Apparent weight and Pseudo Force Questions in Hindi

(C) लिफ्ट $a = 1.2 \, m/s^2$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर बढ़ रही है। जब बोल्ट छत से अलग होता है,तो वह ऊपर की ओर त्वरित संदर्भ फ्रेम में होता है।
लिफ्ट के सापेक्ष बोल्ट का प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a$ है,जहाँ $g = 9.8 \, m/s^2$ गुरुत्वीय त्वरण है।
ऊंचाई $h = 2.7 \, m$ दी गई है,बोल्ट को फर्श तक पहुँचने में लगा समय $t$ गति के समीकरण $h = \frac{1}{2} g_{eff} t^2$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
मान रखने पर:
$2.7 = \frac{1}{2} (9.8 + 1.2) t^2$
$2.7 = \frac{1}{2} (11) t^2$
$2.7 = 5.5 t^2$
$t^2 = \frac{2.7}{5.5} \approx 0.49$
$t = \sqrt{0.49} = 0.7 \, s$.

(C) जब दूध को मथा जाता है,तो वह वृत्ताकार गति करता है।
घूर्णन के कारण,घूर्णन संदर्भ फ्रेम में कणों पर एक छद्म बल कार्य करता है जिसे अपकेंद्र बल (centrifugal force) कहा जाता है।
यह बल घूर्णन के केंद्र से त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर कार्य करता है।
चूंकि क्रीम के कण दूध के अन्य घटकों की तुलना में हल्के होते हैं,इसलिए मथने की प्रक्रिया के दौरान वे बर्तन के केंद्र की ओर धकेल दिए जाते हैं,जिससे उन्हें अलग किया जा सकता है।
अतः,दूध से क्रीम का अलग होना अपकेंद्र बल के कारण होता है।

(A) जब हम द्रव्यमान $m$ के सापेक्ष स्थिर रहकर तंत्र का अवलोकन करते हैं,तो हम एक अजड़त्वीय निर्देश तंत्र में होते हैं।
इस तंत्र में,द्रव्यमान स्थिर दिखाई देता है,इसलिए उस पर लगने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
द्रव्यमान पर लगने वाले बल हैं:
$1$. धागे में तनाव $T$,जो धागे के अनुदिश आधार $O$ की ओर कार्य करता है।
$2$. भार $W = mg$,जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$3$. अपकेन्द्री बल $F = m\omega^2r$,जो वृत्ताकार पथ के केंद्र से त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर कार्य करता है।
चूंकि द्रव्यमान इस घूर्णन तंत्र में संतुलन में है,इसलिए ये तीनों बल एक-दूसरे को संतुलित करते हैं।
दिए गए विकल्पों को देखने पर,इन तीनों बलों का सही निरूपण चित्र $18-b87$ (विकल्प $A$) में दिखाया गया है। अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) जब कार एक वृत्ताकार पथ पर चलती है,तो प्लंब बॉब कार के फ्रेम में एक छद्म बल (अपकेंद्री बल) का अनुभव करता है,जो त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित होता है,जिसे $F_c = \frac{mv^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
बॉब पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ है,जो ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर निर्देशित होता है।
मान लीजिए कि $\theta$ वह कोण है जो छड़ ऊर्ध्वाधर के साथ बनाती है। संतुलन की स्थिति में,कार के फ्रेम में बॉब पर शुद्ध बल शून्य होता है।
क्षैतिज बल और ऊर्ध्वाधर बल का अनुपात लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan \theta = \frac{F_c}{mg} = \frac{mv^2/r}{mg} = \frac{v^2}{rg}$.
यहाँ $v = 10 \, m/s$,$r = 10 \, m$,और $g = 10 \, m/s^2$ लेने पर:
$\tan \theta = \frac{10^2}{10 \times 10} = \frac{100}{100} = 1$.
इसलिए,$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^\circ$.

(D) स्प्रिंग बैलेंस की रीडिंग वस्तु के अभिलंब बल या आभासी भार को दर्शाती है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे उतरती है,तो आभासी भार $W'$ का सूत्र $W' = m(g - a)$ होता है।
इस प्रश्न में,द्रव्यमान $m = 2 \, kg$ और लिफ्ट का त्वरण $a = g$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W' = m(g - g) = m(0) = 0$.
अतः,स्प्रिंग बैलेंस पर रीडिंग $0 \, kg$ होगी।

(A) प्रश्न यह है कि जब लिफ्ट $2 \, m/s$ के स्थिर वेग से ऊपर जाती है तो स्प्रिंग बैलेंस पर रीडिंग क्या होगी।
जब लिफ्ट स्थिर वेग से चलती है,तो उसका त्वरण $a = 0$ होता है।
आभासी भार $R$ को सूत्र $R = m(g + a)$ द्वारा दिया जाता है।
$a = 0$ और $m = 2 \, kg$ रखने पर,हमें $R = 2(g + 0) = 2g \, N$ प्राप्त होता है।
चूंकि स्प्रिंग बैलेंस को द्रव्यमान को $kg$ में पढ़ने के लिए कैलिब्रेट किया गया है,इसलिए रीडिंग $R/g = 2 \, kg$ होगी।
नोट: लिफ्ट का $g$ त्वरण के साथ नीचे उतरने की स्थिति एक अलग परिदृश्य है जहाँ रीडिंग $m(g - g) = 0 \, kg$ होगी,लेकिन प्रश्न विशेष रूप से स्थिर वेग से ऊपर जाते समय रीडिंग के बारे में पूछता है।

(D) लिफ्ट में स्प्रिंग बैलेंस की रीडिंग आभासी भार $R = m(g + a)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $a$ लिफ्ट का त्वरण है।
दिया गया है: $m = 2\, kg$ और $a = g$ (ऊपर की ओर त्वरण)।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$R = 2(g + g) = 2(2g) = 4g\, N$।
चूंकि स्प्रिंग बैलेंस को द्रव्यमान को $kg$ में पढ़ने के लिए अंशांकित किया गया है,इसलिए रीडिंग $4\, kg$ होगी।

(A) जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो फर्श के सापेक्ष सिक्के का त्वरण $g$ होता है। $h$ दूरी तय करने में लगा समय $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
जब लिफ्ट एकसमान त्वरण $a$ के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो लिफ्ट के फर्श के सापेक्ष सिक्के का प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a$ होता है।
समान दूरी $h$ तय करने में लगा समय $t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g + a}}$ है।
चूंकि $g + a > g$ है,इसलिए $\frac{2h}{g + a} < \frac{2h}{g}$ होगा,जिसका अर्थ है कि $t_2 < t_1$ या $t_1 > t_2$।

(B) लिफ्ट में किसी व्यक्ति का आभासी भार $W'$ सूत्र $W' = m(g \pm a)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ व्यक्ति का द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $a$ लिफ्ट का त्वरण है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर बढ़ती है,तो आभासी भार $W' = m(g - a)$ होता है।
चूँकि $(g - a) < g$,इसलिए आभासी भार $W'$ वास्तविक भार $W = mg$ से कम होता है।
अतः,जब लिफ्ट निरंतर त्वरण के साथ नीचे की ओर बढ़ती है तो व्यक्ति को अपना वजन कम महसूस होता है।

(D) जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो वजन मशीन द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $N$ वास्तविक वजन $W = mg = 40 \times 10 = 400 \, N$ के बराबर होता है।
जब लिफ्ट $a = 2 \, m/s^2$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर त्वरित होती है,तो आभासी वजन $W'$ समीकरण $W' = m(g + a)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $W' = 40 \times (10 + 2) = 40 \times 12 = 480 \, N$।
चूंकि वजन मशीन को $kg$ में वजन दिखाने के लिए कैलिब्रेट किया गया है (जहाँ इस प्रश्न में $1 \, kg$ का अर्थ $10 \, N$ है),इसलिए मशीन पर रीडिंग $480 / 10 = 48 \, kg$ होगी।

(D) पिंड का आभासी भार $W' = 4.8 \, kgf = 4.8 \, g \, N$ है।
पिंड का वास्तविक द्रव्यमान $m = 4 \, kg$ है,इसलिए इसका वास्तविक भार $W = 4 \, g \, N$ है।
चूंकि आभासी भार वास्तविक भार से अधिक है $(4.8 \, g > 4 \, g)$,इसलिए लिफ्ट ऊपर की ओर त्वरित हो रही है।
त्वरित लिफ्ट में आभासी भार का सूत्र $R = m(g + a)$ है।
मान रखने पर: $4.8 \, g = 4(g + a)$.
दोनों पक्षों को $4$ से विभाजित करने पर: $1.2 \, g = g + a$.
अतः,$a = 1.2 \, g - g = 0.2 \, g$.
$g = 9.8 \, m/s^2$ का उपयोग करने पर,$a = 0.2 \times 9.8 = 1.96 \, m/s^2$ ऊपर की दिशा में प्राप्त होता है।

(D) लिफ्ट में किसी व्यक्ति का आभासी भार $N = m(g + a)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ ऊपर की ओर का त्वरण है।
स्थिति $A$ (स्थिर) के लिए: $a = 0$,इसलिए $N = mg = 40 \times 9.8 = 392 \, N$.
स्थिति $B$ (नियत वेग) के लिए: $a = 0$,इसलिए $N = mg = 392 \, N$.
स्थिति $C$ (नीचे की ओर त्वरित) के लिए: $a = -4 \, m/s^2$,इसलिए $N = m(g - 4) = 40(9.8 - 4) = 40(5.8) = 232 \, N$.
स्थिति $D$ (ऊपर की ओर त्वरित) के लिए: $a = 4 \, m/s^2$,इसलिए $N = m(g + 4) = 40(9.8 + 4) = 40(13.8) = 552 \, N$.
सभी स्थितियों की तुलना करने पर,बल तब सबसे अधिक होता है जब लिफ्ट ऊपर की ओर त्वरित होती है।

(B) माना व्यक्ति का द्रव्यमान $m$ है।
जब लिफ्ट स्थिर है,तो आभासी भार $W_1 = mg$ है।
जब लिफ्ट $a$ समान त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो आभासी भार $W_2 = m(g - a)$ है।
प्रश्न के अनुसार,भार का अनुपात $W_1 : W_2 = 3 : 2$ है।
इसलिए,$\frac{mg}{m(g - a)} = \frac{3}{2}$।
अंश और हर से $m$ को काटने पर,हमें $\frac{g}{g - a} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर $2g = 3(g - a)$ प्राप्त होता है।
$2g = 3g - 3a$।
$3a = 3g - 2g$।
$3a = g$।
अतः,$a = g/3$।

(D) जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो यात्री का आभासी भार $R$ ज्ञात करने का सूत्र $R = M(g + a)$ है।
यहाँ दिया गया है कि लिफ्ट $a = g$ त्वरण के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति कर रही है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $R = M(g + g)$ प्राप्त होता है।
अतः,$R = M(2g) = 2Mg$।
इस प्रकार,यात्री द्वारा फर्श पर लगाया गया बल $2Mg$ है।

(B) त्वरण के साथ नीचे की ओर गति कर रही लिफ्ट में किसी पिंड का आभासी भार $W'$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W' = m(g - a)$।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 50 \, kg$
त्वरण $a = 9.8 \, m/s^2$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$
मान रखने पर:
$W' = 50 \times (9.8 - 9.8)$
$W' = 50 \times 0 = 0 \, N$।
अतः,लड़के का आभासी भार $0 \, N$ है।

(D) त्वरण के साथ गति कर रही लिफ्ट में $m$ द्रव्यमान के पिंड का आभासी भार $W'$ इस प्रकार दिया जाता है: यदि लिफ्ट ऊपर की ओर त्वरित हो रही है तो $W' = m(g + a)$ और यदि यह नीचे की ओर त्वरित हो रही है तो $W' = m(g - a)$।
इस प्रश्न में कहा गया है कि लिफ्ट ऊपर जाती है,लेकिन यह निर्दिष्ट नहीं है कि लिफ्ट स्थिर वेग से चल रही है या त्वरण के साथ।
यदि लिफ्ट स्थिर वेग से चलती है,तो त्वरण $a = 0$ होता है,इसलिए रीडिंग $mg$ रहती है (कोई परिवर्तन नहीं)।
यदि लिफ्ट ऊपर की ओर त्वरित होती है,तो रीडिंग बढ़ जाती है।
यदि लिफ्ट नीचे की ओर त्वरित होती है (ऊपर जाते समय मंदन),तो रीडिंग कम हो जाती है।
इसलिए,रीडिंग लिफ्ट की गति की स्थिति (त्वरण) पर निर्भर करती है,जो समय के साथ उसके वेग में परिवर्तन से संबंधित है।

(D) जब $m$ द्रव्यमान का कोई पिंड $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करता है,तो आभासी भार $R$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $R = m(g + a)$।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \ kg$,त्वरण $a = 2 \ m/s^2$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \ m/s^2$।
सूत्र में मान रखने पर:
$R = 10 \times (9.8 + 2)$
$R = 10 \times 11.8$
$R = 118 \ N$।
अतः,आभासी भार $118 \ N$ है।

(D) त्वरण के साथ नीचे की दिशा में गति कर रहे $m$ द्रव्यमान के पिंड का आभासी भार $R$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $R = m(g - a)$।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 1.0 \, kg$
त्वरण $a = 10 \, m/s^2$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$R = 1.0 \times (10 - 10)$
$R = 1.0 \times 0$
$R = 0 \, kg \, wt$।
अतः,पिंड का आभासी भार $0$ होगा।

(D) जब लिफ्ट की रस्सी टूट जाती है,तो लिफ्ट गुरुत्वाकर्षण के अधीन मुक्त रूप से गिरती है।
इसलिए,लिफ्ट का त्वरण गुरुत्वीय त्वरण के बराबर हो जाता है,अर्थात $a = g$।
लिफ्ट के अंदर $m$ द्रव्यमान वाले व्यक्ति पर लगने वाला आभासी भार (लिफ्ट की सतह द्वारा लगाया गया अभिलंब बल) $N = m(g - a)$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण में $a = g$ रखने पर,हमें $N = m(g - g) = 0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,व्यक्ति भारहीनता का अनुभव करता है और सतह द्वारा लगाया गया बल $0$ होता है।

(D) त्वरित लिफ्ट में किसी व्यक्ति का आभासी भार $R$ सूत्र $R = m(g + a)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $a$ लिफ्ट का त्वरण है।
दिया गया है: $m = 50\,kg$,$g = 10\,m/s^2$,और $a = 2\,m/s^2$.
मान रखने पर: $R = 50 \times (10 + 2) = 50 \times 12 = 600\,N$.
बैलेंस का पाठ्यांक $kg$ भार में है,इसलिए $R = 600/10 = 60\,kg$.

(D) मान लीजिए कि नीचे की दिशा धनात्मक है।
पृथ्वी के सापेक्ष लिफ्ट का त्वरण $a_{lift} = a$ (नीचे की ओर) है।
लिफ्ट के सापेक्ष गेंद का त्वरण $a_{ball/lift} = -a_0$ (ऊपर की ओर,इसलिए ऋणात्मक) है।
सापेक्ष त्वरण के सूत्र का उपयोग करते हुए: $a_{ball/earth} = a_{ball/lift} + a_{lift/earth}$।
मान रखने पर: $a_{ball/earth} = -a_0 + a = (a - a_0)$।
चूंकि परिणाम धनात्मक है,इसलिए पृथ्वी पर स्थित प्रेक्षक द्वारा प्रेक्षित गेंद का त्वरण $(a - a_0)$ नीचे की दिशा में होगा।

(C) $1$. जमीन पर स्थिर खड़े व्यक्ति (जड़त्वीय निर्देश फ्रेम) के लिए,गेंद केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में है। इसलिए,इसका त्वरण नीचे की ओर $g$ है।
$2$. लिफ्ट के अंदर बैठे व्यक्ति (अजड़त्वीय निर्देश फ्रेम) के लिए,हमें छद्म बल (pseudo force) लागू करना होगा। लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति कर रही है,इसलिए गेंद पर ऊपर की ओर $ma$ छद्म बल कार्य करता है।
$3$. लिफ्ट फ्रेम में गेंद पर लगने वाला कुल बल $F_{net} = mg - ma$ (नीचे की ओर) है।
$4$. लिफ्ट में बैठे व्यक्ति द्वारा प्रेक्षित त्वरण $a_{lift} = F_{net} / m = (mg - ma) / m = g - a$ (नीचे की ओर) है।
$5$. अतः,त्वरण क्रमशः $g - a$ और $g$ हैं।

(C) जब लिफ्ट $a$ के एकसमान त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो आभासी भार $R$ (वजन मापने वाली मशीन पर रीडिंग) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$R = m(g + a)$
दिया गया है:
व्यक्ति का द्रव्यमान,$m = 80\,kg$
लिफ्ट का त्वरण,$a = 5\,m/s^2$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10\,m/s^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$R = 80 \times (10 + 5)$
$R = 80 \times 15$
$R = 1200\,N$
अतः,मशीन पर रीडिंग $1200\,N$ होगी।

(B) जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक बैग के वास्तविक भार के बराबर होता है: $W = mg = 49 \, N$.
$g = 9.8 \, m/s^2$ लेने पर,हमें बैग का द्रव्यमान प्राप्त होता है: $m = \frac{49}{9.8} = 5 \, kg$.
जब लिफ्ट $a = 5 \, m/s^2$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो आभासी भार $R$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $R = m(g - a)$.
मान रखने पर: $R = 5 \times (9.8 - 5) = 5 \times 4.8 = 24 \, N$.
अतः,स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक $24 \, N$ होगा।

(A) त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती लिफ्ट में व्यक्ति का आभासी भार $R$ ज्ञात करने का सूत्र $R = m(g - a)$ है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 50 \, kg$
लिफ्ट का त्वरण $a = 10 \, m/s^2$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$R = 50 \times (10 - 10)$
$R = 50 \times 0$
$R = 0 \, N$.
अतः,स्प्रिंग बैलेंस की रीडिंग $0 \, N$ होगी।

(D) ब्लॉक को वेज के सापेक्ष स्थिर रखने के लिए,नत समतल (inclined plane) के अनुदिश ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
$1$. वेज के फ्रेम में ब्लॉक पर कार्य करने वाले बलों को वियोजित करें:
- नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$।
- वेज के त्वरण की विपरीत दिशा में क्षैतिज रूप से कार्य करने वाला छद्म बल (pseudo force) $ma$।
- नत सतह के लंबवत वेज द्वारा लगाया गया अभिलंब प्रतिक्रिया बल $R$।
$2$. ब्लॉक के न फिसलने के लिए,समतल के नीचे की ओर $mg$ का घटक,समतल के ऊपर की ओर $ma$ के घटक द्वारा संतुलित होना चाहिए:
$mg \sin \theta = ma \cos \theta$
$a = g \tan \theta$
$3$. अभिलंब बल $R$,नत सतह के लंबवत $mg$ और $ma$ के घटकों को संतुलित करता है:
$R = mg \cos \theta + ma \sin \theta$
$a = g \tan \theta = g \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ रखने पर:
$R = mg \cos \theta + m(g \frac{\sin \theta}{\cos \theta}) \sin \theta$
$R = mg \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos \theta}$
$R = \frac{mg}{\cos \theta}$

(D) त्वरण से ऊपर की ओर गति कर रही लिफ्ट में किसी व्यक्ति का आभासी भार $R$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$R = m(g + a)$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 75\, kg$
त्वरण $a = 5\, m/s^2$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, m/s^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$R = 75(10 + 5)$
$R = 75 \times 15$
$R = 1125\, N$
अतः,व्यक्ति का आभासी भार $1125\, N$ होगा।

(A) जब एक लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो वस्तु पर कार्य करने वाला अभिलंब बल $N$ (या स्प्रिंग बैलेंस में तनाव $T$) न्यूटन के गति के दूसरे नियम द्वारा दिया जाता है: $N - mg = ma$।
इसलिए,आभासी भार $N = m(g + a)$ होता है।
चूंकि ऊपर की ओर गति की शुरुआत में त्वरण $a > 0$ होता है,इसलिए रीडिंग $N$ वास्तविक भार $mg$ से अधिक हो जाती है।
अतः,स्प्रिंग बैलेंस की रीडिंग बढ़ जाएगी।

(B) त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रही लिफ्ट में किसी व्यक्ति का आभासी भार $R$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$R = m(g + a)$
दिया गया है:
व्यक्ति का द्रव्यमान,$m = 80\, kg$
लिफ्ट का त्वरण,$a = 6\, m/s^2$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10\, m/s^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$R = 80(10 + 6)$
$R = 80 \times 16$
$R = 1280\, N$
अतः,व्यक्ति का आभासी भार $1280\, N$ होगा।

(D) जब चोर दीवार से कूदता है,तो चोर और बक्सा दोनों केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में मुक्त पतन (free fall) की स्थिति में होते हैं।
मुक्त पतन की स्थिति में,निकाय का त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $(a = g)$ के बराबर होता है।
किसी वस्तु का आभासी भार $W'$ सूत्र $W' = m(g - a)$ द्वारा दिया जाता है।
इस समीकरण में $a = g$ रखने पर,हमें $W' = m(g - g) = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,हवा में रहने के दौरान चोर शून्य भार महसूस करता है।

(B) जब $m$ द्रव्यमान का कोई पिंड $a$ त्वरण से ऊपर की ओर गति करती लिफ्ट में होता है,तो पिंड पर कार्य करने वाले बल अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कुल बल द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है:
$F_{net} = ma$
यहाँ,लिफ्ट ऊपर की ओर त्वरित हो रही है,इसलिए कुल बल $R - mg$ होगा।
अतः,गति का समीकरण है:
$R - mg = ma$
$R$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$R = mg + ma$

(B) माना ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है। ब्लॉक को ढलान के सापेक्ष स्थिर रखने के लिए,हम ढलान के फ्रेम में बलों का विश्लेषण करते हैं।
$1$. ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल इसका भार $(mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है,अभिलंब बल $(N)$ जो सतह के लंबवत है,और छद्म बल (pseudo force) $(ma)$ जो ढलान के त्वरण की विपरीत दिशा में क्षैतिज रूप से कार्य करता है।
$2$. ढलान की सतह के अनुदिश बलों के घटक लेने पर:
- गुरुत्वाकर्षण बल का ढलान के नीचे की ओर घटक $mg \sin \alpha$ है।
- छद्म बल का ढलान के ऊपर की ओर घटक $ma \cos \alpha$ है।
$3$. ब्लॉक को ढलान के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,इन दोनों बलों को एक-दूसरे को संतुलित करना चाहिए:
$ma \cos \alpha = mg \sin \alpha$
$4$. दोनों पक्षों को $m \cos \alpha$ से विभाजित करने पर:
$a = g \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
$a = g \tan \alpha$

(C) जब तरल युक्त बर्तन को क्षैतिज रूप से $a$ त्वरण के साथ त्वरित किया जाता है,तो बर्तन के फ्रेम में तरल द्वारा अनुभव किया गया प्रभावी त्वरण गुरुत्वाकर्षण त्वरण $g$ (नीचे की ओर) और छद्म-त्वरण $-a$ (पीछे की ओर) का सदिश योग होता है।
तरल की मुक्त सतह शुद्ध प्रभावी त्वरण सदिश के लंबवत होनी चाहिए। सतह क्षैतिज के साथ जो कोण $\theta$ बनाती है,वह $\tan \theta = \frac{a}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि त्वरण $a$ दाईं ओर है,इसलिए छद्म-बल बाईं ओर कार्य करता है। परिणामस्वरूप,बर्तन के बाईं ओर पानी का स्तर बढ़ जाता है और दाईं ओर गिर जाता है। यह आरेख $C$ में दिखाए गए सतह प्रोफाइल के अनुरूप है।

(C) भौतिक तुला इस सिद्धांत पर कार्य करती है कि पिंड पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल (भार) की तुलना दूसरे पलड़े में रखे मानक द्रव्यमानों पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल से की जाए।
चूंकि पिंड का भार $W = mg$ और मानक द्रव्यमानों का भार $W' = m'g$ दोनों लिफ्ट के समान त्वरण $a$ से प्रभावित होते हैं,इसलिए प्रभावी भार $W_{eff} = m(g + a)$ और $W'_{eff} = m'(g + a)$ हो जाता है।
जब तुला संतुलन में होती है,तो $W_{eff} = W'_{eff}$,जिसका अर्थ है कि $m(g + a) = m'(g + a)$।
अतः,$m = m'$।
इस प्रकार,भौतिक तुला द्वारा मापा गया द्रव्यमान $m$ ही रहता है और यह लिफ्ट के त्वरण से स्वतंत्र होता है।

(C) जब कोई प्रणाली गुरुत्वाकर्षण के अधीन मुक्त रूप से गिरती है,तो वह नीचे की ओर गुरुत्वीय त्वरण $g$ के बराबर त्वरण का अनुभव करती है।
गिरती हुई छड़ के संदर्भ फ्रेम में,भारों का प्रभावी त्वरण शून्य होता है क्योंकि प्रत्येक द्रव्यमान $m$ पर कार्य करने वाला छद्म बल (pseudo-force) $F_p = -mg$ होता है,जो गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = mg$ को पूरी तरह से संतुलित कर देता है।
चूंकि प्रत्येक स्प्रिंग पर कुल बल शून्य है,इसलिए किसी भी स्प्रिंग में कोई विस्तार (extension) नहीं होता है।
इसलिए,सभी भार छड़ से अपनी प्राकृतिक (बिना खिंची हुई) लंबाई पर रहेंगे,जिसका अर्थ है कि वे सभी समान दूरी पर होंगे।

(C) घन का दिया गया वेग: $\vec v = 5t\,\hat i + 2t\,\hat j$.
घन का त्वरण: $\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = 5\,\hat i + 2\,\hat j\,m/s^2$.
यहाँ,$a_x = 5\,m/s^2$ और $a_y = 2\,m/s^2$.
घन के फ्रेम में,गोला एक छद्म बल (pseudo force) $\vec F_p = -m\vec a = -m(5\,\hat i + 2\,\hat j)$ का अनुभव करता है।
घन के फ्रेम में गोले पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. भार: $\vec W = -mg\,\hat j = -2(10)\,\hat j = -20\,\hat j\,N$.
$2$. छद्म बल: $\vec F_p = -2(5\,\hat i + 2\,\hat j) = -10\,\hat i - 4\,\hat j\,N$.
$3$. घन की दीवारों से अभिलंब बल: $\vec N_x$ (दीवार $AD$ से) और $\vec N_y$ (दीवार $DC$ से)।
चूंकि गोला घन के सापेक्ष स्थिर है,इसलिए कुल बल शून्य है:
$\vec N_x + \vec N_y + \vec W + \vec F_p = 0$.
$\vec N_x = -(-10\,\hat i) = 10\,\hat i\,N$.
$\vec N_y = -(-20\,\hat j - 4\,\hat j) = 24\,\hat j\,N$.
गोले द्वारा घन पर लगाया गया कुल बल अभिलंब बलों का सदिश योग है: $\vec N = \vec N_x + \vec N_y = 10\,\hat i + 24\,\hat j\,N$.
इसका परिमाण $N = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26\,N$ है।

(D) लिफ्ट के अंदर $m$ द्रव्यमान के पिंड पर कार्य करने वाले अभिलंब बल $N$ की गणना न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करके की जा सकती है।
$a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति कर रही लिफ्ट के लिए गति का समीकरण $mg - N = ma$ है।
यह दिया गया है कि लिफ्ट गुरुत्वीय त्वरण के बराबर त्वरण के साथ नीचे की ओर गति कर रही है,इसलिए $a = g$ है।
समीकरण में $a = g$ रखने पर: $mg - N = mg$ प्राप्त होता है।
इससे $N = mg - mg = 0$ प्राप्त होता है।
घर्षण बल $f$ का मान $f = \mu N$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि अभिलंब बल $N = 0$ है,इसलिए घर्षण प्रतिरोध $f = \mu \times 0 = 0$ होगा।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) कॉर्क को स्प्रिंग बल $F_s$ और उत्प्लावन बल $F_B$ द्वारा डुबोकर रखा जाता है, जो इसके भार $W = mg$ को संतुलित करते हैं।
$F_s + W = F_B$ या $F_s = F_B - W = V \rho_w g - V \rho_c g = V(\rho_w - \rho_c)g$।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है, तो प्रभावी गुरुत्व $g' = (g - a)$ हो जाता है।
नया स्प्रिंग बल $F_s' = V(\rho_w - \rho_c)(g - a)$ है।
चूंकि $(g - a) < g$, इसलिए स्प्रिंग बल $F_s'$ घट जाता है।
चूंकि $F_s = kx$, जहां $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ विस्तार है, $F_s$ में कमी आने से विस्तार $x$ में भी कमी आती है।
अतः, स्प्रिंग की लंबाई घट जाती है।

(B) त्वरित संदर्भ फ्रेम (ट्रॉली) में,लोलक के गोलक पर ट्रॉली के त्वरण की विपरीत दिशा में एक आभासी बल (pseudo force) $F_p = ma$ कार्य करता है।
ट्रॉली के फ्रेम में गोलक पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. आभासी बल $ma$ जो क्षैतिज रूप से पीछे की ओर कार्य करता है।
$3$. धागे में तनाव बल $T$।
संतुलन स्थिति (माध्य स्थिति) में,गोलक पर कुल बल शून्य होता है। बलों का विश्लेषण करने पर:
$\tan \theta = \frac{\text{आभासी बल}}{\text{गुरुत्वाकर्षण बल}} = \frac{ma}{mg} = \frac{a}{g}$
अतः,$\theta = \tan^{-1}(\frac{a}{g})$ पीछे की दिशा में।

(D) गोला $a = g$ के त्वरण के साथ बाईं ओर गति करता है,इसलिए कण पर दाईं ओर एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma = mg$ कार्य करता है।
मान लीजिए कि कण $t = 0$ पर गोले के शीर्ष पर है। जैसे ही यह ऊर्ध्वाधर से $\theta$ कोण पर फिसलता है,ऊर्ध्वाधर विस्थापन $h = R(1 - \cos \theta)$ और क्षैतिज विस्थापन $d = R \sin \theta$ होता है।
गोले के सापेक्ष कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करने पर:
$W_g + W_{pseudo} = \Delta K.E.$
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य: $W_g = mg \cdot h = mgR(1 - \cos \theta)$.
छद्म बल द्वारा किया गया कार्य: $W_{pseudo} = F_p \cdot d = (mg)(R \sin \theta)$.
चूंकि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा शून्य है,अंतिम गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2$ होगी:
$mgR(1 - \cos \theta) + mgR \sin \theta = \frac{1}{2}mv^2$.
$m$ से विभाजित करने और $2$ से गुणा करने पर:
$2gR(1 - \cos \theta + \sin \theta) = v^2$.
अतः,$v = \sqrt{2gR(1 + \sin \theta - \cos \theta)}$।

(B) जब मनका तार के सापेक्ष संतुलन में होता है,तो तार के फ्रेम में उस पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण ($mg$ नीचे की ओर),छद्म बल ($ma$ ऋणात्मक $X$-दिशा में),और अभिलंब बल $(N)$ हैं।
संतुलन पर,तार के अनुदिश कुल बल शून्य होता है।
बलों को वियोजित करने पर: $N \cos \theta = mg$ और $N \sin \theta = ma$,जहाँ $\theta$ स्पर्शरेखा द्वारा क्षैतिज के साथ बनाया गया कोण है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें $\tan \theta = \frac{a}{g}$ प्राप्त होता है।
परवलय $Y = Kx^2$ की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2Kx$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि ढाल $\tan \theta$ के बराबर है,इसलिए $2Kx = \frac{a}{g}$ है।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \frac{a}{2Kg}$ प्राप्त होता है।

(B) स्थिर लिफ्ट में व्यक्ति का भार $W_1 = mg$ है।
जब लिफ्ट '$a$' त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो व्यक्ति का आभासी भार $W_2 = m(g - a)$ होता है।
दिया गया अनुपात $\frac{W_1}{W_2} = \frac{3}{2}$ है।
व्यंजक रखने पर: $\frac{mg}{m(g - a)} = \frac{3}{2}$.
$\frac{g}{g - a} = \frac{3}{2}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $2g = 3(g - a)$.
$2g = 3g - 3a$.
$3a = 3g - 2g$.
$3a = g$.
अतः,$a = \frac{g}{3}$.

(C) ब्लॉक को नीचे गिरने से रोकने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला घर्षण बल $f$ नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ को संतुलित करना चाहिए।
$1$. कार्ट $\alpha$ त्वरण से गति कर रहा है। कार्ट के फ्रेम में,ब्लॉक पर एक छद्म बल (pseudo force) $F_{fic} = m\alpha$ कार्य करता है,जो इसे कार्ट की सतह पर दबाता है। यह बल अभिलंब प्रतिक्रिया $N = m\alpha$ प्रदान करता है।
$2$. अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu m\alpha$ है।
$3$. ब्लॉक के नीचे न गिरने के लिए,घर्षण बल $f$ का मान ब्लॉक के भार के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए: $f \ge mg$।
$4$. $f = \mu m\alpha$ रखने पर,हमें $\mu m\alpha \ge mg$ प्राप्त होता है।
$5$. $\alpha$ के लिए हल करने पर,हमें $\alpha \ge \frac{g}{\mu}$ प्राप्त होता है।

(C) ब्लॉक को वेज पर स्थिर रखने के लिए,हम वेज के नॉन-इनर्शियल फ्रेम में बलों का विश्लेषण करते हैं।
$1$. ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल हैं: गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (नीचे की ओर),अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ (सतह के लंबवत),और छद्म बल (pseudo force) $ma$ (बाईं ओर)।
$2$. बलों को झुकी हुई सतह के समानांतर और लंबवत घटकों में विभाजित करने पर:
- सतह के समानांतर: $ma \cos \theta = mg \sin \theta$।
$3$. समानांतर घटक के समीकरण से:
$ma \cos \theta = mg \sin \theta$
$a \cos \theta = g \sin \theta$
$a = g \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$a = g \tan \theta$

(D) जब कार बाईं ओर मुड़ती है,तो वह मोड़ के केंद्र (बाईं ओर) की दिशा में अभिकेंद्री त्वरण का अनुभव करती है।
जड़त्व के कारण,कार के अंदर की हवा सीधी रेखा में चलने की प्रवृत्ति रखती है,लेकिन कार बंद होने के कारण,हवा दाईं ओर एक छद्म बल (pseudo-force) का अनुभव करती है।
चूंकि हवा हीलियम से भरे गुब्बारे की तुलना में अधिक सघन होती है,इसलिए इस छद्म बल के कारण हवा कार के दाईं ओर धकेल दी जाती है।
अधिक सघन हवा के दाईं ओर विस्थापन से एक दबाव प्रवणता (pressure gradient) पैदा होती है जो हल्के हीलियम गुब्बारे को बाईं ओर धकेलती है।
इसलिए,गुब्बारा बाईं ओर फेंका जाएगा।

(A) एक स्थिर लिफ्ट में,एक चिकने नत समतल पर फिसलने वाले ब्लॉक का त्वरण $a_{rel} = g \sin \theta$ होता है।
जब लिफ्ट $A$ त्वरण के साथ गति कर रही हो (ऊपर की दिशा को धनात्मक मानते हुए),तो गुरुत्व के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + A$ हो जाता है।
इस प्रश्न में,लिफ्ट $a$ मंदन के साथ नीचे उतर रही है। नीचे उतरते समय मंदन का अर्थ है कि त्वरण सदिश ऊपर की ओर निर्देशित है। अतः,$A = +a$ होगा।
प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a$ हो जाता है।
इसलिए,नत समतल के सापेक्ष ब्लॉक का त्वरण $a_{rel} = g_{eff} \sin \theta = (g + a) \sin \theta$ होगा।

(C) लिफ्ट में किसी व्यक्ति का आभासी भार $W'$,$W' = m(g + a)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ लिफ्ट का त्वरण है।
यदि लिफ्ट एकसमान वेग से ऊपर की ओर गति कर रही है,तो त्वरण $a = 0$ है,इसलिए रीडिंग $m \times g = 60\, kg$ है।
जब लिफ्ट ऊपर की ओर गति करते हुए अचानक रुक जाती है,तो यह नीचे की ओर त्वरण (मंदन) का अनुभव करती है,इसलिए $a$ ऋणात्मक हो जाता है। आभासी भार $W' = m(g - a)$ हो जाता है।
चूंकि रीडिंग $60\, kg$ से घटकर $50\, kg$ हो जाती है,यह दर्शाता है कि लिफ्ट ऊपर की ओर गति करते समय नीचे की ओर त्वरण (मंदन) का अनुभव कर रही थी।
इसलिए,हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि लिफ्ट एकसमान गति से ऊपर जा रही थी और अचानक रुक गई।

(D) जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो लिफ्ट के अंदर किसी भी द्रव्यमान $m$ पर नीचे की ओर एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma$ कार्य करता है।
स्प्रिंग बैलेंस के लिए,पाठ्यांक तनाव बल है,जो $T = m(g + a)$ हो जाता है। चूंकि $g + a > g$,इसलिए स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक बढ़ जाता है।
भौतिक तुला के लिए,छद्म बल $F_p = ma$ दोनों पलड़ों पर समान रूप से कार्य करता है। चूंकि तुला दोनों तरफ के भार की तुलना करती है,इसलिए छद्म बल का प्रभाव निरस्त हो जाता है और संतुलन स्थिति प्रभावित नहीं होती है।

(A) ब्लॉक को नीचे गिरने से रोकने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला घर्षण बल $f$ नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ को संतुलित करना चाहिए।
$f = mg$
बोर्ड द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल $R$,बोर्ड के त्वरण $a$ के कारण ब्लॉक पर कार्य करने वाले छद्म बल (pseudo-force) द्वारा प्रदान किया जाता है:
$R = ma$
घर्षण बल $f \leq \mu R$ द्वारा दिया जाता है। गिरने से रोकने के लिए,अधिकतम संभव घर्षण बल को भार के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए:
$f_{max} = \mu R = \mu (ma)$
$f_{max} \geq mg$ रखने पर:
$\mu (ma) \geq mg$
दोनों पक्षों को $ma$ से विभाजित करने पर:
$\mu \geq g/a$