Circular Motion Turning on Road without Friction Questions in Hindi

(A) जब रेलवे ट्रैक को बैंकिंग दी जाती है (बाहरी पटरी को ऊँचा किया जाता है),तो पटरियों द्वारा पहियों पर लगाया गया अभिलंब प्रतिक्रिया बल ऊर्ध्वाधर के साथ एक कोण पर झुक जाता है।
इस अभिलंब प्रतिक्रिया बल को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है: एक ऊर्ध्वाधर घटक जो ट्रेन के वजन को संतुलित करता है,और एक क्षैतिज घटक जो वक्र के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
यह क्षैतिज अंदर की ओर वाला घटक ट्रेन को वक्राकार पथ पर चलने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(A) किसी वाहन के लिए घर्षण पर निर्भर हुए बिना $R$ त्रिज्या वाली घुमावदार सड़क पर सुरक्षित रूप से गुजरने के लिए,सड़क को $\theta$ कोण पर झुकाया (बैंकिंग) जाता है।
वृत्तीय गति के गतिकी से,सुरक्षित बैंकिंग के लिए शर्त $\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$ है।
झुकी हुई सड़क की ज्यामिति से,जहाँ $h$ बाहरी किनारे की ऊँचाई है और $b$ सड़क की चौड़ाई है,हमारे पास $\tan \theta = \frac{h}{b}$ है (यह मानते हुए कि $\theta$ छोटा है)।
$\tan \theta$ के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{h}{b} = \frac{v^2}{Rg}$
अतः,ऊँचाई $h$ का मान $h = \frac{v^2 b}{Rg}$ है।

(B) दिया गया है: त्रिज्या $r = 50 \ m$,चौड़ाई $l = 10 \ m$,ऊंचाई $h = 1.5 \ m$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$.
घर्षण रहित ढालू सड़क पर सुरक्षित मोड़ के लिए शर्त $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ है।
ढालू सड़क की ज्यामिति से,$\tan \theta = \frac{h}{l}$ (छोटे कोण के सन्निकटन का उपयोग करते हुए)।
दोनों को बराबर करने पर,हमें मिलता है: $\frac{v^2}{rg} = \frac{h}{l}$.
$v$ के लिए हल करने पर: $v = \sqrt{\frac{hrg}{l}}$.
मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{1.5 \times 50 \times 10}{10}} = \sqrt{75} \approx 8.66 \ m/s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $v = 8.6 \ m/s$ है।

(C) सड़क के बैंकिंग का सूत्र $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ है।
चूंकि बैंकिंग का कोण $\theta$ स्थिर है,इसलिए $r \propto v^2$ होगा।
मान लीजिए प्रारंभिक गति $v_1 = v$ है और अंतिम गति $v_2 = v + 0.1v = 1.1v$ है।
प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = 20 \ m$ है।
समानुपातिकता $r_2 / r_1 = (v_2 / v_1)^2$ का उपयोग करने पर:
$r_2 / 20 = (1.1v / v)^2 = (1.1)^2 = 1.21$.
अतः,$r_2 = 1.21 \times 20 = 24.2 \ m$।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1000\, kg$,त्रिज्या $R = 90\, m$,ढाल का कोण $\theta = 45^\circ$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, m\,s^{-2}$।
घर्षणहीन ढालू सड़क पर कार के सुरक्षित मुड़ने के लिए शर्त का सूत्र है: $\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$।
वेग $v$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $v = \sqrt{Rg \tan \theta}$।
मान रखने पर: $v = \sqrt{90 \times 10 \times \tan 45^\circ}$।
चूंकि $\tan 45^\circ = 1$,इसलिए: $v = \sqrt{900 \times 1} = 30\, m\,s^{-1}$।

(A) सड़कों की बैंकिंग इसलिए की जाती है ताकि घुमावदार रास्तों पर वाहनों के सुरक्षित मुड़ने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल (centripetal force) प्रदान किया जा सके।
जब सड़क को $\theta$ कोण पर ढालू बनाया जाता है,तो अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ का एक क्षैतिज घटक $N \sin \theta$ वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर कार्य करता है।
यह घटक आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{r}$ प्रदान करता है,जो वाहन को जड़त्व के कारण फिसलने या बाहर की ओर गिरने से रोकता है।

(C) बैंकिंग वाली सड़क पर कार को घर्षण का अनुभव न हो,इसके लिए शर्त है: $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$.
दिया गया है: $\theta = 30^o$,$r = 10\sqrt{3} \ m$,और $g = 10 \ m/s^2$ लेने पर।
मान रखने पर: $\tan 30^o = \frac{v^2}{(10\sqrt{3})(10)}$.
चूंकि $\tan 30^o = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{v^2}{100\sqrt{3}}$.
$v^2$ के लिए हल करने पर: $v^2 = \frac{100\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 100$.
अतः,$v = 10 \ m/s$.
वेग को $km/hr$ में बदलने के लिए,$\frac{18}{5}$ से गुणा करने पर: $v = 10 \times \frac{18}{5} = 36 \ km/hr$.

(A) जब कोई वाहन बैंक्ड सड़क पर सुरक्षित गति (जहाँ घर्षण की आवश्यकता नहीं होती) से चलता है,तो वाहन पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है और अभिलंब बल $(N)$ जो बैंक्ड सतह के लंबवत कार्य करता है,होते हैं।
अभिलंब बल का ऊर्ध्वाधर घटक भार को संतुलित करता है: $N \cos \theta = mg$.
अभिलंब बल का क्षैतिज घटक आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $N \sin \theta = m a_c$,जहाँ $a_c$ अभिकेंद्री त्वरण है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{N \sin \theta}{N \cos \theta} = \frac{m a_c}{mg}$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $\tan \theta = \frac{a_c}{g}$.
अतः,अभिकेंद्री त्वरण $a_c = g \tan \theta$ है।
बैंकिंग कोण $\theta = 45^o$ दिया गया है,इसलिए $a_c = g \tan(45^o) = g(1) = g$।

(A) माना ट्रेन का द्रव्यमान $m$,वक्र की त्रिज्या $R = 1000 \ m$ और बैंकिंग का कोण $\theta$ है।
ट्रेन के फ्रेम में,झुके हुए तल पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$,अभिकेंद्री बल $\frac{mv^2}{R} \cos \theta$ और रेल द्वारा लगाया गया पार्श्व बल $F$ हैं।
गति $v_1 = 10 \ ms^{-1}$ के लिए,आंतरिक रेल पर पार्श्व बल $F_1$ इस प्रकार है:
$F_1 + \frac{mv_1^2}{R} \cos \theta = mg \sin \theta \implies F_1 = mg \sin \theta - \frac{mv_1^2}{R} \cos \theta$
गति $v_2 = 20 \ ms^{-1}$ के लिए,बाहरी रेल पर पार्श्व बल $F_2$ इस प्रकार है:
$\frac{mv_2^2}{R} \cos \theta = mg \sin \theta + F_2 \implies F_2 = \frac{mv_2^2}{R} \cos \theta - mg \sin \theta$
दिया गया है कि $F_1 = F_2$,इसलिए:
$mg \sin \theta - \frac{mv_1^2}{R} \cos \theta = \frac{mv_2^2}{R} \cos \theta - mg \sin \theta$
$2mg \sin \theta = \frac{m}{R} (v_1^2 + v_2^2) \cos \theta$
$2g \tan \theta = \frac{v_1^2 + v_2^2}{R} = \frac{10^2 + 20^2}{1000} = \frac{100 + 400}{1000} = \frac{500}{1000} = 0.5$
अतः,$\tan \theta = \frac{0.5}{2g} = \frac{1}{4g}$.
इसलिए,$4g \tan \theta = 4g \times \frac{1}{4g} = 1$.

(B) घर्षण रहित ढालू सड़क पर गति करती कार के लिए,सुरक्षित मोड़ लेने की शर्त सूत्र द्वारा दी जाती है: $\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$।
यहाँ,ढाल का कोण $\theta = 45^\circ$,मोड़ की त्रिज्या $R = 90\,m$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tan 45^\circ = \frac{v^2}{90 \times 10}$।
चूँकि $\tan 45^\circ = 1$,इसलिए:
$1 = \frac{v^2}{900}$।
$v^2 = 900$।
$v = \sqrt{900} = 30\,m/s$।
अतः,कार की अधिकतम गति $30\,m/s$ है।

(D) बैंकिंग का कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{h}{w}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h = 1.5\, m$ ऊँचाई का अंतर है और $w = 10\, m$ सड़क की चौड़ाई है।
$\tan \theta = \frac{1.5}{10} = 0.15$.
बैंकिंग वाली सड़क के लिए,इष्टतम वेग $v$ का सूत्र $v = \sqrt{rg \tan \theta}$ है,जहाँ $r = 50\, m$ वक्रता त्रिज्या है और $g = 9.8\, m/s^2$ गुरुत्वीय त्वरण है।
मान रखने पर: $v = \sqrt{50 \times 9.8 \times 0.15}$.
$v = \sqrt{490 \times 0.15} = \sqrt{73.5} \approx 8.57\, m/s$.
निकटतम विकल्प को देखते हुए,सबसे उपयुक्त वेग $8.5\, m/s$ है।

(D) घर्षणहीन ढालू सड़क पर कार के लिए सुरक्षित मोड़ लेने की शर्त सूत्र $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,त्रिज्या $r = 90 \, m$,बैंकिंग कोण $\theta = 45^\circ$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m \, s^{-2}$ लेने पर।
वेग $v$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $v = \sqrt{rg \tan \theta}$.
मान रखने पर: $v = \sqrt{90 \times 10 \times \tan 45^\circ}$.
चूंकि $\tan 45^\circ = 1$ है,इसलिए $v = \sqrt{900 \times 1} = 30 \, m \, s^{-1}$ प्राप्त होता है।

(C) $Assertion$ सही है क्योंकि जब कोई वाहन बैंक्ड सड़क पर इष्टतम गति $v = \sqrt{rg \tan \theta}$ से चलता है,तो अभिलंब प्रतिक्रिया का क्षैतिज घटक $(N \sin \theta)$ आवश्यक अभिकेंद्री बल $(mv^2/r)$ प्रदान करने के लिए पर्याप्त होता है।
इस विशिष्ट स्थिति में,वृत्ताकार पथ को बनाए रखने के लिए घर्षण बल की आवश्यकता नहीं होती है।
$Reason$ गलत है क्योंकि बैंक्ड सड़क पर,वाहन स्वाभाविक रूप से बिना फिसले अंदर की ओर नहीं रहता है; बल्कि,बैंकिंग कोण को विशेष रूप से एक निश्चित गति पर बलों को संतुलित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है ताकि फिसलने से बचा जा सके।

(N/A) ढालू वृत्ताकार सड़क पर वाहन का वेग सामान्य सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \left[ rg \left( \frac{\mu_s + \tan \theta}{1 - \mu_s \tan \theta} \right) \right]^{1/2}$
चिकनी सतह के लिए,स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_s = 0$ है।
सूत्र में $\mu_s = 0$ रखने पर:
$v_{\max} = \left[ rg \left( \frac{0 + \tan \theta}{1 - 0 \cdot \tan \theta} \right) \right]^{1/2}$
$v_{\max} = \left[ rg \tan \theta \right]^{1/2}$
अतः,एक चिकने ढालू पथ पर अधिकतम अनुमेय गति का सूत्र है:
$v_{\max} = \sqrt{rg \tan \theta}$
इस गति पर,अभिलंब बल का क्षैतिज घटक आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है और किसी घर्षण बल की आवश्यकता नहीं होती है।

(N/A) बैंकिंग वाले वृत्ताकार सड़क पर वाहन का वेग सामान्य सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \left[ r g \left( \frac{\mu_{s} + \tan \theta}{1 - \mu_{s} \tan \theta} \right) \right]^{\frac{1}{2}}$
इष्टतम गति के लिए,हम मानते हैं कि सड़क की सतह चिकनी है,जिसका अर्थ है कि स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_{s} = 0$ है।
समीकरण में $\mu_{s} = 0$ रखने पर:
$v_{0} = \left[ r g \left( \frac{0 + \tan \theta}{1 - 0 \cdot \tan \theta} \right) \right]^{\frac{1}{2}}$
$v_{0} = \sqrt{r g \tan \theta}$
इस गति पर,अभिलंब बल का क्षैतिज घटक आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है,और किसी भी घर्षण बल की आवश्यकता नहीं होती है। बैंकिंग वाली सड़क पर इस गति से गाड़ी चलाने से टायरों में टूट-फूट कम होती है। इस विशिष्ट वेग $v_{0}$ को इष्टतम गति कहा जाता है।

(B) $r$ त्रिज्या के समतल वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले वाहन के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल टायरों और सड़क के बीच घर्षण $f_s$ द्वारा प्रदान किया जाता है।
$f_s = \frac{mv^2}{r}$
स्थैतिक घर्षण का अधिकतम मान $f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s mg$ है,जहाँ $\mu_s$ स्थैतिक घर्षण गुणांक है और $m$ वाहन का द्रव्यमान है।
सुरक्षित मोड़ के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से कम या उसके बराबर होना चाहिए:
$\frac{mv^2}{r} \leq \mu_s mg$
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{v^2}{r} \leq \mu_s g$
$v^2 \leq \mu_s rg$
$v \leq \sqrt{\mu_s rg}$
चूंकि असमानता के दोनों पक्षों से द्रव्यमान $m$ कट जाता है,इसलिए अधिकतम सुरक्षित गति $v_{max} = \sqrt{\mu_s rg}$ वाहन के द्रव्यमान से स्वतंत्र है।

(N/A) इष्टतम गति वह गति है जिस पर एक वाहन टायरों और सड़क की सतह के बीच घर्षण पर निर्भर हुए बिना एक बैंक्ड मोड़ (banked curve) को पार कर सकता है। इस गति पर,आवश्यक अभिकेंद्र बल पूरी तरह से अभिलंब बल (normal force) के क्षैतिज घटक द्वारा प्रदान किया जाता है।
बैंकिंग कोण $(\theta)$ और वक्रता त्रिज्या $(r)$ वाली बैंक्ड सड़क पर इष्टतम गति $(v_0)$ का समीकरण इस प्रकार है:
$v_0 = \sqrt{rg \tan \theta}$
जहाँ:
$r$ = मोड़ की त्रिज्या
$g$ = गुरुत्वीय त्वरण
$\theta$ = बैंकिंग का कोण

(N/A) जब कोई वाहन घुमावदार सड़क पर चलता है,तो वह वृत्तीय गति करता है। वृत्तीय गति में,वाहन पर एक अपकेंद्रीय बल (centrifugal force) कार्य करता है,जो उसे बाहर की ओर धकेलने की प्रवृत्ति रखता है। वाहन को फिसलने या पलटने से बचाने के लिए,उसे घुमावदार पथ पर बनाए रखने के लिए अभिकेंद्र बल (centripetal force) की आवश्यकता होती है। सड़क को ढालू बनाकर (बाहरी किनारे को आंतरिक किनारे से ऊँचा उठाकर),अभिलंब बल (normal force) का एक घटक आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है,जिससे घर्षण पर निर्भरता कम हो जाती है।

(A) घर्षण रहित ढलान वाली सड़क पर गति कर रहे वाहन के लिए,वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल अभिलंब बल के क्षैतिज घटक द्वारा प्रदान किया जाता है।
मान लीजिए $N$ अभिलंब बल है और $m$ वाहन का द्रव्यमान है।
अभिलंब बल का ऊर्ध्वाधर घटक भार को संतुलित करता है: $N \cos \theta = mg$.
अभिलंब बल का क्षैतिज घटक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $N \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{N \sin \theta}{N \cos \theta} = \frac{mv^2/r}{mg}$.
यह $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ में सरल हो जाता है।
अतः,अधिकतम सुरक्षित गति $v = \sqrt{rg \tan \theta}$ है।

(C) समतल सड़क पर $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर वाहन को गति करने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल टायर और सड़क की सतह के बीच स्थित घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है।
चूंकि सड़क चिकनी (घर्षणहीन) है, इसलिए घर्षण गुणांक $\mu = 0$ है।
समतल वृत्ताकार सड़क पर अधिकतम सुरक्षित गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\mu rg}$ है।
$\mu = 0$ रखने पर, हमें $v = \sqrt{0 \cdot rg} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः, पूरी तरह से चिकनी समतल सड़क पर किसी भी वाहन के लिए शून्य से अधिक गति पर वृत्ताकार पथ बनाए रखना असंभव है।

(B) बैंकिंग वाली सड़क पर,सड़क द्वारा वाहन पर लगाया गया अभिलंब बल $N$ सड़क की सतह के लंबवत कार्य करता है।
इस अभिलंब बल को दो आयताकार घटकों में विभाजित किया जा सकता है:
$1$. ऊर्ध्वाधर घटक $N \cos \theta$,जो वाहन के भार $(mg)$ को संतुलित करता है।
$2$. क्षैतिज घटक $N \sin \theta$,जो वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
अतः,अभिलंब बल का क्षैतिज घटक वाहन को घर्षण पर निर्भर हुए बिना सुरक्षित रूप से मुड़ने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।

(B) एक चिकनी ढालू सड़क के लिए,बैंकिंग का कोण $\theta$ इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$.
दिया गया है: $v = 10\ m/s$,$R = 150\ m$,और $g = 10\ m/s^2$ लेने पर।
मान रखने पर: $\tan \theta = \frac{10^2}{150 \times 10} = \frac{100}{1500} = \frac{1}{15}$.
ढालू सड़क की ज्यामिति से,यदि $H$ बाहरी किनारे की ऊँचाई है और $w$ सड़क की चौड़ाई है,तो $\tan \theta = \frac{H}{w}$ होता है।
यहाँ $w = 7.5\ m$ दिया गया है,इसलिए $\frac{H}{7.5} = \frac{1}{15}$ प्राप्त होता है।
$H$ के लिए हल करने पर: $H = \frac{7.5}{15} = 0.5\ m$।

(A) बैंकिंग वाले ट्रैक के लिए,बैंकिंग कोण $\theta$ का मान $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ द्वारा दिया जाता है।
ट्रैक की ज्यामिति से,जहाँ $h$ ऊँचाई है और $d$ पटरियों के बीच की दूरी है,हमारे पास $\tan \theta = \frac{h}{d}$ है।
$\tan \theta$ के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{v^2}{rg} = \frac{h}{d}$
वक्रता त्रिज्या $r$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$r = \frac{v^2 d}{gh}$

(D) बैंकिंग वाली सड़क के लिए, इष्टतम वेग $v$ का सूत्र $\tan \alpha = \frac{v^2}{Rg}$ है।
यहाँ, $\alpha$ बैंकिंग कोण है, $R$ वक्रता त्रिज्या है, और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
सड़क की ज्यामिति से, $\tan \alpha = \frac{h}{w}$, जहाँ $h$ बाहरी और आंतरिक किनारों के बीच की ऊँचाई का अंतर है और $w$ सड़क की चौड़ाई है।
$\tan \alpha$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{v^2}{Rg} = \frac{h}{w}$.
$v$ के लिए हल करने पर: $v = \sqrt{\frac{Rgh}{w}}$.
दिया गया है: $R = 50 \text{ m}$, $h = 1.5 \text{ m}$, $w = 10 \text{ m}$, और $g = 9.8 \text{ m/s}^2$.
मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{50 \times 9.8 \times 1.5}{10}} = \sqrt{5 \times 9.8 \times 1.5} = \sqrt{73.5} \approx 8.57 \text{ m/s}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, सबसे उपयुक्त वेग $8.5 \text{ m/s}$ है।

(A) बैंक्ड ट्रैक के लिए,बैंकिंग का कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ द्वारा दिया जाता है।
ट्रैक की ज्यामिति से,$\sin \theta = \frac{h}{\ell}$ होता है।
चूंकि बैंकिंग का कोण $\theta$ छोटा है,हम $\tan \theta \approx \sin \theta$ मान सकते हैं।
इसलिए,$\frac{v^2}{rg} = \frac{h}{\ell}$।
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v^2 = rg \left(\frac{h}{\ell}\right)$ प्राप्त होता है।
अतः,सुरक्षित गति सीमा $v = \sqrt{rg \left(\frac{h}{\ell}\right)}$ है।

(A) शंकु लोलक में,लोलक का गोलक एक क्षैतिज वृत्त में गति करता है। गोलक पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. डोरी में तनाव $T$,जो डोरी की दिशा में निलंबन बिंदु की ओर कार्य करता है।
$2$. गोलक का भार $mg$,जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
तनाव $T$ को दो आयताकार घटकों में वियोजित करने पर:
- ऊर्ध्वाधर घटक $T \cos \theta$ गोलक के भार को संतुलित करता है $(T \cos \theta = mg)$।
- क्षैतिज घटक $T \sin \theta$ वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है $(T \sin \theta = \frac{mv^2}{r})$।
घूर्णन संदर्भ फ्रेम (अजड़त्वीय फ्रेम) में,अपकेंद्री बल बाहर की ओर कार्य करता है,जो तनाव के क्षैतिज घटक द्वारा संतुलित होता है। इसलिए,अपकेंद्री बल को संतुलित करने वाला तनाव का घटक $T \sin \theta$ है।

(B) वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = 50 \ m$ है।
लॉरी का वेग $V = 20 \ ms^{-1}$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ ms^{-2}$ है।
सड़क के बैंकिंग कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \frac{V^2}{Rg}$ होता है।
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tan \theta = \frac{(20)^2}{50 \times 10} = \frac{400}{500} = \frac{4}{5}$.
अतः,बैंकिंग कोण $\theta = \tan^{-1} \left( \frac{4}{5} \right)$ है।

(D) दिया गया है:
ट्रक का द्रव्यमान, $M = 2000 \,kg$
वक्रता त्रिज्या, $R = 10 \,m$
बैंकिंग कोण, $\theta = 39^{\circ}$
गुरुत्वीय त्वरण, $g = 10 \,ms^{-2}$
$\tan 39^{\circ}$ का मान $= 0.81$
बैंकिंग सड़क पर (घर्षण के बिना) अधिकतम अनुमेय गति $v$ का सूत्र है:
$v = \sqrt{Rg \tan \theta}$
सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{10 \times 10 \times 0.81}$
$v = \sqrt{100 \times 0.81}$
$v = \sqrt{81}$
$v = 9 \,ms^{-1}$
अतः, ट्रक की अधिकतम अनुमेय गति $9 \,ms^{-1}$ है।

(C) दिया गया है, वक्रता त्रिज्या, $r = 250 \,m$।
ट्रेन का अधिकतम वेग, $v = 90 \,km/h$।
वेग को $m/s$ में बदलने पर: $v = 90 \times \frac{5}{18} = 25 \,m/s$।
माना $\theta$ बैंकिंग कोण है।
बैंकिंग कोण का सूत्र $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \frac{(25)^2}{250 \times 10} = \frac{625}{2500} = \frac{1}{4}$।
अतः, $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$।

(B) दिया गया है,$v_1 = 14 \ m/s$ और $v_2 = 28 \ m/s$.
बैंकिंग वाले सड़क के लिए,बैंकिंग कोण $\theta$,वेग $v$ और त्रिज्या $r$ के साथ इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$.
त्रिज्या के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$r = \frac{v^2}{g \tan \theta}$.
चूंकि रैंप समान है,इसलिए बैंकिंग कोण $\theta$ स्थिर रहता है।
अतः,$r \propto v^2$.
इसलिए,$\frac{r_2}{r_1} = \left( \frac{v_2}{v_1} \right)^2 = \left( \frac{28}{14} \right)^2 = (2)^2 = 4$.
इसका अर्थ है $r_2 = 4r_1$.
अतः,त्रिज्या को $4$ के गुणक से बढ़ाया जाना चाहिए।