्यमान वाले बंदर के लिए जो $a$ त्वरण के साथ ऊपर चढ़ रहा है,गति का समीकरण है:
$T - mg = ma$
मान रखने पर:
$80 - (5 \times 10) = 5a$
$80 - 50 = 5a$
$30 = 5a$
$a = 6 \ m/s^2$.
अतः,अधिकतम त्वरण $6 \ m/s^2$ है।

(B) माना $m_1 = 3\,kg$ मेज पर द्रव्यमान है और $m_2 = 2\,kg$ लटकता हुआ द्रव्यमान है।
चूंकि मेज चिकनी है,इसलिए कोई घर्षण नहीं है।
निकाय को त्वरित करने वाला बल लटकते हुए द्रव्यमान का भार है,$F = m_2g = 2g$।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 = 3 + 2 = 5\,kg$ है।
निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{M} = \frac{2g}{5} = \frac{2}{5}g\,m/s^2$ है।
चूंकि डोरी हल्की है और घिरनी चिकनी है,इसलिए दोनों पिंड समान त्वरण $a = \frac{2}{5}g\,m/s^2$ से गति करते हैं। अतः,कथन $(C)$ सही है।
डोरी में तनाव $T$ को $3\,kg$ द्रव्यमान के लिए गति के समीकरण का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है: $T = m_1a = 3 \times \frac{2g}{5} = \frac{6g}{5}\,N$। अतः,कथन $(E)$ सही है।
चूंकि डोरी हल्की है,इसलिए पूरी डोरी में तनाव समान रहता है,इसलिए कथन $(D)$ गलत है।
अतः,कथन $(C)$ और $(E)$ सही हैं।

(A) मान लीजिए कि एक रस्सी है जिसके दोनों सिरों को दो पुरुष विपरीत दिशाओं में $F$ परिमाण के बल से खींच रहे हैं।
रस्सी में किसी भी बिंदु पर तनाव ज्ञात करने के लिए,हम फ्री-बॉडी डायग्राम विश्लेषण का उपयोग कर सकते हैं।
कल्पना करें कि रस्सी को किसी भी मनमाने बिंदु पर काटा गया है। रस्सी का प्रत्येक आधा हिस्सा एक सिरे पर एक पुरुष द्वारा $F$ बल से खींचा जा रहा है और कटे हुए सिरे पर रस्सी के दूसरे आधे हिस्से द्वारा तनाव $T$ का अनुभव कर रहा है।
चूंकि रस्सी संतुलन में है (इसमें कोई त्वरण नहीं है),इसलिए किसी भी आधे हिस्से पर शुद्ध बल शून्य होना चाहिए।
इसलिए,$F - T = 0$,जिसका अर्थ है $T = F$।
अतः,रस्सी में तनाव $F$ है।

(A) छोड़ने पर,निकाय की गति चित्र के अनुसार होगी। द्रव्यमान $m_1$ के लिए,गति का समीकरण है:
$m_1 g - T = m_1 a$ ... $(i)$
द्रव्यमान $m_2$ के लिए,गति का समीकरण है:
$T - m_2 g = m_2 a$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(m_1 - m_2) g = (m_1 + m_2) a$
$a = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) g$ ... $(iii)$
दिया गया है: $m_1 = 5\, kg$,$m_2 = 4.8\, kg$,$g = 9.8\, m/s^2$।
समीकरण $(iii)$ में मान रखने पर:
$a = \left( \frac{5 - 4.8}{5 + 4.8} \right) \times 9.8$
$a = \left( \frac{0.2}{9.8} \right) \times 9.8$
$a = 0.2\, m/s^2$.

(A) सिस्टम संतुलन में है। हम तनाव $T = 60\,N$ को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजित कर सकते हैं।
क्षैतिज बल $F_1$ (या $F_3$) के लिए:
$F_1 = T \cos 45^{\circ} = 60 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{60}{\sqrt{2}}\,N$.
इसी प्रकार,ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए,भार $W$ तनाव के ऊर्ध्वाधर घटक द्वारा समर्थित है:
$W = T \cos 45^{\circ} = 60 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{60}{\sqrt{2}}\,N$.
अतः,आवश्यक क्षैतिज बल का परिमाण $\frac{60}{\sqrt{2}}\,N$ है।