Circular motion with Friction Questions in Hindi

(C) एक चिकने शंकु की आंतरिक सतह पर क्षैतिज वृत्त में गति करने वाले कण पर कार्य करने वाले बल उसका भार $mg$ (नीचे की ओर) और अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ (सतह के लंबवत) हैं।
अभिलंब प्रतिक्रिया का ऊर्ध्वाधर घटक भार को संतुलित करता है: $N \cos \theta = mg$.
अभिलंब प्रतिक्रिया का क्षैतिज घटक आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $N \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$,जहाँ $r$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$.
शंकु की ज्यामिति से,$h$ ऊँचाई पर त्रिज्या $r = h \tan \theta$ होती है।
समीकरण में $r$ का मान रखने पर: $\tan \theta = \frac{v^2}{(h \tan \theta) g}$.
इसे सरल करने पर $v^2 = gh \tan^2 \theta$,या $v = \sqrt{gh} \tan \theta$ प्राप्त होता है।
यहाँ $h = 10 \ cm = 0.1 \ m$,$g = 10 \ m/s^2$,और $\theta = 45^\circ$ (अतः $\tan 45^\circ = 1$) लेने पर:
$v = \sqrt{10 \times 0.1} \times 1 = \sqrt{1} = 1 \ m/s$.

(B) सही विकल्प $B$ है।
अवधारणा: समतल सड़क पर सुरक्षित ड्राइविंग के लिए, मुड़ने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल टायरों और सड़क के बीच स्थित घर्षण द्वारा प्रदान किया जाना चाहिए। यदि अभिकेंद्र बल अधिकतम सीमांत घर्षण से अधिक हो जाता है, तो वाहन फिसल जाएगा।
गणितीय रूप से, सुरक्षित मोड़ के लिए शर्त $\frac{mv^2}{r} \leq \mu mg$ है।
दिया गया है: वेग $v = 108 \,km/hr = 108 \times \frac{5}{18} \,m/s = 30 \,m/s$, घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$, और $g = 10 \,m/s^2$।
न्यूनतम त्रिज्या $r_{\min}$ ज्ञात करने के लिए, हम समानता की शर्त का उपयोग करते हैं: $r_{\min} = \frac{v^2}{\mu g}$।
मान रखने पर: $r_{\min} = \frac{30^2}{0.5 \times 10} = \frac{900}{5} = 180 \,m$।

(A) बैंक्ड सड़क पर कार के लिए,अधिकतम सुरक्षित गति $v$ का संबंध $v = \sqrt{Rg \frac{\mu + \tan \theta}{1 - \mu \tan \theta}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बैंकिंग का कोण $\theta$ और घर्षण गुणांक $\mu$ अपरिवर्तित रहते हैं,इसलिए $v^2 \propto R$ या $v^2 = C R$ होगा,जहाँ $C$ एक स्थिरांक है।
मान लीजिए प्रारंभिक गति $v$ है और प्रारंभिक त्रिज्या $R = 20 \ m$ है।
नई गति $v' = v + 0.10v = 1.1v$ है।
संबंध $v^2 = CR$ का उपयोग करने पर,$v'^2 = CR'$ प्राप्त होता है,जहाँ $R'$ नई त्रिज्या है।
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{v'^2}{v^2} = \frac{R'}{R}$.
मान रखने पर: $(1.1)^2 = \frac{R'}{R} \Rightarrow 1.21 = \frac{R'}{R}$.
अतः,$R' = 1.21 R = 1.21 \times 20 \ m = 24.2 \ m$.
वक्रता त्रिज्या में हुई वृद्धि $\Delta R = R' - R = 24.2 \ m - 20 \ m = 4.2 \ m$ है।

(D) बैंकिंग का कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{h}{x}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ बाहरी रेल की ऊँचाई है और $x$ रेलवे लाइन का गेज है।
दिया गया है,गेज $x = 1 \text{ m}$ और $\tan \theta = \frac{1}{20}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{20} = \frac{h}{1 \text{ m}}$
$h = \frac{1}{20} \text{ m} = 0.05 \text{ m}$।
इसे सेंटीमीटर में बदलने पर:
$h = 0.05 \times 100 \text{ cm} = 5 \text{ cm}$।
अतः,आंतरिक रेल के ऊपर बाहरी रेल की ऊँचाई $5 \text{ cm}$ है।

(D) समतल वृत्ताकार सड़क पर चल रही कार के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल टायरों और सड़क के बीच स्थित घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है।
मान लीजिए $m$ कार का द्रव्यमान है,$v$ गति है,$r$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है और $\mu$ घर्षण गुणांक है।
आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{r}$ है।
उपलब्ध अधिकतम घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu mg$ है।
फिसलने से बचने के लिए,हमारे पास $F_c \leq f_{max}$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\frac{mv^2}{r} \leq \mu mg$।
अतः,आवश्यक न्यूनतम घर्षण गुणांक $\mu = \frac{v^2}{rg}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $v = 12.5 \ m/s$,$r = 20 \ m$,और $g = 9.8 \ m/s^2$:
$\mu = \frac{12.5 \times 12.5}{20 \times 9.8} = \frac{156.25}{196} \approx 0.797$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान लेने पर,$\mu = 0.8$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई $L$ है और विस्तार $x$ है।
वृत्ताकार पथ की कुल त्रिज्या $R = L + x$ है।
स्प्रिंग द्वारा प्रदान किया गया प्रत्यानयन बल वृत्ताकार गति के लिए अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है।
$F_{\text{restoring}} = F_{\text{centripetal}}$
$kx = m(L + x)\omega^2$
दिया गया है: $m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg}$,$k = 12.5 \text{ N/m}$,$\omega = 5 \text{ rad/s}$.
मान रखने पर:
$12.5x = 0.2(L + x)(5)^2$
$12.5x = 0.2(L + x)(25)$
$12.5x = 5(L + x)$
$12.5x = 5L + 5x$
$7.5x = 5L$
$\frac{x}{L} = \frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3}$
अतः,विस्तार और प्राकृतिक लंबाई का अनुपात $2:3$ है।

(C) $m$ द्रव्यमान $r = \ell \sin \theta$ त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त में गति करता है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2\pi \times \frac{1}{\pi} = 2 \text{ rad/s}$ है।
द्रव्यमान पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ (डोरी के अनुदिश) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं।
तनाव के घटकों को वियोजित करने पर: $T \cos \theta = mg$ और $T \sin \theta = m\omega^2 r$।
$r = \ell \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$T \sin \theta = m\omega^2 \ell \sin \theta$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $T = m\omega^2 \ell$ हो जाता है।
$\omega = 2 \text{ rad/s}$ रखने पर,$T = m(2)^2 \ell = 4m\ell$ प्राप्त होता है।

(B) समतल वृत्ताकार पथ पर फिसलने से बचने के लिए अधिकतम गति $v_{max}$ को $v_{max} = \sqrt{\mu_s rg}$ की स्थिति द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $v_{max}^2 = \mu_s rg$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $\mu_s = 0.1$,$r = 5 \text{ m}$ और $g = 10 \text{ ms}^{-2}$ हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $v_{max}^2 = 0.1 \times 5 \times 10 = 5 \text{ m}^2\text{s}^{-2}$।
वाहन के न फिसलने के लिए शर्त $v^2 \leq v_{max}^2$ है,जिसका अर्थ है $v^2 \leq 5 \text{ m}^2\text{s}^{-2}$।
यदि वास्तविक गति का वर्ग $v^2$ इस मान से अधिक हो जाता है,तो वाहन फिसल जाएगा।
इसलिए,व्यक्ति फिसल जाएगा यदि $v^2 > 5 \text{ m}^2\text{s}^{-2}$ हो।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1000 \,kg$, बैंकिंग कोण $\theta = 30^{\circ}$, घर्षण गुणांक $\mu = 0.2$, $g = 10 \,ms^{-2}$।
चित्र के अनुसार ऊर्ध्वाधर दिशा में बलों का संतुलन लेने पर:
$N \cos \theta = mg + f \sin \theta$
जहाँ $f = \mu N$ है।
अतः, $N \cos \theta = mg + \mu N \sin \theta$
$N(\cos \theta - \mu \sin \theta) = mg$
$N = \frac{mg}{\cos \theta - \mu \sin \theta}$
मान रखने पर:
$N = \frac{1000 \times 10}{\cos 30^{\circ} - 0.2 \times \sin 30^{\circ}}$
$N = \frac{10000}{0.866 - 0.2 \times 0.5} = \frac{10000}{0.866 - 0.1} = \frac{10000}{0.766} \approx 13055 \,N$.

(B) दिया गया है: घर्षण गुणांक,$\mu = 0.5$,वक्रता त्रिज्या,$r = 16.2 \,m$,गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,ms^{-2}$।
समतल वृत्ताकार पथ पर गति करती कार के लिए,अभिकेंद्र बल टायरों और सड़क के बीच के स्थैतिक घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है।
$f = \frac{mv^2}{r} \leq \mu N = \mu mg$
अतः,अधिकतम वेग $v_{max}$ इस प्रकार है:
$v_{max} = \sqrt{\mu rg}$
$v_{max} = \sqrt{0.5 \times 16.2 \times 10}$
$v_{max} = \sqrt{81} = 9 \,ms^{-1}$
इसे $kmh^{-1}$ में बदलने के लिए,$3.6$ से गुणा करें:
$v_{max} = 9 \times 3.6 = 32.4 \,kmh^{-1}$
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $32.4 \,kmh^{-1}$ है।

(B) घुमावदार समतल सड़क पर कार के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
सुरक्षित मोड़ के लिए,अभिकेंद्र बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से कम या उसके बराबर होना चाहिए:
$\frac{mV^2}{r} \leq \mu mg$
दी गई गति $V$ के लिए अधिकतम त्रिज्या $r$ ज्ञात करने के लिए,हम सीमांत स्थिति का उपयोग करते हैं:
$\frac{mV^2}{r} = \mu mg$
$r = \frac{V^2}{\mu g}$
दिए गए मान $V = 10 \,ms^{-1}$,$\mu = 0.4$,और $g = 10 \,ms^{-2}$ हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$r = \frac{10^2}{0.4 \times 10}$
$r = \frac{100}{4}$
$r = 25 \,m$
अतः,वक्रता की अधिकतम त्रिज्या $25 \,m$ है।

(B) मोटरसाइकिल सवार पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ और ऊपर की ओर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = \mu N$ हैं।
मोटरसाइकिल सवार के क्षैतिज वृत्त में बने रहने के लिए,दीवार द्वारा प्रदान किया गया अभिलंब बल $N$ अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है,इसलिए $N = \frac{mv^2}{r}$।
मोटरसाइकिल सवार को नीचे फिसलने से रोकने के लिए,घर्षण बल को गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए: $f = mg$।
$f = \mu N$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu N = mg$।
$\mu \left(\frac{mv^2}{r}\right) = mg$।
$\mu = \frac{gr}{v^2}$।
यहाँ $g = 10 \ m \ s^{-2}$,$r = 8.0 \ m$,और $v = 5 \sqrt{5} \ m \ s^{-1}$ दिया गया है।
$\mu = \frac{10 \times 8}{(5 \sqrt{5})^2} = \frac{80}{25 \times 5} = \frac{80}{125}$।
$\mu = 0.64$।

(B) घर्षण के साथ बैंकिंग वाली सड़क पर कार की अधिकतम गति $v_{max}$ का सूत्र है: $v_{max} = \sqrt{rg \left( \frac{\tan \theta + \mu}{1 - \mu \tan \theta} \right)}$।
यहाँ $r = 8 \ m$,$\theta = 45^{\circ}$,इसलिए $\tan \theta = 1$ है।
सूत्र सरल होकर $v_{max} = \sqrt{rg \left( \frac{1 + \mu}{1 - \mu} \right)}$ हो जाता है।
पहली कार के लिए $\mu_1 = 0.5$: $v_1 = \sqrt{8g \left( \frac{1 + 0.5}{1 - 0.5} \right)} = \sqrt{8g \left( \frac{1.5}{0.5} \right)} = \sqrt{8g \times 3} = \sqrt{24g}$।
दूसरी कार के लिए $\mu_2 = 0.4$: $v_2 = \sqrt{8g \left( \frac{1 + 0.4}{1 - 0.4} \right)} = \sqrt{8g \left( \frac{1.4}{0.6} \right)} = \sqrt{8g \times \frac{7}{3}} = \sqrt{\frac{56g}{3}}$।
अनुपात $v_1 : v_2 = \sqrt{24g} : \sqrt{\frac{56g}{3}} = \sqrt{24} : \sqrt{\frac{56}{3}} = \sqrt{72} : \sqrt{56} = \sqrt{9 \times 8} : \sqrt{7 \times 8} = 3\sqrt{8} : \sqrt{7\times 8} = 3 : \sqrt{7} = \sqrt{9} : \sqrt{7}$।

(C) ब्लॉक $P$ के नीचे न फिसलने के लिए,घर्षण बल $f$ को भार $mg$ को संतुलित करना चाहिए,इसलिए $f = mg$.
चूंकि $f \leq \mu N$,हमारे पास $mg \leq \mu N$ है,जहाँ $N$ दीवार द्वारा प्रदान किया गया अभिलंब बल है।
अभिलंब बल $N$ अभिकेंद्र बल है,$N = m \omega^2 R$.
अतः,न फिसलने की सीमांत स्थिति के लिए,$mg = \mu m \omega^2 R$,जिसका अर्थ है कि $\omega^2 R = \text{स्थिरांक}$ (यह मानते हुए कि $\mu$ और $m$ सभी स्थितियों के लिए समान हैं)।
इसलिए,$\omega^2 R = C$ (एक स्थिरांक),जिसका अर्थ है कि $\omega \propto \frac{1}{\sqrt{R}}$.
दी गई त्रिज्याओं $R_A < R_B < R_C$ के लिए,यह निष्कर्ष निकलता है कि $\frac{1}{\sqrt{R_A}} > \frac{1}{\sqrt{R_B}} > \frac{1}{\sqrt{R_C}}$.
परिणामस्वरूप,कोणीय वेगों को $\omega_A > \omega_B > \omega_C$ संबंध को संतुष्ट करना होगा।

(D) कार दो त्वरण का अनुभव करती है: स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = 3 \ m \ s^{-2}$ और अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{R}$।
कुल त्वरण $a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2} = \sqrt{3^2 + (\frac{v^2}{16})^2}$ है।
घर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र और स्पर्शरेखीय बल प्रदान करता है,इसलिए अधिकतम घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu mg$ कुल बल $F = ma$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
अतः,$\mu mg \geq m \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\mu g)^2 \geq a_t^2 + (\frac{v^2}{R})^2$।
मान रखने पर: $(0.5 \times 10)^2 \geq 3^2 + (\frac{v^2}{16})^2$।
$25 \geq 9 + \frac{v^4}{256}$।
$16 \geq \frac{v^4}{256}$।
$v^4 \leq 16 \times 256 = 4096$।
$v \leq (4096)^{1/4} = 8 \ m \ s^{-1}$।

(D) घर्षण के साथ झुकी हुई सड़क पर अधिकतम गति $V_{\max} = \sqrt{\frac{rg(\mu + \tan \theta)}{1 - \mu \tan \theta}}$ द्वारा दी जाती है।
इष्टतम गति $V_o$ (जहाँ किसी घर्षण की आवश्यकता नहीं होती) $V_o = \sqrt{rg \tan \theta}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\theta = 45^{\circ}$ और $V_{\max} = 2V_o$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\frac{rg(\mu + \tan \theta)}{1 - \mu \tan \theta}} = 2 \sqrt{rg \tan \theta}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{\mu + \tan \theta}{1 - \mu \tan \theta} = 4 \tan \theta$.
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $\frac{\mu + 1}{1 - \mu} = 4(1)$.
$\mu + 1 = 4 - 4\mu$.
$5\mu = 3$.
$\mu = \frac{3}{5} = 0.6$.

(C) बच्चे के न फिसलने के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाना चाहिए।
फिसलने की स्थिति में,अभिकेंद्र बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल के बराबर होता है:
$m \omega^2 r = f_{s, \text{max}}$
चूंकि $f_{s, \text{max}} = \mu N$ और अभिलंब बल $N = mg$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$m \omega^2 r = \mu mg$
$
\omega^2 = \frac{\mu g}{r}
$
दिए गए मान: $\mu = 0.8$,$g = 10 \ m/s^2$,और $r = 2 \ m$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$
\omega^2 = \frac{0.8 \times 10}{2} = \frac{8}{2} = 4
$
$
\omega = \sqrt{4} = 2 \ rad/s
$
अतः,अधिकतम कोणीय वेग $2 \ rad/s$ है।

(C) घर्षण वाले झुके हुए पथ पर अधिकतम गति $v_{max}$ का सूत्र है: $v_{max} = \sqrt{rg \left( \frac{\tan \theta + \mu}{1 - \mu \tan \theta} \right)}$।
दिया गया है: त्रिज्या $r = 75 \ m$,कोण $\tan \theta = 0.2$,घर्षण गुणांक $\mu = 0.1$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$ है।
मान रखने पर:
$v_{max} = \sqrt{75 \times 10 \times \left( \frac{0.2 + 0.1}{1 - (0.1 \times 0.2)} \right)}$
$v_{max} = \sqrt{750 \times \left( \frac{0.3}{1 - 0.02} \right)}$
$v_{max} = \sqrt{750 \times \left( \frac{0.3}{0.98} \right)}$
$v_{max} = \sqrt{750 \times 0.3061} \approx \sqrt{229.57} \approx 15.15 \ m/s$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,अधिकतम अनुमेय गति $15 \ m/s$ है।

(D) जब एक साइकिल सवार वृत्ताकार मोड़ लेता है, तो वह ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर झुकता है। साइकिल सवार पर कार्य करने वाले बल हैं: नीचे की ओर कार्य करने वाला भार $mg$ और जमीन से मिलने वाली अभिलंब प्रतिक्रिया $N$।
अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ को दो घटकों में वियोजित करने पर:
$N \cos \theta = mg$ (भार को संतुलित करने वाला ऊर्ध्वाधर घटक) ... $(i)$
$N \sin \theta = \frac{mv^2}{R}$ (आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करने वाला क्षैतिज घटक) ... (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$
यहाँ $\theta$ ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण है। यदि प्रश्न में दिया गया $30^{\circ}$ का कोण क्षैतिज के साथ है, तो ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $60^{\circ}$ होगा।
$v^2 = Rg \tan 60^{\circ} = (20 \sqrt{3}) \times 10 \times \sqrt{3} = 600$.
$v = \sqrt{600} = 10 \sqrt{6} \,m/s$.

(C) मान लीजिए कि पिंड बिंदु $P$ पर अर्धगोले की सतह को छोड़ देता है।
बिंदु $P$ पर,मान लीजिए कि पिंड का त्रिज्या सदिश ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
बिंदु $P$ पर पिंड पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (नीचे की ओर) और अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ (बाहर की ओर) हैं।
केंद्र की ओर गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \cos \theta$ है।
अभिकेंद्र बल,गुरुत्वाकर्षण के त्रिज्यीय घटक और अभिलंब प्रतिक्रिया के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है:
$mg \cos \theta - R = \frac{mv^2}{r}$
जब पिंड सतह को छोड़ता है,तो अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ शून्य हो जाती है।
इसलिए,$mg \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$
दिए गए मान $v = 5 \text{ m/s}$,$r = 5 \text{ m}$,और $g = 10 \text{ m/s}^2$ रखने पर:
$\cos \theta = \frac{v^2}{rg} = \frac{5^2}{5 \times 10} = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = 60^{\circ}$ है।

(D) $M$ द्रव्यमान के पिंड को घूमते हुए ड्रम की आंतरिक दीवार पर चिपके रहने के लिए,दीवार द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $N$ आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$N = M \omega^2 R$
घर्षण बल $f$ नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $Mg$ को संतुलित करने के लिए ऊपर की ओर कार्य करता है:
$f = Mg$
चूंकि पिंड फिसलने की स्थिति में है,इसलिए घर्षण बल अपने अधिकतम मान पर है,जो $f = \mu N$ द्वारा दिया जाता है:
$Mg = \mu N$
$N$ के व्यंजक को घर्षण के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$Mg = \mu (M \omega^2 R)$
दोनों पक्षों को $M$ से विभाजित करने और $\omega$ के लिए हल करने पर:
$g = \mu \omega^2 R$
$\omega^2 = \frac{g}{\mu R}$
$\omega = \sqrt{\frac{g}{\mu R}}$

(A) पिंड को दीवार पर चिपके रहने के लिए,स्थैतिक घर्षण बल $(f)$ को गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ को संतुलित करना चाहिए: $f = mg$.
चूंकि $f = \mu N$,जहाँ $N$ अभिलंब बल है,हमारे पास $\mu N = mg$ है।
अभिलंब बल अभिकेंद्र बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $N = m\omega^2R$.
घर्षण समीकरण में $N$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $\mu (m\omega^2R) = mg$.
$\mu$ के लिए हल करने पर: $\mu = \frac{g}{\omega^2R}$.
दिया गया है $g = 10 \ m/s^2$,$\omega = 5 \ rad/s$,और $R = 4 \ m$:
$\mu = \frac{10}{5^2 \times 4} = \frac{10}{25 \times 4} = \frac{10}{100} = 0.1$.