Block on Block System, psudo force and Constrained Motion In Friction Questions in Hindi

(A) माना पिंड $A$ का द्रव्यमान $m_A$ है और पिंड $B$ का द्रव्यमान $m_B$ है। मेज चिकनी है,इसलिए $B$ और मेज के बीच कोई घर्षण नहीं है।
जब पिंड $B$ को $a$ त्वरण दिया जाता है,तो पिंड $A$ पर $B$ के सापेक्ष पीछे की दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = m_A a$ कार्य करता है।
$A$ और $B$ के बीच उपलब्ध अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu m_A g$ है,जहाँ $N = m_A g$ पिंड $A$ और $B$ के बीच अभिलंब बल है।
फिसलन तब होगी जब छद्म बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से अधिक हो जाएगा।
इसलिए,फिसलन के लिए शर्त $m_A a > \mu m_A g$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $a > \mu g$ प्राप्त होता है।
अतः,फिसलन शुरू करने के लिए आवश्यक न्यूनतम त्वरण $a = \mu g$ है।

(A) $1$. ब्लॉक $(m_A = 10 \,kg)$ और स्लैब $(m_B = 40 \,kg)$ के बीच सीमांत घर्षण बल की गणना करें:
$f_{s,max} = \mu_s m_A g = 0.60 \times 10 \times 9.8 = 58.8 \,N$.
$2$. लगाए गए बल $(F = 100 \,N)$ की तुलना सीमांत घर्षण बल से करें:
चूंकि $F > f_{s,max}$ $(100 \,N > 58.8 \,N)$,इसलिए ब्लॉक स्लैब पर फिसलेगा।
$3$. ब्लॉक और स्लैब के बीच कार्य करने वाले गतिज घर्षण बल की गणना करें:
$f_k = \mu_k m_A g = 0.40 \times 10 \times 9.8 = 39.2 \,N$.
$4$. यह गतिज घर्षण बल $f_k$ स्लैब पर लगाए गए बल की दिशा में कार्य करता है,जिससे स्लैब में त्वरण उत्पन्न होता है:
$F_{net, slab} = f_k = 39.2 \,N$.
$5$. स्लैब के त्वरण $(a_B)$ की गणना करें:
$a_B = \frac{F_{net, slab}}{m_B} = \frac{39.2}{40} = 0.98 \,m/s^2$.

(A) माना $m_A = 2 \ kg$ और $m_B = 8 \ kg$ है। लगाया गया बल $F = 25 \ N$ है।
सबसे पहले,जाँचें कि क्या निकाय गति करता है। ब्लॉक $B$ और जमीन के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{g,max} = \mu_B (m_A + m_B)g = 0.5 \times (2 + 8) \times 10 = 50 \ N$ है।
चूंकि लगाया गया बल $F = 25 \ N$,अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{g,max} = 50 \ N$ से कम है,इसलिए पूरा निकाय स्थिर रहेगा।
चूंकि निकाय संतुलन में है और ब्लॉक $A$ को ब्लॉक $B$ के सापेक्ष गति कराने के लिए कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए दोनों ब्लॉकों के बीच घर्षण बल $0 \ N$ होगा।

(B) ब्लॉक $B$ को गति देने के लिए,लगाए गए बल $P$ को उस पर कार्य करने वाले घर्षण बलों को पार करना होगा।
$1$. ब्लॉक $A$ और ब्लॉक $B$ के बीच का घर्षण $(F_{AB})$ ब्लॉक $B$ की ऊपरी सतह पर गति की विपरीत दिशा में कार्य करता है। चूंकि ब्लॉक $A$ स्थिर है,$F_{AB} = \mu_{AB} \cdot N_A = \mu_{AB} \cdot m_A \cdot g = 0.25 \times 100 \times 10 = 250 \, N$।
$2$. ब्लॉक $B$ और जमीन के बीच का घर्षण $(F_{BS})$ ब्लॉक $B$ की निचली सतह पर कार्य करता है। जमीन पर अभिलंब बल दोनों ब्लॉकों के वजन का योग है: $N_{ground} = (m_A + m_B)g = (100 + 200) \times 10 = 3000 \, N$। अतः,$F_{BS} = \mu_{BS} \cdot N_{ground} = (1/3) \times 3000 = 1000 \, N$।
$3$. आवश्यक कुल बल $P$ इन दोनों घर्षण बलों का योग है: $P = F_{AB} + F_{BS} = 250 + 1000 = 1250 \, N$।

(C) मान लीजिए द्रव्यमान $m_3 = 3 \ kg$,$m_2 = 2 \ kg$,और $m_1 = 1 \ kg$ हैं। गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$ है।
$1$. $3 \ kg$ और $2 \ kg$ ब्लॉक के बीच फिसलने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल:
$F_{s1} = \mu_1 \cdot m_3 \cdot g = 0.5 \times 3 \times 10 = 15 \ N$.
$2$. $2 \ kg$ और $1 \ kg$ ब्लॉक के बीच फिसलने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल:
$F_{s2} = \mu_2 \cdot (m_3 + m_2) \cdot g = 0.3 \times (3 + 2) \times 10 = 0.3 \times 50 = 15 \ N$.
$3$. $1 \ kg$ ब्लॉक और जमीन के बीच फिसलने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल:
$F_{s3} = \mu_3 \cdot (m_3 + m_2 + m_1) \cdot g = 0.1 \times (3 + 2 + 1) \times 10 = 0.1 \times 60 = 6 \ N$.
चूंकि फिसलने की शुरुआत के लिए आवश्यक न्यूनतम बल $1 \ kg$ ब्लॉक और जमीन के बीच की सतह के लिए सबसे कम $(6 \ N)$ है,इसलिए वहां सबसे पहले फिसलना शुरू होगा।

(D) $1$. $2 \ kg$ और $3 \ kg$ के ब्लॉकों के बीच घर्षण का विश्लेषण करें: अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max1} = \mu_1 N_1 = 0.2 \times 2 \times 10 = 4 \ N$ है। $2 \ kg$ के ब्लॉक पर लगाया गया बल $5 \ N$ है। चूंकि $5 \ N > 4 \ N$,ब्लॉक एक-दूसरे के सापेक्ष फिसलेंगे। गतिज घर्षण बल $f_k = 4 \ N$ है।
$2$. $3 \ kg$ के ब्लॉक और जमीन के बीच घर्षण का विश्लेषण करें: अभिलंब बल $N_2 = (2 + 3) \times 10 = 50 \ N$ है। अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max2} = \mu_2 N_2 = 0.1 \times 50 = 5 \ N$ है।
$3$. $2 \ kg$ के ब्लॉक का त्वरण $(a_1)$ ज्ञात करें: कुल बल $F_{net1} = 5 \ N - 4 \ N = 1 \ N$ है। अतः,$a_1 = 1 \ N / 2 \ kg = 0.5 \ m/s^2$.
$4$. $3 \ kg$ के ब्लॉक का त्वरण $(a_2)$ ज्ञात करें: $3 \ kg$ के ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल $10 \ N$ का लगाया गया बल,$2 \ kg$ के ब्लॉक से गतिज घर्षण $(4 \ N)$ और जमीन से घर्षण $(5 \ N)$ हैं। कुल बल $F_{net2} = 10 \ N + 4 \ N - 5 \ N = 9 \ N$ है। अतः,$a_2 = 9 \ N / 3 \ kg = 3 \ m/s^2$.

$(A)$ मान लीजिए $m_1 = 10 \text{ kg}$ (ऊपरी ब्लॉक) और $m_2 = 5 \text{ kg}$ (निचला ब्लॉक) है। ब्लॉकों के बीच घर्षण गुणांक $\mu_1 = 0.1$ है और निचले ब्लॉक तथा जमीन के बीच घर्षण गुणांक $\mu_2 = 0.3$ है। $g = 10 \text{ m/s}^2$ लेने पर।
ब्लॉकों के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल: $f_{1,max} = \mu_1 m_1 g = 0.1 \times 10 \times 10 = 10 \text{ N}$.
निचले ब्लॉक और जमीन के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल: $f_{2,max} = \mu_2 (m_1 + m_2) g = 0.3 \times (10 + 5) \times 10 = 0.3 \times 150 = 45 \text{ N}$.
जब ऊपरी ब्लॉक पर $F = 2 \text{ N}$ का बाहरी बल लगाया जाता है, तो निकाय तभी गति करेगा यदि $F > f_{2,max}$ हो। चूँकि $F = 2 \text{ N}$ का मान $f_{1,max}$ और $f_{2,max}$ दोनों से कम है, इसलिए पूरा निकाय स्थिर रहेगा।
निकाय के संतुलन में रहने के लिए, जमीन द्वारा लगाया गया घर्षण बल आरोपित बल $F$ को संतुलित करना चाहिए। अतः, $5 \text{ kg}$ के ब्लॉक और जमीन के बीच घर्षण बल आरोपित बल $F = 2 \text{ N}$ के बराबर होगा।

(A) मान लीजिए $m_1 = 10 \text{ kg}$ और $m_2 = 5 \text{ kg}$ है। ब्लॉकों के बीच घर्षण गुणांक $\mu_1 = 0.1$ है और $5 \text{ kg}$ के ब्लॉक तथा जमीन के बीच घर्षण गुणांक $\mu_2 = 0.3$ है।
सबसे पहले,$10 \text{ kg}$ और $5 \text{ kg}$ के ब्लॉकों के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल की गणना करें: $f_{max1} = \mu_1 m_1 g = 0.1 \times 10 \times 10 = 10 \text{ N}$.
इसके बाद,$5 \text{ kg}$ के ब्लॉक और जमीन के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल की गणना करें: $f_{max2} = \mu_2 (m_1 + m_2) g = 0.3 \times (10 + 5) \times 10 = 0.3 \times 150 = 45 \text{ N}$.
चूंकि लगाया गया बल $F = 2 \text{ N}$,$f_{max1} = 10 \text{ N}$ से कम है,इसलिए $10 \text{ kg}$ का ब्लॉक $5 \text{ kg}$ के ब्लॉक पर नहीं फिसलेगा।
अतः,ब्लॉकों के बीच घर्षण बल लगाए गए बल $F$ के बराबर होगा,जो कि $2 \text{ N}$ है।

(A) माना $m_1 = 10 \ kg$ (ऊपरी ब्लॉक) और $m_2 = 5 \ kg$ (निचला ब्लॉक) है। ब्लॉकों के बीच घर्षण गुणांक $\mu_1 = 0.1$ है और निचले ब्लॉक तथा जमीन के बीच $\mu_2 = 0.3$ है।
निकाय को स्थिर रहने के लिए,बल $F$ को निचले ब्लॉक और जमीन के बीच के स्थैतिक घर्षण बल द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए।
निचले ब्लॉक और जमीन के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max, ground} = \mu_2 (m_1 + m_2) g = 0.3 \times (10 + 5) \times 10 = 0.3 \times 150 = 45 \ N$ है।
हालाँकि,हमें यह भी सुनिश्चित करना होगा कि ऊपरी ब्लॉक निचले ब्लॉक पर न फिसले। दो ब्लॉकों के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max, block} = \mu_1 m_1 g = 0.1 \times 10 \times 10 = 10 \ N$ है।
यदि $F > 10 \ N$ है,तो ऊपरी ब्लॉक निचले ब्लॉक के सापेक्ष गति करना शुरू कर देगा।
इसलिए,बिना किसी गति के लगाया जा सकने वाला अधिकतम बल $F = 10 \ N$ है।

(C) मान लीजिए कि $10\, kg$ का ब्लॉक $m_1$ है और $5\, kg$ का ब्लॉक $m_2$ है। $m_1$ और $m_2$ के बीच घर्षण गुणांक $\mu_1 = 0.1$ है,और $m_2$ तथा जमीन के बीच $\mu_2 = 0.3$ है।
$m_1$ और $m_2$ के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{1,max} = \mu_1 m_1 g = 0.1 \times 10 \times 10 = 10\, N$ है।
$m_2$ और जमीन के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{2,max} = \mu_2 (m_1 + m_2) g = 0.3 \times (10 + 5) \times 10 = 0.3 \times 150 = 45\, N$ है।
$5\, kg$ के ब्लॉक $(m_2)$ को गति कराने के लिए,$10\, kg$ के ब्लॉक द्वारा उस पर लगाया गया बल (जो कि घर्षण $f_1$ है) जमीन द्वारा लगाए गए अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $(f_{2,max} = 45\, N)$ से अधिक होना चाहिए।
चूंकि $m_1$ द्वारा $m_2$ पर लगाया जा सकने वाला अधिकतम बल $f_{1,max} = 10\, N$ है,और $10\, N < 45\, N$ है,इसलिए $10\, kg$ के ब्लॉक पर बल $F$ चाहे कितना भी लगाया जाए,$5\, kg$ का ब्लॉक कभी गति नहीं करेगा।
अतः,$5\, kg$ के ब्लॉक का त्वरण $0\, m/s^2$ है।

(A) दिया गया है: ऊपरी ब्लॉक का द्रव्यमान $m_1 = 10\, kg$,निचले ब्लॉक का द्रव्यमान $m_2 = 5\, kg$,ब्लॉकों के बीच घर्षण गुणांक $\mu_1 = 0.1$,निचले ब्लॉक और जमीन के बीच घर्षण गुणांक $\mu_2 = 0.3$,और लगाया गया बल $F = 30\, N$.
सबसे पहले,दो ब्लॉकों के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल की गणना करें: $f_{max1} = \mu_1 m_1 g = 0.1 \times 10 \times 10 = 10\, N$.
इसके बाद,निचले ब्लॉक और जमीन के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल की गणना करें: $f_{max2} = \mu_2 (m_1 + m_2) g = 0.3 \times (10 + 5) \times 10 = 0.3 \times 150 = 45\, N$.
चूंकि लगाया गया बल $F = 30\, N$ पूरे सिस्टम को गति देने के लिए आवश्यक बल $(f_{max2} = 45\, N)$ से कम है,इसलिए निचला ब्लॉक गति नहीं करेगा।
अब,जांचें कि क्या ऊपरी ब्लॉक निचले ब्लॉक के सापेक्ष गति करता है: लगाया गया बल $F = 30\, N$ ब्लॉकों के बीच अधिकतम घर्षण $f_{max1} = 10\, N$ से अधिक है।
इसलिए,ऊपरी ब्लॉक निचले ब्लॉक पर फिसलेगा। $10\, kg$ के ब्लॉक पर लगने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_{max1} = 30 - 10 = 20\, N$.
$10\, kg$ के ब्लॉक का त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m_1} = \frac{20}{10} = 2\, m/s^2$ है।

(C) मान लीजिए $m_1 = 4 \, kg$ (ऊपरी ब्लॉक $P$) और $m_2 = 5 \, kg$ (निचला ब्लॉक $Q$) है।
$P$ और $Q$ के बीच घर्षण गुणांक $\mu_1 = 0.2$ है। $Q$ और जमीन के बीच घर्षण गुणांक $\mu_2 = 0.1$ है।
$P$ और $Q$ के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{1,max} = \mu_1 m_1 g = 0.2 \times 4 \times 10 = 8 \, N$ है।
$Q$ और जमीन के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{2,max} = \mu_2 (m_1 + m_2) g = 0.1 \times (4 + 5) \times 10 = 9 \, N$ है।
सिस्टम को गति में लाने के लिए,लगाया गया बल $F$ को $f_{2,max} = 9 \, N$ से अधिक होना चाहिए। अतः,न्यूनतम बल $9 \, N$ है। कथन $A$ गलत है।
यदि $F = 4 \, N < 9 \, N$ है,तो सिस्टम स्थिर रहता है। जमीन से घर्षण $F$ को संतुलित करता है,इसलिए $f_2 = 4 \, N$ है। $P$ की $Q$ के सापेक्ष गति करने की कोई प्रवृत्ति नहीं है,इसलिए $f_1 = 0$ है। कथन $B$ गलत है।
$P$ का अधिकतम त्वरण $a_{max} = f_{1,max} / m_1 = 8 / 4 = 2 \, m/s^2$ है। कथन $C$ सही है।
फिसलना तब शुरू होता है जब $Q$ का त्वरण $2 \, m/s^2$ से अधिक हो जाता है। पूरी प्रणाली के लिए,$F - f_{2,max} = (m_1 + m_2) a$ है। जब $a = 2 \, m/s^2$ हो,तो $F - 9 = (9) \times 2 \Rightarrow F = 27 \, N$ होता है। कथन $D$ गलत है।

(D) मान लीजिए कि $M$ और $m_0$ ब्लॉकों की प्रणाली का क्षैतिज त्वरण $a$ है और $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक का त्वरण $a$ है। चूंकि डोरी अवितान्य है,इसलिए सभी ब्लॉकों का त्वरण समान $a$ होगा।
$(M + m_0)$ प्रणाली के लिए गति का समीकरण: $T = (M + m_0)a$ है।
$m$ द्रव्यमान के ब्लॉक के लिए गति का समीकरण: $mg - T = ma$ है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $mg = (M + m_0 + m)a$,इसलिए $a = \frac{mg}{M + m_0 + m}$ प्राप्त होता है।
ब्लॉक $m_0$ को $M$ के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,स्थैतिक घर्षण बल $f$ को आवश्यक छद्म बल (pseudo force) प्रदान करना होगा: $f = m_0 a$।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu m_0 g$ होता है।
$m_0$ को फिसलने से रोकने के लिए,$f \le f_{max}$ होना चाहिए,इसलिए $m_0 a \le \mu m_0 g$।
$a$ का मान रखने पर: $m_0 \left( \frac{mg}{M + m_0 + m} \right) \le \mu m_0 g$।
अतः,$\mu \ge \frac{m}{M + m_0 + m}$।
चूंकि यह व्यंजक दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(A) मान लीजिए कि निकाय का त्वरण $a$ है। चूंकि तीनों ब्लॉक एक साथ गति करते हैं,इसलिए उनका त्वरण समान $a$ होगा। निकाय का कुल द्रव्यमान $(M + m_0 + m)$ है। प्रेरक बल ब्लॉक $m$ का भार $mg$ है। पूरे निकाय पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $mg = (M + m_0 + m)a$,इसलिए $a = \frac{mg}{M + m_0 + m}$।
अब,ब्लॉक $m_0$ पर विचार करें। $m_0$ पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल ब्लॉक $M$ द्वारा लगाया गया स्थैतिक घर्षण $f$ है। $m_0$ को $a$ त्वरण के साथ गति करने के लिए,$f = m_0 a$ होना चाहिए।
स्थैतिक घर्षण का अधिकतम मान $f_{max} = \mu N = \mu m_0 g$ है,जहाँ $N = m_0 g$ ब्लॉक $m_0$ और $M$ के बीच अभिलंब बल है।
ब्लॉकों के एक साथ गति करने के लिए,आवश्यक घर्षण अधिकतम स्थैतिक घर्षण से अधिक नहीं होना चाहिए: $f \le f_{max}$।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $m_0 a \le \mu m_0 g$।
$a \le \mu g$।
$\frac{mg}{M + m_0 + m} \le \mu g$।
$\mu \ge \frac{m}{M + m_0 + m}$।
अतः,$\mu$ का न्यूनतम मान $\frac{m}{M + m_0 + m}$ है।

(A) मान लीजिए कि निकाय का त्वरण $a = F / (M + m + M_0)$ है।
ब्लॉक $m$ के $M_0$ के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,$M_0$ द्वारा $m$ पर लगाया गया अभिलंब बल $N$ को त्वरण $a$ प्रदान करना चाहिए। अतः,$N = ma$।
$m$ पर ऊर्ध्वाधर बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण $mg$ और ऊपर की ओर घर्षण $f$ हैं। संतुलन के लिए,$f = mg$।
चूंकि $f \le \mu N$,हमारे पास $mg \le \mu (ma)$ है,जिसका अर्थ है कि $a \ge g / \mu$।
यदि $F = 0$ है,तो $a = 0$ होगा,इसलिए $f = mg$ संतुलित नहीं हो सकता,जिसका अर्थ है कि ब्लॉक स्थिर नहीं रह सकते। अतः,$(A)$ सही है।
$f = 0$ के लिए,हमें $mg = 0$ की आवश्यकता होगी,जो असंभव है। अतः,$(C)$ गलत है।
$F$ के उस मान के लिए जहाँ $a \ge g / \mu$ हो,ब्लॉक स्थिर रह सकते हैं,न कि केवल एक अद्वितीय मान के लिए। अतः,$(B)$ गलत है।
इसलिए,केवल कथन $(A)$ सही है।

(D) मान लीजिए कि निकाय का त्वरण $a$ है। चूंकि $M$ और $m$,$M_0$ के सापेक्ष स्थिर हैं,इसलिए पूरा निकाय $a = \frac{F}{M_0 + M + m}$ त्वरण के साथ गति करता है।
ब्लॉक $M$ के लिए: छद्म बल (pseudo force) $Ma$ दाईं ओर कार्य करता है। डोरी में तनाव $T$ इसे दाईं ओर खींचता है। इसलिए,$T = Ma$.
ब्लॉक $m$ के लिए: भार $mg$ नीचे की ओर कार्य करता है। घर्षण बल $f = \mu N$ ऊपर की ओर कार्य करता है,जहाँ $N$ अभिलंब बल है। छद्म बल $ma$ ऊर्ध्वाधर सतह के विरुद्ध $m$ पर क्षैतिज रूप से कार्य करता है,इसलिए $N = ma$.
$m$ के स्थिर रहने के लिए,ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित होना चाहिए: $f = mg \implies \mu N = mg \implies \mu(ma) = mg \implies a = \frac{g}{\mu}$.
$a$ का मान निकाय के समीकरण में रखने पर: $\frac{F}{M_0 + M + m} = \frac{g}{\mu} \implies F = (M_0 + M + m) \frac{g}{\mu}$.
चूंकि यह परिणाम दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) माना ब्लॉक $D$ का द्रव्यमान $M$ है। ब्लॉक $A, B, C$ त्वरण $a$ के साथ एक साथ गति करते हैं। ब्लॉक $B$ और $C$ के बिना फिसले गति करने के लिए अधिकतम त्वरण $a_{max}$ घर्षण बल द्वारा निर्धारित होता है। ब्लॉक $C$ के लिए,अधिकतम घर्षण बल $f_{max} = \mu mg$ है। अतः,$a_{max} = \frac{f_{max}}{m} = \mu g$.
ब्लॉक $(A+B+C)$ की प्रणाली के लिए,कुल द्रव्यमान $3m$ है। डोरी में तनाव $T$ त्वरण प्रदान करता है:
$T = (3m)a = (3m)(\mu g) = 3m\mu g$.
नीचे की ओर गति कर रहे $M$ द्रव्यमान के ब्लॉक $D$ के लिए:
$Mg - T = Ma$
$Mg - 3m\mu g = M(\mu g)$
$Mg - M\mu g = 3m\mu g$
$Mg(1 - \mu) = 3m\mu g$
$M = \frac{3m\mu}{1 - \mu}$.

(D) ब्लॉकों के बीच कार्य करने वाला गतिज घर्षण बल $f_k = \mu N = 0.3 \times (2 \times 10) = 6\ N$ है।
$2\ kg$ के ब्लॉक के लिए,कुल बल $F_{net,1} = 10 - 6 = 4\ N$ है। इसका त्वरण $a_1 = \frac{4}{2} = 2\ m s^{-2}$ है।
$8\ kg$ के ब्लॉक के लिए,एकमात्र क्षैतिज बल घर्षण बल $f_k = 6\ N$ है जो आगे की दिशा में कार्य करता है। इसका त्वरण $a_2 = \frac{6}{8} = 0.75\ m s^{-2}$ है।
$8\ kg$ के ब्लॉक के सापेक्ष $2\ kg$ के ब्लॉक का सापेक्ष त्वरण $a_{rel} = a_1 - a_2 = 2 - 0.75 = 1.25\ m s^{-2}$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2} a_{rel} t^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $s = 3.0\ m$ और $u = 0$ है:
$3.0 = 0 + \frac{1}{2} \times 1.25 \times t^2$
$t^2 = \frac{3.0 \times 2}{1.25} = \frac{6}{1.25} = 4.8$
$t = \sqrt{4.8} \approx 2.19\ s$.

(C) माना $m_1 = 10 \ kg$ और $m_2 = 20 \ kg$ है। घर्षण गुणांक $\mu_1 = 0.3$ और $\mu_2$ हैं।
सीमांत संतुलन की स्थिति में,नत समतल (incline) के अनुदिश कुल गुरुत्वाकर्षण बल का घटक दोनों ब्लॉकों पर लगने वाले अधिकतम स्थैतिक घर्षण बलों के योग के बराबर होता है।
$(m_1 + m_2) g \sin \theta = (\mu_1 m_1 g \cos \theta + \mu_2 m_2 g \cos \theta)$
$(10 + 20) g \sin \theta = (0.3 \times 10 \times g \cos \theta + \mu_2 \times 20 \times g \cos \theta)$
$g \cos \theta$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$30 \tan \theta = 3 + 20 \mu_2$
चूंकि $\tan \theta = 1/2$ दिया गया है,इसलिए $30(1/2) = 3 + 20 \mu_2$
$15 = 3 + 20 \mu_2$
$12 = 20 \mu_2$
$\mu_2 = 12/20 = 0.6$

(B) ब्लॉकों के बीच घर्षण बल $f = \mu N = 0.5 \times 4 \times 10 = 20\ N$ है।
$4\ kg$ के ब्लॉक के लिए (दाईं ओर $12\ m/s$ के वेग से): $a_2 = -f/m_2 = -20/4 = -5\ m/s^2$.
$2\ kg$ के ब्लॉक के लिए (बाईं ओर $6\ m/s$ के वेग से): $a_1 = +f/m_1 = +20/2 = +10\ m/s^2$.
सापेक्ष गति तब रुकती है जब $v_1 = v_2$:
$-6 + 10t = 12 - 5t$
$15t = 18 \implies t = 1.2\ s$। (कथन $ii$ सही है)।
सामान्य वेग $v = 12 - 5(1.2) = 6\ m/s$ (दाईं ओर)। (कथन $iii$ गलत है)।
$4\ kg$ के ब्लॉक का विस्थापन: $s = ut + 0.5at^2 = 12(1.2) + 0.5(-5)(1.2)^2 = 14.4 - 3.6 = 10.8\ m$। (कथन $iv$ सही है)।
अतः,कथन $ii$ और $iv$ सही हैं।

(C) ब्लॉक $m$ को वेज $M$ के साथ गति करने के लिए, ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित होना चाहिए। $m$ पर कार्य करने वाला छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma$ पीछे की दिशा में है। यह छद्म बल $m$ और $M$ के बीच अभिलंब बल $N$ के रूप में कार्य करता है, इसलिए $N = ma = 1 \times 20 = 20\, N$.
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = 0.6 \times 20 = 12\, N$ है।
ब्लॉक का भार $mg = 1 \times 10 = 10\, N$ है।
चूंकि $f_{max} > mg$, ब्लॉक $m$ नीचे नहीं फिसलेगा। स्थैतिक घर्षण बल $f$ ब्लॉक के भार को संतुलित करता है, इसलिए $f = mg = 10\, N$.
जब तक ब्लॉक नहीं फिसलता, घर्षण बल $f$ का मान $mg$ के बराबर स्थिर रहता है, त्वरण $a$ में छोटे बदलावों के बावजूद, बशर्ते $f_{max} \ge mg$ हो (अर्थात $\mu ma \ge mg \implies a \ge g/\mu = 10/0.6 = 16.67\, m/s^2$).
चूंकि वर्तमान त्वरण $20\, m/s^2 > 16.67\, m/s^2$ है, इसलिए घर्षण बल $10\, N$ पर स्थिर रहता है।

(C) $1$. घर्षण बलों की गणना करें:
- $A$ और $B$ के बीच घर्षण: $f_1 = \mu_1 m_A g = 0.4 \times 5 \times 10 = 20 \ N$.
- $B$ और जमीन के बीच घर्षण: $f_2 = \mu_2 (m_A + m_B) g = 0.2 \times (5 + 4) \times 10 = 0.2 \times 90 = 18 \ N$.
$2$. त्वरण की गणना करें:
- ब्लॉक $A$ के लिए: $a_A = f_1 / m_A = 20 / 5 = 4 \ m/s^2$ (दाईं ओर)।
- ब्लॉक $B$ के लिए: $F - f_1 - f_2 = m_B a_B \Rightarrow 62 - 20 - 18 = 4 a_B \Rightarrow 24 = 4 a_B \Rightarrow a_B = 6 \ m/s^2$ (दाईं ओर)।
$3$. सापेक्ष गति:
- सापेक्ष त्वरण $a_{B/A} = a_B - a_A = 6 - 4 = 2 \ m/s^2$ (दाईं ओर)।
- $s = ut + 1/2 a t^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $s = 16 \ m$,$u = 0$,$a = 2 \ m/s^2$:
- $16 = 0 + 1/2 \times 2 \times t^2 \Rightarrow 16 = t^2 \Rightarrow t = 4 \ \text{सेकंड}$.

(B) माना द्रव्यमान $m_1 = 1 \ kg$ और $m_2 = 2 \ kg$ हैं। लगाया गया बल $F = 0.5 \ N$ है।
मान लीजिए कि दोनों ब्लॉक $a$ त्वरण के साथ एक साथ चलते हैं,तो निकाय के लिए गति का समीकरण $F = (m_1 + m_2)a$ है।
$0.5 = (1 + 2)a \Rightarrow 0.5 = 3a \Rightarrow a = \frac{0.5}{3} = \frac{1}{6} \ m/s^2$.
निचले ब्लॉक $(m_2)$ पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = m_2 a = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \ N$ है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu_s m_1 g = 0.1 \times 1 \times 10 = 1 \ N$ है।
चूंकि $f = \frac{1}{3} \ N < f_{max} = 1 \ N$,इसलिए यह धारणा कि वे एक साथ चलते हैं,सही है।
निचला ब्लॉक ऊपरी ब्लॉक पर पीछे की दिशा में घर्षण बल $f$ लगाता है।
निचले ब्लॉक द्वारा ऊपरी ब्लॉक पर किया गया कार्य $W = -f \times d$,जहाँ $d = 3 \ m$ है।
$W = -(\frac{1}{3}) \times 3 = -1 \ J$.

(D) दोनों ब्लॉकों के एक साथ गति करने के लिए,ब्लॉक $A$ को ब्लॉक $B$ के समान त्वरण $a$ से गति करनी चाहिए। ब्लॉक $A$ पर त्वरण उत्पन्न करने वाला एकमात्र बल ब्लॉक $B$ द्वारा लगाया गया स्थैतिक घर्षण बल $f_s$ है।
$A$ और $B$ के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = \mu_2 m_A g = 0.3 \times 20 \times 10 = 60 \text{ N}$ है।
ब्लॉक $A$ का अधिकतम त्वरण $a_{max} = \frac{f_{s,max}}{m_A} = \frac{60}{20} = 3 \text{ m/s}^2$ है।
अब,दोनों ब्लॉकों $(A+B)$ के निकाय पर विचार करें जो $a_{max} = 3 \text{ m/s}^2$ के त्वरण के साथ गति कर रहे हैं। बाहरी बल $F$ को ब्लॉक $B$ और फर्श के बीच के गतिज घर्षण $f_k$ को पार करना होगा।
फर्श पर अभिलंब बल $N = (m_A + m_B)g = (20 + 40) \times 10 = 600 \text{ N}$ है।
गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_1 N = 0.2 \times 600 = 120 \text{ N}$ है।
निकाय $(A+B)$ के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$F - f_k = (m_A + m_B) a_{max}$
$F - 120 = (20 + 40) \times 3$
$F - 120 = 60 \times 3$
$F - 120 = 180$
$F = 300 \text{ N}$.

(A) $1$. सबसे पहले,ब्लॉकों के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल की गणना करें: $f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s m_B g = 0.4 \times 5 \times 10 = 20\, N$.
$2$. यदि दोनों ब्लॉक $a$ त्वरण के साथ एक साथ चलते हैं,तो $F = (m_A + m_B) a$। अतः,$175 = (30 + 5) a \Rightarrow a = 175 / 35 = 5\, m/s^2$.
$3$. ब्लॉक $A$ को $5\, m/s^2$ के त्वरण से त्वरित करने के लिए आवश्यक बल $F_A = m_A a = 30 \times 5 = 150\, N$ है। चूंकि $150\, N > f_{s,max} (20\, N)$,ब्लॉक फिसलेंगे (slip करेंगे)।
$4$. चूंकि वे फिसलते हैं,इसलिए गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k m_B g = 0.3 \times 5 \times 10 = 15\, N$ ब्लॉक $A$ पर कार्य करेगा।
$5$. ब्लॉक $A$ का त्वरण $a_A = f_k / m_A = 15 / 30 = 0.5\, m/s^2$ होगा।

(C) माना निकाय का त्वरण $a$ है। $4 \ kg$ के ब्लॉक को $8 \ kg$ के ब्लॉक के साथ बिना फिसले गति करने के लिए,अधिकतम घर्षण बल को आवश्यक त्वरण प्रदान करना चाहिए।
$4 \ kg$ के ब्लॉक पर सीमांत घर्षण $f_{max} = \mu N = \mu mg = 0.4 \times 4 \times 10 = 16 \ N$ है।
यह घर्षण बल $4 \ kg$ के ब्लॉक को त्वरण प्रदान करता है: $f_{max} = m_1 a \Rightarrow 16 = 4a \Rightarrow a = 4 \ m/s^2$.
अब,$(4 \ kg + 8 \ kg)$ के पूरे निकाय पर विचार करते हुए जो बल $F$ के तहत $a$ त्वरण के साथ गति कर रहा है:
$F = (m_1 + m_2) a = (4 + 8) \times 4 = 12 \times 4 = 48 \ N$.
अतः,अधिकतम बल $F$,$48 \ N$ है।

(A) $1$. मान लीजिए कि दोनों ब्लॉक $A$ और $B$ एक समान त्वरण $a$ के साथ चलते हैं। निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_A + m_B = 1 + 2 = 3\,kg$ है।
$2$. लगाया गया बाहरी बल $F = 5\,N$ है। निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{M} = \frac{5}{3}\,m/s^2$ है।
$3$. ब्लॉक $A$ को इस त्वरण के साथ चलाने के लिए आवश्यक बल $f = m_A \cdot a = 1 \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{3}\,N$ है।
$4$. $A$ और $B$ के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu \cdot m_A \cdot g = 0.2 \cdot 1 \cdot 10 = 2\,N$ है।
$5$. चूंकि आवश्यक बल $f = \frac{5}{3}\,N \approx 1.67\,N$,$f_{max} = 2\,N$ से कम है,इसलिए दोनों ब्लॉक एक साथ चलते हैं।
$6$. अतः,$A$ द्वारा $B$ पर लगाया गया घर्षण बल,$A$ को त्वरित करने के लिए आवश्यक बल के बराबर होगा,जो कि $\frac{5}{3}\,N$ है।

(C) मान लीजिए ब्लॉक $A$ और $B$ के बीच घर्षण गुणांक $\mu$ है। $A$ और $B$ के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu m_A g = \mu \times 4 \times 10 = 40\mu$ है।
जब $A$ पर $F_A = 12\, N$ बल लगाया जाता है,तो निकाय का त्वरण $a = \frac{F_A}{m_A + m_B} = \frac{12}{4 + 5} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\, m/s^2$ होता है।
ब्लॉक $A$ के $B$ के साथ गति करने के लिए,घर्षण बल $f$ को $A$ को त्वरण प्रदान करना चाहिए: $f = m_A a = 4 \times \frac{4}{3} = \frac{16}{3}\, N$.
चूंकि यह सीमांत स्थिति है,$f = f_{max} \Rightarrow 40\mu = \frac{16}{3} \Rightarrow \mu = \frac{16}{120} = \frac{2}{15}$.
अब,मान लीजिए ब्लॉक $B$ पर अधिकतम बल $F_B$ लगाया जाता है। निकाय का त्वरण $a' = \frac{F_B}{m_A + m_B} = \frac{F_B}{9}$ है।
ब्लॉक $A$ के $B$ के साथ गति करने के लिए,घर्षण बल $f$ को $A$ को त्वरण प्रदान करना चाहिए: $f = m_A a' = 4 \times \frac{F_B}{9}$.
$f \le f_{max}$ होने के कारण,$4 \times \frac{F_B}{9} \le 40 \times \frac{2}{15} \Rightarrow F_B \le 40 \times \frac{2}{15} \times \frac{9}{4} = 12\, N$. हालांकि,यदि बल केवल $B$ पर लगाया जाए तो $F_B - f = m_B a'$ और $f = m_A a'$ होता है। $F_B = (m_A + m_B) a' = 9a'$. $f = 4a' = 40(1/6) = 20/3 \Rightarrow a' = 5/3$. अतः $F_B = 9(5/3) = 15\, N$.

(B) ब्लॉक $A$ के $B$ पर न फिसलने के लिए,निकाय का अधिकतम त्वरण $a$,$A$ और $B$ के बीच के घर्षण द्वारा सीमित होता है।
$A$ पर अधिकतम घर्षण बल $f_{max} = \mu_1 m_A g = 0.2 \times 1 \times 10 = 2\,N$ है।
यह घर्षण ब्लॉक $A$ को अधिकतम त्वरण प्रदान करता है: $a_{max} = \frac{f_{max}}{m_A} = \frac{2}{1} = 2\,m/s^2$।
अब,पूरे निकाय $(A+B)$ को $a_{max}$ त्वरण के साथ गति करते हुए मानें। बाहरी बल $F$ को $B$ और मेज की सतह के बीच के घर्षण $(f_{table})$ को पार करना होगा और दोनों ब्लॉकों को आवश्यक त्वरण प्रदान करना होगा।
$B$ और मेज के बीच घर्षण $f_{table} = \mu_2 (m_A + m_B) g = 0.2 \times (1 + 3) \times 10 = 0.2 \times 4 \times 10 = 8\,N$ है।
निकाय $(A+B)$ पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $F - f_{table} = (m_A + m_B) a_{max}$।
$F - 8 = (1 + 3) \times 2$।
$F - 8 = 4 \times 2 = 8$।
$F = 8 + 8 = 16\,N$।

(D) दिया गया है: ब्लॉक $A$ का द्रव्यमान,$m_{A} = \frac{m}{2}$. ब्लॉक $B$ का द्रव्यमान,$m_{B} = m$.
$A$ और $B$ के बीच घर्षण गुणांक,$\mu_{A} = 0.2$. $B$ और फर्श के बीच घर्षण गुणांक,$\mu_{B} = 0.1$.
ब्लॉकों के एक साथ गति करने के लिए,अधिकतम त्वरण $a$,$A$ और $B$ के बीच घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है।
$f_{max} = \mu_{A} m_{A} g = m_{A} a$
$a = \mu_{A} g = 0.2 g$.
अब,दोनों ब्लॉकों को एक निकाय के रूप में मानने पर,कुल द्रव्यमान $M = m_{A} + m_{B} = \frac{m}{2} + m = \frac{3m}{2}$ है।
बल $F$ को $B$ और फर्श के बीच के घर्षण को पार करना चाहिए और निकाय को त्वरण $a$ प्रदान करना चाहिए।
$F - \mu_{B} (m_{A} + m_{B}) g = (m_{A} + m_{B}) a$
$F = (m_{A} + m_{B}) a + \mu_{B} (m_{A} + m_{B}) g$
$F = (\frac{3m}{2})(0.2 g) + (0.1)(\frac{3m}{2}) g$
$F = 0.3 mg + 0.15 mg = 0.45 mg$.
अतः,अधिकतम बल $0.45 mg$ है।

(B) अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल (सीमांत घर्षण) $f_{max} = \mu_s N = \mu_s mg$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\mu_s = 0.6$,$m = 1\, kg$,और $g = 9.8\, m/s^2$ दिया गया है।
$f_{max} = 0.6 \times 1 \times 9.8 = 5.88\, N$.
ट्रक के त्वरण के कारण ब्लॉक पर कार्य करने वाला छद्म बल (pseudo force) $F_{pseudo} = ma = 1 \times 5 = 5\, N$ है।
चूंकि आरोपित छद्म बल $(5\, N)$,सीमांत घर्षण $(5.88\, N)$ से कम है,इसलिए ब्लॉक ट्रक के सापेक्ष नहीं फिसलेगा।
अतः,स्थैतिक घर्षण बल छद्म बल को संतुलित करने के लिए स्वयं को समायोजित कर लेगा।
इस प्रकार,ब्लॉक पर कार्य करने वाला घर्षण बल $5\, N$ है।

(C) ब्लॉक $B$ को गति कराने के लिए,लगाए गए बल $F$ को उस पर कार्य करने वाले घर्षण बलों को पार करना होगा।
$1$. ब्लॉक $A$ और ब्लॉक $B$ के बीच घर्षण $(f_{AB})$: यह ब्लॉक $B$ की ऊपरी सतह पर कार्य करने वाला सीमांत घर्षण है क्योंकि यह दाईं ओर गति करता है। चूंकि ब्लॉक $A$ दीवार से बंधा है,इसलिए यह स्थिर रहता है। $A$ पर अभिलंब बल $N_A = m_A g = 100 \times 10 = 1000\, N$ है। अतः,$f_{AB} = \mu_{AB} N_A = 0.2 \times 1000 = 200\, N$.
$2$. ब्लॉक $B$ और जमीन के बीच घर्षण $(f_{BS})$: यह ब्लॉक $B$ की निचली सतह पर कार्य करने वाला सीमांत घर्षण है। जमीन पर अभिलंब बल $N_G = (m_A + m_B) g = (100 + 200) \times 10 = 3000\, N$ है। अतः,$f_{BS} = \mu_{BS} N_G = 0.3 \times 3000 = 900\, N$.
$3$. आवश्यक कुल बल $F$: बल $F$ को दोनों घर्षण बलों को पार करना होगा।
$F = f_{AB} + f_{BS} = 200\, N + 900\, N = 1100\, N$.

(C) ब्लॉक $B$ पर कार्य करने वाला अधिकतम घर्षण बल $f_{max}$,$A$ और $B$ के बीच स्थितिक घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है।
$f_{max} = \mu m_B g = 0.4 \times 3 \times 10 = 12 \, N$.
यह घर्षण बल ब्लॉक $B$ को अधिकतम त्वरण $a_{max}$ प्रदान करता है ताकि वह $A$ पर फिसले नहीं।
$a_{max} = \frac{f_{max}}{m_B} = \frac{12}{3} = 4 \, m/s^2$.
दोनों ब्लॉकों के बिना अलग हुए एक साथ गति करने के लिए,पूरे निकाय को इस अधिकतम त्वरण $a_{max}$ के साथ गति करनी चाहिए।
ब्लॉक $A$ और $B$ के संयुक्त निकाय पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$F = (m_A + m_B) a_{max} = (6 + 3) \times 4 = 9 \times 4 = 36 \, N$.

(C) ब्लॉकों के बिना अलग हुए एक साथ गति करने के लिए,अधिकतम त्वरण $a_{max}$ ब्लॉक $A$ और ब्लॉक $B$ के बीच सीमांत घर्षण द्वारा निर्धारित होता है।
ब्लॉक $B$ पर कार्य करने वाला सीमांत घर्षण बल $f_{max} = \mu m_B g$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$f_{max} = 0.4 \times 3 \times 10 = 12\, N$.
यह घर्षण बल ब्लॉक $B$ को आवश्यक त्वरण प्रदान करता है। इसलिए,$f_{max} = m_B a_{max}$.
$12 = 3 \times a_{max} \implies a_{max} = 4\, m/s^2$.
अब,दोनों ब्लॉकों को एक निकाय के रूप में मानते हुए,उन्हें $a_{max}$ त्वरण के साथ गति कराने के लिए आवश्यक कुल बल $F = (m_A + m_B) a_{max}$ है।
$F = (6 + 3) \times 4 = 9 \times 4 = 36\, N$.

(A) $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक को $M$ द्रव्यमान के ब्लॉक के साथ गति करने के लिए,उनके बीच का घर्षण बल $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक को आवश्यक त्वरण प्रदान करना चाहिए।
$m$ द्रव्यमान के ब्लॉक पर कार्य करने वाला अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{\max} = \mu N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ अभिलंब बल है।
चूंकि ब्लॉक $m$,$M$ के ऊपर है,इसलिए अभिलंब बल $N = mg$ है।
अतः,अधिकतम घर्षण बल $f_{\max} = \mu mg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,इस घर्षण बल द्वारा $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक को प्रदान किया जा सकने वाला अधिकतम त्वरण $a_{\max}$ है,$f_{\max} = m a_{\max}$।
$f_{\max}$ का मान रखने पर,हमें $\mu mg = m a_{\max}$ प्राप्त होता है।
$a_{\max}$ के लिए हल करने पर,हमें $a_{\max} = \mu g$ प्राप्त होता है।

(A) ब्लॉक $A$ को ब्लॉक $B$ के साथ बिना किसी सापेक्ष गति के चलाने के लिए,निकाय का अधिकतम त्वरण $a_{max}$,$A$ और $B$ के बीच घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
ब्लॉक $A$ पर लगने वाला सीमांत घर्षण बल $f_{max} = \mu N_A = \mu m_A g$ है।
ब्लॉक $A$ के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करने पर,$f_{max} = m_A a_{max}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$m_A a_{max} = \mu m_A g$,जिससे $a_{max} = \mu g$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\mu = 0.60$ और $g = 10\,m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $a_{max} = 0.60 \times 10 = 6\,m/s^2$ है।
अब,ब्लॉक $A$ और $B$ दोनों को $(m_A + m_B)$ द्रव्यमान के एक निकाय के रूप में मानने पर,$B$ पर लगाया जा सकने वाला अधिकतम बल $F_{max} = (m_A + m_B) a_{max}$ होगा।
मान रखने पर,$F_{max} = (2 + 5) \times 6 = 7 \times 6 = 42\,N$।

(B) मान लीजिए $m_1 = 10 \, kg$ (ऊपरी ब्लॉक) और $m_2 = 5 \, kg$ (निचला ब्लॉक) है।
ब्लॉकों के बीच घर्षण गुणांक $\mu_1 = 0.1$ है और निचले ब्लॉक तथा जमीन के बीच $\mu_2 = 0.3$ है।
ब्लॉकों के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{1 \max} = \mu_1 m_1 g = 0.1 \times 10 \times 10 = 10 \, N$ है।
निचले ब्लॉक और जमीन के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{2 \max} = \mu_2 (m_1 + m_2) g = 0.3 \times (10 + 5) \times 10 = 0.3 \times 150 = 45 \, N$ है।
जब ऊपरी ब्लॉक पर बाहरी बल $F = 2 \, N$ लगाया जाता है,तो निकाय को गति देने वाला बल $F = 2 \, N$ है।
चूंकि $F < f_{1 \max}$ $(2 \, N < 10 \, N)$,ऊपरी ब्लॉक निचले ब्लॉक के सापेक्ष गति नहीं करता है।
परिणामस्वरूप,पूरा निकाय $(15 \, kg)$ स्थिर रहता है क्योंकि लगाया गया बल $F = 2 \, N$,$f_{2 \max} = 45 \, N$ से कम है।
चूंकि निकाय संतुलन में है,इसलिए $5 \, kg$ के ब्लॉक और जमीन के बीच का घर्षण बल लगाए गए बल $F$ को संतुलित करता है।
अतः,$5 \, kg$ के ब्लॉक और जमीन के बीच घर्षण बल $2 \, N$ है।

(A) $1$. $10\,kg$ के ब्लॉक और $5\,kg$ के ब्लॉक के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल ज्ञात करें: $f_{max} = \mu_s N = 0.1 \times (10\,kg \times 10\,m/s^2) = 10\,N$.
$2$. लगाया गया बल $F = 2\,N$,अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = 10\,N$ से कम है।
$3$. चूंकि लगाया गया बल स्थैतिक घर्षण को पार करने के लिए पर्याप्त नहीं है,इसलिए ब्लॉक एक-दूसरे के सापेक्ष गति नहीं करेंगे।
$4$. इसलिए,ब्लॉकों के बीच कार्य करने वाला स्थैतिक घर्षण बल लगाए गए बल के बराबर होगा,जो कि $2\,N$ है।

(C) $1$. $10\,kg$ और $5\,kg$ के ब्लॉकों के बीच सीमांत घर्षण बल की गणना करें: $f_{1} = \mu_1 N_1 = 0.1 \times 10 \times 10 = 10\,N$.
$2$. $10\,kg$ के ब्लॉक पर लगने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_1 = 30\,N - 10\,N = 20\,N$ है।
$3$. $10\,kg$ के ब्लॉक का त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{20\,N}{10\,kg} = 2\,m/s^2$ है।

(C) बॉक्स का द्रव्यमान,$m = 40 \;kg$.
घर्षण गुणांक,$\mu = 0.15$.
प्रारंभिक वेग,$u = 0$.
ट्रक का त्वरण,$a = 2 \;m s^{-2}$.
ट्रक के सिरे से बॉक्स की दूरी,$s' = 5 \;m$.
ट्रक के संदर्भ फ्रेम में,बॉक्स पीछे की दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma$ का अनुभव करता है।
$F_p = 40 \times 2 = 80 \;N$.
आगे की दिशा में कार्य करने वाला सीमांत घर्षण बल $f = \mu mg = 0.15 \times 40 \times 10 = 60 \;N$ है।
बॉक्स पर पीछे की दिशा में कार्य करने वाला नेट बल $F_{net} = F_p - f = 80 - 60 = 20 \;N$ है।
ट्रक के सापेक्ष बॉक्स का पीछे की ओर त्वरण $a_{rel} = \frac{F_{net}}{m} = \frac{20}{40} = 0.5 \;m s^{-2}$ है।
गति के समीकरण $s' = u t + \frac{1}{2} a_{rel} t^2$ का उपयोग करते हुए:
$5 = 0 + \frac{1}{2} \times 0.5 \times t^2$
$5 = 0.25 \times t^2$
$t^2 = 20$
$t = \sqrt{20} \;s$.
$t$ समय में ट्रक द्वारा तय की गई दूरी $s$ है:
$s = ut + \frac{1}{2} a t^2$
$s = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (\sqrt{20})^2$
$s = 20 \;m$.

(C) ब्लॉकों के एक साथ गति करने के लिए,निकाय का त्वरण $a$ ऐसा होना चाहिए कि छोटे ब्लॉक $m$ पर लगने वाला घर्षण बल उसके त्वरण के लिए पर्याप्त हो।
अधिकतम उपलब्ध घर्षण बल $f_{\max} = \mu N = \mu mg$ है।
ब्लॉक $m$ बिना फिसले जो अधिकतम त्वरण $a_{\max}$ प्राप्त कर सकता है,वह $a_{\max} = \frac{f_{\max}}{m} = \mu g$ है।
यहाँ $\mu = \frac{3}{7}$ और $g = 9.8\, m/s^2$ दिया गया है,इसलिए:
$a_{\max} = \frac{3}{7} \times 9.8 = 3 \times 1.4 = 4.2\, m/s^2$.
अब,$(M + m)$ द्रव्यमान के पूरे निकाय के लिए,बल $F$ लगाया जाता है:
$F = (M + m) a_{\max}$.
मान रखने पर:
$F = (4.5 + 0.5) \times 4.2 = 5 \times 4.2 = 21\, N$.
अतः,अधिकतम क्षैतिज बल $21\, N$ है।

(D) मान लीजिए ऊपरी ब्लॉक का द्रव्यमान $m_1 = 1 \, kg$ और निचले ब्लॉक का द्रव्यमान $m_2 = 2 \, kg$ है। निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 = 3 \, kg$ है।
ब्लॉकों को एक साथ चलने के लिए,ऊपरी ब्लॉक को निचले ब्लॉक के समान त्वरण $a$ के साथ चलना चाहिए। ऊपरी ब्लॉक को त्वरित करने वाला एकमात्र बल दोनों ब्लॉकों के बीच का स्थैतिक घर्षण बल $f_s$ है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = \mu m_1 g = 0.5 \times 1 \times 10 = 5 \, N$ है।
यह घर्षण बल $1 \, kg$ के ब्लॉक को अधिकतम त्वरण प्रदान करता है: $f_{s,max} = m_1 a \Rightarrow 5 = 1 \times a \Rightarrow a = 5 \, m/s^2$.
अब,$3 \, kg$ के पूरे निकाय को $a$ त्वरण के साथ चलते हुए मानने पर,लगाया गया बल $F = (m_1 + m_2) a = 3 \times 5 = 15 \, N$ प्राप्त होता है।

(C) $m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक के लिए बिना फिसले प्राप्त किया जा सकने वाला अधिकतम त्वरण $a_{\max}$ स्थैतिक घर्षण बल $f_{s, \max} = \mu_s N = \mu_s mg$ द्वारा निर्धारित होता है।
$m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करने पर: $f_{s, \max} = m a_{\max} \implies \mu_s mg = m a_{\max} \implies a_{\max} = \mu_s g$.
यहाँ $\mu_s = 0.5$ और $g = 9.8 \; m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $a_{\max} = 0.5 \times 9.8 = 4.9 \; m/s^2$.
दोनों ब्लॉकों के एक साथ गति करने के लिए,पूरी प्रणाली का त्वरण $a \le a_{\max}$ होना चाहिए।
$(m + M)$ द्रव्यमान की संयुक्त प्रणाली के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$F = (m + M) a_{\max} = (2 + 8) \times 4.9 = 10 \times 4.9 = 49 \; N$.

(A) मान लीजिए कि ब्लॉक $X$ और $Y$ के निकाय का त्वरण $a$ है।
चूंकि ब्लॉक एक साथ चलते हैं,कुल द्रव्यमान $M = m_X + m_Y = 8 \,kg + 2 \,kg = 10 \,kg$ है।
निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{M} = \frac{F}{10} \,ms^{-2}$ द्वारा दिया जाता है।
ब्लॉक $Y$ को नीचे फिसलने से रोकने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला घर्षण बल $f$ को इसके भार $m_Y g$ को संतुलित करना चाहिए।
$f = m_Y g = 2 \times 10 = 20 \,N$.
घर्षण बल $f = \mu R$ द्वारा भी दिया जाता है,जहाँ $R$ ब्लॉक $X$ और $Y$ के बीच अभिलंब प्रतिक्रिया है।
ब्लॉक $Y$ की क्षैतिज गति से,अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ ब्लॉक $Y$ को आवश्यक त्वरण $a$ प्रदान करती है:
$R = m_Y a = 2 \times \frac{F}{10} = \frac{F}{5}$.
घर्षण समीकरण में मान रखने पर:
$f = \mu R \Rightarrow 20 = 0.5 \times \frac{F}{5}$.
$20 = \frac{F}{10} \Rightarrow F = 200 \,N$.
अतः,$F$ का न्यूनतम मान $200 \,N$ है।

(A) पेन और कागज के बीच सीमांत घर्षण $f_1 = \mu_1 mg$ है।
पेन के फिसलने की शुरुआत करने के लिए,पेन पर कार्य करने वाला बल कम से कम $f_1$ होना चाहिए। यह बल कागज द्वारा लगाए गए घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है,जो पेन पर लगने वाले घर्षण बल के बराबर होता है।
अतः,पेन का त्वरण $a = \frac{f_1}{m} = \mu_1 g$ है।
पेन के फिसलने के लिए,कागज का त्वरण कम से कम $a = \mu_1 g$ होना चाहिए।
अब,द्रव्यमान $M$ के कागज के लिए फ्री बॉडी डायग्राम पर विचार करें। कागज पर कार्य करने वाले बल आरोपित बल $F$,पेन द्वारा लगाया गया घर्षण $f_1$ (पीछे की ओर) और मेज द्वारा लगाया गया घर्षण $f_2$ (पीछे की ओर) हैं।
मेज पर अभिलंब बल $N = (M+m)g$ है,इसलिए $f_2 = \mu_2(M+m)g$ है।
कागज के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$F - f_1 - f_2 = Ma$
$F = Ma + f_1 + f_2$
मान रखने पर:
$F = M(\mu_1 g) + \mu_1 mg + \mu_2(M+m)g$
$F = (M+m)\mu_1 g + (M+m)\mu_2 g$
$F = (M+m)(\mu_1 + \mu_2)g$.

(D) मान लीजिए कि दोनों ब्लॉक $a$ त्वरण के साथ एक साथ गति करते हैं।
ब्लॉक $M_2$ के लिए,त्वरण प्रदान करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल घर्षण बल $f_r$ है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{r,max} = \mu N = \mu M_2 g$ है।
अतः,ब्लॉक $M_2$ का अधिकतम त्वरण $a_{max} = \frac{f_{r,max}}{M_2} = \frac{\mu M_2 g}{M_2} = \mu g$ होगा।
दोनों ब्लॉकों $(M_1 + M_2)$ के पूरे निकाय को इस अधिकतम त्वरण $a_{max}$ के साथ एक साथ गति करने के लिए,$M_1$ पर लगाया गया बल $F$ इस प्रकार होना चाहिए:
$F = (M_1 + M_2) a_{max}$
$F = (M_1 + M_2) \mu g$
$F = \mu(M_1 + M_2) g$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) ब्लॉकों के बीच कोई सापेक्ष गति न होने के लिए,दोनों ब्लॉकों को समान त्वरण $a$ से चलना चाहिए।
$m_2$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक पर विचार करें। उस पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल ब्लॉक $m_1$ द्वारा लगाया गया घर्षण बल $f$ है।
अतः,$f = m_2 a$।
घर्षण का अधिकतम मान $f_{\text{max}} = \mu N = \mu m_1 g$ है।
इसलिए,ब्लॉक $m_2$ का अधिकतम त्वरण $a_{\text{max}}$,$m_2 a_{\text{max}} = \mu m_1 g$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $a_{\text{max}} = \mu \frac{m_1}{m_2} g$।
अब,दोनों ब्लॉकों $(m_1 + m_2)$ की प्रणाली पर विचार करें। बाहरी बल $F$,$m_1$ पर लगाया जाता है।
पूरी प्रणाली के लिए,$F = (m_1 + m_2) a$।
$a_{\text{max}}$ का मान रखने पर,हमें $F_{\text{max}} = (m_1 + m_2) \mu \frac{m_1}{m_2} g$ प्राप्त होता है।
$F_{\text{max}} = \mu m_1 g \left(\frac{m_1 + m_2}{m_2}\right) = \mu m_1 g \left(\frac{m_1}{m_2} + 1\right)$।

(C) ब्लॉक $A$ (द्रव्यमान $m_A = 5 \, kg$) पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल ब्लॉक $B$ द्वारा लगाया गया स्थैतिक घर्षण बल $f$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है $(F_{net} = m \cdot a)$।
यहाँ,घर्षण बल $f$ ब्लॉक $A$ को $a_A = 2 \, m/s^2$ का त्वरण प्रदान करता है।
इसलिए,$f = m_A \cdot a_A$।
दिए गए मानों को रखने पर: $f = 5 \, kg \times 2 \, m/s^2 = 10 \, N$।
अतः,ब्लॉक $B$ द्वारा ब्लॉक $A$ पर लगाया गया घर्षण बल $10 \, N$ है।

(A) ब्लॉक $A$ को ब्लॉक $B$ पर रखा गया है। ब्लॉक $B$ पर एक बल $F$ लगाया जाता है। ब्लॉक $A$,$A$ और $B$ के बीच लगने वाले घर्षण बल के कारण गति करता है।
ग्राफ से,ब्लॉक $A$ का त्वरण $4.9 \ m/s^2$ तक पहुँचने तक रैखिक रूप से बढ़ता है। इस बिंदु पर,ब्लॉक $A$,ब्लॉक $B$ के सापेक्ष फिसलने की स्थिति में है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max}$,ब्लॉक $A$ को अधिकतम त्वरण प्रदान करता है:
$f_{max} = m_A a_{max} = \mu_k m_A g$
जहाँ $m_A$ ब्लॉक $A$ का द्रव्यमान है,$a_{max} = 4.9 \ m/s^2$ फिसलने से पहले का अधिकतम त्वरण है,और $g = 9.8 \ m/s^2$ गुरुत्वीय त्वरण है।
$a_{max} = \mu_k g$
$4.9 = \mu_k \times 9.8$
$\mu_k = \frac{4.9}{9.8} = 0.5$
अतः,गतिज घर्षण गुणांक का मान $0.5$ है।

(C) माना ब्लॉक $A$ $(5 \,kg)$ पर बल $F$ लगाया जाता है।
चूंकि कोई सापेक्ष फिसलन नहीं है,इसलिए दोनों ब्लॉक समान त्वरण $a$ से गति करेंगे।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 5 \,kg + 3 \,kg = 8 \,kg$ है।
निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{M} = \frac{F}{8}$ होगा।
ऊपरी ब्लॉक $B$ $(3 \,kg)$ के लिए,त्वरण उत्पन्न करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल $A$ और $B$ के बीच का स्थैतिक घर्षण $f$ है।
अतः,$f = m_B \cdot a = 3 \cdot \left(\frac{F}{8}\right) = \frac{3F}{8}$.
स्थैतिक घर्षण का अधिकतम मान $f_{max} = \mu \cdot N = \mu \cdot m_B \cdot g = 0.5 \cdot 3 \cdot 10 = 15 \,N$ है ($g = 10 \,m/s^2$ लेने पर)।
सापेक्ष फिसलन न होने के लिए,$f \leq f_{max}$ होना चाहिए,इसलिए $\frac{3F}{8} \leq 15$.
$3F \leq 120 \implies F \leq 40 \,N$.
चूंकि $1 \,kg \,wt. = 10 \,N$,इसलिए $kg \,wt.$ में अधिकतम बल $\frac{40}{10} = 4 \,kg \,wt.$ है।