The Common Forces and Equilibrium of Concurrent Forces Questions in Hindi

(D) तीन बलों का परिणामी शून्य होने के लिए,उन्हें एक बंद त्रिभुज बनाना चाहिए। त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए कि तीन बल $F_1, F_2,$ और $F_3$ हैं। परिणामी शून्य होने की शर्त $F_1 + F_2 \geq F_3$ है (जहाँ $F_3$ सबसे बड़ा बल है)।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A$: $10 + 10 = 20 \geq 10$ (संभव है)
$B$: $10 + 10 = 20 \geq 20$ (संभव है)
$C$: $10 + 20 = 30 \geq 23$ (संभव है)
$D$: $10 + 20 = 30 < 40$ (संभव नहीं है)
अतः,बलों का वह समूह जिसका परिणामी शून्य नहीं हो सकता,वह $10, 20, 40$ है।

(D) तीन बलों के प्रभाव में किसी पिंड के संतुलन में रहने के लिए,बलों का सदिश योग शून्य होना चाहिए।
यह तभी संभव है जब किसी एक बल का परिमाण अन्य दो बलों के योग से कम या उसके बराबर हो और अन्य दो बलों के अंतर से अधिक या उसके बराबर हो।
यहाँ,बल $F_1 = 50 \, N$,$F_2 = 30 \, N$ और $F_3 = 15 \, N$ हैं।
दो छोटे बलों का योग $30 \, N + 15 \, N = 45 \, N$ है।
चूंकि $50 \, N > 45 \, N$,ये तीन बल एक बंद त्रिभुज नहीं बना सकते हैं,जिसका अर्थ है कि उनका सदिश योग शून्य नहीं हो सकता है।
चूंकि परिणामी बल शून्य नहीं है,इसलिए पिंड पर एक नेट बल कार्य करेगा और न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार यह त्वरण के साथ गति करेगा।

(D) किसी पिंड के विरामावस्था में रहने के लिए उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
साम्यावस्था की स्थिति के अनुसार,$\vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3 = 0$ है।
यहाँ $\vec F_1 = 4\hat i$ और $\vec F_2 = 6\hat j$ दिया गया है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $4\hat i + 6\hat j + \vec F_3 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec F_3 = -(4\hat i + 6\hat j) = -4\hat i - 6\hat j$।

(A) जब समान परिमाण के $N$ बल एक बिंदु पर कार्य करते हैं और उनका परिणामी बल शून्य होता है,तो किन्हीं दो बलों के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\theta = \frac{360^\circ}{N} = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$
यदि इन तीन सदिशों को एक त्रिभुज की तीन भुजाओं के रूप में निरूपित किया जाए,तो वे एक बंद लूप बनाते हैं। चूँकि परिमाण समान हैं और सदिशों के बीच के कोण $120^\circ$ हैं,इसलिए इन सदिशों द्वारा निर्मित त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण $60^\circ$ होंगे,जिसके परिणामस्वरूप यह एक समबाहु त्रिभुज बनेगा।

(C) लामी की प्रमेय के अनुसार,संतुलन में तीन बलों के लिए:
$\frac{P}{\sin \theta_R} = \frac{Q}{\sin \theta_P} = \frac{R}{\sin \theta_Q}$
चित्र से,$P$ के सम्मुख कोण $\theta_1$ है,$Q$ के सम्मुख कोण $\theta_2$ है,और $R$ के सम्मुख कोण $150^\circ$ है।
अतः,$\frac{P}{\sin \theta_1} = \frac{R}{\sin 150^\circ}$।
दिया गया है $P = 1.9318 \, kg \, wt$ और $\sin \theta_1 = 0.9659$।
मान रखने पर:
$\frac{1.9318}{0.9659} = \frac{R}{\sin 150^\circ}$
चूंकि $\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = 0.5$।
$2 = \frac{R}{0.5}$
$R = 2 \times 0.5 = 1 \, kg \, wt$।

(A) लामी की प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बिंदु पर कार्य करने वाले तीन बल संतुलन में हैं,तो प्रत्येक बल अन्य दो बलों के बीच के कोण की ज्या (sine) के समानुपाती होता है।
दिए गए बलों के निकाय $P, Q$ और $R$ के लिए,जिनके सम्मुख कोण क्रमशः $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं,प्रमेय के अनुसार:
$\frac{P}{\sin \alpha} = \frac{Q}{\sin \beta} = \frac{R}{\sin \gamma}$

(B) किसी पिंड के संतुलन में रहने के लिए,उस पर कार्य करने वाले सभी बलों का सदिश योग शून्य होना चाहिए,अर्थात $\sum \vec{F} = 0$।
यदि केवल दो बल हैं,तो उन्हें एक-दूसरे को निरस्त करने के लिए परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि उन्हें संरेखीय (collinear) होना चाहिए।
चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि बल गैर-संरेखीय हैं,इसलिए दो बल संतुलन की स्थिति को संतुष्ट नहीं कर सकते।
इसलिए,सदिशों का एक बंद त्रिभुज बनाने के लिए कम से कम तीन गैर-संरेखीय बलों की आवश्यकता होती है,ताकि उनका परिणामी बल शून्य हो।
इसका एक उदाहरण $120^{\circ}$ के कोण पर कार्य करने वाले तीन समान बल हैं।
अतः,बलों की न्यूनतम संख्या $3$ है।

(B) बिंदु $O$ पर,बल संतुलन में हैं। डोरी $OA$ में तनाव $T$ को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
क्षैतिज घटक: $T \sin(30^{\circ}) = 30 \, N$
$T \times (1/2) = 30 \, N \implies T = 60 \, N$
ऊर्ध्वाधर घटक: $T \cos(30^{\circ}) = W$
$60 \times (\sqrt{3}/2) = W \implies W = 30 \sqrt{3} \, N$
अतः,भार $W = 30 \sqrt{3} \, N$ और तनाव $T = 60 \, N$ है।

(C) एकाधिक सदिशों का परिणामी शून्य होने के लिए,उन्हें एक बंद बहुभुज बनाना चाहिए जब उन्हें एक के बाद एक रखा जाए।
यदि बलों के परिमाण अलग-अलग हैं,तो वे केवल दो सदिशों के साथ एक बंद बहुभुज नहीं बना सकते हैं,क्योंकि अलग-अलग परिमाण के दो सदिश एक-दूसरे को निरस्त नहीं कर सकते हैं (उनका योग शून्य नहीं होगा)।
विभिन्न परिमाणों के तीन सदिशों के साथ,एक ऐसा त्रिभुज बनाना संभव है कि उनका सदिश योग शून्य हो (उदाहरण के लिए,उपयुक्त कोणों पर कार्य करने वाले $3 \ N$,$4 \ N$ और $5 \ N$ परिमाण के बल)।
इसलिए,शून्य परिणामी उत्पन्न करने के लिए आवश्यक विभिन्न परिमाणों के बलों की न्यूनतम संख्या $3$ है।

(D) धातु का गोला तीन बलों के प्रभाव में संतुलन में है: तनाव $\overrightarrow{T}$,क्षैतिज बल $\overrightarrow{P}$,और भार $\overrightarrow{W}$।
संतुलन के लिए,इन बलों का सदिश योग शून्य होना चाहिए: $\overrightarrow{T} + \overrightarrow{P} + \overrightarrow{W} = 0$।
तनाव $\overrightarrow{T}$ को आयताकार घटकों में वियोजित करने पर:
ऊर्ध्वाधर घटक: $T \cos \theta = W$ ... $(i)$
क्षैतिज घटक: $T \sin \theta = P$ ... $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{P}{W} \implies \tan \theta = \frac{P}{W} \implies P = W \tan \theta$।
$(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(T \cos \theta)^2 + (T \sin \theta)^2 = W^2 + P^2$
$T^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = W^2 + P^2$
$T^2 = W^2 + P^2$।
अतः,कथन $T = P + W$ गलत है।

(D) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$m$ द्रव्यमान वाले पिंड का त्वरण $\vec{a} = \frac{\sum \vec{F}}{m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sum \vec{F}$ पिंड पर कार्य करने वाले सभी बलों का सदिश योग है।
यदि पिंड पर कार्य करने वाले सभी बलों का सदिश योग शून्य है (अर्थात $\sum \vec{F} = 0$),तो त्वरण $\vec{a}$ भी शून्य होगा।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) पिंड एक क्षैतिज घर्षणहीन मेज पर निरंतर वेग से गति कर रहा है।
चूंकि वेग निरंतर है,इसलिए पिंड का त्वरण $a = 0$ है।
पिंड पर कार्य करने वाले बल इसका भार $(mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है और मेज द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $(N)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,ऊर्ध्वाधर दिशा में कुल बल शून्य है,इसलिए $N = mg$।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,पिंड द्वारा मेज पर लगाया गया बल अभिलंब बल $N$ के बराबर होता है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 40 \,g$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 980 \,cm/s^2$ है।
अतः,मेज पर लगने वाला बल $F = mg = 40 \times 980 = 39200 \,dyne$ है।

(C) बिंदु $B$ के फ्री बॉडी डायग्राम पर विचार करें। मान लीजिए कि अनुभाग $BC$ और $BF$ में तनाव क्रमशः $T_1$ और $T_2$ है। अनुभाग $AB$ द्वारा लगाया गया बल $T = 10 \,N$ है।
बिंदु $B$ पर लामी की प्रमेय के अनुसार:
$\frac{T_1}{\sin 120^\circ} = \frac{T_2}{\sin 120^\circ} = \frac{T}{\sin 120^\circ}$
चूंकि बलों के बीच के कोण सभी $120^\circ$ हैं,इसलिए हमारे पास है:
$T_1 = T_2 = T = 10 \,N$.
अतः,अनुभाग $BC$ और $BF$ में तनाव दोनों $10 \,N$ हैं।

(A) मान लीजिए सीढ़ी की लंबाई $L$ है। सीढ़ी,दीवार और जमीन द्वारा बने समकोण त्रिभुज की ज्यामिति से,$L = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \, m$.
मान लीजिए सीढ़ी जमीन के साथ $\theta$ कोण बनाती है। तब $\cos \theta = \frac{4}{L} = \frac{4}{\sqrt{52}}$ और $\sin \theta = \frac{6}{L} = \frac{6}{\sqrt{52}}$.
मान लीजिए $N_1$ जमीन से लंब प्रतिक्रिया है,$f$ जमीन का घर्षण है,और $N_2$ घर्षणहीन दीवार से प्रतिक्रिया है।
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए: $N_1 = 500 \, N$.
क्षैतिज संतुलन के लिए: $f = N_2$.
निचले सिरे (बिंदु $A$) के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेने पर: $\sum \tau_A = 0$.
वजन निचले सिरे से $L/3$ दूरी पर कार्य करता है। वजन के कारण टॉर्क $500 \times (L/3) \cos \theta$ है।
दीवार की प्रतिक्रिया $N_2$ के कारण टॉर्क $N_2 \times (6) = N_2 \times (L \sin \theta)$ है।
टॉर्क को बराबर करने पर: $N_2 (L \sin \theta) = 500 (L/3) \cos \theta$.
$N_2 = \frac{500}{3} \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{500}{3} \times \frac{4/L}{6/L} = \frac{500}{3} \times \frac{4}{6} = \frac{2000}{18} = \frac{1000}{9} \approx 111.11 \, N$.

(C) तराजू द्वारा मापा गया वजन तराजू द्वारा व्यक्ति पर लगाए गए अभिलंब बल (normal force) के बराबर होता है। न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,यह उस बल के बराबर है जो व्यक्ति तराजू पर लगाता है। चूंकि व्यक्ति संतुलन में है और कुल नीचे की ओर लगने वाला बल (उसका वजन $Mg$) प्लेटफॉर्म पर उसकी गति की परवाह किए बिना स्थिर रहता है,इसलिए तराजू का पाठ्यांक (reading) समान रहेगा।

(C) न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,कोई पिंड तब तक विरामावस्था या एकसमान गति की स्थिति में रहता है जब तक कि उस पर कोई बाहरी असंतुलित बल कार्य न करे।
यदि कोई पिंड स्थिर है,तो उसका त्वरण $0$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F_{net} = ma$ होता है।
चूंकि $a = 0$ है,इसलिए पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ यह है कि पिंड पर कार्य करने वाले सभी व्यक्तिगत बलों का सदिश योग शून्य है,जिसका तात्पर्य है कि बल एक-दूसरे को संतुलित करते हैं।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) माना कि दो बल $F$ और $2F$ हैं। उनके बीच का कोण $\theta$ है।
माना कि परिणामी $R$ छोटे बल $F$ के लंबवत है। परिणामी $R$ और बल $F$ के बीच का कोण $\alpha = 90^\circ$ है।
परिणामी की दिशा के लिए सूत्र $\tan \alpha = \frac{2F \sin \theta}{F + 2F \cos \theta}$ है।
चूंकि $\alpha = 90^\circ$,$\tan 90^\circ = \infty$,जिसका अर्थ है कि हर (denominator) शून्य होना चाहिए:
$F + 2F \cos \theta = 0$
$F(1 + 2 \cos \theta) = 0$
$1 + 2 \cos \theta = 0$
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$
$\theta = 120^\circ$.

(D) तीन संगामी बलों के संतुलन में होने के लिए,किसी भी एक बल का परिमाण अन्य दो बलों के योग से कम या उसके बराबर और अन्य दो बलों के अंतर से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
गणितीय रूप से,बलों $F_1, F_2, F_3$ के लिए,शर्त $|F_1 - F_2| \leq F_3 \leq F_1 + F_2$ है।
यहाँ $F_1 = 3 \, N$ और $F_2 = 5 \, N$ दिए गए हैं,इसलिए तीसरे बल $F_3$ के लिए संतुलन बनाए रखने की सीमा $|5 - 3| \leq F_3 \leq 5 + 3$ है,जिसे सरल करने पर $2 \, N \leq F_3 \leq 8 \, N$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(a)$ $9 \, N$ सीमा $[2, 8]$ के बाहर है।
$(b)$ $1 \, N$ सीमा $[2, 8]$ के बाहर है।
$(c)$ $15 \, N$ सीमा $[2, 8]$ के बाहर है।
$(d)$ $6 \, N$ सीमा $[2, 8]$ के भीतर है।
अतः,$3 \, N, 5 \, N, 6 \, N$ बलों का समूह संतुलन में हो सकता है।

(A) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,यदि किसी कण पर कार्य करने वाले तीन बलों को एक ही क्रम में लिए गए त्रिभुज की तीन भुजाओं द्वारा दर्शाया जाता है,तो उनका परिणामी बल शून्य होता है।
दिए गए चित्र में,बलों को सदिशों $\vec{AB},$ $\vec{BC},$ और $\vec{CA}$ द्वारा दर्शाया गया है। चूंकि वे चक्रीय क्रम में हैं,इसलिए उनका योग $\vec{F}_{net} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = 0$ है।
न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,यदि किसी कण पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है,तो उसका त्वरण शून्य होता है।
इसलिए,कण का वेग $\vec{v}$ अपरिवर्तित रहता है।

(A) तीन बलों के संतुलन में होने के लिए,किन्हीं दो बलों का योग तीसरे बल से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए,और किन्हीं दो बलों का अंतर तीसरे बल से कम या उसके बराबर होना चाहिए। इसका अर्थ यह है कि तीनों बलों को त्रिभुज असमानता का पालन करना चाहिए: $a + b \ge c$,जहाँ $c$ सबसे बड़ा बल है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A$: $3 + 4 = 7 \ge 5$ (संतुष्ट है)
$B$: $4 + 5 = 9 < 10$ (संतुष्ट नहीं है)
$C$: $30 + 40 = 70 < 80$ (संतुष्ट नहीं है)
$D$: $1 + 3 = 4 < 5$ (संतुष्ट नहीं है)
अतः,केवल $3 \, N, 4 \, N, 5 \, N$ का समूह ही एक बंद त्रिभुज बना सकता है और संतुलन में रह सकता है।

(A) चूंकि ब्लॉक संपर्क में हैं और एक प्रणाली के रूप में एक साथ गति कर रहे हैं,इसलिए उनका त्वरण $a = F / (m_1 + m_2 + m_3)$ समान होना चाहिए। अतः,कथन $A$ सही है।
प्रत्येक ब्लॉक पर लगने वाला कुल बल $F_{net} = m_i \cdot a$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि द्रव्यमान $m_1 = 3 \ kg$,$m_2 = 2 \ kg$,और $m_3 = 1 \ kg$ अलग-अलग हैं,इसलिए प्रत्येक ब्लॉक पर लगने वाला कुल बल अलग-अलग होगा ($F_1 = 3a$,$F_2 = 2a$,$F_3 = 1a$)। अतः,कथन $B$ गलत है।
इसलिए,केवल कथन $A$ सही है।

(C) मान लीजिए कि झुकी हुई डोरी में तनाव $T$ है जो क्षैतिज के साथ $30^\circ$ का कोण बनाती है।
गांठ के संतुलन के लिए,तनाव $T$ का ऊर्ध्वाधर घटक पिंड के भार को संतुलित करना चाहिए:
$T \sin 30^\circ = 2 \, kg-wt$
$T \times (1/2) = 2 \, kg-wt$
$T = 4 \, kg-wt$
तनाव $T$ का क्षैतिज घटक क्षैतिज डोरी में तनाव $T_1$ को संतुलित करना चाहिए:
$T_1 = T \cos 30^\circ$
$T_1 = 4 \times (\sqrt{3}/2)$
$T_1 = 2\sqrt{3} \, kg-wt$

(D) संतुलन में तीन बलों के निकाय के लिए,लामी की प्रमेय के अनुसार $\frac{P}{\sin \alpha} = \frac{Q}{\sin \beta} = \frac{R}{\sin \gamma}$,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma$ क्रमशः बलों $P, Q, R$ के सम्मुख कोण हैं।
माना $\vec{P}$ और $\vec{Q}$ के बीच का कोण $\theta_{PQ} = 150^{\circ}$ है।
माना $\vec{Q}$ और $\vec{R}$ के बीच का कोण $\theta_{QR} = 120^{\circ}$ है।
$\vec{R}$ और $\vec{P}$ के बीच का कोण $\theta_{RP} = 360^{\circ} - (150^{\circ} + 120^{\circ}) = 90^{\circ}$ होगा।
बलों के सम्मुख कोण इस प्रकार हैं:
$\alpha = \theta_{QR} = 120^{\circ}$
$\beta = \theta_{RP} = 90^{\circ}$
$\gamma = \theta_{PQ} = 150^{\circ}$
लामी की प्रमेय लागू करने पर:
$P : Q : R = \sin(120^{\circ}) : \sin(90^{\circ}) : \sin(150^{\circ})$
$P : Q : R = \frac{\sqrt{3}}{2} : 1 : \frac{1}{2}$
$2$ से गुणा करने पर:
$P : Q : R = \sqrt{3} : 2 : 1$.

(B) माना कि डोरी $PQ$ में तनाव $T$ है। बिंदु $Q$ पर कार्य करने वाले बल डोरी का तनाव $T$,क्षैतिज बल $F$ और नीचे की ओर कार्य करने वाला भार $Mg$ हैं।
तनाव $T$ को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
क्षैतिज घटक: $T \sin \theta$ (बाईं ओर)
ऊर्ध्वाधर घटक: $T \cos \theta$ (ऊपर की ओर)
निकाय के संतुलन में होने के लिए,क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों दिशाओं में कुल बल शून्य होना चाहिए।
क्षैतिज बलों को संतुलित करने पर: $T \sin \theta = F$
अतः,डोरी $PQ$ में तनाव $T = \frac{F}{\sin \theta}$ होगा।

(B) गति की दिशा ज्ञात करने के लिए,हम कण पर कार्य करने वाले कुल बल ${\vec F_{net}}$ की गणना करते हैं:
${\vec F_{net}} = {\vec F_1} + {\vec F_2} + {\vec F_3} + {\vec F_4}$
${\vec F_{net}} = (-4\hat i + 5\hat i - 3\hat i + 2\hat i) + (-5\hat j + 8\hat j + 4\hat j - 3\hat j) + (5\hat k + 6\hat k - 7\hat k - 2\hat k)$
${\vec F_{net}} = (0)\hat i + (4)\hat j + (2)\hat k$
${\vec F_{net}} = 4\hat j + 2\hat k$
चूंकि कुल बल के घटक केवल $y$ और $z$ अक्ष पर हैं ($x$-घटक $0$ है),इसलिए कण $y-z$ समतल में गति करेगा।

(A) माना द्रव्यमान $m$ और $M$ के बीच की डोरी में तनाव $T$ है। संतुलन में द्रव्यमान $m$ के लिए:
$2T \sin 45^{\circ} = mg$
$2T \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = mg \implies T = \frac{mg}{\sqrt{2}}$
माना द्रव्यमान $M$ के ऊपर की डोरी में तनाव $T_1$ है। द्रव्यमान $M$ के जंक्शन पर बलों का वियोजन करने पर:
क्षैतिज घटक: $T_1 \cos \theta = T \cos 45^{\circ} = \left(\frac{mg}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{mg}{2}$
ऊर्ध्वाधर घटक: $T_1 \sin \theta = Mg + T \sin 45^{\circ} = Mg + \left(\frac{mg}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = Mg + \frac{mg}{2}$
ऊर्ध्वाधर घटक को क्षैतिज घटक से विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{Mg + \frac{mg}{2}}{\frac{mg}{2}} = \frac{Mg}{\frac{mg}{2}} + 1 = \frac{2M}{m} + 1$
अतः,$tan \theta = 1 + \frac{2M}{m}$.

(C) जंजीर के आधे हिस्से पर विचार करें। आधार पर तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक जंजीर के आधे भार को संतुलित करना चाहिए।
$T \sin \theta = \frac{W}{2}$
सबसे निचले बिंदु (मध्य-बिंदु) पर,तनाव पूरी तरह से क्षैतिज होता है,मान लीजिए यह $T_0$ है।
आधी जंजीर के संतुलन के लिए,आधार पर तनाव का क्षैतिज घटक सबसे निचले बिंदु पर तनाव के बराबर होना चाहिए।
$T \cos \theta = T_0$
पहले समीकरण से,$T = \frac{W}{2 \sin \theta}$।
इसे दूसरे समीकरण में रखने पर:
$T_0 = \left( \frac{W}{2 \sin \theta} \right) \cos \theta$
$T_0 = \frac{W}{2} \cot \theta$

(C) दिया गया है: बल $F = 40\, N$,कोण $\theta = 30^o$,द्रव्यमान $m = 5\, kg$,$g = 10\, ms^{-2}$।
$[1]$ बल का क्षैतिज घटक $F_x = F \cos(30^o) = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}\, N$ है। अतः,कथन $[1]$ गलत है क्योंकि इसमें $20\, N$ दिया गया है।
$[2]$ पिंड का भार $W = mg = 5 \times 10 = 50\, N$ हमेशा ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है। अतः,कथन $[2]$ सही है।
$[3]$ आरोपित बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F_y = F \sin(30^o) = 40 \times 0.5 = 20\, N$ (ऊपर की ओर) है। अभिलंब बल $N$ का मान $N + F_y = mg$ द्वारा प्राप्त होता है,इसलिए $N = 50 - 20 = 30\, N$ है। पिंड पर कार्य करने वाला कुल ऊर्ध्वाधर बल शून्य है क्योंकि यह ऊर्ध्वाधर दिशा में संतुलन में है। कथन $[3]$ गलत है।

(D) स्थिति $(i)$: गोला $A$ पर क्षैतिज सतह पर है और $B$ पर झुके हुए तल को छूता है। संतुलन में होने के कारण,$B$ पर अभिलंब बल $R_B$ ढलान के लंबवत है। बलों के घटक लेने पर,$R_B \sin 60^o = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $R_B = 0$। अतः,$R_A = W = 10 \, N$।
स्थिति $(ii)$: गोला एक सममित $V$-गर्त में है। समरूपता के अनुसार,$R_A = R_B = R$। ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए $2R \cos 30^o = W$। ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $30^o$ होने के कारण,$2R \cos 30^o = 10 \Rightarrow R = \frac{10}{\sqrt{3}} \, N$।
स्थिति $(iii)$: गोला एक ऊर्ध्वाधर दीवार वाले गर्त में है। क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर बलों के घटक लेने पर: $R_A \sin 60^o = W$ और $R_A \cos 60^o = R_B$। इसलिए,$R_A = \frac{10}{\sin 60^o} = \frac{20}{\sqrt{3}} \, N$ और $R_B = \frac{20}{\sqrt{3}} \cos 60^o = \frac{10}{\sqrt{3}} \, N$।

(D) मान लीजिए कि नाइफ एज $A$ और $B$ पर अभिलंब प्रतिक्रियाएं क्रमशः $N_A$ और $N_B$ हैं।
चूंकि छड़ संतुलन में है,कुल बल शून्य है: $N_A + N_B = w$।
बिंदु $A$ के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेने पर,भार $w$ के कारण दक्षिणावर्त आघूर्ण $N_B$ के कारण वामावर्त आघूर्ण के बराबर होना चाहिए: $w \cdot x = N_B \cdot d$।
अतः,$N_B = \frac{wx}{d}$।
बल समीकरण में $N_B$ का मान रखने पर: $N_A = w - \frac{wx}{d} = w(1 - \frac{x}{d}) = \frac{w(d-x)}{d}$।
इसलिए,$A$ पर अभिलंब प्रतिक्रिया $\frac{w(d-x)}{d}$ है और $B$ पर $\frac{wx}{d}$ है।
अतः,विकल्प $(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

(D) किसी पिंड के संतुलन में रहने के लिए,कुल बल $\vec{F}_{net} = 0$ और किसी भी बिंदु के परितः कुल टॉर्क $\vec{\tau}_{net} = 0$ होना चाहिए।
$1$. यदि $3$ बलों की क्रिया रेखाएँ समानांतर नहीं हैं और संगामी हैं,तो वे बलों का एक बंद त्रिभुज बना सकते हैं,जिससे पिंड संतुलन में रहता है।
$2$. यदि $3$ बलों की क्रिया रेखाएँ समानांतर हैं,तो वे संतुलन में हो सकते हैं यदि दो बल एक दिशा में और तीसरा बल विपरीत दिशा में कार्य करे,ताकि उनके परिमाण और स्थिति कुल बल और कुल टॉर्क के शून्य होने की शर्तों को पूरा करें।
$3$. यदि $4$ बलों की क्रिया रेखाएँ समानांतर हैं और उनका परिमाण समान है,तो उन्हें इस प्रकार व्यवस्थित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए,दो जोड़े विपरीत दिशाओं में कार्य करते हुए) कि संतुलन की शर्तें पूरी हो सकें।
चूंकि दी गई सभी शर्तें ($A$,$B$,और $C$) पिंड को संतुलन में रखने की अनुमति देती हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(B) किसी वस्तु के तीन बलों के प्रभाव में संतुलन में होने के लिए, दो शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए $(\sum \vec{F} = 0)$। इसका अर्थ है कि तीनों बल सदिशों को एक के बाद एक रखने पर एक बंद त्रिभुज बनना चाहिए।
$2$. किसी भी बिंदु के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए $(\sum \vec{\tau} = 0)$। इसका अर्थ है कि तीनों बलों की कार्य रेखाएं संगामी होनी चाहिए (अर्थात, उन्हें एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करना चाहिए) या उन्हें समानांतर होना चाहिए।
दिए गए आरेखों में, हम वह विन्यास खोजते हैं जहाँ तीनों बलों $P$, $Q$ और $R$ की कार्य रेखाएं एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। आरेख $B$ में, बलों $P$, $Q$ और $R$ की कार्य रेखाओं को आगे बढ़ाने पर वे एक सामान्य बिंदु पर मिलती हैं, जो शून्य कुल टॉर्क की शर्त को पूरा करता है। अतः, यह संतुलन की एक संभावित स्थिति को दर्शाता है।

(C) छड़ $(AB)$ के संतुलन में रहने के लिए,उस पर कार्य करने वाला कुल बल $\overrightarrow{F_{net}}$ और कुल टॉर्क $\overrightarrow{\tau_{net}}$ शून्य होना चाहिए।
$1$. छड़ पर कार्य करने वाले बल हैं: बिंदु $(A)$ पर धागे में तनाव $(T)$,छड़ के द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करने वाला भार $(Mg)$,और बिंदु $(B)$ पर बर्फ द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $(N)$।
$2$. चूंकि बर्फ घर्षण रहित है,इसलिए अभिलंब बल $(N)$ ऊर्ध्वाधर होना चाहिए।
$3$. किसी भी बिंदु के परितः कुल टॉर्क शून्य होने के लिए,तीनों बलों की कार्य रेखाएं संगामी (एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली) होनी चाहिए या सभी समानांतर होनी चाहिए।
$4$. भार $(Mg)$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है। अभिलंब बल $(N)$ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर कार्य करता है। छड़ के संतुलन में रहने के लिए,तनाव $(T)$ को भी एक ऐसी रेखा के अनुदिश कार्य करना चाहिए जो $(Mg)$ और $(N)$ की कार्य रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती हो।
$5$. चूंकि $(Mg)$ और $(N)$ दोनों ऊर्ध्वाधर हैं,इसलिए वे समानांतर हैं। छड़ के संतुलन में रहने के लिए,तनाव $(T)$ को भी ऊर्ध्वाधर होना चाहिए। इसका अर्थ है कि धागा $(AC)$ ऊर्ध्वाधर होना चाहिए,जो चित्र $816-$c142 में दिखाई गई विन्यास में दर्शाया गया है।

(B) कण पर कार्य करने वाला कुल बल सभी व्यक्तिगत बलों का सदिश योग है:
$\vec{F}_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4$
$\vec{F}_{net} = (5 + 2 - 6 - 1)\hat{i} + (-5 + 8 + 4 - 3)\hat{j} + (5 + 6 - 7 - 2)\hat{k}$
$\vec{F}_{net} = 0\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$
चूंकि कण मूल बिंदु पर विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए इसका त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}_{net}}{m}$ कुल बल की दिशा में होगा।
चूंकि बल का $x$-घटक $0$ है,इसलिए कण $x$-अक्ष के अनुदिश गति नहीं करेगा।
बल सदिश $Y-Z$ तल में स्थित है क्योंकि इसके घटक केवल $y$ और $z$ दिशाओं में ही अशून्य हैं $(F_y = 4, F_z = 2)$।
अतः,कण $Y-Z$ तल में गति करेगा।

(A) बीम के संतुलन में रहने के लिए,उस पर कार्य करने वाला कुल बल और कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए।
$1$. बीम पर कार्य करने वाले बल हैं: द्रव्यमान केंद्र पर नीचे की ओर कार्य करने वाला भार $W$,रस्सी में तनाव $T$ जो रस्सी की दिशा में कार्य करता है,और हिंज $H$ पर प्रतिक्रिया बल $R$।
$2$. चूंकि बीम संतुलन में है,इसलिए तीनों बलों की क्रिया रेखाएं एक ही बिंदु पर मिलनी चाहिए।
$3$. भार $W$ बीम के केंद्र से नीचे की ओर ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करता है। तनाव $T$ रस्सी के साथ दीवार की ओर कार्य करता है।
$4$. भार सदिश और तनाव सदिश का प्रतिच्छेदन बिंदु बीम के ऊपर कहीं स्थित है। प्रतिक्रिया बल $R$ को इसी प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने के लिए,इसे ऊपर की ओर और दाईं ओर निर्देशित होना चाहिए,जैसा कि विकल्प $A$ में दिखाया गया है।

(A) गोले का भार $W = mg = 50 \times 10 = 500\,N$ है,जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
माना $N_A$ झुकाव $A$ द्वारा लगाया गया अभिलंब बल है (क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ पर) और $N_B$ ऊर्ध्वाधर दीवार $B$ द्वारा लगाया गया अभिलंब बल है (जो क्षैतिज रूप से कार्य करता है)।
संतुलन के लिए,ऊर्ध्वाधर बलों का योग शून्य होना चाहिए:
$N_A \sin 60^{\circ} = W = 500\,N$
$N_A \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 500 \Rightarrow N_A = \frac{1000}{\sqrt{3}}\,N$
संतुलन के लिए,क्षैतिज बलों का योग शून्य होना चाहिए:
$N_A \cos 60^{\circ} = N_B$
$N_B = \left( \frac{1000}{\sqrt{3}} \right) \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{500}{\sqrt{3}}\,N$
अतः,$N_A = \frac{1000}{\sqrt{3}}\,N$ और $N_B = \frac{500}{\sqrt{3}}\,N$ है।

(A) माना $N_1$ $30^{\circ}$ वाले समतल का अभिलंब बल है और $N_2$ $45^{\circ}$ वाले समतल का अभिलंब बल है।
संतुलन के लिए,क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में बलों का योग शून्य होना चाहिए।
क्षैतिज बलों का वियोजन: $N_1 \cos(30^{\circ}) = N_2 \cos(45^{\circ})$
$N_1 (\frac{\sqrt{3}}{2}) = N_2 (\frac{1}{\sqrt{2}}) \implies N_1 = N_2 \sqrt{\frac{2}{3}}$
ऊर्ध्वाधर बलों का वियोजन: $N_1 \sin(30^{\circ}) + N_2 \sin(45^{\circ}) = mg$
$N_1 (\frac{1}{2}) + N_2 (\frac{1}{\sqrt{2}}) = 5 \times 9.8 = 49\,N$
$N_1$ का मान रखने पर: $(N_2 \sqrt{\frac{2}{3}}) \times \frac{1}{2} + N_2 \frac{1}{\sqrt{2}} = 49$
इस समीकरण को हल करने पर,हमें $N_{30} \approx 96.59\,N$ और $N_{45} \approx 136.6\,N$ प्राप्त होता है।

(A) माना विकर्ण डोरी में तनाव $T = 60\,N$ है। डोरी क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है।
तनाव $T$ को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
क्षैतिज घटक $T_x = T \cos 45^{\circ} = 60 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{60}{\sqrt{2}}\,N$.
ऊर्ध्वाधर घटक $T_y = T \sin 45^{\circ} = 60 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{60}{\sqrt{2}}\,N$.
निकाय के संतुलन में रहने के लिए,क्षैतिज बलों $\overline{F}_1$ और $\overline{F}_2$ को तनाव के क्षैतिज घटक को संतुलित करना चाहिए:
$F_1 = F_2 = T_x = \frac{60}{\sqrt{2}}\,N$.
टके हुए ब्लॉक का भार $W$ तनाव के ऊर्ध्वाधर घटक को संतुलित करना चाहिए:
$W = T_y = \frac{60}{\sqrt{2}}\,N$.

(A) माना डोरी $AB$ में तनाव $T$ है।
बिंदु $B$ पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. डोरी $AB$ में तनाव $T$,जो ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर कार्य करता है।
$2$. दाईं ओर कार्य करने वाला क्षैतिज बल $F$।
$3$. द्रव्यमान $M$ को सहारा देने वाली ऊर्ध्वाधर डोरी में तनाव $T'$,जहाँ $T' = Mg$ है।
तनाव $T$ को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
क्षैतिज घटक: $T \sin \theta$
ऊर्ध्वाधर घटक: $T \cos \theta$
बिंदु $B$ पर संतुलन के लिए:
क्षैतिज बल: $T \sin \theta = F$
ऊर्ध्वाधर बल: $T \cos \theta = Mg$
क्षैतिज संतुलन समीकरण से,हमें प्राप्त होता है:
$T = \frac{F}{\sin \theta}$

(A) मान लीजिए गोले का केंद्र $O$ है और दीवार पर वह बिंदु जहाँ डोरी जुड़ी है,$A$ है। गोला दीवार को जिस बिंदु पर स्पर्श करता है,वह $B$ है। दूरी $OB$ त्रिज्या $R = 3\,m$ है। डोरी की लंबाई $OA$,$L = 2\,m$ है। दूरी $AB$ त्रिज्या $R = 3\,m$ है।
गोले के केंद्र,दीवार पर जुड़ाव बिंदु और दीवार के साथ संपर्क बिंदु द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,कर्ण डोरी की लंबाई $L = 2\,m$ और त्रिज्या $R = 3\,m$ का योग है,इसलिए कर्ण $5\,m$ है।
इस त्रिभुज का आधार त्रिज्या $R = 3\,m$ है।
मान लीजिए $\theta$ वह कोण है जो डोरी दीवार के साथ बनाती है। तो $\sin \theta = R / (R + L) = 3 / (3 + 2) = 3/5$।
वैकल्पिक रूप से,यदि $\theta$ क्षैतिज के साथ कोण है,तो $\cos \theta = 3/5$,जिसका अर्थ है कि $\sin \theta = 4/5$।
गोले पर बलों को देखते हुए: तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक $T \sin \theta$ भार $W$ को संतुलित करता है,इसलिए $T \sin \theta = W$।
$\sin \theta = 4/5$ का उपयोग करते हुए,हमें $T (4/5) = W$ प्राप्त होता है,इसलिए $T = 5\,W/4$।

(B) $1$. बिंदु $P$ को अलग करें जहाँ तीनों डोरियाँ मिलती हैं।
$2$. बिंदु $P$ पर कार्य करने वाले बल हैं:
- डोरी $2$ में तनाव $T_2$ (ऊर्ध्वाधर के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर)।
- डोरी $1$ में तनाव $T_1$ (ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर, जो पिंड $B$ के भार $W$ के बराबर है)।
- क्षैतिज डोरी में तनाव $T_h = 30\,N$ (क्षैतिज दिशा में)।
$3$. $T_2$ को घटकों में वियोजित करें:
- क्षैतिज घटक: $T_{2x} = T_2 \sin 45^{\circ}$
- ऊर्ध्वाधर घटक: $T_{2y} = T_2 \cos 45^{\circ}$
$4$. संतुलन की शर्तें लागू करें ($\sum F_x = 0$ और $\sum F_y = 0$):
- $\sum F_x = 0 \Rightarrow T_2 \sin 45^{\circ} = 30\,N$
- $\sum F_y = 0 \Rightarrow T_2 \cos 45^{\circ} = T_1 = W$
$5$. क्षैतिज संतुलन समीकरण से:
$T_2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 30 \Rightarrow T_2 = 30\sqrt{2}\,N$
$6$. $T_2$ का मान ऊर्ध्वाधर संतुलन समीकरण में रखने पर:
$W = T_2 \cos 45^{\circ} = (30\sqrt{2}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 30\,N$
अतः, पिंड $B$ का भार $30\,N$ है।

(B) द्रव्यमान $m$ के लिए,ऊर्ध्वाधर संतुलन से: $2 T \sin 45^{\circ} = m g$,जो सरल होकर $2 T (\frac{1}{\sqrt{2}}) = m g$ हो जाता है,अतः $T = \frac{m g}{\sqrt{2}}$.
द्रव्यमान $M$ के लिए,जंक्शन पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ ($45^{\circ}$ पर नीचे की ओर),तनाव $T'$ ($\theta$ कोण पर ऊपर की ओर) और भार $M g$ (नीचे की ओर) हैं।
क्षैतिज बलों का वियोजन करने पर: $T' \cos \theta = T \cos 45^{\circ} = \frac{T}{\sqrt{2}}$.
ऊर्ध्वाधर बलों का वियोजन करने पर: $T' \sin \theta = T \sin 45^{\circ} + M g = \frac{T}{\sqrt{2}} + M g$.
ऊर्ध्वाधर समीकरण को क्षैतिज समीकरण से विभाजित करने पर: $\tan \theta = \frac{\frac{T}{\sqrt{2}} + M g}{\frac{T}{\sqrt{2}}} = 1 + \frac{M g}{\frac{T}{\sqrt{2}}}$.
$T = \frac{m g}{\sqrt{2}}$ रखने पर: $\tan \theta = 1 + \frac{M g}{\frac{m g}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}} = 1 + \frac{M g}{\frac{m g}{2}} = 1 + \frac{2 M}{m}$.

(D) मान लीजिए कि आधार बिंदुओं $A$ और $B$ पर तनाव $T$ है। प्रत्येक आधार पर तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक जंजीर के आधे भार को संतुलित करना चाहिए। अतः,$2T \sin \theta = W$,जिससे $T \sin \theta = \frac{W}{2}$ प्राप्त होता है।
जंजीर के सबसे निचले बिंदु (मध्य बिंदु) पर,तनाव पूरी तरह से क्षैतिज होता है,मान लीजिए कि यह $T'$ है।
जंजीर के आधे हिस्से के संतुलन पर विचार करते हुए,क्षैतिज बलों को संतुलित होना चाहिए। आधार पर तनाव का क्षैतिज घटक $T \cos \theta$ है,जो सबसे निचले बिंदु पर तनाव $T'$ के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$T' = T \cos \theta$।
$T \sin \theta = \frac{W}{2}$ से,हमें $T = \frac{W}{2 \sin \theta}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $T'$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T' = \left( \frac{W}{2 \sin \theta} \right) \cos \theta = \frac{W}{2} \cot \theta$ प्राप्त होता है।

(B) चित्र की ज्यामिति से,$T_1$ और ऊर्ध्वाधर के बीच का कोण $60^{\circ}$ है (क्योंकि दीवार के साथ कोण $30^{\circ}$ है),और $T_2$ और ऊर्ध्वाधर के बीच का कोण $60^{\circ}$ है (क्योंकि क्षैतिज के साथ कोण $30^{\circ}$ है)।
मान लीजिए कि ऊर्ध्वाधर अक्ष $y$-अक्ष है और क्षैतिज अक्ष $x$-अक्ष है।
क्षैतिज दिशा ($x$-अक्ष) में बलों का वियोजन करने पर:
$T_2 \sin 60^{\circ} - T_1 \sin 60^{\circ} = 0 \implies T_1 = T_2$.
ऊर्ध्वाधर दिशा ($y$-अक्ष) में बलों का वियोजन करने पर:
$T_1 \cos 60^{\circ} + T_2 \cos 60^{\circ} = mg$.
$T_1 = T_2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2 T_1 \cos 60^{\circ} = mg$
$2 T_1 (1/2) = mg$
$T_1 = mg$.
चूंकि $T_1 = T_2$,इसलिए $T_2 = mg$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि क्षैतिज डोरी $A$ में तनाव $T_A$ है और डोरी $B$ में तनाव $T_B$ है,जो छत के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है।
भार पर कार्य करने वाले बलों को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए: $T_B \sin 30^{\circ} = 100 \ N$.
$T_B \times (1/2) = 100 \implies T_B = 200 \ N$.
क्षैतिज संतुलन के लिए: $T_B \cos 30^{\circ} = T_A$.
$T_A = 200 \times (\sqrt{3}/2) = 100 \sqrt{3} \ N$.
$T_A = 100 \times 1.732 = 173.2 \ N$.

(B) मान लीजिए ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है। ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल हैं: गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ नीचे की ओर,अभिलंब बल $N$ ऊपर की ओर,और लगाया गया बल $F$ जो क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
ब्लॉक के फर्श से ऊपर उठने के लिए,अभिलंब बल $N$ शून्य हो जाना चाहिए। इस क्षण पर,बल $F$ का ऊर्ध्वाधर घटक ब्लॉक के वजन को संतुलित करता है:
$F \sin \theta = mg$
$F = \frac{mg}{\sin \theta}$
ब्लॉक के फर्श छोड़ने के तुरंत बाद,उस पर कार्य करने वाले बल केवल गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ नीचे की ओर और लगाया गया बल $F$ क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर हैं।
क्षैतिज दिशा में कुल बल $F_x = F \cos \theta$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,क्षैतिज त्वरण $a_x$ है:
$a_x = \frac{F \cos \theta}{m} = \frac{mg}{\sin \theta} \cdot \frac{\cos \theta}{m} = g \cot \theta$
ऊर्ध्वाधर दिशा में कुल बल $F_y = F \sin \theta - mg$ है। चूंकि $F \sin \theta = mg$,इसलिए ऊर्ध्वाधर त्वरण $a_y = 0$ है।
अतः,फर्श छोड़ने के तुरंत बाद ब्लॉक का कुल त्वरण क्षैतिज दिशा में $g \cot \theta$ होगा।

(A) चूंकि बिंदु $P$ विराम अवस्था में है, इसलिए इस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है $(\sum F = 0)$।
हम बलों को क्षैतिज $(x)$ और ऊर्ध्वाधर $(y)$ घटकों में विभाजित करते हैं।
$x$-दिशा के लिए: $\sum F_x = 0$
$F_1 + 1 \sin 45^{\circ} - 2 \sin 45^{\circ} = 0$
$F_1 = 2 \sin 45^{\circ} - 1 \sin 45^{\circ} = (2 - 1) \sin 45^{\circ} = 1 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ N}$।
$y$-दिशा के लिए: $\sum F_y = 0$
ऊपर की दिशा को धनात्मक और नीचे की दिशा को ऋणात्मक लेते हुए:
$1 \cos 45^{\circ} + 2 \cos 45^{\circ} - F_2 = 0$
$F_2 = 1 \cos 45^{\circ} + 2 \cos 45^{\circ} = (1 + 2) \cos 45^{\circ} = 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \text{ N}$।
अतः, $F_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ N}$ और $F_2 = \frac{3}{\sqrt{2}} \text{ N}$ है।

(D) मान लीजिए गोले का केंद्र $O$ है और वह बिंदु जहाँ डोरी दीवार से जुड़ी है,$P$ है। गोले और दीवार के बीच संपर्क बिंदु को $Q$ कहें। गोले की त्रिज्या $r = 5\, cm$ है। डोरी की लंबाई $l = 8\, cm$ है।
गोले के केंद्र $O$,संपर्क बिंदु $Q$ और जुड़ाव बिंदु $P$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,कर्ण $OP = l + r = 8 + 5 = 13\, cm$ है। आधार $OQ = r = 5\, cm$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,ऊर्ध्वाधर दूरी $PQ = \sqrt{OP^2 - OQ^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\, cm$ है।
मान लीजिए कि डोरी ऊर्ध्वाधर दीवार के साथ $\theta$ कोण बनाती है। तब $\cos \theta = \frac{PQ}{OP} = \frac{12}{13}$ होगा।
गोले के संतुलन में रहने के लिए,तनाव $T$ का ऊर्ध्वाधर घटक गोले के भार $W$ को संतुलित करना चाहिए। अतः,$T \cos \theta = W$।
$\cos \theta$ का मान रखने पर,$T \times \frac{12}{13} = W$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $T = \frac{13}{12} W$।

(D) मान लीजिए कि $T$ रस्सी में तनाव है और $F$ लगाया गया क्षैतिज बल है। $m = 10\,kg$ का द्रव्यमान संतुलन में है।
बलों को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
ऊर्ध्वाधर घटक: $T\,cos\,45^o = mg$
क्षैतिज घटक: $T\,sin\,45^o = F$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T\,sin\,45^o}{T\,cos\,45^o} = \frac{F}{mg}$
$\tan\,45^o = \frac{F}{mg}$
चूंकि $\tan\,45^o = 1$,इसलिए $F = mg$ है।
दिया गया है $m = 10\,kg$ और $g = 10\,ms^{-2}$,अतः $F = 10 \times 10 = 100\,N$।

(C) गोले पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. भार $W = mg = 50 \times 10 = 500 \, N$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. झुकाव $A$ से अभिलंब प्रतिक्रिया $N_A$,जो झुकाव के लंबवत है।
$3$. ऊर्ध्वाधर दीवार $B$ से अभिलंब प्रतिक्रिया $N_B$,जो क्षैतिज रूप से कार्य करती है।
बलों को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
ऊर्ध्वाधर दिशा के लिए: $N_A \cos(30^{\circ}) = W = 500 \, N$.
अतः,$N_A = \frac{500}{\cos(30^{\circ})} = \frac{500}{\sqrt{3}/2} = \frac{1000}{\sqrt{3}} \, N$.
क्षैतिज दिशा के लिए: $N_B = N_A \sin(30^{\circ})$.
इस प्रकार,$A$ पर संपर्क बल $N_A = \frac{1000}{\sqrt{3}} \, N$ है।